Регуляторная и стохастическая динамика обобщений модели Джейнса-Каммингса тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

ГЧ. На правах рукописи

Сг~

/***

Рога-шва Елена Валерьевна

^ Г)

Рел''Л^рпая и стохастическая динамика

{

:кунш" модели Джениса-Каммингса 01.04.05 - оптика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САМАРА 1997 г.

Работа выполнена в Самарском госудзретвенком университете

Научный руководитель: кандидат физико-математических’ наук,

доцент Горохов А.В.

Официальные оппоненты: доктор фкзнхо-матеыаткчееккх наук,

профессор Шелепин Л.А. ,

кандидат фі<знко-мг.те?іат»5Чесхих наук, доцент Рсшзтсз В.А.

Ведущая организация: Саратовский государственный

университет им. II.Г.Чернышевского

Защита состоится ” і'2, ” Мар7а_ 1997 г. в 15 час. на

заседании диссертационного совета К 063.94.05 при Самарском государственном университете по адресу: 443011, г.Самара, ул. Павлова,

1, СамГУ, аудитория 2 су

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного университета.

Автореферат разослан ” {3. ” <ф-г€раА^ 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических , £ р

наук, доцент Жукова В.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

ЛТ'Т'* \ЛЫЮСТЬ РАБОТЫ. Моделі, двухуровневого атома, вза-кмо\- *. с.'чі/'.і с одной мпди.ч квантован «ого электромагнитного поля.тирог*» чсчользуется В ЧНЯНТОРОЙ сит яке, поскольку позволяет оли-саг:, г»< < л :ночкггс «рфекти влакмопеясткий свст* н вещества. Однако до недавнего времени интерес к этой модели был чисто теоретическим. Последний дс'снгкзиня в оСл;-.с^и лаззрны* л ьокупрокодг.икоаых технологий привели ь ііі-й^тпчс.сіой реализации одьоатомного мазера и мнкролазера 'и, таким образом, предоставили возможность непосредственного изу:іі.;».і„ .1,<ы.«1Л1ня єдл.чичііо/о агоь.а а поле световой волны в идеальном {зілсочсдобротисм} резонаторе к экспериментальной проверки основних положений квантовой электродинамики. При этом становится ' и:лм создание систем с большими константами связи (порлдка частоты;, для расчета которых неприменима стандартная теория возмущений. Кроме того, а настоящее время активно обсуждается возможность возникновения хаоса в подобных системах. Все эти т»озника«п"»в проблемы требуют разработки адекватного математиче-ско'Ч’ аляарата. Отузтнм, чго потребность в детальном исследовании

ху ро^незого лток». епчзанного с злектрлмагяіггньш полом обусловлен* и разр.-.;:п-к; т.-.к !!Д5ыв-':иы). Кй-што-Ь'У. компьютеров.

В о--!у^_1'лко-’«'иных і: і!і,сл;тЦ'ПіЄ нес<о.г-ъко лет, была

аридпрлп.'-'тк !.с::ьгтк >. язпеходг х суперскмметрнчмому гамильтониану міудсз-! Д» .га’,. :■» - Каммингса, линскгому но к-нерахорам суисралге-брь; дипи,’.кои <>-А*>'*:трН!'. Нглкчае такого снойства обеспечивает точную мгн гчїі. '•'-■лє.ік, у '.іо давало кадея'ау из существенный

прогресс а теоретических исследованиях.

:7ПЛ'- Цсль/о ;.чссеотаі',ко!'.л-:-и р-.,бзты азляотся раз-

вити»1 о 'гч. г--1 - ра г;», н'.-лволлклцега последовать динами-

ку модели Джейнса - Камппнгса и различных ее обобщений в рамках непертурбатквнэго квазиклассического подхода в базисе когерентных

СОСТОЯНИЙ ( К (’) г Ґ ’ с 'V із Iь' < г'т и V у*! * ш ^ гр’/ЛП Г?М;!?М1?,?ГСХОЙ СНМ?-*ЄТрНИ.

•'{ЛУЧ!!/ Л -!!Л і 2 ::-ч«-.тояиюй ракете впервые построен кон-

тинуальный интеграл а базисе когерентных состояний супергруппы ОЗД212' V' г.!.1йсдск.ч) динамические уравнения (тина Лагранжа - Эйлер-.} длі параметре;: КС, которые решены для суперснмметрнчных обобщений стандартной модели Джейнса - Каммингса и модели Джейнса - Каммингса, учитывающей виртуальные двухфотонные процессы

(антирезонансные слагаемые). Получены точные выражения для перо ятности перехода атома при фиксированном начальном числе фотонов в полевой моде и статистической суммы суперсим матричного обобщения стандартной модели Джейнса - Каммингса.

