Дифференционально-геометрические методы интегрирования систем гидродинамического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

1 и МАЯ ¡093 российская академия наук

Математический институт РАН им. В. А. Стеклова

На правах рукописи

ЦАРЕВ Сергей Петрович

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ СИСТЕМ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ТИПА

01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1993

Работа выполнена в отделе геометрии и топологии Математического института РАН им. В. А. Стеклова.

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук М. А. Акивис доктор физико-математических наук А. П. Веселов доктор физико-математических наук Н.Х.Ибрагимов Ведущая организация

Институт Теоретической Физики РАН им. JI. Д. Ланлау

Защита состоится ОЪ. D Ь_ ^993 года

в ^ к час. мин, на заседании специализированного

совета Д 002.38.0?, при Математическом институте Российской Академии Наук им. В. А. Стеклова по адресу: Москеэ, 117966, ГСП-1, ул Вавилова, 42.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В. А. Стеклова

Автореферат разослан__1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета Д 002. 38. 02 при МИРАН

доктор физико-математических наук_• -

" ■ к

М. П. Мннеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАбОТЫ АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Теория ортогональных криволинейных систем координат составляет одну из замечательных страниц классического периода развития дифференциальной геометрии, написанную такими блестящими ее представителями, как Г. Дарбу, JI. Бьянки и др. Ее создание было инициировано иследованиями Г.Ламе по разделению переменных в уравнении Ли = О и в дальнейшем дало толчок к изучению более общих координатных систем (системы с сопряженными координатными линиями). Период бурного развития локальной дифференциальной геометрии закончился в первой половине нашего столетия, и интересы специалистов сместились в сторону изучения глобальных свойств, хотя отдельные математические коллективы продолжали исследование локальных вопросов дифференциальной геометрии (достойны упоминания работы МОСКОВСКОЙ, КазаНСКОЙ, ТОМСКОЙ ШКОЛ, беЛЬГИЙСКОЙ - A.Deitiou-lin, F.Backes, РУМЫНСКОЙ - G.Tzitzeica). МНОГИв Глубокие

результаты, достигнутые в данной области, были практически забыты.

Ситуация изменилась в начале 80-х годов после работ Б.А.Дубровина и С.П.Новикова по гамильтонову формализму систем гидродинамического типа, т. е. систем квазилинейных уравнений с частными производными 1-го порядка вида

•UМ /vVu) - К(и) \

, Pit <i>

/1 н II - I ^

*

Благодаря полученной ими геометрической интерпретации коэффициентов соответствующего гамильтонова оператора

как коэффициентов римановой метрики нулевой кривизны естественно появилась связь с теорией криволинейных систем координат в плоском (возможно, псевдоевклидовом) пространстве. Локальное изучение здесь естественно для гладких решений (1) в силу возможного появления разрывов в решениях с гладкими начальными данными ("ударные волны"), хотя глобальное поведение решений после появления разрывов несомненно, интересно в прикладных задачах и начало изучаться в классических работах по газовой динамике начиная со второй половины прошлого века. Среди физически интересных систем вида (1), обладающих описанным Б. А. Дубровиным и С. П. Новиковым

гамильтоновым оператором (2) с

сил( f*) ФО

были

известны уравнения Уизема (усредненные уравнения Кортевега-де

Фриза), уравнения Бенни (описывающие распространение длинных волн на мелкой многослойной жидкости). Они обладают свойством диагонализируемости: при подходящем выборе переменных и 1 внедиагональнке коэффициенты матрицы системы (1) обращаются в

0. Как легко показать, при этом также ^ 0 при <■ ,

т.е. мы имеем диагональную невырожденную (возможно, знаконеопределенную) метрику нулевой кривизны, что, очевидно, эквивалентно заданию ОРТОГОНАЛЬНОЙ криволинейной системы координат в соответствующем плоском пространстве. Выявляющаяся при этом связь с упомянутой выше дифференциально-геометрической теорией таких координат позволила автору проинтегрировать системы уравнений Уизема, Бенни и уравнений идеальной хроматографии и электрофореза. При этом была найдена современная интерпретация старых результатов, которая подчас раскрывает их с неожиданной стороны. Так, оказалось, что некоторые изучавшиеся в 70х-80х годах интегрируемые уравнения в частных производных оказались (в других терминах) уже в начале века известными и проинтегрированными! Кроме общеизвестного примера уравнения sine-Gordon упомянем более "свежие": работы Л.Бьянки (соответствуют системе уравнений 3-волнового резонансного взаимодействия) и Г. Цицейки (проинтегрировано уравнение и - u = eu - e-2u ).

tt XX

Новую жизнь в теории интегрируемых систем получат работы Л. Эйзенхарта, К. Гишара и др. по теории сопряженных сетей - им соответствуют полугамильтоновы диагональные системы вида (1), т.е. системы, в которых соответствующая диагональная метрика имеет некоторые ненулевые компоненты тензора кривизны (см. ниже точное определение).

Тем самым развиваемая в диссертации геометрическая теория интегрируемых систем типа (1) (как и некоторых других видов систем) делает актуальными как классические области

локальной дифференциальной геометрии, так и находит непосредственное применение в современной теорий интегрируемых систем уравнений с Частными производными.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Изучение свойств интегрируемости систем гидродинамического типа. Исследование связи теории криволинейных ортогональных и сопряженных систем координат и теории диагонализируемых и недиагонализируемых интегрируемых систем гидродинамического типа.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИИ использует идеи и конструкции классической дифференциальной геометрии и современной теории интегрируемых систем уравнений в частных производных.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА И ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. В работе получены следующие основные результаты:

1) На основе геометрического гамильтонова формализма Б.А.Дубровина и С.П.Новикова построена теория интегрируемых диагональных гамильтоновых и полугамильтоновых систем гидродинамического типа (1).

2) Для соответствующих физически интересным. примерам систем (1) криволинейным ортогональным системам координат Егоровского типа найдено семейство преобразования Комбескюра, позволяющее с помощью найденной автором обобщенной формулы годографа строить решения соответствующих физических систем

(уравнений_Уизрмя, уравнений_Кении). Доказана_полнота

найденного семейства.

