Численный анализ свойств отражательных дифракционных решеток для рентгеновского излучения тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.01 ВАК РФ

На правах рукописи

(Ж"

ГОР АЙ Леонид Иванович т"/

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ СВОЙСТВ ОТРАЖАТЕЛЬНЫХ ДИФРАКЦИОННЫХ РЕШЕТОК ДЛЯ РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

специальность 01.04.01 - приборы и методы! экспериментальной физики

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2004

Работа выполнена в лаборатории приборов и методов эпитаксиальных нанотехнологий Института аналитического приборостроения РАН.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук

Г. М. Савинкий

доктор физико-математических наук

Г. Э. Цырлин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

С. В. Бобашёв

доктор физико-математических наук

Е. О. Филатова

Ведущая организация - Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, Санкт-Петербург.

Защита состоится 18 марта 2004 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д002.034.01 при Институте аналитического приборостроения РАН (190103, Санкт-Петербург, Рижский пр., 26).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института аналитического приборостроения РАН.

Автореферат разослан февраля 2004 г.

/

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

А. П. Щербаков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ. Дифракционная решетка (ДР) * является основным типом диспергирующего элемента спектральных приборов. Основные отражательные характеристики дифракционных решеток без учета материала их покрытия применимы во всем оптическом диапазоне. Свойства ДР зависят от материала покрытия, но профили штрихов, используемых для инфракрасного, видимого и ультрафиолетового излучения, одинаковы. Однако работа ДР в коротковолновой области, включающей коротковолновый ультрафиолетовый (КУФ), мягкий рентгеновский (МР) и жесткий рентгеновский (ЖР) диапазоны (далее - рентгеновское излучение (РИ)), весьма специфична. Рентгеновские ДР отличаются мелким профилем штрихов, форма и тонкая структура которого играет решающую роль в их дифракционных свойствах. Особенности, отличающие ДР для РИ скользящего и нормального падения от аналогичных в более длинноволновом диапазоне, были исследованы недостаточно.

Описание дифракционных свойств отражающих ДР в коротковолновых областях спектра на основе строгих векторных теорий долгое время было проблематичным по причине медленной численной сходимости разработанных программ и высоких требований, предъявляемых к памяти и скорости компьютеров. Кроме малых значений отношения длины волны к периоду и сотен или тысяч распространяющихся порядков в РИ требуется точный учет влияния затенения, поглощения, многократного отражения, многоволнового характера рассеяния, поляризации и других нескалярных свойств ДР. Адекватный быстрый расчет абсолютной дифракционной эффективности (АДЭ) рельефных решеток, работающих в рентгеновской области спектра, стал возможным только после появления эффективных численных методов на основе решения системы дифференциальных уравнений [1*-3*]. Для анализа АДЭ решеток с реальным профилем штрихов, в т.ч. измеренным с помощью атомно-силового микроскопа (АСМ), и учета шероховатостей наиболее точным является метод интегральных уравнений, но из-за численных трудностей он является непригодным для систематических расчетов в рентгеновском диапазоне [4*,5*]. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ РАБОТЫ.

Целью и решаемыми задачами работы являются разработка интегрального метода (ИМ), предназначенного для расчета АДЭ отражающих решеток в РИ, и его применение для численного моделирования свойств ДР с реальным профилем штрихов, в т.ч.

многослойных. __

НАУЧНАЯ НОВИЗНА работы состоит СЙед^Ц^^:1'^^ИДЯ

1. Впервые разработан быстро сходящийся строгий ИМ для расчета АДЭ отражающих рельефных решеток, работающих в РИ. По сравнению с известными формулировками ИМ [4*,5*] изменения сделаны как в теории, так ив численной. реализации. Впервые, на основе ИМ достигнута и продемонстрирована устойчивая. сходимость для наиболее коротких длин волн и всех, типов ДР, включая решетки с реальным; профилем ~ и малым отношением длины волны к периоду, при небольших затратах ресурсов персонального компьютера (ПК).

2. Обнаружен новый нескалярный эффект, присущий высокочастотным решеткам для; РИ. Он состоит в невозможности предсказать АДЭ в максимуме какого-либо порядка при изменении показателей преломления материалов покрытия и сохранении формы профиля штриха и угла падения путем умножения известной АДЭ на отношение, коэффициентов отражения материалов. Показано, .что найденные с помощью строгих расчетов оптимальные параметры.,-, высокочастотной ДР с любым: материалом покрытия не остаются оптимальными при изменении этого материала..

3. Впервые разработан приближенный метод анализа АДЭ многослойных рельефных решеток, не имеющий ограничений на количество слоев и угол падения РИ. Приближенный метод анализа- основан на модификации решения интегрального уравнения с конечной проводимостью нижней границы при учете френелевских коэффициентов отражения слоев. В то время как точный анализ на основе ИМ требует больших вычислительных ресурсов даже для ДР с небольшим числом слоев, приближенный подход позволяет сравнительно легко получать высокоточные значения АДЭ в широком диапазоне, параметров реальных решеток. Кроме того, в приближенном подходе.может быть учтена случайная шероховатость границ слоев и взаимодиффузия материалов.

4. Впервые определены оптимальные параметры и найдена максимальная теоретическая АДЭ в зависимости от глубины, угла падения и длины волны для двух типов решеток: золотой пилообразной с частотой 1000 штрихов/мм и золотой синусоидальной с частотой 3600 штрУмм.

5. Впервые' проведено подробное моделирование, АДЭ вблизи нормального падения РИ - на голографические решетки 2400 штрУмм с блеском, профиль которых измерен с помощью АСМ. Результаты измерений, проведенных на синхротронном излучении, и расчетов АДЭ в диапазоне 4.5 - 50 нм количественно совпадают при использовании единой теоретической модели для решеток различных типов.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ работы состоит в следующем:

1. Разработанный ИМ и созданное на алгоритмических языках Fortran и C++ программное обеспечение (ПО) с удобным пользовательским

интерфейсом позволяют проводить систематическое моделирование дифракционных свойств решеток рентгеновского диапазона на персональном компьютере (ПК), работающим под управлением ОС Windows 98 SE и старше. Использование расчетных данных дает возможность значительно сократить количество длительных и дорогостоящих экспериментальных исследований по измерению АДЭ.

2. Расчеты АДЭ позволяют учитывать реальный профиль штрихов решеток, толщину и взаимодиффузию слоев, шероховатость границ, а также комплексные значения показателей преломления материалов.

3. Разработанный строгий метод анализа позволяет точно определять как оптимальные параметры решеток для РИ, так и точную верхнюю границу их АДЭ. Это позволяет изготавливать решетки с АДЭ, близкой к теоретическому пределу, при значительно меньших временных и материальных затратах. Полученные возможности являются важными с точки зрения конструирования эффективных спектральных приборов РИ [3*,5*,23,2б].

ПОЛОЖЕНИЯ. ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ.

На защиту выносятся новые физические методы и подходы, позволяющие получить следующие научные результаты:

1. Строгий и приближенный интегральные методы, позволяющие решать задачу расчета АДЭ многослойных рельефных решеток произвольного профиля с конечной проводимостью материалов покрытия в двух основных плоскостях поляризации.

2. Вычислительные алгоритмы и ПО для ПК, позволяющие находить АДЭ решеток в РИ с высокой точностью и за рациональпое время.

3. Анализ нескалярных дифракционных свойств рентгеновских решеток.

4. Новый нескалярный эффект в поведении АДЭ высокочастотных решеток в РИ.

5. Численное исследование свойств различных ДР для РИ, в т.ч. с АСМ-измерепным профилем и многослойных.

6. Методика моделирования и результаты подробного сравнения измеренных на синхротронном излучении и рассчитанных кривых АДЭ различных решеток в РИ.

7. Теоретическое предсказание рекордных значения АДЭ в высоких порядках решеток с реальным профилем, что нашло подтверждение экспериментальными исследованиями других авторов.

