Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом и спектральные задачи, возникающие при их изучении тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Московский Государственный "Университет им. М В. Ломоносова Механико-Математический факультет

На правах рукописи УДК 517 929, 517 927, 517 984

Лесных Андрей Александрович

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ

ИХ ИЗУЧЕНИИ

Специальность 01 01 01 — Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2007

003065333

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского Государственного Университета им М В Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор А А Шкаликов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Власов Виктор Валентинович, доктор физико-математических наук, профессор Филимонов Андрей Матвеевич

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН

Защита диссертации состоится 5 октября 2007 года в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д 501 001 85 в Московском Государственном Университете им М В Ломоносова по адресу 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские Горы, МГУ, Главное Здание, механико-математический факультет, аудитория 16-24

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан "ОУ СентЯ&рЯ 2007 года

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501 001 85 в МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

1 Общая характеристика работы.

Актуальность темы.

Настоящая работа посвящена изучению асимптотического поведения решений функционально-дифференциальных уравнений, а также изучению связанных с этими уравнениями дифференциальных операторов со спектральным параметром в граничных условиях

Функционально-дифференциальные уравнения (ФДУ) изучаются достаточно давно Отдельные результаты были получены еще около 200 лет назад Активно эта теория начала развиваться в начале-середине 20 века во многом благодаря приложениям к теории автоматического управления Наиболее полно состояние теории на тот момент времени представлено в известных статьях и монографиях А Д Мышкиса1, Р Беллмана, К Кука2, Дж Хейла3, Л Э Эльсгольца4, Н Н Красовского5

Функционально-дифференциальные уравнения традиционно разбиваются на уравнения запаздывающего, нейтрального и опережающего типов При этом большинство приложений ФДУ связаны с уравнениями запаздывающего и нейтрального типа, поэтому уравнения именно этих двух типов привлекают наибольшее внимание исследователей Причем нейтральные уравнения исследованы значительно меньше запаздывающих уравнений, так как их изучение в определенном смысле сложнее

Одним из важнейших вопросов, возникающих в теории ФДУ, является вопрос об асимптотическом поведении решений при неограниченном возрастании независимого параметра Этот вопрос давно является объектом большого числа исследований Классические результаты в этой области содержатся в упомянутых выше монографиях В последнее время существенного продвижения в этой области удалось добиться В В Власову, С А.Иванову и Д А Медведеву

Помимо асимптотического поведения решений ФДУ в диссертации изучаются обыкновенные дифференциальные операторы со спектраль-

1Мышкис А Д "Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом"// М Наука, 1972

2 Беллман Р, Кук К "Дифференциально-разностные уравнения"// М Мир, 1967

3 Хейл Дж "Теория функционально-дифференциальных уравнений"// М Мир, 1984

4Эльсгольц Э Л "Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргумен-

том"// М Наука, 1964

6Красовский Н Н "Некоторые задачи теории устойчивости движения"// М Физматгиз, 1959

ным параметром в граничных условиях, связанные с ФДУ По-видимому, H H Красовский6 впервые рассмотрел запаздывающее уравнение как полугруппу линейных операторов Инфинитезимальный производящий оператор такой полугруппы представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор с нестандартной областью определения А А Шкаликовым было показано, что теория таких операторов тесно связана с теорией краевых задач для дифференциальных уравнений со спектральным параметром в граничных условиях, которая имеет давнюю историю и ведет начало от работ Дж.Д Биркгоффа7,8 и Я.Д Тамаркина9 В диссертации мы более полно проследим эти связи.

Теория обыкновенных дифференциальных операторов имеет множество приложений и в других областях математики Например, в теории управления эти операторы возникают при рассмотрении эволюционного уравнения, задающего динамику исследуемой системы Здесь важную роль играют полугрупповые свойства, которые изучаются в настоящей диссертации

Основные результаты в теории полугрупп линейных операторов были получены в середине 20 века и отражены в первом издании известной монографии Е Hille, R S Phillips10 В настоящее время эта теория продолжает активно развиваться благодаря большому числу приложений в уравнениях с частными производными, интегро-дифференциальных уравнениях, стохастических процессах, квантовой механике и др В настоящей диссертации рассмотрены приложения полученных результатов к задачам теории управления

Таким образом, тема диссертации представляется вполне актуальной как с теоретической точки зрения, так и для приложений

Цель работы.

Исследование асимптотического поведения решений функционально-дифференциальных уравнений и изучение полугрупповых свойств связанных с ними обыкновенных дифференциальных операторов

6Красовский H H "Некоторые задачи теории устойчивости движения"// M Физматгиз, 1959

7Birkhofï G D "On the asymptotic character of the solution of the certain linear differential equations containing parameter"//Tïans Amer Math Soc , 1908, v 9, p 219-231

8Birkhoff G D "Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations"// Trans Amer Math Soc , 1908, v 9, p 373-395

9 Тамаркин Я Д "О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды"// Петроград, 1917

10Е Hille, Е S Phillips "Semigroups and Functional Analysis"// AMS, 1957

Научная новизна.

Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем

1 Получены точные оценки решений функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа с постоянными коэффициентами Оценки получены новым методом, позволившим существенно ослабить условия на коэффициенты уравнений

2 Получены новые результаты о поведении решений запаздывающих уравнений с переменными коэффициентами

3 Определен класс полурегулярных краевых задач и доказана теорема о том, что полурегулярность является необходимым и достаточным условием для того, чтобы специальный линеаризатор (построенный ранее Шкалико-вым А А) генерировал Со-полугруппу

Методы исследования.

В работе использованы методы теории функционально-дифференциальных уравнений, теории целых функций, спектральной теории операторов и теории полугрупп

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер Результаты и методы работы могут быть полезны в исследованиях по теории функционально-дифференциальных уравнений, спектральной теории операторов и теории автоматического управления

Апробация работы.

Результаты диссертации неоднократно докладывались на конференциях "Крымская осенняя математическая школа", Севастополь, 2005, "Крымская осенняя математическая школа", Севастополь, 2006, "Современные методы теории функций и смежные проблемы", Воронежская зимняя математическая школа, Воронеж, 2007, "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная 106-летию со дня рождения И Г Петровского, Москва, 2007, на семинарах "Несамосопряженные операторы" под руководством профессоров А Г Костюченко и А А Шкаликова в 2006 г в МГУ им М В Ломоносова, "Операторные модели" под руководством профессора А А Шкаликова, доц.

И А Шейпака, дод А М Савчука и асс А А Владимирова в 2005-2007 гг в МГУ им М.В.Ломоносова, "Спектральный анализ дифференциальных и разностных операторов" под руководством профессоров А Г Костюченко, В В Власова и К А Мирзоева в 2007 г в МГУ им М В Ломоносова, "Некоторые задачи механики сплошных сред" под руководством профессоров С.В Нестерова и Л Д Акуленко в ИПМ РАН в 2007 г, "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" под руководством профессора А Д Мышкиса в Московском Государственном Университете путей сообщения в 2007 г

Публикации.

Результаты работы изложены в 5 работах автора, список которых приведен в конце автореферата Публикаций, сделанных в соавторстве, нет

Структура работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка используемой литературы Общий объем диссертации - 85 страниц Список литературы содержит 80 наименований Нумерация теорем и лемм в автореферате совпадает с нумерацией в диссертации

2 Краткое содержание диссертации.