3) Доказана инвариантость гамильтонова формализма гидродинамического типа . при допустимых линейных заменах независимых переменных (пространственной и временной

переменной), построена гамильтонова структура стационарных уравнений идеальной гидродинамики.

4) Даны приложения классической теории ортогональных и сопряженных систем координат к построению новых интегрируемых (недиагонализируемых) систем типа (1).

Результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно и обоснованы строгими математическими доказательствами. Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут найти приложения в теории криволинейных систем координат, теории интегрируемых, систем.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на геометрических семинарах МГУ и МИРАН, на совместных заседаниях семинара им. И. Г. Петровского и Московского Математического общества (1990, 1993 гг.), различных международных, всесоюзных и всероссийских конференциях по геометрии и математической физике (конференции "Современный групповой анализ", Баку, 1988 г., Красноярск, 1989 г., Уфа, 1990 Г. ; NATO ARW "Singular Limits and Dispersive Waves", Lyon, France, 8-12 July, 1991, NATO ARW "Applications of analytic and geometric methods to nonlinear differential equations", 14-19 July 1992, Exeter, UK). По результатам диссертации прочитаны курсы лекций в Высшей Нормальной Школе г. Лион (Франция, 1991), в университете Билькент (Турция, 1992).

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1]-[15], список которых приведен в конце автореферата.

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, трех глав,, заключения, приложений и списка литературы. Общий объем диссертации^^ стр., библиография содержит 'наименований.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ Во ВВЕДЕНИИ дан краткий обзор работ по теме диссертации^ излагаются основные результаты диссертации и ее структура.

В ГЛАВЕ 1 строится геометрическая теория интегрирования диагональных систем вида (1), называемых впоследствии одномерными диагональными системами гидродинамического типа. Как показали Б.А.Дубровин и С.П.Новиков1, оператор (2) с

склА-С^) О гамильтонов, если и только если

а) = ^" ^ для коэффициентов Кристоффеля симметричной связности, согласованной с ^ {

б) тензор кривизны метрики тождественно обращается в 0.

Тем самым система (1) с гамильтонианом гидродинамического

типа имеет матрицу

* - с к г р4 ^ £ ■

-Будем-называть-такие-матрицы-рамильтон&выми^-

'Дубровин Б. А., Новиков С. П. // ДАН СССР, 1983, Т. 270, №4. 781-785.

лемма 1.1.

Для того, чтобы матрица ■ (и) была гамильтоновой, необходимо и достаточно существование невырожденной. метрики нулевой кривизны такой,, что

к

б) ~ ^ У' С ' где ^ " ковариантное

дифференцирование, порожденное метрикой

Как легко видеть, из пункта а) леммы в случае диагональной гамильтоновой системы

(т.е. (1) с чГу =г тГ-(и)^ , ьГ- * хГ- при / ) вытекает диагональность метрики. ,(Всюду в дальнейшем по повторяющимся индексам суммирование не производится, если не оговорено противное!). Пункт б) влечет

для любой диагональной гамильтоновой системы (3).

Определение. Диагональная система вида (3) называется полугамильтоновой, если ее коэффициенты ЦТ- (ц) различны в некоторой области параметров ик и при' удовлетворяют

(5). Для п ^ 3. всякая гиперболическая система (1) будет считаться полугамильтоновой по определению.

Как доказывается в главе 1 (Теорема 1.1), любая полугамильтонова система обладает бесконечным числом законов

сохранения в инволюции

(их плотности удовлетворяют совместной системе

тлеющей произвол в решении в М- функций одного переменного) и бесконечным числом комутирующих потоков того же вида

Я. (7)

-с коэффициентами г<Г. (и) , удовлетворяющими

Ъ ^ = Г^ (и)( ) , (8)

Определение. Будем называть линейное инволютивное семейство гидродинамических интегралов полным в точке фазового пространства, если для любой вариации 1 С*) ,

такой, что

I г= Я Н«» (-->)) Г>) = о

для каждого интеграла 1. данного семейства, существует один

из них - ./ (с плотностью Р_1 (и) ) - такой, что 6 и1 С*)

является вектором гамильтонова потока, порожденного 1 г в точке Сх^т ■ е.

Для конечномерных гамильтоновых систем в 3. h, -мерном фазовом пространстве это определение эквивалентно наличию П-интегралов в инволюции (полнота по Лиувиллю).

Теорема 1.3.

Линейное семейство гидродинамических интегралов диагональной гамильтоновой системы (с попарно различными тУ- (и) и невырожденной метрикой) найденное в Теореме 1.1, полно в точках {Ug fa)}: таких, что для всйкого с - .. -j ^

а) функция ^(-х) принимает любое значение не более чем дважды (на периоде г, если рассматривается пространство периодических функций) и

б) если (ul)^ (\) - О , то

Аналогичный результат верен для полугамильтоновых систем (Теорема 1.2).

Внешне неожиданный факт состоит в том, что формулы (6), (8)

логут быть найдены ( в несколько других обозначениях) в

книге Г.Дарбу2. Уравнениям (6) удовлетворяют плоские координаты

соответствующей ортогональной системы координат (но не

голько они). Соответствующий симметрпям (7) геометрический

збъект представляет собой пару ортогональных систем координат

з одном и том же плоском пространстве ¡R. с касательными к

<оординатным линиям, параллельными в соответствующих точках.

1одобные пары координатных систем называются связанными

г G.Darboux, Leçons sur les systèmes orthogonaux et les coordonnées curvilignes, Paris (1910).

преобразованием Комбескюра.

Далее, любое решение, и1 (Xполугамильтоновой системы может быть получено в окрестности точки общего положйения как решение системы

(и) = Гц) -Ь-Г* ; п,

где '¿их- параметры (Теорема 1.4). Тем самым задача интегрирования диагональной (полу)гамильтоновой системы соответствует задаче нахождения полного набора преобразований Комбескюра для данной ортогональной системы координат. Эта задача изучалась в книге Г.Дарбу, однако ее полное решение возможно лишь при дополнительных предположениях, которые выполнены для упомянутых выше физических примеров. Именно, как доказано в Теоремах 1.5, 1.6 (§ 1.2), 1.8 - 1.9 (§ 1.3), если изучаемая диагональная гамильтонова система инвариантна относительно преобразований Галилея и ее коэффициенты однородны (естественное предположение для физических систем), мы можем явно найти все преобразования Комбескюра для соответствующей ей ортогональной сисеме координат, т.е. симметрии и- решения системы. Соответствующий специальный класс диагональных плоских метрик характеризуется соотношениями Я' ^ ~ (и) > "

11 / ~ • ■ Он также изучался

г.Дароу под именем "¿.горовских систем координат", 1г~изучентг посвящена магистерская диссертация Д.Ф.Егорова "ОС одном классе ортогональных систем" (1901)3. Построение полного

3 см. • Егоров Д. Ф. Работы по дифференциальной геометрии. М. : Наука, 1970.

