Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение

1 Математическое моделирование нелинейного деформирования тел с кристаллической структурой

1.1 Введение.

1.1.1 Кристаллическая решетка.

1.1.2 Основные предположения.

1.1.3 Межатомные силы.

1.1.4 Обозначения векторных и тензорных величин.

12 Описание кристаллической упаковки частиц в рамках линейной теории упругости.

1.2.1 Обозначения.

1.2.2 Уравнения динамики.

1.2.3 Соотношения упругости.

1.2.4 Переход к уравнениям сплошной среды.

1.3 Нелинейно-упругое деформирование кристаллической упаковки частиц

1.3.1 Предварительные замечания.

1.3.2 Обозначения.

1.3.3 Уравнение статики в форме Пиола.

1.3.4 Уравнение статики в форме Коши.

1.3.5 Различные формы тензоров напряжений.

1.3.6 Связь тензора напряжений с деформацией сплошной среды

1.3.7 Линейная теория.

1.3.8 Физически линейный материал.

1.3.9 Физически линейный материал при малых деформациях.

1.4 Поликристаллические упаковки — выделение изотропной части нелинейных соотношений упругости.

1.4.1 Обозначения и определения.

1.4.2 Представление определяющих уравнений в виде ряда.

1.4.3 Изотропные абсолютно симметричные тензоры.

1.4.4 Представление свертки Knie) через степенные инварианты тензора |

1.4.5 Производящая функция.

1.4.6 Представление свертки Кп{е) через главные инварианты тензора Е

1.4.7 Итоги.

1.5 Учет хаотической составляющей движения частиц.

1.5.1 Уравнения движения.

1.5.2 Разделение движений.

1.5.3 Осреднение уравнений движения.

1.5.4 Осредненные энергетические характеристики.

1.5.5 Баланс энергии.

1.5.6 Связь микроскопических и макроскопических величии.

1.5.7 Вириальное преобразование.

1.5.8 Определяющие уравнения для давления и тепловой энергии

1.5.9 Адиабатическое приближение.

1.5.10 Первое приближение по тепловому параметру.

1.5.11 Уточнение уравнения состояния для случая сильного растяжения

1.5.12 Второе приближение по тепловому параметру.

1.5.13 Линеаризация уравнения движения для случая малых деформаций

1.5.14 Дополнение: вывод макроскопических уравнений баланса

1.5.15 Дополнение: поток энергии.

2 Неклассические модели тел с усложненными свойствами

2.1 Влияние масштабного фактора на механические свойства модели. Приложение к механике наноразмерных объектов.

2.1.1 Введение.

2.1.2 Определение модулей упругости.

2.1.3 Энергия деформирования.

2.1.4 Учет атомов второй координационной сферы.

2.1.5 Обсуждение.

2.2 Использование модели твердого тела в качестве частицы.

2.2.1 Введение.

2.2.2 Векторный аналог динамических уравнений Эйлера.

2.2.3 Динамические переменные.

2.2.4 Дифференциальные уравнения для векторных динамических переменных

2.2.5 Дифференциальные уравнения для скалярных динамических переменных

2.2.6 Описание движения, основанное на векторах кинетического момента и угловой скорости.

2.2.7 Задача Эйлера.

2.2.8 Движение твердого тела в среде с линейным сопротивлением . . . НО

3 Компьютерное моделирование с использованием идеальных кристаллических упаковок частиц

3.1 Техника моделирования.

3.1.1 Уравнения движения.

3.1.2 Интегрирование уравнений движения.

3.1.3 Потенциалы взаимодействия.

3.1.4 Диссипация.

3.1.5 Нахождение ряда макроскопических характеристик простых кристаллических решеток.

3.1.6 Равновесное состояние кристаллической решетки.

3.1.7 Определение параметров моделирования.

3.2 Компьютерное моделирование неупругого деформирования.

3.2.1 Система из четырех взаимодействующих частиц.

3.2.2 Ступенчатый характер диаграммы нагружения.

3.2.3 Ударное деформирование.

3.2.4 Термическая коррозия.

3.2.5 Пробивание пластин.

3.2.6 Заключительные замечания.

3.3 Возбуждение хаотической составляющей скоростей частиц в результате прохождения ударной волны.

3.3.1 Расчетная модель.

3.3.2 Результаты.

3.3.3 Обсуждение.

3.3.4 Выводы.

3.4 Влияние хаотической составляющей движения частиц на откольную прочность.

3.4.1 Расчетная модель.

3.4.2 Результаты.

3.4.3 Зависимость прочности от начальной девиации скоростей частиц

3.4.4 Обсуждение.

3.4.5 Выводы.

3.5 Трехмерные эффекты при компьютерном моделировании откольного разрушения

4 Компьютерное моделирование с использованием пористых поликристаллических упаковок частиц

4.1 Создание поликристаллических компьютерных материалов.

4.1.1 Существующие методы.

4.1.2 Создание материала из монокристаллических зерен.

4.1.3 Алгоритм последовательного заполнения.

4.1.4 Квазистатические эксперименты с поликристаллическими материалами

4.2 Динамические эксперименты с поликристаллическими материалами

4.2.1 Компьютерные эксперименты по откольному разрушению.

4.2.2 Результаты экспериментов.

4.2.3 Выводы.

4.3 Моделирование пластических эффектов при распространении ударных волн

4.3.1 Монокристаллический материал.

4.3.2 Пористый кристаллический материал.

Актуальность темы

Нарушение континуальности материалов при сильном деформировании и разрушении создает серьезные сложности в описании подобных процессов в рамках классической механики сплошной среды. С другой стороны, развитие технологий, позволяющих изучать микроструктуру деформируемых тел, привело к накоплению фактов, свидетельствующих о чрезвычайно высокой роли внутренней структуры материала в процессах, сопровождающих его деформирование. Возросший в последнее десятилетие интерес к механическим свойствам нанообъектов потребовал еще более серьезного внимания к влиянию внутренней структуры материала на его механическое поведение. Особый интерес в этой области связан с появлением технологической возможности не только наблюдать и измерять элементы внутренней структуры твердых тел, но и оказывать влияние на эту структуру, а в случае нанотехнологий и создавать необходимые структурные элементы на микроуровне. В этой ситуации особую актуальность приобретает развитие аналитических и компьютерных моделей, которые бы могли адекватно описать механические свойства подобных сред и структур.

Бурное развитие вычислительной техники позволило на новом уровне вернуться к проблеме описания сред с микроструктурой, дополняя компьютерным моделированием решение проблем, недоступных для аналитического решения. Компьютерное моделирование становится важным звеном, занимающим промежуточное положение между теорией и реальным экспериментом. Основываясь на теоретических моделях, компьютерный эксперимент осуществляется в результате численного расчета, где сложность модели может сколь угодно увеличиваться по мере развития вычислительных средств, добиваясь все более точного соответствия условиям экспериментальных исследований. Таким образом, с одной стороны, повышаются возможности теоретических исследований, а, с другой стороны, появляется возможность многократно дублировать дорогостоящие экспериментальные исследования. Не имея возможности существовать независимо от аналитической теории, создающей расчетную модель, и эксперимента, обеспечивающего соответствие между моделью и реальностью, компьютерное моделирование оказывается важным звеном, объединяющим теорию и эксперимент.

В данной ситуации большие перспективы могут быть связаны с использованием метода частиц, который в последние десятилетия широко применялся в различных областях химии и физики, однако относительно мало использовался для моделирования механического поведения твердых тел. Являясь типичным методом компьютерного моделирования, по мере наращивания количественных возможностей вычислительной техники, он позволяет получать качественно новые результаты за счет количественной сложности компьютерной модели. Как принципиально дискретный метод, он не имеет недостатков континуальных моделей, проявляющихся при нарушении сплошности вещества или в результате дискретности его внутренней структуры. В применении и развитии метода частиц для моделирования процессов деформирования и разрушения твердых тел с микроструктурой и состоит основная задача данной диссертационной работы.

Методика исследований

Метод частиц состоит в представлении тела совокупностью взаимодействующих частиц (материальных точек или твердых тел), описываемых законами классической механики. Кроме того, существуют квантово-механические обобщения метода частиц, однако они выходят за рамки данной работы. Одним из наиболее хорошо разработанных вариантов этого метода является метод молекулярной динамики, на протяжении последних десятилетий интенсивно использующийся для исследования физико-химических свойств материалов. В классической молекулярной динамике в качестве частиц выступают атомы и молекулы, составляющие материал. В настоящее время потенциалы межатомного взаимодействия для важнейших материалов достаточно хорошо известны, что позволяет моделировать динамику молекулярных соединений с высокой степенью точности. В связи с открытием принципиально новых механических и физических свойств у материалов, имеющих структурные элементы нанометрового масштаба, чрезвычайно повысился интерес к моделированию материалов на микроскопическом масштабном уровне. Метод молекулярной динамики, при сегодняшнем развитии вычислительной техники, позволяет рассматривать объемы материала размером до кубического микрометра, что соответствует примерно миллиарду частиц (куб 1000 х 1000 х 1000 частиц). Таким образом, практически любые наноструктуры могут быть смоделированы с чрезвычайно высокой степенью точности на современных многопроцессорных вычислительных системах. Поэтому данный метод является важнейшим теоретическим инструментом для разработки нанотехнологий в механике материалов.

Для описания больших объемов материала, а тем более, макроскопических объектов, уже невозможно придерживаться молекулярной концепции, и частицы должны представлять собой элементы более крупного масштабного уровня (мезоуровня), такие, как, например, зерна материала. Такой подход начал интенсивно развиваться в последние годы в механике как альтернатива континуальному описанию материалов при сильном деформировании и разрушении. Подобный метод часто, по традиции, также называют молекулярной динамикой, хотя более правильно говорить о динамике мезочастиц.

Несомненное преимущество метода частиц по сравнению с методами, основанными на концепции сплошной среды, заключается в том, что он требует значительно меньше априорных предположений о свойствах материала. Действительно, использование только простейшего потенциала взаимодействия (например, типа Лен нарда-Джонса) и незначительной диссипации позволяет моделировать такие сложнейшие эффекты, как пластичность, образование трещин, разрушение, температурное изменение свойств материала, фазовые переходы. Для описания каждого из этих эффектов в рамках сплошной среды требуется отдельная теория, в то время как при моделировании методом частиц эти эффекты получаются автоматически, в результате интегрирования уравнений движения. В частности, необратимость механических процессов достигается за счет перехода механической энергии длинноволновых движений материала в тепловую энергию хаотического движения частиц.

Потенциал взаимодействия в динамике частиц играет такую же роль, что и определяющие уравнения в механике сплошной среды. Однако структура потенциала неизмеримо проще, чем у определяющих уравнений, так как он представляет собой скалярную функцию расстояния, в то время как определяющие уравнения представляют собой операторы, в которые входят тензорные характеристики напряженного состояния и деформирования, а также термодинамические величины. Конкретный вид потенциала взаимодействия частиц определяется из сравнения механических свойств компьютерного и реального материалов. Для простейших характеристик, таких как, например, упругие модули, это сравнение может быть проведено аналитически. В остальных же случаях соответствие устанавливается на основе тестовых компьютерных экспериментов.

Сложности в описании процессов сильного деформирования и разрушения в рамках механики сплошной среды связаны в значительной степени еще и с тем, что на атомарном уровне структура материала дискретна, с введением модели сплошной среды эта дискретность теряется. Однако, для численного расчета неизбежно введение новой дискретности, диктуемой численным методом (метод сеток, конечных элементов и т. д.) Метод динамики частиц дает уникальную возможность устранить промежуточное континуальное звено и совместить дискретность физическую с дискретностью, необходимой для численного расчета, что естественным образом может повысить и быстродействие, и точность вычислений.

Ограниченное применение метода частиц в механике разрушения до настоящего времени связано с тем, что этот метод требует значительных компьютерных ресурсов. Интенсивное развитие многопроцессорных вычислительных систем в России, в частности разработка многопроцессорных вычислительных технологий под руководством А. В. Забродина в Институте прикладной механики им. М. В. Келдыша [32, 33] делает возможным моделирование механических свойств материалов с высокой степенью достоверности. Метод частиц обладает тем преимуществом, что, в силу ограниченности радиуса взаимодействия между частицами, он допускает почти полное распараллеливание процессов, происходящих в смежных областях пространства. Это позволяет эффективно применять данный метод на многопроцессорных вычислительных системах, полностью реализуя их возможности по увеличению быстродействия и управлению большими объемами данных.

