Диффузное рассеяние рентгеновских лучей в кристаллах с квантовыми точками тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Сивков Данил Викторович

Диффузное рассеяние рентгеновских лучей в кристаллах с квантовыми точками

Специальность 01.04.07 — физика конденсированного состояния

Автореферат

.. 2 3 СЕН 2015

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Сыктывкар — 2015

005562561

005562561

Работа выполнена в Отделе математики Федерального государственного бюджетного учреждения науки Коми научного центра Уральского отделения РАН

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Пунегов Василий Ильич

доктор физико-математических наук, Орешко Алексей Павлович кандидат физико-математических наук Смирнова Ирина Алексеевна

Федеральное государственное бюджетное учреждение высшего профессионального образования и науки Санкт-Петербургский Академический университет - научно-образовательный центр нанотехнологий РАН

Защита состоится « 2015 г. в часов на заседании дис-

сертационного совета Д 501.002.01 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 110001, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, д. 1, АУДИТОРИЯ Ю<РА

С диссертацией можно ознакомиться в Отделе диссертаций Научной библиотеки МГУ имени М.В. Ломоносова (Ломоносовский проспект, д. 27).

Автореферат разослан « ^ » 2015 года.

Ученый секретарь , . V " ' ' диссертационного совета Д 501.002.01

кандидат физико-математических наук Лаптинская Т.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Среди наноструктурированных материалов упорядоченные массивы квантовых точек (КТ), сформированных в объеме другого полупроводника, привлекают особое внимание и имеют широкий спектр применений в нано- и оптоэлектронике. Эффективность работы приборов на основе гетеросистем с КТ зависит от степени однородности наноструктур, их размеров и пространственной корреляции.

При создании полупроводниковых приборов, содержащих КТ, неизбежны локальные упругие деформации кристаллической решетки под воздействием напряжений на границе КТ/среда основной матрицы, что существенным образом влияет на физические свойства наноструктурированных материалов и границы их применимости. Эти деформации тесно связаны со структурой одиночных КТ, а также степенью их упорядоченности в кристалле. Вследствие этого анализ структурных особенностей самоорганизованных ансамблей КТ требует разработки методов расчета полей деформации в объеме основной матрицы, теоретического рассмотрения механизмов их пространственного распределения, а также построения моделей КТ с учетом композиционного состава и степени неоднородности. Несмотря на малый размер КТ, формируемые ими упругие поля деформаций кристаллической решетки можно эффективно рассчитывать в рамках формализма классической теории упругости. К сожалению, часто используемые методы атомно-силовой микроскопии, сканирующей туннельной микроскопии,просвечивающей электронной микроскопии являются локальными и охватывают существенно малую часть образца. Кроме того, эти методы являются разрушаемыми, т.к. требуют изготовления сколов исследуемой матрицы.

Эффективным неразрушающим методом исследования наноразмер-ных кристаллических структур является метод высокоразрешающей рентгеновской дифракции (РД). Применение аппаратуры с высоким угловым разрешением, а также использование новых методов регистрации рентгеновского излучения делают высокоразрешающую РД одним из самых перспективных и информативных методов исследования нанообъектов. Ее отличительной особенностью является экспрессность измерений, отсутствие необходимости специальной подготовки образца, высокая прецизионность в определении параметров кристаллической структуры. Однако РД также имеет свои недостатки. Этот метод является непрямым, требует построения теории и проведения численного моделирования. В силу известной фазовой проблемы метод может давать неоднозначные результаты.

Поскольку КТ в кристаллической среде играют роль структурных дефектов, то наряду с когерентной дифракцией неизбежно возникает диффузное рассеяние. Метод трехкристальной дифрактометрии в какой-то степени дает возможность разделить вклад когерентного и диффузного рассеяния. Результаты измерения этим методом представляются в виде карт углового распределения интенсивности рассеяния в обратном пространстве (reciprocal space mapping - R.SM). К сожалению, одно лишь когерентное рассеяние не дает информацию о КТ. Только анализ полного рассеяния, включая когерентную и диффузную составляющие, позволяет получать информацию о распределении полей упругих деформаций, форме, композиции и размерах КТ, взаимной пространственной корреляции наночастиц в основной матрице.

К настоящему моменту не существует общего подхода к исследованию диффузного рассеяния от полупроводниковых систем со скрытыми КТ разной формы с учетом упругих деформаций. Следовательно, анализ углового распределения интенсивности диффузного рассеяния в кристаллах с КТ, позволяющий получать информацию о структурных характеристиках КТ, является актуальной проблемой.

Целью настоящей диссертационной работы является развитие теории диффузного рассеяния рентгеновских лучей от кристаллической среды с массивом КТ с учетом как структурных параметров самих КТ, так и их пространственного расположения в рамках статистической теории дифракции.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Разработаны теоретические подходы для определения атомных смещений от КТ в кристаллах с последующим вычислением диффузного рассеяния рентгеновского излучения от таких наноструктурированных сред.

2. Исследовано влияние соседних КТ на характер распределения упругих деформаций от КТ в кристаллической матрице и проведен анализ диффузного рассеяния в зависимости от расстояний между соседними КТ.

3. Рассчитано влияние вертикальной и латеральной корреляции на. распределение интенсивности диффузного рассеяння от массива КТ.

4. Разработан пакет программ, позволяющий проводить моделирование интенсивности диффузного рассеяния в зависимости от параметров и структурных характеристик их расположения в основной матрице.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Теория диффузного рассеяния от полупроводниковых структур со сфероидальными КТ в рамках метода мультиполыюго разложения упругих атомных смещений.

2. Теория днффузного рассеяния от систем с массивами КТ с использованием метода функции Грина для расчета упругих деформаций.

3. Численное моделирование углового распределения интенсивности диффузного рассеяния в обратном пространстве от полупроводниковых структур с КТ в форме сфероида, цилиндра, усеченного конуса и усеченной пирамиды.

4. Анализ диффузного рассеяния от КТ разной формы с учетом пространственной корреляции в их расположении.

