Численный расчет напряжений в твердой фазе в процессе кристаллизации тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

л"

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ^

11

ОРДЕНА ЛЕНИНА СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ ПЩРОДИНАМКЗ! им. Ы. А.ЛАВРЕНТЬЕВА

На правах рукописи

Белова Ирина Вениаминовна

УДК 539.319:519.6

ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ НАПРЯДШИ В ТВЕРДОЙ ФАЗЕ В ПРОЦЕССЕ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат

.диссертации на соискание учено!; степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1990

Работа выполнена в Ордена Трудового Красного Знамени Институте гидродинамики им. 1.1. Л.Лаврентьева СО АН СССР

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

профессор В.В.Пухначев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Т.А.Черепанова

кандидат физико-математических наук С.Н.Коробейников

Ведущая организация - Государственный научно-исследовательский и проектный Институт редкометаллической промышленности

Защита состоится " " 1990 г. в час.

на заседании специализированного совета К 002.55.01 в Институте гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО АН СССР (630090, Новосибирск 90, просп. акад. Лаврентьева, 15)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО АН СССР

Автореферат разослан " " 1990 г.

Ученый секретарь

специализированного совета К 002.55.01 кандидат физико-математических наук

Ю.М.Волчков.

■ '......и»

в

Х«рТйЦИЙ>_

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

процессах кристаллизации как чистого вещества, так и ШшарнЗго расплава в твердой фазе возникают упругие напряжения. Они возникают из-за неоднородного температурного.поля, неоднородного распределения растворенного вещества, а также из-за изменения плотности материала при затвердевании в том случае, когда расплав не имеет свободной границы и контактирует только с твердой фазой. Оценка величины термоупругих напряжении служит основой для определения безопасного решила охлаждения, а также для анализа условий образования и характера распределения дислокаций. Напряжения, обусловленные усадкой материала, могут также значительно влиять на движение фронта кристаллизации.

В диссертации рассматриваются задачи, связанные с математическим моделированием процессов бестигельной зонной плавки, направленной кристаллизации в ампуле, а также кристаллизации шара в предположении сферической симметричности процесса. Предполагается, что кристаллизация происходит при отсутсвии силы тяжести. Численные расчеты выявили ряд особенностей, связанных с качественным поведением решений этих задач.

В диссертации рассматривались задачи типа несвязанной квазистатической задачи термоупругости, в которых для определения поля температур решались задачи типа задачи Стефана. В случае направленной кристаллизации определялось распределение концентрации примеси в получаемом монокристаллическом образце. Численные расчеты проводились методами конечных разностей и конечных элементов.

Основными в диссертации являются следующие результаты, которые получены автором впервые:

1) исследовано напряженное состояние в кристаллах в процессе- бестигельной зонной плавки в зависимости от тепловых характеристик процесса и физических характеристик материала;

2) исследовано распределение примеси и упругих напряжений в процессе направленной кристаллизации с целью анализа структуры получаемого кристалла;

3) проведено исследование устойчивости плоского фронта кристаллизации с учетом напряжений в твердой фазе;

4) численно исследован процесс кристаллизации шара в невесомости. Показано значительное влияние упруго-пластических напряжений на продвижение фронта кристаллизации и, следовательно, на характеристики процесса.

Результаты работы могут быть использованы-при решении ряда прикладных задач, связанных с подготовкой экспериментов по кристаллизации, а также в дальнейших исследованиях более общих моделей, описывающих эти процессы.

Результаты работы докладывались на 3 и 4 Всесоюзных семинарах по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости (пос. Черноголовка, 1984 г., г. Новосибирск, 1987 г.), на 2 и 3 Всесоюзных конференциях по моделированию роста кристаллов (г. Рига, 1987 г., 1990 г.), на конференции по численному моделированию процессов получения новых материалов (г. Рига, 1989 г.), на семинарах Института гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО АН СССР и в Новосибирском государственном университете под руко-. водством проф. В.В.Пухначева, проф. О.В.Соснина, проф. A.M. Мейрманова.

Диссертация состоит из введения и двух глав, изложена на 99 страницах машинописного текста, .содержит список литературы из 55 наименований, 31 рисунок и I таблицу.

Основные результаты, диссертации опубликованы в работах автора [I] - [б].

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан рбзор исследований по теме диссертации. ■ Приведена основная полная постановка для рассматриваемых задач и сформулированы основные результаты работы.