В первой главе изучается дифференциально-разностное уравнение нейтрального типа общего вида, в котором сдвиги по времени и коэффициенты задаются функциями ограниченной вариации а на коэффициенты наложены минимальные ограничения, гарантирующие лишь корректную разрешимость начальной задачи Для решений соответствующей начальной задачи получена точная оценка в пространстве Соболева УУ™ Для этого используется хорошо известный операционный подход, основанный на представлении решения начальной задачи в виде преобразования Лапласа При таком подходе ключевую роль играют вопросы о распределении нулей характеристического определителя2 и его оценки на контурах интегрирования В случае, когда А (Л) есть квазиполином вида д(Х) = гДе Р]) т]у Р] ~

некоторые числа, эти вопросы достаточно хорошо изучены (см , например, монографии и работы Левина Б Я 11, Понтрягина Л С 12, Садовничего В А ,

"Левин Б Я "Распределение корней целых функций"//М Гостехиздат, 1956

12Понтрягив Л С "О нулях некоторых элементарных трансцендентных функций"// Изв АН СССР,

Любишкина В А , Белабасси Ю 13) Характеристический определитель, который получается для изучаемого уравнения, имеет более общий вид, для которого развитая ранее техника не применима В диссертации предлагается новый подход для получения оценок таких функций, основанный на технике двух работ Шкаликова А А 14,15 Результаты и методы этой главы могут быть без существенных изменений перенесены на случай векторных уравнений Сначала рассматривается начальная задача для однородного уравнения

™ rh

V/ «w(t-0)do-i(6) = 0, t>h (1)

u{t)=u0(t), t £ [0, ft.], (2)

где функции <Jj(e) € BV[0,h] Характеристический определитель уравнения (1) задается формулой

™ fh Д(А)=$>/ e^datf) j=o Jo

Характер распределения нулей функции А (А) описывается следующей теоремой

Теорема 1.1 Пусть <тт(0+) — <гт(0) Ф 0 Тогда все нули Д(А) лежат в некоторой левой полуплоскости {Re А < С}, и поэтому существует число х = sup{ßeА Д(А) = 0} < оо Кроме того, число нулей n&(P(a,b,h)) определителя Д(А), лежащих в прямоугольнике Р(а, b,h) — {А 6 С . Re А е (а, х), Im А € (6, Ь + h)}, ограничено постоянной, не зависящей от b GR, и существует предел

а — lim 11ттахпд(Р(а, b, ft.)) бек v 4 "

Число q, определенное в теореме 1 1, имеет простой смысл Например, если имеется только один корень функции А (А) с действительной частью

Сер Матем , 1942, тб, 3, с 115-134

13Садовничий В А , Любишкин В А , Белабасси Ю "О нулях целых функций одного класса"// Труды

семинара им И Г Петровского, 1982, вып 8, с 211-217

"Шкаликов А А "Теоремы тауберова типа о распределении нулей голоморфных функций"// Мат сб , 1984, т 123, N3, 317-347

16 Шкаликов А А "Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях"// Труды семинара им И Г Петровского, 1983, вып 9, с 190-229

равной х, а все остальные корни лежат в полуплоскости {Ие А < н — е} при некотором е > 0, то число д равно кратности этого корня.

Основной результат первой главы представляет следующая теорема

Теорема 1.2 Пусть <тт(0+)-<тт(0) ф 0 Тогда при достаточно больших Т > О для решения и{Ь) задачи (1), (2) имеет место оценка

\НЫГ(т,т+к) < СТ^е^ЦщЦцг^,

где числа к и # определены в теореме 1.1, а постоянная С не зависит от начальной функции

В доказательстве этой теоремы используется операционный подход, а для обоснований ключевую роль играют следующие леммы.

Лемма 1.1 Пусть <гто(0+) — ат(0) Ф 0. Тогда характеристический определитель А(А) обладает следующими свойствами

a) Для достаточно больших Яе А имеется асимптотика

Д(А) х Ат

b) В любой полуплоскости {Яе X > Сх} для характеристического определителя и его производных справедливы оценки

|ДЬ)(*)| < С2(|А| + 1)го, 7=0,1,2,. ,т

c) Для всех е € (0,1/2] в любой полуплоскости {ЯеА > С{) вне е-окрестности нулей Д(А) для достаточно больших А справедлива оценка

|Д(А)| > С^АР, где постоянная зависит только от е и С\.

Лемма 1.7 Пусть функция Д(А) аполитична в некоторой области, лежащей в некоторой вертикальной полосе {Ее А е (Сх, С-г)}, за исключением полюсов, удовлетворяющих условиям леммы 1.6. Тогда е-окрестность полюсов для достаточно малого числа е представляется в виде объединения непересекающихся компонент в каждой из которых количество полюсов с учетом кратности есть д* + 1 Причем + 1 < q для некоторого числа д и всех к Пусть А£,. , А® - полюса Н(Х), лежащие в и вне

е-окрестности этих полюсов для функции Д(А) и ее производных выполняется оценка

ДЮ(А) <С з=0, . ,я-1

Тогда при Т > 0 справедливо представление

[ ел<г+*)Д(Л) f1 /(Ое-* dt dX = T*"1 T),

JdGk J О

где x — supfc тах^=о, >qk Re \}k, последовательность чисел {с^} принадлежит пространству Iч, а система функций {(pk(x, Т)} - бесселева по х в 1/2(0,1), m е для всех Т > О и для любой функции д(х) £ 0,1) сходится ряд ]Г)к|(0(ж)> Vft^iî1))! ; причем сходимость равномерна по Т > О

Лемма 1 7 является аналогом леммы 3 3 из работы Шкаликова А А 15 Используя теорему 1 2 нетрудно получить оценку решений начальной задачи для неоднородного уравнения

m h

иW (t - в) da3 (в) = w(t), t> h (3)

J=U -

u(t) = uo(t), t€[0,ft]. (4)

Теорема 1.3 Пусть cm(0+) — <rm(0) ф 0 Тогда для решения u(t) задачи (3), (4) имеет место оценка

H\wr(T-h,T) < CiT^e^WuoWwrm

+ C2VT(J\T -т+ 1)2(?-1)е2*(Т-г)|Цт)|2 (5)

где числа x и q определены в теореме 1 1, а постоянные Ci,C'2 не зависят от функций uo(t),w(t).

Ранее, в работах Власова В В , Иванова С.А и Медведева Д А 16,17 оценки теорем 1 2,1 3 и следствия 11 были получены для уравнений либо с конечным числом запаздываний, либо для случая, когда функция ат(в) имеет скачок в обеих точках в = Û и в = h Для их получения использовались другие методы

1вВласов В В , Иванов С А "О точных оценках решений дифференциально-разностных уравнений нейтрального тина"// ДАН, 2006, т406, N5

17Vlasov V V , Medvedev D A "On asymptotic behavior and estimâtes of solutions to neutraJ équations"// Functional differential équations, 2006, v 13, N2, 207-223

Ш

Во второй главе изучаются ФДУ с переменными коэффициентами Такие уравнения изучены значительно меньше уравнений с постоянными коэффициентами Ряд результатов можно найти упомянутых выше монографиях Среди недавних работ отметим работы Власова В В 18,19, где изучаются уравнения с операторными коэффициентами и где могут быть найдены дальнейшие ссылки

Рассматривается векторное дифференциально-разностное уравнение запаздывающего типа с переменными коэффициентами

u'(t + h) + f а(в, t)u{t + в) da{d) = О, t> h,

Jo

где а(в, t) - матрица коэффициентов, а функция ограниченной вариации сг(в) задает сдвиги по времени Для изучения асимптотического поведения решений этого уравнения нам будет удобно ввести следующее понятие типа роста по аналогии с теорией целых функций.