Научная новизна

1. Разработан метод расчета полей упругих атомных смещений от КТ сфероидальной формы с использованием аналогии между задачами теории упругости и электростатики. Впервые получено аналитическое выражение для расчета интенсивности диффузного рассеяния рентгеновских лучей в виде мультиполыюго разложения.

2. С использованием функции Грина разработан метод расчета полей упругих атомных смещений от КТ, имеющих форму сфероида, цилиндра, усеченного конуса и усеченной пирамиды в кубическом кристалле. Впервые показано влияние размеров, пространственной корреляции КТ, а также рассогласования параметров решетки КТ/матрица на характер диффузного рассеяния.

3. Проведено сравнение разработанных методов расчета полей упругих атомных смещений для КТ сфероидальной формы. Показано, что, несмотря на принципиальные различия, оба подхода дают совпадающие результаты.

4. Проведен количественный анализ структурных характеристик сверхрешетки 1пСаА.ч/СаАн с КТ 1пАн на основе углового распределения диффузного рассеяния вблизи узла обратной решетки (004) с учетом пространственной корреляции КТ. Определены параметры исследуемой структуры (средний размер КТ, среднее расстояние между КТ в вертикальном направлении и латеральной плоскости, рассогласование решетки КТ/матрица, латеральный и вертикальный порядок в расположении КТ в сверхрешетке).

Практическая значимость

Результаты диссертации могут быть использованы для неразрушаю-щего количественного анализа полупроводниковых структур с КТ. Такой анализ позволяет получать информацию о форме, размерах, объемной и поверхностной плотности КТ, а также их пространственной корреляции.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на: XIII Международном симпозиуме «Нанофизика и наноэлектроника» (Россия, Н. Новгород, 2009), рабочем совещании «Рентгеновская оптика - 2010» (Россия, Черноголовка, 2010), V Международном научном семинаре «Современные методы анализа дифракционных данных» (Россия, Великий Новгород, 2011), The Youth International Scliool-Conference "Modem Methods of Diffraction Data Analysis and Topical Problems of X-ray Optics» (Россия, Санкт-Петербург, 2012), XVII Международном симпозиуме «Нанофизика и наноэлектроника» (Россия, Н. Новгород, 2013), VI Международном научном семинаре «Современные методы анализа дифракционных данных» (Россия, Великий Новгород, 2013), Международной балтийской школе по физике твердого тела (Россия, Калининград, 2013), конференции «Рентгеновская оптика-2014» (Россия, Черноголовка, 2014), а также семинарах отдела математики Коми научного центра Уральского отделения РАН.

Диссертационная работа была выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (проекты №10-02-00445-а, №12-02-00088-а, №13-02-00272-а и №14-02-31778), программы Президиума РАН 12-П-1-1014 и программы фундаментальных исследований УрО РАН 12-У-1-1010.

Личный вклад

Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в проделанную работу. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Публикации

Материалы диссертации опубликованы в 15 печатных изданиях, 5 из которых представлены в журналах, рекомендованных ВАК, 8 — в тезисах докладов.

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Полный объем диссертации - 145 страниц текста с 38 рисунками. Список литературы содержит 153 наименования.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, определена её цель, сформулированы научная новизна и практическая значимость, выдвинуты защищаемые положения. Представлена структура диссертации, дано краткое описание ее разделов.

Первая глава посвящена обзору литературы по проблеме исследования кристаллов с КТ методами РД. Обзорная глава состоит из четырех разделов.

В разделе 1.1 дано понятие КТ, подробно рассмотрены особенности формирования КТ и влияние различных факторов на их рост, определены критические условия, необходимые для эффективной работы устройств на основе КТ, дается обоснование эффективности использования метода РД для анализа структур с КТ.

В разделе 1.2 проанализированы подходы к расчету упругих деформаций в кристалле, содержащем КТ. На примере метода конечных элементов и метода функции Грина рассмотрены два подхода (континуальный и атомистический) к расчету упругих деформаций и в представлении кристалла как сплошной среды. Показана эффективность применения формализма метода функции Грина для расчета упругих деформаций, возникающих в кристалле с большим массивом КТ.

В разделе 1.3 освещены разные подходы к проблеме когерентного и диффузного рассеяния в кристалле с дефектами, включая формализмы Дедерикса-Кривоглаза и статистической динамической теории Като.

В разделе 1.4 рассмотрена теория рентгеновской дифракции в кристаллах с дефектами применительно к методу трехосевой рентгеновской дифракции. Проанализировано распределение интенсивности рассеяния в обратном пространстве.

Вторая глава содержит исследование диффузного рассеяния рентгеновских лучей (РЛ) в кристалле с КТ сфероидальной формы.

В разделе 2.1 описан подход к расчету поля упругих смещений от некоррелированных сфероидальных КТ в кристалле с использованием аналогии между задачами электростатики и теории упругости [1]. В рассмотрение вводится распределение упругих деформаций, аналогичное потенциалу однородно заряженного включения [2], зависящее от рассогласования решеток матрицы и КТ. Поле упругих смещений от КТ определяется как градиент указанного потенциала. Для его вычисления используется метод разложения по мультиполям. Получено общее выражение для вектора смещений в виде

. г

Н,р(/2 У

•Д

V—----- _____—"1 X

-Н„У2

Рис. 1. Схематическое изображение сфероидальной КТ. - радиус сфероида, Н1рН/2 - высота сфероида

Рис. 2. Модель паяя атомных смещений от КТ

<5и(г) = ^ип(г): в котором каждое из слагаемых выражается как

<5и„(г) = Л(п+ 1)

гР„(соз0)

гп+3

[ г'пРп{соъв')<1г', (1)

где Рп{соъв) - полиномы Лежандра первого рода степени п, интегрирование ведется по объему КТ.

