Дифференциально-геометрические аспекты задачи об описании класса уравнений нулевой кривизны тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

\Ъ С МОСКОВСКИЙ ГОСТ ДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

I • « 1*5

' ;. I

имени Й.В .ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На прьвах рукописи УДК 51*.763 * 517.957

ЙСАЕНКО ЕВГЕНИЯ МИХАЙЛОВИЧ

ДИШРШИАЛШО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ЗАДАЧИ ОБ ОПИСАНИЙ КЛАССА УРАВНЕНИЙ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ

01.01*04 - геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание ученой отепени кандидата физи&о-ьатемгличеохих наук

Москва 1995

ЛЦлА^

Работа выполнена, на кафедре матекатичеокого анализа . коханико-натематичеохого факультета Московского гооударогвен-иого университета имени М.В,Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук« профессор Л.Е.Евтуиик

Официаяьнне оппоненты - доктор физико-математичеоких

наук, профессор О.В.Мантуров

- доктор физико-математических наук, профзосор С.П.Соловьев

Ведущая организация - Моокоеокий педагогический

государственный университет

Защита диооертации состоится " /Д." # ПР-СЛ^ 199^ г. в 16 часов 05 мин. на заседании диссертационного Совета Д.053.05.05 при Московском государственном университете имени М.В,Ломоносова по адреоу: 112699, ГСП, Москва, Воробьевы гор!, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 14-08. '

С диссертацией кохно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 отаж ) .

Автореферат разослан п 1А* 199Гг.

Ученый секретарь диссертационного Совета Д.053.05.05 при МГУ. догл ор физико-математических

наук, профессор В.Н.Чубариков

т

' Актуальность текы. В работе рассматршавтся нелинейные дифференциальные уравнения ар« двух незаЕИОигах переменных и их системы. Эффективным методом исследования таких систем является метод обратной задачи рассеяния (см, £1],[2]). Оя применим к тем системам, которые мохно представить в вида условия нулевой кривизны (альтернативный, хотя и близкий, подход, основанная па скалярных парах Лакеа, здесь не рассматривается). Такие система, взиду >того, что они допускают углубленное аналитическое исследование, часто относят к разряду "интегрируемых" систем, Известно нескользко десятков интегрируемых моделей,'имеющих прикле-ноз значение (ем. [1],[2],[з]), з число которых вхедяг уравнение Кортевега <-де Фриза ("кратко КдФ), недели изотропного магнетика Гейэенберга (КГ) и анизотропного магнетика Ландау-Лифзица (Л-Л) к тесно связанное с модсльо КГ нелинейное уравнение Ирёдингера (НШ). Извеа-тни интегрируемые обобщения этих уравнения. Так, ¡¿одели HP, 3-Л и НЭ били обобщены. методом классической Z-матрицы (Л. Д. Фаддеев, Е. К. Скдянин и др., см. [?.'}). Интегрируемая система, которая является таким обобщенней нагнетлкоз 1>!Г и Л-31. и соответствует орбите присоединенного предста&тсшш d кошактной полупростой алгебре Ли , называется кодеяьэ -инвариантного нагивтика. Модель, отвечавшая простсйасй Ъ -гатрице и являющаяся непосредственным интегрируемым обобщенней модели МГ, будет здесь обозначаться, для краткости через С^-НГ. Отизтим, что эта модель биле. определена нзявно. В случае орбит, изоморфных ксгалексным грас-сканианам, ее явный вид указан в [В].

Для описания класса интегрируемых систем применяются различные подходи (ом. t2]»[3],l;4"S и указанкуи там литературу) . К навей работе ближе, с одной стороны, те статьи, где дается прямое построение интегрируема* систем и соответствующих представлений нулевой кривизны, использующее теорий групп Ли и алгебр Ли, а о другой стороны, - те работы, в которых перечисляется уравнения определенного функционального вида, удовлетворяюще какому-либо заданному тесту на интегрируемость (характерной чертой интегрируемых систем является наличие у них целого ряда признаков интегрируемости ) . Отметим, что класс систем двух уравнения типа ИГ, Л-Л и НШ(в расцепленном виде-)и класс уравнения типа КдФ изучались с точки, зрения наличия у них богат.ого набора законов сохранения и обобщенных симметрия (К. X. Ибрагимов, А. Б. Шабат,

