Точные решения обобщенных моделей Джейнса-Каммингса и динамика микромазера тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.21 ВАК РФ

На правах рукописи

Синайский Илья Евгеньевич

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ МОДЕЛЕЙ ДЖЕЙНСА-КАММИНГСА И ДИНАМИКА МИКРОМАЗЕРА

01.04.21 - Лазерная физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Самара - 2006

Диссертация выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Самарский государственный университет"

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент

Горохов Александр Викторович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Самарцев Виталий Владимирович

кандидат физико-математических наук,

доцент

Решетов Владимир Александрович

Ведущая организация: Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Защита диссертации состоится "13" октября 2006 г. в 14°° на заседании диссертационного совета Д 212.218.01 при Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Самарский государственный университет"Федералыюго агентства по образованию, 443011, г. Самара, ул. Академика Павлова, д.1, СамГУ, Зал заседаний.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Самарского государственного университета.

Автореферат разослан " // " г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

В.А. Жукова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Простейшей и наиболее фундаментальной системой для изучения взаимодействия излучения с веществом является единичный двухуровневый атом, взаимодействующий с электромагнитным полем одной моды резонатора. В рамках этой модели, как оказалось, могут быть описаны практически все основные эффекты, возникающие при взаимодействии излучения с веществом. Введенная Эйнштейном, модель вновь вызвала интерес почти полвека спустя, когда Джейнсом и Каммингсом было найдено точное решение для вероятности переходов между уровнями в так называемом приближении вращающейся волны, исключающем из рассмотрения антирезонансные слагаемые (модель Джейнса-Каммингса (МДК)). Однако лишь в последнее время интерес перестал быть чисто теоретическим, поскольку реализация одноатомного мазера и микролазера предоставила возможность непосредственного исследования таких систем и экспериментальной проверки основных положений квантовой электродинамики.

Актуальность создания новых методов расчета динамики взаимодействия двухуровневого атома с квантованным электромагнитным полем с учетом диссипативного окружения, обусловлена тем, что разработанные к настоящему времени динамические теории одноатомного мазера имеют ограниченную область применимости. Они либо справедливы не при всех значениях параметров модели мазера, либо при получении "точных результатов" исключительно громоздки, что затрудняет их практическое использование.

Потребность в разработке точной и простой в применении теории одноатомного мазера связана также с возможными потенциальными применениями для так называемых (^-компьютеров (квантовых компьютеров) и применениями для кодирования и декодирования сигналов, передаваемых по квантовому каналу (квантовая криптография).

Цель диссертационной работы заключается в исследовании качественных и количественных особенностей динамики и релаксации фотонных и атомных состояний в неидеальном резонаторе в системе из двухуровневого атома (как неподвижного, так и движущегося сквозь резонатор), взаимодействующего с квантованным электромагнитным полем и диссипативным окружением, на основе математического аппарата, использующего технику когерентных состояний.

Для реализации поставленной цели решаются следующие основные задачи:

• Формулировка гамильтонианов, описывающих динамику системы в различных обобщениях МДК, учитывающих релаксацию атомной и фотонной подсистемы, многоквантовые переходы, и вывод кинетического уравнения для редуцированной матрицы плотности системы "атом+фотонная мода".

• Построение точного аналитического решения для редуцированной матрицы плотности с использованием техники когерентных состояний и

скрытой динамической симметрии модели Джейнса-Каммингса.

• Исследования на основе найденной матрицы плотности поведения наблюдаемых величин, актуальных для понимания особенностей динамики одноатомного мазера (среднее число фотонов в моде, инверсия населенности уровней атома, вероятность изменения состояния атома в полости,

<5-фактор Фано-Манделя).

• Получение явного аналитического выражения для спектра излучения

системы "атом + поле" в резонаторе. Научная новизна и практическая ценность работы

1. Впервые найдено точное представление матрицы плотности модели Джейнса-Каммингса с фотонными потерями для произвольного начального состояния фотонной и атомной подсистемы.

2. Построена точная последовательная динамическая теория одноатомпого

мазера, свободная от дополнительных ограничений на параметры модели, что открывает новые возможности в теоретическом и экспериментальном исследовании одноатомного мазера.

3. Впервые найдено точное выражение для спектра излучения в модели одноатомпого мазера для произвольного начального состояния системы.

4. Развит общий подход к описанию диссипативных систем типа обобщенной МДК, сводящий решение кинетического уравнения для матрицы плотности к решению уравнения Шредингера для системы без диссипации. Этот подход может быть также применен для решения других

задач резонаторной квантовой оптики.

5. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы для

определения оптимальных параметров экспериментальных установок, генерирующих неклассические состояния света, запутанные состояния "атом+поле" и другие заданные состояния атомной подсистемы.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием строгих математических методов; детальным анализом общих физических принципов, лежащих в их основе; сравнением с результатами, полученными в других работах для частных случаев; сравнением с экспериментами с одноатомным мазером.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Метод нахождения матрицы плотности систем типа обобщенной МДК, сводящий решение кинетического уравнения для матрицы плотности к решению уравнения Шредингера для системы без диссипации.

2. Точное выражение для матрицы плотности обобщенной модели

Джейнса-Каммингса в резонаторе с потерями для неподвижного и движущегося в резонаторе атома (модель одноатомного мазера).

3. Точное выражение спектра излучения модели одноатомного мазера.

Апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на II (1998),IV (2000),V (2001),VII (2003),IX (2005) Международной научной молодежной школе "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия" (Казань); Физика высоких энергий и квантовая теория поля (Самара, 2003); IX Международных Чтениях по квантовой оптике (Санкт-Петербург, 2003); Международной школе молодых ученых по оптике, лазерной физике и биофизике (Saratov Fall Meetings, Saratov, 2003); VIII Международном симпозиуме "Фотонное эхо и когерентная спектроскопия"(PECS-2005, Калининград), Всероссийской научной конференции "Концепции симметрии и фундаментальных полей в квантовой физике XXI века"(Самара, 2005); Научной конференции "Проблемы фундаментальной физики XXI века" (Самара, 2005); Самарской региональной конкурс-конференции научных работ студентов и молодых исследователей по оптике и лазерной физике (Самара, 2003-2005), а также на научно-практических конференциях и научных семинарах в Самарском государственном университете.

