Динамическая устойчивость упругих систем при различных периодических воздействиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава I. Динамическая устойчивость линейных упругих систем, подверженных воздействию пульсирующих сил

§ I. Основные дифференциальные уравнения для общего случая.J

§ 2. Основные резонансы . Р

§ 3. Комбинационные резонансы

§ 4. Правило знаков для комбинационных резонансов, критерий существования этих резонансов и влияние линейного демпфирования.

§ 5. Численные примеры.

Глава П. Динамическая устойчивость прямых упругих трубопроводов при протекании через них пульсирующей жидкости

§ I. Основные дифференциальные уравнения

§ 2. Основные резонансы

§ 3. Комбинационные резонансы.

§ 4. Правило знаков для систем, имеющих пульсирующую упругость и демпфирование, критерий существования комбинационных резонансов в таких системах . gQ

§ 5. Влияние линейного демпфирования на области неустойчивости комбинационных резонансов

§ 6. Влияние амплитуд параметрических возбуждений на области неустойчивости комбинационных резонансов

§ 7. Динамическая устойчивость полых пластин при протекании через них жидкости

Глава Ш. Динамические системы, содержащие "быстрое"и "медленное" параметрическое возбуждение

§ I. Общий метод сведения сложных дифференциальных уравнений второго порядка с "медленным" и "быстрым" временем (3-1) к системе дифференциальных уравнений второго порядка, содержащей только "медленное" время

§ 2. Приведение линейных систем дифференциальных уравнений с "быстрым" и "медленным" временем к системам, содержащим только "медленное" время

§ 3. Системы с одной степенью свободы.

§ 4. Случай наличия в линейной системе многих высокочастотных параметрических возбуждений

§ 5. Протекание быстропульсирующей жидкости в прямой упругой трубе . IQI

Глава 1У.Проверка полученных теоретических результатов на

§ I. Система дифференциальных уравнений с периодически возбуждаемыми демпфированием и упругостью

§ 2. Сравнение полученных аналитически и найденных на ЭВМ областей неустойчивости основных и комбинационных резонансов душ системы дифференциальных уравнений (2-6) . j4g

§ 3. Сравнение теоретических результатов с решениями на ЭВМ исходных дифференциальных уравне*-ний при наличии в них высокочастотного параметрического возбуждения. Х

Глава 7. Экспериментальные исследования.

§ I. Описание экспериментальной установки.

§ 2. Определение критических значений постоянной скорости потока воды Vc при различных величинах постоянной продольной силы F

§ 3. Параметрический резонанс в трубе с текущим через нее пульсирующим потоком воды.

Выводы.

Теория динамической устойчивости различного рода упругих систем имеет разнообразные приложения практически во всех областях техники и физики. Особую значимость она приобретает в строительной технике, машиностроении, радиотехнике, акустике и электронике.

Обзор литературы показывает, что теоретические исследования в этой области широко и достаточно глубоко изучены.

Однако существуют многие актуальные проблемы динамической устойчивости упругих систем, которые до настоящего времени не были достаточно глубоко исследованы, хотя практическая важность их весьма значительна.

К таким проблемами частности,относится подробно исследованная в настояще работе задача о динамической устойчивости упругих систем, внутри которых протекает жидкость, содержащая . пульсирующую составляющую скорости.

Вся теория, связанная с динамической устойчивостью упругих систем, подверженных действию как внешних, так и внутренних3^ пульсирующих возбуждений, сводится в конечном итоге к исследованию сложных систем линейных или нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих различные виды параметрического возбуждения. Решение таких систем дифференциальных уравнений существующими математическими методами в ряде случаев весьма затруднено.

Поэтому одной из основных целей работы является дальнейшее развитие асимптотических методов интегрирования указанных уравнений. В работе составлены соответствующие алгоритмы, позволяющие достаточно эффективно и быстро находить искомьв результаты и проводить их подробный анализ. х^Под внутренним возбуждением подразумеваются гидродинамические силовые эффекты, возникающие при протекании жидкости внутри упругой системы.

Указанные методы применимы к исследованию динамической устойчивости упругих систем, находящихся под действием как внешних, так и внутренних (г^—ческих) пульсируй возйуиений.

Вместе с этим подробно рассмотрены системы с высокочастотными пульсирующими возбуждениями. В частности, исследована задача о динамической устойчивости упругих систем, находящихся под действием полигармонических высокочастотных возбуждений с нецелочисленно кратными частотами.