Исследована квазиклассическая динамика модели двухуровневого атома, взаимодействующего с модой квантованного электромагнитного поля в базисе когерентных состояний группы SU(2) ® W(l). Рассмотрение обобщено на случай трехволнокого параметрического взаимодействия (группа динамической симметрии SU(l, 1)® 1У(1)). Проведен анализ динамики операторных средних описанных систем и изучено влияние на возникновение и развитие хаоса в ’’атомной” подсистеме параметрического возбуждения ’’полевой” подсистемы.

ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ:

1. Расчет квачи классической динамики суперсимметричного обобщения модели Джейнса - Каммингса в базисе когерентных состояний супергруппы (динамической симметрии данной системы) OSp(2|2).

2. Результаты расчета поведения параметров когерентных состояний группы динамической симметрии системы, состоящей из двухуровневого атома и одной моды электромагнитного поля и вероятности перехода атома между уровнями.

3. Результаты расчета поведения параметров когерентных состояний группы динамической симметрии модели, описывающей трехволновое параметрическое взаимодействие.

4.Расчет динамики моделей двухуровневого ато:д~, г/;аимодейству-ющего с электромагнитным полем и трехволнового параметрического взаимодействия при кратковременном параметрическом воздействии на систему.

НАУЧНО - ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ. Результаты исследования могут быть использованы при изучении вопросов, связанных с взаимодействием квантованного электромагнитного ноля с двухуровневым атомом, при интерпретации экспериментальных данных по наблюдению хаоса в системе с большими константами связи.

АПРОБАЦИЯ. Основные результаты докладывались на:

Международном Семинаре ” Volga Laser Tour” (Computer Simulations in Nonlinear Optics) (Дубна - Нижний Новгород - Москва, 1993г.), XI Российском коллоквиуме "Современный групповой анализ и задачи математического моделирования”, Международных Семинарах ’’Диффе-

ренииальные уравнения и их приложения’’ (Самара, 1995, 1996гг.), VII Международной Конференции ”V1I International Conference on Symmetry Methods iu Physics" (Дубка, 1995г.), Научных конференциях Самарского гос.университета (1994, 1995, 1996гг.).

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертационная работа состоит из Введения, четырех Глав, Заключения, восьми Приложений и Списка литературы из 77 наименований, содержит 123 страницы текста и 37 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во ВВЕДЫ1 ИИ обоснована актуальность работы, кратко изложены основные идеи, развитые в диссертации.

ГЛАВА 1 посвящена описанию модели Джейнса - Каммингса и различных ее обобщений, изучаемых в последующих главах. Во-первых, это система, состоящая из двухуровневого атома и связанного с ним квантованного электромагнитного поля, с квантовым гамильтонианом

н = и,- т н„ - (н:'; -г и:'-; > = v (ьхь + ^ j + w sz+

+ [д 1)S+ -f g b^S+ + ,■».£.] + к (br + b f , (1)

где i' - круговая частота поля, ш - расстояние между атомными уровнями энергии (здесь и далее h — 1), д и А: - константы взаимодействия, Ь-1" и Ь - бозонные (фотонные) операторы рождения и уничтожения соответственно, S’/ и S± ■ операторы энергетического спина, образующие алгебру i'!f(2). При этом мы полагаем, что v и w - полевая частота находится в резонансе (или близка к нему) с атомной. Исключение из рассмотрения слагаемых с константой взаимодействия к - в силу ее малости н ан riipe'ioHHHCiii.ix членов, поскольку за макроскопическое время их вклад незначителен, приводит нас к собственно модели Джейнса -Каммингса.

Во-вторых, гамильтониан трехволнопого параметрического взаимодействия который может быть записан как

Н ~ s-o’;[b^Ь ~) -f- К0 + ff(K+b +■ К J>f), (2)

гдпКи = 1(Ь+Ь + 1) ,K+ = Vb+ ,К_ = ±ЬЬ

являются генераторами группы .>7/(1,1) (более точно, ее накрывающей 6'и(1,1)). Здесь близость к резонансу означает, что к- Чи>2- Ради единообразия, мы можем по-прежнему говорить об ’’атомной” и "полевой” подсистемах, подразумевая под этими названиями подсистемы с группами динамической симметрии 547(1,1) и №'(1) соответственно.

Обе только что описанных системы могут быть обобщены на случай т-квантовых (эквидистантных) переходов в "атомной” подсистеме (когда одноквантовый переход запрещен).

Также приведено краткое описание концепции теоретико-групповых когерентных состояний.