Материалы диссертационной работы доложены и обсуждены на Всесоюзном семинаре "Голограммные оптические элементы и их применение в промышленности" (Москва, 1987), Всесоюзном семинаре-совещании "Вопросы прикладной голографии" (Тбилиси, 1989),

международном семинаре "Three-Dimensional Holography: Science, Culture, Education" (Киев, 1989), X Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространению волн (Винница, 1990), VI Всесоюзной конференции по голографии (Витебск, 1990), VI Всесоюзном семинаре "Дифракционная оптика. Новые разработки в технологии и применение", (Казань, 1991), международном симпозиуме "Optics, Imaging, and Instrumentation" (San Diego, California, USA, 1994), международном симпозиуме "Optical Science, Engineering, and Instrumentation" (San Diego, California, USA, 1995), международном симпозиуме "Optical Science, Engineering, and Instrumentation" (Denver, Colorado, USA, 1999, invited talk), международном симпозиуме "Photonics West" (San Jose, California, USA, 2001), 6 международной конференции "Physics of X-Ray Multilayer Structures" (Chamonix, France, 2002, invited talk), международном совещании "Diffractive Optics & Micro-Optics" (Tucson, Arizona, USA, 2002), международном симпозиуме "Optical Science and Technology" (San Diego, Calif., USA, 2003). ПУБЛИКАЦИИ. Результаты исследований по теме диссертационной работы опубликованы в 22 научных трудах и 4 авторских свидетельствах, список которых приведен в конце автореферата.

СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертацио1шая работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 102 наименований. Материал диссертации содержит 133 страницы, 34 рисунка и 15 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении определена актуальность исследования, описано современное состояние проблемы и сформулирована цель работы.

В Главе 1 рассмотрены особенности взаимодействия РИ с твердым веществом, многослойными покрытиями и ДР. Описаны основы использования решеток в РИ и сделан обзор методов анализа их АДЭ.

В §1 РИ классифицируется по длинам волн с точки зрения взаимодействия с твердым веществом. Анализируются выводы классической теории Лорентца-Друде и релятивистской квантовой теории дисперсии, с помощью которой вычисляют атомные факторы рассеяния связанных электронов в веществе на основании рассмотрения сечений фотоионизации. Описана связь атомных факторов рассеяния с показателями преломления в РИ. Анализируются условия полного внешнего отражения для зеркал и ДР в скользящем РИ.

В §2 рассматриваются многослойные рентгеновские структуры, работающие за счет конструктивной интерференщп! волн, отраженных от различных границ многослойной структуры. Анализируется кристаллографическое уравнение Вульфа-Брэгга и особенности синтеза

многослойных зеркал для РИ [2*]. Одним из удобных и точных методов расчета отражения от многослойных зеркал является метод рекуррентных соотношений, основанный на последовательном вычислении с помощью уравнений Максвелла амплитудных коэффициентов отражения слоев, начиная с нижнего. Влияние случайных некоррелированных шероховатостей границ или диффузии слоев может быть учтено с помощью коэффициента Дебая-Уоллера [6*], в который входит среднеквадратичное отклонение шероховатостей границ или ширины взаимодиффузии слоев.

В §3 дан краткий обзор методов нахождения АДЭ рентгеновских решеток. Обсуждены ограничения скалярной теории дифракции, основанной на приближении Кирхгофа [2]. Приведена краткая классификация численных методов решения задач дифракции света на многослойных решетках с произвольным профилем штрихов. Обычно численные методы применяются для ДР, имеющих период ё, соизмеримый с длиной волны X падающего излучения, т.е. в резонансной области. Если отношение Х/ё мало, то затраты машинных ресурсов при расчетах любыми методами становятся огромными даже для самых мощных ПК. Например, при переходе от расчета с Уд. = 0.1 к А/ё = 0.001 при одинаковом количестве точек коллокации, приходящихся на длину волны в ИМ, объем требуемой памяти возрастает приблизительно в десять тысяч раз, а время вычислений — приблизительно в миллион [4*]. В 1980 г. установлено, что для ДР с малой относительной высотой (И/ё « 1), типичных для РИ, дифферешщальный метод (ДМ) дает быстро сходящийся результат даже при условии распространения нескольких сотен порядков и скользящих углах падения [1*]. Аналогичная ситуация обнаружена [6] и подробно исследована [11,13] применительно к ИМ. ДМ и ИМ также удалось распространить на расчеты АДЭ многослойных рентгеновских решеток с идеальной формой профиля штрихов [2*,3*,18], а ИМ - и на расчеты многослойных ДР с реальной формой профиля штрихов, полученной с помощью АСМ или другим способом [12]. С помощью ИМ оказалось возможно точно моделировать дифракционные свойства реальных решеток, работающих в различных установках РИ.

В Главе 2 выведены интегральные уравнения для сплошной конечно проводящей ДР с произвольной формой профиля штрихов при падении липейно-поляризованного света в плоскости дифракции. Приводятся итоговые выражения в конечных разностях для расчета АДЭ, использовавшиеся при составлешш компьютерной программы. Анализируются причины и условия сходимости разработанных алгоритмов и их устойчивость.

В §1 вводятся основные понятия и сделан подробный вывод интегральных уравнений и формул для вычисления амплитуд

дифракционных гармоник, их АДЭ и величины поглощения. Основная идея ИМ состоит в нахождении эквивалентного тока, создающего поле, совпадающее с тем, что образуется от дифракции плоской электромагнитной волны на рельефе f ф1) решетки. Искомое поле в пространстве над ДР и его нормальная производная могут быть выражены через величину неизвестного поверхностного тока, что дает возможность рассмотреть предел, к которому стремится полное поле при приближении точки наблюдения, находящейся над ДР, к поверхности раздела сред. Предельные значения полного поля и его нормальной производной в нижней среде, при приближении к поверхности снизу, и предельные значения поля и его нормальной производной в верхней среде связаны между собой граничными условиями. Использование интеграла Гельмгольца-Кирхгофа для описания поля в верхней и нижней средах позволяет получить интегральные уравнения для нахождения неизвестного поверхностного тока. Система из двух скалярных уравнений Фредгольма 1-го рода для неизвестного тока, пропорционального *Р(х'), сводится к одному уравнению [4*,20]:

и'(х))/2 + /„[сО'Сх, хОсИДх'ЗМп' + и'(х-)<Ю"-(х, хУ^сЬс' = -0.5 {с/аО"(х, х'ЩхОсЬс' + /аО+(х, х'Щх'^х'}-Я<5[0+(х', х")сЮ-(х, х")Мп" .

где и'(г) - падающее поле, О^х, д:') — функция Грина верхпего (+) и нижнего (-) полупространств, в случае ТЕ поляризации и (отношение

диэлектрических проницаемостей) — в ТМ.

На практике имеет значение АДЭ решетки. Ее определяют как величину потока энергии, уходящую от ДР в п-ый порядок в расчете на единицу падающего потока энергии. С помощью теоремы Умова-Пойтинга определяется энергия, поглощенная материалом ДР в единицу времени. Эта усреднешгая по времени нормированная энергия есть поглощение, сумма которого с АДЭ всех распространяющихся гармоник выражает собой обобщение закона сохранения энергии конечно проводящих ДР.