Все расчеты в данной работе проводились с помощью оригинальных компьютерных программ, разработанных автором и его учениками. Часть расчетов проводилась на персональных компьютерах, а решение наиболее крупных задач осуществлялось на многопроцессорных вычислительных системах.

Цель работы

Цель данной диссертационной работы состоит в применении и развитии метода частиц для аналитического и компьютерного моделирования механических процессов в твердых телах. Аналитическое моделирование применяется в задачах деформирования в рамках нелинейной термоупругости. Компьютерное моделирование используется для исследования процессов неупругого деформирования и разрушения, опираясь при этом на результаты аналитического моделирования.

Научная новизна

Научную новизну составляют следующие результаты работы, выносимые на защиту.

1. В длинноволновом приближении решена задача о нелинейном упругом деформировании бесконечной монокристаллической упаковки частиц, получены как определяющие уравнения общего вида, так и для частных случаев геометрически нелинейного материала и материала Сетха. Выведены определяющие уравнения для поликристаллической упаковки частиц при нелинейном упругом деформировании в виде ряда по степеням главных инвариантов тензора деформаций.

2. Развит подход, позволяющий учитывать хаотическое движение частиц при моделировании вблизи точки разрушения, получены уравнения состояния, позволяющие описать термодинамические процессы при сильном растяжении кристалла вплоть до точки разрыва.

3. Исследована задача об упругом деформировании конечного кристалла, найдены зависимости его упругих модулей от размеров кристалла. Полученные результаты позволяют оценить погрешность дискретизации при использовании метода частиц, а также позволяют описывать аномалии механических характеристик наноразмер-ных объектов.

4. Предложена специальная форма уравнений движения твердого недеформируемо-го тела, предназначенная для применения в методе частиц при моделировании материалов, обладающих внутренними вращательными степенями свободы.

5. На основании аналитического решения перечисленных выше задач нелинейной термоупругости для различных упаковок частиц разработана методика численного моделирования методом частиц макроскопических процессов в твердых телах с микроструктурой. На основе данной методики исследован ряд конкретных задач о сильном деформировании и разрушении твердых тел.

6. Численно исследована задача об откольном разрушении при плоском ударном взаимодействии двух пластин. Показано, что в зоне откольного разрушения дисперсия скоростей частиц имеет локализованный максимум. Доказано, что, несмотря на удвоение массовой скорости на свободной поверхности мишени, возрастания дисперсии на свободной поверхности не происходит.

7. Моделирование откольного разрушения позволило дать объяснение экспериментальному факту взаимосвязи откольной прочности и дисперсии скоростей частиц. Показано, что увеличение дисперсии приводит к размыванию фронта ударной волны и к интенсификации релаксационных процессов, что в конечном итоге приводит к повышению прочности материала.

8. Разработана методика создания поликристаллических компьютерных материалов с различными механическими свойствами. Решена задача об одноосном квазистатическом сжатии поликристаллических образцов, получены зависимости прочностных характеристик от структуры материала.

9. Исследована задача об откольном разрушении в поликристаллическом материале, выявлена зависимость характера разрушения и откольной прочности от пористости материала. Показано разделение фронта на упругий предвестник и пластический фронт, исследована зависимость данного эффекта от величины пористости и скорости ударника.

В совокупности полученные результаты позволили разработать новый подход к анализу деформирования и разрушения твердых тел с микроструктурой.

Достоверность полученных результатов

Достоверность результатов достигается использованием апробированных физических моделей и применением строгих математических методов; сравнением результатов аналитических исследований и численных расчетов; использованием при компьютерном моделировании тестовых задач, допускающих точное аналитическое решение; применением современных методов и вычислительных средств; сравнением результатов моделирования с экспериментальными данными.

Практическая значимость работы

Разработанные методы моделирования могут эффективно использоваться для анализа деформирования и разрушения твердых тел с микроструктурой, начиная от нанообъ-ектов, и заканчивая макроскопическими телами. Предложенные методы компьютерного расчета могут использоваться для проведения компьютерных экспериментов, заменяя тем самым значительную часть дорогостоящих натурных экспериментов. Практическая значимость работы подтверждается ее успешным применением для решения прикладных задач, таких как откольное разрушение при плоском ударном взаимодействии пластин, пробивание пластин ударниками различной формы, динамическое взаимодействие инструмента с материалом при вибрационном сверлении, моделирование механических свойств мелкодисперсных порошков.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на семинарах кафедры "Теоретическая механика" СПбГТУ, Института проблем машиноведения РАН (С.-Петербург), Института прикладной математики им. М. В. Келдыша (Москва), кафедры Электроники и электромагнетизма Университета Севильи (Испания), Инженерного департамента Абердинского университета (Великоборитания), а также на всесоюзных и международных конференциях: "Асимптотические методы в механике" (С.-Петербург 1994), "Инновационные наукоемкие технологии для России" (С.-Петербург 1995), 1С1АМ'95 (Гамбург), GAMM'96 (Прага), "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем" (С.-Петербург 1996, 1997, 1998), 2nd ENOC (Прага 1996), "Длительная прочность и неупругое деформирование материалов и элементов конструкций при сложных режимах термомеханического нагружения" (С.-Петербург 1996), GAMM'97 (Регенсбург), EUROMECH 362 (Манчестер 1997), 3rd EUROMECH Solid Mechanics Conference (Стокгольм 1997), SMiRT 14 (Леон 1997), GAMM'98 (Бремен), "Nondestructive Testing and Computer Simulations in Sciences and Engineering" (С.-Петербург 1998), HVIS'98 (Хант-свил, США), ICIAM'99 (Эдинбург), DETC99/VIB (Лас Вегас), EURODYN'99 (Прага), NOMS'99 (С.-Петербург), АРМ'2000 (С.-Петербург 2000), АРМ'2001 (С.-Петербург), EUROMECH 425 (Абердин, Великобритания 2001), VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Пермь 2001).

Публикации

По теме диссертационной работы опубликовано 55 научных работ, список которых приведен в диссертации.

Структура работы

Работа состоит из введения, четырех глав и заключения. Главы 1, 2 посвящены аналитическому моделированию деформирования сред с микроструктурой и получению аналитических зависимостей, необходимых для компьютерного моделирования. Главы 3, 4 посвящены компьютерному моделированию деформирования и разрушения твердых тел с микроструктурой.

Обзор литературы

Исследование сред с микроструктурой в значительной степени началось с анализа динамики кристаллических решеток. Основополагающими в этой области считаются работы М. Берна и др. [10], [11], [12]. В них, в частности, получены линейные соотношения упругости для идеального кристалла на основе развитого Борном метода длинных волн. Впоследствии механика кристаллических решеток исследовалась многими авторами [34, 75, 76, 82, 89, 90, 95, 161] и др. Методика получения макроскопических уравнений в большинстве указанных работ близка к методике [12]. Достаточно полный обзор механики идеальных кристаллов имеется в книге Г. Лейбфрида "Микроскопическая теория механических и тепловых свойств кристаллов" [89]. Обзор различных теорий кристаллических решеток, а также сравнение их с экспериментальными данными содержится в работах [83, 120, 139, 144]. В частности, в недавней обзорной работе [139] анализируется связь параметров потенциалов взаимодействия с термодинамическими характеристиками атомарных и молекулярных систем. Ангармонические эффекты в кристаллах, применительно к исследованию их термодинамических свойств, исследуются в [90]. В работах Л. И. Слепяна [134, 135, 136] получены аналитические решения задач деформирования для кристаллических решеток с трещинами, аналитическое и компьютерное исследование этих задач продолжено в работах Н. Ф. Морозова и М. В. Паукшто [112, ИЗ, 114]. В работе Э. Л. Аэро [2] аналитически получен бифуркационный переход от чисто упругой деформации двумерной решетки к упруго-пластической. В работах С. А. Кукушкина и др. [19, 80, 79, 81] детально исследованы кинетические процессы в твердых кристаллических телах. Колебательные процессы в бесконечной кристаллической решетке подробно рассмотрены в монографиях А. М. Ко-севича [75, 76]. В монографии И. А. Кунина [82] механика сред с микроструктурой рассматривается с позиций квазиконтинуума, что позволяет использовать континуальные уравнения для сколь угодно коротких волн в среде. В работах Ю. И. Мещерякова и др. [107, 108, 109, 110, 269, 270, 271, 272] проводится аналитическое и экспериментальное исследование кинетических процессов на микро- и мезоуровне и определяется их связь с прочностными характеристиками твердых тел при ударном нагружении.

Особенностью данной диссертационной работы является аналитическое получение нелинейных определяющих уравнений кристаллической упаковки частиц при сколь угодно больших деформациях вплоть до точки потери упругости; в работе рассматриваются частные случаи, соответствующие геометрически нелинейному материалу и материалу Сетха; дается микроскопическая трактовка различных тензоров напряжений, используемых в нелинейной механике деформируемого твердого тела; учитывается тепловое движение, нерегулярность внутренней структуры и ограниченность размеров кристалла. В частном случае линейного материала для тензора жесткости получаются уравнения, которые могут быть сведены к классическим [12, 89], однако более удобны для последующего применения при численном моделировании методом частиц. Для учета в механических уравнениях теплового движения частиц используется метод разделения медленных и быстрых движений, близкий к методу И. И. Блехмана, развиваемому в вибрационной механике [7], основное различие состоит в хаотичности тепловых движений, рассматриваемых в данной работе.

Метод частиц, как метод численного моделирования сред с микроструктурой, исторически начал развиваться на двух полюсах масштабной лестницы — в описании микромира (метод молекулярной динамики) и сверхмакромира (звездные и галактические системы). В основе метода лежало представление вещества совокупностью взаимодействующих материальных точек, в качестве которых могли выступать как атомы в молекулярной физике, так и звезды в астрофизике. Возможность использования сходного метода для столь разных систем связана с тем, что и те и другие системы в рамках классической механики описываются аналогичными уравнениями, различие состоит только в масштабе и виде потенциалов взаимодействия. Первые работы в этих двух областях относятся примерно к одному и тому же времени — началу 60-х годов, когда появились первые достаточно быстродействующие компьютеры. Разрыв между этими двумя областями был огромен и начал только немного сокращаться в последнее время, когда мощность вычислительных систем, за счет роста количества используемых в моделировании частиц, позволила подниматься с микроуровня на мезоуровень и даже макроуровень.

Оставляя вопросы, связанные с астрофизикой, за рамками данного обзора, остановимся вкратце на истории развития метода молекулярной динамики (МД), по возможности придерживаясь работ, по своей направленности более близких к вопросам механики деформируемого твердого тела. Первая статья, посвященная МД была написана Б. Ал-дером и Т. Вейнрайтом в 1957 [155]. В этой работе исследовалась фазовая диаграмма системы жестких сфер. Видимо первая работа, в которой рассматривался непрерывный потенциал взаимодействия и использовалась разностная схема для решения уравнений движения, была опубликована в 1960 Дж. Гибсоном, А. Голандом, М. Милграмом и Г. Виньярдом [204]. В работе исследовалось возникновение дефектов кристаллической структуры под действием радиоактивного излучения в системе из 500 атомов. В 1964 была опубликована работа А. Рахмана [292], в которой исследовались свойства жидкого аргона, описываемого потенциалом Леннарда-Джонса. В 1967 Л. Верле рассчитал фазовую диаграмму аргона при том же потенциале взаимодействия, предложив при этом алгоритм численного интегрирования, получивший впоследствии его имя (алгоритм Верле) [312, 313]. Репринты первых ключевых работ по МД опубликованы в [181, 182].

