Дифференциальная геометрия обобщенных почти кватернионных структур на многообразиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

¡0.1 1 ^ О £

МОСКОВСКИ!! ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имена В. И. ЛЕНИНА

С'псциилизнроианнин еовст К 053.01.02

На правах рукоппсп

ЛРСЕПЬЕВА Ольга Еягепьепла

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНА Я ГЕОМЕТРИЯ ОБОБЩЕННЫХ ПОЧТИ КВАТЕР1ШОННЫХ СТРУКТУР НА МНОГООБРАЗИЯХ

01.01.04 — гсопстрпа п топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата фнзшм-гтатсматпчсскнх наук

Москва 1992

Работа ¡выполнена в Белорусском государственной университете.

Научный руководитель:

доктор физцко-матемашичеоких наук, профессор ФЕДЕ11КО А. С.

О ф ц ц ц а л ь н и оппонент ы:

доктор фцотко-сиатсыатлчеокпх наук, профессор ШИРОКОВ Л. П.,

доктор физико-математических наук ШЕЛЕХОВ Л. М.

Ведущая организация — Москонокнп государственный университет ллеии М. В. Ломоносова.

Защита состоится 11 января 1993 г. в часов л ауди-

тор ип 301 на заседании специализированного совета К 053.01.02 по присуждению ученой степени кандидата наук в Московском педагогическом государственном университете имеии В. И. Лсшша, по адресу: 107140, Москва, Краснопрудном, 14, МПГУ шок В И. Ленина.

С •дпсонр'тациси можно ознакомиться а! шйлиотоке МПГУ имени В. И. Ленина (119435, Москва. Малая Пироговская, 1, МПГУ имени В. И. Ленина).

Автореферат разослан «..■/&...........1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета,

доцент КАРАСЕВ Г. А.

рое.мй'и.чь

о»* ¡:,гл г'-%з:-:нна!

ОБИМ ЖРАКТЕРИСТШа РАБОТЫ

■ Актуальность тёш. В'вдная роль, которую играют почти кватерни-онше структуры в ряду дифференциатько-гоонотричосма: структур, изучаемых, в. настоящее время, объясняется презде всего тем обстоятельством,/чтС геометрия почти кватернионных многообразии обобща-е®. наиболее судоЗтвегшые особенности геометрии 4-мерных ориентируемых (ПйевДб)рщлановах многообразий, играющих особую роль в те-•ор©таческо'й:-,й. ¿тематйческой физике'. Среди таких особенностей от-.■' Ьетам существование автодуальных и антиавтодуалышх 2-форм на 4-

■ . ме^нах' ораек^йро'Башшх (Псевдо)рмшновых многообразиях, порождаьу-ЧйО£анош№зсй1е. почти кватерпгашше структуры на этих многообразиях. Б сйоы очередь, гоомйтрзи Почти кватернионных многообразий

. /тесйо связана с .Геометриеймногообразий Эйнштешт, с изучением )сйгй^й;Ьвйзаны 'Шёв&тбгМ выдаодкся геометров нашего времени. .Другая. &й5К61ЙЙА особенность 4-мерноЙ. (псевдоЭримановой геометрии связана с ¿ащчатёльнщ' открытием метода .твисторов Р.Пеароузом. .¿^даеадйиий в конца (Ю-х годов в Связи с задачами теории грави-

■ ютод тшсторйв оказался весы®.' плодотворным и в'теории : .,пойеЙ;£нга-^'1ИлЛса.;8щшен11тая."твисторная программа" Пенроуза*)

состоит в том, чтобы, пользуясь-твисторным соответствием, переводить зржТоршо-инйариантпыо поля, заданные' на подшожествах комп-^'Д&к&оЫ/йросТранетва ¿.{инковского, в. объекты .комплексной алгебра. ическоЗ геоглётрии (такие,. йк; голся»1йрфгша расслоения, когомологии ; •.Ь'-^й^Гледйнташ в аналитических пучках и т.п.), определенные на • ТЁистйрного пространства:. В работах Пенроуза. и дру-

гих авторов эта програмш била- реализована дат калибровочных по. .лей, бещшсйвш'-уравнений» "на-'пространстве Минхов-бкого. 'Йнтерарегацм уравнений дуальабста в. терминах олгебраичес-'ййс_'|йссл:оени1^йад ^ р3' с подащьи .твийторного преобразования, . ухазгшная. УорДом в 1977 г., позволила свести проблему классификации кист<штошшх реЪений к задаче алгебраической геометрии. На ' отом пуги, например, била получена хорошо известная классификация ; монопо» ' др. Твасторная. конструкция тесно овя» ■ зана с гйиичиоы. канонических почти кватернионных структур на 4° мернах ориентированных (псе&до)римановых многообразиях, о которых

• ЗЪ ШШ^ ргскуицпш. // ТПаМ. ЗЧир.