В историческом аспекте следует отметить, что первой работой о динамической устойчивости стержня, подверженного воздействию продольной гармонической силы, является работа Беляева Н.М. [i] . С этого времени проблема исследования устойчивости упругих систем и, связанных с этим математических методов, стала привлекать всеобщее внимание. Здесь необходимо отметить классические работы Крылова Н.М. и Боголюбова Н.Н. [2] , Боголюбова Н.Н. и Митропольского Ю.А. [з] , Треффтца [4] , Кочина Н.Е. [5] , Челомея В.Н. [б-Il] , Болотина В.В. [12-14] , Меттлера [15-18] , Вайденхаммера [19,20] , Ляпунова A.M. [2l], Мандельштама Л.И.-и Папалекси Н.Д. [22,23j , исследования Иво-цубо, Сигуяма, Исихара [24] , Шмидта [25] , Сю [26,27] , Гото [28] и многих других авторов [28-137] .

Обзор ряда работ до 50-х годов по проблеме динамической устойчивости упругих систем приведен в работе [зз] . Большое внимание в этот период было уделено исследованию основных параметрических резонансов, вызываемых действием пульсирующих сил, и определению областей неустойчивости этих резонансов в зависимости от коэффициентов дифференциальных уравнений [2,9,38,56.66,67,117] .

Начиная с 60-х годов особую важность приобрела проблема динамической устойчивости при комбинационных резонансах в системах со многими степенями свободы, находящихся под действием параметрического возбуждения [18, 27, 96, 37, 99, 103 и др] . Были проведены многочисленные теоретические исследования, излагающие и обосновывающие математические методы исследования таких систем, изучена асимптотическая сходимость методов исследования, рассмотрены высшие приближения [3,25,29,40,41,42,46,54,58,69,70,101,ПО,122,130,135,137] . Большое внимание было уделено влиянию линейного демпфирования на возникающие в таких системах резонансы f24,51,60,94,96,115,13о] .

Примерно в это же время появился рад важных работ по исследованию динамической устойчивости упругих труб с протекающей в них пульсирующей жидкостью [l05,J08,112,114,123-125,128,132] . Обзор работ по задачам исследования динамической устойчивости упругих труб с протекающей жидкостью приведен в [132] .

После появления работы [il] исключительно важное значение приобрела проблема исследования упругих систем, находящихся под воздействием высокочастотных параметрических возбуждений ["76,83-86,129] . Появилось большое число работ, посвященных математическим методам исследования такого рода задач [3,20,31,35,39,43,47,73,78,96,98] .

Рассмотрены задачи о динамических системах, имеющих два источника параметрического возбуждения [30,58,65,96,98] .

Большое внимание было уделено различным техническим приложениям теории динамической устойчивости и разработке общих теорий, как линейных, так и нелинейных для самых разнообразных колебательных систем: стержней, пластин, оболочек, электрических систем, систем автомобиль-дорога-автомобиль и т.п. [7,10,13,17,23,26,28,32,34,36, 48-50,52-55,57,59,66,71,72,74,77,79-82,88-93,106,116,121,131,13б] .

Краткое содержание настоящего исследования.

В работе поставлены и решены следующие важные как в теоретическом, так и в прикладном аспектах актуальные задачи.

К ним в первую очередь относится дальнейшее развитие асимптотических методов интегрирования дифференциальных уравнений, связанных с исследованием динамической устойчивости сложных упругих систем, подверженных действию различного рода внешних и внутренних пульсирующих сил.

Здесь показано, что сложные системы нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, содержащих явно "быстрое" и "медленное" время могут быть сведены к системам дифференциальных уравнений, содержащим только "медленное" время, анализ которых значительно проще. Исследовано взаимное влияние высокочастотных возбуждений на динамическую устойчивость упругих систем.

Для всех рассмотренных в работе упругих систем выведены "правила знаков", позволяющие по одному лишь виду исходных дифференциальных уравнений определить все возможные типы комбинационных резонансов и формы колебаний, между которыми они могут иметь место.

Установлены условия, когда области неустойчивости комбинационных резонансов в этих системах могут расширяться при увеличении демпфирования.

Выведены критерии существования комбинационных резонансов в изучаемых системах.

Показано, что для упругих систем с внутренним гидродинамическим возбуждением увеличение амплитуд параметрических возбуждений могут привести к сужению областей неустойчивости комбинационных резонансов.

Проведены сравнительные расчеты на ЭВМ и осуществлены эксперименты по динамической устойчивости упругой трубы с текущей через нее пульсирующей жидкостью, подтверждающие теоретические результаты.

Содержание работы по главам.

В главе I обобщена задача, рассмотренная в [%] , на общий случай упругих систем, описываемых уравнением динамического равновесия

JL4M - PWL(v) +sLLb(u) + $rL<M = о

B-I) где L,, г L3 и L4 - соответствующие линейные дифференциальные операторы, а величина \\ = tl (X i) 1 *, "О.