Первые моделирования плоских ударных волн с использованием непрерывного потенциала опубликованы в 1966 [307], где исследовалось распространение упругих волн в одномерной среде (рассматривался трехмерный кристалл, но фиксация атомов в соседних плоскостях, фактически, сводила задачу к одномерной). Несколько позже в трудах симпозиума ШТАМ были опубликованы работы по моделированию ударных волн в двумерных [308] и трехмерных кристаллах [187]. В работе [187] была впервые применена методика "подвижного окна", следящего за фронтом ударной волны. Еще через несколько лет была опубликована подробная статья [287] по моделированию ударной волны в трехмерном кристалле. По мере роста мощности вычислительных систем стало возможно более детальное исследование процессов, сопровождающих распространение ударных волн. Так Б. Холиан и Г. Страуб провели исследование структуры фронта ударной волны в одномерном [212] и трехмерном кристаллах [213], показав невозможность пластических эффектов в одномерном случае (распад фронта на цепочку солитонов) и аналогичное поведение фронта в трехмерном случае при отсутствии теплового движения. Только наличие достаточно высокого уровня теплового движения частиц приводило к исчезновению солитонов и переходу их энергии в пластическую деформацию кристалла. Чуть раньше (в 1978 г.) советские исследователи В. Ю. Клименко и А. Н. Дремин опубликовали работу по моделированию ударных волн в жидкости [52, 53], опередив тем самым американских исследователей [214, 215, 223]. К тому же времени относятся работы М. А. Могилевского [273]. С использованием многопроцессорных вычислительных систем группа исследователей из Лос Аломос-ской лаборатории провела многочисленные исследования ударных процессов методом частиц с постоянно увеличивающимися объемами рассматриваемых систем, из которых особенно выделяются работы Б. Холиана и др. [216, 218, 222]. Отметим также работы В. Хувера и др. [223, 225, 226, 227, 228] по теории МД моделирования, работы Ф. Абрахама, X. Гао и др. [152, 153, 154, 194, 195, 200, 201, 207, 208] по моделированию роста трещин. Метод частиц успешно применяется к решению широкого спектра задач, включая моделирование жидких кристаллов [157, 163, 171]; моделирование нано-объектов [175, 185, 300, 301, 302, 310]; физика поверхностей [189, 191, 303, 304, 318] и др. [167, 184, 190, 195, 198, 222, 275, 298, 306].

Советским исследователям из-за отсутствия столь быстродействующей техники было сложно конкурировать с американскими коллегами по объему вычислений, тем не менее на качественном уровне удалось достичь значительных результатов. В последнее время, благодаря появлению в России достаточно быстродействующей техники, в частности, многопроцессорных вычислительных систем, разрабатываемых под руководством А. В. Забродина в Институте прикладной механики им. М. В. Келдыша [32, 33], у российских ученых появилась возможность вступить в конкуренцию и на количественном уровне.

Отметим работы следующих советских и российских исследователей в области компьютерного моделирования методом МД и методом частиц: С. И. Анисимов, В. В. Жа-ховский и др. [158, 322, 323, 324], Е. Н. Бродская и А. И. Русанов [13, 177, 178], и. Ф. Головнев, В. М. Фомин и др. [8, 9, 26, 27, 28, 29, 30], В. Ю. Клименко и А. Н. Дре-мин [52, 53], В. А. Лагунов и А. Б. Синани [85, 86, 87], А. И. Мелькер и др. [97, 99, 101, 102, 104, 105, 266, 268], Н. Ф. Морозов и М. В. Паукшто [112, 113, 114], В. Л. Попов и др. [122, 130], С. Г. Псахье и др. [43, 44, 131, 132, 133], В. Г. Чудинов и др. [147, 148], Ю. Г. Яновский и др. [150, 151], и ряда других авторов [21, 78, 117, 118, 141]. Остановимся чуть подробнее на некоторых работах из числа перечисленных выше. В работах И. Ф. Головнева, В. М. Фомина и др. предложен пропагаторный метод интегрирования уравнений динамики частиц [26, 27], исследовано распространение ударных волн и процесса детонации в одномерном кристалле [28, 30, 143], изучены задачи о соударениях сферических кластеров [8, 9]. В работе [87] В. А. Лагуновым и А. Б. Синани методом молекулярной динамики исследованы задачи о растяжении кристаллов, моделирующие эксперименты по одноосному нагружению. В работах А. И. Мелькера и др. с позиций молекулярной динамики исследуются процессы зарождения разрушения [96, 98, 99, 111]; изучаются деформирование и самоорганизация полимеров [100, 103, 104, 105]. В работах Н. Ф. Морозова и М. В. Паукшто [112, 113, 114] проведено сравнительное численное и аналитическое исследование задач деформирования кристаллических решеток с трещинами.

Подробная информация о работах в области компьютерного моделирования методом частиц содержится в обзорных статьях [166, 199, 218, 280, 285, 288, 297, 299, 309, 311] и монографиях [156, 181, 209, 211, 225, 296]. Отметим также обзорные статьи Б. М. Смирнова [137, 138, 139].

Для моделирования нелинейных процессов в сплошных средах применяется также семейство методов, в которых частицы используются как численный прием для интегрирования континуальных уравнений динамики сплошной среды, что отличает их от метода частиц, рассматриваемого в данной работе. Это метод частиц в ячейках М. Эванса и Ф. Харлоу [193, 145], его дальнейшее развитие — метод свободных точек В. Ф. Дьяченко [18, 188], метод крупных частиц О. М. Белоцерковского и Ю. М. Давыдова [6, 16]. К этой же группе относится метод гидродинамики гладких частиц [267, 314] и другие методы. В перечисленных методах за основу берутся континуальные уравнения сплошной среды, чаще всего это уравнения гидро- и газодинамики, а частицы играют роль дискретных элементов, позволяющих свести уравнения в частных производных к разностной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. По своей сути эти методы являются континуальными, дискретность в них чисто вычислительная. Метод частиц и метод молекулярной динамики, рассматриваемые в данной работе, отличаются от перечисленных методов тем, что в них за основу берутся уравнения движения самих частиц (обыкновенные дифференциальные уравнения), определяемые балансом количества движения и потенциалом взаимодействия между частицами, то есть данные методы являются истинно дискретными. Разумеется, в результате длинноволнового приближения и осреднений, из уравнений движения частиц могут быть приближенно получены соответствующие им уравнения сплощной среды (этому вопросу посвящена первая глава данной работы), что позволяет определить параметры моделирования через параметры моделируемой макроскопической задачи. Однако, исходными для метода частиц, рассматриваемого в данной работе, являются микроскопические, а не макроскопические уравнения. Отметим, однако, что, как было показано В. Хувером [227], при определенном выборе параметров моделирования, метод гидродинамики гладких частиц (континуальный) и метод молекулярной динамики (дискретный) могут давать идентичные траектории частиц. С другой стороны, сравнение метода гидродинамики гладких частиц и сеточного метода С. К. Годунова [25, 23], широко применяемого для решения задач газовой динамики, показывает совпадение результатов расчетов [314]. Все это свидетельствует о глубинном родстве перечисленных методов и возможной эквивалентности микро- и макроскопических подходов.

Отличие методов моделирования, разрабатываемых в данной работе, от имеющихся в литературе, состоит прежде всего в том, что они используют и развивают метод частиц применительно к решению задач механики деформируемого твердого тела. Новизна результатов данной работы определяется разработкой оригинальных методов определения параметров численной модели по макроскопическим параметрам моделируемого объекта, учетом хаотической компоненты движения частиц для адекватного описания прочностных характеристик среды, учетом вращательных степеней свободы частиц, использованием неидеальных упаковок частиц (поликристаллических, пористых), развитием методов создания подобных упаковок. На основании разработанных методов в данной работе решен ряд конкретных задач, имеющих прикладное значение, в том числе задачи по распространению ударных волн и откольному разрушению в твердых телах с микроструктурой.

Используемое в данной работе описание нелинейной механики сплошной среды опирается на работы П. А. Жилина, А. И. Лурье, В. А. Пальмова, К. Трусделла [40, 92, 124, 142]. В настоящей работе используется язык прямого тензорного исчисления [31, 39, 77, 84]. В сжатой форме, но достаточно полно, основы прямого тензорного исчисления изложены в книгах А. И. Лурье [91, 92]. Методика использования прямого тензорного исчисления при решении задач механики деформируемого твердого тела отражена в монографии В. А. Пальмова [124]. Особенности тензорного аппарата, необходимые при описании механики сплошной среды и динамики твердого тела, излагаются в работах П. А. Жилина [35, 39, 41].

4.2.3 Выводы

Представленные компьютерные эксперименты показывают, что поликристаллические компьютерные материалы при ударном нагружении могут проявлять свойства, существенно отличные от свойств монокристаллов. Главная особенность поликристаллов состоит в сглаживании фронта ударной волны, связанном с неоднородностью внутренней структуры поликристаллов. Это, в свою очередь, приводит к уменьшению локализаци-онных эффектов, характерных для монокристаллов. Данный эффект аналогичен тепловому сглаживанию фронта ударной волны в монокристаллах [249], однако в данном случае эффект более ярко выражен. Пористость материала порождает дополнительное сопротивление проникновению ударной волны в материале. Скорость распространения ударной волны снижается при повышении пористости, а закон, связывающий эти две величины, близок к линейному. Для высокопористого материала скорость свободной поверхности мишени резко убывает с увеличением пористости, что означает, что практически вся энергия ударной волны может быть легко поглащена пористым материалом засчет пластических деформаций при коллапсе пор. Это также подтверждается тем, что откольное разрушение не наблюдается для высокопористого материала при скоростях ударника, легко разрушающих монокристаллический материал. Таким образом, в этом смысле пористый материал оказывается значительно "прочнее", чем монокристалл, так как он может абсорбировать энергию за счет сильных пластических деформаций в его микроструктуре. Но, разумеется, этот вывод относится только к более или менее плоским ударам — например, в случае остроконечного ударника, прочность пористого материала намного меньше, чем у материала с малой пористостью.

4.3 Моделирование пластических эффектов при распространении ударных волн в последние десятилетия метод МД широко применяется для моделирования распространения ударных волн в твердых телах, и, в частности, откольного разрушения. В большинстве работ по этой тематике в качестве модельного материала использовался идеальный монокристалл. Однако, во многих процессах, где реальные материалы проявляют пластические свойства, монокристаллы ведут себя упругим образом вплоть до разрушения. Хотя пластическое поведение и обнаружено при МД моделировании распространения ударных волн в монокристаллическом материале [222], однако оно сушественно отличается от пластического деформирования реальных материалов. В частности, в реальных экспериментах наблюдается четкое разделение ударной волны на упругий предвестник и пластический фронт, которое слабо выражено или вообще отсутствует для идеальных монокристаллических материалов. Для решения этой проблемы в данном параграфе рассматривается использование для исследования подобных процессов компьютерной модели пористого кристаллического материала, позволяющей описать указанные явления.

4.3.1 Монокристаллический материал

Рассмотрим сначала процесс откольного разрушения в монокристаллическом материале. На Рис. 4.24 приведена схема компьютерного эксперимента. Частицы образуют два прямоугольника, лежащих в плоскости хх. Прямоугольники моделируют собой сечения ударника (верхний прямоугольник) и мишени (нижний прямоугольник). Ударник и мишень состоят из одинаковых частиц, взаимодействующих по закону Леннарда-Джонса. Изначально частицы упорядочены в треугольную решетку, одинаковую для ударника

Ударник

Рис. 4.24: Схема компьютерного эксперимента. и мишени. Решетка ориентирована таким образом, чтобы один из ее базисных векторов был направлен вдоль оси х. На всех внешних границах используются свободные граничные условия.

Изначально мишень имеет нулевую скорость, ударник имеет скорость, направленную вдоль оси х в сторону мишени. Кроме того, каждой частице добавляется случайная скорость, выбранная из двумерного равномерного случайного распределения с заданным значением дисперсии ао, где а

-Т1п - V/,

У'^'-ЛУ,. п п

4.1) к=1 к=1

Здесь Vk — проекция скорости к-ой частицы на направление удара, индекс к пробегает значения внутри некоторой совокупности частиц, входящей в общее множество частиц, рассматриваемых в эксперименте. Далее также будет использоваться девиация скоростей частиц, определяемая формулой AV = л/а-. В начальный момент времени скорости частиц имеют заданное значение девиации AVQ = д/оА, одинаковое для ударника и мишени.

