Деформация квантовых статистик тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Г 5 > '••

г 5 м? ^

АНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ИЛЬИНСКАЯ Александра Владимировна

ДЕФОРМАЦИИ КВАНТОВЫХ СТАТИСТИК

специальность 01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1996

и

Работа выполнена на кафедре квантовой механики физического факультета Санкт-Петербургского Государственного Университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор физико-математических наук, профессор Юрий Николаевич ДЕМКОВ

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук, Николай Валентинович БОРИСОВ, кандидат физико-математических наук, Сергей Андреевич КТИТОРОВ.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Российский государственный педагогический университет им. А.И.Герцена.

Защита состоится ".М" ..Л^^ЯЬ/........... 199.6. года в

.Ы. часов на заседании специализированного совета К.063.57.17 по присуждению степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском Государственном Университете по адресу:

199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. М.Горького Санкт-Петербургского Государственного Университета. Автореферат разослан

.......... 199:6! года.

Ученый секретарь специализированного совета

С.Н.Манида

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Хорошо известно, какое большое влияние оказывает статистика частиц в системе на ее макроскопические свойства.

В теории частиц допускается лишь две принципиально различные статистики: Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака, что диктуется теоремой о связи спина и статистики [1]. Иначе обстоит дело в физике твердого тела. Твердотельные системы являются исключительно сложными и поэтому допускают лишь приближенное описание. Обычно такое описание строится на основе применения квазичастичного метода. Этот метод состоит в выделении низколежащих возбужденных уровней и описания их как уровней возбуяедения некоторых новых квазичастиц. При этом природа и, в частности, статистика этих частиц может не подчинятся теореме о связи спина и статистики и давать примеры систем с экзотической квантовой статистикой. Кроме того, в последнее десятилетие было понято, что существуют модели, в которых межчастичные силы могут быть рассмотрены как силы, возникающие чисто благодаря статистике частиц. Наиболее известные примеры таких моделей это:

1. Частицы, взаимодействующие посредством потенциала Ааро-нова-Бома. Такая система может быть рассмотрена как система свободных анионов — частиц с экзотической квантовой статистикой [2].

2. Все одномерные модели, решаемые с помощью термодинамического Бете-анзаца [3—5].

Таким образом построение промежуточных статистик и изучение свойств систем частиц, подчиняющихся этим статистикам представляет как теоретический так и прикладной интерес.

Существует два направления, по которым можно строить де-

формированные квантовые статистики. Первое из них — обобщение принципа Паули, т.е. деформация exclusion статистики. Примерами таких статистик являются парастатистика и бурно развивающийся в последние несколько лет вариант exclusion статистики, предложенный Халдейном (HES). Все одномерные модели, точнорешаемые с помощью Бете-анзаца, могут быть рассмотрены как модели невзаимодействующего газа частиц, подчиняющихся HES. При этом существуют два определения HES и представляет интерес более подробное изучение каяедого из них и вопрос об их согласованности.

Вторым направлением построения промежуточных статистик является деформация перестановочных соотношений для операторов рождения и уничтожения частиц различных сортов, т.е. деформация exchange статистики. Наиболее известным примером здесь являются паулионы, частицы, которые ведут себя как бозоны на разных узлах и как фермионы на одном узле. Паулионы находят применение в теории магнетиков, в квантовой оптике молекулярных кристаллов (как известно, экситоны Френкеля, являющиеся паулионами [6], описывают элементарные возбуя^це-ния молекулярного кристалла) в моделях адсорбционных процессов диффузионной релаксации [7], при рассмотрении дефектов в квантовых кристаллах (статистика дефектонов также оказывается паулионной статистикой [8]). Таким образом, изучение поведения систем паулионов представляет большой практический интерес.

Цель работы.

1. Построение всех возможных, линейных по параметру деформации exclusion статистик, определяемых с помощью выражения для числа многочастичных состояний системы и исследование термодинамических свойств систем частиц, подчиняющихся таким статистикам.