Работа над диссертацией поддержана грантом Министерства образования и науки Самарской области для студентов, аспирантов и молодых ученых 2005 года (N 182Е2.4К).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 17 печатных работ, в том числе 4 статьи в журналах, рекомендованных ВАК.

Список работ приведен в конце реферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 114 с. печатного текста. Она состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 151 наименований. Общий объем диссертации - 128 страниц текста (в том числе 37 рисунков).

Введение содержит краткую характеристику темы исследования, формулировку целей работы и описание структуры диссертации. В конце введения отмечается личный вклад автора в полученные результаты и апробация работы.

В первой главе на основе имеющихся литературных источников, сформулированы основные идеи метода когерентных состояний в квантовой оптике и приведено решение идеальной МДК. Дан обзор экспериментов с одноатомным мазером и описаны основные существующие пути обобщения

Вторая глава посвящена изучению особенности релаксации фотонной моды в резонаторе и формулировке подхода, использующего формализм уравнения Фоккера-Планка для символа матрицы плотности.

Релаксация фотонной моды в резонаторе в марковском приближении описывается кинетическим уравнением:

Запишем матрицу плотности в представлении через Р - символ Глаубера-Сударшана:

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

МДК.

(1)

(2)

Р- символ подчиняется уравнению:

дР _ 7 _д_ т ~ 2 да

Уравнение Фоккера-Планка (УФП) (3) является уравнением в частных производных параболического типа, поэтому его решение может быть представлено в виде:

/,2

-^К(а,г\ао,Ъ>)Ы<*о,и>), (4)

где пропагатор УФП К имеет вид: Для матрицы плотности получаем:

Г о^(а ^ао^о)ро(ао 4о)|а){а| (6)

J 7Г 7Г

Рассмотрены примеры наиболее типичных начальных состояний фотонной моды и соответствующих им Р-символов (когерентное состояние, состояние с определенным числом фотонов, тепловое состояние, произвольное смешанное состояние р = Х)птР™"»1п)(т1)-

Для элементов матрицы плотности в Фоковском представлении находим:

' <Ра0,

Fnm(ao,t)P(ao), (7)

где

/&а

—K(a,t\a0,0)(n\a)(a\m). (8)

_lajV2! /n! _•><»-■)' гm_„ ( Кре-

„ . s4""m I«"'3«-" >rn ш ( |Qol2e~7'\

= j^-^e ~ V "nTe 2 ^VTTyJ ' W < n"

Здесь:

где обобщенные полиномы JIareppa.

Видно, что:

1 (i/)n (Ит Fnm{aо, t) = ¿™»(l/) + х ({|/) + 1)n,

Каким бы ни было начальное состояние фотонной моды, по прошествии достаточно долгого времени она перейдет в равновесное состояние.

Полиномы Fnm определяют элементы матрицы плотности в фоковском представлении для фотонной моды в резонаторе. Они естественным образом возникают в теории одноатомного мазера и позволяют найти аналитические решения для диссипативных обобщенных моделей Джейнса - Каммингса.

В третьей главе изучаются обобщения модели Джейнса - Каммингса в случае неподвижного атома, помещенного в резонатор конечной добротности.

В §3.1 рассмотрена эволюция двухуровневого атома, взаимодействующего с одной модой квантованного электромагнитного поля в резонаторе конечной добротности.

В начальный момент времени атом приготовлен в возбужденном состоянии, фотонная мода находится в некотором состоянии, описываемом Р-символом Глаубера-Сударшана:

/МО) = МО) ® МО) = J о,0)|ао)(ао| ® ° ^ .

Гамильтониан рассматриваемой системы имеет следующий вид:

H = HA + HF + HB+HAF + HBF, (10)

здесь: Пл = ?шо§з— гамильтониан свободного атома, HF = Нш(а+а + 1/2)— гамильтониан фотонной моды, разность частот перехода в атоме и>о и частоты полевой моды w, и>о — ш = Д называется "расстройкой" этих частот (detuning), IIв = Yl^a{CaCa + lf2)— гамильтониан фотонной "бани",

а

Haf — hg(a+S~ + aS+)— слагаемое в гамильтониане описывающее взаимодействие атома с полевой модой в приближении вращающейся волны,

Hbf = ¿С (¿¿а/а +саа+/а)— гамильтониан взаимодействия фотонной моды а

со своей "баней".

Записав уравнение Лиувилля для матрицы плотности и усреднив его по переменным термостата, получаем кинетическое уравнение для редуцированной матрицы плотности:

= lh + ^fpaf, (И)

8

где

LfPaf = {((n) + 1) [a+ápAF ~ 2&pafO>+ + paf&+o\ + (12)

+ (n) [aa+pAF ~ 2a+pAFa + pAFaá+) } .

Решения кинетического уравнения будем искать в Р - представлении Глаубера-Сударшана. Для этого представим матрицу плотности в следующем виде:

PAF=¿ J t) \а) <а| ® \р) {v\. (13)

Переходя в следующее представление:

р' = exp \iH[¡lt/h] paf exp {-iHflt/h} , (14)

легко видеть, что

{((n> + !) [ó'+ap4F - 2apAFa+ + pAFa+a\ + (15) 4- (n) ^aa+pAF - 2a+pAFa + pAFá a ^ j,

здесь

a! = exp {iH%]Ft/hj áexp {-iÉ^t/hj,

\a')=exp{iH^Ft/h}\a). Наборы собственных чисел для новых КС |а') и старых |а) совпадают а! \Ы) = а \а').

Кинетическое уравнение в данном представлении совпадает с кинетическим уравнением для полевой моды в резонаторе (1).

Для того, чтобы найти матрицу плотности системы, вернемся в исходное представление. Для этого необходимо определить объект:

К) = exp {iH^t/h} ¡a) ,

2 00

Разложим |a> = e~W /2 Е И

по фоковскому базису. Несложно

п=0

выписать решения в явном виде, так как exp ^iflAFt/h^ |п) - хорошо известное решение МДК в идеальном резонаторе.

Учитывая, что в начальный момент атом находится в возбужденном состоянии, получаем явное выражение для матрицы плотности:

/л оо

-^Р (ao) Y, р™(а°< *) Ка™ К 1) (т, 1| - (16)

"" n,m=0

-а*пЬт |п, 1) {т + 1,2\ + Ь^ \п + 1,2) (т, 1| +Ь*пЬт |п + 1,2) (ш + 1,2|} , ап = еш/2 (соз(Пп</2) - ¿со8 0„8т(П„</2)),

6„ = -ге!Дг/2вт(?пзт(Ги/2).