В §2 описываются особенности реализации ИМ применительно к расчетам АДЭ решеток в коротковолновом диапазоне и приводятся выражения в конечных разностях, необходимые для составления компьютерной программы. Решение интегрального уравнения (1) основано на известном методе моментов (коллокации) в сочетании с квадратурным приближением интегралов с непрерывными частями ядер. Интегральное уравнение заменяется системой линейных алгебраических уравнений с известными коэффициентами с^ и решение которой сходится по

параметру обрезания, если в качестве базисных функций выбраны тригонометрические полиномы первой степени [5*]:

0.54% Щ) + 1-оЕЫ~,с/Р(хь ДхО) = Ь(хД } = 1,N. (2)

Описанный подход к решению системы линейных уравнений предполагает нахождение N значений неизвестной квазипериодической функции, которая аппроксимируется кусочно-постоянной функцией в N точках на одном периоде ДР. В интегральном уравнении первого рода при совпадении аргумента имеется логарифмическая особенность в его ядре, которая является квадратично интегрируемой [4*]. Построение эффективного алгоритма вычисления функций Грина основано на выделении логарифмической особенности в явном виде [4*,5*]. От учета логарифмической особенности в функции Грина, кривизны профиля в ее нормальной производной и остатка суммы их рядов зависит точность получаемых результатов и время рассчета задачи в резонансной области [25]. Однако, в силу особенностей численного интегрирования подынтегральных' функций при сравнительно больших значениях N для некоторых задач, в том числе в коротковолновом пределе, такое уточнение не всегда оправдано и требует отдельного исследования. Как показано в случае регулярного ядра и периодической подынтегральной функции [4*], предпочтительной является кусочно-постоянная аппроксимация подынтегрального выражения с разбиением отрезка интегрирования (периода) на равные части. Однако, в трудных случаях, при наличии ребер и крутых или вертикальных граней (ламель), лучшим оказывается другой подход - интегрирование по длине дуги контура [5*, 16]. Влияние участков границы ДР пропорционально как величинам токов на этих участках, так и функциям Грина. Ограничение числа слагаемых рядов функций Грина и их нормальных производных для нижней и верхней среды соответственно до Р* и М* при интегрировании означает ограничение числа периодов ДР, влияние которых имеет смысл учитывать для достижения необходимой точности вычислений. Правило Р*= М* = Р = 2^3 [4*] далеко не для всех случаев является оптимальным и зависит от конкретной численной реализации. Для предлагаемой реализации ИМ лучше подходит другое, более "выгодное" правило: Р = N/2 [13].

В §3 анализируется сходимость в рентгеновском диапазоне разработанного ИМ и созданной на его основе программы. Написанное ПО протестировано с помощью сходимости по параметру усечения и числу членов разложения функций Грина и их нормальных производных [13], энергетического баланса для конечно проводящих ДР [20], теоремы взаимности [4*], сравнения с френелевскими коэффициентами отражения, обратного (нефизического) условия голучения и различных способов расстановки точек коллокации [25]. Принципиальная сходимость метода по параметру усечения N продемонстрирована на примере расчетов АДЭ на X = 4.4 нм золотой синусоидальной решетки 300 штрУмм с глубиной 25.0 им,

освещаемой под углом 87.35° [1*] и ДР 3600 штрУмм с глубиной 10.5 нм, освещаемой под углом 86.15° [13]. При размерности матрицы N = 20 значение АДЭ -1 порядка отличается от высокоточного, найденного при N = 400, всего на 3% для решетки 300 штрУмм и на 29% - для 3600 штрУмм. На численных примерах показано, что при небольшом числе точек коллокащш в расчете на длину волны в рассматриваемом нерезонансном случае коррекция отдельных членов разложения функций Грина и их нормальных производных приводит к медленной сходимости и даже к расхождению результатов. Установлено, что равномерное, размещение точек вдоль поверхности интегрирования дает для треугольных и ламельных ДР, как правило, заметно лучший результат по энергетическому балансу, особенно для высокочастотных ДР.

Точность метода и программы, разработанной на его основе, продемонстрированы в §4 путем сравнения результатов расчета АДЭ, полученных автором с помощью представленного ИМ, ДМ и модального метода (для ламельных ДР) [6,7,10,11,13-16]. Значения АДЭ, полученные в -1 порядке дифракции синусоидальных решеток, совпадают с точностью до трех-четырех знаков для всех частот решеток и длин волн, что говорит о высокой точности рассматриваемых методов. Для решеток треугольного и ламелыгаго профилей совпадение АДЭ в -1 порядке не столь точное, как в случае синусоидальной ДР, и составляет несколько %. Еще одним примером сравнения АДЭ, полученной с помощью двух других строгих подходов (ДМ [1*] и ИМ [5*]) и измерений на синхротронном излучении, послужила золотая пилообразная решетка 1200 штрУмм с углом блеска 1.3°, используемая в монохроматорах синхротрона BESSY II в диапазоне энергий от 50 до 1100 эВ [5*]. Результаты всех расчетов для 0 и -1 порядков отличаются друг от друга на несколько % [26]. Большее различие между расчетными и измеренными данными АДЭ объясняется, в первую очередь, теоретической моделью профиля штрихов. В этом примере использовалось 400 точек дискретизации и не применялось уточнение решения, тогда как в [5*] использовалось до 2560 точек дискретизации и уточнение решения при расчетах точек с фотонами высоких энергий.

В Главе 3 представлены строгий и приближенный методы интегральных уравнений [22], с помощью которых можно рассчитывать АДЭ рентгеновских решеток с несколькими слоями и многослойных с любым профилем штрихов, в т.ч. с реальным АСМ-измеренным [18,19], и случайной шероховатостью [23,24]. Разработанный подход позволяет проводить моделирование с высокой точностью на обычном ПК.

Используя рассуждения, подобные описанным во второй главе для одной границы раздела сред, в §1 на основе второй формулы Грина и

граничных условий представлена система аналогичных (1) интегральных уравнений для многослойной ДР, состоящей из К границ. Полученная система содержит 2К уравнений и 2К неизвестных компонент электромагнитного поля и их нормальных производных, которые могут быть найдены известным способом "прогонки" от нижней границе к верхней [4*]. Хотя модифицированный ИМ для одной границы, развитый во 2 главе, позволяет на порядок уменьшить приходящееся на одну границу число точек коллокации, решение задачи остается трудным для ДР, имеющей несколько десятков и более слоев. Строгими расчетами подтверждена возможность нахождения АДЭ многослойной рентгеновской решетки E*m(n) в порядке п для 9 < 40° умножением коэффициента отражения плоского многослойного зеркала Rm(9') на эффективность идеально отражающей ДР Ер(п, 6) [2*]. Для снятия ограничения на используемый диапазон углов падения в настоящей работе предложено заменить формулу приближения [2*] на произведение коэффициента отражения плоского многослойного зеркала на относительную эффективность конечно проводящей ДР, заданной одной (нижней) гофрированной границей:

№0)=адоЕ'Спдаке1). (з)

Для определения точности результатов, получаемых с помощью приближения (3), по сравнению со значениями АДЭ, рассчитанными строгими методами, в §2 вводится полуэмпирический критерий на основе асимптотики борцовского ряда, доопределенный с учетом расстояния Si между соседними слоями 1 и 1 + 1 и угла падения 9:

Условие было выбрано в качестве критерия точности результатов,

получаемых с помощью (3) для многослойных ДР скользящего падения в РИ. Работоспособность развитого подхода проверялась с помощью сравнения с результатами, полученными на основе строгих расчетов для различных комбинаций слоев, углов скольжения и длин волн. Во всех случаях подход на основании (3) и (4) дает результаты, отличающиеся от точных во всем диапазоне, в среднем не более чем на несколько десятков %. Подход на основе приближения идеальной проводимости дает, начиная с некоторого угла скольжения, значения АДЭ, отличающиеся от точных во много раз, особенно в ТМ поляризации.

В §3 рассмотрены примеры сравнения теоретических и экспериментальных кривых АДЭ типичных многослойных решеток. Платиновая ДР 1200 ппр./мм с пилообразным профилем глубиной 6.2 нм, покрытая 30 парами слоев Si-Mo с толщиной соответственно 7.32 нм и 2.3 нм работает в диапазоне 12.5 - 14.5 нм при угле падения 45° [2*].