Состояние мишени и ударника в конце компьютерного эксперимента показано на Рис. 4.25. Хорошо видна откольная трещина, образовавшаяся в мишени. Значения расчетных параметров приведены в таблице 4.1, эксперимент А. Компьютерные экспери

Рис. 4.25: Образование откольной трещины менты показывают, что минимальная скорость ударника, при которой наступает откол, приближенно равна скорости диссоциации иА, поэтому целесообразно сравнивать используемые в расчете скорости именно с этой величиной, как это и сделано в табли

Параметр Символ Значение Значение

Эксперимент А В

Приблизительное число частиц N 100000 500 000

Скорость ударника А1шр 1.05

Девиация скоростей частиц AVo 0.001 0

Пористость материала Р 0 6%

Радиус обрезания потенциала «•си! 2.1а 2.1а

Ширина ударника (мишени) ж 708 а 1584 а

Толщина ударника ы 35 а 78 а

Толщина мишени Н2 88 а 196 а

Число слоев частиц N 142 319

Шаг интегрирования Аг 0.03 То 0.03 Го

Время расчета Лшах 31. 3гэ

Заключение в заключение перечислим основные результаты, полученные в данной работе.

1. Разработан метод прямого получения континуальных уравнений среды из уравнений движения частиц при нелинейных упругих деформациях. На основе данного метода решена задача о нелинейном упругом деформировании бесконечной монокристаллической упаковки частиц, получены определяющие уравнения общего вида, которые конкретизируются для частных случаев геометрически нелинейного материала и материала Сетха. Получены определяющие уравнения для поликристаллической упаковки частиц при нелинейном упругом деформировании в виде ряда по степеням главных инвариантов тензора деформаций. Полученные результаты могут эффективно использоваться для анализа результатов численного моделирования с использованием моно- и поликристаллических упаковок частиц.

2. Развит подход, позволяющий учитывать хаотическое движение частиц при моделировании в критических случаях, например, вблизи точки разрушения. Для бесконечного одномерного кристалла получены уравнения состояния, аналогичные уравнению Ми-Грюнайзена, но, в отличие от последних, позволяющие описать термодинамическое состояние при сильном растяжении кристалла вплоть до точки разрыва.

3. Решена задача об упругом деформировании конечного кристалла, получены зависимости его упругих модулей от размеров кристалла. Полученные результаты позволяют оценить погрешность дискретизации при использовании метода частиц, а также позволяют описывать аномалии механических характеристик наноразмер-ных объектов. Показано, что форма и размеры нанокристалла вносят анизотропию в его упругие свойства — на анизотропию, связанную с видом кристаллической решетки, накладывается дополнительная анизотропия, вызванная его размерами и формой. Получено, что в определении размера нанообъекта существует принципиальный произвол, приводящий к неоднозначности многих макроскопических характеристик.

4. Предложена специальная форма уравнений движения твердого тела, удобная для описания движения больших систем взаимодействующих твердых тел. В частности, получен векторный аналог динамических уравнений Эйлера, решение которых позволяет определить не только проекции угловой скорости на оси подвижного базиса, но и ориентацию тела в пространстве; уравнения движения твердого тела сведены к нелинейной системе векторных уравнений относительно двух векторных неизвестных: вектора кинетического момента и угловой скорости.

5. На основании аналитического решения перечисленных выше задач нелинейной термоупругости для различных упаковок частиц разработана методика численного моделирования методом частиц макроскопических процессов в твердых телах с микроструктурой, с помощью данной методики решен ряд задач о сильном деформировании и разрушении твердых тел.

6. Компьютерным моделированием методом частиц исследована задача об откольном разрушении при плоском ударном взаимодействии двух пластин. Показано, что дисперсия скоростей частиц возбуждается фронтом ударной волны и следует за ним с некоторой задержкой, а в зоне откольного разрушения дисперсия имеет локализованный максимум. Доказано, что при выходе ударной волны на свободную поверхность твердого тела не происходит возрастания дисперсии, аналогичного возрастанию массовой скорости частиц.

7. Моделирование откольного разрушения позволило дать объяснение экспериментальному факту взаимосвязи откольной прочности и дисперсии скоростей частиц. Показано, что при малой дисперсии происходит локализация зоны разрушения и, как следствие, охрупчивание материала. Большие значения дисперсии приводят к размыванию фронта ударной волны и к интенсификации релаксационных процессов, что в конечном итоге приводит к повышению прочности материала.

8. Разработана методика создания поликристаллических компьютерных материалов с различными механическими свойствами. Предложенные методы основаны на последовательном приготовлении из единого начального набора частиц серии образцов с различными параметрами микроструктуры.

9. Решена квазистатическая задача об одноосном сжатии призматических образцов из moho- и поликристаллического материала. Показано, что неупругое деформирование осуществляется в результате многократных перестроек внутренней структуры образца. Получены зависимости упругих и прочностных характеристик от пористости материала.

10. Численно исследовано распространение ударной волны и откольное разрушение в пористом кристаллическом материале. Показано, что пористый материал может иметь повышенную устойчивость к откольному разрушению за счет поглощения энергии волны в результате преобразования внутренней структуры материала. Показано разделение фронта ударной волны на упругий предвестник и пластический фронт. Исследована зависимость данного эффекта от величины пористости и скорости ударника.

1. Архангельский Ю. А. Аналитическая динамика твердого тела. - М.: Наука. 1977. 328 с.

2. Аэро Э.Л. Микромасштабные деформации в двумерной решетке — структурные переходы и бифуркации при критическом сдвиге // Физика твердого тела. 2000. Т. 42. №6. С. 1113-1119.

3. Баженов СЛ., Волынский А. Л., Воронина Е.Е., Бакеев Н.Ф. Потеря устойчивости упругого покрытия при динамическом сжатии вязкотекучей подложки // ДАН. 1999. Т. 367. №1. С. 75-77.

4. Байдаровцев Ю. П., Савенков Г. П., Тарасенко В. А. Метод определения прочностных характеристик ультратонких слоев // Высокомолекулярные соединения, серия А. 1999. Т. 41. №8. С. 1302-1307.

5. Барахтин Б. К., Мещеряков Ю. И., Савенков Г. Г. Динамические и фрактальные свойства стали СП-28 в условиях высокоскоростного нагружения // Журнал технической физики. 1998. Т. 68. № 10. С. 43-49.

6. Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Метод Крупных частиц в газовой динамике. М: Наука. 1982. 392 с.

7. Блехман И. И. Вибрационная механика. М.: Физматлит. 1994. 400 с.

8. Болеста A.B., Головнев И.Ф., Фомин В.М. Исследование процесса соударения сферического кластера меди с жесткой стенкой методом молекулярной динамики // Физическая мезомеханика. 2000. №5. С. 39-46.

9. Болеста A.B., Головнев И.Ф., Фомин В.М. Плавление на контакте при соударении кластера никеля с жесткой стенкой // Физическая мезомеханика. 2001. №1. С.5-10.

10. Борн М. Динамика кристаллической решетки. М. 1932.

11. Борн М., Гепперт-Майер М. Теория твердого тела. М.-Л. 1938.

12. Борн М., Кунь X. Теория кристаллических решеток. М.: ИЛ. 1959. 488 с.

13. Бродская E.H., Русанов А.И. Расчет вклада растворителя в работу сольватации иона методом численного эксперимента // Ж. физ. химии. 1999. Т. 73. №8. С. 1376-1381.

14. Быков Д. Л., Коновалов Д. Н. Особенности сопротивления вязкоупругих материалов при потере устойчивости тонкостенных конструкций. Труды XXXVI Межд. семинара Актуальные проблемы прочности. Витебск. 2000. С. 428-433.

15. Быков Д. Л., Коновалов Д. Н. Влияние вязкоупругого основания на устойчивость металлических наноразмерных покрытий // Вестник Тамбовского государственного университета. 2000. Т. 5. №2-3 . С. 75-77.

16. Давыдов Ю. М. Метод "Крупных частиц" для задач газовой динамики. Автореферат на соискание ученой степени к.ф.-м.н. 1970. 18 с.

17. Давыдов Ю.М., Круглов М.Т., Меднов A.A., Нефедов В.А. Численное исследование течений в двигателях внутреннего сгорания методом крупных частиц. -М: Выч. центр АН СССР. 1983. 59 с.

18. Дьяченко В. Ф. Об одном новом методе численного решения нестационарных задач газовой динамики с двумя пространственными переменными // Журнал вы-числ. матем. и матем. физ. 1965. Т. 5. №4. С. 680-688.

19. Вакуленко A.A., Кукушкин CA. Кинетика фазовых переходов в твердых телах под нагрузкой // ФТТ. 2000. Т. 42. № 1. С. 172-175.

20. Волынский А. Л., Чернов И. В., Бакеев Н.Ф. Явление возникновения регулярного микрорельефа при деформировании полимеров, имеющих твердое покрытие // ДАН. 1997. Т. 355. №4. С. 491-493.

21. Воробьева Т. В. Молекулярно-динамическое исследование самоорганизации цепных макромолекул: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук (Науч. руководитель А. И. Мелькер). 01.04.07. СПб.: Б.и., 1994. 16с.

22. Вустер У. Применение тензоров и теории групп для описания физических свойств кристаллов. М.: Мир. 1977.

23. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука. 1976. 400 с.

24. Годунов С. К., Забродин А. В. О разностных схемах второго порядка точности для многомерных задач // ЖФМ и МФ. 1962. Т. 2. №4. С. 706-708.

25. Годунов С. К., Забродин А. В, Прокопов Г. П. Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной // ЖФМ и МФ. 1961. Т. 1. №6. С. 1020-1050.

26. Головнева Е. И., Головнев И. Ф., Фомин В. М. Физическая мезомеханика и молекулярно-динамическое моделирование. Физическая мезомеханика // ДАН.1997. Т. 356. №4. С. 466-469.

27. Головнев И.Ф., Головнева Е.И., Конев A.A., Фомин В.М. Физическая мезомеха-ника и молекулярно-динамическое моделирование // Физическая мезомеханика.1998. №2. С. 21-33.

28. Головнев И.Ф., Уткин A.B., Фомин В.М. Переходные режимы детонации и их моделирование методом молекулярной динамики // Физическая мезомеханика.1999. №6. С. 41-50.

29. Головнев И. Ф., Конева Е. И., Фомин В. М. Численное моделирование разрушения бездефектных кристаллов при динамических нагрузках // Физическая мезомеханика. 2001. №5.

30. Головнев И.Ф., Уткин A.B., Фомин В.М. Влияние формы внутримолекулярного потенциала на мезоструктуру фронта детонационной волны // Физическая мезо-механика. 2001. №1. С. 11-15.

31. Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление. М.: Высш. шк. 2001. 575 с.

32. Забродин А. В. Параллельные вычислительные технологии. Состояние и перспективы // Труды Всероссийской молодежной школы "Суперкомпьютерные вычислительно-информационные технологии в физических и химических исследованиях". Черноголовка. 1999.

33. Забродин A.B. Супер ЭВМ МВС-100, МВС-1000 и опыт их использования при решении задач механики и физики // Математическое моделирование. 2000. Т. 12. №5.

34. Жарков В. Н., Калинин В. А. Уравнения состояния тведых тел при высоких давлениях и температурах. М.: Наука. 1968. 312 с.

35. Жилин П. А. Тензор поворота в описании кинематики твердого тела // Труды СПбГТУ. 1992. №443. С. 100-121.

36. Жилин П. А., Кривцов A.M. Молекулярное моделирование процесса неупругого растяжения // Тезисы докладов Межд. конференции Математическое моделирование процессов обработки материалов. 17-19 ноября 1994. Пермь. С. 21.

37. Жилин П. А., Кривцов A.M. Микроструктурные модели в макроскопической механике сплошной среды // Тезисы докл. Всероссийской научно-техн. конференции Инновационные наукоемкие технологии для России. С.-Пб. 26-27 апреля 1995. С.-Пб. 1995. С. 161.