Для исследования процессов кристаллизации рассматривалась математическая модель, описывающая двухфазную среду, в которой фазовое превращение кристаллизации локализовано по поверхности, называемой фронтом кристаллизации. Пусть среда занимает односвязную область I). = Sls Uflz . При этом - область, занятая твердой фазой, Х24 - область жидкой фазы. Обозначим П - поверхность фазового перехода, /J , Г2 - свободные поверхности фаз.

Система уравнений, описывающих процесс кристаллизации в общем случае (расплав содержит примесь) следующая. В области жидкой фазы Л2 выполняются уравнения:

% + ъ.7тг--хг*тг ; (I)

?Сг ^ Л (2)

Здесь Тг , С^ , - соответственно температура, концентрация примеси и вектор скорости в жидкой фазе. ~х »Я, - коэффициенты температуропроводности и диффузии. В случае, когда рассматривался процесс направленной кристаллизации,поле скоростей считалось известным, соответствующим рассчитанному в предыдущих работах. При рассмотрении других процессов предполагалось, что конвекция в расплаве отсутствует ( = О ).

В твердой фазе для распределения температуры и кон-

центрации рассматривались следующие уравнения:

^ + А ¿£ее _ а ¿С, _ - . (3)

где Т1 , С1 , <£•- - соответственно температура, концентрация и компоненты тензора деформаций. , - коэффициенты температуропроводности и диффузии. 4{ > > > Н{ - константы, зависящие от характеристик материала. По повторяющимся индексам производится суммирование.

Задача упругости в твердой фазе формулируется следующим образом. Во всей области выполняются уравнения равнове-

сия:

где б^- - компоненты тензора напряжений, связанные с компонентами тензора деформаций следующим образом:

(6)

Е , \> - модуль Юнга и коэффициент Пуассона, полученные из общей матрицы коэффициентов иескости (т.к. кристаллы являются анизотропными материалами) с помощью усреднения по Фогту^.

На границе фазового перехода Л ставятся следующие условия:

(%г-Ъ„)(С,-Сл)* /^ % 7С£ - Я, ?СЛ -

л,

(7)

(8)

Здесь $ , ^ - соответственно плотности твердой и жидкой фаз.

А - скрытая теплота плавления. И , £>„ - соответственно нормаль к фронту, направленная в расплав, и нормальная составляющая к фронту скорости движения фронта. - нормальная составляющая вектора напряжений в твердой фазе на фронте, у. -вектор потока тепла. Квадратные скобки обозначают скачок величины, заключенной в скобки, при переходе через границу раздела

Хантингтон Г. Упругие постоянные кристаллов. - Успехи физ. наук, 1961, т. 74, Га 3., с. 461-520.

из твердой в жщщую фазу.

На границе раздела также выполняются условие дистрибутивности для примеси и линеаризованное условие зависимости температуры кристаллизации от концентрации примеси у фронта

; • (в)

На внешних границах , /]_ твердой и жидкой фазы ставятся соответствующие граничные условия для температуры и концентрации и в твердой фазе на Г1 для напряжений или перемещений.

В первой главе основное внимание уделено численным исследованиям математических моделей процессов бестигельной зонной плавки и направленной кристаллизации в ампуле в условиях отсутствия силы тяжести. Задачи исследовались в осесимметричном случае. Процесс бестигельной зонной плавки схематично приведен на рис. I. Рассматривался установившейся процесс кристаллизации чистого вещества ( С1- С1 - О ). Поэтому задача исследовалась в стационарной постановке. Предполагается также, что отсутствуют массовые силы. Теплообмен с боковой поверхности осуществляется путем излучения. Сначала рассчитывалось поле температур в образце и форма фронта кристаллизации. При этом определялась форма боковой свободной поверхности расплава. Краевой угол, образуемый касательной к осевому профилю этой поверхности и горизонтом, задавался соответствующим углу роста, что в реальном процессе обеспечивает получение слитка постоянного радиуса.

Одномерная задача теплопроводности для бестигельной зонной плавки исследовалась Дональдом К., осесгалметричная - решалась Кобаяши Н. и Анисютиным Б.М. В данной работе использовался метод конечных элементов. Результаты расчетом поля температур! для различных мощностей и фокусировок нагревателя приведены в § 2 первой главы. Материальные константы соответствовали кремнию.

Расчет термоупругих напряжений также проводился методом конечных элементов на том же разбиении области на элементы, что и для задачи теплопроводнсоти с учетом полученного искривленного фронта кристаллизации. Использовался вычислительный

комплекс, разработанный в работе Коробейникова С.Н.1^ Результаты расчетов изложены в § 3 первой главы. Установлена зависимость характера возникновения областей пластической деформации от кривизны фронта кристаллизации.

