Деформирование упрочняющихся пластических тел с возмущенными границами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Петров Григорий Васильевич

ДЕФОРМИРОВАНИЕ УПРОЧНЯЮЩИХСЯ ПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ С ВОЗМУЩЕННЫМИ ГРАНИЦАМИ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела.

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -

доктор физико-математических наук, профессор ИВЛЕВ Д.Д.

Чебоксары 1999

Содержание

Введение

Глава I. Плоская задача деформирования тел из упрочняющегося материала

§1.1. Соотношения плоской задачи деформирования тел из упрочняющегося материала

§1.2. Деформирование плоской полосы из упрочняющегося материала, ослабленной пологими выточками

§1.3. Полиномиальное решение задачи о пластическом деформировании полосы из упрочняющегося материала

§1.4. Влияние предварительного упрочнения на иде-альнопластическое течение полосы

Глава II. Осесимметричная задача деформирования тел из упрочняющегося материала

§2.1. Соотношения предельного состояния осесим-метричной задачи деформирования тел из упрочняющегося материала

§2.2. Деформирование упрочняющегося пластического прута, ослабленного пологими выточками

Глава III. Вязкопластическое деформирование пространственных тел

§3.1. Соотношения предельного состояния вязкопла-стического деформирования пространственных тел

§3.2. Вязкопластическое деформирование бруса переменного прямоугольного сечения при растяжении

Литература

3 19

19

22

35

48

65

65

69

77

77

80

93

ВВЕДЕНИЕ

Развитие прогрессивных технологий обработки металлов давлением связано с исследованием свойств моделей пластических тел, развитием методов определения неоднородного распределения напряжений в пластически деформированных телах.

Основные результаты в этой области содержатся в монографиях Б.Д.Аннина, П.Бриджмена, Л.А.Галина, А.А.Гвоздева, Г.А.Гениева, А.Н.Гузя и Ю.Н.Немиша, Б.А.Друянова и Р.И.Непершина, М.И.Ерхова, М.А.Задояна, Д.Д.Ивлева и Г.И.Быковцева, Д.Д.Ивлева и Л.В.Ершова, А.А.Ильюшина, А.Ю.Ишлинского, Л.М.Качанова, В.Д.Клюшникова, П.П.Мосолова и В.П.Мясникова, В.В. Новожилова и Ю.И.Кадашевича, П.М.Огибалова, В.Прагера, Ю.Н.Работнова, А.Р.Ржаницына, В.В.Соколовского, И.Г.Терегулова, Л.А.Толоконникова, Р.Хилла, Т.Томаса, А.Д. Томленова, А.Фрейденталь и Г.Гейрингер, Ф.Ходжа, Г.Циглера [17,18, 21-23, 30, 31, 33, 37, 52, 53-55, 58, 60, 61, 78-82, 92-98, 102-105, 107-111, 114], в работах М.А.Артемова, Б.Д.Аннина, В.И.Астафьева, И.А.Бере-жного, Г.И.Быковцева, Г.А.Гениева, Г.Генки, И.П.Григорьева, В.В.Ду-дукаленко, Л.В.Ершова, Е.Г.Иванова, Д.Д.Ивлева, А.А.Ильюшина, А.Ю. Ишлинского, В.Д.Кулиева, Л.А.Максимовой, Н.М.Матченко, П.П.Мосолова, В.П.Мясникова, С.И.Сенашова, О.В.Соснина, А.Н.Спорыхина, М.С.Саркисяна, Л.А.Толоконникова, А.Д.Чернышова, С.А.Шестерикова и др. [1-16, 19, 20, 24-29, 32, 34-36, 38-51, 56, 57, 59, 64-68, 70-77, 98, 107,112,115,116].

Анализируя результаты экспериментов по штамповке и выдавливанию заготовок из свинца, Треска выдвинул гипотезу, согласно которой пластическое течение возникает при достижении максимальным каса-

|^max| 2

тельным напряжением предельного значения

<к, к - const. (1)

где ттах - максимальное касательное напряжение, аг - главные компоненты тензора напряжений.

