Диффузионные аппроксимации случайных процессов и полей и их применение тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

*

пршадгої млтттда і мтнікк ■ т України '

Г?л графах рукопису

ШУПСО ІРИНА ЛВИІЇДЇИН

.їшйЯні шткстаїПї ■

ЕШАДЖВИ ПГСЦЕСІВ І ПОЛІВ ТА їх

зАстестння

01.01.0-5 - теорія ймовірностей та матегетична статистика

АВТОРЕФЕРАТ дисертації нз здобуття вченого ступеню кандидата Йзико-матег'атичних наук

ДСНШЬК - 1994

Дисертація « рукопис "

Роботу виконано на кафедрі алгебри та теорії ймові гей математичного факультету Донецького державного універ ту.

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук Б.В .Бондарев.

Офіційні опоненти - доктор фізико-математичних наук

Провідна установа: Інститут кібернетики АН України.

_год. на засіданні спеціалізованої ради К Об .01.01 Інституті прикладної математики і механіки АН України за і сою:

340І44 м.Дснеиьк, вул. Р.Люксембург, ?4. •

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці інстиі Автореферат розіслано *' 'ґ994 р_

професор В.В.Булдигін; кандидат фізико-математичних на; В.М .Кляпіков.

Захист відбудеться "с£-/ " Х994 рої

Вчений секретар спеціалізованої ради

Чані О.С.

І .ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ.

Актуальність роботи. Дана робота присвячена розвиненню метод;' одного ймовірнісного простору та його застосуванню до обчислення ймовірності знаходження випадкових процесів і полів, шо залежать від параметра, в криволінійних межах.

Починаючи з класичної прані А.В.Скорохода, до методу одного ймовірністного простору зверталося багато дослідників. Відмітимо праці Комлота, Майора, Тупнаді, Дадлей і Філіппа, О.О.Боровкова,

С .1 .Саханенка та ін.

Вакливу роль в багатьох застосуваннях теорії імовіліостей і в математичній статистиці грають граничні задачі .

Дослідженню иих питань присвячені прачі О.О.Боровкова,

А .А .Могульского, 0 .0 .Новікова, В.А .Гасаненка та ін .

Мета роботи. Побудова дифузійних апроксимацій випадкових процесів'і полів, дослідження поведінки в криволінійних межах усереднених стохастичних систем і дифузійних процесів і полів з малою дифузіяю.

Наукова новизна, теоретична і практична вагомість роботи. В дисертації побудовані дифузійні апроксимації в рівномірній метриці за ймовірністю випадкових процесів і полів з незалежними приростами, а також нормованих інтегралів від стаціонарних процесів зі слабкою залежністю. Одержані результати використані для знаходження оцінок швидкості - збіжності в криволінійних межах стохастичних усереднених систем, випадкових процесів і полів з малою ди&узіою І процесів, підданих швидкоколивним випадковим діянням,до відповідних граничних процесів.

Одержані результати є новим. Вони можуть бути використеиі при розв'язанні різних задач в застосуваннях теорії ймовірнседаїй і математичній статистиці . і»

Методика дослідження. В роботі використано метод одного

ймовірністного простору А.В.Скорохода та різні мартингальні методо теорії випадкових процесів і полів.

Публікації . За темою дисертації надруковано сім робіт.

Апробація роботи. Результати дисертації доповідались на XX Н школі-колоквіумі з теорії імовірностей і математичної статистики (Вакуріані, 1908 ) , на V _ Міжнародній Вільнюсській конференції з теорії ймовірностей і математичної статистики (1969) , на І і III Донецьких конференціях, присвячених пам'яті відомого математика П.І .Гіхмана ( 1988, 1993 ) , на спільному науковому семінарі відділу теорії ймовірностей і математичної статистики Інституту прикладної математики і механіки АН України та кафедри алгебри та теорії імовірностей Донецького деркавного університету.

Сбсяг тюботи. Дисертація складається із вступу, трьох глав, списку літератури С 62 назви) і викладена на 132 стор. машинописного тексту.

II. ЗМІСТ РОБОТИ. ~

У всутгі проводиться огляд робіт, присвячених методу одного ймсвірністного простору та оцінюванню пвидкості збіжності в грани них задачах і стисло викладено зміст роботи.

Перша глава складається з трьох параграфів. В ній розглянені питання дифузійних апроксимацій за ймовірністю випадкових процесів і полів.

