Статистическая модель длительной прочности и разрушения твердых тел при накоплении повреждений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Диссертационный совет К 063.73.02 1 о ' по физико-математическим наукам

На правах рукописи УДК 539.3

Дунаев Владимир Игоревич

СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЛИТЕЛЬНОЙ ПРОЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПРИ НАКОПЛЕНИИ ПОВРЕЖДЕНИЙ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Краснодар 1998

Работа выполнена на кафедре математического моделирования Кубанского государственного университета

Научный руководитель: академик РАН,

доктор физико-математических нау] профессор БАБЕШКО В.А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор ГЛУШКОВ Е.В.;

Ведущее предприятие: Кубанский государственный аграрньп

университет

Защита состоится " 25 " июня 1998 года в 10— часов на заседани диссертационного совета К 063.73.02 по физико-математическш наукам в Кубанском государственном университете по адрес; 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, КубГУ, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотек КубГУ.

кандидат физико-математических наук, доцент ФРОЛОВ Н.Н.

Автореферат разослан " уСссьЛ}_¡998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, доцент

А.А. Евдокимо

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования:

Одной из основных задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ) и ее приложений в технике является задача построения физически обоснованных математических моделей и критериев прочности и разрушения твердых тел. Решения систем уравнений МДТТ определяют функции напряжений, деформаций, перемещений и температуры в каждой точке твердого тела, которые необходимы для расчета п проектирования инженерных конструкций. Для оценки прочности и долговечности конструкций решение уравнений МДТТ должны бьпъ дополнены условиями прочности и разрушения материалов и твердых тел с заданными физико-механическими свойствами.

Предметом настоящего исследования являются:

• математические и физические модели длительной прочности и разрушения термоупругих твердых тел в хрупком состоянии при накоплении повреждений;

• статистические подходы в оценке длительной прочности и разрушения;

• физические осповы теории накопления повреждений.

• критерии длительной прочности и разрушения твердых тел.

Актуальность темы:

При изучении моделей прочности и разрушения твердых тел, математические и физические проблемы являются объектом наиболее актуальных исследований для теоретического объяснения концепций в теории прочности. Математическое описание длительной прочности материалов в

хрупхом состоянии и конструкций из таких материалов представляют одну из главных проблем, при прогнозировании долговечности инженерных сооружений в многочисленных практических случаях. Экспериментальные исследования образцов конструкционных материалов при их разрушении обнаруживают значительный разброс (от одной третьей до утроенной величины средних значений) предельных характеристик материалов (пределов прочности, времен разрушения) для идентичных образцов при одинаковых внешних воздействиях. Поэтому, природу наблюдаемого процесса необходимо анализировать статистическими методами с целью последующего использования результатов для обоснованной оценки конструкционных возможностей материалов, так как значительные отклонения от средних предельных характеристик делают эти средние характеристики недостаточными:

Экспериментальное решение этой проблемы имеет ограниченные возможности, поскольку при умеренном числе обычно доступных испытаний в воспроизводимых условиях трудно провести различие между разными статистическими функциями распределения. В некоторых случаях для этого требуются несколько тысяч результатов испытаний. Кроме того, чисто экспериментальные методы исследования не дают оснований экстраполировать вид функций распределения, полученных при одних условиях, например разрушении при растяжении образцов, на другие условия, например разрушение образцов при сдвиге или кручении.

Другой подход, который реализован в настоящей работе, состоит в построении физически обоснованных статистических моделей процесса прочности и разрушения с последующей теоретической и экспериментальной проверкой физических гипотез и математических распределений, вытекающих из этих гипотез.

Цель работы

• Разработка статистической модели длительной прочности и разрушения твердых тел при накоплении повреждений.

• Теоретическое вычисление статистических распределений времен разрушения макрочастицы (прочность) и твердого тела при сложном напряженно-деформированном состоянии; теоретическое вычисление параметров распределения, масштабного фактора и коэффициента изменчивости длительной прочности й разрушения твердых тел.

• Построение критериев длительной прочности и разрушения твердых тел в сложном напряженном состоянии с учетом времени разрушения, температуры и объема тела (объема макрочастицы тела).