38. Жилин П. А., Кривцов A.M. Компьютерное моделирование сильного неупругого деформирования / Деп. ВИНИТИ. 21.04.97. №1344-В97. И с.

39. Жилин П. А. Векторы и тензоры второго ранга в трехмерном пространстве. -С.-Петербург: Нестор. 2001. 276 с.

40. Жилин П. А. Основные уравнения теории неупругих сред // Труды XXVIII летней школы Актуальные проблемы механики. Санкт-Петербург. 2001. С. 14-58.

41. Жилин П. А. Теоретическая механика. СПб.: изд-во СПбГТУ. 2001. 146 с.

42. Зельдович Я.В., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: 1984. 688 с.

43. Зольников К. П., Уваров Т.Ю., Липницкий А. Г., Сараев Д. Ю., Псахье С. .Г. Об особенностях откольного разрушения при взаимодействии нелинейных волн со свободной поверхностью монокристалла меди // ПЖТФ. 1999. Т. 25. №9 23. С.22-27.

44. Зольников К. П., Уваров Т. Ю., Скрипняк В. А., Липницкий А. Г, Сараев Д.Ю., Псахье С. Г. Влияние границы зерна на характер откольного разрушения в кристаллите меди при импульсном воздействии // ПЖТФ. 2000. Т. 26. №8. С. 18-23.

45. Иванова Е. А. Свободное враш,ение твердого тела в сопротивляющейся среде // Труды XXIV Всесоюзной школы-семинара Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем. С.-Пб. 1997. С. 394-405.

46. Иванова Е. А. Об одном подходе к решению задачи Дарбу // Изв. РАН. МТТ. 2000. №1. С. 45-52.

47. Иванова Е.А. Точное решение задачи о вращении осесимметричного твердого тела в линейной вязкой среде // Изв. РАН. МТТ. 2001. №6.

48. Индейцев Д. А., Сергеев А. Д. Распространение пространственной вибрации в сложных волноводах // Техническая Физика. Т. 8. №45. С. 963-975.

49. Каминский В.М. Вращательное движение зерен при сверхпластический деформации // ФММ. 1987. Т. 648. №5. С. 844-852.

50. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Гос. изд. физ.-мат. лит. 1961. 704 с.

51. Кацнельсон А. А. Введение в физику твердого тела. М.: Изд-во Московского ун-та. 1984.

52. Клименко В.Ю., Дремин А. Н. В сб. Детонация (ред. Брюсов и др.). Черноголовка. М.: АН. 1978. С. 79.

53. Клименко В.Ю., Дремин А.Н. // ДАН. 1980. Т. 25. С. 288.

54. Климов Д. М., Руденко В. М. Методы компьютерной алгебры в задачах механики. М.: Наука. 1989. 214с.

55. Кривцов A.M. К теории сред с микроструктурой // Тр.СПбГТУ. 1992. №9 443. С. 9-17.

56. Кривцов A.M. Растяжение системы из четырех взаимодействующих атомов // Тр. СПбГТУ. 1994. № 448. С. 176-178.

57. Кривцов A.M. Бифуркации и устойчивость стационарного движения неуравновешенного упругоопертого твердого тела // Труды XXIII Всесоюзной школы-семинара Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем. 1995. С.-Пб. 1996. С. 252-261.

58. Кривцов А. М. Изотропная часть нелинейных определяющих уравнений идеальной кристаллической решетки // Труды СПбГТУ. 1995. №«458. С. 132-140.

59. Кривцов А. М. Моделирование простейших биологических эволюционных процессов при помощи клеточных автоматов. Всероссийская конференция молодыхученых и студентов Математическое моделирование систем и процессов. Октябрь 1995. Пермь.

60. Кривцов A.M. Одномерные квадратичные отображения // Труды СПбГТУ. 1995. №458. С. 141-151.

61. Кривцов А. М. Перестройка кристаллической структуры призматического тела при сильном деформировании. Всероссийская конференция молодых ученых и студентов Математическое моделирование систем и процессов. Октябрь 1995. Пермь.

62. Кривцов A.M. Случай Лагранжа в динамике твердого тела // Труды СПбГТУ. 1995. №458. С. 130-131.

63. Кривцов A.M. Использование векторных переменных для описания вращательных движений твердого тела / Деп. ВИНИТИ. 21.04.97. № 1345-В97. 15 с.

64. Кривцов А. М. Квазикоординаты в описании движения осесимметричного твердого тела в линейно вязкой среде // Труды СПбГТУ. 1997. №9 467. С. 91-99.

65. Кривцов А. М. Компьютерное моделирование сильного деформирования и разрушения. XXV Всесоюзная школа семинар Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем. С.-Пб. 1997.

66. Кривцов A.M. Стационарные движения несимметричного волчка // Изв. РАН. МТТ. 1997. №3. С. 28-38.

67. Кривцов А. М. Компьютерное исследование взаимосвязи между откольной прочностью и дисперсией скоростей мезочастиц // Труды XXV-XXVI летних школ Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем. С.-Пб. 1998. Т. 2. С. 246-257.

68. Кривцов A.M. Влияние вращающего момента ограниченной мощности на устойчивость стационарных движений несимметричного волчка // Изв. РАН. МТТ. 2000. №2. С. 33-43.

69. Кривцов A.M. Описание движения осесимметричного твердого тела в линейно вязкой среде при помощи квазикоординат // Изв. РАН. МТТ. 2000. №4. С. 2329.

70. Кривцов А. М. Метод молекулярной динамики и динамики частиц в моделировании сильного неупругого деформирования и разрушения. VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Пермь. Россия. 23-29 августа, 2001 г.

71. Кривцов A.M., Морозов Н. Ф. Аномалии механических характеристик нанораз-мерных объектов // ДАН. 2001. Т. 381. №3. С. 825-827.

72. Косевич A.M. Основы механики кристаллической решетки. М.: Наука. 1972.

73. Косевич A.M. Теория кристаллической решетки. Харьков: Вища школа. 1988.

74. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.: Изд. АН СССР. 1961. 426 с.

75. Корнич Г. В., Бетц Г., Бажин А. И. Молекулярно-динамическое моделирование образования дефектов в кристалле алюминия при бомбардировке ионами низких энергий // ФТТ. 2001. Т. 43. №1. С. 30-34.

76. Кукушкин С.А., Осипов A.B. Теория фазовых переходов первого рода вблизи тройной точки газ-жидкость-кристалл // Неорганические материалы. 1999. Т. 35. №6. С. 661-668.

77. Кукушкин С.А., Осипов A.B. Теория фазовых переходов первого рода вблизи тройной точки газ-жидкость-кристалл // Неорганические материалы. 1999. Т. 35. №6. С. 661-668.

78. Кукушкин С. А., Индейцев Д. А. Кинетика начальной стадии кристаллизации в пространственно-неоднородных условиях // Физика и химия стекла. 2000. Т. 3. С. 16-28.

79. Кунин И. А. Теория упругих сред с микроструктурой. М.: Наука. 1975. 416 с.

80. Кучин В. А., Ульянов В. Л. Упругие и неупругие свойства кристаллов. М.: Энер-гоатомиздат. 1986.

81. Лагалли М. Векторное исчисление. М.- Л.: ОНТИ. 1936. 343с.

82. Лагунов В. А., Синани А. Б. Образование биструктуры твердого тела в компьютерном эксперименте // Физика твердого тела. 1998. Т. 40. №10. С. 1919-1924.

83. Лагунов В. А., Синани А. Б. Компьютерное моделирование формирования кристаллической структуры при переходе из аморфного состояния // Физика твердого тела. 2000. Т. 42. №о6. С. 1087-1091.

84. Лагунов В. А., Синани А. Б. Компьютерное моделирование деформирования и разрушения кристаллов // Физика твердого тела. 2001. Т. 43. №«4. С. 644-650.

85. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. М.: Наука. 1964. 568 с.

86. Лейбфрид Г. Микроскопическая теория механических и тепловых свойств кристаллов, пер. с нем. М: Физматгиз. 1963.

87. Лейбфрид Г., Людвиг В. Теория ангармонических эффектов в кристаллах. М.: ИЛ. 1963. 232 с.

88. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука. 1970.

89. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука. 1980. 512 с.

90. Мак-Коннел Дж. Введение в тензорный анализ. М.: Физматгиз. 1963.

91. Малолеткин Г. Н., Фомин В. А. Тензорные базисы в кристаллофизике. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та. 1972.

92. Марадудин А., Монтролл Э., Вейс Дж. Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении. М.: Мир. 1965.

93. Мелькер А. И., Михайлин А. И. Разрушающие флуктуации энергии в ангармонической цепочке атомов // ФТТ. 1986. Т. 23. №«6. С. 1746-1750.

94. Мелькер А.И., Иванов A.B. О двух типах дилатонов // ФТТ. 1986. Т.28. № И. С. 3396-3402.

95. Мелькер А. И., Михайлин А. И., Байгузин Е.Я. Атомный механизм роста трещины в двумерном кристалле // Физика металлов и металловедение. 1987. Т. 64. №6. С. 1066-1070.

96. Мелькер А. И. Атомистика разрушения. Л.: Знание. 1989. 20 с.

97. Мелькер А. И., Воробьева Т. В., Говоров СВ. Молекулярно-динамическое исследование деформации полимеров // ФТТ. 1991. Т. 33. №11. С. 76-80.

98. Мелькер А. И. Моделирование эксперимента. М.: Знание. Сер. Физика. 1991. №10. 64 с.

99. Мелькер А. И. Введение в современную физику конденсированных сред. СПб. 1994. 32 с.

100. Мелькер А. И., Иванов A.A., Воробьева Т. В., Романов СП. Молекулярно-динамические исследования сжатия полимерного кристалла // ФТТ. 1996. Т. 38. №8. С. 2558-2573.

101. Мелькер А. И., Воробьева Т. В. Самоорганизация и образование геликоидальных структур полимеров // Физика твердого тела. 1997. Т. 39. №10. С. 1883-1888.

102. Мелькер А. И., Соловьев Д. В. Деформационные дефекты в полиэтилене. Угловые дилатоны // Письма в ЖТФ. 1998. Т.24. №6. С.68-71.

103. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения. М: Наука. 1987. 304 с.

104. Мещеряков Ю. И. Статистическое описание дислокационной структуры на основе уравнения Фоккера-Планка // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск. 1974. Т. 5. №о1, с. 157-162.

105. Мещеряков Ю.И., Диваков А. К., Фадиенко Л. П. О распределении частиц по скоростям на упругом предвестнике волны сжатия в алюминии // ЖТФ. 1983. Т. 53. №о10, с. 2050-2054.

106. Мещеряков Ю.И., Диваков А. К., Кудряшов В. Г. О динамической прочности при отколе и пробое // ФВГ. 1988. №«2. С. 126-134.

107. ПО. Мещеряков Ю. И. Статистическая модель формирования поверхности откола и критерий разрушения // Поверхность. Физика, химия, механика. 1988. №3. С. 101-111.

108. Михайлин А. И., Мелькер А. И. Двухступенчатый разрыв межатомной связи // Химическая физика. 1985. Т. 4. №1. С. 15-20.

109. Морозов Н.Ф., Паукшто М.В. Динамика трещин в дискретной постановке. -С.-Пб.: Вести. Ленингр. ун-та. 1987. Сер. 1. Вып. 3. С. 67-71.

110. ИЗ. Морозов Н.Ф., Паукшто М. В. К вопросу о "решетчатом захвате" // ДАН. 1988. Т.1. №3. С. 323-325.

111. Морозов Н.Ф., Паукшто М.В. Дискретные и гибридные модели механики разрушения. С.-Пб: изд. СПбГУ. 1995. 160с.

112. Морозов Н.Ф., Петров Ю. В. Проблемы динамического разрушения твердых тел. С.-Пб: изд. СПбГУ. 1997.

113. Морозов Н.Ф., Бригаднов И. А., Индейцев Н.Ф., Петров Ю. В, Фрейдин А. Б. Энергетические оценки фазовых превращений в шаре под действием сферически сходящейся волны сжатия // Докл. РАН. 2001. Т. 377. №6. С. 1-3.