В § 4 первой главы рассматривается процесс направленной кристаллизации вещества с примесью. В этом процессе возможности для управления температурным полем более широкие. Можно считать, что фронт поддерживается плоским, а тепловые напряжения не вызывают пластических деформации в течение кристаллизации. Основной интерес тогда представляет распределение концентрации примеси в слитке, а также напряжения, вызванные его неоднородностью. Первая часть задачи решалась методом, предложенным в работе [3]. Из рассмотрения характерных величин процесса следует, что для получения распределения концентрации можно решать квазистационарную задачу, в которую время будет входить в качестве параметра. Как отмечалось выше, распределение скоростей в расплаве считается известны!,1. Для распределения концентрации выделялся диффузионный пограничный слой, прилегающий к фронту, толщина которого много меньше гидродинамического погранслоя. Затем для каждого момента времени определялось распределение концентрации примеси у фронта в расплаве. В предположении, что диффузия в твердой фазе отсутствует, было получено распределение концентрации примеси во всем слитке.

Для определения напряжений решается задача упругости. Закон, связывающий напряжения и деформации принимался следующего вида:

Результаты расчетов представлены в § 5 первой главы. Расчеты проводились с условиями жесткого закрепления верхнего торца кристалла, закрепления по радиусу боковой поверхности и свободным нижним торцом, а также при условии свободной от напряжений

Коробейников С.Н. Многоцелевая вычислительная программа по решению задач линейной теории упругости. - Динамика сплошной среды: Сб. научн. тр. /Ин-т гидродинамики СО АН СССР, вып. 75, 1986, с. 78-89.

всей внешней поверхности слитка. В первом случае для величины средней концентрации примеси в кристалле С° - {О'* (основное вещество - герланий, примесь - галлий) возникают две узкие зоны пластических деформаций в слитке вдоль радиуса и вдоль боковой поверхности и обширная область у нижнего торца. Это указывает на необходимость исследований полей напряжений, вызываемых наряду с неоднородностью поля температур также и неоднородностью распределения концентрации при кристаллизации вещества с примесью.

В заключительном, шестом параграфе первой главы исследуется вопрос об устойчивости плоского фронта кристаллизации, движущегося с постоянной скоростью, с учетом напряженного состояния твердой фазы, аналогично исследованиям, проведенным в работах Р/1аллинза В. и Секерки Р., Бадратиновой Л.Г. В последней работе было указано на необходимость учитывать изменение плотности при кристаллизации. В диссертации этот вопрос был исследован более детально. Было показано, что для материалов, у которых плотность твердой фазы меньше плотности жидкой, для устойчивости фронта возникают дополнительные условия на скорость кристаллизации.

Во второй главе, содержащей шесть параграфов, рассматривается одномерная задача о кристаллизации шара в невесомости. В экспериментах по кристаллизации жидких сфер из меди, серебра, германия в невесомости получались образцы со сложной структурой. Это вызывает необходимость математического моделирования процесса кристаллизации шара.

Процесс кристаллизации шара изучался в предположении сферической симметрии, а также предполагается несжимаемость материала. Целью являлось выяснение влияния упругих напряжений на движение и скорость движения фронта кристаллизации для модифицированных задач.

Наиболее полная постановка связанной термоупругодиффузион-ной задачи приводится в первом параграфе.второй главы. При этом задача упругости решается в стационарной постановке, поскольку изменение температурного поля в процессе кристаллизации является достаточно медленным. Исследования аналитического решения для напряжений показывают, что предел текучести дости-

гается уже при продвижении фронта на 20$ от первоначального радиуса (использовалось условие текучести в форме Низеса). При продвижении фронта на расстояние примерно половины от первоначального радиуса вся твердая фаза переходит в пластическое состояние.

В § 5 второй главы приведены результаты численного расчета, которые проводились для чисто тепловой задачи о кристаллизации вещества без примеси и для общей термодиффузионной задачи с учетом напряжений, возникающих в твердой фазе. В обоих случаях получалось существежое замедление фронта по сравнению с классической задачей.

