Динамические и статистические свойства систем двух- и трехуровневых атомов, взаимодействующих с квантовыми электромагнитными полями в резонаторе тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.21 ВАК РФ

На правах рукописи

Русакова Маргарита Сергеевна

ДИНАМИЧЕСКИЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СИСТЕМ ДВУХ- И ТРЕХУРОВНЕВЫХ АТОМОВ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С КВАНТОВЫМИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМИ ПОЛЯМИ В РЕЗОНАТОРЕ

01 04 21 - Лазерная физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Самара - 2008

003452394

Работа выполнена в Самарском государственном университете

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

доцент

Башкиров Евгений Константинович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Самарцев Виталий Владимирович,

заседании диссертационного совета Д 212 218.01 в Самарском государственном университете по адресу: 443011, г. Самара, ул. академика Павлова, 1, СамГУ, Зал заседаний.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Самарского государственного университета.

Автореферат разослан " ЛЗ " СлГЛ^иг, 2008 г.

доктор физико-математических наук, доцент

Решетов Владимир Александрович

Ведущая организация Саратовский государственный

университет им. Н Г. Чернышевского

и

час. на

Ученый секретарь диссертационного совета

В А Жукова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы

В современной квантовой оптике и лазерной физике значительное внимание уделяется как теоретическому, так и экспериментальному исследованию взаимодействия отдельных атомов и простейших атомных систем с квантовыми электромагнитными полями. Подобный интерес обусловлен рядом объективных причин, главные из которых сводятся к следующему

Наиболее просто теоретически описать взаимодействие излучения с веществом можно при помощи точно решаемой фундаментальной модели кванто-вои оптики - модели Джеинса-Каммингса (МДК), описывающей взаимодействие двухуровневого атома с выделенной модой квантового электромагнитного ноля в резонаторе. Именно изучение точно решаемых моделей позволяет адекватно описать протекающие в системе процессы и предсказать новые эффекты. Многочисленные теоретические исследования МДК и се обобщений показали существование в ней ряда новых квантовых эффектов: коллапс и восстановление осцилляций Раби, субпуассоновскую статистику поля и эффект антигруппировки фотонов, сжатие света, перепутывание и др. [1] Вместе с тем, совершенствование техники на современном этапе позволило экспериментально реализовать модель Джеинса-Каммингса, а впоследствии проверить на опытах и подтвердить ряд ранее предсказанных эффектов [2].

Экспериментальная реализация модели Джеинса-Каммингса на ридбер-говеких атомах в выеокодобротных резонаторах одноатомных мазеров и лазеров стимулировала новые исследования квантовых эффектов в МДК. Одним из направлений таких исследований является учет взаимодействия атомно-полевой системы с окружением. Подобное взаимодействие физической системы с термостатом неизбежно приводит к декогеренции, поэтому для адекватного описания динамики микромазеров и микролазеров необходимо принять во внимание диссипацию Стоит отметить, что ряд недавних экспериментов с микромазером [2] проводился для значительных величин констант диссипации атомной и фотонной подсистем. Диссипативная МДК также была реализована в экспериментах с ионами в ловушках (3|, и в сверхпроводящих системах (4]. Поэтому представляет интерес исследовать взаимодействие одиночных атомов и простейших атомных систем с квантовыми полями в резонаторах, принимая во внимание различные механизмы диссипации.

Хорошо известно, что двухфотонные процессы в атомных системах играют важную роль, благодаря высокой степени корреляции между испущенными фотонами. Интерес к исследованию двухфотонпой МДК во многом обусловлен экспериментальной реализацией двухфотонного одпоатомного мазера [5] Естественным расширением модели двухфотонного микромазера является

модель с многофотонным взаимодействием произвольной мультиплетности. Другим важным обобщением модели двухфотонного микромазера является невырожденный двухфотонный мазер. Для МДК с невырожденными двух-фотоиными переходами и рамановскими переходами были исследованы атомные населенности, статистика поля, атомное и полевое сжатие, атомная и полевая энтропия и перепутывание [6]. Однако до сих нор не уделялось достаточного внимания диссипативной динамике невырожденной двухфотонной МДК В связи с вышесказанным важно обобщить известные результаты для идеального двухфотонного микромазера на случай диссипативных моделей с многофотонным и невырожденным двухфотонным взаимодействием.

Взаимодействие атома с модой квантового электромагнитного поля в резонаторе приводит к генерации квантового перепутанного атомно-полевого состояния. Перепутанные состояния играют основополагающую роль в физике квантовой информации, квантовой коммуникации, квантовых вычислениях и квантовой криптографии [7] Перепутанные состояния являются перспективным источником для реализации квантовых логических элементов, они успешно используются в протоколах квантовой криптографии Квантовые перепутанные состояния были сгенерированы в экспериментах с микромазером и микролазером, на ионах в ловушках, на квантовых точках и в экспериментах по ядерному магнитному резонансу [7]. Отсюда вытекает необходимость детального исследования квантового перепутывания в простейших атомпо-полсвых системах- одно- и двухатомных мазерах и лазерах с вырожденным и невырожденным взаимодействием

Таким образом, проблема описания динамических и статистических свойств систем двух- и трехуровневых атомов, взаимодействующих с квантовыми электромагнитными полями в резонаторе, является актуальной и важной как с точки зрения общей теории, так и для практических приложений в лазерной физике

Цель и основные задачи диссертационного исследования

Цель диссертационной работы заключается в исследовании диссипативной квантовой динамики систем двух- и трехуровневых атомов, взаимодействующих с выделенными модами неидеальных резонаторов, изучении флук-туационпых и статистических свойств излучения таких систем, и в исследовании свойств атомно-полевого перепутывания систем двух- и трехуровневых атомов в идеальных резонаторах, взаимодействующих с полем посредством одно- и двухфотонных невырожденных переходов

Для реализации поставленной цели решаются следующие основные задачи

построить и решить систему управляющих уравнении для матрицы плотности системы в базисе "одетых" состоянии для диссипативпых систем двух- и трехуровневых атомов,

изучить влияние диссипации -энергии на динамические и статистические свойства излучения указанных систем;

исследовать чистые атомно-полевые перепутанные состояния в различных обобщениях МДК,

проанализировать возможность распутывания состояний атомной и фотонной подсистем и определить время распутывания состояний

Научная новизна

Научная новизна результатов состоит в том, что-

Получены в рамках сскулярного приближения аналитические решения задач о диссипативной динамике моделей трехуровневых атомов с конфигурацией переходов Е- и У-типа и невырожденной двухфотонпой модели Джейнса-Каммингса.. Для диссипативной невырожденной двухфо-тонной модели рассчитаны параметры сжатия фотонных мод и сжатие атомного дшгольного момента Показано, что учет утечки фотонов из резонатора приводит к исчезновению эффекта сжатия и смене типа статистики с суб- на суперпуассоновский

Обобщены результаты но динамике двухфотонных моделей одноатомного мазера на случай диссипативной модели с произвольным многофо-тониым взаимодействием и расстройкой Предсказана смена типа статистики поля с суб- на супернуассоновскии за счет диссипации.

Рассчитаны среднее число фотонов, атомные населенности, корреляционная функция второго порядка, параметры сжатия для диссипативной двухатомной одпомодовой модели Предсказано затухание и восстановление осцилляций Раби атомных паселснностей, качественно согласующееся с экспериментальными данными по динамике населенностей двух ионов Са в магнитной ловушке Показано, что наблюдаемые величины более чувствительны к диссипации энергии за счет потерь фотонов из резонатора, чем за счет спонтанного излучения в моды термостата Рассчитан параметр сжатия резопаторпого поля, максимальное значение которого двукратно превосходит сжатие в одноатомной модели.

Обобщены результаты по квантовой динамике невырожденного двухмо-дового одноатомного мазера с двухфотопным и рамаповским взаимодействием на случай коллективной двухатомной системы Найдены чистые

состояния атомов, при которых возможно атом-фотонное распутывание. Определено время распутывания, показано его принципиальное отличие от времени распутывания в одиоатомиых моделях.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается' использованием строгих математических методов; детальным анализом общих физических принципов, лежащих в основе изучаемых моделей, тестированием общих алгоритмов по результатам, полученным в других работах для частных случаев, использованием адекватных численных методов для компьютерного моделирования; качественным сравнением с существующими экспериментальными данными

Научная и практическая ценность результатов

1 Полученные в работе результаты по описанию диссипативной динамики двух- и трехуровневых атомов могут быть использованы для определения оптимальных режимов приготовления атомов и поля и проведения экспериментов в одно- и двухатомных мазерах и лазерах.

2. Материалы диссертационного исследования по атомно-полевому перепу-тыванию могут быть использованы для определения оптимальных способов генерации максимально перепутанных состояний, а также в теории квантовой информации и квантовых вычислений.

3 Полученные в диссертации результаты используются в учебном процессе в Самарском государственном университете при подготовке курсовых и дипломных работ студентами специальностей "физика" и "прикладная математика".

На защиту выносятся следующие основные положения.

1 Расчет влияния диссипации энергии на статистические свойства резона-торного поля Для рассмотренных обобщений модели Джейнса-Камминг-са диссипация энергии в атомпо-полевой системе приводит к смене типа статистики с суб- на суперпуассоновский.

2 Расчет параметров сжатия резонаторного поля в коллективной двухатомной диссипативной модели Максимальная степень сжатия в двухатомной модели двукратно превосходит сжатие в одноатомной модели Параметры сжатия более чувствительны к потерям фотонов из резонатора, чем к диссипации за счет спонтанного излучения в моды термостата

3 Условия распутывания атомной и фотонной подсистем в многофотонной, трехуровневой каскадной и двухатомных невырожденных моделях Джсйиса-Каммингеа Начальные состояния атомных подсистем и условия, налагаемые на параметры моделей, при которых реализуется распутывание Оценка времени распутывания.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на. Международном рабочем совещании Физика высоких энергий и квантовая теория поля (Самара, 2003); VII Всероссийской молодежной научной школе Когерентная оптика и оптическая спектроскопия (Казань, 2003); Ежегодных Международных школах молодых ученых по оптике, лазерной физике и биофизике (Saratov Fall Meetings, Saratov, 2003, 2005, 2006); Всероссийской научной конференции Концепции симметрии и фундаментальных полей в квантовой физике XXI века (Самара, 2005); Всероссийской конференции Проблемы фундаментальной физики XXI века (Самара, 2005); I, III и IV Самарском региональном конкурсе-конференции научных работ для студентов и молодых исследователей по оптике и лазерной физике (Самара, СФ ФИАН, 2003, 2005, 2006); III и IV Международной конференции Фуидаменталыше проблемы оптики (Санкт-Петербург, 2004, 2006); Международной конференции по оптоинформатике и информационной фотонике (Санкт-Петербург, 2006); X Международной молодежной научной школе Когерентная оптика и оптическая спектроскопия (Казань, 2006); IV Международной конференции Современная оптическая и квантовая память и вычисления (Photonics West/OPTO, San-Jose, California, 2007); V семинаре Д.Н. Клышко (Москва, МГУ, 2007); X Международных Чтениях по квантовой оптике (Самара, 2007), Международной конференции по фотонике (Photonics West, San Jose, California, USA, 2008); научно - практических конференциях и научных семинарах в Самарском государственном университете (2002-2008).