114. Мохов A.A. Молекулярная динамика и кинетика больших пластических деформаций: Дис. канд. физ.-мат. наук (Науч. руководители: В. И. Владимиров, А. И. Мелькер). СПб.: Б.и., 1995. 156с.

115. Мякенькая Г. С. Моделирование структуры дефектов в кремнии методами молекулярной динамики и квантовой химии. Дис. докт. физ.-мат. наук. Физ.-тех. инст. Нац. академии наук Республики Казахстан. 216 с.

116. Пай Дж. Физические свойства кристаллов. М.: ИЛ. 1970.

117. Никаноров СП., Кардашов Б.К. Упругость и дислокационная неупругость кристаллов. М.: Наука, 1985.

118. Николаев В. И., Шпейзман В. В., Смирнов Б.И. Определение модуля упругости эпитаксиальных слоев GaN методом микроиндентирования // Физика твердого тела. 2000. Т. 42. №3. С. 428-431.

119. Остермеер Г. П., Попов В. Л. Описание перехода твердое тело-жидкость в методе частиц // ПЖТФ. 2000. Т. 26. №6. С. 59-66.

120. Овидько И. А. Дефекты в конденсированных средах. СПб.: Знание. 1991. 248 с.

121. Пальмов В. А. Колебания упруго-пластических тел. М.: Наука. 1976. 348 с.

122. Панин В. Е.(ред.) Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов. Новосибирск: Наука. 1995.

123. Панин В. Е. Основы физической мезомеханики // Физическая мезомеханика. 1998. № 1 .

124. Панин В. Е. Физическая мезомеханика поверхностных слоев твердых тел // Физическая мезомеханика. 1999. №6.

125. Панин В.Е. Синергетические принципы физической мезомеханики // Физическая мезомеханика. 2000. №6.

126. Панин В.Е. Поверхностные слои нагруженных твердых тел как мезоскопический структурный уровень деформации // Физическая мезомеханика. 2001. №3.

127. Попов В. Л. Термомеханическая модель кристаллических упругопластических сред // ПЖТФ. 1999. Т. 25. №20. С. 31-38.

128. Псахье С. Г., Зольников К. П. Об аномально высокой скорости перемещения границ зерен при высокоскоростном сдвиговом нагружении // ПЖТФ. 1997. Т. 23. №14. С. 44-48.

129. Псахье С. Г., Уваров Т. Ю., Зольников К. П. О новом механизме генерации дефектов на границах раздела. Молекулярно-динамическое моделирование // Физическая мезомеханика. 2000. №3.

130. Псахье С. Г., Уваров Т.Ю., Зольников К. П., Андержанов К. И., Руденский Г. Е. Релаксационные процессы в пост-нагруженном материале // Физическая мезоме-ханика 4. 2000.

131. Слепян Л. И. Нестационарные упругие волны. Л. 1972. 374 с.

132. Слепян Л. И. Механика трещин. М. 1981. 295 с.

133. Слепян Л. И. Антиплоская задача о трещине в решетке. // МТТ. 1982. №9 5. С. 101-115.

134. Смирнов Б.М. Плавление кластеров с парным взаимодействием атомов // УФН. 1994. Т. 164. №11. С. 1165-1185.

135. Смирнов Б. М., Яцено А. С. Свойства димеров // УФН. 1996. Т. 166. № 3. С. 226245.

136. Смирнов Б.М. Скейлинг в атомной и молекулярной физике // УФН. 2001. Т. 171. №12. С. 1291-1315.

137. Смольников Б. А. Проблемы механики и оптимизации роботов. М.: Наука. 1991. 232 с.

138. Соловьев Д. В. Молекулярно-динамическое исследование деформации полиэтилена: Дис. канд. физ.-мат. наук. СПб.: Б.и., 1998. 117 с.

139. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир. 1975.

140. Фомин В. М., Гулидов А. И., Сапожиков Г. А./ и др. Высокоскоростное взаимодействие тел. Новосибирск; Издательство СО РАН. 1999. 600 с.

141. Хантингтон Г. Упругие постоянные кристаллов // УФН. 1961. Т. 74. №Q303. С. 461.

142. Харлоу Ф. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики / В сб.: Выч. методы в гидродинамике. М.: Мир. 1967. 316-342.

143. Хедли Т.Дж., Калиш Д., Андервуд И. И. Современное состояние практического применения сверхпластичности. В кн.: Сверхмелкое зерно в металлах. М.: Металлургия. 1973. С. 300-329.

144. Чудинов В. Г., Чирков А. Г. Влияние вакансий на плотность колебательнх состояний сверхпроводника Ьа2-жЗгз;Си04 (метод молекулярной динамики) // Сверх-проводиость: физика, химия, техника. 1995. Т. 8. №2. С. 243-250.

145. Чудинов В.Г., Чирков А.Г., Нургаянов P.P. Корреляция свойств высокотемпературного сверхпроводника La2-xSra;Cu04 с ангармоничностью атомных потенциалов // Физика низких температур. 1998. Т. 24. № 1. С. 13-16.

146. Экштайн В. Компьютерное моделирование взаимодействия частиц с поверхностью твердого тела. М.: Мир. 1995. 704 с.

147. Яновский Ю.Г., Басистов Ю.А., Згаевский В. Э., Власов A.B., Карнет Ю.Н. // Иерархические модели в механике гетерогенных сред. 1999. Т.2. №3. С. 23-45.

148. Яновский Ю.Г., Згаевский В.Э. // Иерархическое моделирование механического поведения и свойств гетерогенных сред. 2001. Т. 4. №3. С. 63-71.

149. Abraham F. F. and Gao H. Anomalous Brittle-Ductile Fracture Behaviors in FCC Crystals // Philosophical Magazine Letters. 1998. V. 78. P. 307-312.

150. Abraham F. F. and Gao H. How Fast Can Cracks Propagate? // Physical Review Letters. 2000. V.84. P. 3113-3116.

151. Alder B. J. and Wainwright T. E. // J. Chem. Phys. 1957. V.27. P. 1208

152. Allen M. P. and Tildesley A. K. Computer Simulation of Liquids. Oxford: Clarendon Press. 1987.

153. Allen M. P., Warren A., and Wilson M. R. Molecular dynamics simulation of the smectic-A* twist grain boundary phase // Phys. Rev. 1998. E 57. P. 5585-5596.

154. Anisimov S. 1., Zhakhovskii V. V., and Fortov V. E. // JETP Lett. 1997. V. 65. P. 755.

155. Anderson C. E., Hohler Jr. V., Walker J.D., and Stilp A.J. Time-resolved penetration of long rods into steel targets // International Journal of Impact Engineering. 1995. V.16. №1. P. 1-18.

156. Asay J.R. and Barker L. M. Interatomic measurement of shock-induced internal particle velocity and spatial variation of particle velocity / / J . Appl. Phys. 1974. №45. P. 2545-2550.

157. Ashcroft N.W., Mermin N.D. Solid State Physics. New York: Holt Rinehart and Winston. 1976.

158. Astrom J. A, Hoiian B. L, Timonen J. Universality in fragmentation // Physical Review Letters. 2000. V. 84. № 14. P. 3061-3064.

159. Bates M., Zannoni C. A molecular dynamics simulation study of the nematic-isotropic interface of a Gay-Berne liquid crystal // Chem. Phys. Lett. 1997. №9 280. P. 40-45.

160. Baskes M. I. Determination of modified embedded atom method parameters for nickel // Materials Chemistry and Physics. 1997. V. 50. №2. P. 152-158.

161. Baskes M.I. Many-body effects in fee metals: A Lennard-Jones embedded-atom potential // Physical Review Letters. 1999. V. 83. №13. P. 2592-2595.

162. Baskes M. I. The status role of modeling and simulation in materials science and engineering // Current Opinion in Solid State & Materials Science. 1999. V. 4. №3. P. 273-277.

163. Becquart C.S., Kim D., Rifkin J. A. and Clapp P. C. Fracture Properties of Metals and Alloys from Molecular Dynamics Simulations // Mat. Sci. and Eng. 1993. №9 170. P. 87-94.

164. Belyaev A.K., Palmov V. A. Thermodynamic derivation of the heat conduction equation and the dynamic boundary value problem for thermoelastic materials and fluids // Acta Mechanica 1996. V.114. №91-4. P. 27-37.

165. Belyaev A. K. Comparative study of various approaches to stochastic elastic wave propagation // Acta Meccanica. 1997. V. 125. №91-4. P. 3-16.

166. Belyaev A.K., Ziegler F. Uniaxial waves in randomly heterogenious elastic media // Int. J, Probabilistic Eng. Mech. 1998. V. 13. №1. P. 27-38.

167. Bemrose R., Care CM., Cleaver D. and Neal M. P. A Molecular Dynamics Study of a Bi-Disperse Liquid Crystal Mixture Using a Generalised Gay-Berne Potential // Molec. Phys. 1997. №90. P. 625.

168. Bolstad J. MESA Generator & Generator Window Input Specifications Los Alamos Report LA-90-131. 14 March 1990.

169. Borovkov A., Palmov V., Banichuk N., Saurin V., Barthold F., Stein E. Macro-failure criterion for the theory of laminated composite structures with free edge delaminations // Computers & Structures 2000. V.76. №1-3. P. 195-204.

170. Brigadnov I. A., Freidin A. B., Indeitzev D. A., Morozov N.F., Petrov Yu.V. Energy Estimations of Phase Transformations under the Action of a Spherically Converging Compression Wave // Mater. Phys. Mech. 2001. №98. P. 21-24.

171. Brodskaya E. N., Eriksson J. C, Laaksonen A., Rusanov A. I. Local Structure and Work of Formation of Water Clusters Studied by Molecular Dynamics Simulations // J. Colloid Interface Sci. 1996. V. 180. №1. P. 86-97.

172. Brodskaya E.N., Rusanov A.I. Molecular dynamics computation of solvent contribution to work of ion solvation // Molecular Physics. 1999. V. 97. №9 7. P. 701707.

173. Car R., Parrinello M./ Unified Approach for Molecular-Dynamics and Density-Functional Theory // Physical Review Letters. 1985. V. 55. №22. P. 2471-2474.

174. Chen D., Al-Hassani S.T.S., Sarumi M., and Xiaogang J., Crack straining-based spall model // International Journal of Impact Engineering. 1997. №919. P. 107-116.

175. Ciccotti G. and Hoover W. G. (Eds.) Molecular Dynamics Simulation of Statistical-Mechanical systems. North-Holland. Amsterdam. 1986.

176. Ciccotti G., Frenkel D. and McDonald I. R. (Eds.) Simulation of liquids and solids. -North-Holland. 1987.

177. Cochran S. and Banner D. // J. Appl. Phys. 1977. №9 48. P2729.

178. Collins D.R., Smith W., Harrison N. M. , Forrester T. R. Molecular dynamics study of the high temperature fusion of Ti02 nanoclusters // J. Mat. Chem. 1997. V. 7. № 12. P 2543.

179. Cornwell C. F., Wille L. T. Simulations of the elastic response of single-walled carbon nanotubes // Computational Materials Science. 1998. V. 10. №9 1-4. P. 42-45.

180. Curran D. R. and Seaman L. Dynamic failure of solids // Phys. Reports. 1987. № 147. P. 253-388.

181. Duff R.E., Gust W.H., Royce E.B., Mitchell A.C., Keeler R.N., Hoover W.G. Behaviour of dense media under high dynamic pressures // Proc. lUTAM symposium. Paris. 1967. Gordon and Breach. NY. 1968. P397.

182. Dyachenko V. F. The free point method for problems of continuos media // Computer methods in apply mech. and eng. 1973. №2. P. 265-277

183. Ercolessi F., Tosatti E., Parrinello M. Au (100) Surface Reconstruction // Physical Review Letters. 1986. V. 57. №6. P 719-722.

184. Ercolessi F; Adams Jb. Interatomic Potentials From ISt-Principles Calculations — The Force-Matching Method // Europhysics Letters 1994. V.26, №8, pp 583-588.