набора преобразований Комбескюра для соответствующих уравнениям Уизема и Бенни Егоровских систем координат приводится в § 1.2, § 1.3. Показано наличие третьей локальной гамильтоновой структуры редукций Захарова уравнений Бенни как следствие ее однородности (Теорема 1.11, § 1.3). Завершается первая глава построением дополнительных к полному набору гидродинамических интегралов высших интегралов и симметрии, включающих производные для уравнений Бенни и

Уизема.

ВТОРАЯ ГЛАВА диссертации посвящена изучению свойств гамильтоновости и диагональности при различных преобразованиях множества независимых переменных. В первом параграфе изучаются преобразования гамильтоновых структур гидродинамического типа при замене местами пространственной и временной переменной ОС и ~Ь . В простейшем случае исходной системы (1) с оператором (2) верна

Лемма 2.1 . Пусть -тУ^(и)-^ - обратимая гамильтонова матрица, где V - связность нулевой кривизны, индуцированная невырожденной метрикой • Тогда обратная к (и)

с и г л

матрица также гамильтонова: ~ ^ ' ^ -ГДВ

V - связность нулевой кривизны, индуцированная метрикой

$ ^ ~ Ць^ а гамильтониан ^ (и) является

преобразованием Лежандра исходного гамильтониана рассматриваемого в плоских относительно координатах.

Ь качестве следствия иилучаам

Теорему 2.1 . При любых допустимых заменах } Тс) —?> } ( ^ независимых переменных

гамильтонова система гидродинамического типа (1) (с невырожденной метрикой) перейдет в гамильтонову систему того же типа.

Замена считается допустимой, если после нее получающуюся систему можно разрешить относительно производных Ц^.

Однако интересные для приложений случаи не всегда удовлетворяют предположению е(й£)О в (2). Тем не менее, как доказывается в Теореме 2.2, гамильтоновость сохраняется при любой допустимой замене в ЛЮБОЙ гамильтоновой

эволюционной системе ^^ = Р ' ^> -> • - - ) . обладающей импульсом - функционалом

порождающем относительно исходной гамильтоновой структуры

шток и^ - и ^ • Но возникающие при этом гамильтоновы

структуры могут быть нелокальными. В данном парграфе разбираются интересные с точки зрения приложений примеры, для которых можно найти локальную гамильтонову структуру после замены Эс . Таковы уравнения движения идеальной

несжимаемой жидкости

гГ + хггг^ ^ = О;

+ = О

} I

записанные в виде "эволюционной по "Х- " системы

frc = - V и + ЦТ f

Цх = - f« , (9)

Ï }

(результат верен и для баротропной сжимаемой жидкости) и уравнение КдФ ц - Çuu^ — Ux-^-x в вцде

лТх - <10)

•UT* = -t ëwv-.

Для последней системы найдены две локальные неоднородные гамильтоновы структуры гидродинамического типа, соответствующие операторам Захарова-Гарднера Д - —— и Магри

(■о U-x:

4 _ _ аР а у й /

(2) ^ + с^Г ^ ' ,ЦЛЯ СТаЦ1ЮНаРПЫ:-

случавв систем (9) h (10) ( т.е. при ^ - г7^ - ^= pt ) также получаем гамильтоновы структуры, при этом для стационарных уравнений КдФ можно построить бесконечное их число (они соответствуют нелокальным гамильтоновы.! структурам исходного уравнения КдФ).

Во втором параграфе главы 2 классифицированы диагонали-зируемые случаи усредненных обобщенных уравнений КдФ

г ^(uju-ç - ^х ху nF!I произвольной функции ^ Iи)

Процедура однофазного усреднения4 применима к этому уравнению

и дает систему вида (1) с тремя уравнениями. Ее гамильто-

новость была доказана ЪЛ Дубровиным и С.П.Новиковым1.

4 G.B.Whitham Nonlinear dispersive waves // Proc. Royal Soc. London, 1965, V. A139, p. 283-291.

Теорема 2. 4.

Среди гамильтоновых систем гидродинамического типа,

полученных усреднением уравнения Ы^ - (и) - ^х^х

с произвольной достаточно гладкой функцией диагонализируемы лишь системы, соответствующие случаю £~ - p^i-pU-t^l ( />, f^ -константы, pJ-f ^ ¿? ).

Ввиду се р ь езных вычислительных трудностей при доказательстве теоремы использовалась система аналитических вычислений REDUCE.

Аналогично в том же параграфе находятся диагонализируемые случаи уравнений хроматографии

Vo «X -i- т i' =

где Vc - скорость движения газа-носителя, U и1 fa {J

- концентрация t -й компоненты смеси в газе-носителе, <Х,'(^)- концентрация сорбированной с -й компоненты ("изотерма сорбции"). Кроме классической изотермы Ленгмюра

a'YuJ -

выделены следующие физически интересные классы изотерм:

1. Изотерма Ленгмюра с учетом диссоциации

_

«■ Ы) -

и (Г„ »>)*>

р~1

2. Экспоненциальная изотерма:

а' (и) -

изотерма

аЧ«) ~

^ ^ о/р е-хр (Г?и<>) рч

Г, и'

и степенная изотерма (многокомпонентное обобщение степенной

г

П

изотермы Фрумкина О. (<л) ~ Г и ^ )

Я' (и) —

( о(р ^р ~>0} 1~р - произвольные постоянные ). Полугамильгоновость полученных диагональных систем вытекает из следующего результата: Утверждение 2. 1.

Диагональная система уравнений гидродинамического типа (3), обладающая КЬ линейно независимыми законами сохранения гидродинамического типа, является полугамильтоновой.

