Численное решение задач оптимального управления с фазовыми ограничениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГО

? \ ъ ол

На. правах рукописи

ШЕБДЛДИН Вадим Рудольфович

сленное решение задач оптимального управления . с фазовыми ограничениями 01.01.09-Матеыагическая кибернетика

Автореферат ' диссертации на соискание ученой степени кандидата физихо-матзматическиг наук

с

л

САРАТОВ-1997

Pabors выполнена на кафедре дифференциальных уравнений к прмяладЕси математики Саратовского государственного университета :ж.Н.Т."Черн1Д)евекого

А '•> • •:■ ?

гзучкьй руксЕодкт?дъ- доктор фазиюо-штематкческах нау,

профессор А.П.Хромов официальные опдсггенты- доктор физико-математических науз

профессор Прохоров Д.В., кандидат физико-математических в;

Захаров A.M. Ведг^-г организация - Институт проблем точкой

механики и•управления РАН. Защите состоится cc^o^-CJ^ -jgg^ г. в час. на заседаний Диссертационного Совета К.063.74.04. при Саратовской государственном университете'им. Н.Г. Чернышевского я адресу : 410026,Саратов,ул.Астраханская,83.Саратовский государственный университет,механико-математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке' • Саратовскогоггосуниверсктега .

Автореферат разослан ^ ^¿х1957 г.

Ученый секретарь Диссертационного

Совета , кандидат физико-математических

наук,доцент ' П.Ф.НЕДОРЕ

□

ОБЩАЯ ХАРАКТЕР:fCTKKA РАБОТЫ

Математическая тес рая оптимального управления .основы срой были. заложены в трудах Л.С.Пснтрягина , А..4.Лэтсгз,Н. Я. совского , Р.Белжзнз , В.Г. Болтянского а других зматихсв , ггерегявает зз последние дес^лметяя период бурного зития.Принцип максимума , разработанный коллективом матема->в во главе с Л.С.Псятрягиным , представляет* собсй одно из тих достижений современной , математики.Уравнения пряноятз 'пмумэ приобрели характер классического результата матема-сксй теория оптимального управления.Одним из приложений цигга максимума является область численного решения задач сильного управления.Нз основе огзх уравнений разрабатываются ■стизные итерационные алгоритмы рекеазя целого ряда задач дальнего управления.Сдали из дсстспнстз этих алгоритмов утся дскззатеяьстзо сходимости получаемеЗ последовательности ¡лежа к оптимальному управления.Однако , для'целого ряда i , например,для задач с фагсзпми ограничезнями^прямеяеяие :тпыз уравнений принципа .максимума дет разработки на ¡а е алгоритмов численного решения достаточно слокяо. В настоящей работе для численного решения ряда задач ал&ного управления о разнообразными фазовыми ограничениями ывавтся несбходикне- условйя оптимальности в форме максимин-эдачи.на га основе строятся алгоритмы численного решения а*' i обоснование их сходимости.

3 работе.рассматривается следующий класс задач оптимального ¡ения : требуется найти оптимальное управление в системах ,

описываемых. линейными и нелинейншп «дифференциальными связям на конечном1 отрезке времени , со свободный цравш концом ■ i(t)=f(x(t),u(t)} ,'z(0)=z„ ,t € [0,1]; с ограничениями на управление*

u(t) с ü для п.в. t € 10,1]; с. фазовьаи ограничениями в конечном числе точек gjUitjl.xtt,» s'o, i=l7q, £tj.fr} e [0,1];

к ¡терминальным критерием качества

•J0(u)=g0«O)-->üif. ■

Началом в исследованиях задач подобного типа были работы, выполненные Б .Н.П1неничяш,$.Л.Черноусько,В.В. Леоновым, в> .П.Васи езш.В sTis работах рассматривались задачи оптимально- • го управления описываемое линейными • или нелинейными •-дафферЕащиальвкмй связями. , с терминальным .елн изтегрзлыпа критерием качества и выйуклиии огрянттчениями на управление.В этих..работах для построения последовательности ¿правлений применялись уравнения, составленные на основе принципа иаксяму?,1 подученного'Л. С.Пантраяакм ; . • -

В'70-2 годах еыели шнографки H.H.Моисеева , Р.П. ©едоренко , в которая глгзгое взимание уделялось вычислительным-аспектам реиешя задач оптимального управления.

Далее,в, работах Ё-.Л.Чарноуоысо Д.Д.Л^ужка.В.А.Терлецкс , и др., рассматривался • случай кошактного мнсяоства ограничений на управление U , u(.t) € U.