Аппроксимация интегрального метода (3) дает для -1 порядка этой решетки результат АДЭ, близкий к значениям, полученным с помощью строгого ДМ. Для золотых пилообразных решеток с оптимизированным для длины волны 1.33 нм многослойным Rh-C покрытием [3*] данные АДЭ (3) в блеске -1 и -10 (эшелле [21]) порядков совпадают для большинства длин волн с результатами, полученными строгим ДМ с точностью до нескольких %. Наиболее важной проверкой достоверности результатов расчета АДЭ многослойных решеток в скользящем падении на основе строгого ИМ и приближения (3), является их сравнение с экспериментально полученными значениями для стеклянной ДР 1200 штрУмм пилообразного профиля с углом блеска 1.5°, подслоем золота 18 нм и 3 парами С-Au покрытия с толщиной материалов 11.7 нм и 6.5 нм соответственно [6*]. АДЭ решетки в ТЕ поляризации измерялась на фиксированных линиях излучения 5 и 10 нм. Расчетные значения, полученные строгим и приближенным ИМ, почти во всем диапазоне углов падения хорошо согласуются между собой и с измеренными величинами как по форме кривых, так и по положению максимумов-минимумов для обеих длин волн. Некоторая имеющаяся разница между экспериментальными и теоретическими данными АДЭ может считаться для этой решетки незначительной с учетом идеального профиля штриха в модели.

В Главе 4 рассмотрены результаты числеппых расчетов АДЭ нескольких решеток рентгеновского диапазона, в том числе с реальным профилем штрихов и многослойных. Описываются как известные, так и новые нескалярные дифракционные свойства, присущие высокочастотным ДР скользящего падения.

В §1 проанализированы выводы скалярной теории дифракции и показано, что АДЭ рентгеновской решетки меняется непредсказуемо с точки зрения этой теории при изменении геометрии штрихов, их частоты, угла падения и длины волны. С помощью строгих расчетов установлено, что известная феноменологическая формула для расчета АДЭ работающей в блеске решетки пилообразного профиля справедлива только для низкочастотных ДР с 300 и 600 штр/мм. Для высокочастотных ДР любого профиля погрешность простого подхода достигает 30 - 35% [11,14]. Вывод [1*], что в случае замены материала покрытия (показателя преломления) при сохранешш всех остальных параметров света и решетки, АДЭ легко находотся из известной АДЭ путем умножения ее на отношехше коэффициентов отражения материалов, является неверным для высокочастотной ДР. Кроме того, оптимальные параметры ДР при шменении материала покрытия не остаются оптимальными и могут

измениться столь значительно, что это должно учитываться при ее изготовлении и использовании.

В §2 представлены полученные на основе строгих расчетов трехмерные кривые АДЭ для двух типов ДР: золотой пилообразной 1000 штрУмм, работающей в ЖР и ультра-МР излучении, в зависимости от углов блеска и падения, с оптимизацией на длине волны 1.5. нм и золотой синусоидальной 3600 штрУмм,- работающей в МР излучении, в зависимости от глубины и длины волны, при нескольких фиксированных углах скользящего падения. Для нахождения оптимальных параметров и максимумов АДЭ решеток использовались процедуры сканирования по двум параметрам, подпрограммой в которых служил строгий электромагнитный расчет.

В §3 подробно исследовано поведение АДЭ мастера, реплики и многослойной МоДи^-Ве решетки 2400 штрУмм с АСМ-профилем штрихов, работающих в широком диапазоне спектра 4.5 - 50 нм при падении, близком к нормальному [23]. При выборе модели расчетов в КУФ - МР диапазонах важное значение имеют: оптимизация толщин слоев, учет случайных шероховатостей на коротковолновом краю, масштабирование усредненного профиля многослойной ДР и правильный выбор показателей преломления. Проведены сравнения расчетных значений АДЭ этих решеток с результатами измерений на синхротронном излучении. Результаты говорят о близком совпадении не только формы и положения кривых АДЭ от -5 до +5 порядков, но и их абсолютных значений. Расчеты относительной эффективности исследуемых ДР с реальным профилем для длин "волн в диапазоне 4.5-9 нм показывают, что максимумы в диапазоне 0.13 - 0.20 достигаются в высоких дифракционных порядках от -6 до -3. Очевидно, можно получать в коротковолновой области одновременно высокую разрешающую способность и АДЭ реальных решеток, нанося оптимально подобрашше многослойные покрытия.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении сформулируем основные результаты, полученные в диссертационной работе впервые:

1. Разработан строгий метод интегральных уравнений решения задачи дифракции плоско-поляризованной электромагнитной волны на рельефной конечнопроводящей решетке для малых отношений длины волны к периоду и глубине решетки.

2. На основе разработанного ИМ получены численные алгоритмы анализа АДЭ многослойных отражательных рентгеновских решеток.

3. Разработан приближенный ИМ, основанный на модификации решения интегрального уравнения с конечной проводимостью на нижней границе и не зависящий от числа слоев ДР и угла падения.

4. Полученные алгоритмы точного и приближенного теоретического исследования АДЭ рентгеновских решеток реализованы в виде удобного ПО для ПК, работающего под управлением ОС Windows 98 SE и старше. Продемонстрирована точность'и достоверность получаемых результатов для различных типов ДР при малых отношениях длины волны к периоду (-0.001).

5. Детально исследованы дифракционные свойства рентгеновских решеток, показаны ограничения в применении скалярной теории для их анализа. На основе строгого подхода обнаружено и описано новое нескалярное свойство, присущее высокочастотным ДР.

6. Проведено подробное моделирование АДЭ и определены оптимальные параметры золотой пилообразной 1000 штр./мм и золотой синусоидальной 3600 штр./мм решеток в зависимости от глубины, угла скольжения и длины волны. Результаты моделирования вблизи нормального падения с использованием АСМ-профилей и точных значений показателей преломления топографических ДР 2400 штрУмм совпадают с данными измерений, полученных на синхротронном излучении.

7. Апализ расчетных кривых относительной эффективности реальных ДР в диапазоне 4.5 - 9 нм указывает на возможность достижения рекордных значений АДЭ высших порядков при использовании! оптимально подобранных многослойных покрытий с низким уровнем шероховатостей.

Результаты, полученные в диссертации, являются перспективными с точки зрения разработки спектральных приборов высокого разрешения для рентгеновской спектроскопии.

СПИСОК ВКЛЮЧЕННЫХ В ДИССЕРТАЦИЮ РАБОТ

1. Горай Л.И. Аберрации вогнутых дифракционных решеток, получаемых при изгибе кристаллов. Опт. и спектр, т.61, в.З, 1986, с.628-630.

2. Горай Л.И. Дифракционная эффективность светосильных вогнутых решеток с постоянным по все апертуре профилем штрихов. - Голограммные оптические элементы и их примените в промышленности. Тезисы Всес. семинара, Москва-Ленинград, 1987, с.55.

3. Горай Л.И. Аберрации вогнутых деформировшшых дифракционных решеток с первоначально криволинейными неэквидистантными штрихами. Опт. и спектр, т.65, в.1,1988, с.184-187.

4. Горай Л.И. Способ изготовления вогнутой сферической поверхности. - АС СССР №1453251,15.09.88, МКИ4 G 02 В 5/18.

5. Горай Л.И. Способ изготовления вогнутой дифракционной решетки. - АС СССР №1510562,22.05.89, МКИ4 G 02 В 5/18.

6. Горай Л.И., Савицкий Г.М. Голограммные рельефные решетки в рентгеновской оптике. - Вопросы прикладной голографии. Тезисы Всесоюз. семинара-совещания, Тбилиси, 1989, с.20.

7. Горай Л.И., Савицкий Г.М. Дифракционные свойства решеток с блеском для рентгеновского диапазона. Тезисы X Всесоюз. симпозиума по дифракции и распространению волн, Винница, 1990, с.З.

8. Горай Л.И., Матвеев Б.А., Стусь Н.М., Талалакин Г.Н. и Ястребов С.Г. Способ изготовления вогнутой дифракционной решетки. - АС СССР №1514120,08.06.89, МКИ4 G 02 В 5/18.