Рассматриваемая модель КТ (рис. 1) в форме сфероида (эллипсоида вращения) имеет параметры: Нбрь - вертикальная эллиптическая ось, Я5рЛ -горизонтальный радиус (2Я^л - латеральная эллиптическая ось). В ра.мках данной модели получено аналитическое выражение для компонент вектора упругих смещений (1). Показано, что в полученном разложении вектора смещения (5и(г) вклад дают только слагаемые с четными номерами п. В результате получено общее выражение для ненулевых компонент <5ит:

<5ит = СтУзр1гА ((Я8рЛ/2)2 - Я%11)тР2т(созв)

г2т+3'

где т = п/2. (2)

Здесь Ст - константы, вычисляемые отдельно для каждого слагаемого.

Для того, чтобы учесть влияние соседних КТ на атомное смещение, аналогично [3] введено понятие нулевой границы смещений Яо(#), представляющее расстояние от центра КТ, на котором величина упругого смещения спадает до нуля (рис. 2). В итоге выражение (2) преобразуется к виду

6и1™ = СтУ,ркА ((Я,рЛ/2)2 - Р2т{соз в)

1

~2 т 'О

1%т+3{6)\

_2т+3

1 -

Щт+3{0)\

г

(3)

где го(0) - задает поверхность КТ. С учетом симметрии в расположении КТ предложено использовать следующие граничные условия: величина проекции вектора смещения на радиальный вектор г равна нулю на границе

прямоугольного параллелепипеда вокруг КТ. Размер параллелепипеда равен расстоянию между КТ в соответствующих направлениях (<1х^у,(12). Для поля упругих смещений, спадающего до нуля на бесконечности (Г1о(в) —> оо (рис. 2)), выражение (3) преобразуется в формулу (2).

В разделе 2.2 представлено аналитическое решение для диффузного рассеяния в кристалле с однородно распределенными КТ сфероидальной формы. Интенсивность некогерентного рассеяния с точностью до постоянного коэффициента определяется как 1(с[) = где £>(я) - амплитуда диффузного рассеяния, представленная в виде суммы:

оо

0(ч) = Оз и-(Ч) + Оя (Ч) + £ £>т(я). (4)

ТП — 1

Здесь Дуи^я) - амплитуда рассеяния Стокса-Вильсона без учета упругих деформаций. Имеется аналогия с Фурье-образом характеристической функции сфероидальной КТ. Амплитуда хуанговского рассеяния имеет вид

ЛЯ(Ч) = />ехр [щН (1 + - 1]

(5)

В (4) под знаком суммы стоят мультипольные компоненты (2т - степень мультиполя) амплитуды рассеяния От(ц), которые могут быть записаны как

Ап(ч) = {-1)т+12пСтУ>рН\ ((Я,рА/2)2 - д?рл)тьд?2т-2фт((?,/г5г,л,я8р,),

(6)

где ^

Фт(9, Нзрк) = I йхР2т(ф2те-,ЯГо(-х)х/т^г0(х)х). (7)

Здесь /т(гдго(х)х) представляет собой рекуррентную функцию вида

Мх) = ^Т + + /-.-!('))) (8)

с начальным элементом /\{х) = 1/х + Е\(—х), где Е^-х) - интегральная показательная функция.

В разделе 2.3 приводятся результаты расчетов карт распределения интенсивности диффузного рассеяния в обратном пространстве. Рассмотрено влияние членов мультииольного разложения на угловое распределение диффузного рассеяния. На рис. 3 показан последовательный учет слагаемых в решении (4), которые определяются выражениями (5) - (8). Следует отметить, что характерный вид карты распределения интенсивности диффузного рассеяния от сфероидальной КТ в значительной части определяется вторым слагаемым £>я(ч) (рис. 3 Ь). Показано, что чем меньше отношение Яврь/(Н$р/1/2)

(т.е. чем ближе форма сфероида к сферической), тем меньше влияния оказывают слагаемые с большим т. В частности, при Я^лДЯ^д/2) = 1/2 амплитуда -ОгСч), зависящая от компоненты ¿щ, слабо влияет на вид распределения интенсивности диффузного рассеяния в обратном пространстве.

Рис. 3. Влияние членов мультиполыюго разложения на распределение интенсивности диффузного рассеяния от кристаллической среды с КТ в форме сфероида (Я^н = 20 нм, Я^ж = 10 нм). а) рассеяние Стокса-Вильсона 1{ц) = |Х>51у(а)|2; Ь) 1(ц) = + £>я(ч)|2; сг) /(я) =

\Dswiq) + + О^я)!2; а) = + £>я(ч) + + ¿Ыч)!2; Изодиффузнъге кон-

туры представлены в логарифмическом масштабе, отношение интенсивностей между соседними линиями равно 0.2.

В третьей главе метод функции Грина и модель кристаллической среды с периодически распределенными КТ в трех направлениях использованы для расчета поля упругих смещений от массива скрытых КТ без учета пространственной корреляции [4]. Получены решения для расчета интенсивностей диффузного рассеяния.

В разделе 3.1 представлен вывод основных уравнений для расчета ноля упругих смещений от массива скрытых некоррелированных КТ. В качестве первого приближения в работе предполагается, что тензор Грина для материала матрицы и квантовой точки (КТ) совпадает.

Поскольку задача вычисления упругих деформаций является линейной, то решением для массива КТ будет суперпозиция полей смещений отдельных КТ. Для массива КТ должно выполняться условие минимума упругой энергии, что эквивалентно условию, при котором тензор напряжений, усредненный по элементарной ячейке, равен нулю = 0).

Тензор деформации массива КТ етт представляется в виде трехмерного ряда Фурье [4]:

■ £ (9)

где го(9) - задает поверхность КТ, Rç>{9) - нулевая граница поля смещений, VL = dxdydz, dx, dy, dz - расстояния между КТ для соответствующих направлений, суммирование производится по всем значениям пх, пу, nz, за исключением случая, когда пх = пу = nz = 0.

Выражение для преобразования Фурье тензора деформации отдельной КТ внутри кубического кристалла имеет вид

^r(Î) = «о Х<?о(€)

х {Сп+2Сп){Сие/ег+Сапу

(10)

1 +- (Ci2 + Си) £р=1 сПсчсЛ!