Третий параграф посвящен изучению конечнопараметрических редукций квазилинейных систем с бесконечным числом уравнений на примере "уравнений моментов"

Д- + у. А*'1 .

(эквивалентных полной системе уравнений Бенни). Показана полугамильтоновость и диагонализируемость получающихся

редукций.

В ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ изучаются некоторые недиагонализируемые интегрируемые системы вида (1). Они естественно возникают в геометрической теории криволинейных ортогональных и .сопряженных систем координат.

Как показывается в §5.1, егоровские ортогональные системы координат б ^ могут быть описаны через решения системы

относящейся к типу (1), но не являющейся диагонализируемой: ее собственные векторы (подходящим образом нормированные) образуют алгебру Ли яо(з), а собственные числа постоянны и равны +1, О, -1. Система ■ (И) оказывается связанной нелокальным преобразованием с (неоднородной) системой - чисто мнимой редукцией системы 3-волнового взаимодействия

Как известно3, система (12) обладает бесконечным набором

законов сохранения, которые согут быть преобразованы в высшие

законы сохранения системы (11), тем . самым (11)

интегрируема. Следует отметить, что фактически (12) изучалась

еще в 1915 году в работах Л. Бьянки6, которым было построено

^Теория солитонов: метод обратной задачи. М. : Наука, 1980. L.Blanchi, Opere, v.3:. Sisteme tripli ortogonali, (1955)

(геометрическими методами) преобразование Беклунда для нее, перёоткрытое' в1 современных работах в рамках теории солитонов. Для описания произвольных (не обязательно егоровских)

ортогональных систем координат в ¡¡^ в § 3.1 построена (2+1)-мерная однородная система (гидродинамического типа). Известные результаты теории ортогональных координат дают для нее богатый набор преобразований и широкий класс решений.

В § 3.2 аналогичный результат получен для сопряженных

систем координат в ^ ,

Определение■ Криволинейная система координат

называется системой с сопряженными координатными линиями (или, кратко, сопряженной системой), если на каждой

координатной поверхности ^и 1 - - с&ъ* тб }• касательные

направления координатных кривых-/и'- "С ^ го} пересечения с другими координатными поверхностями в их общей точке

и *= сопряжены относительно второй квадратичной формы поверхности ' = } „ Как показывается в Главе 1, сопряженным системам координат в

соответствуют ПОЛУГАЖПЬТОНОВЫ диагональные системы (3), так же как ортогональным системам координат соотвествтуют гамильтоновы диагональные системы.

Сопряженные системы координат в /[I могут быть описаны с помощью однородной (2+1)-мерной системы гидродинамического типа (с 6 уравнениями). Матрицы системы, как и в случае

ортогональных координат, коммутируют, недиагонализируемы, их собственные числа постоянны,- а собственные векторы образуют алгебру Ли. Геометрическая теория сопряженных систем также дает для этой системы богатый набор преобразований и широкий класс решений.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ дан анализ ближайших перспектив развития геометрической теории интегрируемых систем гидродинамического типа и их места в дифференциальной геометрии, теории интегрируемых систем и математической физике.

В ПРИЛОЖЕНИЯХ приведены тексты программ на языке reduce и промежуточные результаты, необходимые для доказательства Теоремы 2.4 Главы 2.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Царев С. П. О лиувиллевых скобках Пуассона и одномерных гамильтоновых систем гидродинамического типа, возникающих в теории усреднения Боголюбова-Уизема // УМН, 1984, Т. 39, № 6, С. 209-210.

[2] Царев С. П. О скобках Пуассона и одномерных гамильтоновых систем гидродинамического типа // ДАН СССР, 1985, Т. 282, № 3, С. 534-537.

[3] Царев С. П. Точные решения уравнений гидродинамического типа // УМН, 1985, Т. 40, № 5, С. 257.

[4] Царев С. П. Интегрирование уравнений хроматографии прохождения многокомпонентной смеси веществ через сорбирующую

среду для случая ленгмюровской изотермы сорбции // в сб. : "Томографические методы в физико-технических измерениях", М., ВНИИФТРИ, 1985, С. 120-125.

[5] Царев С. П. О гамильтоновости стационарных и обращенных уравнений механики сплошных сред и математической физики // Матем. заметки, 1989, Т. 46, № 1, С. 105-111.

[6] Царев С. П. Законы сохранения и гамильтоновость стационарных уравнений гидродинамики // в сб. : "Современный групповой анализ: Методы и приложения", Баку, Эльм, 1989,

С. 236-244.

[7] Царев С. П. Полугамильтонов формализм диагональных систем гидродинамического типа и интегрируемость уравнений хроматографии и изотахофореза. // Современный групповой анализ: методы и приложенпяю. ЛИИАН, 1989, № 106, С. 30-35.

[8] Царев С.П. Геометрия гамильтоновых систем гидродинамического типа. Обобщенный метод годографа. // Изв. АН СССР. Матем. - 1990, - Т. 54, /0 5. - С. 1048-1068.

[9] Царев С. П. Об интегрируемости уравнений Упзема (усредненных уравнений Кортевега-де Фриза) // в сб. : "3-я Сибирсткая Школа по алгебре и анализу", Иркутск, ИрГУ, 1990, С. 53.

[10] Царев С. П. Диагонализируемые усреднения обобщенного уравнения КдФ // УМН, 1991, Т, 46, № 6, С. 194.

[11] Иванченко Е. А., Царев С. П. Инвариантные рошения нелинейных эволюционных уравнений спирального магнетика // Украинский физич. ж., 1990, Т." 35, №7, С. 1048-1055.

[12] Ферапонтов Е. В., Царев С. П. Системы гидродинамического типа, возникающие в газовой хроматографии. Инварианты Рш.шна

и точные решения // Математич. моделирование, 1991, Т. 3, № 2, С. 82-91.

[13] Павлов М.В. .Царев С.П. О законах сохранения уравнений Бенни // УМН, 1991, Т. 46, № 4, С. 169-170.

[14] Tsarev S.P. Classical differential geometry and integra-bility of systems of hydrodynamic type //in: Proc. NATO ARW "Applications of analitic and geoetrical methods to nonlinear differential equations" 14-19 July 1992, Exater, UK

[15] S.P.Tsarev, On the integrability of the averaged KdV and Benney equations // in: Proc. NATO ARW "Singular Limits and Dispersive Waves", Lyon, France, 8-12 July, 1991.