Л. В. Михайлов и др.» ом. обзор ["5] и указанныз там статьи), причем, на этом пути были получены классификационные результата. В настоящей работе признаком интегрируемости будет считаться наличие представления нулевой крив«зны С ниже под "регулярным" представлением кулевой кривизны будет пониматься представление, удовлетворяющее некоторые ограничениям общего характера). Отметим, что в СЮ ] по отому тесту анализировался довольно узкий класс уравнений типа НШ. Ми рассмотрим более широкий, чем в [10], класс уравнений и систем и постараемся выявить те дифференциально-геометрические аспекта, которне в указанных работах не затрагивались* В принципиальном плане следует, тем не менее подчеркнуть, что разнообразные и теснее связи теории интегрируемых систем о дифференциальной геометрией - факт хороао к^бсстннй ( с«. [2],

В первом разделе диссертация будут рассмотрены системы комплексных эволюционных уравнений второго порядка, квадратичных относительно первых производных по пространственной переменной (в этот класс входя? сиотехы КГ). С такой системой ассоциирована некоторая аффинная связность на комплексном многообразии, где принимаю свои значения зависимые переменнее. В ток случае, когда эта аффинная связность нетривиальна, указанный оистчкы будем называть системами ша -инвариантного »агнетикь ^нетрлваавьноегь отмеченной аффинной сеязности отличает формально, интегрируемые системы, обобщающие модели магнетиков МГ и Л-Л, от интегрируемых систем, обобщающих уравнение НМ, например от систем Форди к Кулиша [9], у которнх эта аффинная связность плоская). Болев детально будут рассмотрены те ур&внення и системы, у которых соответствующая аффинная связность почти комплексна, т.е. согласована с комплексной структурой. Во второй разделе будут рассмотрены вещественные уравнения третьего порядка типа Кд§. Нам представляется, что классы уравнений и систем указанных типов, допускающих запись в виде условия н}левой кривизны, очерчены недостаточно ясно, и их описание, а также изучение с вязан.; 7 х с ними дифференциально-геометрических структур, является важным и актуальным.

Цель диссертации заключается в исследовании дифференциально-геометрических аспектов задачи об описании класса систем типа ^-инвариантного магнетика и класса уравнений типа КдФ, допускающих представления нулевой кривизны.

Идгод исследования; применяется аппарат дифференциальной геометрии и элементы теории групп Ля и алгебр Ли. Главные результата являются локальными.

Научная новизна. В диссертации:

1. Показано, что. если дифференциальное уравнение типа инвариан'тного магнетика, ассоциированное (локая'ьио) о почти комплексной симметрической аффинной сиязиоотьо на 1-мерном комплексном многообразии, допускает регулярное представление нулевой кривизн« со структурной группой Ли , то указанная аффинная связность является связносхьо ЛеБИ-Чивитн римаиовой метрик« постоянной гауосогоя кривизна.

2. Дано явное спио&пио интегрируема* систем для орбит присоединенного представления в компактных простых алгебрах Ли Qn дяя тех орбит в некомпактных простых вещественных алгебрах Ли, на которых невнровдена ограниченная на орбиту как на подмногообразие билинейная форма. Киллчнга алгебры Ли}, т.е. указаны явный вид систем дифференциальных уравнений,соответстаусаде представления нулевой кривизны; дана гамильтонова формулировка ("относительно канонических скобок Ли-Пуасоона, связанных о орбитой } <

3. Приведены рекуррентные формулы для вычисления локальных интегралов движения система MP, связанной о орбитой, изоморфной {ъ -мерному комплексному проективному пространству.

В терминах условий интегрируемости систем типа Of-инвариантного магнетика дана характеристика сиотем ¿^-ИГ, связанных о индефинитными кеясровыми многообразиями постоянной голоморфной секционной кривизны.

5. Перечислена (вещественные) уравнения типа Кд$ третьего порядка, допускающие регулярные представления нулевой кривизны оо структурной группой Ли .

Все основные результаты являются новыми.

Рйо'ота носит теоретический характер и может быть использога-иа для описания интегрируемых моделей в математической физике.

Апробация. Результаты работы докладывались на семинаре по дифференциально-геометрическим структурам на механико-математическом ф-тз МГУ им. Н. В. Ломоносова (рук. проф. Л. Е. Евтушик, 199'3 г.), а также, часть из них - на теоретическом семинаре лаборатории оптики Физического ин-та им. 11. Н. Лебедева (рух. д.ф.-м.а. В. А. Щеглов, 1990 г. ) .