Работа поддержана грантом 335Е2 4К Министерства образования и пауки РФ по программе областного конкурса грантов для студентов, аспирантов и молодых исследователей 2005 года

Публикации

По теме диссертационной работы опубликована 31 работа, в том числе, статьи в реферируемых журналах - 11 (из них входящих в Перечень периодических научных и научно-технических изданий, в которых рекомендуется публикация основных результатов диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук - 8), статьи в сборниках трудов Всероссийских симпозиумов,

научных и научно-технических конференций - 4; статьи в сборниках трудов международных симпозиумов и конференций - 9

Личное участие автора

Все результаты, составившие основу диссертации, получены лично автором или при его определяющем участии.

Объем и структура работы

Диссертация изложена на 141 с печатного текста Она состоит из введения, 3-х глав, заключения и списка литературы, включающего 247 наименований. Общий объем диссертации - 1G7 страниц текста (в том числе 61 рисунок).

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ:

Во введении показана актуальность настоящего исследования, сформулирована цель работы, выбор объекта и методов исследования

В первой главе сделан обзор основных обобщений модели Джейнса-Каммингса, приведено описание ряда наблюдаемых эффектов, таких как суб-пуассоновская статистика поля, перепутывание, сжатие света и др. Сделан обзор основных экспериментов с микромазером и микролазером, подтверждающих теоретические предсказания вышеупомянутых эффектов.

Во второй главе рассмотрена диссипативнан динамика некоторых обобщений МДК. В первом разделе исследована релаксационная динамика трехуровневых атомов с переходами Б- и К-типа, взаимодействующих с двух-модовым полем в неидеальном резонаторе Для описания эволюции атомно-полевой системы используются решения управляющего уравнения для матрицы плотности р

= [II, />} - ¿ fc, (a¡ а,р - 2а,ра+ + ра¿ а,)

г—1

в базисе "одетых" состояний в секулярном приближении. Здесь II - гамильтониан полной атомпо-полевой системы, а,1 (а,) и 2кг - оператор рождения (уничтожения) фотонов и скорость потерь фотонов в /-й моде поля резонатора соответственно. Аналитически найдены выражения для наблюдаемых величин в случае вакуумного начального состояния поля. Для когерентного начального состояния поля в трехуровневых моделях исследовано влияние неидсальпости резонатора па статистические свойства поля, динамику среднего числа фотонов и атомных вероятностей.

Во втором разделе проведено обобщение результатов описания релаксационной динамики вырожденной модели с двухфотопными переходами на модель с переходами произвольной мультиплетноети в неидеалыюм резонаторе с расстройкой.

В третьем разделе второй главы решена задача о диссипативной динамике невырожденного двухфотонного микромазера. Исследовано влияние отстройки резонатора и потерь фотонов из резонатора на диналшку наблюдаемых величин На рис 1 представлена временная зависимость полевой кор-

gt

Phi 1 Корреляционная функция inoporo порядка дли первоП моды ноля и невырожденной двухфотонной МДК для возбужденного начального состояния атома и когерентного начального состояния поля при 7Т| — — 10. А/у — 0 и а) к/у — 0, Ь) к/у — 0 001, с) к/у = 0 01 Кривая Ь) соответствует лгачегапо (i^'+O 007, кривая с) - значению G^'+O 012

реляционной функции второго порядка для одной из мод поля в рассматриваемой модели. G['\gl) = (о,1 ~(t)a*(l))/(a}a,)'2 — 1, здесь и далее д - константа диполь-фотонного взаимодействия, Д на рисунке - величина расстройки резонатора. Как видно из рис 1, статистика чувствительна к фотонной диссипации и изменяется от суб- до суперпуассоповской при учете сильной диссипации энергии. Аналогичное поведение обнаружено для корреляционной функции второго порядка в случае больших величин отстройки резонатора Предсказан эффект сжатия для сильного начального когерентного поля и возбужденного атома Рассмотрена динамика атомного дипольного момента, предсказана возможность сжатия его абсорбционной и дисперсионной компонент. Показана деструктивная роль диссипации энергии в возникновении эффектов атомного и полевого сжатия.

В четвертом разделе исследованы динамические, статистические и флук-туационные свойства диссипативной коллективной модели двух двухуровневых атомов Учтены механизмы диссипации за счет потерь фотонов из резонатора и за счет спонтанного излучения атомами в моды термостата Обнаружено изменение типа статистики ноля от суб- к еуперпуассоновскому при

внесении атомной или фотонной диссипации. Показано, что наблюдаемые величины более чувствительны к фотонной диссипации, чем к спонтанному излучению в моды термостата Предсказываемые в настоящей работе результаты по коллективной динамике атомных населенностей находятся в хорошем качественном согласии с результатами экспериментов с ионами Со в магнитной ловушке [8). На рис. 2 показана временная эволюция параметра сжатия

I 5 1 25 1

§ °-75

5? 05 0 25 0

Рис 2 Эволюция параметра сжатия первой квадратурной компоненты ноля в диесипа-тивной двухатомной одпомодовоП МДК для когерентного начального состояния поля при п - 25, и (а) к/д - 0 и Г/д 0 (шлотная кривая), Г/д - 0 0005 (штриховая кривая), Г/у - 0 005 (точечная кривая), (б) Г/у — 0, к/ч ~ 0 (сплошная кривая), к/у - 0 00001 (штриховая кривая), к/д 0 00005 (точечная кривая)

первой квадратурной компоненты ¿ч = 2(п) + 2Яе(а2е2ш') — 4(Яе(ае'и'*))2 ((п) = (а+ы)) для когерентного начального состояния поля при различных значениях параметра диссипации (здесь 2Г - вероятность спонтанного излучения в моды термостата) Из рисунка хорошо видно, что сжатие второго порядка более чувствительно к диссипации за счет потери фотонов из резонатора, чем за счет спонтанного излучения. Отметим, что сжатие квадрата амплитуды ноля также более чувствительно к релаксации за счет утечки фотонов иг? резонатора. Также отметим, что в коллективной модели нами получено усиление сжатия приблизительно в 2 раза по сравнению с одноатомиой моделью.

В третьей главе исследовано атомно-полевое перепутывание в некоторых обобщениях модели Джейнса-Каммингса. В первом разделе третьей главы проведепо обобщение известных результатов по атомно-полевому перепу-тывашпо в двухуровневом атоме на случай многофотонной модели Джейнса-Каммингса в резонаторе с расстройкой Найдено явное выражение для атомной энтропии фон Неймана Ял = —Тгл (рлЬпрл) Предсказана возможность распутывания состояний атома и поля для одно-, двух- и четырехфотонных переходов

а

21

Во втором разделе на основании анализа энтропии фон Неймана рассмотрено атомно-полевое перспутывание для трехуровневой двухмодовой модели с переходами Е-типа. Исследовано влияние соотношения констант диполь-фотонного взаимодействия па степень перепутанности подсистем Показана возможность распутывания атомной и фотонной подсистем для некоторых начальных состояний атома.

В третьем и четвертом разделах главы исследовано атомно-полевое пере-путывапие в коллективных невырожденных МДК: двухатомной двухфотон-пой модели и двухатомной модели с рамаповским взаимодействием. В рассматриваемых коллективных невырожденных моделях получено явное выражение для линейной энтропии ре;(уцироваппой атомной матрицы плотности для произвольного начального чистого состояния атомов и когерентного состояния двухмодового поля. Для модели с рамаповским взаимодействием показано, что в случае равенства числа фотонов в обеих модах поля в начальный момент времени для широкого ряда чистых начальных атомных состояний в системе может быть получено сильное перспутывание

0 7 Об Э 05 3 о +

■г (И.

I «2

о 1

/Ку^'

2 4 6 8 10 12 14

0 7 06 ^05 Ъ 04 03 02

СЛ

0 1

07 0 6 1?0 5 Ъ 04

" 0 2 (Л и

0 1 |

А

А А

6 8 81

?

10 12 14

' ' 1 И

6 8 10 12 14 §1

Риг 3 Эволюция липешюи энтропии А" = 1 — Тг(р2АГ) (черным цветом) и вероятность обпаружичь оба лома н побужденном состоянии (серым цветом) в двухатомных невырожденных моделях е двухфотопныы (а, б) и рамаповским (в, г) взаимодействием для на-ЧНЧЬНЧГО СОСЮЯПП» люыив щ (I I • ) ^ | —, —}) И СИЛЬНОГО когерентною ПОЛЯ 7/, — — 50 (б, г) и 771 — 110 , 772 — Г>0 (а, и)

На рис. 3 продемонстрировано временное поведение линейной энтропии S — 1 — TV (рдТ) для рассматриваемых коллективных невырожденных моделей Из рисунка хорошо видно, что для выбранного начального атомного состояния обе модели демонстрируют распутывание состояний в случае сильного когерентного поля с к = П1/П2 = 3. Из рисунка также видно, что в модели с невырожденным рамаиовским взаимодействием атомы и поле сильно перепутаны в случае к = 1, в отличие от модели с двухфотонным невырожденным взаимодействием и модели с вырожденным рамаиовским взаимодействием

Для исследуемых коллективных невырожденных моделей рассмотрена эволюция волновой функции полной системы для различных чистых начальных состояний атомов и сильного когерентного двухмодового поля. Найдены такие чистые начальные суперпозиционные состояния атомов, для которых в ходе эволюции системы возникает распутывание атомной и фотонной подсистем. Вычислено время распутывания и показана его зависимость от начального соотношения средних чисел фотонов в модах резонатора. Для коллективной модели с невырожденным двухфотонным взаимодействием время распутывания составляет

NrP 41}(2т + 1) dls 2 (к + 1) '

для целого к = щ/щ, здесь Т^ = 2л/дуД - период восстановления основных осцилляций Раби, m = 0, 1, 2... Для двухатомной модели с взаимодействием рамановского типа время распутывания состояний атомов и поля составляет

Т(П

j Raman __ 1R

d's _ 4(k — 1)"

Показана возможность факторизации волновой функции полной системы в моменты времени распутывания /(г,8 для чистых суперпозиционных атомных состояний вида Jj (|+, —) + |—,+)) и 4j (|+,+) + |—, -)) и когерентного поля большой интенсивности в случае к ф 1 для модели с невырожденным рамаиовским взаимодействием и произвольного к для модели с невырожденным двухфотонным взаимодействием.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

1 На основании метода матрицы плотности описания диссипа.тивной динамики моделей тина Джеинса-Каммингса определено временное поведение для наблюдаемых величин в трехуровневых, многофотонной, невырожденной двухфотонной и двухатомной моделях в случае вакуумного, когерентного или сжатого начальных состояний резона.торного поля

Показано, что времена релаксации средних атомных населенноетей значительно превосходят времена релаксации средних чисел фотонов.

2 Предсказан эффект смены типа статистики резоиаторного поля с суб-пуасеоновского па суперпуассоновский в результате действия механизмов диссипации для рассматриваемых обобщений модели Джейнса-Кам-мингса

3 Показано, что временное поведение наблюдаемых величин для коллективной двухатомной модели более чувствительно к диссипации энергии за счет потерь фотонов из резонатора, чем за счет спонтанного излучения в моды термостата

4 Рассчитаны параметры сжатия квадратурных компонент резоиаторного поля и сжатия квадрата амплитуды поля для двухатомной модели для случая интенсивных начальных состояний когерентного поля Обнаружено двукратное увеличение максимальном степени сжатия по сравнению с одноатомным случаем

5 На основании анализа временного поведения энтропии фон Неймана и линейной атомной энтропии показана возможность распутывания атомно-полевых состояний в многофотонной, трехуровневой и невырожденных двухатомных моделях с двухфотонным и рамановским взаимодействием. Найдены такие чистые начальные состояния атомной подсистемы, для которых реализуется распутывание. Вычислено время распутывания состояний подсистем для невырожденных двухатомных моделей Показано его принципиальное отличие от времени распутывания в одноатомной одномодовой модели

В конце диссертации приведен список использованной литературы, основные работы автора диссертации [37]-[58].