Определение 2.1 Пусть функция f(t) определена на R+ Тогда типом роста к функции f(t) называется нижняя грань чисел А таких, что для некоторой постоянной С выполняется оценка

11/(01! < Ce*, t>0 (б)

Тип роста х называется точным типом роста, если существует такая постоянная С, что оценка (6) выполняется при А — х Типом роста некоторого семейства функций называется верхняя грань типов роста всех функций этого семейства Tan роста х семейства функций называется точным типом роста этого семейства, если для каждой функции f(t) из этого семейства найдется постоянная С такая, что оценка (6) выполняется при А = X

Результаты и методы второй главы диссертации наиболее близки к результатам и методам работ Bellman R, Cook KL20, Banks HT21,

l8VlasovVV "Spectral problems arismgm the theory of differential equations with delay"// J Math Sei, 2004, V 124, N4

19Власов В В "О разрешимости и свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве"// Мат сб , 199S, т.186, N8, 67-92

20 Bellman Е, Cook К L "Stability theory and adjoint operators for linear differential-difference equations"// Trans Amer Math Soc, 1959, v 92, 470-500

21 Banks H T "The representation of solutions of linear functional differential equations"// J Diff Eq, 1969, v 5, 399-410

Hale J К , Meyer К R 22 В частности, обобщается ряд результатов Bellman R , Cook К L 20, полученных для уравнения с конечным числом запаздываний, на случай уравнения, запаздывания в котором задаются функцией ограниченной вариации

Для доказательства основных результатов второй главы уравнение (2) представляется в возмущенном виде

a(9,t) = a(e,t) + 5(6,t),

где S(6,t) - возмущение, и наряду с уравнением (2) рассматривается невозмущенное уравнение

fh

u'(t + h)+ а(в, t)u{t + в) d<j(9) = 0, t>h (7)

Jo

Следующая теорема показывает, что тип роста решений меняется непрерывно при непрерывном изменении коэффициентов уравнения

Теорема 2.1 Пусть матрица коэффициентов а(в, t) = а(в) не зависит от t, х - тип роста решений невозмущенного уравнения (7) Тогда для любого е > 0 существует число такое, что если при больших t выполнена оценка \\S(9, t)|| < ¿о, то тип роста решений возмущенного уравнения (2) не превосходит х + е

На основании этой теоремы получено следующее утверждение о типе роста при асимптотически постоянных коэффициентах

Следствие 2.1 Пусть a(6,t) = а(в) не зависит от t, х - тип роста решений невозмущенного уравнения (7), ||<5(#,i)|| < <p(t), <pit) —> 0 при t —> оо Тогда тип роста решений возмущенного уравнения (2) не превосходит типа роста решений невозмущенного уравнения (7)

Известно что тип роста решений для уравнений с постоянными коэффициентами равен sup{Re s A(s) — 0} Поэтому из этого следствия немедленно получаем, что для уравнений с асимптотически постоянными коэффициентами тип роста решений тоже равен этой величине Для уравнений с конечным числом запаздываний этот результат ранее другим более трудным способом был получен Wright Е М 23>24

22Hale J К , Meyer К R. "A class of functional equations of neutral type"// Mem Amer Math Soc , 1967, N76

23Wnght EM "The linear difference-differential equation with asymptotically constant coefficients"// Amer J Math , 1948, v 70, 221-238

24Wright E M "Perturbed functional equations"// Quart J Math , 1949, v 20,155-165

При дополнительных условиях на скорость убывания возмущения S(6,t), получена более точная экспоненциальная оценка

Теорема 2.2 Пусть a(6,t) — а(в) не зависит от t, н: - тип роста решений невозмущенного уравнения (7), i)|| < ip(t) и ip(t) < 1 Тогда для любого решения u(t) уравнения (2) и для любого е > 0 имеется оценка

||u(t)|| < ci exp ({х + e)t + c2i1-/S}) , при ß ^ 1,

или

||w(i) |j < c\ exp ((x + e)t + ci lni), при /3 = 1

Если x - точный тип роста решений уравнения (7), то оценки справедливы при е = О

Следующие результаты показывают невозрастание типа роста при возмущениях из 2^1 (0, +оо)

Теорема 2.3 Пусть a{9,t) = а(в) не зависит от t, х - тип роста решений невозмущенного уравнения (7), i)|| < ip(t) U(p(t) € Li(0, +oo) Тогда тип роста решений уравнения (2) не превосходит х

Теорема 2.4 Пусть а(в, t) = a(t) не зависит от t, х - точный тип роста решений невозмущенного уравнения (7), ]|i(0,i)|| < <p{t) и ip(t) 6 ¿i(0, +00) Тогда точный тип роста решений уравнения (2) не превосходит х

Если все решения уравнения (7) ограничены, то либо тип роста решений этого уравнения меньше нуля, либо точный тип роста равен нулю В первом случае на основании теоремы 2 3 получаем, что тип роста решений уравнения (2) меньше нуля А во втором случае на основании теоремы 2 4 получаем, что точный тип роста решений уравнения (2) равен нулю В обоих случаях все решения уравнения (2) ограничены Этот результат для уравнений с конечным числом запаздываний был получен Bellman R , Cook KL20

В третьей главе изучаются полугрупповые свойства дифференциальных операторов связанных с ФДУ Рассмотрим начальную задачу для простейшего ФДУ

a0u'(t) + a\u'{t - h) + b0u(t) + bya{t - h) = 0, t> 0, u(t) = u0(t), i€[-M],

где сю ф 0, и введем в пространстве W£(—h, 0) семейство операторов Ut сдвигов вдоль решений

(Uiu0)(s)=u(t + s)> t> 0, se[-h,0]

Тогда это семейство является Co-полугруппой, генератор А которой имеет вид

Лу = у',

D{A) = {у 6 W¡{-h, 0), а0и'(0) + в!«'(-Л) + Ь0и(0) + ^«(-Ь) = 0}

Спектральную задачу Ау = А у можно записать в виде краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с параметром в граничном условии

У'~Ху = 0,

(а0А + Ъо)у(0) + (aiA + bi)y(-A) = 0

Эта краевая задача является частным случаем следующей краевой задачи с параметром в граничных условиях общего вида, которая изучается в диссертации,

l(y,X)^y{n}+Pi(x,X)y(-n-^+ ■+рп(х,\)у = 0 (8)

^(ff,A) = ¿aífc(A)y<fc-1>(0) + bj4(A)»tfc-1Hl) = 0, J = 1, ,n, (9)

к=1

где pt(x, А) = Et=oP^(a;)A¡/, р„Дж) £ С°°[0,1], paa(x) = const, s = 1, .,n, Pnn Ф 0, ajk(Ä), bjk(X) - полиномы Краевые условия (9) предполагаются нормированными в смысле определения Шкаликова А А 15, порядок j-ro краевого условия равен Xj, а суммарный порядок краевых условий равен х — н\ + • + Хп, причем х > п

Задаче (8),(9) можно поставить в соответствие оператор, линеаризующий эту задачу Конечно, существует много способов такой линеаризации Но есть специальный линеаризатор этой задачи, который мы будем обозначать Tí, построенный Шкаликовым А А 15, который играет особую роль В третьей главе диссертации мы убеждаемся в этом еще раз Мы получаем необходимое и достаточное условие для того, чтобы этот оператор являлся генератором Cq-полугруппы В предыдущих работах (см , например, работы Grabowski Р 2S, Morgul О , Rao В Р, Conrad F 26) были получены лишь достаточные условия в некоторых частных случаях Данная глава обобщает эти результаты и содержит приложения к задачам теории управления

28 Grabowski Р "Well-posedness and stability analysis of hybrid feedback systems using Shkahkov's theory"// Opuscula Mathematica, 2006, v 26, N1, 45-97

26 Morgul O , Rao В P, Conrad F "On the stabilization of a cable with a tip mass"// IEEE Transactions on Automatic Control, 1994, v 39, N10, 2140-2145