/9- V, а. -Р. б?- 46.

упоминалось выше, и как независимо показали Селадон и Берар-Бер-¡кери, она естественным образом переносился на кватерщшщшз шо~. гообразия произвольной р&зморностл, Зга конструкция позволяет свести изучение кватер-шоших шогообразин к изуч'ешда комшгексншс. многообразий - пространств -ассорЕКиров^нних «внс^орных' расслоений-.

К сожалению, в ражах этого -подхода до настоящего времени оставалась в тени вопросы, связаннее с всзмсяшоотыо обобщения на многомерный, случай, понятии автодуальнцх и антяавтодуаяьных 2-4»рм, вгракщих фундаментальную роль в 4-мерной ридановой геодэтры. В частности, неясной оставалась возможность обобщения фундаментальных понятий автодуальных и антиавтодуальных .многообразий на случай почти кватернионных многообразий произвольной разшрнссти. Неисследованной оставалась также рой спиноров в геометрии почти кватернионных многообразий, и по.существу ничего но бата известно о взаимосвязи почти кватернионных структур в первоначально;,! поникании П.Либерман, весьма удобном для применения традиционных методов тензорного анализа, и о&цепринятым более общим пониманием почти кватернионных структур как расслоений специального вида.

Поэтому настоящая работа, б которой подробно исследуются зтн проблемы, представляется актуальной,' более того, в настоящей ра- . боте выявляется роль геометрии-обеденных почти кватервиошок структур как обобщения геометрии тря-тканей, также интенсивно . развивающейся в настоящее время (см., напр., - л

Цель работы - развитие концепции обобщенных почти &ватеряион-ных ( /¡(¡¡а-) структур, построенных на' базе алгебры обобщенных кватернионов и включаэдих наряду е классическими почти кватерни-онными структурами почти кватврнионнна структуры гиперболического типа, или почти антикватерниошше структуры* Основным! задачами исследования являются следуидив Бадачи: .

1) Изучение расслоений, присоединенных к й(кл -структуре, а на их базе выявление взаимосвязи мзаду. общими А -структурами и й (3 <х. -структурами с параллелиауедам структурным пучком, непосредственно обобщащими почти кватернионныа структур! в пдраона-чальном пониюнии П.Либерман.

2) На базе введенного понятия АОх -многообразия спинорного • типа изучение места спинорного исчисления в геометрии А Оа. *шо-

2^'Акивис М.А. Дифференциальная геометрия тканей //Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Проблемы геометрии.-1383,-Т.15.-С.187-2X3.

- о -

гообразий.

■' 3) Развитие концепции ЛС?Х-структуры с параллелизуемцл структурный.пучком как обобщения кищепции три-тканей.

4) Обобщение концепций автодуальных п аптиавтодуалъных шого- . образйй на. случай /Ш а -шогообразий произвольной размерности.

5) Углубленное пзучспаз классичасзак автодуальных и антиавто-дуалышх обоб^енинх келорошх шогообразий.

' Новизна, роп'ттатот). Основные результаты диссертационного ис- . следования: яаодагсй• 1ювыми, Выделш ваяие&ше из ллх:

• I) На базе алгебр! обобщенных кваторглоиов введено понятие обойденной почти 'хаате'ршюййой ( ДОл-) структуры, обобщающее понятие почти■ .кватервиоинок структуры классического типа, а такие приятие почта' азгайкватершшнкой структуры', в частности, структуры трй^-хканя*. Вздеййны ж нссдёдазаны понятия -структуры спи-

норного.тйиа й Л <3 «.-структуры с параллелизуешм структурным Пучком* -а' тайаа псейедоваца- взаимосвязь мевду этиш тштаьш структур« йсыедошии'рвннорша аспекты геожгрии Д(2Л-структур спи-корного типа,'. в частности, построена-спинтензорная алгебра Й0.м -шюго образ ия спзщориого типа.