Основные публикации по теме диссертации

Работы, опубликованные в ведущих рецензируемых журналах и изданиях, определенных ВАК РФ.

[1] Башкиров Е.К., Русакова М.С. Временная эволюция двухуровневого атома с многофотонными переходами в неидеалыюм резонаторе с расстройкой // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2005. Т2/36. С. 156167.

[2] Башкиров Е.К., Русакова М.С Диссипативная динамика невырожденной двухфотонной модели Джейнса-Каммингса в резонаторе конечной добротности // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2005. Т. 5/39. С. 109-124.

[3| Башкиров Е.К., Русакова М.С Диссипативная динамика невырожденной двухуровневой модели Джейнса-Каммингса // Известия СНЦ РАН. 2005. Т.7, № 2. С. 376-384

[4] Башкиров Е К., Русакова М.С. Перепутанные состояния в системе трехуровневого атома 5-типа, взаимодействующего с квантовым электромагнитным нолем // Физика волновых процессов и радиотехнические устройства. 2006. Т.9, № 2. С. 4-10.

[5| Русакова М.С., Башкиров Е.К. Перспутывание в двухатомной двухфотонной невырожденной модели Джейнса-Каммингса // Ученые записки Казанского университета. 2007. Т. 149. С. 90-96.

[6| Башкиров Е.К., Русакова М.С. Статистика и сжатие света в диссипатив-ной двухатомной модели Джейнса-Каммингса // Оптика и спектроскопия 2008 Т 105, № 1. С 82-88

|7| Башкиров Е.К., Русакова М.С Динамика полевого сжатия и сжатия квадрата амплитуды поля в модели двух двухуровневых атомов с учетом атомной и фотонной диссипации // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2008. Т. 11, № 1. С. 70-77.

[8] Bashkirov Е К., Rusakova M S Atom-field entanglement in two-atom Jaynes-Cuminings model with nondegenerate two-plioton transitions j/ Opt. Comm. 2008 Vol 281 P. 4380-4386.

Работы, опубликованные в других изданиях'

|1| Башкиров Е К , Русакова М.С Динамика трехуровневого атома Е, - типа в пеидеальпом резонаторе // Теоретическая физика 2002 Т. 2 С. 52-66.

[2] Русакова M.С Динамика обобщенной модели Джейнса-Каммингса в неидеальном резонаторе // Труды Седьмой всероссийской молодежной научной школы "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия". 2003 С 91-96

[3] Bashkirov Е К., Rusakova M S. Coherent many-photon dynamics of two-level atom in nonideal cavity // QFTHEP'2003 Proceedings of the XVII International Workshop. 2003. P 302-307.

[4] Bashkirov E К , Rusakova M S Time evolution of a two-level atom with multiphoton transitions in a detuned nonideal cavity // Pioc. SPIE. 2004 Vol. 5476. P. 114-122.

[5] Русакова M.С. Динамика атомных систем в неидеальном резонаторе // Труды третьей международной конференции "Фундаментальные проблемы оптики". Санкт-Петербург, 2004. С. 26-27.

[6| Башкиров Е.К., Русакова AI С. Динамика системы двух двухуровневых атомов в неидеальном резонаторе с учетом атомной диссипации // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2006. Т 3/43 С. 30-40.

[7| Bashkiiov Е.К., Rusakova M.S. The entropy and entangled states in a E-typc three-level atom, interacting with two-mode field // Proc. SPIE. 2006 Vol 6537. P. 65370J (1-8)

|8] Башкиров E К., Русакова M.С. Эволюция энтропии в многофотонной модели Джейнса-Каммингса // Теоретическая физика. 2006 Т. 7. С 8692.

[9| Русакова М.С., Башкиров Е К Энтропия и перепутанные состояния в двухатомной модели Джсйпса-Каммипгса с невырожденными двухфо-топпыми переходами // Труды Десятой международной молодежной научной школы "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия" Казань, 2006 С. 131-134

[10] Bashkiiov Е.К., Rusakova M. S. Dissipative dynamics of îiondegenerate two-photon Jaynes-Cummings model // Pioc. SPIE 2006 Vol. 6165 P. 61650H [1-8]

[11| Bashkiiov EK , Rusakova MS The dynamics of the two two-level atoms with atom dissipation // Pioc SPIE, 2007 Vol. 6537. P 653701 [1-8].

[12] Bashkirov E.K , Rusakova M S Entangled atom-field and atom-atom states in a collective two-atom models // Pioc. SPIE 2008 Vol 6903. P 69030T [1-8].

[13] Bashkirov E.K., Rusakova M S Entanglement in collective two-atom models // Proc. SPIE. 2008. Vol 7024 P. 70240G [1-8].

[14] Rusakova M.S. Field squeezing and statistics in a two-atom dissipative Jaynes-Cummings model // Proc. SPIE. 2008. Vol. 7024. P. 702407 [1-8].

Список цитируемой литературы

[1] Shore В W., Knight P.L. Topical review on the Jaynes-Cummings model // J.Mod.Opt. 1993. V.40. P. 1195 - 1238.

[2] Walter H. et al. Cavity quantum electrodynamics // Rep. Prog Pliys 2006 V.G9. P. 1325 - 1382.

[3] Leibfried D., Blatt R., Monroe C. Quantum dynamics of single trapped ions // Rev. Mod. Phys. 2003. V.75 P. 281 - 324.

[4] Vion D. et al. Manipulating the quantum state of an electrical circuit // Science 2002. V. 296, №5569. P. 886 - 889.

[5] Brune M. et al. Realization of a two-photon maser oscillator // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 59, № 17. P. 1899 - 1902.

(6| Dell'Anno F , De Siena S., Illuminati F. Multiphoton quantum optics and quantum state engineering // Physics Reports. 2006. V 428. P. 53 - 168.

[7] Бауместер Д., Экерт А., Цайлингер А. Физика квантовой информации. - М.: Постмаркет, 2002 - 376с.

[8] Rohde Н. et al. Sympathetic ground-state cooling and coherent manipulation with two-ion crystals // J Opt. B: Quantum Semiclass. Opt Vol 3 2001 P. S34-S41.

Подписано в печать 20 октября 2008г. Формат 60x84/16 Бумага офсетная. Печать оперативная Объем 1 п л. Тираж 100 экз. Заказ № !56<? 443011, г. Самара, ул. Академика Павлова, 1

Отпечатано УОП СамГУ

Введение '

1 Модель Джейнса-Каммингса и ее неклассические свойства

1.1 Модель Джейнса-Каммингса (МДК) двухуровневого атома

1.1.1 Коллапс и восстановление осцилляций Раби

1.1.2 Обобщения модели: двухатомная, многофотонная, трехуровневая модели Джейнса-Каммингса.

1.2 Обзор экспериментов с микромазером и микролазером

1.3 Сжатые состояния в модели Джейнса-Каммингса.

1.3.1 Понятие о сжатом состоянии. Способы генерации сжатых состояний

1.3.2 Сжатие света в моделях типа Джейнса-Каммингса

1.4 Статистика света в моделях типа Джейнса-Каммингса. Группировка и антигруппировка фотонов.

1.5 Перепутанные состояния.

1.5.1 Определение чистого перепутанного состояния. Линейная атомная и полевая энтропия.

1.5.2 Чистые перепутанные состояния в моделях типа Джейнса-Каммингса в идеальных резонаторах

1.5.3 Экспериментальная генерация перепутанных состояний

2 Диссипативная динамика моделей типа Джейнса-Каммингса

2.1 Динамика трехуровневых обобщений МДК.

2.1.1 Трехуровневый атом с переходами лестничного типа

2.1.2 Трехуровневый атом с переходами У-типа

2.2 Динамика двухуровневого атома в неидеальном резонаторе с расстройкой. Многофотонные переходы.

2.2.1 Общий подход к описанию эволюции системы

2.2.2 Атомные и полевые характеристики для вакуумного начального состояния поля.

2.2.3 Атомные и полевые характеристики для когерентного начального состояния поля.

2.3 Невырожденная двухфотонная модель Джейнса-Каммингса

2.3.1 Гамильтониан и кинетическое уравнение

2.3.2 Случай вакуумного начального состояния поля

2.3.3 Случай когерентного начального состояния поля

2.3.4 Корреляционная функция второго порядка для когерентного начального состояния поля.

2.3.5 Сжатие фотонной моды для когерентного начального состояния поля.

2.3.6 Случай сжатого начального состояния поля.

2.3.7 Атомное сжатие.

2.4 Динамика двух двухуровневых атомов в неидеальном резонаторе с учетом атомной диссипации

2.4.1 Гамильтониан и кинетическое уравнение

2.4.2 Среднее число фотонов и атомные вероятности для когерентного начального состояния поля.

2.4.3 Корреляционная функция второго порядка для когерентного начального состояния поля.

2.4.4 Сжатие второго порядка и квадрата амплитуды поля для когерентного и сжатого начальных состояний поля 90 3 Перепутанные состояния в моделях типа Джейнса-Каммингса

3.1 Эволюция энтропии в многофотонной модели Джейнса-Каммингса.

3.1.1 Редуцированная атомная матрица плотности и энтропия фон-Неймана двухуровневой многофотонной модели

3.1.2 Волновая функция для т-фотонного перехода

3.2 Энтропия и перепутанные состояния в системе трехуровневого атома 2-типа, взаимодействующего с квантовым электромагнитным полем.

3.2.1 Редуцированная матрица плотности атомной подсистемы

3.2.2 Эволюция редуцированной энтропии атомной подсистемы

3.2.3 Эволюция вектора состояния системы.

3.3 Эволюция энтропии для двухатомной невырожденной модели Джейнса-Каммингса.

3.3.1 Описание модели. Точное решение уравнения Шре-дингера для волновой функции системы.

3.3.2 Динамика редуцированной энтропии атомной подсистемы для различных начальных состояний атомов и поля.

3.3.3 Эволюция вектора состояния системы

3.4 Перепутывание в системе двух двухуровневых атомов с рамановским невырожденным двухфотонным взаимодействием

3.4.1 Точное решение уравнения Шредингера.

3.4.2 Динамика линейной энтропии для двухатомной модели с невырожденным рамановским взаимодействием

3.4.3 Вектор состояния системы.

Актуальность проблемы

В современной квантовой оптике и лазерной физике значительное внимание уделяется как теоретическому, так и экспериментальному исследованию взаимодействия отдельных атомов и простейших атомных систем с квантовыми электромагнитными полями. Подобный интерес обусловлен рядом объективных причин, главные из которых сводятся к следующему.

Наиболее просто теоретически описать взаимодействие излучения с веществом можно при помощи точно решаемой фундаментальной модели квантовой оптики - модели Джейнса-Каммингса (МДК) [1]. Оригинальная МДК описывает взаимодействие двухуровневого атома с выделенной модой квантового электромагнитного поля в резонаторе. Именно изучение точно решаемых моделей, в частности, модели Джейнса-Каммингса, позволяет адекватно описать протекающие в системе физические процессы и предсказать появление новых, принципиально неклассических эффектов. Многочисленные теоретические исследования МДК и ее обобщений, учитывающих как дополнительные атомные уровни, так и многомодовое поле и многофотонные переходы, показали существование в ней ряда новых квантовых эффектов: коллапс и восстановление осцилляций Раби, субпуас-соновскую статистику поля и эффект антигруппировки фотонов, пленение населенностей атомных уровней, сжатие света, перепутывание и др. [2].