185. Ercolessi F; Di Tolla F. D; Tosatti E. The microscopic origin of nonmelting and surface overheating at close-packed metal surfaces // Surface Review and Letters 1997. V.4, №5. P 833-837.

186. Erkoc S. Empirical many-body potential energy functions used in computer simulations of condensed matter properties. Physics Reports. 1997. V. 278. №2. P 80-105.

187. Evans M.W., Harlow F. H. The particle-in-cell method for hydrodynamic calculations. Los Alamos Sc. Lab. Rept. NLA-2139. Los Alamos: 1957.

188. Falk M.L., Langer J.S. Dynamics of viscoplastic deformation in amorphous solids // Phys. Rev. E 1998. V.57. №6, P 7192-7205.

189. Falk M. L. Molecular-dynamics study of ductile and brittle fracture in model noncrystalline solids // Phys. Rev. B 1999. V. 60. № 10. P. 7062-7070.

190. Farkas D., Shartry V. Molecular statics simulation of crack propagation in using EAM potentials // Anales De La Asociación Química Argentina 1996. V. 84. №3. P 203-208.

191. Farkas D. Fracture toughness from atomistic simulations: Brittleness induced by emission of sessile dislocations // Scripta Materialia 1998. V. 39. №4-5. P. 533536.

192. Farkas D. Fracture mechanisms of symmetrical tilt grain boundaries // Philosophical Magazine Letters 2000. V.80. №4. P. 229-237.

193. Fineberg J. and Marder M. Instability in dynamic fracture // Physics Reports. V. 313. №1-2. May 1999. R 1-108.

194. Gao H., Ozkan C.S., Nix W. D., Zimmerman J. A. and Freund L. B. Atomistic models of dislocation formation at crystal surface ledges in Sil-xGex /Si(lOO) heteroepitaxial thin films // Philosophical Magzine A. 1999. V. 79. P. 349-370.

195. Gao H., Huang Y. and Abraham F. F. Continuum and atomistic studies of intersonic crack propagation // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2001. V. 49. R 2113-2132. Link to PDF file(288K).

196. Gear C. W. Numeric initial value problems in ordinary differential equations. -Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ. 1971

197. Geckinli A. E., Barrett C. R. Superplastic deformation of the Pb-Sn eutectic // J. Mat. Sc. 1976. V. 11. №3. R 510-521.

198. Gibson J.B., Goland A.N., Milgram M., and Vineyard G.H. // Phys. Rev. 1960. № 120. R 1229.

199. Gooch W.A., Burkins M.S., Frank K. Ballistic performance of titanium against laboratory penetrators. 1996. 1st Australian congress on Applied Mechanics'96, Melbourne.

200. Gumbsch P., Zhou S.J., Holian B. L. Molecular dynamics investigation of dynamic crack stability // Physical Review B-Condensed Matter. 1997. V. 55. №6. P. 34453455.

201. Gumbsch P. and Gao H. Dislocations Faster Than the Speed of Sound // Science. 1999. V.283. №5404. R 965-968. Link to PDF file.

202. Gumbsch P. and Gao H. Driving force and nucleation of supersonic dislocations // Journal of Computer-Aided Materials Design. 1999. V. 6. P. 137-144.

203. Haile J. M. Molecular dynamics simulation. Wiley. 1992.

204. Hallquist J.O., and Whirley R.G. DYNA3D User's Manual // Lawrence Livermore Report UCID-19592. Rev. 5. May 1989.

205. Hockney R. W. and Eastwood J.W. Computer simulation using particles lOP Publishing. 1988.

206. Holian B.L, Straub G.K. // Phys. Rev. B. 1978. V. 18. P. 1593.

207. Holian B.L, Straub G.K. // Phys. Rev. Letters. 1978. V.43. R 1598.

208. Holian B.L, Hoover W.G, Moran B., Straub G.K. // Phys. Rev. A. V.24. R2595.

209. Holian B. L. Modeling Shock-Wave Deformation Via Molecular-Dynamics // Physical Review A 1988. V.3 7. No. 7. R 2562-2568.

210. Holian B.L., Voter A.F., Wagner N.J., Ravelo R.J., Chen S.P., Hoover W.G., Hoover C. G., Hammerberg J. E., Dontje T. D. Effects of Pairwise versus Many-Body Forces on High-Stress Plastic Deformation // Physical Review A. 1991. V.43. №6. R 2655-2661.

211. Holian B.L. Large-scale molecular-dynamics simulations of plastic-deformation // Radiation Effects and Defects in Solids. 1994. V. 129. No. 1-2. P. 41-44.

212. Holian B. L. Atomistic Computer-Simulations of Shock Waves // Shock Waves. 1995. V.5. №3. R 149-157.

213. Holian B.L., Ravelo R. Fracture Simulations Using Large-Scale Molecular-Dynamics // Physical Review B-Condensed Matter. 1995. V.51. No 17. R 11275-11288.

214. Holian B.L., Blumenfeld R., Gumbsch P. An Einstein model of brittle crack propagation // Physical Review Letters. 1997. V. 78. №1. P. 78-81.

215. Holian B.L., Lomdahl P.S., Zhou S.J. Fracture simulations via large-scale nonequilibrium molecular dynamics // Physica A. 1997. V. 240. №1-2. P. 340-348.

216. Holian B. L., Lomdahl P. S. Plasticity induced by shock waves in nonequilibrium molecular-dynamics simulations // Science. 1998. V. 280. №«5372. P. 2085-2088.

217. Hoover W.G. // Phys. Rev. Letters. 1979. V.42. R1531.

218. Hoover W.G., Degroot A.J., Hoover C.G. Stowers I.E., Kawai T., Holian B.L., Boku T., lhara S., Belak J. Large-Scale Elastic-Plastic Indentation Simulations Via Nonequilibrium Molecular-Dynamics // Physical Review A 1990. V.42. №«10. R 5844-5853.

219. Hoover W.G. Computational statistical mechanics. Elsevier. 1991.

220. Hoover W. G., Holian B. L. Kinetic moments method for the canonical ensemble distribution // Physics Letters A 1996. V.211. №9 5. P. 253-257.

221. Hoover W. G. Isomorphism linking smooth particles and embedded atoms // Physica A 1998. V.260. №3-4. P 44-254.

222. Hoover W. G., Hess S. Anisotropic plasticity with embedded-atom potentials // Physica A 1999. V.267. №1-2. P 98-110.

223. Ivanova E. A. A New Approach to Solution of some Problems of the Rigid Body Dynamics // ZAMM. • Z. angew. Math. Mech. 2001. V.81. №9. P. 613-622.

224. Kanel G.I., Razorenov S.V., Bogatch A., Utkin A.V., and Grady D. E. Simulation of spall fracture of aluminum and magnesium over a wide range of load duration and temperature // International Journal of Impact Engineering. 1997. №9 20. P. 467-478.

225. Kim J. J., Marzouk H.A., Eloi C.C., Robertson J.D. // J. Appl. Rhys. 1995. V.78. №1. P24 5.

226. Krivtsov A., Krivtsova N. Two Models for Description of Photospheric Flows Based on Doppler Velocity Measurements. Sonnenphysik-Seminar. Astrophysikalisches Institut. Potsdam. 25 March, 1994.

227. Krivtsov A.M. Computer simulation of structural damage under intense loading. EUROMECH 362 Structural Damage and Failure under Intense Loading. Manchester. England. 21-23 April 1997.

228. Krivtsov A.M. Constitutive Equations for Complex Crystal Materials // Book of Abstracts of the 3rd EUROMECH Solid Mechanics Conference. Stockholm. Sweden. August 1997. P. 197.

229. Krivtsov A. M. Particle Simulation of Inelastic Deformation and Destruction under Impact Loading. GAMM. Annual Scientific Conference. Regensburg. 1997.

230. Krivtsov A. M. Stability and Bifurcation of Stationary Motions of Elastically Mounted Rigid Body // ZAMM • Z. angew. Math. Mech. 1997. V.77. №«51. P 171-172.

231. Krivtsov A.M., Mescheryakov Yu.I., Divakov A. K. Particle simulation of the spall fracture process. International Workshop on New Approaches to Hi-Tech Materials 97. / St.-Petersburg. Russia. 1997. R FIO.

232. Krivtsov A.M., Zhilin P.A. Particle Simulation of Large Inelastic Deformations // Transactions of the 14th International Conference on Structural Mechanics in Reactor technology (SMiRT 14). Lyon. France. August 17-22, 1997. P 121-128.

233. Krivtsov A.M. Constitutive Equations of the Nonlinear Crystal Lattice. GAMM. Annual Scientific Conference. Bremen. 1998.

234. Krivtsov A.M. Influence of Velocities Dispersion on Spall Strength of Material. GAMM. Annual Scientific Conference. Bremen. 1998.

235. Krivtsov A.M. Molecular Dynamics Investigation of the Spall Fracture // Preprints of the Second International Workshop HI-TECH 98: Nondestructive Testing and Computer Simulations in Sciences and Engineering. St.-Petersburg. 1998. C.21.

236. Krivtsov A. M. Relation between Spall Strength and Mesoparticle Velocity Dispersion. Hypervelocity impact symposium. Huntsville. USA. 1998.

237. Krivtsov A.M., Hofmann A., Staude J., Klvana M., Bumba V. Determination of the full velocity vector based on vector magnetograph measurements in an asymmetric sunspot // Astronomy & Astrophysics. 1998. V. 335. №3. P. 1077-1084.

238. Krivtsov A., Hofmann A., Staude J., Klvana M., Bumba V. Determination of the velocity vector field in an asymmetric sunspot based on vector magnetograph measurements. The 3rd ASPE Meeting: Magnetic field and Oscillations. Caputh. Germany. 1998.

239. Krivtsov A. M. Constitutive Equations of the Nonlinear Crystal Lattice. // ZAMM. 1999. V.79. №S2. P 419-420.

240. Krivtsov A.M. Computer Simulation of Spall Crack Formation // Structural Dynamics. EURODYN '99. Fryba & Naprstek (eds). 1999. Balkema. Rotterdam. ISBN 9058090566. P 475-477.

241. Krivtsov A.M. Influence of Velocities Dispersion on Spall Strength of Material // ZAMM • Z. angew. Math. Mech. 1999. V.79. №S2. P511-512.

242. Krivtsov A. M. Relation between Spall Strength and Mesoparticle Velocity Dispersion // International Journal of Impact Engineering. 1999. V. 23. №1. P. 466-476.

243. Krivtsov A.M., Mescheryakov Y.I. Molecular Dynamics Investigation of the Spall Fracture // Proceedings of SPIE. 1999. V.3687. P 205-212.

244. Krivtsov A.M., Wiercigroch M. Dry Friction Model of Percussive Drilling // Meccanica. 1999. V. 34. №6. P 425-435.

245. Krivtsov A.M., Wiercigroch M. Influence of Nonconservative Forces on Stability of High Speed Drilling // Book of abstracts of the Fourth International Congress on Industrial and Applied Mathematics. Edinburgh. Scotland. 5-9 July 1999. P. 281.

246. Krivtsov A.M. Simulating Perforation of Thin Plates Using Molecular Dynamics Approach. Proc. of International Conference "Shock waves in Condensed Matter". St.-Petersburg. 2000. P. 158-160.

247. Krivtsov A.M., Wiercigroch M. Penetration Rate Prediction for Percussive Drilling // Chaos, Solitons & Fractals. 2000. V. 11. № 15. P 2479-2485.

248. Krivtsov A. M. About Using Moment of Momentum and Angular Velocity Vectors // ZAMM. • Z. angew. Math. Mech. 2001. V.81. №6. P 393-403.

249. Krivtsov A.M. Second Order Equation of State for Lennard-Jones Chain // Proceedings of the XXVIII Summer School Actual Problems in Mechanics. St.-Petersburg. Russia. 2001. V. 1. P. 79-90.

250. Krivtsov A.M., Wiercigroch M. Impact Fracture in Polycrystalline Materials via Particle Dynamics. XXIX Summer School Advanced Problems in Mechanics. St.-Petersburg. Russia. 1-10 June, 2001.