Для такой системы выведено общее правило знаков для комбинационных резонансов, позволяющее по виду одних лишь операторов L-( i = 1,2,3,4) определить возможные для системы (B-I) комбинационные резонансы. Выведены общие условия, когда комбинационные резо-нансы в такой системе вообще невозможны. Исследовано влияние линейного демпфирования на области неустойчивости комбинационных резонансов и найдены общие условия для парадоксального, с первого взгляда, случая, когда введение линейного демпфирования расширяет области неустойчивости комбинационных резонансов. Графически в трехмерном пространстве построена резонансная поверхность, где наглядно видна зависимость ширины области неустойчивости комбинационных резонансов от коэффициентов линейного демпфирования S^ ■ и oJa ( ).

Вторая глава работы посвящена исследованию динамической устойчивости трубопроводов с текущей через них несжимаемой невязкой пульсирующей жидкостью. Уравнение динамического равновесия для такой задачи в общем случае имеет вид: Ъ2- Vt^] ?>l r.ftl ]+1/Ъц ^ 9P,J. Ъъи ^

B-2)

- = л =0 с соответствующими краевыми условиями

Здесь и кг - коэффициенты внутреннего и внешнего демпфирования, a g и yy) - распределенные плотности жидкости и материала трубы. Это дифференциальное уравнение гораздо сложнее уравнения (В—I), поскольку пульсирующая скорость протекания жидкости находится здесь при члене у ее производная по времени при , а при члене находится величина квадрата скорости протекания жидкости и1 , что приводит к появлению четырех периодических параметрических возбуждений: одного с частотой р при демпфировании, двух с частотой р и одного с частотой ?р при упругости, где р - частота вибрации потока жидкости.

Для системы (В—2) получена общая бесконечная система линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, описывающая динамические явления, происходящие в исследуемой упругой системе: 12

4-! + tOiSu. 4f - + Xl (Ctf fy % 09<,pt -a ^ „ (B-3) ^^^S/-г)«^^ j A. ) где Gjc - приведенные собственные частоты, a YCJ , ? %j ty, , f*-\s ж dcj ( = 1,2,.) - соответствующие малые коэффициенты.

При такой постановке задачи теоретически определены условия возникновения основных и комбинационных резонансов с учетом демпфирования и найдены условия, когда эти резонансы имеют место. В специальных случаях для таких систем сформулировано правило знаков, позволяющее по виду коэффициентов исходных дифференциальных уравнений определить типы возможных комбинационных резонансов и найти между какими формами колебаний они будут иметь место. Найдено условие,при котором возникновение комбинационных резонансов в таких системах вообще невозможно.

Исследовано влияние постоянного линейного демпфирования. Показано, что в ряде случаев увеличение линейного демпфирования может привести не к расширению, а к сужению областей неустойчивости комбинационных резонансов.

Рассмотрено также влияние амплитуд параметрических возбуждений на области неустойчивости комбинационных резонансов. Доказано, что в отличие от систем, имеющих моногармоническое параметрическое возбуждение только при упругости, в системах, рассмотренных в главе П возможно расширение областей неустойчивости некоторых комбинационных резонансов при уменьшении амплитуд параметрических возбуждений и, наоборот, одновременное увеличение этих амплитуд может привести к сужению областей неустойчивости комбинационных резонансов.

Задача о протекании жидкости через упругую трубу обобщена на полые упругие пластины с одномерным течением жидкости через них.

Глава Ш работы посвящена исследованию сложных линейных и нелинейных систем, содержащих "быстрое" и "медленное" время.

В весьма общем случае движение таких систем описывается нелинейными дифференциальными уравнениями вида fifat ч и

•" dt

В—4) 1,2, .jS)

В таком общем виде эта важная для практики задача поставлена зпервые.

В работе построен асимптотический метод, основанный на принци-ie усреднения движения по "быстрому" времени тг , позволяющий с лю-5ой степенью точности свести систему (В-4) к системе нелинейных дифференциальных уравнений, содержащей только " медленное" время -Ь Рассмотрены линейные системы, содержащие "быстрое" и "медленное" время при нулевых, первых и вторых производных и системы с одной степенью свободы. На примере линейной системы, имеющей "быстрое" параметрическое возбуждение при нулевой ж первой производных с нецело-численно кратными частотами, показан метод приведения ее к системе линейных дифференциальных уравнений, зависящих уже только от "медленного" времени. Для таких систем впервые найдены резонансно-параметрические соотношения, связывающие частоты параметрических возбуждений с частотами собственных колебаний системы при выполнении которых в системе может возникнуть состояние динамической неустойчивости. Вычислены области неустойчивости и условия ее возникновения. Если же эти резонансно-параметрические соотношения не выполняются, то высокочастотные параметрические возбуждения будут повышать в целом динамическую устойчивость упругой системы [il] .

В конце главы рассмотрен случай протекания в прямой упругой трубе быстропульсирующей жидкости.