где с0 - деформация несоответствия кристаллической решетки основной матрицы и квантовой точки, Xqd(€) ~ Фурье-образ характеристической функции КТ.

Проекция поля упругих смещений на выделенное направление является результатом интегрирования тензора деформаций (9)

(Г fRoW)

Ur(г)= / err(r')dr' + Uro, где Ur0 = - erT(r')dr'. (11)

J 0 J r0(<4.6>)

Здесь Urо - начальное смещение на поверхностной границе квантовой точки и основной матрицы.

С учетом (9) и (11) окончательное выражение для проекции поля упругих смещений на г имеет вид

= f £ ^(О^^^ + С/кь (12)

П1уПу,Т1г

где e;!r(fn) задается соотношением (10).

В разделе 3.2 представлен вывод общего выражения для амплитуды диффузного рассеяния от кристаллической среды с массивом КТ

hn Г2" Г гЫФ-в)

DoutQDiЧ) = ~г— d(j> / йвsin 0cos 6» / drr2Ur{cf>, в, r)ei<lTcas0. 4 Jo Jo Jr0(4>,e)

В разделе 3.3 представлены выводы аналитических выражений для Фурье-преобразований характеристической функции КТ разной формы.

В разделе 3.4 показаны результаты численного моделирования диффузного рассеяния от кристаллических структур с некоррелированными КТ. Расчеты упругих деформаций вокруг КТ выполнены с использованием метода функции Грина. Проведено численное моделирование полей атомных смещений КТ и углового распределения интенсивности диффузного рассеяния в обратном пространстве в зависимости от концентрации КТ. Расчеты проводились для КТ, имеющих форму сфероида, цилиндра, усеченного конуса и усеченной пирамиды с квадратным основанием.

Моделирование диффузного рассеяния выполнено для симметричного отражения (004) СиК„ - излучения. Карты распределения интенсивности рассеяния представлены в логарифмическом масштабе, отношение значений интенсивности между соседними контурами равно 0.38. Карты распределения упругих смещений показаЕ1ы в линейном масштабе, значение смещений между соседними линиями составляет 10~3 нм. Высота для сфероидальных КТ равна Я5р/, = 5 нм, латеральный диаметр 2Д8рЛ = 20 нм. Для других моделей КТ параметры, задающие вертикальные и латеральные размеры, определяются таким образом, чтобы они были оптимально вписаны в вышеуказанный сфероид с учетом равенства объемов. Согласно этому выбраны вертикальные Нсе1 = НсоП = #руг = 4.37 нм и латеральные размеры 2Ясе; = 17.47 нм, 27?! = 14.15 нм, 2Я2 = 22.89 нм, Аг = 7.46 нм, А2 = 16.2 нм. Здесь нижний индекс указывает на форму КТ; Яь Я2 - радиусы верхнего и нижнего оснований усеченного конуса; Ах, А2 - длины сторон верхнего и нижнего оснований усеченной пирамиды. На рисунках для моделей КТ в форме усеченного конуса и усеченной пирамиды углы а между боковой стороной (образующей) и основанием равны и составляют 45 угловых градусов.

Карты распределения поля упругих смещений и интенсивности диффузного рассеяния в случае малой и высокой объемной плотности КТ в кристаллической матрице представлены на рис. 4. Пространственное изменение деформаций сказывается на поведении изодиффузных линий. Атомные смещения вблизи поверхности КТ оказывают влияние на формирование распределения интенсивности диффузного рассеяния вдали от узла обратной решетки. В частности, контуры равной интенсивности диффузного рассеяния от кристалла с конусообразными КТ имеют характерный наклон, связанный с величиной угла а (рис. 4 Ь, с).

Распределение КТ большой объемной плотности (вертикальное расстояние между КТ - 20 нм, расстояние между КТ в латеральном направлении - 30 нм) характерно для наноструктурированных сверхрешеток. В этом

Рис. 4. Двумерные карты распределения упругих смещений (вверху) и интенсивности диффузного рассеяния (внизу) от кристаллической матрицы СаА5 с КТ 1п0аАй в форме цилиндра (а) и усеченного конуса (Ь, с). Среднее расстояние между соседними КТ в вертикальном и латеральном направлении - (а, Ь) 250 им, (с) 20 нм и 30 нм соответственно. Рассогласование решеток КТ и матрицы £о = 0.003.

случае поля упругих атомных смещений быстро затухают с расстоянием. Следовательно, форма КТ слабо влияет на угловое распределение диффузного рассеяния (рис. 4). Поэтому основным фактором при анализе диффузного рассеяния от сверхрешеток с КТ является отношение высоты КТ к ее латеральному размеру. Несмотря на то, что различия в угловом распределении диффузного рассеяния, связанные с формой КТ, существуют (рис. 4), эти различия малозаметны при учете флуктуации размеров КТ и их пространственной корреляции.

Угловое распределение интенсивности диффузного рассеяния от кристалла с пирамидальными КТ зависит от ориентации наноструктур относительно плоскости дифракции. На рис. 5 показаны два случая положения плоскости дифракции относительно конфигурации КТ для азимутальных углов в 45 (а) и О (Ь) угловых градусов. Ниже представлены поля упругих смещений (рис. 5 с, с1) для случая высокой объемной плотности КТ в кристаллической матрице. Соответствующие карты распределения диффузного рассеяния изображены на рис. 5 е, £

Поведение упругих деформаций, а следовательно, и угловое распределение интенсивности диффузного рассеяния сильно зависит от несоответствия параметров решетки КТ и кристаллической матрицы. Для относительно больших рассогласований параметров решетки (вд1' = 0.016) су-

Рис. 5. Ориентация плоскости дифракции (показана серым цветом) относительно конфигурации КТ (а, Ь) и соответствующие двумерные карты упругих деформаций (с, с!) и углового распределения диффузного рассеяния (е, (). Среднее расстояние между соседними КТ в вертикальном направлении - 20 нм, в латеральном направлении - 30 нм. Рассогласование решеток КТ и матрицы £о — 0.003.