Первая задача численно решалась для значении параметров, соответствовавших кремнию, германию, меди (в варианте для меди наблвдалось существенное различие в характеристиках процесса, так как у полупроводниковых материалов при кристаллизации происходит уменьшение плотности, а у металлов, наоборот, увеличение). Скорость продвижения фронта при приближении его к центру шара стремится к нулю, в то время как в классической задаче скорость по абсолютной величине монтонно возрастает. В § 6 для модельной однофазной задачи доказано, что при выполнении некоторых условий на входные данные задачи не существует конечного времени, за которое шар полностью закристаллизуется. Окончание численного счета, определялось условием: 3 = /О'3 ( Я„ = I см), - начальный радиус сферы. В этом смысле время кристаллизации увеличилось примерно в 2 - 3 раза по сравнению с классическим вариантом.

Более общая термодиффузионная задача рассмотрена для случая, когда основное вещество - германий, примесь - галлий. При решении использовалась перестраиваемая по вычисляемому положению границы раздела фаз пространственная сетка. Шаг по времени выбирался в зависимости от скорости движения границы раздела. Время кристаллизации по сравнению с классической задачей увеличивалось в 2 - 3 раза, скорость продвижения фронта -замедлялась. Особенностью этой задачи является возникновение диффузионных пограничных слоев вблизи фронта кристаллизации, что также приводит к замедлению фронта.

выводу

1. Численно исследовано влияние температурного решила на напряденное состояние получаемых в процессе бестигельной зонной плавки кристаллов. Температурный режим определяет формы свободной боковой поверхности расплава и фронтов плавленая и кристаллизации. Выяснено существенное влияние кривизны фронта на поле напряжений вблизи него в кристалле. Установлено, что при хорошо сфокусированноем нагреве образца для получения более совершенной структуры необходимо значительно•увеличить мощность нагревателя по сравнению с мощностью, необходимой для проплавления зоны.

2. Йа примере процесса направленной кристаллизации изучено распределение напряжений, вызванных неоднородным полем концентрации примеси. Показано, что оно может значительно влиять на структуру получаемого кристалла.

3. Изучена устойчивость плоского фронта кристаллизации движущегося с постоянной скоростью с учетом напряженного состояния твердой фазы. В случае, когда $ > §2 результаты полностью совпадают с результата™ исследования аналогичной задачи без учета напряжений в твердой фазе. В случае, когда

£ < д^ для устойчивости фронта возникают некоторые условия на скорость движения фронта.

4. Численно и аналитически исследован процесс кристаллизации шара в невесомости. Рассматривался как процесс кристаллизации чистого вещества, так и кристаллизация бинарного сплава. Изменение плотности при кристаллизации приводит к возникновению значительных напряжений в твердой фазе. При продвижении фронта в кристалле возникает область пластических деформаций, что ведет к изменению структуры сплавов. Условие сохранения энергии на границе раздела фаз изучалось в точной постановке. Получено, что значительные напряжения в твердой фазе ведут к увеличению эффективной скрытой теплоты кристаллизации. А это в свою очередь, существенно замедляет движение фронта.

Автор выражает искреннюю благодарность профессору В.В.Пух-начеву за руководство, постоянное внимание и помощь в работе.

Публикации по теме диссертации:

1. Белова К.В., Овсянникова А.Л. Анализ влияния термоупругих напряжений на процесс кристаллизации шара в невесомости // IE.fTQ. - I9S5. - Га 5. - С. II7-I22.

2. Белова И.В., Леонтьев H.A. Численное моделирование перераспределения легирующей добавки при кристаллизации шара с учетом термоупругих напряжений // Тр. П Всесоюзн. конф. "Моделирование роста кристаллов". - Рига, 1990. - С. 30-38.

3. Белова И.В., Кузнецов В.В. Расчет концентрации примеси при направленной кристаллизации в отсутствие силы тяжести // Динамика сплошной среда. - Новосибирск, 1983. - Вып. 63. -

С. I07-112.

4. Белова II.В. К вопросу об устойчивости плоского фронта кристаллизации, движущегося с постоянной скоростью // Динамика сплошной среды. - Новосибирск, 1989. - Вып. 89. - С. 83-91.

5. Белова И.В. Расчет температуры и термоупругих напряжений в монокристаллах при бестигельной зонной плавке // Штема-тическое моделирование. Прикладные задачи математической физики. - Рига: ЛГУ, 1990. -CM-Z3.

6. Белова И.В. Расчет напряжений, вызванных неравномерны!,i распределение примеси при направленной кристаллизации в отсутствие силы тяжести // Динамика сплошной среда. - Новосибирск, 1990. - Вып. 96.

fe

к-

Рис. I.

a r

Рис. 2.