АКАДЕМИЯ НАУК КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ РГ6 Специализированный Совет Д 01.93.08

На правах рукописи

ЭСЕНОВ КУБАТБЕК РЫСКУЛБЕКОВИЧ

ОБ ОБОБЩЕННО-ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ И ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЯХ СПЕЦИАЛЬНЫХ РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

01.01.04 — геометрия и топология ,

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

БИШКЕК - 1993

Работа выполнена на кафедре алгебры и геометрии механико-математического факультета Кыргызского государственного национального университета.

Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор А. Л. Борубаев, кандидат физико-математических наук, доцент Й. Микеш.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Л. Е. Евтушик (Московский государственный университет), кандидат физико-математических наук, доцент Ж. Молдобаев (Кыргызский государственный педагогический институт).

Ведущая организация: Пензенский педагогический институт.

Защита диссертации состоится « ^^о-у/^/7 1993 го-

да, в 14.00 часов на заседании специализированного совета Д 01.93.08 по присуждению ученых степеней доктора^кандн-дата наук в Институте математики АН Кыргызской Республики.

С диссертацией можно ознакомиться в ЦНБ АН Кыргызской Республики.

Автореферат разослан « ^ »

.1993 года.

Отзывы на автореферат просим прислать по адресу:_

720071, г. Бишкек —71, Проспект Чуй 265 «А», "Институт математики АН Кыргызской Республики, Специализированный совет Д 01.93.08

Ученый секретарь, Специализированного Совета, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник

ИСКАНДАРОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТН

Актуальность темы.

Диссертация посвящена дальнейшему исследованию ряда теорш, изучаемых ранее с различных точек зрения. А именно, геодезическим и различным обобщением геодезических отображений (ГО) б частности, почти геодезическим отображениям (ПГО), голоморфно проективным отображениям (ГШ) римановых и келеропых пространств.

В настоящее время теория геодезических отображений и различные его обобщения являются важным разделом современной дифференциальной геометрии, богатыми Фундаментальными результата ми, имеют логически обоснованную, стройную и далеко продвинутую теорию, имеющую приложения в различных областях математики, механики и теоретической физики.

Существенный вклад в изучения общих закономерностей теории ГО римановых пространств и различных его обобщений внесли многие зарубежные авторы: Т. Леви-Чви-^, Т. Томас*", Г. Вейль1', А.З. Петров4, Н.С. Сигаоков5, И. Ыикеш6 (для ГО).

Отметим, что теория ГО римановых и аЛЗмнно-связных пространств, а также ее обобщения, представляют собою безусловный интерес с прикладной точки зрения. Тан как, ГО двух римановых пространств в общей теории относительности представляют собою математическое описание того случая, когда два различных поля тяготения обладают тем свойством, что траектория движения элементарных частиц и пути распространения света в них допускают установленное взаимно однозначное соответствие.

с/егг^/п^л^с'.'-/О.

2) /-j~i.oVfL.cLS 77, Ас 2/уыуа^гГе РиъУ е&сссл^о,ее с/ые /¡я-их."- -¿.Лс^/гГсс* //. <;. г^г-^аз.,

■ ¿¿¿г с'хУ'/г^¿га^гге ¿уг^чуг^рс^.

4) Петров А.З."Новые методы в общей теории относительности" //М., Наука, 1966.

5) Синюков Н.С."Геодезические отображения римановш- пространств'' /УМ., Наука, 1979.

6) С^/'/глч?¿А.^> ¿^^б-есга-^ (Мс.^л^ ■ у».

7 8

Следующие авторы: Оцуки Т. и Тасиро Я. , Сакагучи Т. » Микеш И. (для голоморфно-проективных отображений почти комплексных многообразий и келеровых пространств), Микеш И. и Березовский В.Е. (для почти геодезических отображений аЛфин-но-связных и римановых пространств), Курбатова И.Н.^® £НР -отображения И -пространств).

Последнее время оцубликованы многие работы, которые обобщают голоморфно-проективные отображения келеровых пространств, а также специальных типов почти геодезических отображении пространств аффинной связности без кручения и с кручением. Однако в этом направлении общие проблемы в основном можно считать решенным, благодаря, прег-е всего, Фундаментальным работам Микеша И. и Синюкова Н.С.*2, Микеша П.. . ■

' -ч

Т) акиксЯ.

сегьсх/е<*.се ¿¡¡-¿¡а-ее/е. Л&Л&гсак. Iс&те/

саяр&х. ^?ъи<г/<уге ''/¿¿гль^о. 3, уР.^З'^.

9) Микеш И. "О голоморфно-проективных отображениях келеровых пространств^'кр.геом. со. Харьков. 1950, вып.23, стр.90-98.

10. Курбатова И.Н. "НР-отображения Н-пространств'^кр.геом.сб. 1984, вып.. 2?, стр. 7о-Ш. ^

Яс о/<4* ОъУегсгсе ^¿/^е^^^^ге/г^

12. Микеш К., Синюков Н.С. "0 квазипланарных отображениях пространств а^*инной свчзности'^йзв, ВУЗов Математика ■''< I., 1983. стр. 55-61.___________

¿¿лу** гХ~/. -¿4"

—S—

Теория почти геодезических, отображений а-Тх^инно-связньи и ри-мановых пространств, а также fi* -пленарные отображения является широким и в то же время геометрически естественным обобщением теории геодезических отображений. Она охватывает: I-) теории - проективных пространств Каган В.Ф.^,

Широков П.А.15.

2) теорию голоморфно-проективных отображений эллиптических и гиперболических келеровых пространств, конциркулярную геометрию Яно К.^®.

3) теорию аналитически пленарных отображений почти комплексных многообразий Исихара С".^, Тасиро Я*®.

4) теорию пространств, доцускающих сходящиеся (Широков П.А.1 и геодезические (Шапиро Я.Л.19) векторные поли.