Рассмотрим характеристическое уравнение

шп + Рпш"-1 + • • + Рп-1,п-1 V +Рпп = О

и обозначим через , и>п его корни, которые предполагаются простыми

и вещественными Введем числа

МЛ = XI Ша>

аеЛ

где = ., п - произвольное ¿-элементное подмножество множества {1, , п}, ¿¿/0 = 0, и характеристический определитель

иг(зп) иг Ы

ип{у\) ип(уп)

Тогда характеристический определитель имеет вид

Д(А) -

Зк

где я - суммарный порядок краевых условий (9), и использовано обозначение И = % + 0(А-1)

Пусть отрезок М = [М0, Мх] есть выпуклая оболочка всех точек Определение 3.1 Краевая задача (8), (9) называется регулярной в правой (левой) полуплоскости, если F(ffl ф 0 фО), регулярной - если она регулярна и в правой, и в левой полуплоскостях, полурегулярной - если она регулярна либо в правой, либо в левой полуплоскости, но не регулярна

Такое определение регулярности согласуется с определением Шкалико-ва А А 15 и уточняет определение Тамаркина ЯД9 Основной результат третьей главы содержится в следующей теореме

Теорема 3.1 Оператор % является генератором С^-полу группы в том и только том случае, когда задача (8), (9) регулярна в правой полуплоскости

В качестве приложений полученных результатов в третьей главе рассмотрены следующие задачи

Рассмотрена задача о стабилизации троса к массой на конце26,26, которая сводится к краевой задаче

и"{х) = Х2и{х);

(тЛ2 + ЬА)«(1) + (1 + аА)«'(1) = О, «(0) = 0.

Д(А) =

Линеаризатор Шкаликова соответствующий этой задаче, определен в пространстве

W§tU = {(«,«, to) е W¿®W$®C u(o) = o},

имеет область определения

D{U) = {(и, v, w) € W¡ Ф^ФС «(0) = v(0) = 0, w = au'{ 1) + mv(l)}

и действует по правилу

■H(u,v,w) = (v,u",-u'(l) - bv( 1))

Grabowski P 25 показал, опираясь на результаты работы Шкаликова А А 15, что для того, чтобы оператор % являлся генератором Co-полугруппы, достаточно, чтобы выполнялось условие т + а ф 0 Также для некоторых значений параметров было показано, что оператор ~Н не является генератором Cq-полугруппы С помощью теоремы 3 1 в третьей главе настоящей диссертации показано, что условие т + а ф 0 является как достаточным, так и необходимым для того, чтобы оператор являлся генератором Co-полугруппы Из той же теоремы 3 1 следует, что для того, чтобы оператор И являлся генератором Co-группы, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (т + а)(т — а) ф 0

Другой пример - известная задача Редже (см работы Regge Т 27 и Шкаликова А А 28)

— у" + ^2у + ч(х)у — 0j 2/'(I) + A2/(I) = O, »(о) = о

Известно28, что эта задача всегда нерегулярна Более того, при q(x) = 0 у этой задачи нет собственных функций Тем не менее, как показано в настоящей диссертации, она регулярна справа при любом потенциале q(x), а ее линеаризатор есть генератор Оо-полугруппы

Автор искренне благодарен своему научному руководителю профессору А А Шкаликову за постановку задач, за постоянное внимание к работе и многочисленные обсуждения

27Regge Т "Analytic properties of the scattering matrix"// Nuovo Cimento (10), 1958, v 8, 671-679

28 Shkalikov A A "Spectral analysis of the Regge Problem"// Russ J Math Phys , 2001, v 8, N3, 356-364

Работы автора по теме диссертации.

|1| Лсеньтх А А Оценки решений дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа // Мат заметки, 2007, т.81, вып 4, с 569-585

[2] Лссных А А Полурегулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Современные методы теории функций и смежные проблемы, Материалы Воронежской зимней математической школы, 2007, с 128-129

[3] Лесных А А Многоточечные полурегулярные краевые задачи // ''Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", тезисы конференции, посвященной 106-летию И Г Петровского, Москва, 2007, с 174-175

[4] Лесных А А Оценки решений запаздывающих уравнений с переменными коэффициентами // Фундаментальная и прикладная математика, 2006, т 12, вып 5, с 83-93

[5] Лесных А А Оценки решений неоднородных нейтральных уравнений // Спектральные и эволюционные задачи, Симферополь, 2006, т 17, с 50-55

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете

МГУ им М В Ломоносова

Подписано в печать О9 О"?

Формат 60 х 90 1/16 Уел печ л АС

Тираж! 00 экз Заказ 27-

0 Введение

1 Оценки решений ФДУ с постоянными коэффициентами

1.1 Введение.

1.2 Однородные уравнения.

1.2.1 Свойства характеристического определителя и его нулей

1.2.2 Представление решения и построение контуров интегрирования

1.2.3 Оценка интегралов.

1.3 Неоднородные уравнения.

2 Оценки решений ФДУ с переменными коэффициентами

2.1 Введение.

2.2 Вспомогательные результаты.

2.3 Основные результаты.

3 Полурегулярные краевые задачи

3.1 Введение.

3.2 Формулировка краевой задачи и определение линеаризатора

3.3 Основные результаты.

3.4 Представление функции Грина.

3.5 Необходимость полурегулярности

3.6 Достаточность полурегулярности.

3.6.1 Представление резольвенты (Я — Л)-1/при / е

3.6.2 Вспомогательные утверждения.

3.6.3 Доказательство леммы 3.4 при / £

3.6.4 Доказательство леммы 3.4 при / е

Настоящая работа посвящена изучению асимптотического поведения решений функционально-дифференциальных уравнений, а также изучению связанных с этими уравнениями дифференциальных операторов со спектральным параметром в граничных условиях.

Функционально-дифференциальные уравнения (ФДУ) изучаются достаточно давно. Отдельные результаты были получены еще около 200 лет назад. Активно эта теория начала развиваться в начале-середине 20 века во многом благодаря приложениям к теории автоматического управления. Наиболее полно состояние теории на тот момент времени представлено в известных статьях и монографиях А.Д.Мышкиса [63,64], Р.Беллмана,К.Кука [37], Дж.Хейла [72], Л.Э.Эльсгольца [79], H.H. Красовского [53]. Среди недавних работ отметим монографию В.Б.Колмановского и А.Д.Мышкиса [22] и обзорную статью Р.Р.Ахмерова и др. [35].

Функционально-дифференциальные уравнения традиционно разбиваются на уравнения запаздывающего, нейтрального и опережающего типов. При этом большинство приложений ФДУ связаны с уравнениями запаздывающего и нейтрального типа, поэтому уравнения именно этих двух типов привлекают наибольшее внимание исследователей. Причем нейтральные уравнения исследованы значительно меньше запаздывающих уравнений, так как их изучение в определенном смысле сложнее.

Одним из важнейших вопросов, возникающих в теории ФДУ, является вопрос об асимптотическом поведении решений при неограниченном возрастании независимого параметра. Этот вопрос давно является объектом большого числа исследований. Классические результаты в этой области содержатся в упомянутых выше монографиях. В последнее время существенного продвижения в этой области удалось добиться В.В.Власову, С.А.Иванову и

Д.А.Медведеву (см. [29-31,39-42]).