В главе 1У приведено численное решение на ЭВМ ряда задач о динамической устойчивости труб с текущей через них пульсирующей жидкостью. Исследовано также влияние высокочастотных вибраций с нецело-численно кратными частотами на динамическую устойчивость упругих систем. Рассмотрена система, имеющая одно высокочастотное возбуждение с частотой р при перемещениях, а второе - с частотой , при ускорениях. Показано, что при выполнении определенных соотношегай между частотами р и р в системе возникнет состояние динамической неустойчивости. Проведено сравнение с теоретическими расчетами, подтверждающее правильность аналитических методов решения и выводов общей теории.

Б главе У выполнены экспериментальные исследования, достаточно подробно описывающие физическую картину исследуемых проблем динамической устойчивости упругих трубопроводов и подтверждающие результаты изложенной теории.

В ряде случаев подробно излагалась математическая сторона вопроса, построенная на теории усреднения и асимптотических методах последовательных приближений. При этом автором не ставилась задача исследования сходимости полученных решений.

Автор надеется, что полученные в результате его исследования материалы найдут практическое применение как в строительной механике, технике, теории механизмов и машин, так и в ряде других физических и механических проблем.

ВЫВОДЫ

1. Составлена в самом общем виде система линейных дифференциальных уравнений динамической устойчивости упругих систем, подверженных воздействию периодических сил.

2. Получены области неустойчивости основных и комбинационных резонансов и условия их возникновения.

3. Выведено правило знаков, позволяющее по одному лишь вццу коэффициентов линейных .дифференциальных уравнений определить возможные для данной системы типы комбинационных резонансов и формы колебаний, между которыми эти резонансы могут иметь место.

4. Найдены условия, когда области .динамической неустойчивости комбинационных резонансов в упругих системах при увеличении линейного демпфирования могут расширяться.

5. Построена поверхность, связывающая ширину области неустойчивости комбинационных резонансов с соответствующими коэффициентами линейного демпфирования, наглядно демонстрирующая поведение областей неустойчивости комбинационных резонансов при изменении линейного демпфирования.

6. Выведен критерий существования комбинационных резонансов, позволяющий по виду основных дифференциальных уравнений определить могут или не могут возникать комбинационные резонансы в данной системе.

7. Поставлена и решена практически важная задача о возникновении комбинационных и основных резонансов в прямой упругой трубе,через которую протекает несжимаемая невязкая жидкость, имеющая как постоянную, так и пульсирующую составляющие скорости.

8. Для этой сложной задачи аналитически определены области динамической неустойчивости основных и комбинационных резонансов и условия их возникновения. Доказано, что при динамической неустойчивости тгругих труб по основному резонансу р - 2сос периодическая составляю-дая силы Кориолиса и распределенная сила инерции текущей по трубе кидкости уничтожают друг друга. Постоянная же составляющая силы Кориолиса играет роль постоянного линейного демпфирования.

9. Для таких динамических систем при отсутствии постоянного линейного демпфирования сформулировано правило знаков, позволяющее по одному лишь виду основных .дифференциальных уравнений определить тип комбинационного резонанса, который может возникнуть в данной системе. Это правило отличается от правила знаков, указанного в п.З.

10. Дано обобщение критерия существования комбинационных резонансов на такие системы.

11. Доказано, что и для упругих труб с текущей через них пульсирующей жидкостью увеличение линейного постоянного демпфирования может привести к расширению областей неустойчивости комбинационных резонансов.

12. Впервые в литературе показано, что в таких системах уменьшение амплитуд параметрических возбуждений может также привести к расширению областей неустойчивости комбинационных резонансов, а увеличение этих амплитуд может дать обратный результат. Определены условия, когда эти явления имеют место.

13. Задача о протекании жидкости через упругую трубу обобщена на полые упругие пластины с одномерным течением жидкости через них и на оболочки.

14. Впервые поставлена и решена в самом общем случае задача сведения сложных нелинейных систем дифференциальных уравнений, содержащих ибыстрое" немедленное" время к нелинейным системам дифференциальных уравнений, содержащим только< медленное' время Построенный метод позволяет быстро и эффективно, с любой степенью точности найк ти системы уравнений для^медленного времени и проанализировать их. Рассмотрены квазистатические решения. Показана эффективность приленений этого метода для линейных систем и систем с одной степенью свободы.

15. Сформулирована новая теория о динамической устойчивости упругих систем, подверженных воздействию полигармонических высокочастотных возбуждений, частоты которых нецелочисленно кратны друг другу. Построен асимптотический метод сведения таких систем к системам, содержащим только()медленное" время. Выведены условия, когда в таких системах могут возникать основные и комбинационные резонансы. Доказанная возможность возникновения этих резонансов имеет исключительно важное значение для практики, так как вносит существенные дополнения в теорию динамической устойчивости упругих систем.