Здесь указанные ранее полиномы, появляющиеся в разложе-

нии матрицы плотности по фоковскому базису, = \/4д2(п + 1) + Л2, 0п = агс1ап / ^!йРптР(ао) рассчитан для типичных начальных со-

стояний фотонной моды. Зная матрицу плотности в аналитическом виде, находим явные выражения для среднего числа фотонов, инверсии населенности уровней атома, <3— фактор Фано-Манделя.

В §3.2 рассмотрена эволюция двухуровневого атома, взаимодействующего с г-модами квантованного электромагнитного поля в резонаторе конечной добротности

Проводя рассуждения, аналогично предыдущему параграфу, только заменив гамильтониан взаимодействия на:

НАР = аз((а+)г5- 4- (а)г5+) и Д = ш0-гш,

получим кинетическое уравнение, решая которое находим матрицу плотности.

В §3.3 исследовано объединение двух моделей, помимо многоквантовых переходов (в реальных экспериментах - 2-х квантовых), существуют схемы, в которых двухуровневый атом взаимодействует с несколькими квантованными модами различных частот, при этом сумма частот мод близка к частоте атомного перехода.

То есть, гамильтониан взаимодействия "атом+поле" имеет вид: ,

Пар = Пд(Л((фг^~ + ПА = о;0 - Е гщ.

}=\ 3=1 ¿=о

Действуя методом, развитым в предыдущих параграфах, находим матрицу плотности в явном виде.

В §3.4 дополнительно рассматривается релаксация атома в резонаторе и учтена произвольность начального состояния не только полевой моды, но и атома:

р(0) = ¡--Р^ЫЫ^у^ °ь ) ,(« + ь= 1;а,ь>0)сг = с*) (17)

Кинетическое уравнение имеет вид:

% = ^М1р}+ЬлР + ЬРр, (18)

где Нд1(г) = %(П(а+)г''5,~е-<де + П (%)г'5+е<Дг) - гамильтониан взаимо-

1-1 7=1

действия полевых мод с атомом в представлении взаимодействия, ЬАр = -у {«пл> + 1)(5+5_/5 - 2+

+(пЛ>(5_5+р - 2+ (19)

Матрица плотности найдена в виде:

рлг= [{[ X] 1[п]'1>(Н.11(^?[п,т]апатап+

(20)

+-Р1[гг+г)т+г1А1/Зт«22 _ ■Р,(п,т+г]Йп/Зта12 — •Р}п+г,т]<*тД1а21) + +|[п 4- г], 2)([тп + г], 2|(^[п

]ДП/Зтап + ^[п+г,т+г|а7гата22 + +Цп,тп+г1рпата12 + Цп+г,т]С>!п/вта21)+ +|[п], 1)([т + г], гКР^апДпац - ¿?[„+г,т+г]/Зпата22+

+-Р,[п,т+г]3„ата12 — 'Р[п^т\РпРша21) +

+|[тг + г],2)<[т], Ц{Р[п<тфпатап - ^[п+г<т+г]апрта22-

[г-11 со

+ ИМ. + ^].21(^[п,т+г1ата22 + ^[П)т|/Зта21) +

[п]=0 [т)=0

+1М. 2)(Н. 1|(--^Кт+г]Дпа22 + ^[„,т]ата21)]-1-

оо [г-1]

+ [|[П + Г1.2>(И.2|(^„+Г

[п1=0 [т]=0

+ 1М. 1)(М> 2|(-^1гг+г,т1Дга22 +

012)]+

[г-11 [г-1]

+ 52 И ^п.т]1М,1>(Н,1|аа2,

О Н=0

где

IM) = M,-.Tis>.|[ra + 7-]) = | ni+ru-,ns + rs),

OO OO

[п]=0 П1=0 П5=0

под понимается сумма 2й — 1 сумм, в каждой из которых, обязательно

хотя бы одна из сумм конечна, например в случае з = 2:

[1—1] п—1 гг-1 оо га—1 Г]—1 оо

£ = ££+££ + ££> [га]=0 —О 71-2 - О Щ=0 «2=0 П1=0 П2=0

коэффициенты ап,(Зп - элементы оператора эволюции в МДК без диссипации: ап = е;Аг/2 (саз(П[п]г/2) - ¿со8 0Н8ш(П1п]г/2)), Д, = -ге,'Дг/281п^Н8т(П[тг^/2),

Пы =

JÜ ^ +

4д* Ц К + rj)yn.| + да, 0[п] = Arctg д

1

- «т^+<»*>++-

= 2&1 - е~7Аг(1+2("А>)>+ W7>Tl[{nA) + {1 +

о13 = = а\2 =

Явным расчетом показано, что след матрицы плотности равен единице.

В §3.5 рассмотрен частный случай найденных решений для матрицы плотности обобщенных МДК для нулевой температуры резонатора (и) = 0. Для рассмотрения данного частного случая необходимо найти предел полиномов Fnm(ao,t) при температуре резонатора стремящейся к нулю:

Ftn{aо, i) = lim FU<*o, t) - (21)

M-»o Vn\m\

Все формулы для явных выражений для матрицы плотности сохраняют свой вид. Необходимо только заменить Fnm{ao,t) —► F^m(aо, t).

Для всех рассматриваемых обобщений МДК §§3.1 — 3.5 были рассчитаны временные зависимости представленные в виде серии графиков (Рис.

1.а-1.в). Для построения явных зависимостей наблюдаемых величин был разработан пакет прикладных программ на языке Turbo Pascal. При этом соотношения между всеми параметрами модели, кроме времени взаимодействия, выбираются соответствующими экспериментальным работам. Выбиралась система единиц, в которой константа взаимодействия g = 1.

В большинстве имеющихся публикаций по данной теме изначально рассматривается термостат при нулевой температуре, поэтому результаты моделирования временных зависимостей наблюдаемых из §3.5 были сопоставлены с работами других авторов именно для этого случая. В области малых значений константы связи 7f ^9 (&/9 ~ 0.001) наблюдается полное согласие результатов, однако с увеличением константы затухания (к/g ~ 0.01) имеется расхождение результатов из-за применения другими авторами секулярного приближения. Применимость его при достаточно больших константах затухания сомнительна. Подход, развитый в данной диссертации, позволил получить матрицу плотности и явные аналитические выражения для наблюдаемых при любых соотношениях между параметрами модели и, на наш взгляд, является более последовательным и универсальным.