2) Й'киздо.Д А а а. -структуре с параялелпзуешм структурны?,I пучком внутренним образом присоединена специальная связность, об-обцаадая рва&Ность.*Чаеия теории три-тканей, к в терминах тензоров кривизны и кручения э'тои связности найдены- критерии интегрируемости #{Зв -структуры с парйлшшзуемым -структурным пучком, а такао . её структурам эедодарфизмов и структурных распределений. Йвед&нб гю!штка из-оиаиншзго расирад&кения и кзоклннной (Госструктуры с парадлёлиэуеьш! структурным пучком, и найден критерий йзокщШности. полуголоиомвой • Да „-структуры с параляелизуешм стру&турным пучком, обобщаадий известный критерий М.А.Акивиса изркишноститри-тканей. -

' 3) Введем и исследован кдасс Й0.а -структур вертикального типа, обобщающий класс, кватершонно-казеровьес структур, й найден критерий эйнштейпавося'й; структурного пучка такого многообразия, широко обобщающий хорошо,- известный критерий Атьи-Хктчина-Скнгера эйнытеШовоста. 4-марыых ориентированных римановых многообразий в торгашах автодуашшх форм этих многообразий* а такке доказана теорема об эйншта.йновости обобщенных кватэршюино-келеровых многообразий размерности свыше четырех, обобщающая известный результат Беряса. .

4) .Введено и исследовано понятие Ь -конформно-полуплоского

/5(2 л-многообразия, обобщающее классические понятия автодуально--го и анткавтодуалыюго 4-мерных риманових многообразий на случай /^-многообразий произвольной размерности. Введено по;штиэ тензора твисторнои кривизны Й0а -многообразия Еортигалького ти-., па и доказано, что тензор твисторной кривизны % -конформю-полу-плоского /?О л -многообразия являетсяшхгебраичёскиы тензором ■'., кривизны. Доказано, что анткавтодуалыше /1 (2 «.-многообразия, а тайке обобщенные кватсриионно-гкелёровы многообразия яавдютсяшо-гообразиями точечно постоянной твисторной-кривизны. Доказано,- что обобщенные гиперкелеровы многообразия. являются многообразиями нулевой твисторной кривизны. Доказано также, что она являются многообразиями нулевой кривизны Риччи, что обобщает известный ре-* зультат Борже. '-,'''."'.:-■'"

5) Получена полная классийшсадяя 4-мерных автодуальных неисключительных обобщенных келеровых многообразий постоянной скаляр-' ной кривизны. Доказано, что 4-мерное обобщенное келорово многообразие антиавтодуально тогда и .только тогда, когда его'скалярная. •; кривизна тождественно равна нулю. Доказано, что 4-м8рнсэ компактное регулярное сшшорное многообразие, несущее келерову структуру классического ша, антиавтодуально тогда .и только гогда,когда оно риччи-плоско. Эти результаты существенно обобщают известные результаты Хитчша, Бургйньона,. Дердзински, Чека и'йто.

Теоретическое и ррактическоэ значение. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения' педаодящих дифференциально-геометрических структур на многообразиях, в ооответотвущих разделах дифференциальной геометрии и математической физики, а также для чтения спецкурсов в высших учебных заведошшх. где проводятся исследования по сходной тематике. ; - V

Апробация тботы. Результата диссертации докладывались на: Международной научной конференции "Лобачевский и современная гео^ метрия" (Казань, 1992), Республиканской научно-методической конференции по математике, посвященной 200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского (Одесса, 1992), 71 Конференции математиков; Беларуси (Гродно, 1992), Семинаре кафедры геометрия, топологии и • методики преподавания математики (рук* .проф. А.С.Федевко) Белорусского государственного университета, Сеиинаре кафедра геометрии (рук. проф. В.Ф.Кириченко) Московского педагогического, государственного университета им. В.И.Ленина. .

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в десяти публикациях [I] ч- [10] , которые выполнены без соавторов. ' . Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, списка литературы и изложена на 125 страницах машинописного текста. Список литературы содерхкт 60 наименований отечественной и зарубелшой литературы.

■ ■ МетоЯЯ исслвдовашш. В работе по мере необходимости использовались метод Инвариантного исчисления Кошуля, классический тензорный' анализ и метод О -структур (метод внешние форм Картана).