16. Подученные в работе результаты по исследованию основных и комбинационных резонансов в трубах с текущей жидкостью, имеющей пульсирующую составляющую скорости проверены на ЭВМ БЭСМ—6. Аналитически решена и проверена путем прямого решения на ЭВМ исходных дифференциальных уравнений задача о влиянии на динамическую устойчивость упругой системы двух высокочастотных параметрических возбуждений с нецелочисленно кратными частотами р и р1 , одно из которых находится при перемещениях, а другое - при ускорениях рассматриваемой системы. Результаты расчетов с высокой точностью совпали с теоретическими вычислениями.

17. В работе осуществлен ряд экспериментов по исследованию динамической устойчивости труб с текущей через них жидкостью. Результаты экспериментов полностью подтверждают правильность теоретических выводов.

1. Беляев Н.М. Устойчивость призматических стержней под действием переменных продольных сил. - В кн.: Инженерн.сооруж. и строит, мех., Л., 1924.

2. Крылов Н.Н., Боголюбов Н.Н. Исследование явления резонанса при поперечных колебаниях под воздействием периодических нормальных сил, приложенных к одному из концов стержня. В кн.: Исследование колебаний конструкции. Харьков - Киев, ОНТЙ, 1935.

3. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М., Наука, 1974.

4. Trefftz Е. Zur Berechnung der Schwingungen von Kurbenwellen. Vortrage aus dem Gebiete der Aerodynamic und Yerwandter Gebiete., Aachen, 1929, Berlin, 1930.

5. Кочин H.E. О крутильных колебаниях коленчатых валов. Прикл.математика и механика, 1934, I.

6. Челомей В.Н. Точная теория маятникова демпфера. Тр. КАИ, 1937, вып.10.

7. Челомей В.Н. Динамическая устойчивость пластин. Тр. КАИ, 1937, вып.10.

8. Челомей В.Н. Иттеративный процесс последовательных приближенийв применении к задачам колебаний и устойчивости упругих систем. -Тр. КАИ, 1938, вып.8.

9. Челомей В.Н. О колебаниях стержней, подверженных действию периодически меняющихся продольных сил. Тр. КАИ, 1938, вып.8.

10. Челомей В.Н. Динамическая устойчивость элементов авиационных конструкций. М., Изд.Аэрофлота, 1939.

11. Челомей В.Н. О возможности повышения устойчивости упругих систем при помощи вибраций. Докл. АН СССР, 1956, 3.

12. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.,Гос-техиздат, 1956.

13. Болотин В.Б. Вопросы общей теории упругой устойчивости. Прикл. математика и механика, 1956, 20.

14. А. Болотин В.В. Конечные деформации гибких трубопроводов. Труда МЭИ, 1956, 19.

15. Mettler Е. Biegeschwingungen eines Stabes unter pulsierender Axiallast. Mitt.Forsch.,Anst.Gffii-Konzern,1940, 8.

16. Mettler E. Uber die Stabilitaterzwungener Schwingungen elastischer Korper. Ing.Arch.,1942, 13.

17. Mettler E. Eine Theorie der Stabilitat der elastischen Bewegung. Ing. Arch. ,194-7, 16.8, Mettler E. Combination Resonances in Mechanical Systems under Harmonic Excitation. Proc.4— th Conf. on JMonlin. Osc.,Praha, 1968.

18. Wiedenhammer F. Der eingespannte, axial pulsierend belastete Stab als Stabilitatsproblem. ZAIДМ, 1950, 30.

19. Wiedenhammer F. Instabilitaten eines gedapften Schwingersmit fast-periodischer Parametererzeugung. Ing.Arch.,1980, 3-4.

20. JI. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости .движения. Соч., т,2, М., 1956.

21. Мандельштам Л.И., Папалекси Н.Д. Об установлении колебаний при резонансе -го рода. Ж.теор.эксп.физ., 1934, 4.

22. Шмидт Г. Параметрические колебания. М., Мир, 1978.

23. Акинфиева Л.Ю., Черний В.К. Влияние высших приближений в некоторых механических колебательных системах. Некотор.вопросы диф-ференц.уравн. в решении прикл.задач, Тула, 1982.

24. Э. Алифов А.А., Глухарев К.К., Фролов К.В. К теории колебаний систем с двумя источниками энергии. Изв.АН COOP, Мех.твердого тела, 1981, 6.

25. Акуленко Л.Д. Применение методов усреднения и последовательных приближений для исследования нелинейных колебаний. Прикл.математика и механика., 1981, 5.

26. Арнаудов К.С., Бычваров С.Н. Одночастотные вынужденные колебания "простого" автомобиля при наличии резонанса в двигательной системе. Мех. твердого тела, 1982, 2.

27. Бейлин Е.А., Джанелидзе Г.Ю. Обзор работ по .динамической устойчивости упругих систем. Прикл.матем. и механика, 1952, 2.