В §3.6 найдено явное выражения для контура линии излучения в частном случае одноквантовых переходов (г = 1, s = l,(f) =0), отсутствие атомной релаксации (мазерное приближение 7д = 0) и возбужденного атома.

В случае резонанса:

оо к— 1 к—n— 1

n=0 j-0

В общем случае:

do к—1 к—п— 1

fc=l n=0 jVO

где

Л1,2 = 1 — сс® (9п - 9п+1) Т СОЭ (вп) ± сое (6>„+1), Л3 4 = 1 + соя (0п - <9п+1) т СОЗ (вп) т сое (6>„+1),

XI,2 = (0,+1 + Пп)/2 ± Дш, хз,4 = - П„)/2 ± Дси.

Рассчитан спектр излучения для начального когерентного состояния (Рис. 1.г) и состояния с определенным числом фотонов в зависимости от константы затухания полевой моды тр. Результаты представленных расчетов хорошо согласуются с результатами, полученными Ораевским А.Н. для вакуумного поля. В спектре излучения явно обнаруживается дуплет с максимальным расстоянием между линиями по порядку величины равным константе связи "атом+поле". В случае начального когерентного состояния фотонной резонаторной моды, теория предсказывает дополнительное расщепление дуплетных линий. Количество линий в компоненте дуплета бесконечно, однако высота А;-ой линии пропорциональна поэтому на графике видно ограниченное количество линий.

В §3.7 изучена динамика "чистоты"атомной подсистемы ТУ[/5^], показывающая насколько атомная и фотонная подсистемы перепутаны. Для чистых состояний Тг[рд] = 1, для смешанных Тг\р\} < 1. Исходя из явного вида матрицы плотности системы "атом+поле" легко видеть, что редуцированная матрица плотности атомной подсистемы приводится к виду:

Из расчетов следует, что при релаксации из начального когерентного состояния полевой моды и нулевой расстройки система всегда находится в смешанном состоянии, причиной чему является сильное взаимодействие атома с полем. При возрастании расстройки атомная и фотонная подсистемы практически независимы и чистота атомной подсистемы близка к единице (Рис. 2.а).

В четвертой главе изучена обобщенная МДК с учетом движения атома, релаксации фотонной моды и атомной подсистемы. Строится модель одноатомного мазера.

(22)

Для "чистоты" атомной подсистемы получаем:

Т„ГА2 1 — -I- АСА2

Тг[р\] = а{Ь? + Ъ{1? + 2\с{1)\

(23)

-МЫ

ГО (3)

Рис. 1: (а)-Динамика среднего числа фотонов для начального когерентного ния с |г|2 = 5;{пр) = 0.15; 7р = 0.001;(1)- соответствует <5 = 0,(2) —» 5

(3) - 5

состояЛО и

20; (б)-Динамика инверсии населенности для начального когерентного со-

стояния с ZI

= 8;{nF> = 0.15;7f = 0.002; (1 ^соответствует S = 0,(2)

10 и

(3) —► 5 — 20;(в)-Динамика среднего числа фотонов для начального когерентного состояния с |г|2 = 10;(nF> = 0.15;Д = 0;(1) fF = 0,(2) ->■ 7f = 0.002,(3) 17, = 0.01; (г) Спектр излучения для начального когерентного состояния с |г|3 = 10; (njr) = 0;

(1) -> [5,(Дш)] - для 7F = 0.001; (2) ■ для = 0.01

[5(Дш 4- 1)] - для 7F = 0.005; (3) [5(Дш + 2)] -

В §4.1 рассмотрено обобщение рассматриваемой модели на случай движения атома через резонатор, без учета граничных эффектов. Атом считается достаточно тяжелым и его внешняя степень свободы (координата х) описывается классическим образом, т.е. х = и£. Влияние движения атома на динамику внутренней степени свободы передается через модовую функцию резонатора. Вычисления выполнены для двух типов модовых функций: синусоидальной и более реалистичной - гауссовой.

В первом случае:

д(х) = д(уЬ) = д(Ь) = дът^пх/Ь) = дзт(ттуЬ/Ь), (п = 1,2,3,...). (24)

Изучена также более реалистичная модовая функция, выбор которой в виде гауссианы связан с тем, что в реальных экспериментах с одноатомным мазером в качестве резонатора выступают сферические зеркала. Для атома, пролетающего сквозь центр резонатора (г=0), и случая аксиальных мод (ТЕМпоо) зависимость константы взаимодействия "атом-поле"в параксиальном приближении моделируется следующим образом:

9п{х) = д„Ы) = дп{1) = 5ехр (--2Ь2 (2п + 1)?г) ' (25)

Отличие от предыдущей главы в том, что гамильтониан взаимодействия "атом+поле" стал явно зависеть от времени. Формально матрица плотности совпадает с соответствующим выражением из §3.4, однако коэффициенты а„ = (1|[/ар|1) и /Зге = (1|{/ар[2) - матричные элементы оператора эволюции задачи без диссипации:

гОлр = Н(Ц{1)иАР.

Для проведения моделирования временных зависимостей был разработан пакет программ, в котором методом Рунге-Кутта 4-го порядка численно решалась система дифференциальных уравнений для атома с учетом движения. Установлено, что модели неподвижного и движущегося атома хорошо согласуются. Однако, в случае движущегося атома наблюдается меньшее количество осцилляций Раби за одинаковое время взаимодействия. Это связано с тем, что в принятой модели движения атома эффективная константа связи меньше, чем у неподвижного атома в начале и конце взаимодействия (при влете и вылете из резонатора).

В §4,1, взяв за основу данные эксперимента с одноатомным мазером группы Вальтера и варьируя параметрами, удалось получить наборы значений, которым соответствуют экспериментальные точки. При этом, полученные данные находятся в согласии с заявленными экспериментаторами. Выполненный расчет хорошо согласуется как с экспериментальными точками, так и теоретическим расчетом группы Вальтера, выполненным ими для идеальной МДК в пренебрежении фотонными потерями. Однако наш расчет позволяет описать динамику системы для больших значений среднего числа фотонов в резонаторе, для которых потери уже существенны (Рис. 2.6).