ОБЗОР СОДЕЕШМ ДЖСЗРТАЦЩ

Во введении. . излагается предыстория вопроса, обосновывается .актуальность Ълл, (^¡^улируются цели и задачи диссертационной работа...излагаются-основные результаты, получению в работе. ■ Первая ¡сАат .дисаар^чдгст посвящена разработке алгебраического аспекта;'теории обобщешшх, почти кватернионных структур. Напоминается .известная., конструкция алгебры Нл обобщенных кватернионов, получаемой из поля Я1 вещественных чисел двукратный применением классической'процедуры удвоения Кэла-Диксона. По определению этой Процедуры а, * 0, и с точностью до'норг.мровки мояно полагать ос = =± 3. Вели с£ ¡=-1,'эта алгебра совпадает с классической алгеброй кватернионов, а если ос, = I, она совпадает с алгеброй антшшатер-ниайов,. Рассштривая, оту алгебру как модуль над кольцом /К ос.» совпадащш с полем комплексных чисел при сс =-1 и с кольцом двойных чисел при а, = I, ш получаем естественное представление такой алгебры на собе как на ¡К а -модуле, который ш называем ос -сшйшзкторньш пространством. На этой пути ш приходим к обобщению ¿йасйическргр.сшшорного предефавления о|>к>гональной группы. Да-Л06, ш рассматриваем произвольные линепнао представления алгебры Нли получаем полную ¡оассификациа,орбит таких представлений. Оказывается, что размерноегь орбиты линейного представления алгебра |Н«,р0Вйа двум либо четырем. При этом она равна двум тогда ж жад^ко !тогДа,; когда орбита ¿Ьяйг ненулевое пересечение о ядром иао^йкртотолько яра ос» I. Г Вторан^ глава диссертации начянавтея с анализа особенностей ге-оматраиЧ-мэрш« ориентировашасс ршгшожа &бо поевдоримааовщ: о нейтрадьИой метрикой шшгообрезйЗ. На базе понятии автодуальных и ангиамодуальных форм да показываем, чтодля такого многообразия в^г$«кшш 6браз6м. определено подрасслоение расслоения тензоров

типа (1,1) над отнм шогорбразйем, типовым сяойм которого являат-ся алгебра 1Иа. обобщенных кватернионов, • Далее вводится общее понятие обобщенной почти кватернионной ( АО.& -) структура на ьйо-гообразии М как подрассдоения расслоения тензоров .таща. (1Д) над этим многообразием," тшовшл ожоеы зеоторого является алгебра . Нл, и рассматриваются различные; примеры тадате-'структур. "Введено понятие твисторного расслоения над А (2 а, -¡шогообразкои как специального вида подрасслоения расслоения -¿I . Сечения твксторнсго расслоения назызагася твпетораш на М . .-Эта понятия обобщают. • соответствующие понятия, введенные, дая юатерняонйых многообразии балансном и Бераром-Бераёри* В -терминах твисторов'ввд&шш два' -ва-кнкх ввда Д £2 е.-структур. . Ййл -структура лазьшаатся структурой сшшорного типа, если ока допускает 'твистор; и называется •' Л й О а. -структурой, еашх она допускает пару атажовд^йрущет твисторов, что, очешдао, равносильно параллелизуемостиструктур^ ного пучка , Подробно изучено фундаментальное понятие ДО,и. -структуры сшшорного типа. Введена понятие кокфьрг®ого расслосгшя над Л(5К -шюгообразием как специального вида ;подрассло0Н1Ш расслоения .Доказано, что пространствоконфорьагого расслоения" ' над ДО &-многообразном допускает внутренним образец определенную ЙО-а. ^-структуру сшшорного т ипа. (ковфордооз подаятяо доходной Я & а. -структура). Показано, что интегрируемость ЙО.^ -Структуры равносильна интегрируемости её конформного поднятия. Дзле'о : изучается геометрия Я б о. -многообразия сшшорного типа. Доваса- ' но, в частности, что на пространство х'лавного раесдозпкя, естественно присоединенного к такому многообразна, канонически ицдэдк-* руется структура /3(2« -многообразия с парасяелкзуеьшы структурном: пучком, названного накрываодал -пространствои»; Наконец, построена так называемая сшштензорйая алгебра Л С с. -многообразия сшшорного типа и доказано, что существует ханоничсаскиА "Пе-гсадулрогзан1шй мономорфизм тензорной алгебра правоштаркаикш: .• тензоров на накрывающем © -пространстве В'сшшхонаорар» алгебру этого многообразия,.

