Численные решения задач конструктивного синтеза сферических резонаторных антенн по заданным амплитудным диаграммам направленности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

?ГБ О»

ЛЬВЕЗСЬКШ ДЕРЖАВШИ УН1ВЕРСИТЕТ 1м. 1ВАНА ФРАНКА

на правах рукошоу

- . ТОПОЛЮ Юр1й Павлович -

ЧИСЕЛЬНЕ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ КОНСТРУКТИВНОГО СИНТЕЗУ СФЕРЙЧНИХ РЕЗОНАТОРНИХ АНТЕН ЗА ЗАДАНИМИ АМПЛ1ТУДНШИ . ДХАГРАМАМИ НАПРАВЛЕНОСТХ

Спец1альн1сть 01.01.07 - обчислювальна математика

Авторереферат дисертацИ на здобуття вченого ступеня кандидата ф1зико-математичних наук -

ЛБВ1В - 1994

Дисертац1ею е рукопис

Робота вйконана в 1нститут1 црикладних проблем механ1ки та математики 1м. Я. С. П1ДСТРИГАЧА HAH Укра1ни.

Науковий кер!вник: доктор ф1зико-математичних наук, професор ВОИТОВИЧ М.М.

ОфВДйн! опоненти: доктор ф!зико-математичних наук, лрофесор П0Л1ЩУК I.M., кандидат ф!зико-математичних наук, доцент ЩЕРБИНА D.M.

Ведуча орган1зац1я: Ки!вський державний ун1верситет 1м. Т.Г. [ДЕВЧЕНКА.

Захист в 1дбудеться * 1994 р_ сД^годин! на

зас1данн1 спец1ал1зовано1 ■ ради К 04.04.05 у Льв1вському. державйому ун1верситет1 1м. I. Франка ( 290602, Льв1в, вул. Ун1верситетська 1, ДНУ, ауд 270 )

3 дисертац1ею мокна ознайомитись в б1бл1отец! Льв1вського державного ун!верситёту.

Автореферат роз1сланий " " и [ ' "1994 р.

Вчений секретар спец1ал1зовано! ради

f

Б.А. ОСТУДШ

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ.

Актуа_льн1сть проблеми. В даний час в1дкрит! резонатори (ВР) знаходять широке застосування в р!зних областях рад!оф!зики 1 техн'ки надвисоких частот. Прикладами пристроТв на основ! ВР можуть виступати селективн! антени, резонансн! перетворювач! шля та 1н.

0дн1ею з' важливях задач рад!отехн1ки. е створення пристро1в (антен) 1з спеШальними характеристиками розс!яння. Причому в б!льшост! випадк!в ц!кавляться лише енергетичними показниками цих характеристик, тобто,!х ампл!тудами, залишакот "в!льними" фази цих характеристик. Наприклад в. рад!онав1гац11 1 рад!олокац!1 е перспектяЕНИМ використання об'емних ВР, створеяих замкненою поверхнею Чзокрема сферою) з! слабкою I нер!вном!рно розпод!леною прозор!стю, як функц1ею точки поверхн!. Конструктивною рёал!зац!ею тако! нап1внрозоро! поверхн! можуть служити: тонкий д!алектричний шар з е»1, частопер!одична стр!чкова гратка, перфорована метал!чна поверхня. Для розр!дження спектру власних коливань всередину сфери (нап1впрозоро!) пом!щають !ншв т!ло задано! або шуканоГ геометр!I !з певними електродинам!чними характеристиками. При цьрму результатами синтезу е ■ конкретн! ф!зичн! параметри розглядуваних антен (ВР), що особливо актуально для практики.

В математичному план! конструктивяий ■ синтез ВР, що розглядаються в дисертацП, зводиться.до проблеми м!н1м1зац!1 одного класу неопуклих функц!онал!в. Ця проблема являе також самост!йний {нтерес. Вимагають досл!дження питания !снування точок м!н!муму таких функц!онал!в, застосовност! до 1х м!н!м!зац!1 певних проективжМтерац!йних метод!в. Суттевою е також. проблема некоректност! в розглядуваних постановках (зокрема нест!йкост! в залежност! в!д похибок як оператор!в, так I вх!дних даних).