Достоверность научных результатов и методов исследования

Исследование поставленных задач выполнено на основе статистической теории разрыва связей (атомных, молекулярных), осуществляющих сцепление в материале (распределение Больцмана), асимптотической теории экстремальных порядковых статистик, теории вероятностей и математической статистике, уравнений и методов механики деформированного твердого тела, постулатов и принципов механики разрушения.

На защиту выносится:

• Статистическая модель длительной прочности й разрушения твердого тела при накоплении повреждений на основе концепции «наислабейшего звена» с переменным во времени числом звеньев в результате необратимого разрыва связей, обеспечивающих сцепление в материале для различных уровней структурной организации материала: а) субмикроскопический (разрыв связей, обеспечивающих сцепление

в материале); б) микроскопический (разрушение макрочастицы); в) макроскопический (разрушение твердого тела).

• Теоретически полученные статистические распределения (распределение Вейбулла) времен разрушения термоупругого твердого тела на различных уровнях при сложном напряженном состоянии и заданной температуре Т = const. Теоретически вычисленные параметры распределения Вейбулла, масштабные факторы и коэффициенты изменчивости длительной прочности твердых тел.

• Критерии длительной прочности и разрушения термоупругих в общем случае анизотропных твердых тел (типа критериев прочности при кратковременном разрушении), при деформировании в изотермических условиях Т— const, с учетом зависимости от скалярных величин: среднего времени разрушения, температуры, объема тела (масштабный фактор); и тензорных величин: компонент тензоров напряжений (деформаций) и тензоров, характеризующих механические свойства и свойства теплового расширения материала.

Практическая значимость

Полученные в диссертации результаты могут быть непосредственно применены для оценки длительной прочности конструкционных материалов и конструкций.

Научная новизна

Совокупность полученных результатов представляет новые научные исследования и результаты в теории длительной прочности и разрушения материалов в хрупком состоянии, а также результаты по применению новой статистической модели «наислабейшего звена» с переменным числом

звеньев в асимптотической теории экстремальных порядковых статистик для учета разрушения при накоплении повреждений.

Апробация работы

Результаты работы доложены на Ш Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» г.Ростов-на-Дону, 1997 год, Воронежской школе «Современные проблемы механики и прикладной математики», гЛЗоронеж, 1998 год.

Публикации

По материалам диссертации опубликовано пять печатных работ. Одна работа принята в печать.

Объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, рисунков, списка литературы - 71 наименование, занимающих 85 страниц машинописного текста.

Содержание работы

Построение математических моделей и разработка физических концепций разрушения являются предметом интенсивных и разносторонних исследований. Математические и физические основы теории разрушения и накопления повреждений для твердых сред различной природы сформулированы в трудах выдающихся отечественных ученых: A.A. Ильюшина, В.В. Новожилова, Ю.Н. Работнова, Л.М. Качалова, Л.Н. Седова, Н.И. Мусхе-лишвили, А.Ф. Иоффе, H.H. Давиденкова, С.Н. Журкова, В.В. Болотина, Г.М. Бартенева. Многие отечественные и зарубежные ученые внесли свой вклад в это плодотворное направление в механике деформированного

твердого тела. Развитое новых идей происходило при непосредственном участие многих известных ученых: Г.П. Черепанова, Г.И. Писаренко, Г.С. Леонова, В~А. Бабешко, И.И. Воровича, Н.Н. Афанасьева, Н.Ф. Морозова, Д.Д Ивлева, JI.B. Никитина, В.И. Кондаурова, Б.В. Кострова, В.З. Партона, А.А, Вакуленко, B.C. Куксенко, В.П. Тамужа. Наиболее полный обзор исследований зарубежных ученых, выполнивших работы в различных областях теории разрушения до 70-х годов, содержится в обширном энциклопедическом издании под редакцией ГЛибовица. Последние годы круг работ по механике разрушения и число публикаций растет значительными темпами, и среди них проблемы континуального разрушения твердых тел занимают одно из ведущих мест.