Проблема численного решения задач оптимального управление остается актуальной и в наш дай , о , чем свидетельствует ря

, опубликованных в 80-90-х годах -В этих работах рассмат-ись более сложные задачи оптимального управления , имеющие ые ограничения.Так В.-Д.Срочко/Кибернегика,гг§1,1986г./рзс-ивал задачу а фазовая ограничениями g,(s( 1 ))s0,i=í71." Для такой задачи был построен алгорих.л численного репешя, ■ аяо монотонное убывание функционала при выполнении фазовых ичений на каждом заге итерации,выполнение з пределе одимых услоеиЯ оптимальности .

Це.'ь работы:Для задач оптимального упрэзления .списызземьгх

йнными л нелинейными дифференциальными системами с

ообразными фазсвш.Е ограничениями - в конечном числе

к отрезка времени как дафференцирумкш,

недкфференцируелкаи для измеримых управлявших 'функции

ззть необходимые условия оптимальности типа принципа

/

имумз, состроить алгоритмы численного решения, *ор\гкрущке

едоватзльноети. управлений на оснсвз. уравнений"

ила максимума .Доказать,что'такая последовательность '

обеспечивать поникенке значения функционала при нении фазовых ограничений на каждое Ears итерации.Доказать, ля интегрального уравнения тиса принципа максимума,из . poro находятся функции uk(t) , невязка уравнения при анозке оптимального решения, гз(t) будет стремиться к нули, тоды исследования:Для доказательства пршвша максимума ■'' • няется теория Дубовицкого-Мижтина, обоснование алгоритмов дитея с'использованием аппарата функционального анализа, ики решения экстремальных задач,основ выпуклого анализа.

Научная новизна,практическая и теоретическая ценность. •

Для рассматриваемых задач Оптимального управления с дифференцируемыми к кедк®>зретдауемши фазовыми ограничения;, в виде модуля .модуля разности или_ суммы код-лей фазовых координат будут доказаны уравнения принципа максимума, построены алгоритмы численного решения,доказана сходимость невязки уравнений , принципа максимума для построенной" последовательности.управлений к нулю.

Все перечисленные результаты являются новыке. Результаты васгояаей диссертационной работы могут быть' использовгзы для -нааоздения чиолеыяс то реяеная зад оптимального управления .На конкретных примерах была доказана

возможность реализация разработанных алгоритмов. Результаты < •

работы могут быть использованы при разработке спецкурсов, спецсеминаров,при проведении, лабораторных практикумов.

Апгтробация работы к публикации. -

Основные результаты работы были опубликованы в 5 статьях автора,список котрых приводится в конце-автореферата.Результат] докладывались ва .научном семинаре кафедры дифференциальных, уравнений л прикладной математики под руководством профессор; А.П.Хромова,на конференции молодых ученых Саратовского госуниЕ« - . ситета (1983.1992г.г.) ,зиШих школах по теории ф1икций к приближений (г.Саратов;1992-96г.г.

Структура диссертациЕ.Диссертационная работа состоит из введения, даух глав'»списка литературы.Общий объем работы

машинописных страниц.Библиография содеряшт 43 наименований. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении приводится краткий обзор ра<3ат по наследуемой !,формулируется целй диссертационной работы .дается ;ановка задачи .приводится краткое содержание работы. S первой. глаЕе рассматривается задача оптимального управления [ дифференциальной системы на конечном отрезке времени

¿(t)=i(x(t>,u(t>) ,z(6)=z0, теЕ0,1] | .(О-'

u(t)«u(t) для л.в. te[0,1}, ■ - (2)

:(t.)s о, з=1.....q; t ,<= - [0,1], (Э)

J ' J (

J„(u)=> ,(Z(1))"->ini. (4) •

ti < t j

где (,)-скалярная,непрерывно дифференцируемая функция, '(x.u)=(i (s,u),...(x,u))г -вектср-функция , где :,u) , i=lTa яиффероклруеыы-по своим аргументам;мЕояге<5тЕо ограничено,s(t)eRn.

.тасс допустимых управлений У определим как множество азмери-функцай .удовлетворяющих (2). .'

начале раесмотрявашсп управляемые системы (1) .описываемые_ Иными дафферейциальнкмк связями - • _ ■'

s = Ax(i) + Bu(t) ,' z(0)=so. , (5)

де А - матрица размерности пхп .В -вектор размерности ех1. неяеетво допустимых управлений V определим как выпуклое ество вида

U = { u(t) | ait)* u(t) s b(t) ;te(0,li } , (6) де функции a.(t),i(t) :-ссочн5 непрерывны ,a(t)<to(t). ведем^ обозначения': (sit) ."aft)) -оптимальная парз задачи

В .

(З)-(б); x(t)=x(t;-u)-решение -задачи Коши (5) при фиксированной функции u(t)eY.