9. Горай Л.И., Матвеев Б.А. и Ястребов С.Г. Способ изготовления вогнутой дифракционной решетки. - АС СССР №1568774,01.02.90, МКИ4 G 02 В 5/18.

10. Горай Л.И., Савицкий Г.М. Дифракционные свойства голограммных решеток ламельного профиля для рентгеновского диапазона. Тезисы VI Всесоюз. конференции по голографии, Витебск, 1990, с.ЗЗ.

11. Горай Л.И., Савицкий Г.М. Дифракционные свойства высокочастотных решеток рентгеновского диапазона. - Дифракционная оптика. Новые разработки в технологии и применение. Тезисы VI Всесоюз. семинара Казань-Москва, 1991, с.66-67.

12.1.Y. Yusupov, M.D. Mikhailov, R.R. Herke, L.I. Goray, S.B Mamedov, OA Yakovuk. Investigation of the arsenic sulphide films for relief-phase holograms. Proc.SPIE v. 1238,1989, p.240-247.

13. L.I. Goray. Numerical analysis for relief gratings working in the soft X-ray and XUV region by the integral equation method. Proc.SPIE v.2278,1994, p.168-172.

14. L.I. Goray. Non-scalar properties of high groove frequency gratings for soft X-ray and XUV regions: the integral equation method. Proc.SPIE v.2278, 1994, p.173-177.

15. L.I. Goray and B.C. Chernov. Comparison of rigorous methods for X-ray and XUV grating diffraction analysis. Proc.SPIE v.2515,1995, p.240-245.

16. L.I. Goray. Rigorous integral method in application to computing diffraction on relief gratings working in wavelength range from microwaves to X-ray. Proc.SPIE v.2532,1995, p.427-433.

17. M.P. Kowalski, J.F. Seely, L.I. Goray, W.R. Hunter, and J.C. Rife. Comparison of the calculated and the measured efficiencies of a normal-incidence grating in the 125-225-A wavelength range. Appl. Opt. v.36,1997, p.8939-8943.

18. J.F. Seely, L.I. Goray, W.R. Hunter, and J.C. Rife. Thin-film interference effects of a normal-incidence grating in the 100-350-A wavelength region. Appl. Opt. v.38,1999, p.1251-1258.

19. J.F. Seely, L.I. Goray. Normal incidence multilayer gratings for the extreme ultraviolet region: experimental measurements and computational modeling. ProcSPIE v.3766,1999, p.364-370.

20. L.I. Goray. Modified integral method for weak convergence problems of light scattering on reliefgrating. Proc.SPIE v.4291,2001, p.1-12.

21. L.I. Goray. Modified integral method and real electromagnetic properties of echelles. Proc.SPIE v.4291,2001, p.13-24.

22. L.I. Goray and S.Yu. Sadov. Numerical modelling of nonconformal gratings by the modified integral method. — Diffractive Optics&Micro-Optics. OSA Tech. digest, Wash. DC, 2002, p.41-43.

23. L.I. Goray and J.F. Seely. Efficiencies of master, replica, and multilayer gratings for the soft x-ray-EUV range: modeling based on the modified integral method and comparisons to measurements. Appl. Opt. v.41,2002, p. 1434-1445.

24. J.F. Seely, L.I. Goray, A.V. Vinogradov, Yu.A. Uspenskii, P.Pershin, V.V. Kondratenko, B. Sae-Lao, S. Bajt, S. Baker, and C. Montcalm. Multilayer Normal-Incidence Gratings with Sc/Si, MoRu/Be, and Mo/Y Coatings Operating at 40 nm, 11 nm, and 9 nm Wavelengths: Experimental Efficiencies and Computational Modeling. — Physics of X-Ray Multilayer Structures. The 6-th International Conference, Chamonix, France, 2002, abstracts, p.4.

25. L.I. Goray and S.Yu. Sadov. Numerical modelling of coated gratings in sensitive cases. OSA, TOPS v.75,2002, p.365-379.

26. L.I. Goray. Rigorous efficiency calculations for blazed gratings working in in-and off-plane mountings in the 5-50-A wavelengths range. SPIE v.5168, 2003, p.260-270.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1*. M. Neviere, and J. Flamand. Electromagnetic theory as it applies to X-Ray and XUV gratings. Nucl. Instrum. Methods, v.172,1980, p.273-279. 2*. B.Vidal, P.Vincent, P.Dhez, and M.Neviere. Thin films and gratings: theories used to optimize the high reflectivity of mirrors and gratings for x-ray optics. Proc.SPIE v.563,1985,p.l42-149.

3*. M.Neviere and F.Montiel. Soft x-ray multilayer coated echelle gratings: electromagnetic and phenomenological study. JOSA A v.13,1996, p.811-818. 4*. R.Petit, ed. Electromagnetic Theory of Gratings. Springer, Berlin, 1980,286 p. 5* B.H. Kleemann, J.Gatzke, C.Jung, and B.Nelles. Design and efficiency characterization of diffraction gratings for application in synchrotron monochromators by electromagnetic methods and its comparison with measurement. Proc.SPIE v.3150,1997, p.137-147.

6*. W.Jark. Enhancement of diffraction grating efficiencies in soft X-ray region by multi-layer coating. Opt. Commun. v.60,1986, p.201-205.

Лицензия ЛР №020593 от 07.08.97.

Подписано в п е 01. М. ¿СС</ Э б ъ е м в п.л. < р Тираж {СЮ Заказ .ЛС

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в типографии Издательства СП5ГПУ 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29.

Отпечатано на ризографе RN-2G0O ЕР Поставщик оборудования — фтгрма "Р-ПРИНТ" Телефон: (812) 110-65-09 Факс: (Б12) 315-23-04

Введение.

Глава 1. Применение рентгеновских отражательных дифракционных решеток и методы расчета их эффективности.

§ 1.1. Особенности рентгеновского излучения с точки зрения взаимодействия с твердым веществом.

§ 1.2. Многослойные рентгеновские покрытия и дефекты границ слоев

§ 1.3. Методы решения задач дифракции на рентгеновских решетках.

Глава 2. Интегральный метод расчета эффективности сплошной рентгеновской дифракционной решетки.

§2.1. Вывод интегральных уравнений.

§ 2.2. Особенности реализации интегрального метода для расчета эффективности решеток коротковолнового диапазона.

§2.3. Сходимость метода.

§ 2.4. r^oTztjocTb зычислений.

Глава 3. Интегральный метод расчета эффективности многослойной рентгеновской решетки

§3.1. Строгий и приближенный методы расчета эффективности многослойной решетки.

§ 3.2.Критерий точности аппроксимации интегрального метола для расчета эффективности многослойной рентгеновской решетки.

§3.3. Сравнение кривых эффективности многослойных рентгеновских решеток скользящего падения, полученных строгим методом, приближенно и с помощью измерений.

Глава 4. Дифракционные свойства решеток, работающих в рентгеновском излучении.

§4.1. Роль скалярных и электромагнитных свойств эффективности решеток рентгеновского диапазона.

§4.2. Строгий анализ эффективности различных решеток, ——,—.О"?

§ 4.3. Моделирование эффективности рентгеновских решеток реального профиля и сравнение ее с результатами измерений на синхротронном излучении.

Основные дифракционные свойства решеток без учета материала их покрытия (идеально проводящих) применимы ко всему оптическому диапазону. Известно, что характеристики решеток зависят от материала их поверхности, но профили штрихов решеток, используемых для инфракрасного, в n.nwnro и уп^р-тфиолетового излучения, одинаковы. Однако, работа решеток в наиболее коротковолновой области, включающей коротковолновый ультрафиолетовый (КУФ), мягкий рентгеновский (MP) и жесткий рентгеновский (ЖР или у-лучи) диапазоны и называемой далее вместе рентгеновским диапазоном, весьма специфична. Для длин волн ниже 30-40 нм вся рентгеновская оптика вынуждена работать при скользящем падении или использовать наиболее перспективные многослойные покрытия. Решетки рентгеновского диапазона отличаются очень мелким профилем штрихов, форма и тонкая структура которого играют решающую роль в их дифракционных свойствах. Особенности, которые отличают дифракционные решетки для рентгеновского излучения скользящего и нормального падения от аналогичных в более длинноволновом диапазоне, в силу объективных трудностей были исследованы недостаточно.