Условие пластичности (1) теперь известно как условие пластичности Треска. В пространстве главных напряжений сг условие пластичности Треска интерпретируется шестигранной призмой, равнонаклонен-ной к направлениям главных напряжений.

Спустя некоторое время, Сен-Венан предложил соотношения между напряжениями и скоростями деформаций для двумерного пластического течения идеальнопластического тела; он ввел для изотропного материала условие коаксиальности тензора напряжений и тензора скоростей деформации. Соотношения, предложенные им, имеют вид: уравнения равновесия

да 5xyv дтхл, дат дх ду дх ду

где ах,ау,тху - компоненты напряжений;

условие пластичности Треска

4т2ху=4к2; (3)

соотношения, определяющие идеальнопластическое течение:

= с4)

условия изотропии

- Vy ® xy

где

ди <9у 1 (ди сН^

в, =—, £,, =—, = —

— + ■

х дх у ду ху 2 К. ду дх) гх,гу,гху - компоненты скорости пластической деформации, и,у - скорости перемещений.

Отметим, что условию изотропии (5) можно придать форму

+ = ^^ + ау^ху ■ (?)

Соотношения теории плоской задачи, сформулированные Сен-Венаном, полностью сохраняют свое значение и по сей день. Леви, используя замену переменных

ах=а + к соб20, а у = а-&соз20, %ху=к$т2§, а =

удовлетворил тем самым условию пластичности (3) и, согласно (2), получил систему квазилинейных уравнений

до 0, . „ 59 _ 7 _л дО л --2к$т 20 — + 2к соб 20 — = О,

дх дх ду

да _7 50 07 . __ 30 „ ду дх ду

(8)

Леви перешел в системе уравнений (8) к переменным

х = х(а,0), у = у(о, 9), (9)

получил линейную систему уравнений по отношению к неизвестным х,у и проинтегрировал полученную систему уравнений.

Т» »-» и

В дальнейшем он предложил уравнения пространственной задачи теории пластичности. Уравнения грани призмы Треска (1) имеет вид:

4(д + к2)(4к2+д)2+27г2 =0, (10)

где

Я = (°у) ' г = а\.а)ко'ь, (11)

сту. = а у - 8 у а - индекс штрих наверху приписан компонентам девиа-

тора.

Закон пластического течения Леви установил, предположив несжимаемость материала

вх+еу+е2=0 (12)

и условия пропорциональности компонент девиаторов напряжений и скорости деформаций

аг а —а а —а "Е™ ^ т

*_У х ^ г г х___^У___У±_ _ (13)

^х _ ^х ~ — ^х еху £уг

где г у - компоненты тензора скорости деформации.

Хаар и Карман обосновали утверждение, что теория пластичности и теория предельного состояния грунтов (статика сыпучей среды) имеют общие основы. Ими было выдвинуто условие «полной пластичности»: при достижении предельного состояния

с?! = сг2' ст3-а1=2£. (14)

Условие полной пластичности (14) определяет соответствие напряженного состояния ребру призмы Треска. Ребро призмы Треска определяется как пересечение двух граней призмы Треска

Ттах! - 1 2 3 ~~ Хтах2 _ 2 ^ 3 ~ ^

откуда следует (14).

Согласно (14) максимальное касательное напряжение достигается не на отдельной площадке, а на конусе с раствором угла тг / 4 с осью вдоль а3.

Хаар и Карман отметили, что при а! = а2 «эллипсоид напряжений» является в каждой области С (область пластического состояния мате-

риала) «эллипсоидом вращения». Они указали на статическую определимость общего случая пространственной задачи при условии полной пластичности:

Следует отметить, что Хаар и Карман не связывали предположение (14) с возможностью упрощения математического решения задач. Карман, работавший в области экспериментального изучения предельного состояния пластических сред, исходил из реально наблюдаемых явлений и считал, что состояние (15) соответствует сути реально наблюдаемых состояний твердых тел при достижении ими предельного состояния.