-15 0 15

X, нм

0

нм

Рис. 6. Двумерные карты распределения диффузного рассеяния от сверхрешетки [пА^/ЧпСаЛь с некоррелированными КТ 1пАэ в форме цилиндра (а) и усеченного конуса (Ь). Среднее расстояние между соседними КТ в вертикальном направлении - 20 нм, в латеральном направлении - 30 нм. Рассогласование решеток КТ и матрицы Ео = 0.016.

щественным становится вклад хуанговского рассеяния, что подтверждается проявлением «нулевой линии» при = 0 на картах диффузного рассеяния (рис. 6). Для слабых деформаций (ер2' = 0.003) преобладает рассеяние Стокса-Вильсона, обусловленное формой КТ, при этом четкость «нулевой линии» пропадает (рис. 4; 5 е, £ 7 с, с1) Отметим, что в случае больших рассогласований параметров влияние формы КТ на диффузное рассеяние менее выражено (рис. 6).

Таким образом, в методе высокоразрешающей рентгеновской дифрак-тометрии при анализе диффузного рассеяния от сверхрешеток с КТ достаточно использовать более простую для численных расчетов модель квантовых точек. Предпочтительной является модель сфероидальных КТ.

В разделе 3.5 представлен сравнительный анализ распределения интенсивности диффузного рассеяния от массива сфероидальных КТ в рамках двух независимых подходов - метода разложения по мультиполям и метода функции Грина.

10

I 0

N -10

2

* 0 -2

Рис. 7. Двумерные карты распределения упругих смещений (а, Ь) и интенсивности диффузного рассеяния (с, с!) от кристаллической матрицы ваАв с КТ ГпСаАв в форме сфероида, рассчитанные при помощи метода функции Грина (а, с) и аналитического метода (Ь. с!). Среднее расстояние между соседними КТ в вертикальном и латеральном направлении составляет 20 нм и 30 нм соответственно. Рассогласование решеток КТ и матрицы = 0.003.

д нм

д . нм

Характерные размеры КТ: высота Н8р/1 — 5 нм, радиус = 10 нм. Расчеты поля упругих смещений от КТ производились с учетом влияния соседних КТ. Обнаружено, что, во-первых, при уменьшении расстояния между КТ интенсивность двух главных максимумов уменьшается и они «размываются» (рис. 7 с, й). Во-вторых, для значительно удаленных друг от друга КТ вид граничных условий для поля упругих смещений не влияет на характер диффузного рассеяния, однако для близко расположенных в массиве КТ карты существенно отличаются. Эти утверждения справедливы для обоих методов.

Из данных распределения упругих полей смещений от КТ (рис. 7 а, Ь) видно, что поведение вблизи границы КТ для метода функции Грина и аналитического подхода различается. Можно сделать вывод о том, что область равномерного спада вдали от границы КТ и форма остова КТ вносят основной вклад в характер карт распределения интенсивности диффузного рассеяния.

В обратном пространстве область изодифузных линий в центре карты зависит от упругих деформаций максимально удаленных от центра КТ. Для случая, когда используется функция Грина, на картах диффузного рассеяния центральный пик имеет меньшую интенсивность из-за влияния соседних КТ (рис. 8 а). Наличие более интенсивного диффузного максимума на картах, полученных при помощи метода разложения по мультиполям, обусловлено учетом влияния упругих полей смещений от соседних КТ через задание нулевой границы смещения.

Карты углового распределения интенсивности рассеяния, полученные обоими методами, хорошо согласуются между собой для различных значений рассогласования параметров решеток КТ и матрицы.

В четвертой главе рассмотрены методы, позволяющие учитывать пространственную корреляцию в распределении КТ. Известно, что взаимное расположение КТ влияет на угловое распределение диффузного рассеяния. Для описания этого факта вводится понятие интерференционного структурного фактора, однозначно связанного с пространственной корреляцией в расположении КТ. Структурный фактор определяется как Фурье-преобразование функции пространственного распределения КТ:

Функция пространственного распределения КТ IV(р) записывается в виде произведения IУ(р) = Шь(рх, Ру)Шу(рг), где Игь{Рх,Ру) описывает латеральное и У/у{рг) - вертикальное распределение КТ. Выражение для интенсивности диффузного рассеяния в кристалле с КТ с учетом их пространственного

16

(1р\У (р) ехр(щр).

(14)

Рис. 8. Сечения углового распределения интенсивности диффузного рассеяния в обратном пространстве вдоль оси <7г при дх = О для карт распределения интенсивности диффузного рассеяния от кристаллической матрицы ваАэ с КТ 1пСаЛз в форме сфероида, рассчитанные при помощи метода функции Грина (пунктирная линия) и аналитического метода (сплошная линия). Среднее расстояние между соседними КТ в вертикальном и латеральном направлении - (а) 250 нм, (Ь) 20 нм и 30 им соответственно. Рассогласование решеток КТ и матрицы м; - 0.003.

распределения с точностью до постоянного коэффициента имеет вид

/со

<1Яу\0(Ч)\2Еь(дх,ду). (15)

■ос

Здесь (¡у) и - интерференционные структурные факторы лате-

рально и вертикально упорядоченных КТ. Они определяются через Фурье-преобразования соответствующих функций пространственного распределения (14).

В разделе 4.1 рассмотрена паракристаллическая модель для описания латерального распределения КТ. Вводится функция \У1(рх,ру), характеризующая ближний структурный порядок в расположении КТ в ростовой плоскости [5|. Для двух выбраных направлений расположения КТ в латеральной плоскости (х, у) с базисными векторами а и Ь задается функция расположения первых соседей Н^(рх, ру). Степень размытия этой функции ставится в соответствие со степенью латерального разупорядочения в расположении квантовых точек. Выражение, описывающее распределение сосе-

дей, например с номером т, имеет вид последовательной свертки функции

При конечном числе квантовых точек функции Н^(рх, ру) должны быть нормированы к (Л^ь — т), так как вес пиков \Уь(рх, ру) уменьшается с ростом |т|, где Л^ь - число КТ в соответствующем направлении. Полное латеральное распределение КТ описывается сверткой функций распределения для направлений а и Ь: \¥ь(рх,ру) = ^Црх,ру) ® 1^1(рх, ру).