Публикации. Т1о результатам выполненных исследований автором опубликованы четыре статьи: £П•

Диссертационная работы изложена на 96 огр. мапинописного текста и состой!' из введения, двух разделов (в периоя - пять параграфов, во втором - одни ) и списка литературы.

Содержание диссертации* Во введении обосновывается актуал1г-иость теш, формулируется цель исследования, приводится краткая аннотация полученных результатов.

Б первом разделе раосматрлваатся системы, типа ^ -инвариантного щгнетика. В § I уточняется постановка задачи. Ииенно, будут рассматриваться системы следувдего вида: ^

(подразумевается обычное соглашение о суммировании), где Л. , # » я 1.-....Й/ » В гС ,..♦» 1,1,....И' Л^ (заглавные буквы); г.6- -™ комплекснозначнно функции вещественных переменных

X» * ^ ^ . ( ^з) « ^комплексно-

значнио функции от ъ0" класса гладкости ; « 2я" ,

черта обозначает комплексное сопряжение, к В » В » -Вцделнм подкласс систем зада

В дальнейаеы оуцестаенно используется следующее простое

УТВБВДЩЩ 1.2. Систеш (I) сохраняет свой вид при кот-яексно-акалитических (нетромешш) заменах зависимых переменных 2^=2^(иЗ» причем функции (р^ преобразуются, как

компоненты вещественного поля линейных операторов , где Ф »

- у*-*!"-

Тогда функции Си ^ВС~ ) преобразуются, как коэффициенты Кристоффеля симметрической аффинной онязности. Кроме то- ' го, функции /¡з преобразуются, как компоненты вещественного поля линейных операторов Р , а ^ - как координаты вещественного векторного поля V , где _______,

р..feA.de», !~2А ; 15 - II, £ ■ о

Итак, о системой вида (I) ассоциирована аффинная связность.

'J

обозначил ее V V на комплексном многообразии И (о локальными комплексном:! коовдинатачи 2е1) с коэффициентами Кристоффоля Г^3

.1с >T??-.VZB>2:rAB-^Zc!=^

н ковариантное дифференцирование продолжено по С -линейности.

Как известно, если связность почта комплексна, то ненуловимн ко-

pQ- ««с р"3- _ р4*-

гут бить только I Sc , 1 £ с . wo '^g ~ l£c •

°3 частности, аффинная связность, ассоциированная о систоиоЯ (2), 'почт комплексна.

ЗАМЕЧАНИЕ. Вое оф^ямпые связности в работа я-лястся елм.чотр;-чеькики, т.о. без кручения.

Системы (I) и (2) нонно записать в ингараантиих обозначениях. Например, система (2) латяется координатной формой уравнения вида . . (3)

где S - ОС (R^U'C К - дифференци-

руемое отображение в ксординатнуо карг/ U'cM (многообразие М считается для простоты обозначения шокеянии з некоторое векторное пространство), J - полз линейных операторов комплексной структуры. v

Пусть - алгебра Ли конечномерной группы Ли fee . а Л . Т оу -значине функции на пространстве ТА( Kfj М ) I-струя отображений из (с фиксированным:! координатами х. ,1)з Н > причем всегда будет предполагаться, что X и Т могут явно зависеть тоЛь.со от 2я- , . Ми будем изучать вопрос о той,

когда указанные системы иоано представить э виде условия нулевой кривизны, т.е. в ззде ... (гг

( G и Ьу будут называться структурными группой Ли и алгеброй Ли соответственно). Подчеркнем, что в той случае, когда этот еоп-рос рассматривается для уравнения (Э), заданного "глобально11, т.е. для уравнения, связанного о V , Р , V , J , заданных на всем глобально определенном связном многообразии И (например, это так в .§§ 3,5), то функции а Т должны быть опреде-

лены на всем пространстве J4" ( М ) . впрочем, и в этом случае каии рассмотрения носят, по-суцеству. локальный характер. Будут лркведены примеры интегрируемых систем вида (1)(в том

числе явный вид системы ^-МР, см. § 3). Системы вида (2)будуг рассмотрены подробнее (в §§ 2,5), прячем основное внимание будег уделено анализу ограничений на соответствусцуа аффинную связность.