Помимо асимптотического поведения решений ФДУ в диссертации изучаются обыкновенные дифференциальные операторы со спектральным параметром в граничных условиях, связанные с ФДУ. По-видимому, Н.Н.Красовский [53] впервые рассмотрел запаздывающее уравнение как полугруппу линейных операторов. Инфинитезимальный производящий оператор такой полугруппы представляет собой обыкновенный дифференциальный оператор с нестандартной областью определения. Д.А.Шкаликовым было показано, что теория таких операторов тесно связана с теорией краевых задач для дифференциальных уравнений со спектральным параметром в граничных условиях, которая имеет давнюю историю и ведет начало от работ G.D.Birkhoff [5,6] и Я.Д.Тамаркина [69]. В диссертации мы более полно проследим эти связи.

Теория обыкновенных дифференциальных операторов имеет множество приложений и в других областях математики. Например, в теории управления эти операторы возникают при рассмотрении эволюционного уравнения, задающего динамику исследуемой системы. Здесь важную роль играют полугрупповые свойства, которые изучаются в настоящей диссертации.

Основные результаты в теории полугрупп линейных операторов были получены в середине 20 века и отражены в первом издании известной монографии E.Hille, R.S.Phillips [20]. Среди недавних работ отметим монографии [11,12,25], а также работы [27,38,43,44]. В настоящее время эта теория продолжает активно развиваться благодаря большому числу приложений в уравнениях с частными производными, интегро-дифференциальных уравнениях, стохастических процессах, квантовой механике и др. В настоящей диссертации рассмотрены приложения полученных результатов к задачам теории управления, в связи с чем отметим работы [13,15,24].

В первой главе настоящей диссертации изучается дифференциально-разностное уравнение нейтрального типа общего вида, в котором сдвиги по времени и коэффициенты задаются функциями ограниченной вариации, а на коэффициенты наложены минимальные ограничения, гарантирующие лишь корректную разрешимость начальной задачи. Для решений соответствующей начальной задачи получена точная оценка в пространстве Соболева W™. Для этого используется хорошо известный операционный подход, основанный на представлении решения начальной задачи в виде преобразования Лапласа. При таком подходе ключевую роль играют вопросы о распределении нулей характеристического определителя [37] и его оценки на контурах интегрирования. В случае, когда Д(А) есть квазиполином вида д(Х) = где pj, rrij, (3j - некоторые числа, эти вопросы достаточно хорошо изучены (см., например, монографии и работы Р.Беллмана,К.Кука [37], Левина Б.Я. [55], Понтрягина Л.С. [67], Садовничего В.А., Любишкина В.А., Бела-басси Ю. [68]). Характеристический определитель, который получается для изучаемого уравнения, имеет более общий вид, для которого развитая ранее техника не применима. В диссертации предлагается новый подход для получения оценок таких функций, основанный на технике двух работ Шкалико-ва А.А. [76,77]. Результаты и методы этой главы могут быть без существенных изменений перенесены на случай векторных уравнений.

Сначала рассматривается начальная задача для однородного уравнения. ph

У" / - в) da ¡{в) = 0, t> h (1) j=o J° tí(í) = «o(0. te[Q,h], (2) где функции aj(e) € BV[Q,h]. Характеристический определитель уравнения (1) задается формулой rn rh о

Характер распределения нулей функции А (А) описывается следующей теоремой.

Теорема 1.1 Пусть ат(0+) — ст(0) Ф 0. Тогда все нули Д(А) лежат в некоторой левой полуплоскости {Re А < С}, и поэтому существует число я = sup{i?eA : Д(А) = 0} < оо. Кроме того, число нулей riA(P(a,b,h)) определителя Д(А), лежащих в прямоугольнике Р(а, b,h) = {A G С : Re А £ (а, я), Im А Е (6,6+ К)}, ограничено постоянной, не зависящей от b £ R, и существует предел а = lim Ит шахпд(Р(а, b, h)). a-+>ch->0 Ъ6R v '

Число q, определенное в теореме 1.1, имеет простой смысл. Например, если имеется только один корень функции Д(А) с действительной частью равной я, а все остальные корни лежат в полуплоскости {Re А < к — г} при некотором е > 0, то число q равно кратности этого корня.

Основной результат первой главы представляет следующая теорема.

Теорема 1.2 ПгJcmь сгт(0+) —<тт(0) ф 0. Тогда при достаточно больших Т > 0 для решения и(Ь) задачи (1), (2) имеет место оценка

1М1ЖПТ/Г+Ь) < СТ^е^ЦщЦцгт^, где числа я и д определены в теореме 1.1, а постоянная С не зависит от начальной функции щ(£).

В доказательстве этой теоремы используется операционный подход, а для обоснований ключевую роль играют следующие леммы.

Лемма 1.1 Пусть 0"т(О+) — ат(0) Ф 0. Тогда характеристический определитель А (Л) обладает следующими свойствами. а) Для достаточно больших Ке\ имеется асимптотика

Д(А) х Ат.

Ь) В любой полуплоскости {ЯеХ > С].} для характеристического определителя и его производных справедливы оценки

А^(Л)|<С72(|Л| + 1)т, ¿ = 0,1,2,., т. с) Для всех £ £ (0,1/2] в любой полуплоскости {ДеА > Сг} вне е-окрестности нулей А (А) для достаточно больших А справедлива оценка

Д(А)| > С2|Л|т, где постоянная С2 зависит только от е и С\.

Лемма 1.7 Пусть функция Д(А) аналитична в некоторой области, лежащей в некоторой вертикальной полосе {В,е А £ (С^Сг)}, за исключением полюсов, удовлетворяющих условиям леммы 1.6. Тогда е-окрестность полюсов для достаточно малого числа е представляется в виде объединения непересекающихся компонент С^, в каждой из которых количество полюсов с учетом кратности есть + 1. Причем + 1 < q для некоторого числа д и всех к. Пусть - полюса Я(А); лежащие в и вне е-окрестности этих полюсов для функции Я(А) и ее производных выполняется оценка дЮ(А) <С 3 = 0,.

Тогда при Т > О справедливо представление еА^Д(Л) Г /(0е-* # (IX = Т),

JдGk Jo где я = 8Щ)ктщ=оу„т ЯеХ1, последовательность чисел {ск} принадлежит пространству 12, а система функций - бесселева по х в £2(0,1), т.е. для всех Т > О и для любой функции д(х) 6 ^(0,1) сходится ряд | > причем сходимость равномерна по Т > О.

Лемма 1.7 является аналогом леммы 3.3 из работы Шкаликова А.А. [76]. Используя теорему 1.2 нетрудно получить оценку решений начальной задачи для неоднородного уравнения т рН

У2 = «>(*), (з)

7=0 ^ и(0 = ио(0, te[Q,h]. (4)

Теорема 1.3 Пусть сгт(0+) — сгт(0) ^ 0. Тогда для решения и({) задачи (3), (4) имеет место оценка

НиТ(т-Н,Т) < С{11,1-1е^\\щ\Ушт

Г-г + ^-^е^^Кг)!2^) , (5) где числа я и q определены в теореме 1.1, а постоянные С\,С2 не зависят от функций щ({),и)({).

Ранее, в работах Власова В.В., Иванова С.А. и Медведева Д.А. [31,42] оценки теорем 1.2, 1.3 и следствия 1.1 были получены для уравнений либо с конечным числом запаздываний, либо для случая, когда функция ат($) имеет скачок в обеих точках в = 0 и в = /г. Для их получения использовались другие методы.

Во второй главе изучаются ФДУ с переменными коэффициентами. Такие уравнения изучены значительно меньше уравнений с постоянными коэффициентами. Ряд результатов можно найти в упомянутых выше монографиях. Среди недавних работ отметим работы Власова В.В. [29,39], где изучаются уравнения с операторными коэффициентами и где могут быть найдены дальнейшие ссылки.