Для построения алгоритма численного решения поставлешс задачи будем применять уравнения типа принципа максимума Бое рягина,которые были получешг в первом параграфе.

л л

Теорема 1. (принцип максимума) .Пусть (х,и) -оптимзлъе пара задачи (3) - (б) .тогда существуют измеримые функции ^ ^t) ,i=f7n,j=l7n, такие ,что имеют место следующие ipani принципа максимума

. . ' ■ ' 1

пах Bin. j р т (t)B (u( + >-i;(t))dt=0, ("i

utt j€v (!,j)€k J 'J •

?i,j(t), tcfo.tj}, о , :te(tJti],'

. 1=1,n , '5=1,q, (I,j.)€M.

Z(t)-Ax(t) +..Bu('t) , 2(0)=Xo.

^./t)* -ATvJ>r -grad^CxO)) , . - (11

; ( M0=K U {(0,0)}

H= { (i.J) I '^V = О ,i=iv.K, 3=1.'..q j .

. Уравнения принципа максимума для задачи (3)-(6) 'можно обобщить на случай нелинейных систем (1) с невнпуклкм

гасжествсм ограничений на управление.

л л

Teopeira 2, Пусть (z,u) - оптимальная пара поставленной адачк оптимального управления.Тогда существуют интегрируемые• ункции уj (t) такие ,что имеют место следующие уравнения

i

пах тп

u(t>€V С I , j >€KnJ

4O(t,HI.j<t)4t=0 '

¿u{UBJ(J(t)= ^^jtKs.u) - iu,u)3 ,

<?IiJ(t)=

41,D) € m , m = £ (i."3> ! }

, t e ( t ,1] ,1=1 .т,- ;j=1,q,

j ^t)=0,npn t >t- ;i,s=Í7ñ,i*s;(i,;J)€3£ ;3-i7q; 1

.teto.il. ,

= H SU ((0,:,-},Í=f7n;3=Í7q, ' . -

i(t)=í(x(t)tu(x» . X(0)4Co. . ■

В n.n.2-3 строится алгоритм! я дается ere обоснование.Введем в

земотрение.следующее разбиение отрезка' [0,1 ] .Представим

резок.[0,1] как объединение'отрезков A J j= Í7Ñ »т.е. к 1

причем Ileas Д ^ ¡ . —>0 при N—>оо.

Обозначим & -ír¡ ,,r? ] , j=l"7Ñ , г? =0 ,т?,'=1.Пусть ас

J J-I j Q и

1} , ,o¡=ccnst .Для каадого отрезка Д^ определим'отрезок • а) : й,(а) с A ,peas Д («) = аТ .Обозначим Т(К,е)= '•

N J

у.А,(«) • Лг" ,].Очевидно, fieas T(N,a) =<х.

- 1 J J * i J о » J

Лем&а 1. Пусть { -семейство измеримых .

ограниченных функций -Тогда ■

' V«e ¡0,1] ,£>0 3 Н .(а,е) V HaH(a,e),i имеет место неравенство

i •■

- | и^л)^! з Е . (11)

о тгя,«}

что и требовалось доказать.

С помощью данной леммы строится итерационный алгоритм числ наго решения поставленной задачи,испольаукзций для построения _ последовательности упргвлнний уравнения „(7)-(10) для решения , каздом шаге итерации задачу

• ¡saz mis vftjev (Uj)€8

,(t) 3(vk(t) - uí'(t))dt=Mlí (12) »»J

Доказывается теорема. ,,

Теорема 3.Имеет место:lim ¡ik= 0.

j В предыдуацЕХ параграфах-1-3 расмагравалась задача с фазовь ограничениями z(tj) з О,взятыми в конечном"числе фиксирована . точек. В параграфе 4 рассматривается■следующая задача : измени-о изложенный в гг. 2 алгоритм таким образом,чтобы на определенном шаге итерации• фазовые ограничения выполнялись

q .

. болглем числе точек ít,},1, ,q >з ,и при переходе к этому

J• j=i i • _

большему числу точек дискретизации отрезка [0,1] значение функционала качества не возрастало .Доказывается теорема.

Теорема 4 '. Существует подпоследовательность (ukfq)}, •

которой J (uk(<5)) —>J* . где J * - оптимальное значение щиснала задачи (1),(2),(4) с ограничениями z(t)sO.

Во второй главе рассматривается задача (55,(2),(4-5 вим из видов ограничений

•iSjUj)! £ с, i=iTn • (13)

ix^t^it,) |sc, (14)

{31<t1) 1-131 с t,)isc (15)

зетственно.Доказываются теоремы.