■ В третьей главе лиссоддаптзд издается.геометрия Шс, г-сщ тур с параялелизуешм-структурнш пучком { К ДО^-структур). Кок-1-з1 знаем, такая структура, однозначно определена парой шшхкоизу-ткрущих твисторов {1,1} , Эти твисторы предполагайся фш:ск-рованнымп, отождествляются с ЯГ/Шв-суруктурой и вмосте о эндоморфизмом К - Iе I называются структурта® овдзьюрфиздама структура. Основным результатом глава является те орала о. том, что

на всяком ягЛ(2ес.-многообразии однозначно определена ашшишя связность, сохраняющая при параллельных переносах структурные эндоморфизмы-и. доовцая"тензор качения, в естественном с;,кыо согласованный с первым из этих эндоморфизмов. Эта связность названа .канонической. Показано, что эта связность обобщает известную в теории три~ткаиси связяссть Чжоши Доказано, что ЯГ ЙО. л-структу-ра' шггогриругма тогда и татько тогда, когда тензоры кривизны и кручения ео канонической связности нулевые. Датее изучаются условия ипзаютшггаста собственных распределений структурных эндоморфизмов ;тЛ0я-сгруктурц, названных фундаментальным.рэенредаяе-.пяямп»- нр:там собственные распределения первого структурного эн- • дсаорфвха названы основными фундаментальными распределениями.' В модуле ) гладких векторных полей ?гА<Зл-шогообразия-

М <?"■■ ломощьв тензора кручения канонической связности введена структура ай-гжеогедтатишой алгебры, названной присоединенной алгеброй. Доказано, что фундаментальное распределение ЯТ^С?«,-структуры кнволютпзно тогда и только тогда, когда оно является подалгеброй присоединенной алгебры, При ятом основное фундаментальное распределенпз шшолютивнб тогда и татько тогда, когда оно является .идеалом присоединенной алгобрц, Выделен класс 5Г/?(3Л-структур с ин'теграруеьку перша,1 структурным эндоморфизмом; такио Я7?(3 д, ~ структуры назвали падугмошаяшми. В терминах присоединенной алгебры .найден удобный критерий полуголокошости яг/?<За-структуры, а такяе шйолотнвиости, ей фундаментальных распределений, Дораза- • по, что задание три-ткани на многообразии равносильно заданию на этом многообразии гг#{2«-структуры {1,1} , присоединенная ал-гобра которой /^пшейна, а эадоморфизм I является её инволга-тиш автоморфизмом. Введено понятие изоклшшого распределения на -многообразии как ядра регулярного изотропного об -ква-

терниона. Показано, что это понятие мочено рассматривать как обоб-пенио понятая пзоклинного распределения в теории три-тканей. Далее * но-аналогии с теорией три-тканей,. Я"/?(2л-многообразие называете^ изоклишшм, если оно допускает шшолютивное изоклипное распрздслонно. Заменяя, требование. инваяютивпости язоютшного распределения требованием вго вполне геодезичпости, мы приходим к . понятию изоклшшо-гоодезической 5Г/ЗС^-струг.туры. В терминах 'присоединенной алгебры найдены критерии изоклииности нолуголоном-ной 5ГДб2с<-структуры, а также изоклшной геодезичпости изоклин- . ной IVЙО.груктуры, обобщающие я угочиящпе хорош известннз результаты" теории три-тканей.

-до -

в четвертой главе лнссортм.ши разработано обобщенно теории jas—, тодуалышх и антнаьтодуалышх форм на случай flQct -многообразий произвольной размерности. Введено понятие вертикальной форма на пространстве структурного расслоения «'доказано, что проеКтируе--мая вертикальная 2-ч])орма автодуальна тогда и только тогда,', когда она является фундаментальной формой чисто: шоаюго «. -кватершю- -на. Доказано такте, что проектируемаявертщ<аШ:1ая 2-форш.анти-автодуальна тогда и только тогда, когда она является псовдофунда-ментальноп формой чисто инпыого а. -кватерниона. Далой вводится обдая концепция вертикальных тензоров, ца /}Q<¿ -Ш0Гообразш1 и йх: естественных представлении. Получена, удобная. xaj?aK$epncTiiKa вер- , тикальних эндоморфизмов модуля 2t(M) в терминах Их компонент на пространство присоединенной -структуры. Затем основное вии- ■ мание уделяется AQ л -структурам' на псевдорш.шрвом'шогообразш!, естественным образом согласованным с метрикой этого .многообразия,' названным обобщенными кватернионно-эрмйтовшш ( 3€AQ.a -) структурами. Для ¡^/?(1л-и1бгообраэий''естес.твенно'0предеййно''по1ш,гие келерова модуля, состоящего из 2-форм, получешшх опуекашец 1Ш--декса у чисто шла,их а -кватернионов, ¿ведано понятие естествен- . ного представления вертикальных тензоров на QifíQ. а. -многообразии и показано, что келеров модуль такого многообро31ш М в естественном представлении совпадает с модулем аатодуалышх форм, .а' его ортогональное дополнение относительно модуля вертйкальнйх Йгформ' Ha М в естественном представлении совпадает с модулем антиазто-дуальных форм, и введено понятие сопряженных 3€/}(Эа-структур, Далее изучаются так называете обоб'щешш.а ашатерйзЬнно-келэровы структуры, т.ег. такие 36/7Q а -структуры, структурный пучок.'которых инвариантен относительно параллельных переносов в римановой ' связности шогообразия. Доказано, что обобщенное кватернионно-ке-лерово многообразие размерности свит четырех являотся шогообра-зием Эйнштейна, что обобщает известный результат Верае ^к