Совершенствование технологий изготовления и измерения отражающих дифракционных решеток с различной формой профиля штриха и нанесения на • них сверхгладких многослойных покрытий для рентгеновского диапазона позволило добиться за истекшее десятилетие высоких экспериментальных значений абсолютной эффективности как при скользящем,' так и при нормальном падении. Для решеток различных типов проведены сравнения между расчетами эффективности и ее измерениями в рентгеновском излучении, в т.ч. синхротронном. К ним относятся решетки идеального профиля: с блеском, ламельные сплошные и полученные травлением штрихов прямоугольной формы в многослойном зеркале. Особый интерес представляет исследование решеток с реальным профилем штрихов, измеренным с помощью атомно-силового микроскопа (АСМ), в т.ч. ионно-травленных мастеров, их реплик и многослойных с современными материалами покрытия: Ве-С, Be-Y, Ве-В4С, Cr-C, Mo4Ru^-Be, Mo-Si, Мо-Sr, Mo-Y, Pd-B4C, Sc-Si, Ru-C, W-B4C и др. Проводимые исследования позволили говорить не только о возможности добиться точного совпадении теории с экспериментом, но и о перспективах использования численного моделирования во всем рентгеновском диапазоне для предсказания дифракционных свойств отражающих решеток на основе строгих методов анализа, точных значений показателей преломления веществ и измеренных профилей штрихов.

Описание дифракционных свойств отражающих решеток в коротких областях спектра на основе строгих векторных теорий долгое время было проблематичным по причинам медленной сходимости разработанных алгоритмов и высоких требований, предъявляемых к памяти и скорости компьютеров. Кроме очень маленьких значений отношения длины волны к периоду и сотен или тысяч распространяющихся порядков в рентгеновском диапазоне требуется точный учет влияния затенения, поглощения, многократного отражения, многоволнового характера рассеяния, поляризации и других нескалярных свойств решеток. Систематическое предсказание абсолютной эффективности рельефных решеток, работающих в этой области спектра, стало возможным только после появления эффективных численных методов на основе решения системы дифференциальных уравнений [1—3]. Для анализа эффективности решеток с реальным профилем штрихов, например, измеренным с помощью АСМ, и учета шероховатостей наиболее точным является метод интегральных уравнений, но из-за известных численных трудностей он является непригодным для систематических расчетов в рентгеновском диапазоне [4, 5] . В этой связи, разработка интегрального метода, предназначенного для расчета эффективности отражающих дифракционных решеток в наиболее коротковолновом диапазоне спектра, и его использование для численного моделирования дифракционных свойств решеток с реальным профилем, в т.ч. многослойных, представляется важной научно-технической задачей.

Основные результаты работы формулируются следующим образом:

1. На основе разработанного строгого метода интегральных уравнений для решения задачи дифракции плоско-поляризованной электромагнитной волны на рельефной конечнопроводящей решетке получены численные алгоритмы для анализа дифракционной эффективности отражательных рентгеновских решеток, в т.ч. с реальным профилем штрихов и многослойных. По сравнению с известной формулировкой интегрального метода [3,4] изменения сделаны как в теории, так и в численной реализации.

2. Разработанный приближенный интегральный метод, основанный на модификации решения интегрального уравнения с конечной проводимостью на нижней границе с учетом френелевских коэффициентов отражения слоев, не зависит от числа слоев решетки и угла падения. В то время как точный анализ на основе интегрального метода требует больших вычислительных ресурсов, даже для решеток с небольшим числом слоев, приближенный подход позволяет сравнительно легко получать высокоточные значения эффективности в широком диапазоне параметров реальных решеток. Кроме того, в приближенном подходе может быть учтена случайная шероховатость слоев и их взаимодиффузия.

3. Полученные алгоритмы реализованы в виде программы для ПК, которая была использована для теоретического исследования дифракционных свойств рентгеновских решеток. Продемонстрирована точность и достоверность полученных результатов для различных типов решеток. Впервые на основе интегрального метода достигнута и продемонстрирована устойчивая сходимость для самых коротких длин волн и всех типов решеток, включая решетки с очень маленьким отношением длины волны к периоду, при небольших затратах ресурсов ПК.

4. С помощью созданной программы исследованы дифракционные свойства рентгеновских решеток и показаны ограничения в применении скалярной Теории для их анализа. На основе строгого подхода обнаружено и описано новое нескалярное свойство, присущее высокочастотным решеткам. Оно состоит в невозможности предсказать абсолютную эффективность в максимуме какого-либо порядка при сохранении формы профиля штриха, угла падения и изменении показателя преломления материала покрытия, путем ее умножения на отношение френелевских коэффициентов отражения материалов. Показано, что найденные с помощью строгих расчетов оптимальные параметры высокочастотной решетки с одним материалом покрытия не остаются таковыми при его изменении.

5. Определены оптимальные параметры и проведено подробное моделирование эффективностей золотых пилообразной 1000 штрихов/мм и синусоидальной 3600 штрихов/мм решеток в зависимости от их глубины, угла скольжения и длины волны. Результаты расчетов единой теоретической модели голографических решеток (мастера, реплики и многослойной) 2400•штрихов/мм с АСМ-профилем и точными значениями показателей преломления количественно совпадают с данными измерений, полученных на синхротронном излучении, вблизи нормального падения в диапазоне 4.5-50 нм. б. Анализ расчетных кривых эффективности решеток с реальным профилем штрихов предсказывает высокую абсолютную эффективность высоких порядков в диапазоне 4.5 - 9 нм при использовании многослойных покрытий с низким уровнем шероховатости (Ве-С, Cr-C, Ru-C, Ве-В4С, Pd-B4C, W-B4C, Mo-Sr, Mo-Y и Be-Y), что подтверждено экспериментально-теоретическими исследованиями других авторов. Полученные результаты перспективны с точки зрения конструирования приборов высокого разрешения для рентгеновской спектроскопии солнца и других космических объектов, исследования физики плазмы.

Использование точных расчетных данных эффективности дает возможность резко сократить длительные и дорогостоящие экспериментальные исследования по ее измерению, проводимые в вакууме с рентгеновскими источниками излучения. Численное моделирование позволяет изготавливать решетки с эффективностью, близкой к теоретическому пределу, при значительно меньших временных и материальных затратах. Полученные результаты важны при конструировании эффективных спектральных приборов рентгеновского диапазона.

123 Заключение

1. М. Neviere, and J. Flamand. Electromagnetic theory as it applies to X-Ray and XUV gratings. Nucl. 1.strum. Methods, v.172,1980, p.273-279.

2. B.Vidal, P.Vincent, P.Dhez, and M.Neviere. Thin films and gratings: theories used to optimize the high reflectivity of mirrors and gratings for x-ray optics. Proc.SPIE v.563, 1985, p. 142-149.

3. M.Neviere and F.Montiel. Soft x-ray multilayer coated echelle gratings: electromagnetic and phenomenological study. JOS A A v. 13, 1996, p.811-818.

4. R.Petit, ed. Electromagnetic Theory of Gratings. Springer-Verlag, Berlin, 1980,286 p.

5. B.H. Kleemann, J.Gatzke, C.Jung, and B.Nelles. Design and efficiency characterization of diffraction gratings for application in synchrotron monochromators by electromagnetic methods and its comparison with measurement. Proc.SPIE v.3150,1997, p.137-147.

6. E. Spiller. Soft x-ray optics. SPIE Press, Bellingham,Washington, 1994,280 p.

7. B.L. Henke, E.M. Gullikson, J. Kerner, A.L. Oren, and B.L. Blake. Design and characterization of x-ray multilayer analyzers for the 50-1000 eV region. J.X-Ray Sci. and Tech. v.2, 1990 p.17-80.