В первой главе диссертации приведен анализ некоторых моделей прочности и разрушения в механике деформированного твердого тела, необходимых длх направления и обоснования методов исследования. В п. 1.1 приведены основные предположения при построении поверхностей разрушения материалов в хрупком состоянии и ограничения, накладываемые при этом на область их применения. В п. 1.2 рассмотрены основные модели в теориях континуального разрушения (теории накопления повреждений), модели длительной прочности А.А. Ильюшина, критерии Качанова JLM. и Работнова Ю.Н., экспериментально-теоретические подходы Журкова С.Н., Дж. Бейли и некоторые современные исследования зарубежных и отечественных исследователей. В п. 1.3. приведены термодинамические условия энергетических критериев, например, критерия Гриффитса. В п. 1.4 рассмотрен статистический подход к хрупкому разрушению.

Во второй главе получены основные результаты исследований. В п.2.1. сформулированы основные гипотезы и допущения предлагаемой статистической модели накопления повреждений и разрушения твердых тел.

1. Разрушение твердых тел при действии внешних сил представляет термодинамически необратимый вероятностный процесс накопления повреждений во времени на различных уровнях структурной организации материала: а) - субмикроскопический уровень (разрыв связей, обеспечивающих сцепление в материале); б) — микроскопический уровень (разрушение макрочастицы); в) — макроскопический уровень (разрушение тела).

2. Образование, накопление и развитие повреждений различных типов (субмикротрещин, микротрещин, трещин) на всех уровнях разрушения происходит в результате накопления необратимых разрывов связей (атомных, молекулярных) осуществляющих сцепление в материале. В процессе разрыва, связи преодолевают некоторый энергетический барьер. Величина энергетического барьера, в соответствии со статистической теорией разрыва связи, зависит от средней, в пределах макрочастицы, удельной внутренней энергии, которая полностью определяет уравнения состояния и физико-механические свойства твердых тел. На основе этого предположения, предлагаемый статистический подход применим к различным типам разрушения деформируемых твердых тел разной природы: термоупругим, вязкоупругим, пластичным, электро-м агн итоупругим, т.е. к материалам, для которых детерминирован функционал (функция) внутренней энергии, (п.2.2).

3. Микроструктура реальных материалов содержит дефекты и неоднородности и удельная внутренняя энергия неоднородно распределена по связям в пределах макрочастицы. Начало и развитие процесса разрушения во времени в высокой степени локализовано и определяется функциями распределения минимальных времен разрушения (разрыва связей, разрушения макрочастицы, разрушение тела) на каждом уровне, которые вычислены на основании предложенной концепции «наислабейшего

звена» с переменным числом звеньев (п.2.3.). В п.2.2. получена функция распределения времен необратимого разрыва связей, обеспечивающих сцепление в материале. На основе статистической теории разрыва связей (распределение Больцмана), обеспечивающих сцепление в материале получены функции распределения P(t Д) и плотность распределения p(t,X) времен t необратимого разрыва связей, которые в частном случае статической усталости термоупругих тел при постоянных во времени нагрузках в изотермических условиях Т= Т0= const имеют вид:

P(/,X) = (/-f0)/|/*(x)-r0], (1)

p(X)=Y(x)-l\\ (2)

/*(Х)-/„ = B~l fcp[Y(t/ - U0)/kT0]~ I}"1 , (3)

В = х-0>ехр[-(и.-уи0)/кТ], (4)

U=U$(X\T0]. (5)

В выражениях (1)-(5) введены обозначения: U =i/[s(x),ro] - функция удельной внутренней энергии термоупругого твердого тела, X - вектор ла-гранжевых координат точек тела, £(х)- тензор напряжений, fQ - наименьшее и / - наибольшее время разрыва связи, т0 - период тепловых колебаний кинетических единиц (атомов, молекул), С/,= (Um - у<UQ>) - энергетический барьер в отсутствии действия внешних сил, U - энергия связи, к -постоянная Больцмана, у = kQ у0, у0 - объем, приходящийся на одну связь, ка > 1 - коэффициент неоднородности распределения внутренней энергии по связям в макрочастице нагруженного материала, <f/0>+ U0 - безопасный

уровень внутренней энергии, U0 = ^[^(х),^] , 50(Х) - тензор безопасных напряжений. Энергия U может быть представлена также в эквивалентном виде в функции от тензора деформаций. Полученная плотность рас-