Затем вводится основное понятие атого раздала - понятие э€а(2л-структуры вертикального типа, т.е. такой 36^¿-структуры, что эндоморфизм 'Римава-к|шстоффел*метрикишо?оодразия, • несущего, эту структуру» - сохраняет, модуль вертикалькшс: ¡йф» на * этом многообразии, Доказано, что всякое обобщенное кватершшно-

з) ei*^ w.

<Ш vwd№ Шигшмгшш. /t e. Я. Шил,

-{9G6.-V. гег.-р. з<б-ив.

-колерово многообразно. является 3£у4б?л-многообразиём вортнкаль-йоуо. типа; Псжазайо,. что эндоморфизм Я Рньта-Кристоафеля ^Лфл-многообраз1гя вертикального типа индуцирует самосопряженный эвдоморфизм *ь. модуля вертшшльных 2-форм на этом шогообра-зии, который называем тензором твисторно11 кривизны. Структурный пучок 3£/7£2,л-миогообразия вертикального типа цы называем _ эйштейновсшаь если эндоморфизм Риччи тензора твнсторной кривизны этого многообразия скалярен. Доказано, что эндоморфизм Римаиа--Кристоффеля 3£/?5ж-глюгообраз1ш вертикального тина сохраняет келеров. модуль этого многообразия тогда л только тогда, _когда структурный пучок шогообразпя является эШштейновским. В частности,' 4-шрноз ориентированное многообразие с римановой либо не'й- . : тральной псевдоршайовой метрикой является многообразием Эйнштей-,на тогда г только-тогда, когда "его модуль автодуальных форм пива-" риантенотносительно эндоморфизма Римана-Криста«Т;еля. Эти результаты, являются широким обобщением известной теоремы Атьи-Хитчшш-Сшгера, данцей Критерий э^Шштейновости 4-мерного ориентированного риманова многообразия в термина;: автодуаяышх форм ^. '

'В пятой' главе диссертации разработано обобщение теории автоду-альннх и аптиавтодуалъных многообразий на случай «-много-

образий произвольной размерности, а также развита теория твистор-ной кривизны *ЖДал -многообразий вертикального типа. На базе понятия тензора твнсторной кривизны 3£/?б?д-многообразия вертикального типа введены понятия твксторного тензора Риччй, короче, ' тензора, Ь -кривизны Риччи, t -скалярной кривизны, а также эндо-«орфизма Войдя такогб многообразия. Доказано, что подмодули автодуальных и йнткавтодуальных форл такого многообразия инвариантны ■ относительно эвдбтрфиэма Вэйля. 7€AQa -многообразие вертикального типа мы называем автбдуалышм (соотв., антиавтодуалышм), . всяк сужение эндоморфизма Вейля на пофгадуль антиавтодуальных (соотв., автодуальных) форм - нулевое. Автодуальные или' антиавтодуальные It АО. а -многообразия называются t -конформно-полуплос-кймй. Доказано, что тензор t твнсторной кривизны t -конфорлио--пояуплоского 3£/?<5л-шогоббразпя является алгебраическим тензором кршизны, а звдоморфизм Вейля - его бесследной частью, т.е. классическим тензором Вейля относительно эйдоморфизма 1 '. Введе-

4) йЩаЛ 171 л, таиш ¿щлл. ¿tlf-dua-tvth. in foitA -dUjHurtMowil ЯйшапМсш щнтишу.

yfowloit -W'ti-V.ftMZ. -P. 425-U61'

- ГА -

но понятие обобщенной пшеркелоровок структуры пак 'ШЛО.£(. -структуры, являющейся одновременно -структурой, структурные эвдотрцшзш которой караллелыш в ршащшой связности ¿шогообра-еия. Доказано, что всякое обобщенное гщеркелерово шогоо.бразш размерности свыше четырех £ -конфорыно-нолудлоско.