11 ГЛАВЕ 2 проведен детальный расчет суперсиммстричного обобщения модели Джейнса - Каммингса.

В разделе 2.1 показано, как осуществляется переход к суиерсимме-тричной модели Джейнса - Каммингса [1]. Г)то делается путем замены операторов энергетического спина (пропорциональных матрицам Паули), описывающих поведение двухуровневого атома в электромагнитном ноле, фермионными операторами рождения и уничтожения. Такая замена оставляет в силе коммутационные и антикоммутационные соотношения. Далее, из бозонных (фотонных) и фермионных операторов рождения и уничтожения формируются восемь "коллективных" операторов (второго порядка), образующих сунералгебру Олр(2\2). Важно, что предлагаемый подход позволяет описать гамильтониан модели как элемент линейной оболочки замкнутой алгебраической структуры и делает модель точно решаемой.

В разделе 2.2 кратко описаны когерентные состояния супергруппы 05р(2|2) [2], являющейся группой динамической симметрии гамильтониана расматриваемой модели, приведены соотношения, позволяющие сопоставить их с фоковским базисом. Построен континуальный интеграл в представлении когерентных состояний супергруппы ОБр(2|2). Для этого матричный элемент оператора эволюции между двумя произвольными когерентными состояниями

<: 1п)\КС' > , (3)

где и{1.,1г)) — ехр( — Ц1 — <п)Н), используя разложение единицы по КС и разбивая временной интервал на малые промежутки

I - 1.п

Д' = —’ М>>1

в пряделе при /V' оо запишем как .

< в (г| схр( ~і{1 - іі) )Н)\в’а >= І'ОМпе* ,

ЛГ-1

ОМ^ = Ііпі П (іців.а-у) ,

N—•00

5 - / І її! =- 1 / [г 3(і,~лм{а, <Г; 0, У) {(<гу - вї)--{а о - 0 0)} - г'І>(/?сг|#ст)! йі

}

і'де 9 и а параметри когерентних состсяний,

МН)І0'<г' >

h(0aj(?<T) =

< б а!0' <т' > ’

' Г'

-симрол оператора гамильтониана, S и L - аналоги функции действия и лагранжиана соответственно.

Тогда уравнения Лагранжа - Эйлера имеют вид:

2ггя>.т - .9d)(S,ht\f? + 2 га Sdel.М = i~M9a\9<r) (4)

On

'J.rntcrW — (W){Si1et M )2 ‘2t& SdetM = — i ~-h{9rr\9rr) (5)

’ 3(7

2t6{<7<7 — 89){Sdr.lM ’f + 2t(? Sdt-.tM = —i—h\9iT\9<j) (ii)

09

2rf?(<rcf - 9&)(SdctM)2 + 2r0 SdetA/ = i h(6o\9ff)~ (7)

do

M = М{(г.(Т;9,в), (8)

o' (j

где — и — - так называемые левые и правые производные а а

по грассмановым переменным. Параметр т является одним из параметров, определяющих представление супергруппы OSp(2)2). В рассматриваемой модели он ранен 1/4.

Раздел 2.3 содержит выписанные в явном виде уравнения для параметров когерентных состояний в случае суперсимметричного гамиль-юпнала общего вида и в случае суперсимметричного аналога гамильтониана модели Джейнса - Каммингса. Уравнения решены для широкого класса гамильтонианом при начальных условиях самого общего

вида, однако даже в простейшим случае решения очень громоздки и мы не будем здесь их приводить.

В разделе 2.4 полученные в предыдущем разделе решения применены для расчета вероятности перехода между атомными уровнями и статистической суммы системы.

Выбирая в качестве начального |і > и конечного |/ > состояния с ненулевым и нулевым числом возбуждений в "фермионной” моде соответственно, приходим к следующему выражению для вероятности перехода:

р = | < /| ехр[—г{I - >

|2

(Ли)» (2(2^ + гп))[2гДт!''8Іп

>»)

ь'Г| (—1------К т ~ ~Ч

Результат для вероятности перехода атома из возбужденного в невозбужденное состояние при фиксированном числе фотонов п в моде излучения хорошо известен(см.,например, [3]):

Р+- =

Я(п + 1)

(і/ — а;)2 + (п + 1)</2

БІП

- ш)2 + д2(п + 1)

(10)

Для сравнения формул ( 9) и ( 10) нужно положить q2 — 2ГГ.