Метою дано! робота е:

- розвиток числових метод!в розв'язуваннй тривим!рних векторних нел!н!йшх задач синтезу резонаторних антен- з Зовн1шньою нап!впрозоров сферичною повергнем за заданими ампл!тудними д!аграмами- направленост! (АДН) чи енергетичною д!аграмою направленост! (ЩЩ);

- теоретично обгрунтування застосовност! вар!ац!ййого апарату;

- розробка алгоритм!в I прогрдм, що дозволяють ефективно розв'язу-

вати поставлен!' задач!. Наукова новизна:

- в дисертацИ вперше ставиться 1. розв'язуеться тривим!рна векторна задача синтезу за заданими ; АДН чи ЩЩ для конформно! резонаторно1 антени в форм! двох концентричних сфер . р!зного рад!уса ( зовн1щня сфера нап!впрозора, внутр!пшя .метал!чна ); —вперше для розв'язання векторних задач застосовйно вар!ант узагальненого методу власних коливань, в якому за рахунок свобода виОору 'допом1кно! функцП вдалося поставит I розв'язати векторну задачу синтезу при заданих границях резонатора; ;

- доел!дкено питания !снування м!н!мум!в . одного: класу неопуклих функц!онал!в; <* . -

- обгрунтовано застосовн1сть до м!н1м1зад11 одержаних- функц!о- -нал!в процесу Р!тца.

Достов1рн1сть осяовних наукових результат !в забезпечена:

- : строгим математичним доведениям теорем, .як! п!дтвердкують , застосовн!сть числових. метод!в до задач, що розглядаються;

•г' використанням математичних 'моделей, як! ; п1дтвердили свою адекватн!сть в .аналог 1 чних.наукових.досл!даеннях; *- перев!ркою результата синтезу шляхом числового ..експерименту на двовим!рн!й модел!. :.

Практична ЩннЮть роботи.

Науков! результати,. ..отриман! в. дисертацИ, можуть бути безгосередньо використан! при. коетруктивному синтез! конкретних

антеших систем. . .....

- Теоретичн! результати. : являють самостШшй математичний 1нтерес стосовно . застосування до. задач з \ :аналог!чними не,п1н1йностями. ...

. . Програмне забезпеченйя, розроблене в робот!, може слухити основою для створення систем автоматизованого проектування. ... На захист винрсяться наступн1 положения:

- екстремальн! властивост! неопуклих функц!онал!в, • що зустр1чаються в задачах ..синтезу антен. за заданими амшИтудними д!аграмами направленост! (ДН); .

- .обгрунтування проективно-1терац!йно! схеми оптим!зац!1 вказаних функц!онал!в; . • < • /

- ■ алгоритм!чна та програмна реал!зац!я .- числивих . метод!в -розв'язування задач конструктивного -синтезу резонаторних,антен з зовн!шньою поверхнеш сферично! форми за:заданими АДН; .

- анализ i числов! результата конструктивного синтезу двох тип!в випром!нюючих систем.

Алробац1я роботи 1 публ!кац11.

Основы! результата дисертацИ були представлен! в допов!дях на М!жнародних симпоз!умах ÜHSI (м. -Будапешт, 1986), ISAJ ( м. -TokIo, 1989), щор!чн!й конференцИ секцП UHSI, ФРН (м. Клайнхойбах, 1994), м!жнародному симпоз!ум! "Метод даскретних особливостей в задачах математично! ф1зики" (м.Харк!в, 1993), на IX (м.Телав!, 1985) та X (м.В!нниця, 1989) Всесоюзних симпоз!умах по дифракцй 1 Ъоширенню хвиль, на сем!нарах Йауково1 рада АН Укра1ни по проблем! "Кибернетика", на конференц!ях молодих вчених 1 сгац!ал!ст1в 1ППММ АН УРСР i наукових сем!нарах 1нституту.