Мизесом было предложено в качестве условия пластичности выражение предельного значения упругой энергии формоизменения элемента тела. В качестве закона пластического течения предлагалось использовать соотношения (15).

Математическая запись квадратичного условия пластичности Ми-зеса оказалась проще, чем уравнения грани призмы Треска (10), данное Леви.

Отметим, что ранее аналогичное условие пластичности было выдвинуто Губером и в литературе можно встретить название «условие пластичности Губера-Мизеса». Условие пластичности Мизеса в главных напряжениях имеет вид

Условие пластичности Мизеса интерпретируется в пространстве главных напряжений цилиндром, равнонаклоненным к осям координат. Сечение цилиндра девиаторной плоскостью определяет окружность.

Прандтль сформулировал понятие жесткопластического тела: так

(16)

как упругие деформации у большинства материалов чрезвычайно малы, а пластические деформации часто бывают значительно большими, то ради упрощения мы совершенно пренебрегаем упругими деформациями; упругая часть тела, следовательно, рассматривается как жесткая.

Им установлен гиперболический характер уравнений плоской задачи теории идеальной пластичности, введено понятие линий скольжения, совпадающих для изотропного идеальнопластического тела с линиями действия максимальных касательных напряжений и дал классическое решение задачи о вдавливании жестких штампов в идеально пластическую среду.

Генки получил интегралы, вдоль ортогональных характеристик совпадающих с линиями скольжения

dy . fn

ст + 2кВ = const вдоль а - линии — = tg 9

dx

V 4 У

dy ( 7ГЛ

с - 2кВ = const вдоль Р - линии — = tg 9 + —

(17)

dx

V 4J

уравнения устанавливающие фундаментальные свойства линий скольжения для плоской задачи.

Интегралы (17) носят название интегралов Генки. Он же исследовал уравнения осесимметричной задачи теории идеальной пластичности при условии полной пластичности и дал приближенное решение задачи о вдавливании жесткого штампа с гладким плоским круговым основанием в пластическое полупространство в предположении, что сетка линий скольжения в осесимметричном случае совпадает с сеткой характеристик Прандтля для плоской задачи.

Позднее А.Ю. Ишлинский развил численные методы решения осе-симметричных задач теории идеальной пластичности при условии пол-

ной пластичности и дал решение задач о вдавливании плоского и сферического штампов в идеальнопластическое полупространство.

Прандтлем был дан ряд классических примеров приложений теорем Генки к определению предельного состояния идеальных жестко-пластических тел, в частности, аналитическое асимптотическое решение задачи о сдавливании слоя шероховатыми плитами.

Мизес предположил, что работа напряжений на приращениях пластических деформаций имеет для действительного состояния стационарное, экстремальное значение по отношению ко всем возможным напряжениям, допускаемым данным условием пластичности. Это предположение составляет содержание так называемого принципа Мизеса, следствием которого явились соотношения ассоциированного закона течения

ч

Принципу максимума Мизеса можно придать форму [42]

К-^КгО, /(сфо, /(а*)<0, (19)

где а у - действительные напряжения, которым отвечают действительные скорости деформации ст*- - любое возможное напряжение или

допустимое напряжение.

Стало очевидно, что при построении соотношений пространственной задачи теории идеальной пластичности Леви использовал уравнение грани призмы Треска и ассоциированный закон течения к условию пластичности Мизеса.

Гейрингер получила соотношения для скоростей перемещений вдоль линий скольжения:

dy

dU + VdQ = 0 вдоль a - линий —-tg

dx

' 9)--

К 4)

dy Г (20)

dV + UdQ = 0 вдоль (3 - линий — = tg 6 + — ,

dx V 4)

где U, V - компоненты скорости вдоль линий скольжения.