Поскольку в расчетах использовалась грассмановость Г и Г (квадраты этих величин обращаются в ноль), можно объяснить отсутствие соответствующих слагаемых в знаменателе и в подкоренном выражении: действительно, разложение ( 10) в ряд по параметру q'2 дает первый член, в точности совпадающий с ( 9). При больших п(т) (когда и имеет смысл говорить о квазиклассике), множители в ( 9), заключенные в квадратные скобки, практически равны единице, и результаты согласуются.

Вычислена статистическая сумма сис темы

Е = Ггехр(-/"Ш) = / < КС\ехр(—(3]1У\1\С > сііі{КС),

(П)

где

кБ Т

обратная температура, а след взят но всем переменным матрицы нлот-нг-'-ти и равновесном состочниии системы. Используя найденные явные

вираж 'ния для параметров когерентных состояний, получаем:

cosfl (TJ U) if + { в) ;

'/' —____х 1 _ 4 /. (12^

.>шЫ i U l) + у ~ J) "

При отключении взаимодействия (Г - 0), ( 12) переходит и известный

результат для статистической суммы системы, состоящей из свободных фермионного и бозонного осцилляторов (электрон Ландау в магнитном ii'i.iif». [4j). ..

Также был найден энергетический спектр изучаемой системы, содержащий две серии энергетических уровней:

_ из j п ГГ .,„,

г ^ I г\ ГГ

£?п — Т+(п+т)4' + ~^(п + 1)--------• (14)

2 \ 2' 2 ui — и

Полученные результаты показывают, что замена матриц Паули фермионными операторами рождения и уничтожения (а в алгебраическом смысле - коммутационных соотношений антикоммутационны-ми) превращают исходную модель Джейнса - Каммингса в систему с более тривиальной динамикой, которая не может претендовать на вполне адекватное описание поведения двухуровневого атома, взаимодействующею с квантованным электромагнитным полем. Вопрос о существовании реальных физических систем, описываемых суперсим-метричным обобщением модели Джейнса-Каммингса, остался для нас открытым.

В ГЛАВЕ 3 анализируется квазиклассическая динамика собственно модели Джейнса - Каммингса и некоторых ее обобщений.

Раздел 3.1 содержит описание изучаемых моделей. Мы возвращаемся к рассмотрению собственно модели Джейнса - Каммингса с. учетом ан I «резонансного взаимодействия. Для нее, вообще говоря, также существует группа динамической симметрии SU[2) ® W(l), "составленная” из групп динамической симметрии невзаимодействующих подсистем, однако гамильтониан всей системы уже не будет линеен по генераторам этой группы. Это значит, что мы можем произвести построения. аналогичные* описанным в предыдущей главе, и получить

Э

динамические уравнения для параметров соответствующих когерентных состояний, но они уже не будут точными и, сверх того, для их решения потребуется применять численные методы.

В разделе 3.2 приведены системы уравнений типа Лагранжа - Эйлера для случая тп-квантовых переходов между атомными уровнями:

' а + г 1/а + г 2]дт( а* )т~1 + г 23\тп{ а* )™~1 = О

' с+*'"С + *г(ог + *А(«т-»5(а*гс2-*л(агс!| = о ^15)

и комплексно сопряженные им - для модели двухуровневого атома, взаимодействующего с модой квантованного электромагнитного ноля.

Модель, описывающая трехволновое параметрическое взаимодействие, имеет схожую алгебраическую структуру (517(1,1) является аналитическим продолжением ЯШ2)), и в результате таких же построений получим:

а + г 1/а + г 2кдт(а*)т~1 + * 2кХпг(а*)т~1 = О

' С гд{а)т + г\{а')т + 1д(а*Г<2 + гА(а)го<2 = О

и комплексно сопряженные им. Здесь и * , и ~ означают комплексное сопряжение. Однако, ради удобства восприятия, символ * используется для параметров когерентных состояний, а ~ - для постоянных взаимодействия. Постоянные взаимодействия при слагаемых разного тина обозначены различным образом: при резонансных членах д, при антирезонапсных - Л. Это сделано, чтобы подчеркнуть возможность исследования различных систем: д Ф О, Л — 0; д — 0, Л ф 0; д = Л.

Для расчета и анализа динамики изучаемых в настоящей главе моделей была написана компьютерная программа, позволяющая получать графики временной зависимости вещественной и мнимой компонент параметров когерентных состояний, их фазовые портреты и спектры мощностей, эволюцию когерентных состояний в комплексной плоскости, вероятность перехода атома из возбужденного в невозбужденное состояние.