По матер!алах дисертацИ опубл!ковано 8 роб!т. Частина результата використана в монограф!ях:

- Войтович H.H., Каценеленбаум Б.З., Коршунова E.H. и др. Электродинамика антенн с полупрозрачными поверхностями. Методы конструктивного синтеза.// Под ред. Б.З. Каценеленбаума и А.Н. Сивова М.: Наука, 1989. -176 е.;

- Андрийчук М.И., Войтович H.H., Савенко II.0., Ткачук В.П. Синтез антенн по заданной амплитудной диаграмме направленности.

К.: "Наукова думка", 1993. -256 с.

Обсяг роботи. Дисертац1йна робота складаеться 1з вступу, трьох розд1л!в, заключения та списку л!тератури. Бона включае N9 стор1нок машинописного тексту 1 м!стить /■? рисунк1в. Б1бл1ограф1чний список складаеться з .86 назв. Короткий зм!ст роботи.

У вступ± коротко розглядаеться стан проблем в облает! конструктивного синтезу. Обгрунтовуеться ваашив1сть 1 ахтуалън1сть теоретичних 1 практичних задач, як! становлять предмет розгляду. Пояснюеться, що розум1етъся п!д терм!ном резонаторн!сть. Вказуються проблемя, на яких зупиняеться автор в своГх досл1дженнях. В!дм!чаеться, що задач! конструктивного синтезу, як! розглядаються в дисертацИ, розв'язуються в два етапи. На першому етап!•шукаеться розпод!л поля на зовн!шн!й поверхн! антени, на другому - II конструктивн! параметри.

Перший розд1л присвячений теоретичним питаниям, як! стосуються обчислювальних аспект1в задач .першого етапу. Ц1 питания представляють також самост!йний математичний 1нтерес.

В пункт! 1.1 звертаеться увага на некоректн!сть в обернених

задачах математично! ф1зики, зокрема в задачах синтезу антен. Задания лише ампл!тудних аОо енергетичних ДН зумовлюе розгляд нелШйних моделей. Обгрунтовуеться доц!льн!сть використання вар!ац1йного п1дходу до таких задач. Вводяться функц!ональн! аростори: прост!р Х(5) - тзнгенц!альних д!йсних компонент електричного поля на зовн1шн1й сфер! £ та прост!р У((1) -комплексних дотичних до сфери 'О в дальн!й зон! компонент д!аграми направленост!. Припускаеться в!домим лШйний ц!лком неперервний оператор К, що в!дображае в

/ = КЕ, (1)

да

Вводяться в розгляд функц!онали:

б = (|КЕ| - Р, |ЯЕ| - ?)у(а), (2)

стг = б + г(Е,Е)Х(В1, г>о, О)

де Р={^,Г()))т-задан! д!йсн1 функцП Р е У(й) - ампл1тудн! ЛН. Через. позначен1 скалярн! добутки в

в1дпов1дних просторах. 1нденс "т" означае транспонування вектора. ЗауЕажуеться, ¡цо функц!онал (2), е квадратом нев'язки операторного р1Еняння:

| КЕ | = Р (4)

В задач! (4), можливе порушення вс!х трьох умов коректност! за Адамаром. Для практичного розв'язання 1 теоретичного досл!дження зручно перейти в!д (4) до взр!ац!йного-аналога (2), а тэкож до (3) 1з введениям параметра стаб!л!зац1! t>0.

*} задачах синтезу е та особлив!сть, що в простор! Х(Э) допускаеться користуЕання не сильно зб!жними, .а слабо зб!кними посл!довяосгями, як! при дП на них ц!лком неперервним оператором переходять в сильно зб!жн! в простор! ПО,1.