2. Последовательное рассмотрение вопроса о вычислении размерности пространства состояний систем частиц, подчиняющихся HES, определенной через понятие размерности Халдейна (HD) и, с помощью этого, исследование термодинамических свойств рассматриваемых систем и построение операторов рождения и уничтожения д-онов.

3. Рассмотрение частного примера системы частиц с деформиро-

и 1 и О <1 • *

ванной exchange статистикои: одномерной замкнутой паулионнои цепочки, эквивалентой одномерной циклической XY-модели.

Положения, выносимые на защиту.

1. Построение обобщения HES, дающее все возможные, линейные по параметру деформации exclusion статистики.

2. Рассмотрение понятия размерности Халдейна в вероятностном аспекте, позволившее преодолеть трудности, связанные с дробной размерностью пространства состояний, и построить операторы рождения и уничтожения д-онов.

3. Построение обобщения преобразования Аграновича-Тошича, позволяющее выражать операторы рождения и уничтожения тран-кированных бозонов любого ранга через соответствующие операторы обычных бозонов и построение на его основе континуально-интегрального представления термодинамических величин системы взаимодействующих ¿г-онов.

4. Точное вычисление временных корреляторов для одномерной циклической XY-модели при конечных температурах.

Научная новизна работы. Следующие результаты являются новыми:

1. Обобщение HES в терминах выражения для числа многочастичных состояний, дающее все возможные линейные по параметру деформации exclusion статистики.

2. Рассмотрение понятия размерности Халдейна (HD) и соответ-

ствующей статистики в вероятностном аспекте, построение операторов роэадения и уничтожения для рассматриваемых вероятностных (/-ОНОВ.

3. Построение континуально-интегрального представления термодинамических величин модельной системы взаимодействующих д-онов достаточно общего вида, не требующее наложения связей.

4. Точные выражения для временных одночастичных корреляторов одномерной циклической ХУ-модели при конечных температурах.

Научная и практическая ценность работы. Статистики, полученные в работе, путем обобщения статистики Халдейна, могут быть использованы при рассмотрении различных систем анионов. Кроме того, возможно появление таких статистик при описании слоистых систем.

Рассмотрение НЕЯ в вероятностном аспекте и, разработанный на основе этого, формализм вторичного квантования дает возможность конструировать гамильтонианы систем взаимодействующих (7-онов.

Построенное в работе континуально-интегральное представление термодинамических величин модельной системы взаимодействующих <7-онов позволяет строить диаграммную технику для систем д-онов. Обобщение этого представления может применяться при описании систем с большим значением спина или моделей типа модели Хаббарда.

Найденные в работе точные выражения для временных одночастичных корреляторов одномерной циклической ХУ-модели при конечных температурах позволяют вычислять различные физические характеристики систем невзаимодействующих замкнутых молекулярных цепочек, так называемых .Т-агрегатов, и, в

частности, функцию линейного отклика. Предложенный метод можно использовать для исследования нелинейного отклика рассмотренной системы с помощью более сложных корреляторов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научных семинарах Университета Бирмингема (Великобритания), на научном семинаре в King's College (Лондон, Великобритания), на конференции "Condensed Matter and Matériel Physics", CMMP-94 (Уорик, Великобритания 1994), CMMP-95 (Ливерпуль, Великобритания 1995) и на конференции " Supersymmetries and Quantum Symmetries" (Дубна 1995).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах (1-4).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка использованной литературы. Общий объем работы — 128 страниц, 6 рисунков, библиография — 49 наименований.

ОБЩЕЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении дан обзор ранее известных результатов, имеющих отношение к теме диссертации, обоснована актуальность работы, сформулированы цели и основные результаты работы и их связь с результатами, полученными другими авторами. Кратко изложена структура и содержание работы. Особое внимание уделено определению exclusion и exchange статистик и рассмотрению различных примеров.

Особенно подробно рассмотрено во Введении понятие exclusion статистики Халдейна (HES), которое является предметом изучения первых двух глав работы. В статье [3] HES определяется

двумя различными способами. Приведем сначала один из них, для простоты рассматривая только один вид частиц.