а б

Рис. 2: (а) "Чистота" Тг[рд] для начального когерентного состояния с |г|г = 5; 7jt = 0.001; (nF) = 0.15; (1) —» Д = 0; (2) —► Д = 10; (3) -» Д = 20; (б)Динамика вероятности обнаружить атом в возбужденном состоянии Pe(t) для начального теплового состояния с {¡/) = 4.5; Д = 0; = 4.1;а = 1;6 = 0;з = 40;(nF) = 4.5;<п^> = 0.8;7,i = 10; модель неподвижного атома; Сплошная кривая соответствует теоретическому моделированию, экспериментальные точки взяты из работы: Вальтер Г. Одноатомный мазер и другие эксперименты квантовой электродинамики резонатора (УФН. 1996. Т. 166. N 7. С.777 - 794.)

В заключении сформулированы основные результаты, представленные в диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Исследованы качественные и количественные особенности динамики и релаксации фотонных и атомных состояний в неидеалыюм резонаторе в

системе из двухуровневого атома (как неподвижного, так и движущегося сквозь резонатор), взаимодействующего с квантованным электромагнитным полем и диссипативным окружением.

2. Впервые найдено точное решение модели Джейнса - Каммингса с фотонными и атомными потерями. Рассчитаны временные зависимости инверсии населенностей атома, числа фотонов, Q— фактора Фано в зависимости от начального состояния динамической фотонной моды в неидеальном резонаторе, хорошо согласующиеся с известными экспериментальными данными.

3. Построена точная последовательная динамическая теория одноатомного мазера, свободная от дополнительных ограничений на параметры модели (расстройка; соотношение между константами взаимодействия и затухания; произвольность начального состояния системы, как полевой моды, так и атома).

4. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы для определения оптимальных параметров экспериментальных установок, генерирующих неклассические состояния света, запутанные состояния "атом+поле" и другие заданные состояния атомной подсистемы.

5. Впервые рассчитано явное аналитическое выражение для спектра излучения системы "атом+поле" в резонаторе для разных начальных состояний фотонной моды. Предсказан дублетный характер спектра излучения вне зависимости от начального состояния полевой моды.

6. Развит общий подход к описанию диссипативных систем типа обобщенной МДК, сводящий решение кинетического уравнения для матрицы плотности к решению уравнения Шредингера для системы без диссипации. Этот подход может быть также применен для решения аналогичных задач квантовой оптики (атомы в лазерных ловушках, диссипативная динамика квантовых точек, диссипативная динамика атомов в резонаторе с учетом нелинейных свойств среды и дополнительных внешних воздействий при помощи лазерных полей).

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Горохов A.B., Синайский И.Е. Метод уравнения Фоккера - Планка и статистика фотонов в теории одноатомного мазера // Изв. РАН. (Серия физическая). 2004. N.68. С. 1288 - 1291.

2. Горохов А.В..Синайский И.Е. Модель Джейнса - Каммингса в резонаторе конечной добротности. Фотонная статистика и спектр излучения. Аналитическое решение// Физика волновых процессов и радиотехнические системы 2005. Т. 8. С. 54 - 61.

3. Синайский И.Е. Обобщенная модель Джейнса - Каммингса с учетом релаксации фотонной моды. Спектр излучения// Изв. СНЦ РАН Т.7 N2(14), 2005, С.371-375

4. Горохов A.B., Синайский И.Е. Точное решение модели Джейнса-Каммингса для атома, движущегося сквозь неидеальный резонатор // Ученые Записки Казанского государственного университета, серия Физико-математические науки, 2006, т.148, книга 1, с.116-123.

5. Аснин B.JI., Горохов A.B., Синайский И.Е. Геометрическая фаза в некоторых моделях квантовой оптики// Когерентная оптика и оптическая спектроскопия:Сборник статей. Казань, 1998. С. 191 - 196.

6. Горохов A.B., Синайский И.Е. Динамика двухуровневого атома в идеальном резонаторе с зависящей от времени константой взаимодействия "атом-поле"// Когерентная оптика и оптическая спектроско-пия:Сборник статей. Казань, 2000. С. 15 - 20.

7. Горохов A.B., Синайский И.Е. К квантовой теории одноатомного мазера // Когерентная оптика и оптическая спектроскопия:Сборник статей. Казань, 2001. С. 187 - 192.

8. Горохов A.B., Синайский И.Е. Точное решение модели Джейнса - Каммингса с учетом релаксации фотонной моды// Когерентная оптика и оптическая спектроскопия:Сборник статей. Казань, 2003. С. 151 - 156.

9. Горохов A.B., Синайский И.Е. Обобщенная модель Джейнса - Каммингса в неидеальном резонаторе с учетом движения атома // Когерентная оптика и оптическая спектроскопия:Сборник статей. Казань, 2005. С. 139 - 144.; Третий Самарский региональный конкурс-конференция научных работ студентов и молодых исследователей по оптике и лазерной физике: Сборник конкурсных докладов. Москва, 2005, С. 73-80.

10. Синайский И.Е. Обобщенная модель Джейнса - Каммингса с учетом релаксации фотонной моды. Спектр излучения // Второй Самарский региональный конкурс-конференция научных работ студентов и молодых исследователей по оптике и лазерной физике: Сборник конкурсных докладов. Самара, 2005, С. 139-144.

11. Горохов A.B., Синайский И.Е. Точное решение модели одноатомного мазера // Теор. Физика (СамГУ) 2003. Т. 4. С. 99 - 107.

12. Синайский И.Е. Спектры фотонов в иеидеальнон модели Дженлса -

Каммиигса // Теор. Физика (СамГУ) 2004. Т. 5. С. 98 - 101.

13. Gorokhov А. V., Sinaiski I.E. Exact Solution of the Jaynes - Cummings Model

with Relaxation // Точное решение модели Джейнса-Каммингса с потерями И Ргос. SPIE. 2003. V. 5476, Р. 91 - 98.

14. Gorokhov A.V., Sinaiski I.E. Photon spectra and statistics in generalized

Jaynes - Cummings model with photon losses and atom motion // Спектр излучения и статистика фотонов в обобщенной модели Джейнса-Каммнпгса с учетом движения атома и фотонных потерь // Ргос. SPIE.