251. Krivtsov A.M., Wiercigroch M. Mechanical properties of polycrystal materials, molecular dynamics simulation // Proceedings of the XXVIII Summer School Actual Problems in Mechanics. St.-Petersburg. Russia. 2001. V. 1. P. 71-78.

252. Krivtsov A.M., Wiercigroch M. Molecular dynamics simulation of impact fracture in polycrystalline materials. EUROMECH Colloquium 425: Nonlinear Dynamics, Control and Condition Monitoring. Aberdeen. UK. 20-24 August 2001.

253. Krivtsov A.M., Wiercigroch M. Molecular Dynamic Simulation of Mechanical Properties for Polycrystal Materials // Materials Physics and Mechanics. 2001. V. 3. №1. P 45-51.

254. Krivtsova N., Krivtsov A., Klvana M., Bumba V. Modelling of Photospheric Horizontal Motions from Photoelectric Doppler Measurements // International Conference on Solar Magnetic Fields. Freiburg. Germany. 29 June 2 July, 1993.

255. Lennard-Jones J.E. // Proc. Royal Society. 1924. V. 106. №441. P. 463.

256. Lomdahl P. S., Beazley D.M., Zhou S.J., Holian B. L. Molecular dynamics of very large systems // Radiation Effects and Defects in Solids. 1997. V. 142. № 1-4. P 1-7.

257. McQuarrie D. A. Statistical Mechanics. Harper & Row. NY. 1976.

258. Melker A.I., Ivanov A.V., Romanov S.N. Computer modeling of electronic and atomic processes in solids / Eds. Tennyson R. C. and Kiv AE. // Kluwer Academic Publishers. NATO ASl. Series 3. 1977. V.22. P 97-106.

259. Monaghan J.J. Particle methods for hydrodynamics // Comp. Rhys. Rep. 1985. №. 3. R 71-124.

260. Soloviev D.V., Melker A.I. Formation, structure and deformation of a polyethylene globule in confined geometry // Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering. 1998. V.6. №4. P. 361-368.

261. Mescheryakov Y.I. and Divakov A. K. Multiscale kinetics of micro structure and strain-rate dependence of materials // DYMAT J. 1994. №9 4. P. 271-287.

262. Mescheryakov Y. I., Mahutov N.A., and Atroshenko S.A. Micromechanisms of dynamic fracture of ductile high-strength steels // J. Mech. Rhys. Sol. 1994. №9 42. R1435-1457.

263. Mescheryakov Y. I. On the fluctuative decay of waves in solids // Proc. of the XXIV Summer School Nonlinear Oscillations in Mechanical Systems. 1997. St.-Petersburg. Russia. P. 436-454.

264. Mescheryakov Y. I., Divakov A.K., Zhigacheva N.I. Shock-induced phase transformation and vortex instabilities in shock loaded titanium alloys // Shock V/aves. 2000. №10. P 43-56.

265. Mogilevski M. A. HDP Symposium. Paris. 1978.

266. Morozov N., Petrov Y. Dynamics of Fracture. Springer-Verlag. Berlin Heidelberg New York. 2000.

267. Morrey W. C, WiUe L. T. Molecular dynamics simulations of spallation in metals and alloys // Computational Materials Science. 1998. V. 10. №1-4. P. 432-435.

268. Nagy I., Laszld J., and Giber J. // Z. Phys. 1985. №oA321. P. 221.

269. Nose S. A Molecular-Dynamics Method for Simulations in the Canonical Ensemble. Molecular Physics. 1984. V.52. №2. P. 255-268.

270. Nose S. A unified formulation of the constant temperature molecular-dynamics methods. Journal of Chemical Physics. 1984. V.81. №1. P. 511-519.

271. Nose S. An extension of the canonical ensemble molecular-dynamics method. Molecular Physics. V.57. №«1. P. 187-191.

272. Nose S. Constant-Temperature Molecular-Dynamics // Journal of Physics-Condensed Matter. 1990. V.2. P. SA115-SA119.

273. Nose S. Constant Temperature Molecular-Dynamics Methods // Progress of Theoretical Physics Supplement. 1991, №9 103. P. 1-46.

274. Nose S. Dynamic Behavior of a Thermostated Isotropic Harmonic-Oscillator // Physical Review E. 1993. V.47. № 1. R 164-177.

275. Nordsieck A. // Math. Comput. 1962. V. 16. R22.

276. Palmov V. A. Comparison of decomposition methods in nonlinear viscoelasticity and elastoplasticity // Zeitschrift Fur Angewandte Mathematik Und Mechanik. 1997. V. 77. R S643-S644.

277. Parrinello M. From silicon to RNA: The coming of age of ab initio molecular dynamics // Solid State Communications. 1997, V. 102. №2-3., P. 107-120.

278. Parrinello M., Rahman A., Vashishta P. Structural Transitions in Superionic Conductors // Physical Review Letters. 1983. V.50. №«14. P. 1073-1076.

279. Raskin A., Dienes G.J. //J. Appl. Phys. V.43. R 1605.

280. Plimpton S. Computational Limits of Classical Molecular-Dynamics Simulations // Computational Materials Science. 1995. V.4. №9 4. P. 361-364.

281. Plimpton S., Hendrickson B. Parallel Molecular-Dynamics Algorithms for Simulation of Molecular-Systems // Parallel Computing in Computational Chemistry. 1995. V.592. R 114-132.

282. Plimpton S., Hendrickson B. A new parallel method for molecular dynamics simulation of macromolecular systems // Journal of Computational Chemistry. 1996. V. 17. №3. P. 326-337.

283. Prockuratova E.I., Indejtchev D.A. The influence of defects localization and stable mesoparticles formation on the behaviour of material under impact loading // Journal De Physique IV. 1997. V. 7. №C3. P. 815-820.

284. Rahman A. // Rhys. Rev. 1964. V. 136. A405.

285. Rajendran A.M., Dietenberger M. A., Grove D.J. A void growth-based failure model to describe spallation // Journal of Applied Physics. 1989. V. 65. №4. P. 1521-1527.

286. Rajendran A.M. , Grove D.J. Modeling the shock response of silicon carbide, boron carbide and titanium diboride // International Journal of Impact Engineering. 1996. V. 18. №6. R611-631.

287. Rajendran A.M. Penetration of tungsten alloy rods into shallow-cavity steel targets // International Journal of Impact Engineering. 1998. V. 21. №6. P. 451-460.

288. Rapaport D.C. The art of molecular dynamics simulation. Cambridge Univ. Press. 1995.

289. Rafii-Tabar H. Modelling the nano-scale phenomena in condensed matter physics via computer-based numerical simulations // Physics Reports. V. 325. №6. March 2000. R239-310.

290. Robertson D. H., Brenner D. W., and White C. T. Molecular Dynamics Analysis of Shock Phenomena, in High-Pressure Shock Compression of Solids-III. Davison & M. Shahinpoor, Eds. 1996. Springer-Verlag.

291. Sahimi M. Non-linear and non-local transport processes in heterogeneous media: from long-range correlated percolation to fracture and materials breakdown // Physics Reports. V.306. №4-6. 1 December 1998. R213-395.

292. Schiotz J., Rasmussen T., Jacobsen K.W., Nielsen O.H. Mechanical deformation of nanocrystalline materials // Philosophical Magazine Letters. 1996. V. 4. №5. P. 339344.

293. Schiotz J., Di ToUa F. D., Jacobsen K. W. Softening of nanocrystalline metals at very small grain sizes // Nature. 1998. V.391. №«6667. P 561-563.

294. Schiotz J., Vegge T., Di Tolla F. D., Jacobsen K.W. Atomic-scale simulations of the mechanical deformation of nanocrystal metals // Physical Review B. 1999. V. 60. №17. P 11971-11983.

295. Schneider M., Schüller Ik., Rahman A. Epitaxial-Growth of Silicon — A Molecular-Dynamics Simulation // Physical Review B-Condensed Matter. 1987. V. 36. №9 2. P1340-1343.

296. Schneider M. , Rahman A., Schüller Ik. Epitaxial-Growth of Thin-Films Studied by Molecular-Dynamics Simulation // Superlattices and Microstructures. 1990. V. 7. №1. P 39-46.

297. Segletes S. B. Thermodynamic stability of the Mie-Grijneisen equation of state, and its relevance to hydrocode computations // J. Appl. Rhys. 1990. V. 70. №5. P. 24892499.

298. Swainson I. P. and Dove M. T. Molecular dynamics simulation of alpha- and beta-cristobalite // Journal of Physics: Condensed Matter. 1995. V. 7. P. 1771-1788.

299. Tsai D.H., Beckett C.W. // J. Geophys. Research. 1966. V.71. P. 2601.

300. Tsai D.H., Beckett C.W. // Proc. lUTAM symposium, Paris, 1967. Gordon and Breach. NY. 1968. P 99.

301. Tuckerman M.E., Martyna G.J. Understanding modern molecular dynamics: Techniques and applications // Journal of Physical Chemistry B. 2000. V. 104. №2. R159-178.

302. Verlet L. Computer 'experiments' on classical fluids. 1. Thermodynamical properties of Lennard-Jones molecules // Rhys. Rev. 1967. V. 159. №9 98. P. 103.

303. Verlet L. Computer 'experiments' on classical fluids. 11. Equilibrium correlation functions // Phys. Rev. 1968. V. 165. №20 1. R 14.

304. Vorobiev O., Shutov A., Lomov LN., Shishov D.A., Medin S.A., Fortov V.E. Comparative analysis of computer codes for hypervelocity impact problems with large deformations // International Journal of Impact Engineering. 1997. V. 20. P. 80 5- 8 1 6.

305. Wagner N.J., Holian B. L., Voter A. F. Molecular-Dynamics Simulations of 2-Dimensional Materials at High-Strain Rates // Physical Review A. 19 92. V. 45.12. R 8457-8470.

306. Wiercigroch M. , Krivtsov A.M., Wojewoda J. Dynamics of Ultrasonic Drilling of Hard materials / In Wiercigroch M. and de Kraker A. eds. Applied Non-linear Dynamics and Chaos of Mechanical Systems with Discontinuities. World Scientific.2000. 403-444.

307. Wiercigroch M., Krivtsov A.M. Frictional chatter in orthogonal metal cutting // Philosophical Transactions of the Royal Society A. 2001. v.359. №1781. P. 713-738.

308. Witle L. T., Dreysse H. Growth of magnetic overlayers on a polarized substrate: The case of Fe/Cr // Journal of Applied Physics. 1999. V. 85. № 8 . P. 4622-4624.

309. Yano K., Horie Y. Discrete-element modeling of shock compression of polycrystalline copper // Physical Review B-Condensed Matter. 1999. v.9. №»21., P.

310. Zhakhovskii V.V., Nishihara K., and Anisimov S.I. ibid. 66, 99 (1997).

311. Zhilin P. A. A New Approach to the Analysis of Eree Rotations of Rigid Bodies // ZAMM • Z. angew. Math. Mech. 1996. v.76. №4. R 1 87-204.

312. Zhilin P. A. Rotations of Rigid Body with Small Angles of Nutation //ZAMM • Z. angew. Math. Mech. 1996. V.76. S2. R 711-712.3 28. Zhilin P. A. Rigid body oscillator: a general model and some results // Acta Mechanica. 2000. V. 142. P. 169- 193.

313. Zhou S.J., Lomdahl P. S., Thomson R., Holian B.L. Dynamic crack processes via molecular dynamics // Physical Review Letters. 1996. V.76. №13. P. 2318-2321.

314. Zhou S.J., Beazley D. M., Lomdahl P. S., Holian B.L. Large-scale molecular dynamics simulations of three-dimensional ductile failure // Physical Review Letters.1997. V . 7 8 . №o3. R 479-482.

315. Zhou S.J., GronbechJensen N., Bishop A.R., Lomdahl P.S., Holian B.L. A nonlinear-discrete model of dynamic fracture instability // Physics Letters A. 1997.

316. V.232. № o 3 4 . R 183-188.

317. Zhou S.J., Lomdahl P.S., Voter A.F., Holian B.L. Three-dimensional fracture via large-scale molecular dynamics // Engineering Fracture Mechanics. 1998. V. 61. №91.1. R 173-187.