Рассмотрим систему конечного размера, в которой число независимых одночастичных состояний, К, конечно и пропорционально размеру системы. Тогда статистика определяется изменениями, возникающими при добавлении второй (и следующих) частиц, оставляя без изменений координаты всех частиц и внешние характеристики системы (размер и др.). В общем случае ТУ-частичная волновая функция при фиксированных координатах N — 1 частиц может быть разложена в базисе волновых функции последней, /"/-той, частицы. Важно, что в присутствии N — 1 частиц в системе число допустимых одночастичных состояний с/(Лг) в общем случае не равно К, а может зависеть от числа /V — 1. Для определения НЕБ необходимы два условия однородности:

1. Независимость ¿/(Аг) от конкретного выбора состояния N — 1 частицы

¿(Ж + щ) - ¿(Ар

2. Независимость —- от т

т

При выполнении этих условий статистический параметр НЕБ определяется как

т

для любых N и т ъ системе. Применение (1) к случаям идеального Бозе- и Ферми-газа дает д = О для случая бозонов (т.е. число ¿(И) не зависит от Ы) и д = 1 для случая фермионов (т.е. в присутствии N — 1 частиц ТУ-тая частица может занять К — N + 1 состояний и, следовательно, с1(АТ) = К — N + 1).

В той же работе [3] Халдейном был предложен другой вариант определения статистики через выражение для размерности ЛГ-частичного подпространства пространства состояний:

(Л(Л0 + ЛГ-1)!

да) -1)!(ЛГ)! ' 1;

которое тоже при д = 1 сводится к фермионному выражению, а при д = 0 — к бозонному. Величина d(N), описанная выше, убывает линейно по д с ростом N (в соответствии с (1) d(N) = К — g{N — 1)). Благодаря тому, что формула (2) кажется предельно естественной, в исходной статье доказательство эквивалентности двух определений отсутствует.

На самом деле, как показано во Введении, следуя работе [9] формулы (1) и (2) не согласуются друг с другом и представляют собой два различных определения HES.

В первой главе рассматривается определение HES через процедуру вычисления числа состояний (2), которое обобщается на описание всех возможных типов exclusion статистик, линейных по параметру деформации д. Построенные статистики параметризуются элементами симметрической группы частиц в системе. Для нескольких частных случаев найдены функции распределения, обобщающие результаты, полученные By [10]. С их использованием анализируется низкотемпературное поведение и термодинамические свойства рассматриваемых систем. Полученные результаты сравниваются с предыдущими рассмотрениями термодинамики газа д-онов. Обсуждаются различные примеры применения изученных конструкций к конкретным физическим системам.

Вторая глава посвящена рассмотрению понятия размерности Халдейна (HD) d(N) и соответствующей статистики в вероятностном аспекте. Размерность пространства определяется как след диагонального оператора, для которого диагональные матричные элементы в общем случае не равны единице, а являются вероятностями нахождения системы в данном состоянии. Эти вероятности определяются правилами HES, определенной через понятие HD (1). Сосчитан второй вириальный коэффициент для рассматриваемой системы, согласующийся с аналогичными вы-

числениями Мурфи и Шанкара [11]. Исследованы статистическая сумма идеального газа рассматриваемых вероятностных донов, процедура вычисления числа состояний, энтропия и функция распределения. Результаты сравниваются с аналогичными вычислениями других авторов. Вводятся операторы рождения и уничтожения для вероятностных д-онов, с их помощью конструируются гамильтонианы систем взаимодействующих д-онов. Рассматривается вопрос о Бозе-конденсации в системе д-оноъ с учетом перескоков мея^цу различными узлами.