Напомним, что условие (V, обеспечивает совместность (на решениях рассматриваемой нелинейной системы ) следувщей линейной оис-

Н^+Т-Ч^о , С5)

где и и 1*т - произведения матркчнозиачнык функций X иТ на вектор-столбец Т (здесь ма считаем, что X и ИГ* - матричные). Если К и Т завися? также от параметра ь то для аналитического исследования соответствующей нелинейной оистеш применим,, вообг-е говоря, метод обратной задачи рассеяния (см. [1], РП.Сз"}); первое уравнение в (5) называют вспомогательной линейкой задачей (фактически лиг. применимости указанного метода нохсг потребоваться, чтобы функции X и Т подчинялись некоторым дополнительным ограничениям). При изучении условий, необходимых для существования представления (*,), кн не будем предполагать, что X я Т зависят от параметра, - оказкгается, что и без отого предположения условие налагает аесткие ограничения на нелинейные системы вида (2). Разумеется, примеры систем будут приведены Тагиле , у которых представление (-'4) содержит параметр.

Хороао известна интерпретация условия (Ч) в терминах теории связностей ("см. [2"]), причем соответствующая связность в тривиальном главном (правом ) -расслоении М)

определена стандартным образом ^-значной формой 0 (заданной

т 0=Хскч-т (6)

так что условие (А") означает, что на решениях рассматриваемой системы (точнее, на графиках, их струйных продолжений ) обращаемся в ноль кривизна этой связности.

.В § 2 рассматривался скалярные уравнения в: ¡да (2), т.е.

В случае структурной группы Ли (х = ^¡-д(<С ) вводится определение "регулярного" представления нулевой кривизны (¿0 , захлв-чаащееся в том, что: (а) оно но редуцируется (в смысле теории связностей") ни к какой иоЗствсннсй подгруппе Ли группа Ли .» т.е. такова связность, определенная ^-значноП формой (б ) ,

(б)значения вектор-функций ^(Р^» линейно независимы

(над £ ) в ^--ЗС^СС) для всех рб-М (фактически, функция X не зависит от , т.е. является функцией на М ) , и, кроме того, еще некоторые функции, определенные X » или всюду отличны от нуля, или тождественно равны нули.

Отметим, что у аффинной связности (почти комплексной) , ассоциированной с уравнением (7), коэффициенты Кристоффеля таковы:

п , Г/х " , а тензор Риччи (продолженный по С-ликейнооти; его тозд обозначим через 12.") равен. ¿12

¿гФ&Ъ ♦ где ^ = точностью до знака) .

/ /

ТЕОРЕМА 2.3» Пусть уравнение (7),(_3\, ассоциированное (локально) с почти, комплексной аффинной овязноотьв V на I-мерной комплексном ьчогообраэии И . допускает регулярное представление нулевой кривизны о группой Ли ^ " (С ) . Тогда тензор Риччи Я связности V симметричен, т.е. о Ч . Далее: , ,

а) если Н.х~0 , то абсолотная величина |Е.1га КЫтМЗ является римановой метрикой постоянной гауссовой кривизны С 4 о , а V - ее связность» Леви-Чивкты;

б) если 'СВО , то пара (М»7) является локально С -аффинным многообразием, т.е. у любой точки р€-М найдется

окрестность

и и гол о морфии й диффеоморфизм <С *

такие, что есть каноническая плоская аффинная связ-

ность на О'. □ .

ЗАМЕЧАНИЯ. I . Таким образом, в условиях теоремы, можно сделать такую голоморфную замену переменной 2- б уравнении (7),

что гй? ии Й! . «« к

2 . Ключевой момент доказательства теоремы состоит в том, Чтобы установить симметричность тензора Риччи.

3 . Отметим, что з статье £10] классифицированы уравнения нулевой кривизны (о группой - вида (7) о

■ » ■ 0. Однако в этой статье вовсе не затрагиваются дифференциально-геометрические аспекты, являющиеся главными в нашей работе.