пределеиия вероятностей времен необратимого разрыва (1) связей зависит от внутренней эиергии в общем случае нелинейного термоупругого тела и является исходной, в сочетании с третьим допущением (п. 2.1), для построения модели разрушения твердого тела на субмикроскопическом уровне. В п.2.3 рассмотрено применение асимптотической теории экстремальных порядковых статистик к вероятностным моделям прочности. Асимптотическая теория экстремальных порядковых статистик используется для описания случайных событий, в которых экстремальные значения играют главпуга роль, и приводит к точным или приближенным вероятностным моделям. В тех случаях, когда исходные допущения модели соответствуют физическим допущениям в наблюдаемом случайном ЯБлении, то это сложное явление можно описать простой асимптотической моделью. Рассмотрено применение некоторых моделей экстремальных порядковых статистик в статистических теориях прочности твердых тел и в предлагаемом статистическом подходе. В п.2.3 предложена модель «наислабейшего звена» с переменным числом звеньев. В классической модели «наислабейшего звена» статистическая задача о прочности цепи, удовлетворяющей гипотезе наислабейшего звена, эквивалентна задаче о распределении наименьших значений в выборке постоянного размера п, не зависящей от случайной величины прочности каждого звена. Эта гипотеза соответствует физическому допущению о критическом характере прочности, в котором прочность не зависит от продолжительности и режима нагружения. Для исследования процесса разрушения при накоплении повреждений рассмотрена концепция «наислабейшего звена» для цепей с переменным числом звеньев. Иначе говоря, процесс разрушения твердого тела отождествляется с разрушением цепи, имеющей время разрушения, равное времени разрушения «наислабейшего звена» с учетом переменного числа звеньев, которое также зависит от времени. Эта концепция последовательно применепа на каждом

уровне разрушения твердого тела: субмикроскопическом (г =1, разрыв связи), микроскопическом (/" = 2, разрушение макрочастицы) и макроскопическом (г = 3, разрушение твердого тела) (п. 2. 1). При этом, функция распределения времен разрушения такой цепи зависит не только от функции распределения каждого звена и достаточно большого числа звеньев п = const, как в случае классической концепции «паи слабейшего звена», но и от функции изменения числа звеньев л = n{t). Статистическая задача о времени разрушения цепи с переменным числом звеньев, удовлетворяющих гипотезе наислабейшего звена, эквивалентна задаче о распределении наименьших значений в выборке, состоящей из переменного (увеличивающегося) размера п - п((). Размер выборки определяется функцией распределения числа необратимо разорванных звеньев (связей) на соответствующем уровне разрушения, и следовательно, (по определению функции распределения) представляет возрастающую функцию времени л = n(t) (п. 2.3). Если время разрушения цепи на соответствующем уровне определяется локальным наименьшим временем разрушения звена, то функция распределения времен разрушения на каждом уровне получается как функция распределения локальных времен разрушения в совокупности n(t) звеньев соответствующего уровня. Эти представления сформулированы в виде следующей вероятностной модели. Пусть цепь состоит из n(/)V одинаковых звеньев, где n(t) - число звеньев в единице объема. Время разрушения Гч любого q-го звена есть случайная величина с функцией распределения Р(ГЧ< t}=P(t), здесь t - реализация случайной величины Гч. Времена разрыва звеньев не зависят друг от друга. При разрыве цепь будет разрушаться в том звене, которое имеет наименьшее время разрыва. Обозначая через Т\,Тг,..., Т^,)у времена разрыва отдельных звеньев и через W^tyv время разрыва всей цепи, получаем:

K(,)v =min(ri)r2>...,r„(,)v).

Тогда, искомый закон распределения минимальных времен разрушения цепи по схеме независимых испытаний имеет вид:

Для этого выражения получено асимптотическое представление функции распределения минимальных времен разрушения цепи

НК , (6)

которое при n(t)V — п = const совпадает с асимптотическим представлением для классической модели «наислабейшего звена». Рассмотрен подробно случай прочности и разрушения термоупругих твердых тел при статической усталости в изотермических условиях нагружения (1)-(5). В п.2.4 получена функция распределения минимальных времен разрыва связи. Необратимый разрыв связей в макрочастице тела приводит к накоплению суб-микроповреждсний и разрушению макрочастицы. Детальный механизм этого процесса не может быть описан на атомном уровне, так как в рамках рассматриваемого макроскопического подхода не известно детальное распределение энергии, напряжений, температуры в макрочастице твердого тела, и они равны своим средним значениям (п.2.1). Поэтому для описания процесса разрушения макрочастицы во времени в результате накопления повреждений при необратимом разрыве связей использованы физически допустимые статистические гипотезы. В результате получено для функции распределения минимальных времен необратимого разрыва связей выражение (распределение Рэлея):