С помощью введенных в Главе 2 операторов рояедения и уничтожения можно рассматривать различные варианты построения модельных гамильтонианов для систем взаимодействующих донов. Один из них (достаточно общего вида) рассмотрен в Приложении 1 для описания системы транкированных осцилляторов, операторы рождения и уничтожения которых, как показано во второй главе, непосредственно связаны с соответствующими операторами для д-онов. В приложении предложено обобщение представления операторов рождения-уничтожения паули-онов (которые являются простейшим примером транкированных осцилляторов) в терминах бозоыных операторов, описываемого преобразованием Аграновича-Тошича [12], на случай транкированных осцилляторов более высокого ранга. Это обобщение используется для бозонного описания систем транкированных осцилляторов. Строится континуально-интегральное представление термодинамических величин рассматриваемой системы, не требующее наложения каких бы то ни было связей.

Третья глава посвящена изучению одномерной циклической XY-цепочки. Как отмечалось выше, спиновые цепочки являются простейшим (но не тривиальным) точнорешаемым примером деформированной exchange статистики. С другой стороны, как

показано в Приложении 2, такая система (несмотря на одномерность) имеет непосредственное отношение к описанию молекулярных кристаллов. Известно, что Френкелевские экситоны, элементарные возбуждения молекулярных кристаллов, являются паули-онами, т.е. частицами с exchange статистикой. В Приложении 2 показано, что описание молекулярных агрегатов, т.е. одномерных замкнутых молекулярных цепочек, может быть проведено в терминах гамильтониана, выраженного через паулионные операторы и эквивалентного рассмотренному в Главе 3 гамильтониану XY-модели. В главе получены точные выражения для временных одночастичных корреляционных функций при конечных температурах, которые позволяют вычислять различные физические характеристики молекулярных линейных агрегатов.

Основные результаты работы и их возможные приложения описаны в Заключении.

Основные результаты диссертации изложены в следующих публикациях:

1. A.V.Uinskaia, K.N.Ilinski, J.M.F.Gunn, A generalization of Haldane state-counting procedure and ir-deformations of statistics, Nuci.Phys. В 458 (1996) p.562-578;

2. K.N.Ilinski, G.M.F.Gunn, A.V.Uinskaia, Fractional dimensional Hilbert space, second quantization and dynamical interaction for particles with Halsane's exclusion statistics, Phys.Rev. В 53, N 5 (1996) p.53;

3. A.V.Uinskaia and K.N.Ilinski, Generalization of Agranovich-Toshich transformation and constraint free bosonic representation for systems of truncated oscillators, J.Phys.A. 29, N 2 (1996), L23-L29;

4. A.V.Uinskaia, K.N.Ilinski, G.V.Kalinm, V.V.Melezhik and A.S.Ste-panenko, Exact results on linear response of cyclic molecular aggregates, Preprint СOND-MAT/9509040.

ЛИТЕРАТУРА.

[1] В.Б.Берестецкий, Е.М.Лифшиц, Л.П.Питаевский, Квантовая электродинамика, Москва, "Наука", 1989;

[2] F.Wilczek, Phys.Rev.Lett. 48 1144 (1982); 49 957 (1982);

A.Lerda, 'AnyonsSpringer-Verlag (1992);

[3] F.D.M.Haldane, Phys.Rev.Lett. 67, 937 (1991);

[4] D.Bernard and Y.S.Wu, Preprint SPhT-94-043, UU-HEP /94-03;

[5] Z.N.Ha, Preprint IASSNS-HEP-94/27 (1994); Preprint IASSNS-HEP-94/90 (1994);

[6] В.М.Агранович, ЖЭТФ 37, 430 (1959);

B.М.Агранович, Теория экситонов, Москва, "Наука", 1968;

[7] M.D.Grynberg, R.B.Stinchcomb, Phys.Rev.Lett. 74, 1242 (1995);

[8] Д.И.Пушкаров, Лефектоны в кристаллах. Метод квазичастиц в квантовой теории дефектное, Москва, "Наука", 1993;

[9] K.N.Ilinski and J.M.F.Gunn, Preprint hep-th 9403233;

[10] Y.S.Wu, Phys.Rev.Lett 73, 922 (1994);

[11] M.V.N.Murthy and R.Shankar, Preprint IMSc-94/01 (1994); Phys. Rev. Lett. 72, 3629 (1994);

[12] В.М.Агранович, Б.С.Тошич, ЖЭТФ 53, 149 (1967).