4 . Известным интегрируемым примером для значения кривизны а?о служит модель МГ, имеющая вид (3) (о Р - О, V »0), где V - связность Леви-Чивита на 2-сфере М • 2 С ,

иной вод этой модели - (?) о 4е » 4±." ^ в 4° а

Эквивалентная запись: « • где принимает

значения на орбите присоединенного представления, изоморфной 2-сфере, в алгебре Ли . Другие примеры: модель Л-Л (тоже для

С?о , он. Г2]»[31"С5])» поевдоевклидош аналоги моделей МР и (дяя С<о) , модель НШ (для С-« 0) . 5 . Отмстим, что извеотна интегрируемые уравнения (в том числе и модели магнетиков ) более общего вида, -

где ^-з^О (см. ¡А) .£?]), т.е соответствующая аффинная связность в отом случае но является почти комплексной.

6, Подчеркнем, что лучаие результаты по классификации интег-рлруешх систем , • в том числе и систем типа НШ, !<!Г и Л~31 (в расщепленном виде), ■ получены а рамках симметрийного подхода А. Б. Еабатом, А. В. Михайловым и др.(см. обзор £53). Однако,- в основу их подхода положен другой признак интегрируемости - наличие богатого набора законов сохранения и обобщенных симметрия. Кроме того, одной из наших задач было выявление дифференциально-геометрических аспектов, связанных о рассматриваемой задачей.

В § 3 сначала напоминается построение моделей -инвариантных магнотиков методом классической X -матрицы (следуя [23"). Такая модель, связанная со вспомогательной линейной задачей вида

(где £ ■ 2 (х.? "Ь) - гладкое отображение в орбиту присоединенного представления М^^) . и являющаяся непосредственным интегрируемым обобщением модели МГ, будет обозначаться через МГ. Отметин, что она определена неявным образом.

Мы не опираемся на метод классической "¿-матрицы, а даем альтернативное явное описание модели Оно включает как

частный случай системы Маханькова и Пашаева [83« Напомним, что уравнение МГ калибровочно эквивалентно уравнении НШ (Захаров и Хахтадаян; см. [2}). С другой стороны, в статье Форди и Кулиша[9Д построены интегрируемые системы, связанные о алгеброй Ли , обобидаюаие уравнение НШ (обозначим их через ^--НШ; в ¡[9] эти системы даны в расщепленном виде) , и анонсирована калибровочная ох-Екзалектность соответствующих систем ^--КШ и -МГ. Кроме того,

они указали на необходимость развития их результатов. Ми приведем интегрируемую систему (см. ( 9) ниже), связанную с той яе, что и с кете ел ^-МГ, вспомогательной лшшйной задачей (8) . и каяибро-вочно эквивалентную система (в С9] уравнение обойденного

магнетика дано а виде (И)» см. ниие, причен , 'без представления нулевой кривизны ) .

Пусть М с о^ - орбита присоединенного представления в простой алгебре Ли ^-(над К.) » При этом, если оу неконпактна, то М предполагается "невырожденной", т.е. невырождена как симметрическая билинейная форма, ограниченная на Н. форма Киялинга В алгебры Яи (для компактной алгебра Ли нормируем форму £ так, чтобы она была положительно определенной). Отождествим касательное пространство ТрИ .рем- с векторным подпространством Мр := Ъл(а<1р ) , где «Лр (»«[р,^ • а норадьнов

(относительно В) пространство "Т^ И"1" - с Мр '--К^Ъ [Ыр) . Обозначим через обычным образом определенное поле на М

линейных операторов в ^ , причем |Мр -О. Пусть ■

: и С М - гладкое отобрааение Дочитается, что и лежат в М^) , - параметр.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.3. Следующая оиотека

^л^Ч**«*^1**'5*^0 (9)

допускает представление нулевой кривизны (4), где

Кроме того, устанавливается, что:

а) система (9) калибровочно эквивалентна системе ^-ЙЗ, соответствующей той ¡ке орбите МсГ1^- ;

б) система (9) (рассматриваемая локально) гамильтонова относительно канонических скобок Ли-Пуассона (связанных с орбитой") о гамильтонианом ЗД , где л

(интегрирование согласно рассматривавши граничным условиям ) .

Систему (9)можно записать в виде закона сохранения, т.е.