(7)

I V (х)-'оГ J

которое удобно для вычисления числовых характеристик случайной величины t, Cj = «„AV, AV - объем макрочастицы в теле, имеющем объем V; nQ - равновесное число разорванных и восстанавливающихся связей в еди-

вице объема в естественном ненапряженном состоянии. В п.2.5 вычислена функция распределения времен разрушения макрочастицы:

.Р2(/,Х, АУ)=1 - ехр

с2(АУХ<-<0 У Ш-'оУ

(8)

где: с2 - п01АУ сх, п01 - равновесное число разорванных и восстанавливающихся связей в единице объема, имеющих минимальные времена разрыва связей, в естественном ненапряженном состоянии. Функции распределения (7), (8) запишем в виде:

" сХАУХ'-'оГ

• Р) (г, X, АV)=1 - ехр

('•(Х)-'оГ Г

(9)

где 1 = 1, 2; = 2. В п.2.6 вычислена функция распределения времен разрушения твердого тела, занимающего объем V:

где и20У- число макрочасшц в теле, имеющем объем V, с3 = п20\ с*. В случае неоднородного напряженного состояния, получаем:

Рг№)=1-ехр

(10)

ФХ'-'оГ Г_ы

(П)

функцию распределения времен разрушения тела, занимающего объем V. В п.2.7 вычислен масштабный фактор длительной прочности и разрушения твердых тел и математическое ожидание времен разрушения на различных уровнях разрушения. На основании функции распределения (9) получено:

где: Г(а.) - гамма-функция.

Используя выражение (12) для тел, имеющих объемы V, и У2, получаем:

(Л.(ДУ,))-/0 Гс,(АУ2)Г-(/,.(АУ2))-/0 [^(ДУ,)] '

откуда, при I = 1 и / = 2 и полагая /О=0, находим: Шг))

{'.(АУ2)) ^Д^

АУ,

' <'2(ау2)П

Гау,

АУ,

(13)

Здесь АУ, и АУ2 - объемы макрочастиц, соответствующих объемам тел V, и У2. Здесь также предполагается, что объем макрочастицы реальных материалов со случайными субмикроскопическими и микроскопическими неоднородностями зависит от объема тела У. В теле больших объемов содержится более представительное число случайных неоднородносгей, и средний объем макрочастицы в таком теле будет больше, чем в теле меньшего объема. Однако, начиная с некоторого, достаточно большого объема тела, при его увеличении объем макрочастицы будет изменяться пренебрежимо мало. Неоднородности реальных материалов существенно определяют статистический разброс макроскопических свойств и масштабный фактор длительной прочности на соответствующем уровне разрушения. В частности, па субмикроскопическом и микроскопическом уровнях масштабный фактор можно вычислить по формулам (13), соответственно, если известны экспериментальная или теоретическая зависимости АУ = ДУ). Вычисляя аналогично, на основании функций (10), (11), среднее время разрушения тела, занимающего объем V, получаем:

Г(1+1/а)

ОТИ о

зОО

У

ь

</У

-И/а

Их)-'о)Г

(14)

где а = 8.

Используя выражение (14) для тел, имеющих объем Vj и V2, получим:

-il la

m)-h..

('(V2))-'o

Г

Sr.

V, ¿.ИхНоГ J

(15)

откуда следует, что для тел, находящихся в неоднородном напряженно-деформированном состоянии масштабный фактор длительной прочности зависит от вида ншгряженно-деформированного состояния и, соответственно, от внешних нагрузок, геометрии тела и масштабного фактора на макроскопическом уровне разрушения. При однородном напряженно-

9 •

деформированном состояшш / (X) = / из выражений (14), (15), соответственно, получим:

-,1/а

(16)

('(У|))-'о

<'(V2))-r0

fAV) V2_ lAVj V,

,а = 8.