Рассматривается векторное дифференциально-разностное уравнение запаздывающего типа с переменными коэффициентами t > h

6) где а(в, Ь) - матрица коэффициентов, а функция ограниченной вариации а(9) задает сдвиги по времени. Для изучения асимптотического поведения решений этого уравнения нам будет удобно ввести следующее понятие типа роста по аналогии с теорией целых функций.

Определение 2.1 Пусть функция f(t) определена на Ж+. Тогда типом роста к функции /(¿) называется нижняя грань чисел А таких, что для некоторой постоянной С выполняется оценка

Тип роста к называется точным типом роста, если существует такая постоянная С, что оценка (7) выполняется при А = к. Типом роста некоторого семейства функций называется верхняя грань типов роста всех функций этого семейства. Тип роста к семейства функций называется точным типом роста этого семейства, если для каждой функции }{t) из этого семейства найдется постоянная С такая, что оценка (7) выполняется при А = х.

Результаты и методы второй главы диссертации наиболее близки к результатам и методам работ Bellman R., Cook K.L. [3], Banks H.T. [2], Hale J.К., Meyer K.R. [18]. В частности, обобщается ряд результатов Bellman R., Cook K.L. [3], полученных для уравнения с конечным числом запаздываний, на случай уравнения, запаздывания в котором задаются функцией ограниченной вариации.

Для доказательства основных результатов второй главы уравнение (6) представляется в возмущенном виде где 5(6, i) - возмущение, и наряду с уравнением (6) рассматривается невозмущенное уравнение f(t)\\<CeA\ t> 0.

7) а{9, t) = а{в, t) + 0{в, t) и t + h)+ [ а(в, t)u{t + 0) dcr(6) = 0 t > h.

8)

Следующая теорема показывает, что тип роста решений меняется непрерывно при непрерывном изменении коэффициентов уравнения.

Теорема 2.1 Пусть матрица коэффициентов a(6,t) = а(в) не зависит от t, я - тип роста решений невозмущенного уравнения (8). Тогда для любого е > 0 существует число ¿о такое, что если при больших t выполнена оценка i)|| < то тип роста решений возмущенного уравнения (6) не превосходит я + е.

На основании этой теоремы получено следующее утверждение о типе роста при асимптотически постоянных коэффициентах.

Следствие 2.1 Пусть a(6,t) = а(в) не зависит от t, я - тип роста решений невозмущенного уравнения (8), ||5(0,i)|| < cp(t), (p(t) —► 0 при t —> оо. Тогда тип роста решений возмущенного уравнения (6) не превосходит типа роста решений невозмущенного уравнения (8).

Известно что тип роста решений для уравнений с постоянными коэффициентами равен sup{Re s : A(s) = 0}. Поэтому из этого следствия немедленно получаем, что для уравнений с асимптотически постоянными коэффициентами тип роста решений тоже равен этой величине. Для уравнений с конечным числом запаздываний этот результат ранее другим более трудным способом был получен Wright Е.М. [32] (см. также [33]).

При дополнительных условиях на скорость убывания возмущения 6(0, t), получена более точная экспоненциальная оценка.

Теорема 2.2 Пусть а(д, t) = а(в) не зависит от t, я - тип роста решений невозмущенного уравнения (8), ||<5(0,£)|| < <p(t) U(p(t) < Тогда для любого решения u(t) уравнения (б) и для любого £ > 0 имеется оценка u(t) || < С\ ехр ({я + e)t + c2tl , при ß ф 1, или и(£)|| < ciexp((x + £)i + c2lni), при ß = 1.

Если я - точный тип роста решений уравнения (8), то оценки справедливы при £ = 0.

Следующие результаты показывают невозрастание типа роста при возмущениях из Li(0,+оо).

Теорема 2.3 Пусть а(в, t) = а(в) не зависит от t, я - тип роста решений невозмущенного уравнения (8), £)|| < <p(t) и ip(t) € Li(0,+oo). Тогда тип роста решений уравнения (6) не превосходит я.

Теорема 2.4 Пусть а(в, t) = a(t) не зависит от t, я - точный тип роста решений невозмущенного уравнения (8); ||5(0,i)|| < ip(t) и <p(t) €

Li(0, -foo). Тогда точный тип роста решений уравнения (6) не превосходит к.

Если все решения уравнения (8) ограничены, то либо тип роста решений этого уравнения меньше нуля, либо точный тип роста равен нулю. В первом случае на основании теоремы 2.3 получаем, что тип роста решений уравнения (6) меньше нуля. А во втором случае на основании теоремы 2.4 получаем, что точный тип роста решений уравнения (6) равен нулю. В обоих случаях все решения уравнения (6) ограничены. Этот результат для уравнений с конечным числом запаздываний был получен Bellman R., Cook K.L. [3].

В третьей главе изучаются полу групповые свойства дифференциальных операторов связанных с ФДУ. Рассмотрим начальную задачу для простейшего ФДУ aou'(t) + aiu'(t - h) + b0u(t) + bm(t - h) = 0, t > 0, u(t)=u0(t), i€[-M], где üq ф 0, и введем в пространстве W^—h, 0) семейство операторов Ut сдвигов вдоль решений

Utu0){s) = u{t + s), t> 0, s€[-M].

Тогда это семейство является Co-полугруппой, генератор А которой имеет вид

Лу = у',

D(A) = {уе w¡(-h,0), а0г/(0) + alU'(-h) + Ъ0и{0) + blU(-h) = О}.

Спектральную задачу Ау = А у можно записать в виде краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с параметром в граничном условии у' - Ау = 0,

М + Ьо)у(0) + М + bi)y(-h) = 0.

Эта краевая задача является частным случаем следующей краевой задачи с параметром в граничных условиях общего вида, которая изучается в настоящей главе диссертации,

А) = у{п) + pi(x, А У""1) + . + Рп(х, А) у = 0 (9) п

Чу,А) = £МА)^-1)^) + ад^а) = о, j = 1,.,п, (ю) гдерв(ж,Л) = YlUoPvix)*"' Pfs(x) б С°°[0,1], = const,s = 1

Pnn Ф о, djk(\), bjk(X) - полиномы. Краевые условия (10) предполагаются нормированными в смысле определения [76], порядок j-го краевого условия равен Xj, а суммарный порядок краевых условий равен к = щ + - • + хп, причем х>п.

Задаче (9),(10) можно поставить в соответствие оператор, линеаризующий эту задачу. Конечно, существует много способов такой линеаризации. Но есть специальный линеаризатор этой задачи, который мы будем обозначать Н, построенный Шкаликовым A.A. [76], который играет особую роль. В третьей главе диссертации мы убеждаемся в этом еще раз. Мы получаем необходимое и достаточное условие для того, чтобы этот оператор являлся генератором Co-полугруппы. В предыдущих работах (см., например, [13,15,24]) были получены лишь достаточные условия в некоторых частных случаях. Данная глава обобщает эти результаты и содержит приложения к задачам теории управления.

Рассмотрим характеристическое уравнение и обозначим через и)\,. ,шп его корни, которые предполагаются простыми и вещественными. Введем числа где = 1 ,.,п - произвольное /¿-элементное подмножество множества

1,.,п}, /Оо = 0В левой и правой полуплоскостях имеется фундаментальная система решений с асимптотикой где использовано обозначение [т]} = щ+0(\ *), а функции не зависят от в. Введем характеристический определитель к=1

ШП+рпМП 1 + • • • + Рп-l,n-lW + Pnn = 0 aeJk y^fo А) = и^А'-^Ы*)], s = 1,., п, (11)

Ulfa) . Utivn)

Д(А) =

Un(vi) ■■■ Un(yn)

Пользуясь асимптотикой (11) фундаментальной системы решений, получаем

Jk где к - суммарный порядок краевых условий (10).