В результате выражение для интерференционного структурного фактора в силу известной теоремы о свертке имеет вид ^¿(с/х, (¡у) = Ра{Чх, (1у)П{<1х, <],,), где ду) - структурные факторы разных направле-

ний представляют собой двумерное Фурье-преобразование соответствующих функций №£Ь(рх,ру).

В разделе 4.2 рассмотрено влияние вертикальной корреляции квантовых точек на угловое распределение диффузного рассеяния. В результате последовательного осаждения смачивающих и разделяющих слоев формируется сверхрешетка (СР) с массивом КТ, имеющих трансляционную упорядоченность в вертикальном направлении, совпадающую с периодом СР [б]. Для описания вертикальной корреляции КТ вводится периодическая функция ш(г) = и)(г + Функция со(г) задает вероятность расположения КТ в точке Положение другой КТ в точке г', сдвинутой строго в вертикальном направлении на расстояние рг = г — г', описывается функцией ш(г'). Тогда по определению вертикальная корреляционная функция \Уу{рг) может быть представлена в виде свертки - рг) = <1г'ш(г')ш(г' + р2).

Интерференционный фактор вертикально коррелированных КТ Ру{<1г) представляет собой Фурье-преобразование функции вертикального распределения КТ И7у(/3г), в котором необходимо ограничиться пределами интегрирования (—/„,/„), где /„ = п1$ь - корреляционная длина (толщина стекирования), п - число вертикально упорядоченных КТ. Поскольку в СР с самоорганизованными КТ толщина стекирования соседних вертикальных колонок из КТ может отличаться, то для описания диффузного рассеяния используется статистически усредненная корреляционная длина !,, =< п1зь >■ Выражение для интерференционного структурного фактора вдоль вертикального направления 2 в виде ряда по п представлено в работе [6].

Сверхструктурные максимумы диффузного рассеяния от СР с вертикально совмещенными КТ формируются вблизи узла обратной решетки при значениях д^1 = пК5ь = 2жп/13ь, где п = 0, ±1, ±2, указывает на порядковый номер диффузного сателлита. Интенсивности диффузных максимумов зависят от статистического распределения центров КТ. Ширины диффузных

сателлитов в обратном пространстве вдоль вертикального направления зависят от корреляционной длины

В разделе 4.3 проведено численное моделирование рентгеновской дифракции на сверхрешетке СаАз(001)-А1 СаЛз-{1пЛэ (ЗБз-СаАз^озь- Результаты расчетов сравниваются с экспериментальными данными.

Исследуемая кристаллическая структура, содержащая КТ, была выращена на подложке ваАв (001) с буферным слоем СаАн толщиной 300 нм, покрытым слоем Alo.3Gao.7As толщиной порядка 2 мкм и слоем волновода СаАэ толщиной 240 нм. СР представляет собой многослойную структуру из слоев ЫСаАэ, содержащих КТ 1пАэ толщиной 5 нм, разделенных слоями СаАэ толщиной 15 нм, и имеет 20 периодов. СР покрыта волноводцым слоем СаАэ (240.1™), далее - слоем А1о.?,Саа:7Ай тоящиноГг450 нм-.

Данные по рассеянию рентгеновских лучей получены на. высако-разрешающем рентгеновском трехкристалыюм дифрактометре Х'Рег1 МЯО (РАКа1у1юа1) с многослойным фокусирующим зеркалом, Се(011) монохрома-тором бартелевского типа и трехкратным Се(011) анализатором. Были измерены кривые качания для максимумов главных дифракционных пиков, от подложки СаАэ и слоя А1СаАй, а также-пиков СР (:'05£", ''±1ЯЬ" и др.) в режиме дх сканирования и сформирошша карта иптигсивности рассеяния в обратном пространстве (<7х//г) вблизи: отражения: (004) для (Т-поляризовапного СиКа 1 - излучения. Угол Брэгга для выбранного отражения составляет 33.026 угл. град., межплоскостное расстояние подложки <¿004 = 14133 А.

Для расчетов использована модель КТ сфероидальной формы (в рамках мультшюлыюго формализма (4) — (8))-Эта модель (1) имеет аналитическое решение; (и) учитывает влияние упругих деформаций вблизи границы КТ; (ш) в процессе численного моделирования легко варьируются основные параметры КТ; (пг) наиболее проста для статистического усреднения по размерам КТ.

Для учета флуктуаций размеров КТ применялось логарифмическое нормальное распределение.

Анализ структурных характеристик СР с КТ выполнен с использованием процедуры минимизации функционала невязки

где 1ехр{Ях г) - экспериментально измеренная интенсивность, 1с,Лг{(1х х) " теоретическая полная интенсивность рассеяния. 5 - число точек в обратном пространстве. В рассматриваемом случае 5 = 50 для (¡^-направления и Б = 460 для (^-направления. Минимизация функционала невязки была выполнена

19

2

(16)

—*— ехрептеги --са1си|а!юл

для всех сечений пиков СР (рис. 9). Расхождение между расчетными и экспериментальными кривыми составило не более 5%.

Рис. 9. Экспериментальные (тонкая линия с точками) и теоретические (сплошная жирная линия) сечения углового распределения интенсивности вдоль для 0 (а), -1 (Ь), +1 (с) дифракционных пиков СР СаА5(001)-А1 СаАз-{1пА5 (ЗОй-СаАз},^!..

На рис. 10 приведены расчетная и экспериментальная кривые дифракционного отражения от СР СаАз(001)-А1 СаАз-{1пАз (ЗОв-СаАз}^!. для дг - сечений.