8. G.W. Stroke. Diffraction gratings. Springer, Berlin, 1967, p.426-754.

9. Зимкина T.M., Фомичев В. А. Ультрамягкая рентгеновская спектроскопия. J1.: Изд-во ЛГУ, 1971, 132 с.

10. Шестопалов В.П., Литвиненко Л.Н., Масалов С.А., Сологуб В.Г. Дифракция волн на решетках. X.: Изд-во ХГУ, 1973, 288 с.

11. Пейсахсон И.В. Оптика спектральных приборов. Л.: Машиностроение, 1975, 312 с.

12. Зайдель А.Н., трейдер Е.Я. Вакуумная спектроскопия и ее применение. М.: Наука, 1976, 432 с.

13. М.С. Hutley. Diffraction gratings. Academic Press, London, 1982, 330 p.

14. Герасимов Ф.М., Яковлев Э.А. Дифракционные решетки. Современные тенденции в технике спектроскопии (ред. С.Г. Раутиан). Но-к: Наука, 1982, с.24-44.

15. Е. G. Loewen and Е. Popov. Diffraction Gratings and Applications. Marcel Dekker, New York, 1997,601 p.

16. Лукирский А.П., Савинов Е.П. Применение дифракционных решеток и эшеллетов в области ультрамягкого рентгеновского излучения. Опт. и спектр, т. 14, в.2, 1963, с.285-294.

17. Виноградов А.В., ред. Зеркальная рентгеновская оптика. JI.: Машиностроение, 1989, 464 с.

18. А. Мишетт. Оптика мягкого рентгеновского излучения. М.: Мир, 1989, 352 с.

19. Г. Шмаль, Д. Рудольф, ред. Рентгеновская оптика и микроскопия• М.: Мир, 1987, 451 с.

20. E.G. Loewen, М. Neviere, and D. Maystre. On an asymptotic theory of diffraction gratings used in the scalar domain. JOSA v.68,1978, p.496-502.

21. D. Maystre. Rigorous vector theories of diffraction gratings, in Progress in Optics XXI (E. Wolf, ed.), Elsevier Science Publishers B.V., 1984, p. 1-67.

22. M. Борн, Э. Вольф. Основы оптики. М. : Наука, 1973, 720 с.

23. Бреховских JI.M. Дифракция волн на неровной поверхности. ЖЭТФ т. 23, в.З, 1952, с.275-304.

24. Горай Л.И. Дифракционная эффективность светосильных вогнутых решеток с постоянным по всей апертуре профилем штрихов. -Голограммные оптические элементы и их применение в промышленности. Т-сь: Всес. семинара, Москва-Ленинград, 1987, с.55.

25. E.G. Loewen and М. Neviere. Simple selection rules for VUV and XUV diffraction gratings. Appl.Opt. v.17,1978, p.1087-1092.

26. D. Kolton and R. Kress. Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory. Springer, Berlin, 1992,305 p.

27. M. Neviere and E. Popov. Light Propagation in Periodic Media: Differential Theory and Design. Marcel Dekker, New York, 2002,410 p.

28. G. D. Smith. Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods. Oxford U. Press, Oxford, UK, 1985, 543 p.

29. M. Neviere, P. Vincent, et R. Petit. Sur la theorie du reseau cinducteur et ses applications a l'optique. Nouv. Rev. Opt. v.5, 1974, p.65 -77.

30. W. Jark and M. Neviere. Diffraction efficiencies for the higher orders of reflection grating in the soft x-ray region: comparison between theory and experiment. AppI.Opt.v.26, 1987, p.943-948.

31. Горай Jl.И., Савицкий Г.М. Голограммные рельефные решетки в рентгеновской оптике. Вопросы прикладной голографии. Тезисы Всесоюз. семинара-совещания, Тбилиси, 1989, с.20.

32. Горай Л.И., Савицкий Г.М. Дифракционные свойства решеток с блеском для рентгеновского диапазона. Тезисы X Всесоюз. симпозиума по дифракции и распространению волн, Винница, 1990, с.

33. Горай Л.И., Савицкий Г.М. Дифракционные свойства голограммных решеток ламельного профиля для рентгеновского диапазона. Тезисы VI Всесоюз. конференции по голографии, Витебск, 1990, с.33.

34. Горай 71.И., Савицкий Г.М. Дифракционные свойства высокочастотных решеток рентгеновского диапазона. Дифракционная оптика. Новые разработки в технологии и применение. Тосисы VI Всесоюз. семинара Казань-Москва, 1991, с.66-67.

35. L.I. Goray. Numerical analysis for relief gratings working in the soft X-ray and XUV region by the integral equation method. Proc.SPIE v.2278,1994, p. 168-172.

36. L.I. Goray. Non-scalar properties of high groove frequency gratings for soft X-ray and XUV regions: the integral equation method. Proc.SPIE v.2278,1994. p. 173-177.

37. L.I. Goray. Rigorous integral method in application to computing diffraction on relief gratings working in wavelength range from microwaves to X-ray. Proc.SPIE v.2532, 1995, p.427-433.

38. L.I. Goray. Modified integral method for weak convergence problems of light scattering on relief grating. Proc.SPIE v.4291,2001, p.1-12.

39. L.I. Goray and B.C. Chernov. Comparison of rigorous methods for X-ray and XUV grating diffraction analysis. Proc.SPIE v.2515, 1995, p.240-245.

40. L. Li. Formulation and comparison two recursive matrix algorithms for modeling layered diffraction gratings. JOSA A v.13,1996, p.1024-1035.

41. M. Neviere. Multilayer coated gratings for x-ray diffraction: differential theory. JOSA A v.8, 1991, p.1468-1473.

42. L.I. Goray and S.Yu. Sadov. Numerical modelling of nonconformal gratings by the modified integral method. Diffractive Optics&Micro-Optics. OS A Tech. digest, Wash. DC, 2002, p.41^J3.

43. L.I. Goray and S.Yu. Sadov. Numerical modelling of coated gratings in sensitive cases. OSA, TOPS v.75,2002, p.365-379.

44. I.Y. Yusupov, M.D. Mikhailov, R.R. Herke, L.I. Goray, S.B Mamedov, O.A. Yakovuk. Investigation of the arsenic sulphide films for relief-phase holograms. Proc.SPIE v. 1238, 1989, p.240-247.

45. M.P. Kowalski, J.F. Seely, L.I. Goray, W.R. Hunter, and J.C. Rife. Comparison of the calculated and the measured efficiencies of a normal-incidence grating in the 125-225-A wavelength range. Appl. Opt. v.36, 1997, p.8939-8943.

46. J.F. Seely, L.I. Goray, W.R. Hunter, and J.C. Rife. Thin-film interference effects of a normal-incidence grating in the 100-350-A wavelength region. Appl. Opt. v.38, 1999, p.1251-1258.

47. D. Content. Diffraction grating groove analysis used to predict efficiency and scatter performance. Proc.SPIE v.3778,1999, p. 19-30.

48. J.F. Seely, L.I. Goray. Normal incidence multilayer gratings for the extreme ultraviolet region: experimental measurements and computational modeling. Proc.SPIE v.3766, 1999, p.364-370.

49. J.F. Seely. Multilayer Grating for the Extreme Ultraviolet Spectrometer. Proc.SPIE v.4138,2000, p.174-181.

50. W.R. Hunter, M.P. Kowalski, J.C. Rife, and R.G. Gruddace. Investigation of the properties of an ion-etched plane laminar holographic grating. Appl.Opt. v. 40, 2001, p.6157-6165.

51. J.F. Seely, C. Montcalm, S. Baker, and S. Bajt. High efficiency MoRu/Be multilayer coated gratings operating near normal incidence in the 11.1-12.0-nm wavelength range. Appl.Opt. v.40,2001, p.5565-5574.