В пункт! 1.2 досл!джуеться питания !снування точок Е^Х(З), в яких досягаеться нижня грань функц!онал!в (2) 1 (3). 1снування таких суттеЕе при побудов! зб!кних ( слабо зб!кних )

м1н!м1зуючих посл!довностей. Суттеве м1сце для розум!ння властйвостей функц!онала б належить наступн!й теорем!. Теорема .2.2 Якщо 1снуе константа с>0, така, "що мнохина и=(Е е Х(3):б(Е)<с) - обмежена, то б досягае свого м1н!мзлъного значения на 17. В наступних теоремах припускаеться 1снування пох1дно! Гато в1дпов!дних функц!онал1в. Для функц!онала а^ справедлива.

Теорема 2.3. В Х(3) 1снуе точка Е„, в як!й функц1онал (3)

приймае • свое найменше значения 1 яка е розв'язком р!вняння ÍE=-QШ. де

Я(Е)-^ГСиЗВ(Е)=Вв[К*К(Е)-1*(Еехр(1аг^КЕ))], (5) Я*' -оператор спряжений до К.

В пункт! 1.3 показана можлив!сть побудови м!н!м1зуючих посл!довностей для функц!онал1в о ( зокрема, для випадку, коли не 1снуе жодно! точки, в як!й м1н!мум досягаеться) 1 б1.. Для-цього розглядаються в!дпов1дн1 ск1нченовим1рн! аггроксимацН б^ 1 б^. Справедлива

к

теорема 3.1. Функц1онал б^, що д1е з X(Б) в Я^рГО,«.),

досягае свое Г нижньоГ гран! на Х^ (Б). НаслЮок. Задача м1н1м1зацП функц!оналу б^ е коректно поставленою за Тихоновим-Ф!кера. На основ! теореми 3.1 запропоновано конструктивней спос1б побудови м!н1м!зуючих посл1довностей для функцЮналу б.

Теорема 3.2. Нехзй Д=1п/ б(Е). Посл1довн!сть {б^Е^)} е

Е е Х(Б)

м!н!м1зуючою для функц!оналу б, тобто, для дов1льного е>0 Юнують N(6) 1 так!, що

|ЦР-|%Ек<,|||2-й|<е, де бп(Е^)=т1 т^).

Е^СБ)

В пункт! 1.4, на баз! результат!в попередн1х пункт1в, зацропонована 1 частково обгрунтована проективно-1терац1йна схема м1н!м!зац!1 функц1онал!в <5 1 .

М1н!м!зац1я функц1оналу б можлива з використанням процесу Р1тца. Система Р1тца для функц1оналу б мае вигляд

(grQ05N(El;),tkl)=0 (k=1

:K;l=0,

(6)

дв -система функц!й, л!н!йна оболонка яких щ1льна в X(S).

Сцра?9длив1:

meotsm 4.2. Система Р1тца для функцЮналу б розв'язна при дов1льному П>0.

Теорема 4.3. Наближення Р1тца (6) утворюють м!н1м1зуючу посл1довн!сть по У для функЩоналу б. АналоПчн! теореми також справедлив! для функц!оналу б^. Стосовно з01кност1 м1н1м!зуючих посл!довностей справедливе наступив твердження.

Теорема 4.5. 3 наближень Р1тца для функц1оналу 6t можна вид!лити п1дпосл1довн1сть, ¡mi слабо зб!гаеться до точки абсолютного мЬн!муму. Система нел!н!йних р!внянь (6) е прооекц1ею р1вняння (5) на ск!нченно-вим1рний прост1р.

До розв'язання отримано! системи . застосовний метод посл!довних наближень, який можна записати у вигляд!:

K*iNE(Nn)=Re[K*Fexp( targKNE(nn~1 hi (7)

Для функционалу б^ 1терац1йний процес можна побудувати у вигляд!:

(tIN+K*KN)E(Nn)=ReiK*Fexp( lrgKffE^n_i })1, (8)

де Ijf одинична матриця.

Обидва 1терац!йних процеси волод!ють релаксац!йними властивостями: кожний 1хн1й крок зменшуе значения функц!оналу, що м!н!м!зуетьря.

Запропонована евристична процедура апостер!орного вибору JУ 1 KiJibKocTi 1терац!й п, узгоджених з похибками обчислень.