Вместе с тем, совершенствование техники оптического эксперимента на современном этапе позволило экспериментально реализовать модель Джейнса-Каммингса, а также некоторые ее обобщения [3]-[12]. Создание таких концептуальных приборов, как одноатомный мазер и одноатомный лазер, где реализовано взаимодействие одиночного атома с выделенными модами поля в высокодобротном резонаторе, позволило проверить на опытах и подтвердить ряд ранее предсказанных для МДК квантовых эффектов. В экспериментах с микромазерами и микролазерами наблюдали вакуумные осцилляции Раби, восстановление и затухание осцилляций Раби, субпуас-соновскую статистику света и эффект антигруппировки фотонов, эффект пленения атомных населенностей, квантовые скачки, генерацию фоковских состояний поля и атом-полевого перепутывания и др. ([3]-[11],[13]-[15]).

Экспериментальная реализация модели Джейнса-Каммингса на рид-берговских атомах в высокодобротных резонаторах одноатомных мазеров и лазеров стимулировала новые исследования квантовых эффектов в МДК. Одним из направлений таких исследований является учет взаимодействия атомно-полевой системы с окружением. Подобное взаимодействие физической системы с термостатом неизбежно приводит к декогеренции, поэтому для адекватного описания динамики микромазеров и микролазеров необходимо принять во внимание диссипацию. Стоит отметить, что ряд недавних экспериментов с микромазером в Париже [8], Гархинге [4] и Пасадене [9] проводился для значительных величин констант диссипации атомной и фотонной подсистем. Диссипативная модель Джейнса-Каммингса также была реализована в экспериментах с ионами в ловушках [16], [17] и в сверхпроводящих системах [18],[19]. В экспериментах с плененными ионами наблюдали генерацию неклассических колебательных состояний (фо-ковского, когерентного, теплового, сжатого) [20], атомно-фотонное перепу-тывание [21], двухчастичное перепутывание внутренних состояний ионов [22] и др. квантовые эффекты.

Поэтому представляет интерес исследовать взаимодействие одиночных атомов и простейших атомных систем с квантовыми полями в резонаторах. При этом важно принять во внимание различные механизмы диссипации, приводящие к релаксации атомно-полевой системы.

Хорошо известно, что двухфотонные процессы в атомных системах играют важную роль, благодаря высокой степени корреляции между испущенными фотонами. Интерес к исследованию двухфотонной МДК во многом обусловлен экспериментальной реализацией двухфотонного одноатомного мазера на высоковозбужденных ридберговских атомах [7]. Естественным расширением модели двухфотонного микромазера является модель с многофотонным взаимодействием произвольной мультиплетности. Другим важным обобщением модели двухфотонного микромазера является невырожденный двухфотонный двухмодовый мазер, который представляет двухуровневый ридберговский атом, взаимодействующий с двумя модами квантового электромагнитного поля в высокодобротном резонаторе посредством невырожденных двухфотонных переходов. Особенностью двухфотонного двухмодового мазера является возможность модуляции, усиления и контроля одной моды при помощи другой. Для МДК с невырожденными двухфотонными переходами (NTPJCM1) и рамановски-ми переходами были исследованы атомные населенности, статистика поля, атомное и полевое сжатие, атомная и полевая энтропия и перепутывание [23]. Однако до сих пор не уделялось достаточного внимания диссипатив-ной динамике невырожденной двухфотонной МДК. В связи с вышесказанным важно обобщить известные результаты для идеального двухфотонного микромазера на случай диссипативных моделей с многофотонным и невырожденным двухфотонпым взаимодействием.

В экспериментах с микромазером взаимодействие атома с модой квантового электромагнитного поля в резонаторе приводит к генерации квантового перепутанного атомно-полевого состояния. Квантовые перепутанные состояния играют основополагающую роль в физике квантовой информации, квантовой коммуникации, квантовых вычислениях и квантовой криптографии [17],[24],[25]. Перепутанные состояния являются перспективным источником для реализации квантовых логических элементов, они успешно используются в протоколах квантовой криптографии при передаче ключа, перепутанные состояния используются в схемах квантовой телепортации. Квантовые перепутанные состояния успешно сгенерированы в экспериментах с микромазером и микролазером, экспериментах с ионами в ловушках, на квантовых точках и в экспериментах по ядерному магнитному резонансу [15],[26]-[29].

Группа С. Хароша (Ecole Normale Supérieure, Париж) в экспериментах с микромазером осуществила генерацию атом-полевых и атом-атомных перепутанных состояний, в частности, были получены ЭПР-пары2, ГХЦ-состояния 3, была реализована квантовая условная фазовая динамика, сгенерировано состояние типа Шредингеровского кота [15]. В экспериментах с атомами С s в магнитооптических ловушках было получено коллективное перепутывание состояний двух атомов [30].

Перспективную экспериментальную базу для демонстрации перепуты-вания и реализации квантовых вычислений представляют ионы в ловушках [16],[17],[21],[31]-[36]. В экспериментах с ионами наблюдали перепуты

1Nondegenerate two-photon Jaynes-Cummings model

2пары Эйнштейна-Подольского-Розена

Состояния Гринбергера-Хорна-Цайлингера вание между плененным ионом 1ПС(1+ и спонтанно излученным одиночным фотоном [21], двухчастичное перепутывание состояний ионов 9Ве+ в эллиптической радиочастотной ловушке Пауля [22]. Дж. Цирак и П. Цол-лер предложили схему квантовых вычислений на плененных ионах Ва+ [31]. В недавних экспериментах с ионами 171УЬ+ в ловушках Пауля были сгенерированы двухчастичные ион-фотонные и ион-ионные перепутанные состояния [36].

Отсюда вытекает необходимость детального исследования квантового перепутывания в простейших атомно-полевых системах: одно- и двухатомных мазерах и лазерах с вырожденным и невырожденным взаимодействием.

Таким образом, проблема описания динамических и статистических свойств систем двух- и трехуровневых атомов, взаимодействующих с квантовыми электромагнитными полями в резонаторе, является актуальной и важной как с точки зрения общей теории, так и для практических приложений в лазерной физике.

Цель и основные задачи диссертационного исследования

Цель диссертационной работы заключается в исследовании диссипа-тивной квантовой динамики систем двух- и трехуровневых атомов, взаимодействующих с выделенными модами неидеальных резонаторов, изучении флуктуационных и статистических свойств излучения таких систем, и в исследовании свойств атомно-полевого перепутывания систем двух- и трехуровневых атомов в идеальных резонаторах, взаимодействующих с полем посредством одно- и двухфотонных невырожденных переходов.

Для реализации поставленной цели решаются следующие основные задачи:

• построить и решить систему управляющих уравнений для матрицы плотности системы в базисе "одетых" состояний для диссипативных систем двух- и трехуровневых атомов;

• изучить влияние диссипации энергии на динамические и статистические свойства излучения указанных систем;

• исследовать чистые атомно-полевые перепутанные состояния в различных обобщениях МДК; проанализировать возможность распутывания состояний атомной и фотонной подсистем и определить время распутывания состояний.

Научная новизна

Научная новизна результатов состоит в том, что:

Получены в рамках секулярного приближения аналитические решения задач о диссипативной динамике моделей трехуровневых атомов с конфигурацией переходов Е- и У-типа и невырожденной двухфотон-ной модели Джейнса-Каммингса. Для диссипативной невырожденной двухфотонной модели рассчитаны параметры сжатия фотонных мод и сжатие атомного дипольного момента. Показано, что учет утечки фотонов из резонатора приводит к исчезновению эффекта сжатия и смене типа статистики с суб- на суперпуассоновский.

Обобщены результаты по динамике двухфотонных моделей одноатомного мазера иа случай диссипативной модели с произвольным многофотонным взаимодействием и расстройкой. Предсказана смена типа статистики поля с суб- на суперпуассоновский за счет диссипации.

Рассчитаны среднее число фотонов, атомные населенности, корреляционная функция второго порядка, параметры сжатия для диссипативной двухатомной одномодовой модели. Предсказано затухание и восстановление осцилляций Раби атомных населенностей, качественно согласующееся с экспериментальными данными по динамике населенностей двух ионов Са в магнитной ловушке. Показано, что наблюдаемые величины более чувствительны к диссипации энергии за счет потерь фотонов из резонатора, чем за счет спонтанного излучения в моды термостата. Рассчитан параметр сжатия резонаторного поля, максимальное значение которого двукратно превосходит сжатие в одноатомной модели.

Обобщены результаты по квантовой динамике невырожденного двух-модового одноатомного мазера с-двухфотонным и рамановским взаимодействием на случай коллективной двухатомной системы. Найдены чистые состояния атомов, при которых возможно атом-фотонное распутывание. Определено время распутывания, показано его принципиальное отличие от времени распутывания в одноатомных моделях.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается: использованием строгих математических методов; детальным анализом общих физических принципов, лежащих в основе изучаемых моделей; тестированием общих алгоритмов но результатам, полученным в других работах для частных случаев; использованием адекватных численных методов для компьютерного моделирования; качественным сравнением с существующими экспериментальными данными.

Научная и практическая ценность результатов

1. Полученные в работе результаты по описанию диссипативной динамики двух- и трехуровневых атомов могут быть использованы для определения оптимальных режимов приготовления атомов и поля и проведения экспериментов в одно- и двухатомных мазерах и лазерах.

2. Материалы диссертационного исследования по атомно-полевому пере-путыванию могут быть использованы для определения оптимальных способов генерации максимально перепутанных состояний, а также в теории квантовой информации и квантовых вычислений.

3. Полученные в диссертации результаты используются в учебном процессе в Самарском государственном университете при подготовке курсовых и дипломных работ студентами специальностей "физика"и "прикладная математика".

На защиту выносятся следующие основные положения.

1. Расчет влияния диссипации энергии на статистические свойства ре-зонаторного поля. Для рассмотренных обобщений модели Джейнеа-Каммингса диссипация энергии в атомно-полевой системе приводит к смене типа статистики с суб- на суперпуассоновский.

2. Расчет параметров сжатия резонаторного поля в коллективной двухатомной диссипативной модели. Максимальная степень сжатия в двухатомной модели двукратно превосходит сжатие в одноатомной модели. Параметры сжатия более чувствительны к потерям фотонов из резонатора, чем к диссипации за счет спонтанного излучения в моды термостата.

3. Условия распутывания атомной и фотонной подсистем в многофотонной, трехуровневой каскадной и двухатомных невырожденных моделях Джейнса-Каммингса. Начальные состояния атомных подсистем и условия, налагаемые на параметры моделей, при которых реализуется распутывание. Оценка времени распутывания.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: Международном рабочем совещании Физика высоких энергий и квантовая теория поля (Самара, 2003); VII Всероссийской молодежной научной школе Когерентная оптика и оптическая спектроскопия (Казань, 2003); Ежегодных Международных школах молодых ученых по оптике, лазерной физике и биофизике (Saratov Fall Meetings, Saratov, 2003, 2005, 2006); Всероссийской научной конференции Концепции симметрии и фундаментальных полей в квантовой физике XXI века (Самара, 2005); Всероссийской конференции Проблемы фундаментальной физики XXI века (Самара, 2005); I, III и IV Самарском региональном конкурсе-конференции научных работ для студентов и молодых исследователей по оптике и лазерной физике (Самара, СФ ФИАН, 2003, 2005, 2006); III и IV Международной конференции Фундаментальные проблемы оптики (Санкт-Петербург, 2004, 2006); Международной конференции по оптоинформатике и информационной фотонике (Санкт-Петербург, 2006); X Международной молодежной научной школе Когерентная оптика и оптическая спектроскопия (Казань, 2006); IV Международной конференции Современная оптическая и квантовая память и вычисления (Photonics West/OPTO, San-Jose, California, 2007); V семинаре Д.Н. Клышко (Москва, МГУ, 2007); X Международных Чтениях по квантовой оптике (Самара, 2007); Международной конференции по фотонике (Photonics West, San Jose, California, USA, 2008); научно - практических конференциях и научных семинарах в Самарском государственном университете (2002-2008).