Соотношения Гейрингер означают не что иное, как отсутствие удлинения вдоль линий максимального касательного напряжения и справедливы для любого изотропного несжимаемого материала.

Предположим, что справа (+) и слева (-) от а - линии справедливо соотношение Герингер (20)

dU+ + V+dQ+ = 0, dU~ + VdQ- = 0. (21)

Так как нормальная составляющая скорости непрерывна

[F] = V+ - V = 0, и, очевидно, 0+ = (Г, то из (21) следует, что вдоль а - линий скольжения d[U] = 0, откуда

[U] = const. (22)

Следовательно, разрыв касательных скоростей вдоль линий скольжения имеет постоянную величину.

Закон течения, соответствующий сингулярному критерию текучести, рассматривался Рейссом. Он записал сингулярное условие пластичности в виде двух соотношений

/1(а1,а2,а3) = 0, Л^ст^стз) = 0 (23)

и записал соотношения пластического закона течения в виде

да1 (XTj да2 оа2 да2 да3

А.Ю.Ишлинский выдвинул гипотезу, согласно которой пластическое течение возникает при достижении максимальным приведенным

напряжением предельного значения

ЯщахЬК'-^-^ к~С0П^- (25)

Позднее он рассмотрел решения линеаризованных задач жестко-вязкопластического течения тел на основе представления Эйлера о течении материала.

В дальнейшем А.Ю. Ишлинский предложил соотношения пространственного состояния идеальнопластического тела, предполагая, аналогично Хаару и Карману, что условие текучести определяется не одним, а двумя соотношениями:

а -о., а-а_ а -а 2т,.., 2т„_ 2т

х_У_ _ У__ х г __ХУ __У2 _ ^

ди ду ду дм? ди дп> ду ^ди дм ду . ди дю' дх ду ду дг дх дг дх ду ду дг дг дх

где и,у,у? - компоненты скорости какой-либо частицы пластической среды. Эти соотношения содержат не только требование коаксиально-сти тензора напряжения и тензора скоростей деформирования, но также и требование пропорциональности касательного напряжения на произвольно ориентированной площадке к соответствующей скорости деформации сдвига (причем коэффициент пропорциональности может меняться при переходе от одной точки тела к другой). В частности, если где-либо в среде возникает напряженное состояние с главными напряжениями

а1=а2 = а3+2 к, (27)

то из упомянутых выше теорий следует, что обязательно должно осуществляться равенство 8! = в2. Согласно же этой теории, должно быть только

гг >0, в2 > 0, (28)

а соотношение между ними может быть произвольным.

Соотношения теории идеальной пластичности А.Ю.Ишлинского записываются в виде:

уравнения равновесия

дх ду дг

+ ^ = (29)

дх ду дг

дтХ2 дх до 2 —— +—— + —£ = 0;

дх ду дг

условие пластичности

/!(а,/2,У3) = 0, /2(с,У2,/3) = 0, (30)

где а,/3 - инварианты тензора напряжений

а = з(а* +а2)> Л = ахау + ауаг + с2сх - т^ - х ^ - х^, (31)

У3 = + 2т^тя --а^ -а^;

условия совпадения главных осей тензора перемещений и скоростей деформации, условие изотропии

(32)

р 1 х ху ^ ху^у ^ ху£х + °уЕху + Тхг^хг '

р ху хг + ауЕуг + V8* = X Р хг " ху + Тугеу

хг^х + ^уг^ху ^ху^уг

условие несжимаемости

п ди ду дм ^ е,+еу+Бг=0, + + ^ = (33)

дх ду дг

Из (32) следуют соотношения изотропии для случая плоской задачи

Девять уравнений (29-33) образуют замкнутую систему уравнений относительно девиаторной поверхности: шести компонент напряжений Сту и трех компонент перемещений и,у,м>.

Используя современную терминологию, А.Ю.Ишлинский сформулировал соотношения пространственного состояния идеальнопластиче-ского изотропного тела при сингулярном условии пластичности и обобщенном ассоциированном законе пластического течения.