Теореме 5.Пусть (x,u) -оптсзльная-пзра задзчк (5),(2)

(13).Тогда существуют интегрируемые функции j(t),

5 i S I) К,Ж0,О}, что имеют место следующие уравнения i в

1

min (t)B(u(f) - u(-'.))dt=0,

(i,j>e{(o,o))UH ин J 'J

о

M2={ (1.3) i ilitjJa-C ,i=iTn,3=i7q},

1 € M -t € [0ft.3,V, при t,€ (ttt1j,i=1fn,j=',.,qis=1f:it

1 J M i J J

6M2,t € EO.tjD^i/j (t) ^о.при t€ (t ,1], V"0,0=-A4.0' 'Л>,о(1)=~ S^W^DM 6 [0,1i,

z = Az + Bu , 2(0)=Xq.

л л -

еореыа 6.Пусть (r,u) -оптимальная пара задача (4),(5),(б) .Тогда существуют такие интегрируемые функции у ' (t)e

Н" ,(1,3,1) € М0,чго имеют место следующие уравнения

шзд пап

С1 , .1, 1 )€К0 J

и =1Г' Б М">"и М"> и

ТГ

о

(1,3,1)^1 ! ^(О а Й О } , | (1,3,1)е

0,1^.) 2 0 | ,Ы~>*= | (1,3,1)е Ы | ^(Ъ,)* 0,2,(1^ | ,ы"*-= | (1,з,1) € м I ^(1;,)* о, о | ,

I. о ' , -t6itj.il.

\ VI

й) =1 -V, ,

| ПРИ (1,3.1) €

, , \ при (1,3,1) « Г'",

I • л ' 3

Л о ,

Г"?!.! + »"»€[0,^1,. '

V. , .(*> ч • ' V , .-Ь. ] ,при (1,3,1)€М-'+ ;

м I ' ); * }

1 о ,

Ы - ® . л 1

I " » te(tlItJ]!Iгpи (1,3,1)€ М~

■ [ О , ХеЦ^Ь, .

м=Гп ; (1.3 ,1) «м г _ '

л ■ л л л '

2 =АХ'+Ви , х(0)=хо. , у.

Теораиа Т. Пусть (х - оптимальная пара в задач

), (5), (15), (б) Логдз существуют интегрируемые фуккцик ,(1), (1,з,1) е М такие ,что имеют место следующие

I 1»I о

аВНеш .■

¡ГЗХ и1п

С I , Л, I >€М

1 I *

Й0=М и {(0,0,0)} | -^(1^)1=0}.

V 0 , и- (^,1], . . ■

О ,1],

1<3: ^ [од,]; ' • .

*о.о,>>= ^,0.0«1>в

А А А А

; х=-дх + Вн.-, . - , '

1ля таких задач били построены алгоритмы численного решения юнове алгоритма пз.перзой глзбн.Для каздой задачи были закы аналогичные теоремы.

%

Тесрекз в.ймеет место сходимость:11т Дк~0. к

есь д - определяется в алгоритмах аналогично формуле (12).

4-м параграфе Бторой главы рассматривается вычислительный зкт дагшсй проблемы на примере задач .изложенных в л.З гсящей главы.Бил составлен комплекс ярогра^.реглизувдий

I

алгоритм.изложенный во третьем параграфе второй глава и приводятся результаты численных расчетов для тестовых пример< Печатные работы автора по теме диссертации- . 1-Шебалдин В.Р.Численное решение задачи оптимального управлг Исследования по совр.прсбл.математики.Мат.кснф.молодых ученыз Сарат.гос.ун-та.Саратов,февр.1934,0.27-30.(Рукопись деп.в ВИ£ 23 мая 1984г.,н2з31Э-84 Дел), ' " •

2.Шебэлднн В.Р.Принцип максимума для задачи оптимального уп? лени.х с параметром в граничньи условиях.В сб.Дифференциальные

. уравнения и теория фунхций:Ме;еуз.научн.сборник(вкп.7).-Ссрзт :йзд-во Сарат.ун-та.,1987.-с.84-94.

3.Шебэлднн В.Р. Численное решение терминальной задачи ' оптимального ¿-правления с фазовыми ограничениями.-Саратоз,Сар

" гос.ун-т., !939г.-37 е.,деп.в ВИНИТИ 23 мая 1939г. ,^2993-889.

4.Шебалдав Б-Р.О численном решении одного класса.задач ептим ноге управления -В сб,Ыатеыат. и ее прилсж.Мехзуз.об.научных трудов,вш.2.-Саратов:11зд-во Сарат.ун-та,1991.-с.50-52. .

5.Е!еболдиа В.Р.Численное решение терминальной задачи оптимал! 1 него управления с недифференцируэмкми фазовыми ограничениями.

В сб.Труды 5 Зимней школы по теории функций и приближений.~Са; гов;Изд-во Сарат.ун-та,1996.-с.82-85.