Работа поддержана грантом 335Е2.4К Министерства образования и науки РФ по программе областного конкурса грантов для студентов, аспирантов и молодых исследователей 2005 года.

Публикации

По теме диссертационной работы опубликована 31 работа, в том числе: статьи в реферируемых журналах - 11 (из них входящих в Перечень периодических научных и научно-технических изданий, в которых рекомендуется публикация основных результатов диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук - 8); статьи в сборниках трудов Всероссийских симпозиумов, научных и научно-технических конференций - 4; статьи в сборниках трудов международных симпозиумов и конференций - 9.

Личное участие автора

Все результаты, составившие основу диссертации, получены лично автором или при его определяющем участии.

Объем и структура работы

Диссертация изложена па 141 с. печатного текста. Она состоит из введения, 3-х глав, заключения и списка литературы, включающего 247 наименований. Общий объем диссертации - 167 страниц текста (в том числе 61 рисунок).

Заключение

Сформулируем основные выводы и результаты диссертационной работы:

1. На основании метода матрицы плотности описания диссипативной динамики моделей типа Джейнса-Каммингса определено временное поведение для наблюдаемых величин в трехуровневых, многофотонпой, невырожденной двухфотонной и двухатомной моделях в случае вакуумного, когерентного или сжатого начальных состояний резонаторно-го поля. Показано, что времена релаксации средних атомных паселен-ностей значительно превосходят времена релаксации средних чисел фотонов.

2. Предсказан эффект смены типа статистики резонаторного поля с суб-пуассоновского на суперпуассоновский в результате действия механизмов диссипации для рассматриваемых обобщений модели Джейнса-Каммингса.

3. Показано, что временное поведение наблюдаемых величии для коллективной двухатомной модели более чувствительно к диссипации энергии за счет потерь фотонов из резонатора, чем за счет спонтанного излучения в моды термостата.

4. Рассчитаны параметры сжатия квадратурных компонент резонаторного поля и сжатия квадрата амплитуды поля для двухатомной модели для случая интенсивных начальных состояний когерентного поля. Обнаружено двукратное увеличение максимальной степени сжатия по сравнению с одноатомным случаем.

5. На основании анализа временного поведения энтропии фон Неймана и линейной атомной энтропии показана возможность распутывания атомно-полевых состояний в многофотонной, трехуровневой и невырожденных двухатомных моделях с двухфотонным и рамановским взаимодействием. Найдены такие чистые начальные состояния атомной подсистемы, для которых реализуется распутывание. Вычислено время распутывания состояний подсистем для невырожденных двухатомных моделей. Показано его принципиальное отличие от времени распутывания в одноатомной одномодовой модели.

1. Jaynes Е.Т., Cummings F.W. Comparison of quantum and semiclassical radiation theories with application to the beam maser // Proc. 1.EE. 1963. V.51. P. 89 -109.

2. Shore B.W., Knight P.L. Topical review on the Jaynes-Cummings model // J.Mod.Opt. 1993. V.40. P. 1195 1238.

3. Meschede D., Walther H., Müller G. One Atom Maser // Phys. Rev. Lett. 1985. V.54, №6. P. 551 - 554.

4. Вальтер Г. Одноатомный мазер и другие эксперименты квантовой электродинамики резонатора // УФЫ. 1996. Т.166, №7. С. 777 794.

5. Walther Н. et al. Cavity quantum electrodynamics // Rep. Prog. Phys. 2006. V.69. P. 1325 1382.

6. Münstermann P. et al. Dynamics of Single-Atom Motion Observed in a High-Finesse Cavity // Phys. Rev. Lett. 1999. V.82, №19. P. 3791-3794.

7. Brune M. et al. Realization of a two-photon maser oscillator // Phys. Rev. Lett. 1987. V.59, № 17. P. 1899 1902.

8. Brune M. et al. Observing the Progressive Decoherence of the "Meter" in a Quantum Measurement // Phys. Rev. Lett. 1996. V.77, №24. P. 4887 4890.

9. Ye J., Vernooy D.W., Kimble H.J. Trapping of Single Atoms in Cavity QED // Phys. Rev. Lett. 1999. V.83, №24. P. 4987-4990.

10. Brandes Т. Coherent and collective quantum optical effects in mesoscopic systems // Phys. Reports. 2005. V. 408. P. 316 474.

11. McKeever J. et al. Experimental realization of a one-atom laser in the regime of strong coupling // Nature. 2003. V.425. P. 268 271.

12. Miller R. et al. Trapped atoms in cavity QED: coupling quantized light and matter // J. Phys. B. 2005. V. 38. P. S551 S565.

13. Rempe G., Walther H., Klein N. Observation of Quantum Collapse and Revival in One-Atom Maser // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58. P. 353-358.

14. Brune M. et al. Quantum Rabi oscillation: a direct test of field quantization in a cavity // Phys. Rev. Lett. 1996. V.76, №11. P. 1800- 1803.

15. Raimond J. M., Brune M., Haroche S. Manipulating quantum entanglement with atoms and photons in a cavity // Rev. Mod. Phys. 2001. V. 73. P. 565-582.

16. Leibfried D., Blatt R. Monroe C. Quantum dynamics of single trapped ions // Rev. Mod. Phys. 2003. V.75. P. 281 324.

17. Бауместер Д., Экерт А., Цайлингер А. Физика квантовой информации. М.: Постмаркет, 2002. - 376с.

18. Nakamura Y., Pashkin Yu. A., Tsai J.S. Coherent control of macroscopic quantum states in a single-cooper-pair box // Nature. 1999. V. 398. P. 786- 788.

19. Vion D. et al. Manipulating the quantum state of an electrical circuit // Science. 2002. V. 296, №5569. P. 886 889.

20. Meekhof D.M. et al. Generation of nonclassical states of a trapped atom // Phys. Rev. Lett. 1996. V.76, №11. P.1796 1799.

21. Blinov B.B. et al. Observation of entanglement between a single atom and a single photon // Nature, 2004. V. 428. P. 153-157.

22. Turchette Q.A. et al. Deterministic entanglement of two trapped ions // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. P. 3631-3634.

23. Dell'Anno F., De Siena S., Illuminati F. Multiphoton quantum optics and quantum state engineering // Physics Reports. 2006. V.428. P. 53 168.

24. Баргатин И.В., Гришанин Б.А., Задков В.Н. Запутанные квантовые состояния атомных систем // УФН. 2001. V. 171, №6. С. 625 647.

25. Килин С.Я. Квантовая информация // УФН. 1999. Т.169, №5. С.507 527.

26. Raimond J.M. Quantum information processing with atoms and cavities //Superlattices and Microstructures. 2002. V. 32. P. 187-193.

27. Raimond J.M. Entanglement, Complementarity and Decoherence // Quantum Computers and Computing. 2003. V. 4, №1. R 3-9.

28. Das R., Bhattacharyya R., Kumar A. Quantum information processing by NMR using a 5-qubit system formed by dipolar coupled spins in an oriented molecule //J. Magnetic Resonance. 2004. V. 170. R 310-321.

29. Ekert A., Jozsa R. Quantum computation and Shor's factoring algorithm // Rev. Mod. Phys. 1996. V. 68. P. 733-753.

30. Laurat J. et al. Heralded Entanglement between Atomic Ensembles: Preparation, Decoherence, and Scaling // Phys. Rev. Lett. 2007. V. 99. P. 180504 (1-4).

31. Cirac J.I., Zoller P. Quantum Computations with Cold Trapped Ions // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 74. P. 4091-4094.

32. Monroe C., Bollinger J. Atomic physics in ion traps // Phys. World. 1997. V. 10. P.37-41.

33. Monroe C. et al. Demonstration of a fundamental quantum logic gate // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 75. P. 4714-4717.

34. Blinov B.B. et al. Quantum computing with trapped ion hyperfine qubits // Quantum Information Processing, 2004. V. 3. P. 45-59.

35. Wineland D.J. et al. Experimental issue in coherent quantum-state manipulation of trapped atomic ions //J. Res. Nat. Inst. Stand. Technol. 1998. V. 103, №3. P. 259 328.

36. Matsukevich D. N. et al. Bell Inequality Violation with Two Remote Atomic Qubits // Phys. Rev. Lett. 2008. V. 100. P. 150404 (1-4).

37. Башкиров E.K., Русакова M.C. Динамика трехуровневого атома Н -типа в неидеалыюм резонаторе // Теоретическая физика. 2002. Т. 2. С. 52-66.

38. Русакова M.С. Динамика обобщенной модели Джейнса-Каммингса в неидеальном резонаторе // Труды Седьмой всероссийской молодежной научной школы "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия". Казань, 2003. С. 91-96.

39. Rusakova M.S., Bashkirov E.K. Time évolution of a two-level atom with multiphonon transitions in a detuned nonideal cavity // Proc. SPIE. 2004. V. 5476. P. 114-122.

40. Bashkirov E.K., Rusakova M.S. Coherent many-photon dynamics of two-level atom in nonideal cavity // QFTHEP'2003. Proceedings of the XVII International Workshop. 2003. P. 302-307.

41. Русакова M.С. Динамика атомных систем в неидеальном резонаторе // Труды третьей международной конференции "Фундаментальные проблемы оптики". Санкт-Петербург, 2004. С. 26-27.

42. Башкиров Е.К., Русакова М.С. Временная эволюция двухуровневого атома с многофотонными переходами в неидеальном резонаторе с расстройкой // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2005. Т2/36. С. 156-167.

43. Башкиров Е.К., Русакова М.С. Диссипативная динамика невырожденной двухфотонной модели Джейнса-Каммингса в резонаторе конечной добротности // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2005. Т. 5/39. С. 109-124.

44. Башкиров Е.К., Русакова М.С. Диссипативная динамика невырожденной двухуровневой модели Джейнса-Каммингса // Известия СНЦ РАН. Самара, 2005. Т.7, №2. С. 376-384.

45. Башкиров Е.К., Русакова М.С. Динамика системы двух двухуровневых атомов в неидеальном резонаторе с учетом атомной диссипации // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2006. Т. 3/43. С. 30-40.

46. Башкиров Е.К., Русакова M.С. Перепутанные состояния в системе трехуровневого атома Е-типа, взаимодействующего с квантовым электромагнитным полем // Физика волновых процессов и радиотехнические устройства. 2006. Т.9, №2. С.4-10.

47. Башкиров Е.К., Русакова М.С. Эволюция энтропии в многофотонной модели Джейнса-Каммингса // Теоретическая физика. Самара, 2006. Т. 7. С. 86-92.

48. Bashkirov Е.К., Rusakova M. S., Dissipative dynamics of nondegenerate two-photon Jaynes-Cummings model // Proc. SPIE. 2006. V. 6165. P. 61650H 1-8].

49. Bashkirov E.K., Rusakova M.S., The dynamics of the two two-level atoms with atom dissipation // Proc. SPIE, 2007. V. 6537. P. 653701 1-8].