Другий розд1л присвячений розв'язуванню конкретних задач конструктивного синтезу резонаторних антен в векторн!й тривим!рн!й постанови!.

Пункт 2.1 носить допом1кний характер. В ньому приводяться в!домост1 про узагальнений метод власних коливань. 1дея цього_ методу полягае в тому, щоб вводити власн! значения не класичним

способом через частоту, що ф!гуруе в р!внянн1, а через той чи !нший параметр, що стоГть в граничите умовах. Розв'язок прямих неоднор!дних задач (збудження чи дифракцП) представляеться рядами по систем! власних (I моасливо приеднаних) функц!й в!дпов1дних однор!дних задач. .В резонансних умовах в цих рядах дом!нуючим буде один . доданок, який в!дпов!дае близькост! власного" значения одаор!дно! задач! до значения в!дпов!дного параметра (ф!зичного) вих!дно! задач!. Ця близьк!сть буде мати м!сце при певн!й д!йсн!й частот!, яку'будемо назиЕата резонансною, а антену, що працюе в окол! дано! частота - резонаторною. Дом!нуючий член буде такок 1 в розклад! д!аграми / по власних д!аграмах.

Б пункт! 2.2 запропоновайо модиф!кац!ю одного з вар!ант!в узагальненого методу власних коливань 1 проведено ф!зичне обгрунтуЕання I! застосовност! до синтезу резонатор!в типу метал!чна куля в нап1впрозор1й сфер!.

Розглянемо наступну задачу збудаення. Нехай в областях V* (область м!ж зоён!шньою нап!впрозорою сферичном поверхнею 3 рад!уса а та внутр!шньою метал!чною Эд - сферичном поверхнею рад!уса,Ь<а ) або (зовн!шн1сть Э) вектори Е та Н задовольняють неоднор1дним р!внянням Максвелла

гом-{мг=/е,

(9) '

romlш=f,

а на поверхнях - граничним умовам:

на Б0:

^ =О, (10)

на

(И)

Ее -И- ),

на безмежност!:

ехр(1кг) 1

Яф •= ^ + ог—

(13)

еар(Цгг) 1

% = ^ +

В умовах (12) - д1йсн! функцП, ( комгоненти

а н1зотропно I прозорост!). Вони 1 будуть конструктивниму параметрами, шуканими в процес! розв'язання задач! синтезу.

В1дпов!дно до (9)-(13) розглядаеться допом1жна

однор!дна задача. Нехай та й^ в областях У* 1 V"

задовольняють однор1дним р1внянням Максвелла, умовам (10), (11), (13), а зам1сть (12) - граничит умовам:

д9

~Ещ = г Рщ(*> ( К» - ^л = 1 Рп^

Т^ = + хп{ р^ю -

= у®' + - У^}»

' 1

"Пф

(14)

(15)

(16)

%п -комплексне власне значения, ТфС^ 1 Дов1льн1 д1йсн1

функцП.

Показано, що .резонанс в!дбуваеться при умов! Яет^?. Цьому а? в!дпов!дае деяка д!йсна частота. На ц!й частот! справедлива наближена формула / « а^, а^=согез?. 3 огляду на це, в дальн!йшому обмежимооь розглядом задач! синтезу ампл!тудно! ДН 1/7Н1/<иЫ/ф1|; резонансного вл'асного коливання близькоГ до задано! ампл1тудно1 ДН (в настушому виклад! !ндекс

для зручност!, будемо опускати, пам'ятаючи, що синтезуеться ДН

головного резонансного коливання). Свобода задания функц!й 7^, 7^ дозволяв задовольнити вс!м граничним умовам щляхом вибору- функц!й Р^' Рф-

Внасл1док мало! прозорост!, тангенц!альн! компонента електричного поля на завн!шй1й нап!впрозор!й поверхн! Э можна вважати д!йсними. Оператор* К, що в!дображае прост!р Х(5) в У(0) будуеться конструктивно з допомогою електричного и Л магн!тного У готенц!ал1в Дебая. При цьому отримуються матричн! представления цього оператора по деяк!й повн!й, ортогональн!й систем! функц!й. Результатом розв'язання зовн!шньо! задач! методом, описании в роздШ 1, е значения Щ, Е^ на зовн!шн!й сфер! г. Щоб задовольнити вс!м граничним умовам задач!, зовн!шне поле потр!бно продовжити в область V4. При цьому отрямуеться система л!н!йних алгебраТчних р!внянь, яка розв'язуеться в замкненому вигляд!. В результат! знзходяться конструктив! параметри антенн - компоненти розпод!лу прозорост! зовн!шньо! сфери 3:

(17)

Приводяться числов! результата.