В §1.1 встановлена нерівність типу нерівності Комлоиа - Майора - Тупнаді для випадкового процесу § = +єс°,-П,

де <£(^) - випадковий процес з незалежними приростами, скінченними стрибками, такий шо

сЦ(4:)= Ь(і) о(.и.г(І)+ ^(о) = 0,

стандартний вінерівський процес «ґ("0 і пуассонівська міра '(А,О взаємно незалежні, Ед(А,і)= я(АП, д(А,і) =

■ОСЛ.-О-вг(А)і. *■ _

В другому параграфі-аналогічний результат встановлдаий для випадкових полів з незалежними приростами, а в третьому - знай-іені оцінки швидкості збіжності нормованих, інтегралів від стаиіо-іарних процесів зі слабкою залежністю до стандартного вінерів-іького процесу в рівномірній метриці за ймовірністю. Розглянені іриклади застосування одержаних результатів.

Щоб охарактеризувати результати першої глави, наведемо одну і теорем. . •

Нехай - випадкове йоле з незалежними приростами

і [ і ■Ь ^

|ОЛ) = і $ Ьґи^УиГ^сіи, Лі!) + 5 і ^ в) д (сій 'СІсГ, сів),

е 5%о , -і * о , - двопараметричне вінерів-

ьке поле, і) (сЦс^оІе) - центрована пуассоні вська міра,

.0 1(<Ля)оИ1 сів) = 3:(Лв)сИісІі: . Тут $:(оІв) - деяка £ - скін-енна міра на ©- Я* ^ , иГ і -і) незалежні між со-

ою. .

Покладемо = , 0,+)є 13 - со.Зз * Со.ТЗ,

> о - малий параметр. •

Теорема 1.3. Припустимо, що виконуються умови:

) + ) » f(s.,l,9) обмежені ДЛЯ ВСІХ 5-^0 , і ,

б е <2) ;

) існув функція Ч>(«-> така, що гри г.*о чЧО-* °о \Ге.ч<(е)—- о,

- ч5(е) ^М- %£

^ і 1 ( & Ги.іГ) + 5 І 0І« СІіГ о у

° ° ©

) знайдеться о<йі» «*= таке, шо рівномірно за н • о,

4) Ч О.І0 - гауссівськє випадкове поле таке, шо 1 5/л ТАгі ^ </г_

ії(Аи,М,

*-* о о 0

де иГ(ь/і^ - вінерівське поле, шо задаяться, взагалі кажучи, на іншому ймовірністному просторі, ніж •

Тоді за можна побудувати випадкове поле ^6(*,-Ь)

що ив ті ж скінченновимірні розподіли, шо й. » таке що

р{ іи-р И (з,*)-* аі/їччо} «

-С,Д>Р(г) і.*4*44

З Є ( -( + Я і і С&Ч",1*) + і {1(иі9)3:(сІ&)) с/и Аі/) +

ос©1-

+ [ е j і С ЬЧ^.15)4 і |б)3:(с(е})с(кс/іг

*■ «> » ©

де С< , Сі , -Я - деякі додатні константи.

Лруга глава дисертації присвячена одержанню граничних теорем для нормованих відхилень розв'язків вихідної стохастичної сис-

• І •« її ■ •• і

теми з малим параметром від розв язку усередненої "детермінованої

• системи в криволінійних меяах. ,

В 52.1 одержана оцінка для ймовірності знаходження між двома межами йлуктуаш й розв 'язку СДР , .

°^£ ^ = 4 (іі + с/иТ(і)); ^£(о> =св, -і Є С о, % ),

відносно усередненого.

В 52.2 досліджується ймовірність знаходження в криволінійних межах іїиіуктуаиій розв'язку стохастичного гіперболічного рів. няння відносно усередненого рівняння. Знайдена оцінка швидкості

ііжності до граничного розподілу.

В §2.3 результати перших двох параграфів першої глави застосо-ні до дослідження поведінки в криволінійну межах випадкових юиесів і полів з незалежними приростами, що залежать від малого раметра та описують флуктуації в стохастичному принципі усеред-ння. Наведемо один з результатів нього параграфу.

Нехай випадкове поле в розв'язком рівняння

іДї) та її похідні до другого порядку включно вадовілшяють ову Лігшгаия по 2 ;

о а

= (Ь) = (оУ= 0,О#35^, ОЇІ 5^ ,

0,0*3 5 —

см2 6+т

вномірно по а. г і , і . .

Нехай Х0 (&Д) - розв'язок детермінованого диференціального вняння гіперболічного типу

Будемо такш припускати, що при г —о . "

» ^ ..

^ VI ^ а ^(и ,іГ^) " а" О^о (“>**))] Лисії/ |-**0

(М>Ь*0 'С. О О

оТ^т)1 сс^> # ’ о(х. («,і/))і ^і-о,

І “4 і { (— а.(и,ці) - (?(н)>с(исІіГ 1^ ,

V * 1 «г *' 1

Т">о , стала Кг не залежить від а- , ^ 1 у . ^ С^ЛХ

і.'ч.і - невипадкові функції такі, шо *т 'і ь о - ЗІс£м.о[«Х * А{і>

Б '

іі^сесх.си.тл^си.т)- *Аи,

т , .