50. Русакова M.C., Башкиров Е.К. Перепутывание в двухатомной двух-фотонной невырожденной модели Джейнса-Каммингса // Ученые записки Казанского университета. 2007. Т. 149. С. 90-96.

51. Башкиров Е.К., Русакова М.С. Статистика и сжатие света в диссипа-тивной двухатомной модели Джейнса-Каммингса // Оптика и спектроскопия. 2008. Т. 105, № 1. С. 82-88.

52. Bashkirov Е.К., Rusakova M.S. Atom-field entanglement in two-atom Jaynes-Cummings model with nondegenerate two-photon transitions // Opt. Comm. 2008. V. 281. P. 4380-4386.

53. Башкиров E.K., Русакова М.С. Динамика полевого сжатия и сжатия квадрата амплитуды поля в модели двух двухуровневых атомов с учетом атомной и фотонной диссипации // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2008. Т. 11, № 1. С.70-77.

54. Bashkirov E.K., Rusakova M.S. Entangled atom-field and atom-atom states in a collective two-atom models // Proc. SPIE. 2008. V. 6903. P. 69030T 1-8].

55. Bashkirov E.K., Rusakova M.S. Entanglement in collective two-atom models // Proc. SPIE. 2008. V. 7024. P. 702406 1-8].

56. Rusakova M.S. Field squeezing and statistics in a two-atom dissipative Jaynes-Cummings model // Proc. SPIE. 2008. V. 7024. P. 702407 1-8].

57. V. Buzek et al. Cavity QED with cold trapped ions // Phys. Rev. A. 1997. V. 26. P. 2352-2360.

58. Papadopoulos G.S. Interaction of radiation with atoms //J. Phys. A. 1980. V. 8. P. 1423 1432 .

59. Deng Z. Dynamics of two atoms in a quantized radiation field // Opt. Commun. 1985. V.54, №4. P. 222 224.

60. Agarwal G.S. Vacuum-field Rabi oscillations of atoms in a cavity //J. Opt. Soc. Am. B. 1985. V. 2, №3. P. 480 485.

61. Shumovsky A.S., Fam Le Kien, Aliskenderov E.A. Collective spontaneous emission from a system of two atoms with multiphoton transitions in a cavity // J. Physique (Paris). 1987. V. 48. P. 1933 1937.

62. Cardimona D.A. et al. Quantum collapses and revivals in a nonlinear Jaynes-Cummings model // Phys. Rev. A. 1991. V. 43. P. 3710-3723.

63. Mir M.A. Amplitude-squared squeezing in the multiphoton Jaynes-Cummings model: Effects of the atomic coherent states and detuning // Phys. Rev. A. 1993. V. 47. P. 4384-4391.

64. Joshi A., Puri R. Dynamical evolution of the two-photon Jaynes-Cummings model in a Kerr-like medium // Phys. Rev. A. 1992. V. 45. P. 5056-5060.

65. Abdel-Hafez A.M., Obada A.-S. F. Amplitude-squared squeezing in the multiphoton Jaynes-Cummings model: Effect of phases // Phys. Rev. A. 1991. V. 44. P. 6017-6022.

66. Alexanian M., Bose S.K. "Macroscopic"quantum superpositions: Atom-field entangled and steady states by two-photon processes // Phys. Rev. A. 2002. V. 65. P. 033819 1-6].

67. Nasreen T., Zaheer K. Evolution of wave functions in the two-photon Jaynes-Cummings model: The generation of superpositions of coherent states // Phys. Rev. A. 1994. V. 49, №1. P. 616 619.

68. Ho Trung Dung, Huyen N.D. State evolution in the two-photon atom-field interaction with large initial fields // Phys. Rev. A. 1994. V. 49, № 1. P. 473 480.

69. Guerra E.S., Dutra S.M., Knight P.L. Influence of spontaneous emisiion on trapping states and start-up times of degenerate two-photon micromasers // Phys. Rev. A. 1995. V. 52. P. 1651-1664.

70. Zhang Z.-M., Lu Z.-Y., He L.-S. Quantum theory of the two-photon maser: Emission probability // Phys. Rev. A. 1999. V. 59. P. 808-813.

71. Gou S.S. Quantum behaviour of a two-level atom interacting with two modes of light in a cavity // Phys. Rev. A. 1989. V. 40. №9. P. 5116 -5128.

72. Mahmood S., Ashraf M.M. Squeezing of an effective dipole in a non-degenerate two-photon Jaynes-Cummings model with Stark shift // Opt. Commun. 1996. V.33. P. 355 358.

73. Iwasawa H., Matsuo K. Exact solution of Heisenberg operators for two-photon non-degenerate Jaynes-Cummings model // Opt. Comm. 1995. V.117. P. 550 559.

74. Joshi A. Two-mode two-photon Jaynes-Cummings model with atomic motion // Phys. Rev. A. 1998. V. 58. P. 4662-4667.

75. Ashraf M.M. Cavity field spectra of the nondegenerate two-photon jaynes-Cummings model // Phys. Rev. A. 1994. V. 50. P. 5116-5121.

76. Hessian H.A., Ritsch H. Influence of phase damping on nonclassical properties of the two-mode Jaynes-Cummings model //J. Phys. B. 2002. V. 35. P. 4619-4635.

77. Abdalla M.S., Abdel-Aty M., Obada A.-S.F. Entropy and entanglement of time dependent two-mode Jaynes-Cummings model // Physica A. 2003. V. 326. P. 203-219.

78. Klimov A.B. et al. Phase states for a three-level atom interacting with quantum fields // Phys. Rev. A. 2003. V. 67. P. 013803 (1-8).

79. Peng J.-S., Li G.-X., Zhou P. Phase properties and atomic coherent trapping in the system of a three-level atom interacting with a bimodal field // Phys. Rev. A. 1992. V. 46. P. 1516-1521.

80. Deng L.-B., Sun S.-G. Effect of squeezed light on the photon-number probability distribution and sub-Poissonian distribution in the cascade three-level Jaynes-Cummings model // Phys. Rev. A. 1991. V. 44. P. 4757-4760.

81. Lai W.K., Buiek V., Knight P.L. Interaction of a three-level atom with an SU(2) coherent state // Phys. Rev. A. 1991. V. 44. P. 2003-2012.

82. Arun R., Agarwal G.S. Dark states and interference in cascade transitions of ultracold atoms in a cavity // Phys. Rev. A. 2002. V. 66. P. 043812 (1-9).

83. Arun R. et al. Mazer action in a bimodal cavity // Phys. Rev. A. 2000. V. 62. P. 023809 (1-12).

84. Villas-Boas C. J. et al. Squeezing arbitrary cavity-field states through their interaction with a single driven atom // Phys. Rev. A. 2003. V. 68. P. 061801 (1-4).

85. Mahran M.H. Squeezing and high-order squeezing in the three-level, two-mode system // Phys. Rev. A. 1990. V. 42. P. 4199-4209.

86. Elmfors P., Lautrup B. and Skagerstam B.-S. Dynamics, correlations, and phases of the micromaser // Phys. Rev. A. 1996. V. 54. P. 5171-5192.

87. Rempe G., Schmidt-Kaler F., Walther H. Observation of sub-Poissonian photon statistics in a micromaser // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 64. P. 2783 -2786.

88. Rempe G., Walther H. Sub-Poissonian atomic statistics in a micromaser // Phys. Rev. A. 1990. V. 42. P. 1650-1655

89. Briegel H.-J. et al. One-atom maser: Statistics of detector clicks // Phys. Rev. A. 1994. V. 49. P. 2962-2985.

90. Benson O., Raithel G. and Walther H. Quantum jumps of the micromaser field: Dynamic behavior close to phase transition points // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72. P. 3506-3509.

91. Raithel G., Benson 0. and Walther H. Atomic Interferometry with the Micromaser // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 75. P. 3446-3449.

92. Rauschenbeutel A. et al. Coherent Operation of a Tunable Quantum Phase Gate in Cavity QED // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 83. P. 51665169.

93. Childs J.J. et al. Normal-Mode Line Shapes for Atoms in Standing-Wave Optical Resonators // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77. P. 2901-2904.

94. Mabuchi H. et al. Real-time detection of individual atoms falling through a high-finesse optical cavity// Opt. Lett. 1996. V. 21. P. 1393-1397.

95. An K. et al. Microlaser: A laser with one atom in an optical resonator // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 73. P. 3375-8.

96. Special issues on squeezed states of light //J. Opt. Soc. Am. B. 1987. Vol. 4, №10. P. 1437- 1741.

97. Kimble H.J. Squeezed states of light: an (incomplete) survey of experimental progress and prospects // Phys. Reports. 1992. V. 219, №36. P. 227 234.

98. Walls D.F., Milburn G. Quantum optics. Berlin: Springer, 1997.- 370p.

99. Dodonov V.V. 'Nonclassical' states in quantum optics: a 'squeezed' review of the first 75 years // J. Opt. B: Quant. Semiclass. Opt. 2002. V.4. P. R1 R33.

100. Bachor H.-A., Ralph T. A Guide to experiments in quantum optics. -Wiley VCH: Weinheim, 2004. - 420 p.

101. Orozco L.A. et al. Squeezed-state generation in optical bistability // J. Opt. Soc. Am. B. 1987. V. 4, №11. P. 1490 1500.

102. Hope D.M. et al. The atom-cavity system as a generator of quadrature squeezed states // Appl. Phys. B. 1992. V. 55, №3. P. 210 215.

103. Hong C.K., Mandel L. Generation of higher-order squeezing of quantum electromagnetic fields // Phys. Rev. A. 1985. V. 32, №2. P. 974 982.

104. Hillery M. Amplitude-squared squeezing of the electromagnetic field // Phys. Rev. A. 1987. V. 36, №8. P. 3796 3802.

105. Lutterbach L.G., Davidovich L. Production and detection of highly squeezed states in cavity QED // Phys. Rev. A. 2000. V. 61. P. 023813(1-9).

106. Meystre P., Zubairy M.S. Squeezed states in the Jaynes-Cummings model // Phys. Lett. A. 1982. V. 89, №8. P. 390 392.'

107. Kuklinski J.R., Madajczyk J.L. Strong squeezing in the Jaynes-Cummings model // Phys. Rev. A. 1988. V. 37. P. 3175 3178.

108. Mir M.R. Second-order and amplitude-squared squeezing of the two two-level atoms with superposition state preparation // Intern. Journ. Mod. Phys. B. 1993. V. 7, №26. P. 4439 4450.

109. Fam Le Kien, Kadantseva E.P., Shumovsky A.S. Light squeezing in the two-atom one-mode model with multi-photon transitions // Physica C. 1988. V. 150. P. 445 456.

110. Gerry C.C., Moyer P.J. Squeezing and higher-order squeezing in one- and two-photon Jaynes-Cumming models // Phys. Rev. A. 1988. V. 38, №11. P. 5665 5669.

111. Shumovsky A.S., Fam Le Kien, Aliskenderov E.I. Squeezing in the multiphoton Jaynes-Cummings model //Phys. Lett. A. 1987. V. 124. P. 351 354.

112. Qamar S., Zubairy M.S. Effect of finite Q on squeezed states in a micromaser // Phys. Rev. A. 1993. V. 48. P. 1559 1563.

113. Zheng S.-B. Generation of strongly squeezed states for a cavity field with a single atom // Opt. Comm. 2007. V. 273. P. 460-463.

114. Zheng S.-B. Deterministic generation of squeezing for a cavity field with a collection of driven atoms // Opt. Comm. 2007. V. 278. P. 345-349.