28. Биценко К.Б., Граммель Р. Техническая динамика. М., Гостехиздат, 1950, т.I, 1952, т.2.

29. Боголюбов Н.Н. (Мл.), Садовников Б.И. Об одном варианте метода усреднения. Вестник МГУ, 1961, 3.

30. Боднер В.А. Устойчивость пластин под действием продольных периодических сил. Прикл. матем. и механика, 1938, 2.

31. Бондаренко Г.В. Уравнение Хилла и его применение в области технических колебаний. М., Изд.АН СССР, 1936.

32. Брачковский Б.З. О динамической устойчивости упругих систем. -Прикл.матем. и мех., 1942, 6.

33. Бурд В.М. Малые почти-периодические колебания в системах с одновременными быстрыми и медленными параметрическими возбуждениями.-9-я Междунар.конф. по нелин.колебаниям, Киев, 1981.

34. Валеев К.Г. О решении и характеристических показателях решений некоторых систем линейных жифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Прикл. матем. и мех., I960, 24.

35. Валеев К.Г. Об одном методе решения систем линейных дифференциальных уравнений с синусоидальными коэффициентами. Изв.высш. учебн.завед., Радиофизика, I960, 3.

36. Валеев К.Г. К методу Хилла в теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Прикл.матем. и мех., I960, 24.

37. Вульпе И.М. О сущности принципа усреднений. 9-я Международ, конф.по нелин.колебаниям, Киев, 1981.

38. Вульфсон И.И. О колебаниях систем с параметрами, зависящими от времени. Прикл. матем. и мех., 1969, 2.

39. Вульфсон И.И. Об одном методе исследования параметрических явлений в механизмах. В кн.: Теория механизмов и машин, Респ.меж-вед.н.-т.сб., 1969, 5.

40. Вульфсон И.И. Исследование пороговых условий возбуждения комбинационных резонансов. Машиноведение, 1980, 3.

41. Вульфсон М.Н. Исследование корректирующего влияния высокочастотных воздействий на вынужденные колебания систем с многоступенчатыми фрикционными связями. Машиноведение, 1980, 4.

42. Ганиев Р.Ф., Золотенко Г.Ф., Кузьменко В.М. Прогнозирование динамической устойчивости упругих объектов. В кн.: 4-я Всесоюзн. конф. по пробл.устойч. в строит.мех., М., 1972.

43. Гольденблат И.И. Современные проблемы колебаний и устойчивости инженерных сооружений. М., Стройиздат, 1947.

44. Э. Гольденблат И.И. Динамическая устойчивость сооружений. М., Стройиздат, 1948.

45. Гонткевич B.C., Бутковский В.В. Определение потерь энергии на внутреннее трение в металле при изгибных колебаниях. Сб.труд, лабор.проблем быстроходных машин и механизмов, Киев, 1955, вып.5.

46. Горелик Г.С. Резонансные явления в линейных системах с периодически меняющимися параметрами. Ж.Т.Ф., 1934, 10.

47. Григорян С.С., Жигачев Л.И., Когарко B.C., Якимов Ю.Л. Параметрический резонанс в сообщающихся сосудах при вертикальных переенных перегрузках. Изв.АН СССР, Мех.жддк. и газа, 1969.

48. Де Патер А.Д. Крутильные колебания систем с возвратно-поступательными механизмами. В кн.: Успехи механики деформируемых сред, М., Наука. 1975.

49. Дейненко К.С., Леонов М.Я. Динамический метод исследования устойчивости сжатого стержня. Прикл.матем. и мех., 1955, 19.

50. Джанелидзе Г.Ю. Теоремы о разделении переменных в задачах о динамической устойчивости упругих систем. Тр.Ленингр.ин-та инж. водн.трансп., 1953, 20.

51. Диментберг Ф.М. Поперечные колебания вращающегося вала, имеющего неодинаковые главные моменты инерции сечения. В кн.: Поперечные колебания и критические скорости., М., 1953, 2.

52. Жавнерчик В.Э. О неустойчивости при наличии нескольких резонансов. Прикл.матем. и мех., 1970, 6.

53. Ильин М.М., Колесников К.С. Параметрические колебания незащюпленного стержня. Изв.АН СССР, Мех.тв.тела, 1969, 5.

54. Коваленко К.P. О влиянии внешнего и внутреннего демпфирования на динамическую устойчивость стершей. Прикл.матем. и мех., 1959, 2.

55. Коллатц 1. Численные метода решения дифференциальных уравнений.-М.; Иностр.лит., 1953.

56. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения.-М.: Физматгиз, 1959.

57. Крюков Б.И., Середович Г.И. Исследование гармонических решений уравнения .Иуффинга. Изв.АН СССР,Мех.твердого тела, 1981, 3.