(17)

Для тел достаточного большого объема AV, a AV2 и, следовательно, влияние на масштабный фактор микроскопического уровня разрушения будет несущественным. В п.2.8 вычислен коэффициент изменчивости длительной прочности твердых тел. Используя формулы (8)-{17) и вычисляя дисперсию:

получен коэффициент изменчивости:

^ (X) -/0 )к' (АУ)]1/а- Уг(1 ч- 2 / )- Г2 (1 +1 / )} ~ /o^'ixHoJk'iAV)],/4r2(l + l/ef)

и

При Г0 = 0 эта формула принимает вид

И )Г(1 + 2/а,) уГ (1 + 1/а()

Таким образом, при = О коэффициент изменчивости времени разрушения тела на субмикроскопическом и микроскопическом уровнях не зависит от объема макрочастицы и определяется только величиной показателя а.. Аналогично показано, что при /0 = 0 коэффициент изменчивости времени разрушения тела на макроскопическом уровне не зависит от вида напряженно-деформированного состояния и также определяется формулой (18), но с индексом / = 3 показателя а.. Вычисления ш''1 при / = 1,2, 3 приводят, соответственно к значениям, убывающим от субмикроуровня к макроуровню:

ю^ = 0.5, ю|2) = 0.26, ш|з) = 0.14, что соответствует физическому смыслу коэффициента изменчивости.

В главе 3 предложены новые критерии длительной прочности и разрушения твердых тел на основании результатов, полученных в главе 2. В п.3.1 дана новая формулировка критерия длительной прочности твердых тел, в виде поверхности разрушения, аналогичной поверхности кратковременного разрушения. Разрешая уравнения (12) и (16) относительно функции внутренней энергии и = у[5(х),Г0], с учетом выражений (3)-{5) получаем критерий разрушения твердого тела (при однородном напряженно-деформированном состоянии) на субмикроскопическом (У = 1), микроскопическом (/' = 2) и макроскопическом (/ = 3) уровнях:

Ф(Х),Г0]=Д. (19)

А —и + кТ° 1п[ Д"'Г0 + 1/«.) | у {[(/((АУ))-/0][с,(ДУ)]1/а'|

При I = 3 в уравнении (19) нужно заменить ДУ на V и в левой части тензор напряжения не зависит от X. Необратимое накопление разорванных связей на субмикроскопическом уровне (/=1) приводит к образованию субмикрот-рещин в макрочастице материала, которые, до определенного момента времени, с заданной вероятностью, меньшей вероятности времени </((ЛУ)> не приводит к разрушению макрочастицы. После снятия нагрузки эти связи восстанавливаются, примерно за то же время, и оно может быть принято за безопасное время работы конструкции (материала) при заданном тензоре напряжений. Необратимое накопление сурмикротрещин на микроскопическом уровне (/' =2) приводит к образованию трещины - необратимому разрушению макрочастицы, в среднем за время < 12 (ДУ) >, в этом случае, выражение (19) представляет критерий прочности твердого тела. Наконец, при (¡=3), выражение (19) дает критерий разрушения твердого тела в среднем за время < ?3(У) >. При неоднородном напряженно-деформированном

состоянии для случая непрерывности функции II = £/[?(х),7'0] на основании теоремы о среднем значении критерий разрушения приводится к виду:

с/ = ф(х}г0]=4,/=з, (20)

где X есть некоторая точка области (V). Укажем на некоторые общие требования, которым удовлетворяет предложенный критерий прочности:

1) критерий дает условие разрушения для макро частицы материала, находящегося в произвольном сложном напряженном состоянии;

2) в аналитическое выражение критерия наряду с тензором напряжений входят некоторые скалярные или тензорные величины, характеризующие прочностные свойства материала;

3) критерий учитывает такие особенности физико-механических свойств материала, как различие пределов прочности на растяжение и ежа-

тие, зависимость предела прочности на сдвиг от направления касательных напряжений (анизотропия);

4) критерий имеет форму инварианта, образованного из компонент тензора напряжений и тензоров, характеризующих прочностные свойства материала, а также тензоров, характеризующих тепловое расширение материала;

5) все вытекающие из критерия соотношения между константами материала не зависят от системы координат;

6) критерий учитывает в явном виде влияние времени, температуры, масштабного фактора на условия разрушения материалов при разных напряженных состояниях. Построение критериев прочности, удовлетворяющих указанным требованиям, основано на следующих общих принципах:

• Аналитическое выражение критерия может быть предоставлено в виде предельной поверхности в пространстве напряжений.