115. Yang X., Zheng X. Squeezing of the square of the field amplitude in the multiphoton Jaynes-Cumming model // Phys. Lett. A. 1989. V. 138, №8. P. 409 411.

116. Mahran M.H., Obada A.-S.F. Amplitude-squared squeezing of the Jaynes-Cummings model //Phys. Rev. A. 1989. V. 40, №8. P. 4476 4480.

117. Mir M.A., Razmi M.S.K. Amlitude-squared squeezing in the two-photon Jaynes-Cummings model // Phys. Rev. A. 1991. V. 44. P. 6071 6076.

118. Mahran M.H., Obada A.-S.F. Amplitude-squared squeezing in the multiphoton Jaynes-Cummings model // Phys. Rev. A. 1990. V. 42, №3. P. 1718 1724.

119. Башкиров E.K. Сжатие света в системе двух неидентичных двухуровневых атомов с однофотонными переходами // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2005. № 6/40. С. 113 125.

120. Fam Le Kien, M. Kozierowski, Tran Quang. Fourth-order squeezing in the multiphoton Jaynes-Cummings model // Phys. Rev. A. 1988. V. 38. P. 263-266.

121. Mandel L. Sub-Poissonian photon statistics in resonance fluorescence // Optics Lett. 1979. V. 4. P. 205.

122. Gerry С. C., Knight P. L. Introductory quantum optics. Cambrige: Cambrige University Press, 2005. - 317 P.

123. Short R.G., and Mandel L. Observation of sub-Poisson photon statistics // Phys. Rev. Lett. 1983. V. 51. P. 384.

124. Diedrich F. et al. Nonclassical radiation from one-atom oscillators, in Multiphoton Processes / edited by S. J. Smith and P. L. Knight. -Cambrige: Cambridge University Press, 1988. 338p.

125. Diedrich F., Walter H. Nonclassical radiation of a single stored ion // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58. P. 203.

126. Wang L.Z., Zhu S. Y., Bergou J. Generation of sub-Poissonian photon statistics in a two-level atomic oscillator // Phys. Rev. A. 1991. V. 43. P. 2436.

127. Weidinger M. et al. Trapping States in the Micromaser // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 82. P. 3795-3799.

128. Feld M. S. et al. Observation of sub-Poisson Photon Statistics in the Cavity-QED Microlaser // Phys. Rev. Lett. 2006. V. 96. P. 093603 (1-4).

129. Aliskenderov E.I., Ho Trung Dung, Knoll L. Effects of atomic coherences in the Jaynes-Cummings model: Photon statistics and entropy// Phys. Rev. A. 1993. V. 48. P. 1604-1609.

130. Gerry C.C., Eberly J.H. Dynamics of a Raman coupled model interacting with two quantized cavity fields // Phys. Rev. A. 1990. V. 42. P. 68056815.

131. Gerry C.C., Huang H. Dynamics of a two-atom Raman coupled model interacting with two quantized cavity fields //Phys. Rev. A. 1992. V. 45. P. 8037-8044.

132. Ming Yang, Zhuo-Liang Cao. Quantum information processing using coherent states in cavity QED //Physica A. 2006. V. 366. P. 243-249.

133. Jin-Ming Liu, Bo Weng. Approximate teleportation of an unknown atomic state in the two-photon Jaynes-Cummings model //Physica A. 2006. V. 367. P. 215-219.

134. Metwally N., Abdelaty M., Obada A.-S.F. Entangled states and information induced by the atom-field interaction // Opt. Comm. 2005. V. 250. P. 148-156.

135. Delicado R. F., Cabello D. B., Boada I. L. The quantum cryptograpy: Communication and computation //Acta Astronautica. 2005. V. 57. P. 348 355.

136. Cao Zhuo-Liang, Li Da-Chuang. Scheme for teleportation of an unknown atomic state via a cluster state in cavity QED // Chin. Phys. B. 2008. V. 17. P. 0055-05

137. Zhang J.-S., Xu J.-B. One Atom in an Optical Cavity: Entanglement and Applications to Quantum Computation // Chin. Phys. Lett. 2008. V. 25. No. 1 P. 24

138. Ye S.-Y., Zheng S.-B. Scheme for reliable realization of quantum logic gates for two atoms separately trapped in two distant cavities via optical fibers // Opt. Comm. 2008. V. 281. P. 1306-1311.

139. Hayashi M. Quantum Information. An Introduction. Berlin: Springer, 2006. - 430p.

140. Jaeger G. Quantum information. An overview. Berlin: Springer, 2007-291p.

141. Quantum Communications and Cryptography / Alexander V. Sergienko, editor. Taylor& Francis CRC, 2005. - 249p.

142. Wehrl A. General properties of entropy // Rev. Mod. Phys. 1978. V. 50. P.221 260.

143. Gea-Banacloche J. Collapse and revival of the state vector in the Jaynes-Cummings model: an example of state preparation by a quantum apparatus // Phys. Rev. Lett. 1990. V.65, №27. P. 3385 3388.

144. Ho Trung Dung, Nguen Dihn Huyen. Two-atom-single mode radiation field interaction. State evolution, level occupation probabilities and emission spectra // J. Mod. Opt. 1994. V.41, №3. P. 453 469.

145. Kudryavtsev I.K. et al. Cooperativity and entanglement of atom-field states // J. Mod. Opt. 1994. V. 40, №8. P. 1605 1630.

146. Vedral V. et al. Quantifying Entanglement // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78, №12. P. 2275 2279.

147. Mintert F. et al. Measures and dynamics of entangled states // Physics Reports. 2005. V.15. P. 207 259.

148. Mathematics of quantum computation and quantum technology / editors, Goong Chen, Louis Kauffman, Samuel J. Lomonaco. Chapman & Hall/CRC applied mathematics and nonlinear science series, 2008. - 625p.

149. Wootters W.K. Entanglement of formation of an arbitrary state of two qubits // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 80, №10. P. 2245 2248.

150. Wootters W.K. Entanglement of formation and concurrence // Quantum Information and Computation. 2001. V. 1. № 1. P. 27-44.

151. Peres A. Separability criterion for density matrices // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77, №8. P. 1413 1415.

152. Horodecki R., Horodecki M., Horodecki P. Separability of mixed states: Necessary and sufficient conditions // Phys. Lett. 1996. V. 223. P. 1 8.

153. Gea-Banacloche J. Atom- and field-state evolution in the Jaynes-Cummings model for large initial fields // Phys. Rev. 1991. V.44, №9. P. 5913 5931.

154. Tessier T.E., Deutsch I.H., Delgado A. Entanglement sharing in the two-atom Tavis-Cummings model // Phys. Rev. A. 2003. V. 68. P. 062316 (1-10).

155. El-Orany F. A. A. Evolution of the superposition of displaced number states with the two-atom multiphoton Jaynes-Cummings model: interference and entanglement // arXiv:quant-ph/0512112vl. 2005. P. 110].

156. Rekdal K., Skagerstam B.-S. K., Knight P.L. On the preparation of pure states in resonant microcavities //J. Mod. Opt. 2004. V. 51. P. 75-84.

157. Larson J., Garraway B.M. Dymanics of a Raman coupled model: entanglement and quantum computation //J. Mod. Opt. 2004. V. 51. P. 1691-1704.

158. Liu X. Entropy behaviors and statistical properties of the field interacting with S type three level atom // Physica A. 2000. V. 286. P. 588 - 598.

159. Zait R.A. Nonclassical statistical properties of a three-level atom interacting with a single-mode field in a Kerr medium with intensity dependent coupling // Phys. Lett. A. 2003. V. 319. P. 461 474.

160. Huang T. et al. The tangle of the Lambda type three-level atoms and the two-mode cavity field // Physica A. 2005. V. 358. P. 313 - 327.

161. Zhou Q-C., Zhu S.N. Dynamics of a single mode field interacting with a A type three-level atom // Opt. Commun. 2005. V. 248. P. 437 - 448.

162. Abdel-Aty M. Manipulating mixed state entanglement between a time-dependent field and a three-level trapped ion //Opt. Comm. 2006. V. 266. P 225-230.

163. Mao-Fa Fang, Shi-Yao Zhu. Entanglement between a A-type three-level atom and its spontaneous emission fields //Physica A. 2006. V. 369. P. 475-483.

164. Huang C. et al. Entropy evolution of field interacting with V-type three-level atom via intensity-dependent coupling //Physica A. 2006. V. 368. P. 25-30.

165. Ahmed M.M.A., Khalil E.M., Obada A.-S.F. Generation of a nonlinear stark shift through the adiabatic elimination method //Opt. Comm. 2005. V. 254. P. 76-87.

166. Ping Y.-X. et al. Entanglement in the steady state of a two-mode three-level atomic system //Phys. Lett. A. 2007. V. 362. P. 128-131.

167. Abdalla M. S., Abdel-Aty M., Obada A.-S.F. Quantum entropy of isotropic coupled oscillators interacting with a single atom //Opt. Comm. 2002. V. 211. P. 225-234.

168. Abdalla M. S., Obada A.-S.F., Abdel-Aty M. Von Neumann entropy and phase distribution of two mode parametric amplifier interacting with a single atom // Annals of Physics. 2005. V. 318. P. 266-285.

169. Zhou Q.-C. Cavity field spectra and entanglement in a three-level Jaynes-Cummings model with field damping //Physica A. 2006. V. 366. P. 212220.

170. Hou X.-W. et al. Linear entropy in the Jaynes-Cummings model with a Kerr nonlinearity //Opt. Comm. 2006. V. 266. P. 727-731.

171. Zhou Q.-C. Atomic transition transfer, field statistics and squeezing of the off-resonant cascade three-level Jaynes-Cummings model with a Kerr medium //Opt. Comm. 2006. V. 266. P. 218-224.

172. Abdalla M. S., Obada A.-S.F., Abdel-Khalek S. Entropy squeezing of time dependent single-mode Jaynes-Cummings model in presence of non-linear effect // Chaos, Solitons and Fractals. 2008. V. 36. P. 405-417.

173. Abdel-Khalek S. The effect of atomic motion and two-quanta JCM on the information entropy // Physica A. 2008. V. 387. P. 779-786.

174. Ling Zhou and Han Xiong. A macroscopical entangled coherent state generator in a V configuration atom system //J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2008. V. 41. P. 025501 025505.

175. Wu H.-Z. et al. Cavity loss induced generation of W states // Chinese Physics B. 2008. V. 17. P. 2008.

176. Zheng S.-B. Generation of Greenberger-Horne-Zeilinger states for three atoms trapped in a cavity beyond the strong-coupling regime // Physics Letters A. 2008. V. 372. P. 591-595.

177. Zheng S.-B., Guo G.-C. Efficient scheme for two-atom entanglement and quantum information processing in cavity QED // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85. P. 2392-2395.

178. Masiak P. Quantum-entanglement preparation in a micromaser // Phys. Rev. A. 2002. V. 66. P. 023804-1 023804-9.

179. Englert B.-G., Walter H. Preparing a GHZ state, or an EPR-state, with one-atom maser // Opt. Comm. 2000. V. 179. P. 283-288.

180. Neumann P. et al. Multipartite Entanglement Among Single Spins in Diamond // Science. 2008. V. 320. P. 1326-1329.

181. Carmichael H. An open systems approach to quantum optics. Berlin: Springer, 1993.- 427p.

182. Sachdev S. Atom in a damped cavity // Phys. Rev. A. 1984. V. 29, №5. P. 2627 2633.

183. Barnett S.M., Knight P.L. Dissipation in a fundamental model of quantum optical resonance // Phys. Rev. 1986. V. A33, №4. P. 2444 2448.