58. Курант Р., Гильберт Д. Метода математической физики. TI. М.: ГТТИ, 1933.

59. Литвинчук М.В., Мельникова В.А. Некоторые вопросы динамики автоколебательной системы под действием двух гармонических сигналов.-Устойч.динам.систем и процессов упр., Горький, 1979.

60. Мак-Лахлан-Н. Теория и приложения функций Матье. М., Иностр.ит., 1953.

61. Макушин В.М.,Динамическая устойчивость деформированного состояния упругих стержней. Тр.МВТУ (Каф.сопрот.матер.), ч.З, 1947.

62. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.

63. Митропольский Ю.А., Самойленко A.M. Асимптотические методы в теории многочастотных колебаний. Тр.Всес.конф., Кацавели,1977, Киев, 1977.

64. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975.

65. Т. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М., Наука, 1967.

66. Параметроны. Сб.статей М., Иностр.лит., 1962.

67. Петришин Р.И. Усреднение с учетом резонансных соотношений между частотами в колебательных системах. Укр.матем.ж.,1981, 2.

68. Пинегин С.А., Фролов К.В. Вибрации и шум подшипников качения.-Машиноведение, 1966, 2.

69. Прасад С.Н., Херманн Г. Об обобщении метода Галеркина на неконсервативные задачи устойчивости, В кн.: Успехи механики деформируемых сред, М., Наука, 1975.

70. Розенблат Г.М. Оптимальная параметрическая стабилизация обращенного маятника, Прикл.матем. и мех., 1981, I.

71. Родионов О.Е. Параметрические колебания стержня с учетом гистерезиса по гипотезе Е.С.Сорокина Я.Г. Пановко. - В кн.: Механика, Куйбышев, 1972.

72. Рымаренко В.В. Асимптотическое разделение движений в колебательных системах. 9-я Международ.конференция по нелинейным колебаниям, Киев, 1981.

73. Скучик Е. Простые и сложные колебательные системы. М., Мир, 1971.

74. Ю. Смирнов А.Ф. Статическая и динамическая устойчивость сооружений.-М., Трансжелдориздат, 1947.1.. Смирнов А.Ф. Устойчивость и колебания сооружений. М., Трансжелдориздат, 1947.

75. Страбл Р.А. Колебания маятника при параметрическом возбуждении.-Механика, 1964, 5.

76. Стрижак Т.Г. Стабилизация верхнего положения равновесия маятника при периодическом или квазипериодическом законе вертикальных колебаний точки опоры. Актуальн.пробл.ЭВМ и программир., 1981.

77. Стрижак Т.Г. Исследование устойчивости колебаний маятника около верхнего положения равновесия. Актуальн.пробл.ЭВМ и программир. 1981.

78. Стрижак Т.Г. Метода исследования динамических систем типа "маятник", -Алма-Ата, Наука, 1981.

79. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М., Наука, 1967,

80. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М., Наука, 1971.

81. О. Феодосьев В.И. О колебаниях и устойчивости трубы при протекании через нее жидкости. Инст.мех. АН СССР, Инж. ст., X, 1951.

82. И. ФилипповЕ. Нелинейная электротехника. М., Энергия, 1968.

83. Фролов К.В. Некоторые проблемы параметрических колебаний элементов машин. В кн.: Колебания и устойчивость приборов, машин и элементов систем управления, М., Наука, 1968.

84. Челомей С.В. К теории параметрона. Изв. АН СССР, Мех.тверд, тела, 1973, I.

85. Челомей С.В. Нелинейные колеюания с параметрическим возбуждением. Изв. АН СССР, Мех.тверд.тела, 1977, 3.

86. Челомей С.В. Об одном методе расчета частот собственных колебаний прямых стержней. Изв. АН СССР, Мех.тверд.тела, 1977, 6.

87. Челомей С.В. Некоторые вопросы динамической устойчивости упругих систем. Кандид.диссертация, М., 1979.

88. Челомей С.В. О динамической устойчивости упругих систем. Докл. АН СССР, Механика, 1980, 2.

89. Э8. Челомей С.В. Динамическая устойчивость при высокочастотном параметрическом возбуждении. Докл.АН СССР, Математ.физ., 1981, 4.

90. Челомей С.В. Комбинационные резонансы в упругих системах^ -Изв. АН СССР, Мех.тверд.тела, 1982, I.

91. Ю. Челомей С.В. Резонансы в динамических системах, находящихся поддействием параметрического возбуждения. В сб. Проблемы механики и теплообмена в космической технике. М., Машиностроение, ,1982.

92. Э1. Якубович В.А., Старжинокий В.М. Параметрический резонанс систем со многими степенями свобода. Пр.метвуз, конф. по прикл.теор. устойч.движения и аналит.мех., Казань, 1964.

93. Якубович В.А., Старжинокий В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.,Наука, 1972.