іб<х.ат»и*,т)- «Л.,

&е Аік , к=і,<( _ константи.

Позначимо •

і І /

Л VI і/ь

+ 15 (Ь (іх,^) + I 11(и,*Г, 0)зь(сі9)) «г(с(и, сіу) .

• о © 1

'оді при £ -»- О

- Р11 ^ (5,4) < и (з,і), (*,-0 € т)} І

Знаходженню оцінки швидкості збіжності процесів усереднення стохастичних системах, підданих слабко залежним випадковим дітям* до певного гаусівського пронесу п криволінійних межах присвл-ений §2.4.

В третій главі дисертації одержані оцінки для ймовірності -іаходкення в криволінійних межах дифузійних процесів і поліп я ма-эю дифузією і процесів, піддаяих пвидксколивним випадковим діян-нм. Глава складаються з трьох параграфів.

Одержаний в §3.1 результат стверджуй: випадковий дифузійний зоиес то розв'лзком СДР з малою дифузіяю, з відомою

ловірністю, близькою до одиниці, знаходиться в випадковій криволі-:йній смузі, межі якої описуються деякими невипадковими Функціями, сладєними з певним гауссівським процесом . ~

Центральним результатом ?3 .1 в теорема 3.1. В * розглядаться випадковий процес (і') > в<° р> єдиним розв'язком СДР

сЦ£СЬ) = аС^^сЬ^оИ: * ^ сіїаЮ, і єсо,Ті,

і >о - малий параметр.

Відомо, то рля £ (-І) має місце розклад

^ 6. .

де ^С"0 і §, СО відповідно розв'язки рівнянь

= а-^І> » йо^= *>

= а.'*, а, (і:} Л± * оіига), ^(о^о,

тут а» (*,^в(О) = а,аьа>0е>|ж>^(іі.

Теорема 3 .1. Нехай І) ж) І * А 4 , І <*-^х (+, ДЛЯ ВСІХ X Є К 1 >

• Р) функція ■$(і) така, то f(o)=o , ^'(і)>о , ^ *(■{)> о . Тоді •

Р{- < •

< ‘ * + ^оС0 •*• У/ї £, №, о»-\:*Т}*

і +

' -‘■/і т -ілДн-гіа'хСї:(§в03)<ІГ Уг.

*< _ ±1— (-± \ ° *

.. \ZtSt -А». о

* "Ь

Т -гл, Т ■+ г і о-'сс. (У,

* екра іА1 /(£^ | { *60 Є . с№)\> о<*< -і

Цей результат застосований для одержання оцінки ймовірност

знаходження в криволінійних мечах пронесу, що описує: рівень запасів в сховищах.

В §3.2 знайдена оцінка ймовірності знаходження залишкового члена Я С*.{р розкладу дифузійного поля з малою дифузією в зростаючих криволінійних межах.

В §3.3 досліджена поведінка в криволінійних межах процесів, підданих П7ВИДКОКОЛИВНИМ випадковим діянням.

Основні результати надруклвано в роботах:

І. Воробьева И.Л. О вероятности нахождения решения стохастического дифференциального уравнения в криволинейных гранитах. Межвузовский научный сборник Марковские случайные процессы и их применения.

1908, изд-во Саратовского ун-та, с. 14-24.

2. Бондарев Б.В., Щурко И.Л. Диффузионная аппроксимация по вероятности случайных процессов с независимыми приращениями. ДАН УССР, сер .А, І9Є8» У9, с. 3-5.

3. І^рко И.Л. О вероятности -нахождения некоторых случайных процессов в подвижных криволинейных границах. Тезисы докладов V. Международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике, Вильнюс, 26 июня - I июля 1908 г., т.4,

с. 379-380. '

4. Бондарев Б.В., Воробьева И.Л. Сб усреднении в криволинейных границах стохастических-гиперболических систем. Украинский математический журнал. 1969, 41, Гб, с. 828-031.

5. Бондарев Б.в!, В'урко И.Л. О вероятности нахождения диїїфузионного

процесса с малой диффузией в случайных подвижных границах. Кибернетика. І9Р9, ГЗ, с. І20-І2І. ’

5. Бондарев Б.В., И'урко И.Л. Диффузионная аппроксимация по вероятности случайных полей с независимыми прирапениями. ДАН УССР, серД, 1990, Гб, с. 7-9.

7. Шурко 1! .Л. Сценка скорости сходимости в принципе инвариантности для некоторых сгашонарных процессов. Тезисы докладов вузов-'ской научной конференции профессорско-преподавательского состава по итогам научно-исследовательской работы: естественные науки, Донецк, ДонГУ, апрель 1993г., с. 1В.