2006. V. 6181, Р. 9-19.

15. Sinaiski I.E. Geometric phase in some one-atom maser model // Геомстри- ■

ческая фаза в модели одноатомного мазера // Ргос. SPIE. 2006. V. 6181, Р. 20 - 24.

16. Gorokhov A.V., Sinaiski I.E. Fokker-Planck equation method and photon statistics in theory of one-atom maser //Метод уравнения Фоккера-Планка и фотонная статистика в теории одноатомного мазера// Ргос. SPIE. 2003. V. 5402, Р. 35-41.

17. Gorokhov А.V., Sinaiski I.E. Exact solution of the otic - atom maser model // Точное решение модели одноатомного мазера //In book: High Energy Physics and Quantum Field Theory, ed. by M. Dubinin and V. Savrin. D.V. Skobeltsyn Institute of Nuclear Physics. Moscow State University. Moscow. 2003. P. 472 - 478.

Подписано в печать 7 сентября 2006 г. Фох>мат 60 84/16. Бумага офсетная. Печать онератииная. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ N1243 443011, г. Самара, ул. Академика Павлова, 1. Отпечатано УОП СамГУ.

^ ' --VP

Введение

1 Глауберовские когерентные состояния, одноатомный мазер, модель Джейнса - Каммингса и ее обобщения

1.1 Мегод когерентных состояний в квантовой оптике.

1.2 Модель Джейнса-Каммингса.

1.3 Эксперименты с одноатомным мазером.

1.4 Обобщения модели Джейнса-Каммингса.

2 Релаксация фотонной моды в резонаторе и уравнение Фок-кера - Планка

2 1 Кинетическое уравнение для фотонов и уравнение Фоккера

- Планка.

2 2 Пропагатор уравнения Фоккера-Планка.

3 Обобщения модели Джейнса - Каммингса в резонаторе конечной добротности. Случай неподвижного атома

3.1 МДК с учетом релаксации фотонной моды.

3.2 МДК с учетом многоквантовых переходов

3.3 МДК с учетом переходов с разными частотами.

3.4 МДК с учетом "мазерного" приближения и произвольного начального состояния атома.

3.5 МДК в случае нулевой температуры резонатора.

3.6 Контур линии излучения.

3.7 Чистота (purity) атомной подсистемы в системе "атом + поле"

4 Обобщенная МДК с учетом движения атома, релаксации фотонной моды и атомной подсистемы. Модель одноатомного мазера

4.1 МДК с учетом движения атома.

4.2 Сравнение моделей движущегося и покоящегося атома. Эксперименты с одноатомным мазером.

Актуальность проблемы

Простейшей и наиболее фундаментальной системой для изучения взаимодействия излучения с веществом является единичный двухуровневый атом, взаимодействующий с электромагнитным полем одной моды резонатора. В рамках этой модели, как оказалось, могут быть описаны практически все основные эффекты, возникающие при взаимодействии излучения с веществом. Введенная Эйнштейном (см., например, [1]), модель вновь вызвала интерес почти полвека спустя, когда Джейнсом и Каммингсом ([2]) было найдено точное решение для вероятности переходов между уровнями в так называемом приближении вращающейся волны, исключающем из рассмотрения антирезонансные слагаемые (модель Джейнса-Каммингса (МДК)). Однако лишь в последнее время интерес перестал быть чисю чеоретическим, поскольку реализация одноатомного мазера и микролазера ([3]-[5]) предоставила возможность непосредственного исследования таких систем и экспериментальной проверки основных положений квантовой электродинамики [6].

Актуальность создания новых методов расчета динамики взаимодействия двухуровневого атома с квантованным электромагнитным полем с учеюм диссипативного окружения, обусловлена тем, чю разработанные к настоящему времени динамические теории одноатомного мазера имеют ограниченную область применимости. Они либо справедливы не при всех значениях параметров модели мазера ([7]-[11]), либо при получении "точных результатов"исключительно громоздки [12], что затрудняет их практическое использование.

Потребность в разработке точной и простой в применении теории одноатомного мазера связана также с возможными потенциальными применениями для так называемых Q-компьютеров (квантовых компьютеров) ([13]-[16]) и применениями для кодирования и декодирования сигналов, передаваемых по квантовому каналу (квантовая криптография). Современное состояние дел в этой интенсивно развивающейся области современной физики отражено в монографии [17] и сборнике статей [18].

Цель диссертационной работы

Цель диссертационной работы заключается в исследовании качественных и количественных особенностей динамики и релаксации фотонных и атомных состояний в неидеальном резонаторе в системе из двухуровневого атома (как неподвижного, так и движущегося сквозь резонатор), взаимодействующего с квантованным электромагнитным полем и диссипативным окружением, на основе математического аппарата, использующего технику когерентных состояний.

Для реализации поставленной цели решаются следующие основные задачи:

• Формулировка гамильтонианов, описывающих динамику системы в различных обобщениях МДК и вывод кинетического уравнения для редуцированной матрицы плотности системы "атом+фотонная мода".

• Построение точного аналитического решения для редуцированной матрицы плотности с использованием техники когерентных состояний и скрытой динамической симметрии модели Джейнса-Каммингса.

• Исследование на основе найденной матрицы плотности поведения наблюдаемых величин, актуальных для понимания особенностей динамики одноатомного мазера (среднего числа фотонов в моде, инверсии населенности уровней атома, вероятности изменения состояния атома в полости, Q-фактора Фано-Манделя).

• Получение явного аналитического выражения для спектра излучения системы "аюм + поле" в резонаторе.

Научная новизна

Научная новизна результатов состоит в том, что:

• Впервые найдено точное представление матрицы плотности модели Джейнса-Каммингса с фотонными потерями для произвольного начального состояния фотонной и атомной подсистемы.

• Построена точная последовательная динамическая теория одноатомного мазера, свободная от дополнительных ограничений на параметры модели.

• Впервые найдено точное выражение для спектра излучения в модели одноатомного мазера для произвольного начального состояния системы.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием строгих математических методов; детальным анализом общих физических принципов, лежащих в их основе; сравнением с результатами, полученными в других работах для частных случаев, сравнением с экспериментами с одноатомным мазером.

Научная и практическая ценность результатов

1. Найденное точное выражение для матрицы плотности обобщенной модели Джейнеа-Каммингса с фотонными потерями открывает новые возможности в теоретическом и экспериментальном исследовании одноатомного мазера.