94. Agraval B.N., Ewan-Iwanovski R.M. Resonances in Nonstationary Nonlinear Multidcgree-of-Freedom Systems. AIAA J., 1973> 7.

95. Arya J.C., Bojadzier G.N. Damped Oscillating Systems Modelled by Hyperbolic Differential Equations with Slowly Varying Coefficients.- Acta Mech.,19SO,3-4.

96. Ashley H.,Haviland G. Bending Vibrations of a Pipeline Containing Flowing Fluid.- J.of Appl. Mech. ,1950, v.17,3«

97. Beal T.R. Dynamic Stability of a Flexible Missile under Constant and Pulsating Thrusts.-AIAA Journal, 1965,3»

98. Btirklin H. , Schmiey H. ,Vielsaclc P. Zur Anwendung aer Storungs-rechnung auf lineare Eigenwertprobleme der Stabstatilu-Ing.-Arch., 1977,46.

99. Chen S. Dynamic Stability of Tube Conveying Fluid.- J.of Eng. Mech.Division, 1971,v.97, № eM5«

100. Chester W. A General Theory of Resonance between Weakly Coupled Oscillatory Systems.-J. Inst.Hath.and Appl., 1980,2.

101. CI2. Ginsberg J.K. The Dynamic Stability of a Pipe Conveying Pulstile Flow.-Int. J.of .'ing.Science,1973 >v.11.

102. Hatwal H. ,Mallik A. , Ghosh A. Non-Linear Vibrations of a

103. Harmonically Excited Autoparametric System.- J.of Sound and Vibration, 1^82, K: 2.

104. Housner G.W. Bending Vibrations of a Pipe Line Containing Flowing Fluid.- J.of Appl.Mech.,1952,v.19, В 2.

105. Ikeda K.,Toi Tashihiro. Investigation of Characteristics of a Vibrating System wi Uh tamper.- Trans. Jap. Soc. Me ch. Eng., 1979, Ni 394.

106. EI6. Kalnins A. Dynamic Buckling of Axisymmctric Shells. J.of Appl.Mech., 1974.

107. Klotter K. Technische Schwingungslehre. Bd.1,Einfache

108. Schwinger und Schwingungsmessgerate.- Berlin-Gottingen-Heidelberg, 1951.

109. XI8. Klotter K. Technische Schwingungslehre. Bd.2,Schwingervon mehreren Freiheitsgraden. Berlin-Gottingen-IIeidelberg, I960.

110. I'-H., IIsu C.S. Liapunov Stability Criteria for Continuous

111. Systems under Parametric Excitation.- J.of Appl.Mech.,1972,39»

112. Mukherjec A.N. A Two-Variable Asymptotic Expansion Technique for Nonlinear Oscillations. Proc. 8-th Int.Conf. Nonlinear Oscillations., I'rague, 1979»

113. P&idoussis M.I.,lssid Ы.Т. Dynamic Stability of Pipes Conveying Fluid.- J. of Sound and Vibration,1974, v.33.

114. Paidoussis ivi.i., Sundarajan C. Parametric and Combination

115. Resonances of a Pipe Conveying Pulsating Fluid.- J. of Appl. Mech. ,1975, v. 42, hi 4.

116. Paidoussis M.P., Issid N.T. Experiments on Parametric of Pipes Containing Pulsatile Flow. J. of Appl. Mech., 1976, v.43, m 2.

117. Palm E., Tveitereid M. On Coupled Van der Pol Equations. Quart. J. Mech. and Appl. Math., 1980, 3.

118. Rayleigh,Lord (Strutt J.W.). On the Grispation of Fluids

119. Resting upon a Vibrating Support.-Phil. Mag.,1883, 16.

120. Roth W. Instabilitat durchstromter Rohre.1.g.Arch., 1y64, v.33, Ш 4.

121. Schmidt B.A. Pendulum with a Rotational Vibration. Trans. ASME, J.of Appl. Mech., 1^81, 1.

122. Schneider J. Stabilitat linearer Schwingungssysteme mit proportionaler Dampfung. Z. Ang.Math. und Mech.,1980,6.

123. Sugiyama I.,Sekiya T. Studies on Nonconservative Problems of Instability of Columns by means of an Analogue Computer.

124. Proc. 18-th Japan iMational Congress for Appl. Mech.,'iy68.

125. Truckenbrodt a. Zur Vernachlassigung hoherfrequenter Schwingungs-formen bei mechanischen Systemen. Z. Angew.Math.und Mech.,1981,4.

126. Willis R. A Note on the Stability of Solutions of the Hill Equation with a Square -wave Coefficient.-Int.J.of Non-Linear Mech., 1982, 1.

127. Zajaczkowski J. An Approximate Method of Analysis of Parametric Vibration.- J. of Sound and Vibration, 1981, 4-.