Пусть отрезок М — [Mq, М{\ есть выпуклая оболочка всех точек fijk.

Определение 3.1 Краевая задача (9), (10) называется регулярной в правой (левой) полуплоскости, если FqÍI ф 0 ф 0); регулярной - если она регулярна и в правой, и в левой полуплоскостях; полурегулярной - если она регулярна либо в правой, либо в левой полуплоскости, но не регулярна.

Такое определение регулярности согласуется с определением Шкалико-ва A.A. [76] и уточняет определение Тамаркина Я.Д. [69]. Основной результат третьей главы содержится в следующей теореме.

Теорема 3.1 Оператор Н является генератором С0-полугруппы в том и только том случае, когда задача (9), (10) регулярна в правой полуплоскости.

В качестве приложений полученных результатов в третьей главе рассмотрены следующие задачи.

Рассмотрена задача о стабилизации троса к массой на конце [13,24], которая сводится к краевой задаче и"{х) = А 2и{х), тА2 + ЬХ)и{1) + (1 + aA)u'(l) = 0, ií(0) = 0.

Линеаризатор Шкаликова Н, соответствующий этой задаче, определен в пространстве

W¡,u = {("> V.w) € wi © W2 © С : м(0) = о}, имеет область определения

D(H) = [{u,v,w) е W¡ ф W} 0С : и{0) = v(0) = 0,w = аи'{1) + ши(1)} и действует по правилу

Щи, V, w) = (v, и", -и'( 1) - bv{l)).

Grabowski P. [13] показал, опираясь на результаты работы Шкалико-ва A.A. [76], что для того, чтобы оператор H являлся генератором Со-полугруины, достаточно, чтобы выполнялось условие m + а ф 0. Также для некоторых значений параметров было показано, что оператор H не является генератором Со-полугруппы. С помощью теоремы 3.1 в третьей главе показано, что условие m + а ф 0 является как достаточным, так и необходимым для того, чтобы оператор H являлся генератором Со-полугруппы. Из той же теоремы 3.1 следует, что для того, чтобы оператор H являлся генератором Со-группы, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (т + а)(т — а) Ф 0.

Другой пример - известная задача Редже (см. работы Regge Т. [26] и Шкаликова A.A. [28])

-y" + \2y + q(x)y = 0, у'( 1) + Лу(1) = 0, 0(0) = 0.

Известно [28], что эта задача всегда нерегулярна. Более того, при q(x) = 0 у этой задачи нет собственных функций. Тем не менее, как показано в настоящей диссертации, она регулярна справа при любом потенциале q(x), а ее линеаризатор есть генератор Со-полугруппы.

Результаты диссертации неоднократно докладывались на конференциях "Крымская осенняя математическая школа", Севастополь, 2005; "Крымская осенняя математическая школа", Севастополь, 2006; "Современные методы теории функций и смежные проблемы", Воронежская зимняя математическая школа, Воронеж, 2007; "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная 106-летию со дня рождения И.Г.Петровского, Москва, 2007; на семинарах "Несамосопряженные операторы" под руководством профессоров

A.Г.Костюченко и А.А.Шкаликова в 2006 г. в МГУ им. М.В.Ломоносова; "Операторные модели" под руководством профессора А.А.Шкаликова, доц. И.А.Шейпака, доц. А.М.Савчука и асс. А.А.Владимирова в 2005-2007 гг. в МГУ им. М.В.Ломоносова; "Спектральный анализ дифференциальных и разностных операторов" под руководством профессоров А.Г.Костюченко,

B.В.Власова и К.А.Мирзоева в 2007 г. в МГУ им. М.В.Ломоносова; "Некоторые задачи механики сплошных сред" под руководством профессоров

C.В.Нестерова и Л.Д.Акуленко в ИПМ РАН в 2007 г.; "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" под руководством профессора А.Д.Мышкиса в Московском Государственном Университете путей сообщения в 2007 г.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [5660].

Автор искренне благодарен своему научному руководителю профессору А.А.Шкаликову за постановку задач, за постоянное внимание к работе и многочисленные обсуждения.

1. Atkinson F.V., Langer H., Mennicken R., Shkalikov A.A. "The essential spectrum of some matrix operators"// Math. Nachr., 1994, v.167, 5-20

2. Banks H.T. "The representation of solutions of linear functional differential equations"// J. Diff. Eq., 1969, v.5, 399-410

3. Bellman R., Cook K.L. "Stability theory and adjoint operators for linear differential-difference equations"// Trans. Amer. Math. Soc., 1959, v.92,470-500

4. Bellman R., Cooke K.L. "Asymptotic behavior of solutions of differential-difference equations"// Mem. Amer. Math. Soc., 1959, N35

5. Birkhoff G.D. "On the asymptotic character of the solution of the certain linear differential equations containing parameter"// Trans. Amer. Math. Soc., 1908, v.9, p.219-231

6. Birkhoff G.D. "Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations"// Trans. Amer. Math. Soc., 1908, v.9, p.373-395

7. Borden R.E. "On the adjoint of a certain mixed equation"// Bull. Amer. Math. Soc., 1920, v.26, 408-4128. de Bruijn N.G. "The difference-differential equation F'(x) = F(x — l)eax+P"// I, II, Indag. Math., 1953, v.15, 449-464

8. Diekman 0., van Gils S.A., Lunel S.M.V., Walther H.-O. "Delay equations. Functional-, Complex-, and Nonlinear Analysis"// Springer-Verlag, 1995

9. Engel K.-J, Nagel R. "One-parameter semigroups for linear evolution equations"// Springer, 2000

10. Goldstein J.A. "Semigroups of linear operators an applications"// Oxford Univ. Press, New York, 1985

11. Grabowski P. "Well-posedness and stability analysis of hybrid feedback systems using Shkalikov's theory"// Opuscula Mathematica, 2006, v.26, N1, 45-97

12. Guo B.-Z., Yu R. "The Riesz basis property of discrete operators and application to Euler-Bernoulli beam equation with boundary linear feedback control"// IMA J. of Mathematical Control and Information, 2001, v.18, 241-251

13. Guo B.-Z., Wang J., Yung S.-P. "On the C0-semigroup generation and exponential stability resulting from a shear force feedback on a rotating beam"// Systems k Control Letters, 2005, v.54, 6, 557-574

14. Hale J.K. "Asymptotic behavior of the solutions of differential-difference equations"// Technical report 61-10, RIAS, Baltimore, Md., 1961

15. Hale J.K. "Linear functional differential equations with constant coefficients"// Contributions to Differential Equations, 1963, 2, 291-319

16. Hale J.K., Meyer K.R. "A class of functional equations of neutral type"// Mem. Amer. Math. Soc., 1967, N76

17. Henry D. "Linear autonomous neutral functional differential equations"// J. of Diff. Equations, 1974, v.15, N1, 106-128

18. Hille E., Phillips R.S. "Semigroups and Functional Analysis"// AMS, 1957

19. Kiesewetter H. "Eine Art Greensche Funktion fur lineare Differentialgleichungen mit nacheilenden Argumenten"// Wiss nschaftliche Zeitsch iffc der Fridrich-Schiller Universität, Jena, Jahrgang 10, 1960/61, 39-43

20. Kolmanovskii V., Myshkis A. "Introduction to the theory and applications of functional differential equations"// Kluwer Academic Publishers, 1999

21. Lunel S.M.V. "Series expansions and small solutions for Volterra equations of convolution type"// J. of Diff. Equations, 1990, v.85, N1, 17-53

22. Morgul 0., Rao B.P., Conrad F. "On the stabilization of a cable with a tip mass"// IEEE Transactions on Automatic Control, 1994, v.39, N10, 21402145