1Е-6 -1—,— -1500

-1000

—I— 1000

АЮаАэ О

СаАэ + 1

Рис. 10. теоретическое (сплошная жирная линия) и измеренное экспериментально (тонкая линия с точками) - сечения углового распределения интенсивности рассеяния от СР СаАз(001)-АЮаАз-ЫАэ <ЗОа-СаАзх20 ЭЬ вблизи узла обратной решетки СаАэ (004).

В процессе вычислений определены следующие структурные параметры: толщина слоя /rio.nGao.89As 11пСаАз = 5.2 нм, толщина слоя СаАв ЬаАз = 14.8 нм, рассогласование параметров решетки Ас! = ¿1пСаА8 -с!СаАз = 2.2 х 10~6, деформация 6с!/с!саАв = 0.016, статический фактор Дебая-Валлера слоя с КТ /<зд = ехр{-сдоУао) = 0.85, где Удо = (Зтг/2)Д^лЯ»рЛ = 1.6 х 10~6^т3 - объем КТ, Я8рЛ = 12.5 нм - латеральный радиус КТ; Н$рк = 5

20

нм - высота КТ, = 0.95 - статический фактор Дебая-Валлера для подложки и слоя АЮаАз. Среднее расстояния между центрами соседних КТ в слое а = 65 нм.

Функция распределения КТ \У(рх) для а = 65 нм и дисперсии Да = 0.45а = 29 нм представлена на рис. 11 (а). Интерференционный структурный фактор р1(Ях) = f соответствующий этой функции, показан на

рис. 11 (Ь).

(а) (Ь)

Рис. 11. (а) - функция латеральнит распределения КТ \У(рх) (без учета центрального <5 - вид-нот пика); (Ь) - соответствующий ей интерференционный структурный фактор Среднее

расстояния между центрами соседних КТ в слое а = 65 нм, дисперсия БДа = 29 нм.

Поскольку величина периода СР ^ь была технологически задана в процессе роста и составляет 20 нм, вертикальная корреляция описывается в рамках модели дальнего порядка. В ходе расчетов установлено, что вертикальная корреляционная длина. = 140 нм. Это означает, что когерентный рост массива КТ выдержан не по всей толщине СР и среднее число КТ в стеке п = 7.

Угловое распределение диффузного рассеяния от СР с учетом латеральной и вертикальной корреляции показано на рис. 12 Ь.

Для более точного количественного анализа экспериментальных данных в рамках выбранной модели учитывалось влияние инструментальной функции. Расчетная инструментальная функция дифрактометра показана на рис. 12 с.

На рис. 13 представлены экспериментальная и расчетная карты распределения интенсивности рассеяния вблизи узла обратной решетки СаАэ (004) от СР СаАэ(001)-А1 СаАз-{1пАз дБз-СаАз^озь-

В заключении приведены основные результаты работы:

-2» ^(.„Ч 250

Рис. 12. Теоретические карты углового распределения диффузного рассеяния от СР СаАз(001)-А1 СаАз-{1пАэ (ЗВэ-ОаАБ^гозь: а) без учета и Ь) с учетом пространственной корреляции КТ; с) инструментальная функция дифрактометра.

(а) (Ь)

Рис. 13. Теоретическая (а) и экспериментальная (Ь) карты распределения интенсивности рассеяния от СР СаА8(001)-А1 СаАз-{1пА5 дОв-СаАз}^!.

1200

1. Получены и детально проанализированы аналитические выражения для полей упругих смещений от КТ сфероидальной формы в кристаллической матрице при использовании аналогии между задачами теории упругости и электростатики. На их основе выведены выражения для расчета углового распределения интенсивности диффузного рассеяния РЛ в кристаллах с некоррелированными (хаотически распределенными) КТ. Определены границы применимости данного метода.

2. Получены выражения для Фурье-преобразования характеристической функции КТ различной формы.

3. На основе метода функции Грина разработан подход, позволяющий получать информацию об интенсивности диффузного рассеяния РЛ в кубическом кристалле, содержащем некоррелированные КТ.

4. Выполнено численное моделирование углового распределения интенсивности диффузного рассеяния РЛ в кристаллических структурах с массивом КТ. Проведен сравнительный анализ расчетов на основе аналитического решения (разложения по мультиполям) и метода функции Грина.

5. Показано влияние латерального ближнего порядка и вертикальной корреляции на формироваЕше диффузного рассеяния.

6. Проведены расчеты карт распределения интенсивности ДР от системы ЫАз/СаАэ с КТ вблизи угла обратной решетки (004) без учета и с учетом пространственной корреляции КТ. На основе этих расчетов и экспериментальных данных высокоразрешающей РД выполнен количественный анализ структурных характеристик многослойной системы с КТ.

Публикации автора по теме диссертации

1. Пунегов В.И., Сивков Д.В., Фалеев. Н.Н. Влияние формы и пространственной корреляции наночастиц на диффузное рассеяние рентгеновских лучей // Материалы XIII международного симпозиума "Нанофи-знка п наноэлектроннка". - ИФМ РАН, Н. Новгород, 16-20 марта. 2009. - Т. 1. - С. 212-213.

2. Пунегов В.И., Сивков Д.В., Кладъко. В.П. Влияние деформаций массива квантовых точек на дифракцию рентгеновских лучей // Материалы совещания «Рентгеновская оптика —2010», - ИПТМ РАН, Черноголовка, 20-23 сентября 2010. - С. 13-15.

3. Сивков Д.В. Численное моделирование дифракции рентгеновских лучей на массиве квантовых точек эллипсоидальной формы // Сборник материалов и программа V международного научного семинара «Современные методы анализа дифракционных данных (топография, дифрак-тометрия, электронная микроскопия)». - Великий Новгород, 12-16 сентября 2011. - С. 158-160.

4. Сивков Д.В. Численное моделирование дифракции рентгеновских лучей на массиве квантовых точек заданной формы // Проблемы математики и теоретической физики (Труды Коми научного центра УрО РАН, № 186). - Сыктывкар, 2011. - С. 140-156.