Вказуеться на можлив!сть розмЩення Есередин! Я, заметь метал1чно1 сфери (граничн! умови типу (10)), ¡мпедансноГ, з граничними умовами тхшу

з доь!льним д1Ясними функциями Здд, В цьсму випадку для "зшиБання" пол!в можна отримати систему л!н!йних алгебра!чних р1внянь, яку потр!бно розв'язувати чисельно. При цьому дов!льн!стю !мпедансу можна скористатися для пол!пшення результат1в синтезу.

В пункт! 2.3 приведено приклад синтезу з допомогою конформних резонаторних антен так званих багатоголчатих ампл!тудних ДН, тобто д!аграм з дек!лькома розд!леними по кутах голоеними пелюстками. 1дея полягае в розв'язанн! зовн'шньо! частини задач! синтезу окремо для кожного пелюстка, I додаванн! одержаних при цьсму пол!в

на поверхн! 5.

В пункт! 2.4 проведено числовий експеримент по реал!зац!1 синтезованих антен. Такий екперимент необх!дний для того, щоб встановити, наск!льки синтезована д!аграма направленост! резонансного коливання Суде близькокгдо сумарно! д1аграми при конкретному збудженн! антенн, а такой досл!дити частота! характеристики резонаторних антен. 3 ц!ею метою розв'язана задача збудакення дил!ндричного конформного резонатора! синтезрваного у вигляд! двох концентричних цил!ндр!в - внутр!шнього метал!чного 1 зовн!шнього нап!впрозорого з розпод!лом прозорост!, скнтезованим за заданою АДИ. Розрахунки показали теоретично передбачуваний вплив неревонансного фону та 'ширину частотно! смуги, в як!й резонансна система задов!льно пращое.

В третьому розд1л1 розглядаються задач! синтезу в кваз!тривим!рному випадку. Шд кваз!тривим!рн!стю розум!еться ф!ксована залехн!сть заданих д!аграм, а в!дпов!дно 1 пол1в, в!д координати ф. Задач! при цьому лишаються векторними. Проте поникуеться розм1рн!сть використовуваних сум та !нтеграл!в на одиницю. Це дозволяе спростити алгоритм 1 з невеликими обчислювальними затратами розв'язати широкий спектр обчислювальних задач.

Ё пункт! 3.1, "для синтезу резонатора типу 1мпедансне т!ло обертання всередин! нап!впрозоро! сфери, застосований вар!ант узагальненого методу власних коливань, основи якого викладен! в п.2.1 дисертад!!. При цьому поле в область V* м!к зовн!шньою сферою Э 1 -внутр!шз1м 1мпедансним т!лом обертання продовжуеться по в!дом!й методиц!, а форма !мпедансного т!ла обертання 50 та його !мпеданс синтезуються. На результатах числових розрахунк!в просл!дкован! поляризаЩйн! властивост! розв'язк!в. Приведен! типи д!аграм, для яких збер!гаються ц! властивост! е !терац!йному процес1. Для антен даного-типу в облает Г оптимуму спостер!гаеться поляризац!я поля в дальн!й зон! близька до л!н!йноТ.

В пункт1 3.2 приведен! результата синтезу за методикою, описаною в пункт! 2.2, резонатора типу метал!чна куля в нап!впрозор!й сфер! в кваз1тривим1рному випадку. Розглядаються два типи заданих АДН, аналог!чних попервдньому пункту. Досл!джуеться, як зм!нюеться розпод!л прозоростей зовн!шньо! сфери при р!зних добротностях резонатора.