»а также в виде + Х «^1 где Т) - связность Леви-Чивиты поевдоринановой метрики ВIМ ,

являвшейся ограничением на Р' формы Киллинга & . Еще один вид этоя система: /

где оЛр°$>уолс/р"** , УёТр М/.-аффинная свяэнооть

Лези-Чивнты псевдорикановоя метрики , где Уз) «

Если ^ компактна, а орбита г! С ^ такова, что суть келерова метрика, согласованная с канонической комплексной^ структурой X на И , то' для таких орбит система ¿^--К? (9") принимает следуюкяй вид (с точностью до замены X или -Ь) :

где V указана выие! или, что равносильно для таких орбит,

^-ь-пв^ххЗ си;

{с точностью до отпеченной замены) , В §4

для модели ср-ыг, соответствующей рбите, изоморфной И- -мерному комплексному проективному пространству, найдены рекуррентные формулы для вычисления серии локальных интегралов движения. Здеоь ш следуем известной методике (он. £2)). Отметим, что для модели Ц -Ш, калибровочно эквивалентной рассмотренной здесь системе ^-МГ, серия локальных интегралов движения вычислена П. Л. Кулишом (см. точную ссылку в £2]) .

В § 5 в терминах условий интегрируемости дана характеристика систем связанных о орбитами, изоморфными индефинитным келеровыи многообразиям постоянной голоморфной секционной кривиа-ны. Пусть уравнение (3") , где"V - почти комплексная аффинная связность на связном комплексной многообразии М » допускает представление нулевой кривизны (4) (вопрос является, по-существу, локальным). Тогда вектор-функция X не зависит от г^, т.е. имеем отображение X М •• Обозначим посредством

ТрА(М,Х)С комплекснуп оболочку второго соприкасающегося

пространства отображения X в точке р£.М. Моино показать,

чт к^+З."., п = сГ(ШсМ.

ПРЕД ШЕНИЕ 5.1. Предположим, что размерность с!р равна

и/ч-Д^ для всех рб М , т.е. максимальна. Тогда тензор

Риччи К связности V симметричен и Т-инвариантен. Далее:

а) если Я невырозден как симметрическая билинейная фор:.'а» то Я является индефинитной келеровоЯ метрикой постоянной голоморфной секционной кривизны Щ'О , а V - связностью Леви-Чивн-тн этой метрики;

б) если ¡1 в О, то пара (М ,V) локально ' (1, -аффиина, т.о. у каддсй точки р&М найдется окрестность V и голоморфный диффеоморфизм : и^с <Са „ такие, что

совпадает с канонической плоской аффинной связностью на и . Ц

Примеры соответствующих интегрируемых систем достааяяат модели с^-КГ вида (9) для орбит в алгебре Ли ^ а Sl(.§(nfL) индефинитной унитарной группы Ли 6г » ЗЦ^К+Я) , изоморфных комплексным индефинитным эллиптическим и гиперболическим пространствам ) и Н5 ) (ом. Вольф Гб])» являющимся индефинитниии келоровыми многообразиями постоянной голоморфной секционной кривизны (см. £7]). Для этих орбит система (9) имеет более простой вид (10),(II) и, по-суаьству, указана в [з] (з матричных обозначениях и без упоминания об орбитах^ .

Во втором разделе, состоящем из одного § б, рассматривается задача о перечислении вещественных уравнений типа Кдф

Н-Ь + иххх.-и-и.[хг-Ь), (12)

допускающих представления нулевой кризизны ('*), где теперь. X 15 Т - 0р-значние функции, явно зависящие только от и , Кх и ^ХЗС» Легко показать (и ого известно), что X явно зависит только от и г и (при й)С/с1ц<£о) Функция гакоиа:

V ^ -А .

Далее предполагается, что структурная группа Ли представления нулевой кривизны суть <5" = ^Ц^СК.) • Указанное представление назовем "регулярном", если: а) оно не редуцируется ни к какой собственной подгр/пле Ли группа Ли сг . б) кривая в алгебра Ли ,0| , заданная уравнениям X = X (г<) . неБнро?здена. , т.е. X. ; = ■'= ЛХ/сЫ 0 , и эта кривая либо неизотр^пна, либо изотропна, т.е. величина в^Х'МД'М) (где В - форта Киллпнга аэгебры Яи'^^длбо всюду отлична, от нуля, либо гохсеот-езкно равна нуля.

Новым результатом второго разделе является' п. о) с/сдувдоге утверждения.