5. Пупегов В.И., Сивков Д.В., Кладъко В.П. Диффузное рассеяние рентгеновских лучей на системах с квантовыми точками эллипсоидальной формы / Письма в ЖТФ - 2011. - Т. 37, Выи. 8. - С. 41-48. Punegov V.I., Sivkov D.V., Klad'ko V.P. Diffuse X-ray scattering from crystalline systems with ellipsoidal quantum dots // Tech. Phys. Lett. - 2011. - Vol. 37, № 4. - P. 364-367.

6. Sivkov D. V. Green function application for the calculation of the dilfuse scattering from the quantum dots array // Book of abstracts of The Youth International School-Conference "Modern Methods of Diffraction Data Analysis and Topical Problems of X-ray Optics" - Ioffe Institute, Saint-Petersburg, September 15-20. 2012. - P. 249-250.

7. Пупегов В.И., Сивков Д.В. Влияние упругих деформаций и пространственной корреляции квантовых точек на дифракцию рентгеновских лучей // Материалы XVII международного симпозиума «Нанофизика и наноэлектроника». - ИФМ РАН, Н. Новгород, 11-15 марта 2013. - Т. 1. - С. 306-307.

8. Сивков Д.В. Численное моделирование дифракции рентгеновских лучей на массиве квантовых точек заданной формы // Сборник материалов и программа VI международного научного семинара и IV международной молодежной школы-семинара «Современные методы анализа дифракционных данных и актуальные проблемы рентгеновской оптики» - Великий Новгород, 19-27 августа 2013. - С. 117-120.

9. Сивков Д.В. Диффузное рассеяние рентгеновских лучей на периодически упорядоченном массиве квантовых точек эллипсоидальной формы // Тезисы докладов II Балтийской школы по физике твёрдого тела "Ме-

тоды и инструменты рентгеновских исследований". - БФУ им. Канта, Калининград, 3-7 октября 2013. - С. 3G-37.

10. Пупегов В.И., Сивков Д.В. Влияние формы и упругих полей деформаций квантовых точек на диффузное рассеяние рентгеновских лучей // Письма в ЖТФ. - 2013. - Т.39, Вып. 21. - С. 60439. / Punegov V.I., Sivkov D. V. The influence of the shape and elastic strains of quantum dots on diffuse X-ray scattering / Tech. Phys. Lett. - 2013. - Vol. 39, № 11. - P. 964-968.

11. Пупегов В.И., Сивков Д.В. Статистическая теория дифракции рентгеновских лучей на свсрхрешетке с коррелированными квантовыми точками сфероидальной формы // Известия Коми научного центра УрО РАН.

- 2014. - № 2(18). - С. 5-12.

12. Пупегов В.И., Сивков Д.В. Особенности диффузного рассеяния рентгеновских лучей на кристаллических системах с квантовыми точками пирамидальной формы // Проблемы математики и теоретической физики (Труды Коми научного центра УрО РАН, № 187). - Сыктывкар, 2014. - С. 138-147.

13. Сивков Д.В. Рентгеноструктурная диагностика полупроводниковых систем с квантовыми точками // сборник докладов конференции «Рентгеновская оптика - 2014». - ИПТМ РАН, Черноголовка, 6-9 октября 2014.

- С. 134-136.

14. Пупегов В.И., Сивков Д.В. Диффузное рассеяние рентгеновских лучей на кристаллических структурах с квантовыми точками пирамидальной формы /■' ЖТФ. - 2015. - Т. 85, Вып. 5. - С. 148-151. / Punegov V.I., Sivkov D. V. Diffuse X-ray scattering from crystalline structures with quantum dots of pyramidal shape /.' Tech. Phys. - 2015. - Vol. 60, № 5. -P. 778-781.

15. Пупегов В.И., Сивков Д.В. Методы расчета диффузного рассеяния рентгеновских лучей от кристаллической среды с квантовыми точками сфероидальной формы ■'/ Кристаллография. - 2015. - Т.60, № 2. - С. 199206. / Punegov V.I., Sivkov D.V. Methods for calculating X-ray diffuse scattering from a crystalline medium with spheroidal quantum dots // Cryst. Rep. - 2015. - Vol. 60, № 2,- P. 177-184.

Список литературы

[1] Davies, J. Н. Elastic and piezoelectric fields around a buried quantum dot: A simple picture / J. H. Davies // J. Appl. Phys. - 1998. - Vol. 84, № 3. -P. 1358-1364.

[2] Nenashev, A. V. Strain distribution in quantum dot of arbitrary polyhedral shape: Analytical solution / A. V. Nenashev, A. V. Dvurechenskii //J. Appl. Phys. - 2010. - Vol. 107, № 6. - P. 064322 (1-8).

[3] Пунегов, В. И. Диффузное рассеяние рентгеновских лучей от сферически-симметричных кластеров. Влияние флуктуации размера дефектов / В. И. Пунегов // Кристаллография. - 2009. - Т. 54, № 3. - С. 423-431.

[4] Andreev, A. D. Strain distribution in quantum dots of arbitrary shape / A. D. Andreev, J. R. Downes, D. A. Faux, E. P O'Reilly // J. Appl. Phys. -1999. - Vol. 86, № 1. - P. 297-305.

[5] Пунегов, В. И. Паракристаллическая модель в статистической теории рентгеновской дифракции на эпитаксиальных слоях с квантовыми точками / В. И. Пунегов // Письма в ЖТФ. - 2011. - Т. 37, Вып. 15. -С.8-15.

[6] Пунегов, В. И. Влияние вертикальной корреляции квантовых точек на диффузное рассеяние рентгеновских лучей / В. И. Пунегов // Письма в ЖТФ. - 2013. - Т. 39, Вып. 10. - С.54-64.

Заказ № 14

Тираж 100

Редакционно-издательский отдел Коми НЦ УрО РАН 167982, ГСП, г. Сыктывкар, ул. Первомайская, 48