Теория обобщенного ассоциированного закона течения для сингулярных условий текучести получила развитие в работах В.Койтера и В. Прагера. Соотношения обобщенного ассоциированного закона течения имеют вид:

/а=/аК), (34)

а у

где

Э/

Ха = 0, если / < 0, а также если / =0, / = —< 0

^ (35)

и Ха > 0, если /а=0, #а = 0.

Д.Д.Ивлев установил статическую определимость уравнений теории идеальной пластичности при условии полной пластичности (14), в этом случае имеют место три соотношения

(ах - а -1 к){с5у - а -§ к) = т%, (х у г),

1 / \ (36)

или

{ъх-ъ-Щ%у2=хху хХ2, (хуг), в (37)

где (х у z} означает, что недостающие выражения получаются круговой

перестановкой индексов.

Система шести уравнений: трех уравнений (29) и трех уравнений (36) или (37) образует замкнутую систему относительно шести компонент напряжений а у и, следовательно, является статически определимой.

Соотношения, аналогичные (8), имеют в этом случае вид

<зх = а + |Аг + 2&cos2 ф1? т = 2&cos(p, cos(p2,

ау = a + ^k + 2kcos2 ф2, = 2A:cos92 соБфз, (38)

<5Z = а ++ Ikcos2 ф3, = 2&созф1 со8ф3,

гдесоБф!, созф2, cosф3 - направляющие косинусы третьего главного напряжения а3 в декартовой системе координат xyz. Система уравнений, вполне аналогичная (9), имеет вид

2А:со82ф! —!--2А:8тф1 созф2 —^--2А:со8ф1 зтф2

I1/-N II I А II I Z,

ох; дх ду ду

о ^

-2Д:8тф1 со8ф3—--2^созф1 sin93 —^ = 0, (xyz, 123), (39)

^ . 2. . 2. л

COS ф^ + cos ф2 + COS фз = 1.

Система уравнений (39) принадлежит к гиперболическому типу, характеристические поверхности совпадают с поверхностями действия максимальных касательных напряжений.

Для определения деформированного состояния имеют место соотношения, предложенные Д.Д.Ивлевым

щ щ щ гц щ п0

пх щ п2 п2 пъ щ

И^СОБф!, ft2=COS(P2> ^з — СОБфз,

8,+8^+8г=0. (41)

Из двух соотношений (40) согласно (38) следуют соотношения А.Ю. Ишлинского (32), среди которых при условии полной пластичности лишь два независимых.

Система трех уравнений (40), (41) относительно трех неизвестных u,v,w принадлежит к гиперболическому типу, характеристические поверхности совпадают с характеристическими поверхностями уравнений для компонент напряжений (39). Таким образом, поверхности действия максимально касательных напряжений совпадают с поверхностями скольжения.

Статически определимый характер уравнений сохраняется при обобщенном условии полной пластичности.

aj=a2, g3-<5x =2к(а,п1,п2,п3).: (42)

Система уравнений, определяемая соотношениями (42), принадлежит к гиперболическому типу, соответствующие уравнения для определения скоростей пластических деформаций, получаемые из соотношений ассоциированного закона течения, также принадлежат к гиперболическому типу, семейства характеристических поверхностей для соотношений статики и кинематики совпадают между собой.

Другой случай статически определяемых задач определяется предельным условием сопротивления отрыву:

(аг.)тах<</, d-const > 0, (43)

где (стг-)тах~ максимальное нормальное растягивающее напряжение.

В пространстве главных напряжений ai условие (43) интерпретируется трехгранной пирамидой, составленной из трех четвертей плоско-

сти, сходящихся под прямым углом.

Статическая определимость имеет место в случае полного состояния отрыва, соответствующего ребру пирамиды:

dj = а2 = d, а3 < d. (44)

В этом случае имеют место три соотношения