Изучены свойства эндоморфизма твис.торно.й кривизны & -коцфор-д-но-полупдоских 96 Л (За-многообразий. Введено понятие ТЕНСгорной кривизны «, -шогообразня ввргцкальното типа в нгшравяешаг •

данного твистора, а также Ж/МП^-многообразия постоянной, тзис-торной кривизны. Доказано, что обойцешов .кватершшнао-келерово . шогообразие является многообразием, постошйой' тви-сторной кривизны, причем обобщаиное гшвркелоровр, шогообразие жжштт гиогот-образном нулевой твисторюй кривизны,. От.сща. получено, ¡что обобщенное гшеркелерово иногообразяе является риччй-плоскии, '.что обобщает известный результат Верха о кривизне Рпччи гзшеркелерошх многообразий ^. Доказано, что аптиавтодуальное; ФМ&^-шогооб-разие является многообразием точечно поотойнйоА твйсторной кришь зны С "К , где - 1" -скалярная крквиз'на многообразия. В частности, 4-мернос актназтедуалыюо ршаново либо .певвяоршлшово .' с нейтральной метрикой многообразие является многообразием точечно постоянной твисгорной кривизны' С - , где >6 - скалярная кривизна многообразия. Вели же модуль автодуальных форы этого многообразия инвариантен относительно- эндоморфизма Ршлана-Жристо!^-.ля, то его твксторная кривизна глобально постоянна,

В шестой главе дпсеа.глчищи •изучаются 4-;.юрщш кш^оршо-полу-плоские. келеровн многообразия классического либо гиперболического тина, или 4-.морные конформно-начуулоскио обобчешшо ксаерова ию-гообразкя. Доказано, что 4-№рло<з обобщенное келерово шогообразие автодуально тогда и только тогда, -когда кошешенты его тензора й голошрфной сещкошюи крнаиаии на пространстве пру.йоодк» ненной & -структуры - расслоения А-решероь - кьзют вид; $ к

~ ^'в где ± - некоторый тензор типа (1Д), с необходимо-

стью '"однозначно оироделешшй. С использованием этого результата получена полная классификация автодушшшх1гемскдачц£елънш£ обобщенных -келеровых многообразий постоянной, скалярной кривизны (йсо-

ч Ьшугх Щ. ¿ик & ушеря* сёт ъолс&и, а соттМип а0Ш &С ¿и ъа&Шк ЖШмиШии// . ЩаХк. Рсапс&.~ (355. - V, ВЪ. - р. гЧЯ - ЪЪО.

вдоримадово многообразие называется неисключительный,' если ого эндоморфизм Рйччл имеет по крайней море один неизотрогашн собст-.-¿ешщй вектор, в' хсаедой точке многообразия. Например, всякоо рима-ново. многообразие Ыетгсюточительно) * Именно, доказано, что всякое автодуальное неисключительное обобщённое келорово многообразие постоянной скалярной кривизны локально годрморхно изометрпчно одно^. из,.следующих' многообразий: 1) С2- ; 2) С.Р2- ; 3) СНа ; 4) X ; 5) Яг Я /Цг; 6) ЙРа ^КР2; снабшйшх канонической келеровок структурой классического либо, соответственно, гиперболического т:ша. В частности, всякое автодуальное компактное' каяеровэдаЬ^^ классического типа голоморфно изомет- • рично накрывается одним из слсдугоип!х многообразий: 1) С 2 ; . ' : 2) СР2 ¿ 3) СН г \ М 3 % X ; снабяенных канонической ке-леровой структурой. В то ао время замочено, что автодуальные' об-, обданные кблероВЫ ¡дногообразкя непостоянной скалярной кривизны на-дойус!Йют:тавдго;.1ЮДа Конечной класспфикац1а1. Эти результаты существенно обобщают известные результаты Хитчина Бургяньона Кто и других авторов. С Другой' стороны, доказано, что 4-морноэ. : обобщенное калерОво шогообразнв антиавтодуалыю тогда и только , тогда, когда,оно является многообразием нулевой скалярной кртзиз--ш. 'Этот результат существенно усиливает известный результат Ито Наконец, доказано, что 4-мерноэ компактное регулярное спйзюрцо'в многообразно, несущее келерову структуру классического типа, антназтодуально тогда и только тогда, когда оно риччиг-плос-' ко. Обсуждены примеры таких многообразий, а именно, КЗ-поверхности, т.е. тошлекЬшз компактные регулярные поверхности с нулевым первым классом Якеня,которые, как известно, образуют особый тип в классификации Кадапри комплексных поверхностей и хорошо изучены.