23. Pazy A. "Semigroup of linear operators and applications to partial differential equations"// Springer-Verlag, New York, 1983

24. Regge T. "Analytic properties of the scattering matrix"// Nuovo Cimento (10), 1958, v.8, 671-679

25. Shi D.H., Feng D.X. "Characteristic conditions of the generation of Co-semigroups in a Hilbert space"// J. Math. Anal. Appl., 2000, v.247, 356-376

26. Shkalikov A.A. "Spectral analysis of the Regge Problem"// Russ. J. Math. Phys., 2001, v.8, N3, 356-364

27. Vlasov V.V. "Spectral problems arising in the theory of differential equations with delay"// J. Math. Sci., 2004, v.124, N4

28. Vlasov V.V., Wu J. "Sharp estimates of solutions to neutral equations in sobolev spaces"// Func. Diff. Eq., 2005, v.12, N3-4, 437-461

29. Vlasov V.V., Medvedev D.A. "On asymptotic behavior and estimates of solutions to neutral equations"// Functional differential equations, 2006, v.13, N2, 207-223

30. Wright E.M. "The linear difference-differential equation with asymptotically constant coefficients"// Amer. J. Math., 1948, v.70, 221-238

31. Wright E.M. "Perturbed functional equations"// Quart. J. Math., 1949, v.20, 155-165

32. Архипов Г.И., Садовничий B.A., Чубариков B.H. "Лекции по математическому анализу"// М.: Высшая Школа, 1999

33. Ахмеров P.P., Каменский A.C., Потапов A.C., Родкина А.Е., Садовский Б.Н. "Теория уравнения нейтрального типа1'// Итоги науки и техники, сер. Матем. анализ, 1981, т.19, 55-126

34. Беллман Р. "Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений"// ИЛ., М., 1954

35. Беллман Р., Кук К. "Дифференциально-разностные уравнения"// М. Мир, 1967

36. Васильев В.В., Крейн С.Г., Пискарев С.И. "Полугруппы операторов, косинус оператор-функции и линейные дифференциальные уравнения"// Итоги науки и техники. Математический анализ, т.28, М., ВИНИТИ, 1990, 87-202

37. Власов В.В. "О разрешимости и свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве"// Мат. сб., 1995, т.186, N8, 67-92

38. Власов В.В. "Об оценках решений дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа"// Известия вузов, 2000, т.455, N4, 14-22

39. Власов В.В., Иванов С.А. "Оценки решений уравнений с последействием в шкале пространств Соболева и базис из разделенных разностей"// Алгебра и Анализ, 2003, т. 15, N4, 115-141

40. Власов В.В., Иванов С.А. "О точных оценках решений дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа"// ДАН, 2006, т.406, N5

41. Гомилко A.M. "Об условиях на производящий оператор равномерно ограниченной Co-полугруппы операторов"// Функциональный анализ, 1999, т.ЗЗ, 4, 66-69

42. Гомилко A.M. "Об обратном операторе генератора ограниченной Cq-полугруппы"// Функ. ан. и его прил., 2000, т.38, 4, 6-12

43. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. "Линейные операторы"// М.:Мир, 1974, Т.З

44. Жданович В.Ф. "Формулы для нулей полиномов Дирихле и квазиполиномов"// ДАН СССР, 1960, т.135, N5, 1046-1049

45. Зверкин A.M. "Разложение в ряд решений линейных дифференциально-разностных уравнений"// Тр. сем. по теории диф. уравнений с отклоняющимся аргументом, 1967, 4, 3-50

46. Кацнельсон В.Э. "О базисах из показательных функций в Ь2ц// Функ. ан. и его прил., 1971, т.5, N1, 37-47

47. Коган B.JL "О двукратной полноте системы собственных и присоединенных функций задачи Редже"// Усп. мат. наук, 1971, т.5, N3, 70-74

48. Колмановский В.Б., Носов В.Р. "Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием"// М. Наука, 1981

49. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. "Элементы теории функций и функционального анализа"// М. Наука, 1976

50. Кравицкий А.О. "О двукратном разложении в ряд по собственным функциям одной несамосопряженной краевой задачи"// Дифф. ур., 1968, т.4, N1, 165-177

51. Красовский H.H. "Некоторые задачи теории устойчивости движения"// М.:Физматгиз, 1959

52. Курош А.Г. "Курс высшей алгебры"// М.: Наука, 1968

53. Левин Б.Я. "Распределение корней целых функций"// М. Гостехиздат, 1956

54. Лесных A.A. "Оценки решений запаздывающих уравнений с переменными коэффициентами"// Фундаментальная и прикладная математика, 2006, т.12, вып.5, с.83-93

55. Лесных A.A. "Оценки решений дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа"// Мат. заметки, 2007, т.81, выи.4, с.569-585

56. Лесных A.A. "Оценки решений неоднородных нейтральных уравнений"// Спектральные и эволюционные задачи, Симферополь, 2006, т.17, с.50-55

57. Лесных A.A. "Полурегулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях"// Современные методы теории функций и смежные проблемы, Материалы Воронежской зимней математической школы, 2007, стр. 128-129

58. Лесных A.A. "Многоточечные полурегулярные краевые задачи"// конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная 106-летию И.Г.Петровского, Москва, 2007, сборник тезисов, с. 174-175

59. Малкин И.Г. "Теория устойчивости движения"// М., Наука, 1966

60. Милославский А.И. "Об устойчивости некоторых классов эволюционных уравнений"// Сиб. мат. ж., 1985, т.26, N5, 118-132

61. Мышкис А.Д. "Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом"// Гостехиздат, М. 1951

62. Мышкис А.Д. "Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом"// М. Наука, 1972

63. Наймарк М.А. "Линейные дифференциальные операторы"// М.: Наука, 1968

64. Пинни Э. "Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения"// М., Изд. ин. лит., 1961

65. Понтрягин Л.С. "О нулях некоторых элементарных трансцендентных функций"// Изв. АН СССР, Сер. Матем., 1942, т.6, 3, с.115-134

66. Садовничий В.А., Любишкин В.А., Белабасси Ю. "О нулях целых функций одного класса"// Труды семинара им. И.Г.Петровского, 1982, вып.8, с.211-217

67. Тамаркин Я.Д. "О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды"// Петроград, 1917

68. Халанай А. "Периодические решения линейных систем с запаздыванием"// Revu de mathématiques pures et appliquées, Acad. RPR, 1961, v.l, 6, 141-158

69. Хейл Дж. "Асимптотическое поведение решений разностно-дифференциальных уравнений"// Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям, Киев, 1961, том 2, Изд. АН УССР, 1963, 409-426

70. Хейл Дж. "Теория функционально-дифференциальных уравнений"// М. Мир, 1984

71. Шилов Г.Е. "Математический анализ. Второй специальный курс."// М. Наука, 1965

72. Шиманов С.Н. "С теории линейных дифференциальных уравнений с последействием"/ / Дифференциальные уравнения, 1965, т.1, 1, 102-116

73. Шкаликов A.A. "О базисности собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов с интегральными краевыми условиями"// Вестник МГУ, Матем. I, 1982, N6, 12-21

74. Шкаликов A.A. "Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях"// Труды семинара им. И.Г.Петровского, 1983, вып.9, с. 190-229

75. Шкаликов A.A. "Теоремы тауберова типа о распределении нулей голоморфных функций"// Мат. сб., 1984, т. 123, N3, 317-347

76. Эльсгольц Э.Л. "Качественные методы в математическом анализе"// Го-стехиздат, М.1955

77. Эльсгольц Э.Л. "Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом"// М. Наука, 1964

78. Эльсгольц Э.Л., Норкин С.Б. "Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом"// М., Наука, 1971