2. Развит общий подход к описанию диссипативных систем типа обобщенной МДК, сводящий решение кинетического уравнения для матрицы плотности к решению уравнения Шредингера для системы без диссипации. Этот подход может быть также применен для решения других задач резонаторной квантовой оптики.

3. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы для определения оптимальных параметров экспериментальных установок, генерирующих неклассические состояния света, запутанные состояния "атом+поле" и другие заданные состояния атомной подсистемы

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Метод нахождения матрицы плотности систем типа обобщенной МДК, сводящий решение кинетического уравнения для матрицы плотности к решению уравнения Шредингера для системы без диссипации.

2. Точное выражение для матрицы плотности обобщенной модели Джейнса-Каммингса в резонаторе с потерями для неподвижного и движущегося в резонаторе атома (модель одноатомного мазера).

3. Точное выражение спектра излучения модели одноатомного мазера

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на II (1998),IV (2000),V (2001),VII (2003),IX (2005) Международной научной молодежной школе "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия" (Казань); Физика высоких энергий и квантовая теория поля (Самара, 2003); IX Международных Чтениях по квантовой оптике (Санкт-Пегербург, 2003); Международной школе молодых ученых по оптике, лазерной физике и биофизике (Saratov Fall Meetings, Saratov, 2003); VIII Международном симпозиуме "Фотонноеэхо и когерентная спектроскопия"(PECS-2005, Калининград), Всероссийской научной конференции "Концепции симметрии и фундаментальных полей в квантовой физике XXI века"(Самара, 2005), Научной конференции "Проблемы фундаментальной физики XXI века"(Самара, 2005), Самарской региональной конкурс-конференции научных работ студентов и молодых исследователей по оптике и лазерной физике (Самара, 2003-2005), а также на научно-практических конференциях и научных семинарах в Самарском государственном университете.

Работа над диссертацией поддержана грантом Министерства образования и науки Самарской области для студентов, аспирантов и молодых ученых 2005 года (№ 182Е2.4К).

Публикации

По теме диссертационной работы опубликовано 17 печатных работ, в том числе 4 статьи в журналах, рекомендованных ВАК.

Личное участие автора

Все результаты, составившие основу диссертации, получены лично автором или при его определяющем участии.

Объем и структура работы

Диссертация изложена на 114 с. печатного текста. Она состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы, включающего 151 наименований. Общий объем диссертации - 128 страниц текста (в том числе 37 рисунков).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении показана актуальность настоящего исследования, сформулированы цель работы, выбор объекта и методов исследования.

В первой главе, на основе имеющихся литературных источников, сформулированы основные идеи метода когерентных состояний в квантовой оптике и приведено решение идеальной МДК. Дан обзор экспериментов с одноатомным мазером и описаны основные существующие пути обобщения МДК.

Во второй главе изучены особенности релаксации фотонной моды в резонаторе и сформулирован подход, использующий формализм уравнения Фоккера-Планка для символа матрицы плотности.

В третьей главе, рассматриваются все более общие случаи:

• стандартная МДК с фотонными потерями и атомом, возбужденным на верхний уровень, одноквантовыми переходами и произвольным начальным состоянием фотонной моды;

• МДК с фотонными потерями и атомом, возбужденным на верхний уровень, многоквантовыми переходами и произвольным начальным состоянием фотонной моды;

• МДК с фотонными потерями и атомом, возбужденным на верхний уровень, невырожденным взаимодействием и произвольным начальным состоянием фотонной моды;

• МДК с фотонными потерями и "атомной" релаксацией, вырожденным и невырожденным взаимодействием и произвольным начальным состоянием фотонной моды и атома Кроме того детально исследован частный случай МДК при нулевой температуре резонатора, который необходим для получения аналитического выражения для спектра излучения и сравнения результатов моделирования с расчетами других авторов ([8],[9],[10],[11]).

На основе развитого подхода последовательно строится матрица плотности модели и исследуется временная динамика наблюдаемых величин, важных для последующей интерпретации результатов теории и сравнения с экспериментом: среднего числа фотонов, инверсии населенности уровня, Q-фактора Фано-Манделя, описывающего дисперсию числа фотонов. Рассчитан спектр излучения модели МДК и проведен анализ "чистоты"(purity) состояний атомной подсистемы в модели неподвижного атома.

В четвертой главе построена матрица плотности обобщенной МДК в модели с движущимся сквозь резонатор атомом. Проведено сравнение динамики наблюдаемых в модели покоящегося и движущегося атома с использованием двух видов модовых функции квантовоэлектродинамическо-го резонатора. На основе найденных выражений для матрицы плотности выполнен анализ экспериментов с одноатомным мазером.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Выводы: Взяв за основу данные эксперимента с одноатомным мазером [3] и варьируя параметрами, удалось получить наборы значений, которым соответствуют экспериментальные точки. При этом полученные данные находятся в согласии с заявленными экспериментаторами. А именно, результаты, показанные на графиках Рис. 4.4, 4.5, прекрасно согласуются как с экспериментальными точками, так и теоретическим расчетом группы Вальтера, выполненным ими для идеальной МДК в пренебрежении фотонными потерями. Однако наш расчет позволяет описать динамику системы для больших значений среднего числа фотонов (Рис. 4.6) в резонаторе, для которых потери уже существенны. Заметим, что в работе [3] экспериментальные значения не описаны теоретически. Таким образом, построенная нами теория описывает одноатомный мазер в широком диапазоне параметров модели.

Заключение

Сформулируем основные выводы и результаты диссертационной pa6oibi:

1 Исследованы качественные и количественные особенности динамики и релаксации фотонных и атомных состояний в неидеальном резонаторе в системе из двухуровневого атома (как неподвижного, так и движущегося сквозь резонатор), взаимодействующего с квангованным электромагнитным полем и диссипативным окружением.

2. Впервые найдено точное решение модели Джейнса - Каммингса с фотонными и атомными потерями. Рассчитаны временные зависимости инверсии населенностей атома, числа фотонов, Q— фактора Фано в зависимости от начального состояния динамической фотонной моды в неидеальном резонаторе, хорошо согласующиеся с известными экспериментальными данными.

3. Построена точная последовательная динамическая теория одноатомного мазера, свободная от дополнительных ограничений на параметры модели (расстройка; соотношение между константами взаимодействия и затухания, произвольность начального состояния системы, как полевой моды, так и атома).

4. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы для определения оптимальных параметров экспериментальных установок, генерирующих неклассические состояния света, запутанные состояния "атом+поле" и другие заданные состояния атомной подсистемы

5. Впервые рассчитано явное аналитическое выражение для спектра излучения системы "атом+поле" в резонаторе для разных начальных состояний фотонной моды. Предсказан дублетный характер спектра излучения вне зависимости от начального состояния полевой моды.

6. Развит общий подход к описанию диссипативных систем типа обобщенной МДК, сводящий решение кинетического уравнения для матрицы плотности к решению уравнения Шредингера для системы без диссипации Этот подход может быть также применен для решения аналогичных задач квантовой оптики (атомы в лазерных ловушках, диссипативная динамика квантовых точек, диссипативная динамика атомов в резонаторе с учетом нелинейных свойств среды и дополнительных внешних воздействий при помощи лазерных полей).

1. Yoo Н -I. Eberly J.H. Dynamical theory of an atom with two or thiee levels interacting with quantized cavity fields // Physics Reports. 1985. V.118. No. 5. P. 239 -337.

2. Jaynes E.T., Cummings F.W. Comparison of quantum and semiclabsical radiation theories with application to the beam maser // Proc.IEEE. 1963. Vol.51. P.89 -109.

3. Вальтер Г. Одноатомный мазер и другие эксперименты квантовой электродинамики резонатора // УФН. 1996. Т. 166 N 7. С 777 794.

4. Me&chede D., Walther Н., Muller G. One Atom Maser // Phys. Rev. Lett. 1985. V.54. No. 6. P.551 - 554.

5. Rempe G., Walther H.,Klein N. Observation of quantum collapse and revival in one atom maser //Phys. Rev. Lett 1987. V. 58. No 4. P. 353 - 356.

6. Козеровский M., Мамедов А.А., Манько В.И., Чумаков С М. Взаимодействие двух- и трехуровневых атомов с квантованным полем в идеальном резонаторе // Тр. ФИАН. 1992. Т. 208. С. 3 17.

7. Башкиров Е.К., Русакова М.С. Временная эволюция двухуровневого атома с многофотонными переходами в неидеальном резонаторе с расстройкой// Вестник СамГУ естественнонаучная серия, 2005. Т.36, № 2. С. 156-167.

8. Puri R.R., Agarwal G.S. Finite-Q cavity electrodynamics: Dynamical and statistical aspects // Phys. Rev. 1987. A 35. P. 3433- 3449

9. Puri R.R., Agarwal G.S. Coherent two-photon transitions in Rydberg atoms in cavity with finite Q // Phys. Rev. 1988. A 37. P. 3879- 3883.

10. Pun R.R., Agarwal G.S. Collapse and revival phenomena in the Jaynes -Cummings model with cavity damping // Phys. Rev. 1986. A 33. P. 36103613.

11. Башкиров E.K., Мангулова Е.Г. Модель Джейнса-Каммингса в неидеальном резонаторе с конечной температурой// Вестник СамГУ, 2000, № 2П. С. 1-4.

12. A.J. van Wonderen Exact solution of the Jaynes Cummmg model with cavity damping // Phys. Rev. A 56 1997 № 4 P. 3116-3128.

13. Feynman R.P Quantum mechanical computers // Found. Phys. 1986. -V 16. P.507- 531.

14. Deutsch D. Quantum theory, the Church Turing principle and the universal quantum computers //Proc. Roy. Soc. (London), Ser.A. 1985 V.400. P.97- 117.

15. Berthiaume A.,Deutsch D., Jozea R. The stabilisation of quantum computation // Proceeding of the Work Shop on Physics and Computations, Phys Сотр.'94., IEEE, Computer Society Press. 1994. P.60 62.

16. Peres A Error symmetrization m quantum computers // Phys.Comp.'96

17. Extended Abstract. 1996. P. 1 3.

18. Валиев К.А., Кокин А.А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. Москва Ижевск.: РХД. 2001. - 352 с.

19. Баумейстер Д , Экерт А., Цайлингер А. Физика квантовой информации. Квантовая криптография. Квантовая телепортация. Квантовые вычисления. М.: Постмаркет. 2002. 376 с.

20. Brune М., Shmid-Kaler F., Maali A., Dreyer J., Hagley E., Raimond J.M., Haroshe S. Quantum Rabi oscillation: a direct test of field quantization m cavity // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76. № 11 P. 1800- 1803.

21. Raithel G., Wagner C., Walther H., Narducci L.M, Scully M.O. The micromaser: a providing ground for quantum physics // Advances in Atomic, Molecular and Optical Physics, P. Berman, ed.- N.Y : Academic 1994. Suppl. V. 2. P. 57- 121.

22. Glauber R.J. Coherent and Incoherent States of the Radiation Field. //Phys.Rev.- 1963. V.131. P. 2766-2789.

23. Глаубер P. Оптическая когерентность и статистика фотонов, /в кн. Квантовая оптика и квантовая радиофизика. М.: Мир. 1966. С. 91 -281.

24. Loudon R. The Quantum Theory of Light. N.Y. London. Oxford University Press. 1985. - 456 p.

25. Килин С.Я. Квантовая оптика: Поля и их детектирование. Минск: Навука i тэхнжа. 1990. - 176 с.

26. Лоудон Р. Квантовая теория света. М.: Мир. - 1976. - 488 с

27. Хакен Г. Лазерная светодинамика.- М.: Мир. 1988.- 350 с.

28. Мандель Л., Вольф Э. Оптическая когерентность и кванювая оптика. М.: Наука. Физматлит. 2000. 896 с.

29. Малкин И.А., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные сосюяния квантовых систем.- М.: Наука. 1979. 320 с.

30. Переломов A.M. Обобщенные когерентные состояния и их применения М.: Наука. 1987. - 272 с.

31. Давыдов А.С. Квантовая механика. М.: Наука. 1973. - 703 с.

32. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: в 10 т. T.III. Квантовая механика. М.: Наука. - 1989. - 768 с.

33. Schrodmger Е. Der stetige Ubergang von der Mikro- zur Makromechanik. // Naturwissenschaften 1926. 14. S. 664-666.

34. Stoler D. Generalized Coherent States. //Phys. Rev. 1971. V. 4. P. 2309 - 2312.35