52. M. Neviere, J. Flamand, and J.M. Lerner. Optimization of gratings for soft X-ray monochromators. Nucl. Instrum. Methods v. 195, 1982, p. 183-189.

53. H.A. Podmore, V. Martynov, and K. Holis. The use of diffraction efficiency theory in the design of soft X-ray monochromators. Nucl. Instrum. Methods A v.347, 1994, p.206-215.

54. A.J.F. den Boggende, P.A.J, de Korte, P.H. Videler, A.C. Brinkman, S.M. Kahn, W.W. Craig, C.J. Hailey, and M. Neviere. Efficiency of x-ray reflection gratings. Proc.SPIE v.982, 1988, p.283-298.

55. L.I. Goray. Rigorous efficiency calculations for blazed gratings working in in- and off-plane mountings in the 5-50-A wavelengths range. Proc.SPIE 5168,2003, p.

56. P. Vincent, M. Neviere, and D. Maystre. X-ray gratings: the GMS mount. Appl.Opt. v. 18,1979, p. 1780-1783.

57. D. Content, P. Arsenovic, I. Kuznetsov, and T. Hadjimichael. Grating groove metrology and efficiency predictions from the soft x-ray to the far infrared. Proc.SPIE v.4485,2001, p. 405-416.

58. L.I. Goray and J.F. Seely. Efficiencies of master, replica, and multilayer gratings for the soft x-ray-EUV range: modeling based on the modified integral method and comparisons to measurements. Appl.Opt. v.41,2002, p.1434-1445.

59. X. Хенл, А. Мауэ, К. Вестпфаль. Теория дифракции. М.: Мир, 1964, 428 с.

60. Голубенко И. В. Численный анализ свойств голограммных отражательных решеток. Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. Л.: Гос. Опт. инст. им. С.И. Вавилова, 1987, 18 с.

61. Галишникова Г.Н., Ильинский А.С. Численные методы в задачах дифракции. М.: МГУ, 1987, 208 с.

62. A. Pomp. The integral method for coated gratings: computational cost. J. Mod. Opt. v.38, 1991, p.109-120.

63. B.H. Kleemann, A. Mitreiter, and F. Wyrovvski. Integral equation method with parametrization of grating profile: theory and experiments. J. Mod. Opt. v.43, 1996, p. 1323-1349.

64. Костин А.В. Рассеяние электромагнитных волн на одномерной неровной поверхности. Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. СПб.: Санкт-Петербургский гос. инст. точн. механ. и оптики, 1998, 14 с.

65. Е. Popov, В. Bozhkov, D. Maystre, and J. Hoose. Integral method for echelles covered with lossless or absorbing thin dielectric layers. Appl. Opt. v.38, p. 47-55, 1999.

66. M.A. Gilman, S.Yu. Sadov, A.S. Shamaev, and S.I. Shimaev. Computer simulation of the scattering of electromagnetic waves: some problems associated with remote radar sensing of the sear surface. J. Com. Tech. Electr. v.45,2000, p.s229 -s246.

67. M. Davidson, B.H. Kleemann, J. Bischoff. A comparison between rigorous light scattering methods. Proc.SPIE v.3051, 1997, p.606-619.

68. M. Ласло. Вычислительная геометрия и компьютерная графика на С++. М.: Бином, 1997, 304 с.

69. R.L. Johnson. Grazing incidence diffraction gratings. Nucl.Instr. Meth. v. 152, 1978, p.l 17-122.

70. P. Edward, ed. Handbook of optical constant of solids, II, III. Acad. Press Handbook Series, New York, 1985, 1991, and 1998.

71. D. Maystre. New general integral theory for dielectric coated gratings. JOS A v.68, 1978, p.490-495.

72. L.C. Botten. A new formalism for transmission gratings. Opt. Acta v.25, p.481-499.

73. D. Maystre. Electromagnetic study of photonic band gaps. Pur. Appl.Opt. v.3,1994, p.975-993.

74. A. Sammar and J.-M Andre. Diffraction of multilayer gratings and zone plates in the x-ray region using the Born approximation. JOSA A v. 10,1993, p.600-613.

75. Карпов С.Ю. Рассеяние ТЕ-поляризованного света глубокими диэлектрическими решетками. Рад. и Элек. т.29, в.9, 1984, с. 1683-1690.

76. L.I. Goray. Modified integral method and real electromagnetic properties of echelles. Proc.SPIE v.4291,2001, p. 13-24.

77. W. Jark. Enhancement of diffraction grating efficiencies in soft X-ray region by multi-layer coating. Opt. Commun. v.60,1986, p.201-205.

78. D. Maystre and R. Petit. Some recent results for gratings, application to their use in the very far ultraviolet region. Nouv. Rev. Opt. v.7,1976, p. 165-180.

79. M. Neviere and J. Flamand. XUV gratings contamination due to overlapping orders: a study through the electomagnetic theory. Ann. Isr. Phys. Soc. v.6, 1983, p.45-47.

80. A. Thevenon, J. Flamand, B. Touzet, and M. Neviere and. Toroidal holographic gratings: efficiency and optical configuration design problem for XUV instrumentation. Ann. Isr. Phys. Soc. v.6,1983, p.33-35.

81. J. Flamand, A. Thevenon, B. Touzet, and M. Neviere and. XUV laminar gratings efficiency comparison for monochromators and spectrograph configurations. Proc. VIII Int. VUV Con., 1986, p.33-35.

82. Савинов Е.П., Ляховская И.И., Ершов О.А., Ковалева Э.А. Графическое решение уравнений Френеля и вычисление оптических констант в ультрамягкой рентгеновской области спектра. Опт. и спектр, т.27, в.2, 1969, с.342-347.

83. Ершов О.А.,Брытов И.А., Лукирский А.П. Отражение рентгеновских лучей от некоторых веществ в области 7 + 44 А. Опт. и спектр, т.22, в.1, 1967, с. 127-134.

84. R.L. McEntaffer, W.C. Cash, A.F. Shipley. Off-plane gratings for Constellation-X. Proc. SPIE v.4851,2003, p.549-556.

85. Горай Л.И. Аберрации вогнутых дифракционных решеток, получаемых при изгибе кристаллов. Опт. и спектр, т.61, в.З, 1986, с.628-630.

86. Горай Л. И. Аберрации вогнутых деформированных дифракционных решеток с первоначально криволинейными неэквидистантными штрихами. Опт. и спектр, т.65, в.1, 1988, с. 184-187.

87. W.C. Cash. X-ray Optics 2: A Technique for High Resolution Spectroscopy. Appl. Opt. v.30, 1991, p. 1749-1759.

88. Горай Л.И. Способ изготовления вогнутой сферической поверхности.- АС СССР №1453251, 15.09.88, МКИ4 G 02 В 5/18.

89. Горай Л.И. Способ изготовления вогнутой дифракционной решетки.- АС СССР №1510562, 22.05.89, МКИ4 G 02 В 5/18.

90. Горай JI.И., Матвеев Б.А., Стусь Н.М., Талалакин Г.Н. и Ястребов С.Г. Способ изготовления вогнутой дифракционной решетки. АС СССР №1514120, 08.06.89, МКИ4 G 02 В 5/18.

91. Горай Л.И., Матвеев Б.А. и лстребов С.Г. Способ изготовления вогнутой дифракционной решетки. AC ССС? jNl'1568774, 01.02.90, МКИ4 G 02 В 5/18.

92. Интернет сайт: http://xmni.astro.columbia.alu.

93. S. Bajt. Molybdenum-ruthenium/beryllium multilayer coatings. J. Vac. Sci. Technol. A v.18, 2000, p.557-559.

94. B. Sae-Lao, S. Bajt, C. Moncalm, and J.F. Seely. Performance of normal-incidence molybdenum-yttrium multilayer-coated diffraction grating at a wavelength of 9 nm. Appl. Opt. v.41,2002, p.2394-2400.