6) т£с/г£п % Ъ Оп анпрасХ. $<шл- <Шпгмссига1 £ииШ*г V ВжиисШюп П-.-9

ъххлХ&Сел ск. сШшгг/хн^ 4 а. Щпа&Ьи лш пи^ж ЛхнЛ Ы: йсмпопи^и&.

ЕииЫп // ЗгшаЛ. ЧГкШ1.-199{.~\/.бЗ.-р.гб$-- гее.. '

ПГ}. ШЛ&х мифшя //

Сотр. ЩсиЫ1. - -у. 51. - Р. гб5 - £73.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА IIO ïilffi ДЖСЕЕЯАЦИИ: ,

1. Арсеньева O.E. Конфор.шо полуплоские обобщённые шяерювЫ . .

" многообразия //Успехи мат. '.;

2. Арсеньева O.E. Автодуальная геометрия келёрОвых мд0йоб0разий. //Леядународная научная конферещия "ЛобачевешШ и еов^мейНая . геометрия". Тезисы докладов.-Ч,1,-1Цзаиь.-1992.-£« 6. /

3. Арсеньева O.E. К го омотр;н1 обобщенных кочтн кватернионных' структур //Республиканская. научыо-методическгш конферонхци по ; / математике, посвящешюя -200-лб*ию 'ÇÔ-'^HÇ ^:.сДе1«ш';1Н,Й»Лрбачёв-- ; ского. Тезисы домадов.-Ч.1.Лдессау-1592^-С»§2;

4. Арсеньева O.E. О твисторнон геометрии 5£/7<га-;.вшгообразкй, //У1 конференция математиков Беларуси* ': -Гродно.-1992.-С.б4. . :: -У5-" ■. '' ' ' •

.5. Арсеньева O.E..О геометрии обобранных подай, laâîôjtfflOHi'iiix •.' ' ■

1Шогообразий //Материалы научной'; . щ. В.И.Лешша за 1991. год,' посведешюй I^^eïiBb основания университета. Серия:-естественные Hâyiai»-ii.;ÎIpouôTéÊ»-r'9â2',

-с.и-12./ "W - - "

• 6. Арсеньева O.E. Сбсбцсшше почти кпатернпоннне многообразия вертикального типа //Род,я,Вос!?п.Гчуг01ус,г:мга. СарЛ.Слз., мат. ,мох. -ükhcK , 1991.-1сЗс.-Деи. в гВХНЗДЯ. .U8«£ji .92-,..''èB-B92. ; ^

7. Арсеньева O.Ê. Спшюрная геометрия алгебры, ебобцедшых ;кватер-нионов //Ред.ж. Вести.Бзлорус.ун-та. Се^.Х.^из^'тт.уШх.-.

" -Минск,1992.-12с.-Дел.в 'БШЙГЙ üb.03.92. 1??2S-B92. ' '

8, Арсеньева O.E. Каноническая саазность обобщенных почти ква-тернионных многообраз ий //Род,к .Вести .Белорус.ун-та. Сер, I, Шз.,ыат.,мох.-Шшск, IS92.-I6C.-Деп.В Bim1»! 05.03.92.

тг7-В92. --•*

9, Арсеньева O.E. Конформно подуплоские. многообразия //Ред.й, Вестн,Белорус.ун-та. Сер.1,йш,,шг,,шх.^.1ийек,1992.-19с1 -Доп.в Bi-ШТИ 10.0o.92. Н942-Б92. '••''• •.''

10. Арсеньева О ,Е. t -конформно полупло.ские обобщенные почти ■

. кватернионные многообразия //Ред ,к.3е стн .Белорус, ун-та,С ер, I. . Физ»»шт,,мех,-î.liiiiCK,1992,—20с,—Дои.ь БИ^ГГИ. 16.00,92. • Ж943-В92, /• - ' ' '