184. Agarwal G.S., Puri R.R. Exact quantum-electrodynamics results for scattering, emission, and absorption from a Rydberg atom in a cavity with arbitrary Q // Phys. Rev. 1986. V. A33, №3. P. 1757 1764.

185. Briegel H.-J., Englert B.-G. Quantum optical master equations: The use of damping bases // Phys. Rev. 1993. V.A47, №4. P. 3311 3321.

186. Wonderen A.J. Exact solution of the Jaynes-Cummings model with cavity damping // Phys. Rev. 1997. V.A56, №4. P. 3116 3128.190. binder A. et al. Jaynes-Cummings-model with damping at resonanace // Eur. Phys. J. D. 2001. V. 17. P. 99 112.

187. Seke J., Adam G., Hittmair O. Exact equations of motion and numerical results for two-atom spontaneous emission in a damped cavity // Optica Acta. 1986. V.33, №6. P. 703 712.

188. Mahmood S., Zubairy M.S. Cooperative effects on Rabi oscillations in a damped cavity // J. Mod. Opt. 1990. V. 37, №2. P. 243 251.

189. Mir M.A., Nasreen Т., Razmi M.S.K. Emission and absorption by two atoms in a damped cavity // Phys. Rev. 1990. V. A41, №7. P. 4087 -4089.

190. Kuang L.M. et al. Jaynes-Cummings model with phase damping // Phys. Rev. A. 1997. V. 56, №4. P. 3139 3149.

191. Quang Т., Knight P. L., Buzek V. Quantum collapses and revivals in an optical cavity // Phys. Rev. A. 1991. V. 44. P. 6092.

192. Scally M.O., Zubairy M.S. Quantum Optics // Скалли M.O., Зубайри M.C. Квантовая оптика: Пер. с англ. / Под ред. В.В. Самарцева. -М.:ФИЗМATJIИТ, 2003. 690с.

193. Yoo H.Y., Eberly J.H., Dynamical theory of an atom with two and three levels interacting with quantized cavity fields //Phys. Rep. 1985. V. 118. P. 239-337.

194. Adam G., Seke J., Hittmair O. Cavity-damping effects in the interaction of a three-level atom with a single-mode radiation field // Opt. Comm.1989. V. 73. P. 121-125.

195. Seke J., Rattay F., Hittmair J. Two- and one-photon transitions in a three-level atom inside a cavity with arbitrary damping// Phys. Rev. A.1990. V. 42. P. 5522-5529.

196. Puri R.R. Finite-Q cavity electrodynamics: dynamical and statistical aspects // Phys. Rev. A. 1987. V. 35. P. 3433-3449.

197. Bashkirov E.K., Fam le Kien, Shumovsky A.S. Collective spontaneous radiation of two atoms in the finite-Q cavity // Physica A. 1990. V.167. P.935-944.

198. Law C.K., Chen T.W., Leung P.T. Jaynes-Cummings model in leaky cavities: An exact pure-state approach // Phys.Rev. A. 2000. V. 61. P.023808 (1-7).

199. Eiselt J., Risken H. Calculation of quasiprobabilities for the damped Jaynes-Cummings model // Opt. Commun. 1989. V.72. P.351.

200. Gea-Banacloche J. Jaynes-Cummings model with quasiclassical fields: The effect of dissipation // Phys. Rev. A. 1993. V. 47. P.2221-2234.

201. Englert B.G., Naraschevski M., Schenzlr. Quantum-optical master equations: An interaction picture // Phys. Rev. A. 1994. V.50. P.2667-2679.i

202. Gerry C.C. Two-photon Jaynes-Cummings model interacting with squeezed vacuum // Phy. Rev. A. 1988. V. 37, №7. P.2683-2686.

203. Li X. S., Lin D.P., George T. F. Squeezing of atomic variables in the one-photon and two-photon Jaynes-Cummings model // Phy. Rev. A. 1989. V. 40, №5. P.2504-2507.

204. Bartzis V., Nayak N. Two-photon Jaynes-Cummings model // J.Opt.Soc.Am. B. 1991. V.8, №8. P.1779-1786.

205. He L. S., Feng X. L. Two-photon spectrum of a two-level atom in an ideal cavity // Phys. Rev. A. 1994. V. 49, №5. P.4009-4015.

206. Fang M. F., Liu H. E. Properties of entropy and phase of the field in the two-photon Jaynes-Cummings model with an added Kerr medium // Phys. Lett. A. 1995. V. 200. P.250-256.

207. Zhou Ling, Song He-shan, Yao Li. The two-photon degenerate Jaynes-Cumming model with and without rotating-wave approximation // Chinese Physics. 2001. V.10, №5. P.413-417.

208. Puri R.R., Agarwal G.S. Coherent two-photon transitions in Rydberg atoms in a cavity with finite Q // Phys. Rev. A. 1988. V. 37. P. 38793883.

209. Ораевский А.Н. Спонтанное излучение в резонаторе // УФЫ. Т. 37, №4. 1994. С. 415- 427.

210. Orzag М., Roa L., Ramirez R. Generation of pure states in a two-photon micromaser: effects of finite detuning and cavity losses // Phys. Rev. A. 1993. V. 48, №6. 1993. P. 4648- 4653.

211. Башкиров E.K. Спонтанное излучение двух двухуровневых атомов в неидеальном резонаторе // Известия РАН. Серия Физическая. 2004. Т.68, №9. С. 1292- 1295.

212. Hamza M.Y., Qamar S. The influence of atomic decay on the linewidth of a two-photon micromaser //J. Opt. B: Quant.Semiclass. Opt. 2000. V. 2. P.323-333.

213. Zhou L. et al. Dissipative dynamics of two-photon Jaynes-Cummings model with the Stark shift in the dispersive approximation // Phys. Lett. A. 2001. V. 284. P.156.

214. Zhou L. et al. The effect of degenerate atomic levels on the field state dissipation in two-photon Jaynes-Cummings model // Chinese Physics. 2003. V.12. P.45-50.

215. Joshi A., Puri R.R. Characteristics of Rabi oscillations in the two-mode squeezed state of the field // Phys. Rev. A. 1990. V. 42. P.4336-4342.

216. Gerry C.C., Welch R.F. Dynamics of a two-mode two-photon Jaynes-Cummings model interacting with correlated SU(1, 1) coherent states // J. Opt. Soc. Am. B. 1992. V. 9. P.290-297.

217. Ashraf M.M., Razmi M.S.K. Atomic-dipole squeezing and emission spectra of the nondegenerate two-photon Jaynes-Cummings model // Phys. Rev. A. 1992. V. 45. P. 8121 8128.

218. Abdel-Hafez A.M. Degenerate and nondegenerate two-mode normal squeezing in a two-level atom and two-mode system // Phys. Rev. A. 1992. V. 45. P.6610-6614.

219. Obada A.-S.F., Abdel-Hafez A.M., Hessian H.A. Two-Mode Normal Squeezing of a Nondegenerate Bimodal Multiquanta Jaynes-Cummings Model in the Presence of Stark Shifts // Intern. J. Theor. Phys. 2000. V.39. P. 1499-1507.

220. Abdel-Aty M., Abdel-Khalek S., Obada A.-S.F. Entropy evolution of the bimodal field interacting with an effective two-level atom via the Raman transition in Kerr medium // Chaos, Solitons and fractals. 2001. V.12. P. 2015.

221. Xie R.H., Smith V.H. Jr. Generation of higher-order atomic dipole squeezing in a high-Q micromaser cavity. (IV) Discussion of the nondegenerate two-photon Jaynes-Cummings model // Physica A. 2002. V. 307. P.207-6.

222. Aliaga J., Gruver J.L. H and Л non-degenerate two-photon time-dependent Jaynes-Cummings model: An exact algebraic solution// Phys. Lett. A. 1996. V. 221. P.19.

223. Narozhny N.B., Sanchez-Mondragon J.J., Eberly J.H. Coherence versus incoherence: Collapse and revival in a simple quantum model // Phys. Rev. A. 1981. V. 23. P.236-247.

224. Rui-hua Xie, Generation of Atomic Dipole Squeezing in the Thermal Two-Photon Jaynes-Cummings Model // Chinese Journ. Phys. 1997. V. 35, №. 5. P. 557-569.

225. Башкиров E.K. Динамика коллективного спонтанного излучения двух трехуровневых атомов в резонаторе // Опт. и спектр. 2006. Т. 100, №4. С. 613-616.

226. Ficek Z., Tanas R., Kielich S. Cooperative effects in the spontaneous emission from two nonidentical atoms // Optica Acta. 1986. V.33, №9. P. 1149.

227. Bashkirov E.K., Shumovsky A.S. Squeezing of the square field amplitude in the two-atom one-mode model with multiphoton transitions // Int. J. Mod. Phys. B. 1990. V. 4, №9. P. 1579-1587.

228. Bashkirov E.K. Squeezing and amplitude-squared squeezing in the model of two nonidentical two-level atoms // Int. J. Mod. Phys. B. 2007. V. 21, № 2. P. 145-157.

229. Башкиров E.K., Мангулова Е.Г. Динамика двух двухуровневых атомов в неидеальном резонаторе // Известия РАН. Серия физическая. 2000. Т.64, №10. С. 2075- 2079.

230. Plenio M.B. et al. Cavity-loss-induced generation of entangled atoms // Phys. Rev. A. 1999. V. 59, №3. P. 2468 2475.

231. Li G.-X., Allaart K., Lenstra D. Entanglement between two atoms in an overdamped cavity injected with squeezed vacuum // Phys. Rev. A. 2004. V. 69. P. 055802(1-4).

232. Башаров A.M., Башкеев А.А. Квантовые корреляции в системе двух двухуровневых атомов // Оитика и спектроскопия. 2004. Т.96, №5. С. 716 723.

233. Haffner Н. et al. Robust entanglement // Appl. Phys. B. 2005. V. 81. P. 151-153.

234. Maunz P. et al. Two photon quantum interference of light emitted by two ions // Abs. 37th Meet. Division of Atom., Mol. Opt. Phys. Knoxville, USA. 2006. 1 p.

235. Puri R.R. Mathematical Methods of Quantum Optics. Berlin: Springer, 2001 - 285 p.

236. Bashkirov E.K., Fam Le Kien, Shumovsky A.S. Collective spontaneous radiation of two atoms in the finite-Q cavity // Physica A. V. 167. 1990. P. 935-944.

237. Rohde H. et al. Sympathetic ground-state cooling and coherent manipulation with two-ion crystals //J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt. V. 3. 2001. P. S34-S41.

238. Monroe C. Quantum information processing with atoms and photons // Nature. 2002. V.146. P.238.

239. Phoenix S.J.D, Knight P.L. Establishment of an entangled atom-field state in the Jaynes-Cumming model // Phys. Rev. A. 1991. V. 44, №9. P. 6023 6029.

240. Araki M., Lieb E. Entropy Inequalities // Commun. Math. Phys. 1970. V. 18. P. 160-170.

241. Song T. et al. Effects of the relative coupling constants on the dynamic properties of a two-atom system // Phys. Rev. A. 1995. V. 51. P. 26482650.

242. Bashkirov E.K. Dynamics of the two-atom Jaynes-Cummings model with nondegenerate two-photon transitions // Laser Phys. 2006. V. 16. P. 12181226.

243. Bashkirov E.K. Entanglement induced by the two-mode thermal noise // Laser Phys. Lett. 2006. V. 3. P. 145-150.