• В соответствии с постулатами А. Ильюшина и Д.Друккера предельная поверхность выпукла.

• Для материалов, обладающих различными пределами прочности на растяжение и сжатие, в критерий наряду с инвариантами четных степеней должны быть введены инварианты нечетных степеней.

• При увеличении прочностных констант у материалов данного типа предельная поверхность в пространстве напряжений должна расширяться так, чтобы прежняя предельная поверхность оказалась внутри её, причём поверхности могут только касаться друг друга, но не пересекаться.

• При построении феноменологических критериев прочности материал предполагается сплошным.

В п.3.2 при статической усталости в условиях изотермического деформирования Т= Го = const, получена поверхность разрушения изотропных материалов в виде:

Левая часть в критерии (21) представляет удельную внутреннюю энергию тела, подчиняющегося закону Гука, и в пространстве координат а1,с2,а3 представляет систему вложенных равнонаклоненных к координатным осям эллипсоидов для 0^у<0.5 при различных значениях главных напряжений и соответствующих средних временах разрушения (<(Х,АУ)}. При \>=0.5 (несжимаемые тела) поверхность вырождается в семейство вложенных равнонаклоненных к координатным осям, параболоидов вращения. Непосредственным анализом выражения (21) можно убедиться, что критерий прочности удовлетворяет всем требованиям механики прочности деформируемого твердого тела, изложенным выше. В частном случае одноосного растяжения ст^ ст, а2 = = 0 и из выражения (21) получаем:

о2 + 2аТ0Еа - 2АЕ = 0 (22)

Это уравнение имеет два действительных корня - положительный а® и

отрицательный о^:

-~иТ0Е± ^(аТ0ЕУ + 2АЕ,

которые удовлетворяют условиям:

ст^+о^ =-2аТ0Е, а®-о® =-2АЕ, (23)

где а1^ и а^!) - напряжения растяжения и сжатия при заданном времени разрушения {/), в частности, это могут быть пределы прочности ст* и а! при статическом растяжении и сжатии материала. Первое выражение (23) представляет новую, ранее не изученную физическую зависимость между физико-механическими характеристиками материала, которая хорошо подтверждается экспериментально для материалов, подчиняющихся

закону Гука вплоть до разрушения. С учетом выражения (23) критерий (21) перепишем в виде:

<т? + а? + _ 2У(ст,ст2 + а2<т3 +о-3ст,)+2ЕаТ0 (а, + а2 + ст3)=

Таким образом, экспериментальные и теоретические зависимости сг+' — {/) при одноосном растяжении и различных температурах позволяет полностью идентифицировать критерий (24). Отметим также следующие физически не тривиальные предсказания. Для всех материалов в температурной области, в которой коэффициент линейного расширения принимает отрицательное значение (например, для нержавеющей стали а = -0.2-10"6 град"1, при Т = 40° К и для пирекс-сгекла а = -0.5-10"6 град"1, при Т = 40°К) прочность на растяжение будет больше (по абсолютной величине) прочности на сжатие (23) и при а = 0 прочности на сжатие и растяжение одинаковы. В п.3.3 получен критерий прочности для случая анизотропных материалов:

^уЦ- +Т0а.^ (25)

% = стаи, (26)

где введены обозначения: е,у - компоненты тензора деформаций, с,уц - компоненты тензора упругих постоянных, а,у — компоненты тензора теплового расширения материала, о,у - компоненты тензора напряжений. Левая часть в критерии (25) представляет удельную внутреннюю энергию тела, подчиняющегося обобщенному закону Гука (26), и в пространстве координат а у - компонент тензора напряжений представляет систему вложенных «эллипсоидов», соответствующих средним временам разрушения (<). Правая часть в критерии (25) может быть определена по экспериментальной зависимости длительной прочности образцов (статическая усталость) для слу-

чая одноосного растяжения в одном направлении, или одного эксперимента на сдвет (на кручение). Анализ выражения внутренней энергии в критерии (25) показывает, что предложенный критерий удовлетворяет всем требованиям механики прочности деформируемого твердого тела, изложенным выше. Используя симметрию коэффициентов с,у« и щ и переходя к другим обозначениям компонент тензора напряжений и деформаций и упругих постоянных, запишем критерий (25) в явном виде:

+с,3ог +0,4^ +с15та +с16т;о,)-дс2202у + С24т>г

+<*г(сз4-Ь, +<45^ + (27)

Следовательно, в общем случае, анизотропного тела критерий (27) содержит 21 упругую постоянную и 6 постоянных теплового расширения. В работе приведены многочисленные частные случаи критерия (27).