51 теорию квазигеодезических отображений Петров А.З.^0. Причем квазигеодезичеекие отображения определены с физической точки зрения, т.к. Петров А.З. приш,ел такому отображению исследуя проблему моделирование путей пробных тел е поле гравитации. До недавного времени оставал.сь открыт*™« изучение геодезических и обобщенно геодезических отображений (в частности ГПО) римано-вых пространств второго порядка. Подобными вопросами занимался

14. Каган В.Б, "Субпроективные пространствами.Физматгиэ, J.96I. 220 с. • ,

15. Широков П.А. "Избранные работы по геоматрии'^Казань, Изд. Казанок, ун-та,' 1966. •

16.-j^atro tf /r jfC^we/2* /гас.

/ü■ /^¿eo,¿¿a, #<crt JVS-- ¿rt

¿f>£&ifj&f f-/3 OST /ЮАлуС/е/

18. /Sf/iiV^ fa ^¿cv&o^ccjotty'eeT&cre cazteya*^^ c&s ¿и. йл ¿pater. •

¿/SvVT /J^S^^ Л^ЛС /о,

19. Шапиро Я.Л. "Геогэзические поля направления ч проективные системы цутей" даатеы.сб. 1955, 36. стр. 125-148.

20. Петров А.З. "Моделирование Физических полей" В"сб."Гравитация и теория относительностй'^Назань, Казансн.ун-т, 1У68, вып. 4-5, 1-11.

-s—

ОТ W

С.М.Покась . В связи с этим в совместной работе Микеша И. и ??

Эсенова K.P. было дано другое•определение риманового пространства второго порядка. Этот подход позволило изучить геодезическое отображение в римановом пространстве второго'порядка. При этом впервые использованы новые формы основных: уравнений теории ГО римановых и ГГО келеровых пространств. Отметим, что работа Микеша И. и Покася С.М. посвящена изучению специальных преобразований в римановом пространстве второго порядка. Как уже было отмечено, выше НГО римановых пространств, а также ее обобщения представляют безусловный интерес с прикладной точки зрения. Естественно, что дальнейшее исследование геодезических и обобщенно-геодезических отображений является актуальной задачей. Цель работы.

1. Исследование свойств обобщенно эквидистантных келеровых эллиптического и гиперболического типа пространств.

2. Нахождение метрики келеровых -пространств, допускающих голоморфно-проективные отображения на эквидистантные основного типа келеровых пространства,

3. Изучить голоморфно-проективные отображения келеровых пространств с сохранением - ортогональной системы гиперповерхностей.

4. Исследовать - планарные отображения специальных пространств.

5. Изучить свойства некоторых римановых пространств втори--го порядка. Построить примеры таких пространств.

6. Изучить геодезические и голоморфно-проективные, отображения римановых и келеровых пространств второго порядка. .

21. Покась С.М. "Об ицпуциированных отображениях ассоциированных римановых пространств второго порядка'/уВосьмая всесоюзн. научная конференция гяпм. T°ruir.u- псжл--

-стр—124Г0десса 1984. - -

22. Микеш И., Эсенов K.P. "О пространствах второго порядка"

/ЛАсслед. по топологии и геометрии. Сб.научи.трудов, стр.52-60. Бишкек. 1991.

23. Микеш И., Покась С.М. "Группы Ли преобразований второго по-

ЕШ1и^?а^8§ЖВ2^"стР?РОСТРаНС1'Еа5С УКОПИСЬ Д0П' В

- —

Метод исследований.

Исследование ведется в тензорной форме, локально, в классе вещественных, достаточно гладких (в общем случае аналитических) функций.

Научная новизна. |

1. В работе установлено, что обобщенно-эквидистантные прост- ! ранства эллиптического или гиперболического типа допускают нетри- -виальные голоморфно-проективные отображения. Изучены некоторые

их свойства. Построены примеры этих пространств.

2. Найдены в явном виде метрики келеровых пространств, допускающих нетривиальные голоморфно-проективные отображения на эквидистантные основного типа.келеровы пространстве.

3. Рассмотрены голоморфно-проективные отображения келеровых пространств с сохранением "К -ортогональной системы гиперповерх/ ностей. ' /

4. Найден тензорный признак некоторого класса Л? - ! проективных пространств. ,

5. Изучены векторные поля ч аффинно-связных и римановых пространствах, уравнения которых инвариантны относительно обобщенно-геодезических отображений. Относительно таких отображений | найдена взаимосвязь тензоров Вейля. • !

6. Введено понятие келерова пространства второго порядка. ; Исследованы некоторые их свойства. Построены примеры.

7. Найдены новые закономерности для римановых пространств второго порядка. В частности1, ввделено новые условий, характеризующее риманово пространство второго порядка,

8. Исследованы геодезические и голоморфно-проективные отображения соответственно, в римановых и келеровых пространствах второго порядка.

Практическая и теоретическая ценность работы.

Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации, являются естественным дополнением известных фактов теории геодезических и обобщенно геодезических отображений специальных римановых пространств а также ассоциированных пространств. Поэтому полученные результаты представляют теоретическую ценность с точки зренич современной диФФерен циальной геометрии. В то же время они могут быть использованы в теории от(^сительносч<' ти, теоретической механике и математической физике.

—g —

Апробация результатов работы:

Основыне результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международном научном конференции "Лобачевский и современная геометрия" (Казань 1992 г.), на Всесоюзном IX геометрическом конференции (Кишинев, 1988 г.), на'научном семинаре кафедры геометрии и топологии Одесского госуниверситета, на научном семинаре кафедры алгебры и геометрии(руководитель прой. Борубаев A.A.), на конференциях молодых ученых ОГУ (1985г.), на конференциях математиков и механиков (Фрунзе 1987г.), Республиканская научная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения (Фрунзе 1989 г.), на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Кыргосуниверситета (1986-1992 гг.), Республиканская научно-методическая ^конференция (Одесса 1992г.), Научная конференция 60-летию образования Кыргосуниверситета (Бишкек 1993г.).

Публикации. '■•

Основные результаты диссертации опубликованы в^работах I -II. В совместных работах 8 и 10 . Соавтору И.Микешу принадлежит постановка и общие идеи работы.

Структура и сбьем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, двух глав (разделенных на 9 параграфов и списка использованной литературы, включающего 69 наименования. Полный обьем диссертации страницы машинописного текста. В каждом параграф« ведется самостоятельная нумерация Форщул, лемм и теорем. При ссылках на них • в другом параграфе перед номером Фю р1цулы, леммы или теоремы ставитеи номер параграфа, которому она принадлежит.