ТЕОРЕМА 6.3. Пусть уравнение (l2},(l3) допускает регулярное продставленке нулевое .кривизны со структурной группой Ли Iqvaа: а) функция, а» и суть постоянный;

6"^ заменой переменной уравнение можно привести к од-г ному из известных интегрируемых уравнений (указаны только соответствующие функции -vl/ii/Ux) ; é ¡Я) -(i) -JU ¿IMt* (Кдф). (2) /1«± .

(3) Л- +£>,(*) + с^ + с* ;

(б) к' Ы'1-v ü

Подчеркнем, что п. б) выводится 'з п. а) элементарными вычислениям;: и приведен здесь для полноты формулировки (этот вывод - пш постоянных /и и -/1.-» известен ) . То, что Еиписанные уравнения допускаю® представления кулевой кривизны, токе известно.

Ранее уравнения вида (12) (и более общего гида) были клаеси-" фицированы в paj&ax укэ отмечавшегося симкетриг-.ого подхода по признаку наличия больного запаса законов сохранения и обобценных симметрии (СвиноаупоБ, Соколов; см. обзор С^З) >

Отметим, что главный п. о) тоорями 6.3 доказывается тем ые катодок, что и кквчевой момент теорем 2.3, утверждавший симметричность Tçasopa Ркччи рассматриваемой аффинной связности.

В заключение я sapasse глубокую благодарность научном}' руководителю профессору Л.Е.Евтуаику за полезные указания и поддсркку.

Библиографический описок.

1. Захаров В.Е.,.Каншсов C.B., Новиков С.Л., Питаевский 1.П. Теория солитонов. Метод обратной задачи./ Под ред. С.П.Новикова. - М.: Наука, 1S60. - 319 с.

2. Тахтаджян JI.A., Фаддеев Л.Д. Рашшьтонов подход в терии солитонов. - П.: Наука, 1986. - 537 с.

3. Абловиц М.,Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи: Пер; с англ. - М.: Мир, 1987. - 480 с.

Интегрируемые динамические системы: спектральные и дифференциально-геометрические аспекты./ Митропольский ii.A., Боголюбов H.H.(от.) , Прикарпатский А.К., Саиоилекко В.Г. - Киев: Наукова думка, 1587. -'256 с.

5. Михаймв A.B., Ыабат A.S., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к

классификации нелинейных урагигаай« Полеыз Sghoku нитсгрлруо-скотом.// Успехи .магзя, кауа. - 1907. - Т. i)2f sun. -0. 3-5Э.

6. Вольф Да. Пространства постоянной аривиэая: Пор. С англ. -M.s Наука. 1932. - 480. с.

7. BflAtos М._Домею A. Ihtfe-finE-fe. ^fc'i Mtti-foUs. {/ MrMmi.-Ш

8< PasW/ O.K. 0к aauje ajw.'W-

' 'fence. the wd ncniineah

Sclb-oJik№ efnitons on smm-^irHc spaces. //

9. [Wl M'^fa ?.?. у on fr ileal ZcLtJi^h eyun-

' Hons wd z'tMpfe 27e J/ С опт. Мл-fh.

IOe Ha^hiiJ J. Winiewiiz P. Pseudopotenh'a^s awI & w^me-fbics }0ь -Hie. qenetail^td попШтаь-ScAi-Uln^ efuabms. // I MM. Vty.-mAr -МЛЪУ Jr5.~ Р.5&-5Я5:

IX. Иоаенхо E.SJ. О классификации уравнений пулевой хрнвазнм. -Вяадии. политеха, нн-т. - Владимир, 1987. - 17 с. - Рукопись деп. в ВИШИ 0ij.02.83, Ж 950-В83.

12. Поаеяао 2. И, 0 геокэгрии нелинейных уравнений тяаа Шрадннг®-I», дспускынцих представления нулевой кривизны. -Препринт 116. - М.: ШН, 1990. - 20 с.

13. Исаенко Е.М. Износ опиоаниа модели ^-инвариантного шгквтн-ха.//.Уопехн иатем. наук. - 1993. - Г, 48, аад. 2. -

С. 187-188.

14. IS^gh^O £. И. Znicj^ici'^ сонс/Штэ fat- л cei-Mik. tib.%$ evolution e^ua.ii'e»s and'К* ft-tz\r ^СгисЬг. // (xcom. A¡>¡>1 -1391V. i^fa-- RM? - Ш } . J/UlL P. lo3.