В пункт! 3.3 приводяться числов! результат конструктивного

синтезу антен за заданими енергетичними ДН.

В заключенн1 дасертац!йноГ роботи приведен! основн! отриман! результата. Нам1чен1 напрямки можливого продовження досл1даень як в теоретичному, так ! практичному план!. 0CH0BHI РЕЗУЛЪТАТИ РОБОТИ.

1. Для функц!оналу (3) з ц!лком неперерЕним оператором Я доведено 1снуЕання принайми! одн!е! точки м!н!муму, яка е стацЮнарною точкою цього.функц!оналу.

2. ООгрунтовано використання для м1н!м1зэцИ . функц!онал!Е (2),(3) процесу Р1тца. Для функц!оналу (3) з м!н!м!зуючкх посл!довностей, цо отримуються, можна вид!лити слабо зб!жн! п1дпосл1довност1.

3. Виявлен! нов! можливост! б застосуванн1 узагальненого- методу власяйх коливань до задач конструктивного синтезу" за заданими амш11тудними ДН чи енергетичною ДН. Це дозволило розглянути нов! типи антен, як! ран!ше не . досл!джуЕалися. Розвинуто числовий метод синтезу резонаторних антен сферичноГ форми за заданими ампл!тудними д!аграмами направленост!.

4. Розроблений метод реал!зований для двох тш11в резонаторних антен. Одержан! чяслов! результата в широкому д!апазон! задания вх!дних даних.

5. Досл!джено поляризац!йн! властиЕост! синтезованих антен в кваз!тривим1рному випадку.

0CH0BHI РЕЗУЛЬТАТ« ДИСЕРТАЦ11 ВИЮ1АДШ В НАСТУПНЮС Р060ТАХ.

1. Андрийчук М.И, Войтович Н.Н, Ткачук В.П, Тополюк Ю.П. и др. Численный расчет антенн с синтезируемыми полупрозрачными поверхностями //"Волны и дифракция-85", Тбилиси. 1985. Т.1. -С. 438-441.

2. Andrlychuk M.I., Voltovlch N.N., Tkachuk V.P., TopolyuK Yu.P. A numerical solution ol non-linear problems о 1 constructive antenna synthesis // UHSI International symposium on electromagnetic theory. August 25-29 1986. Budapest. Hungary. Part. A. Budapest: Akademlai Kiado, 1986. -P. 121-123.

3. Andrlychuk M.I., Topolyulc Yu.P. Coniormal resonator antenna synthesis according to a prescribed pattern// Proc. of 1989 Int Slmpos. on antennas and Propagation. Tokyo. 1989.-P.897-900.

4. Войтович Н.Н., Тополюк Ю.П. Синтез осесиметркчного резонатора со сферической внешней поверхностью по заданной амплитудной диаграмме направленности// Радиотехника и электроника. -1989. -Т. 34. 8. -С. 1575-1581.

5. Андрийчук V..M., Тополюк Г. П. Синтез конформных резонаторных

антенн по заданной амплитудной диаграмме направленности// Радиотехника и электроника. -1990. -Т. 35. 8. -С. 1573-1580.

6. Андрийчук М.И., Тополюк Ю.П. Синтез резонаторных антенн з заданной внешней границей// "Волны и дифракция - 90" М.: Физическое общество СССР. 1990. -Т. 3. -С. 317-320.

7.Андр1йчук МЛ., Войтович М.М., Тополюк .Ю.П. Числов! методи розв'язування некоректних задач ( застосування до задач синтезу антен). Методичн! вказ1вки для студент1в факультету прйкладно! математики//. Видавництво Льв1вського ун!вврситету. 1991. 16 с.

8. М. Andrlychyk, J. Jarkowakl, P. Savenko, Y. Topolyuk, N. ' Voltovlch.The application oi the magnitude synthesis method to the case oi the spherical antennas// Klelnheubacher Berichte. 1994. В. 37. -P. 109-115.

h