Краткое содержание работы.

Первая глава содержит пять параграфов. В этой главе приводятся результаты, связанные с изучением рпалмчныу аг.прктпп трории— геодезических и обобщенно-геодезических отображений аФФинно-свявных, римановых и келеровых пространств.

В § I изложены основные йакты и понятия теории геодезических, голоморфно-проективных, почти геодезических и /-" -пленарных отображений аФгёинно-связных, римановых и келеровых пространств, которые необходимы для наших исследований.

В § 2 вводятся в рассмотрение и изучаются обобщенно эквидистантные келеровы пространства.

——

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Келерово пространство эллиптического или гиперболического типа^с метрическим тензором

^у^х) и аФФинной структурой С^У называется

, нно-эквидистантным келеровым пространством, если в нем существует ненулевое векторное поле , удовлетворяющее

уравнениям» ^ ^ ~

£ - <п

где в: и ^ некоторые инварианты такие, что хотя бы один из них неравен нулю, ^ - некоторый ненулевой кгвектор.

В уравнении (I) черта над индексами означает операцию сопряжения, т.е. '/.. /. ..

Доказаны следующие теоремы.

ТЕОРЕМА 2.1. Обобщенно-эквидистантные келеровы пространства эллиптического или гиперболического типов допускают нетривиальные голоморфно проективные отображения, если вектор У^ является градиентным,

ТЕОРЕМА 2.2. Вектор ^ коллинеарный обобщенно-эквидис-тантноьщг вектору ^ не является обобщенно-эквидистантным если коэффициент коллинеарности непостоянен. 4

В теореме 2.3 доказано, что векторное поле <-? удовлетворяющее уравнению {I)-являете., аналитическим. Связь между инвариантами л и $ установлена в теореме 2.4. . ^

ТЕОРЕМА"2.5. Если в уравнении (I) вектор Л

является градиентным и неизотропным векторам, то уравнение (I) приводится к следующему виду при Л2

Л,у - ^■гЪ) (2)

где -некоторый инвариант.

В теореме 2.6 показано, что уравнение (2) приводится к некоторой системе дифференциальных уравнений в ковариантных производных типа Коти относительно неизвестных векторного поля -Л' и инвариантов й и ^

В конце § 2 построен пример обобщенно-эквидистантных пространств. т—

В § о изучен ропрос и келеровых пространствах, допускающих

НГГО на эквидистантные основного типа келеровы пространства. Имеет место ■ ,

ТЕОРЕМА 3.1, Келерово пространство (>Мметри-

ческий тензор которого имеет строение:

доцускает НГГО на эквидистантные основного типа келерово пространство^ /(ypj , тогда и только тогда, когда метрический тензор/^ имеет представление/

где инекоторые постоянные, - инвариант порож-' дающий градиентный вектор ^ .

В § 4 рассматривается келеровы пространства однозначно определенные относительно НГПО. Доказана следующая

ТЕОРЕМА 4.1. Не существует келеровых пространств / допускающих нетривиальные голоморфно-проективные отображения на Км сохранением М - ортогональной системы,гиперповерхностей. В § 5 рассмтриваются векторные поля /i , заданные в афФинно-связных или римановых пространствах, удовлетворяющие следующим уравнениям.- - ,

Ai - S**' * * ft 3 /w ■ (3)

где б" - некоторые инварианты, и J^i' - некоторые векторы, запятой обозначена ковариантная производная по связности _

'ГЕОРЕМА 5.1. Цусть пространство афФиннпй связности ''^ доцускает -планарнсе отображение на Тогда уравнение (3) инвариантно, при этом отображении.

ТЕОРЕМА 5.2. Вектор, который коллинеарен вектору, удовлетворяющему условию (3), также удовлетворяет этоку условию.

ТЕОРЕМА 5.3. устанавливает взаимосвязь между тензорами проективной кривизны Вейля при -планарном отображении пространств /?}, на /Гл

В теореме 5.4 приведена тензорная характеристика некоторого типа Д-Л проективного пространства.

Во второй главе изучены специальные римановы и келеровы пространства второго порядна. Установлены некоторые их свойства, рассмотрены геодезические и голоморфно-проективные отображения этих пространств второго порядка " , а также некоторые

подклассы этих пространств. Доказаны следующие теоремы. ,

ТЕОРЕМ 6.1. Пространство второго порядка являет-

ся пространством /7# тогда и только тогда, когда в канонический системе координат компоненты обьекта а<№инной связности являются линейными Функциями этих координат.

Следующая теорема справедлива в частности для' пространства

\ Я? .

ТЕОРЕМА 6.2. Если в некоторой системе координат компоненты обь'екта аФФинной связности пространства аффинной связности представляют однородные линейные санкции гтих координат, то компоненты ковариантно постоянных тензоров (если сни аналитичны). представляются в виде рядов, содержащих только четные степени этих координат.

Теорема 6.3 дает по нашему мнению тензорный признак римано-вых пространств второго порядка. Иначе говоря, риманово пространство в котором ковариантная производная тензора Римана в произвольной точке не равна нулю, не может явл^тся римановым пространством второго порядка V^ .

^ Компоненты символов КристоФФеля первого рода пространства

Иг в канонической системе координат имеет следующий вид

• w

ТЕОРЕМА 6.4, Риманово~прост]эапство ^ti является римановым гсрострнством второго порядка V.тогда и только, тогда, когда з некоторой системе координат символы КритоФг|зеля первого рода тредставляются в виде (4).

В § 7 введено понятие нелерова ггространствав второго по-эядна.

ТЕОРЕМА 7.1. Если в канонической системе координат кд^по-)енты аффинной структуры /%• /¿О келерова пространства тоотоянные то, пространства является евклидовым прост-

)анством

Как мы уже отметили, в § б установлены[некоторые свойства пространства /7/, В теореме 7.2 показано, что если пространство будет пространствам постоянной голоморфной кривизны, то оно будет плоским пространством. Найдены символы КристоФфеля, тензоры Римана и Риччи для пространства ассоциированного с пространством ненулевой постоянной голоморфной кривизны. Эти результаты сформулированы в теореме 7.4.