В главе 4 даны некоторые сопоставления полученных теоретических зависимостей с известными экспериментальными для различных материалов и рассмотрены алгоритмы решения задач длительной прочности материалов и конструкций.

Основные результаты и выводы • Предложена статистическая модель длительной прочности и разрушения твердых тел при накоплении повреждений на основе статистической теории разрыва связей (атомных, молекулярных), концепции «наислабейшего звена» с переменным во времени числом звеньев в

результате накопления необратимых разрывов связей, обеспечивающих сцепление в материале, на различных уровнях структурной организации материала: а) субмикроскопическом (разрыв связей между атомами или молекулами), б) микроскопическом (разрушение макрочастицы), в) макроскопическом (разрушение твердого тела).

• Теоретически получены функции распределения (распределения Вей-булла) времен разрушения термоупругих твердых тел на различных уровнях при сложном напряженном состоянии и заданной температуре Т — const. Теоретически вычислены параметры распределения Вейбулла, масштабные факторы и коэффициенты изменчивости длительной прочности термоупругих твердых тел.

• Получен критерий прочности и разрушения термоупругих анизотропных тел при действии внешних сил механического происхождения и температуры в виде шестимерной поверхности второго порядка (внутренней энергии анизотропного тела) в пространстве напряжений (компонент тензора напряжений), которая удовлетворяет общим принципам механики разрушения. «Точки» этой поверхности определяют все те комбинации компонент тензора напряжений, которые вызовут разрушение макрочастицы, имеющей объем AV, или тела, занимающего объем V при заданной температуре Т за некоторое среднее время {/).

• Предложенный критерий дает условие разрушения макрочастицы анизотропного материала и анизотропного тела при произвольном напряженном состоянии. В аналитическое выражение критерия входят скалярные величины: среднее время разрушения, температура, объем тела (масштабный фактор) и тензорные величины: компонента тензора напряжений, тензора физико-механических постоянных, тензора теплового расширения материала, определяющих вид внутренней

лового расширения материала, определяющих вид внутренней энергии анизотропного тела, что позволяет учесть зависимость пределов прочности на сдвиг от направления касательных напряжений (анизотропия).

• В том случае, когда внутренняя энергия линейного термоупругого тела идентифицирована, предложенный критерий полностью определяется одним независимым экспериментом: одноосное растяжение в одном направлении или один эксперимент на сдвиг или кручение. Экспериментальная кривая длительной прочности в одном из этих случаев позволяет полностью построить поверхность разрушения, соответствующую среднему времени разрушения.

В целом, диссертационная работа выполнена по координационному плану научно-исследовательских работ РАН отделения механики и процессов управления по проблемам прочности и пластичности по теме: «Развитие механики разрушения, обоснование и формулировка критериев разрушения для различных классов нагружения».

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Дунаев Владислав И., Дунаев Владимир И. Статистический подход к прочности твердых тел при накоплении повреждений // Труды Ш Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», ООО «МП Книга», Ростов-на-Дону, т.1,1997, с.116-120.

2. Дунаев В. И. Об одном критерии прочности термоупругих тел в хрупком состоянии. // Журнал Наука Кубани. Проблемы физико-математического моделирования, Краснодар, 1997, с.73-76.

3. Дунаев В.И. Условие прочности термоупругих анизотропных материалов. // Журнал Известия высших учебных заведений. Северо-кавказский регион. Естественные науки., № 2,1998.

4. Дунаев В.И. Поверхность разрушения анизотропных материалов при статистическом нагружении. // Сб. тезисов докладов на Воронежской школе «Современные проблемы механики и прикладной математики», Воронеж, 1998.

5. Дунаев В.И. Статистический анализ прочности и разрушения твердых тел при статической нагрузке. // Журнал Наука Кубани. Проблемы физико-математического моделирования. Естественные науки, № 1, 1998, с.32-38.