Если предположим, что относительно канонической системе координат в пространстве компоненты аффинной структуры

являются аналитическими, т.е. они представимы в виде сходящегося ряда следующим образом: ;

л'^г $' ..«¿...^ у4"?**. • «,

С*,Г*

(где /V, »"' * - являются постоянными числами,

причем . ¿V. - симметричны,по всем индексам

) то, справедлива следующая лемма. г

Лемма 7.14 Если в келеровом пространстве Ал 'Компоненты аффинной структуры относительно канонической системе координат представляется в виде сходящегося ряда'(6), то коэффициенты при нечетных координатах в этом разложении обращаются в нуль. •

Далее в этом параграфе изущны келеровы пространства второго порядка, когда аффинор имеет следующий вид

■¿М-Я' г

с* /г4.. ^

где у?, - значение - аффинора и тензора

Римана в точке келерововго пространства Построен

пример келерового пространства второго порядка

_В § 8 исследуптпя субпровктивныа пространства второго по-_

рядка. Эти исследования оказались связанными с вопросами о существовании в произвольном пространстве коациркулярных векторных полей. Напомним, что векторное поле у? называется конциркулярным К.Яно*0, если оно удовлетворяет следующим

уравнениям: А

Л* -V'

-/з-

(где ^ - некоторый инвариант, запятой обозначена ковариантнач производная в римановом пространстве , - символ

Кронекера). Отметим, что при х такие векторные

поля (эквидистантные пространства основного типа) доцускают НТО Синюков Н.С.5 - /V

.......-

Рассматривая вопрос: существуют ли пространства ,

доцускагацие конциркулярные векторные поля получены следующие результаты '

ТЕОРЕМА 8.1. Ковариантно постоялые векторные поля " в канонической системе координат ' [/^ имеют представления

при этом постоянные должны удовлетворять условию .

где значение тензора Римана в точке ' риманором

пространстве ' ' ,

^ Исследуя о существовании в пространствах.второго порядка ковариантно непостоянных конциркулярных векторных полей /) доказана следующая теорема, которая является одним из основных результатов § 8. ^^

ТЕОРЕМ 8.3. Если в пространствах ^ сущезд^уют ковариантно ^постоянные конциркулярные векторные поля , то такие являются субпроективными пространствами основного случая.

В заключительном параграфе 9 гдавн 2 рассмотрены ГО рима-новых пространств второго порядка и ГПО келеровых прост-

ранств второго порядка. _ _

Заметим, что основыные уравнения теории Геодезических отображений римановых пространств мохно записать в следующем виде/

-V л

ЛРл

г*-«,- -г-«^. - " (¿с/Уз X-

где и - метрический тензор и символу Кристоф^зля'

первого рода пространства . Компоненты и вектора

^ считаем аналитическими. • "V

ТЕОРЕМА 9.1. Если компоненты г? ' и вектора явля-

ются постоянными, то геодезические отображения Уя является аффинным. ' ;

ТЕОРЕМ 9.2. Если римвно^о пространство второго порядка Л/й ассоциированное с римановым пространством \/~п в точке,допускает НГО, то компоненты тензора представляются в виде степенного

ряда,содержащего только четные степени, а вектор У¡¿ содержит только нечетные степени координат.

Для изучения НГЛ0 Кн основное уравнение' НГПО келерсвых пространств записана в следующей форме:'

Д я*- й^Хф**

Для НГ{\0 /См получены анологичные результаты.

Автор выражает глубокую признательность научным руководителям доц. Й.Ь'икешу за оказанное внимание и всес-торонюю помощь Б работе, профессору А.А.Борубаеву за ценные советы и постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации > опубликованы в следующих работах аг. гора.

1. Эсенов К. Р. ОЙ одном классе примитивных римановых пространств У/ Мат-лы научн. конф. молодых ученых. 'Одеес. гос. ун-та. Сер. Математика. Одес-са, май 1965г. -Одессе, 1985. ж -С. 165-170.

2. ЗсеноВ К.Р Об уравнениях инвариантных относительно специальны) отображений // Конф. математиков и механиков Киргизии:Тез. док;

- Бишкек: Илим, 1967. - С.76. -3.-Эсенов-РГ.Р.-0-&войс1вах_.обобщенно-зквидкйТ№тных келерсвых пространств, допускающих специальные почти геодезические отображения второго типа // йсслед. по топологическим и обобщенным пространствам.- Фрунзе: Кыргыз.гос.ун-т. , 1968. -77-61.

4. Эсенов К.Р. О некоторых свойствах специальных риманоЕых пространств // IX Всесоюзный геом. конф..Кишинев, сент. 1988г.{ Тез.сооб'ц. -Кишинев, 1966. -С.373.

связности // Республ. научн. конф. "Дифференц. уравнения и их приложения", 5руНзе, сент. 1909г.-арунзе:Кыргнз.гос. ун-т, 1989. -С.131.

6. Эсенов 1С.Р. Геодезические и голоморфно- проективные отображения пространств второго порядка // Тез.сообщ. областной конф. молодых'ученых, Умань дек. 1989г. -Умань: Уманск.грс. пед. инс-т, 1990. -С,64.

7. Эсенов К.Р. Специальные келеровы пространства второго порядка // Лсслед. по топологии и геометрии.-Бишкек:'

■ Кыргыз. гос. ун-т, 1991.-С.65-68.

8. Микёш Я., Эсенов К.Р. О пространствах второго порядка

.„ // Исслед, по топологии и геометриигБшкек:Кыргыз. гос. ун-т,1991. -0. 52-60.

9. Эсснов К.Р. О субпроективних пространствах второго" поряд-. ка // Тез.докл. Йеждунар. науин. конф. "Лобачевский и Современная геометрия"* Казань, авг. 1992р. -Казань:Калан-ск. гос. ун-т, 1992. -С. П9,-

10. Эсенов К.Р., Микен й. 1С теории пространств второго порядка // Республ. научно-метод. конф., Одесса, сент. 1992г.;

.Тез. докл. -Одесса: Одесск. гос. ун-т, I992.-C.I0!.

11. Эсенов 1С.Р. О метрике обобщенно-эквидистантных простра нств // Научи. кон$. математиков, поев, ,60-летда образования Кыргыэ. гос. ун-т:Тез. докл. " ргчз. гос. ун-т, 1993. -С.67.