Раздел 3.3 посвящен анализу полученного графического материала. Временная зависимость вероятности перехода между атомными

Рмс 1 Промитая запигимог.ть вероятности перехода

ц ^ = \J ■= І /2,ч'(0) - 0.3, о(0) = 1

вверху - </ = 0.Г). нничу - д — 0.6

уровнями, вычисленная исходя из кназиклассической динамики параметров когерентных состояний, в случае стандартной модели Джейнса

- Каммингса (А = 0) и аналога модели Джейнса - Каммингса, включающего антирезонансные слагаемые взамен резонансных (д = О, А ф 0) вполне тривиальна (регулярна), а для стандартной модели Джейнса

- Каммингса качественно хорошо согласуется с квантовой формулой ( 10). В случае ’’одетой” ("dressed”) модели Джейнса - Каммингса (А = д) при увеличении константы взаимодействия наблюдается переход от регулярною режима к мнотчаетотиому. При атом для широкого диапазона начальных данных (начальных значений параметров когерентных состояний, которые сопоставляются среднему числу возбуждений в начальный момент времени в полевой и атомной модах) имеют место следующие особенности: в случае слабой связи атомной и полевой подсистем (д < 0.0,5 в единицах атомной частоты, среднее число фотонов в начальный момент времени п < 25) поведение вероятности перехода между атомными уровнями в зависимости от времени близко к строго синусоидальному. Увеличение константы взаимодействия приводит к многочастотному режиму с синусоидальной огибающей, которая выражена более ярко при меньших константах взаимодействия и больших начальных значениях среднего числа фотонов в полевой моде. Дальнейший рост д ведет к дальнейшему усложнению поведения вероятности, однако существует такое значение постоянной взаимодействия (конкретное численное значение зависит от начальных условий), при котором число частот в многочастотпо;л режиме резко сокращается и динамика вероятности опять становится практически регулярной. Небольшое изменение д в сторону увеличения приведет к возобновлению многочастотного режима, менее регулярного при больших значениях константы взаимодействия и меньших начальных значениях среднего числа фотонов в половой моде (рис.1). Такая смена режимов, называемая перемежаемостью является одним из путей к хаосу.

При том же порядке константы взаимодействия ярко выраженное хаотическое поведение вероятности перехода наблюдается для обобщения модели Джейнса - Каммингса на случай диуквап говых переходов между уровнями атомной подсистемы.

Отмстим, что критерием хаоса служили фазовые портреты вещественной и мнимой компонент параметра когерентного состояния, опи-

СЫНЯЮЩСГО атомную ІІОДСИСТРМу.

При р;к ' \!от[>лі!ии модели трпхволнового параметрического взаимо-дойс/і иич с:л:іг-і>'лі;.!<•. аналогичные нитиреаонанспьш в ’’одетой” модели Джейнса - Качмчягсн, описывают процесс; параметрической раскачки, который может и:у, ічілько ін < чет внешнего воздействия (посколi.kv не выполняется чакон сохранения энергии (для іамкнутой системы)]. T-s;:'? iv. .• ,-л твне .у>дслк|)o»Hv”.ocb ступенчатой функцией, обращающей,... іі и-сли на всем временно*! і’їі тервале. jit исключением ОДНОГО промежутка, длительность которого была невелика но сравнению со временем нс<:ле«оі».іііиіі динамики системы. Н чависямостч от в|м»м<ч«и воздействия л величины постоянной взаимодействия (Л ^ д) сильные изменения претерпевали фазовые портреты компонент КС, поведение КС (в комплексной плоскости, например) менялось различным образом. но оставалось регулярні,їм. Увеличивая время воздействия или постоянную взаимодействия .можно было добиться лишь разрушения системы, что выражалось графически как достижение точкой, описывающей когерентное состояние ’’атомной” подсистемы, за конечное время границы Kj.yi .ч (‘циничного радиуса і соответствующей абсолюту и плоскости Лобачевского). Физически, по-видимому, следует говорит!, о пячале параметрической генерации.

ГЛАНД 4 он иг миле г иной подход исследования моделей типа Джейн »а - Каммингса - через изучение чинамики операторных средних.

Круг обсуждаемых моделей может быть расширен, что и показано в ра.З/ЮДС 4.1. Так. например, становится возможным учет внешне го воздействия на полевую подсистему. Мы ограничились изучением регулярного параметрического воздействия

И — .^Ац ! j.*(b~b t- -) + </(Ь+У’іА_ ї 3(1)}”гА+ +

+ А(Ьт)г,‘Ат + A(b)mA_ + 7 • cos ( Ш )(Ь + h+}\ (17)

пи А., в А _ ./ибо К., и Ка - в случае группы динамической симмс цжи "атомной" иодічк темы Sl’( I, I t (модель трехнолнового нараме > мическоі-о взаимоцеистния >. либо S-/ и S± - в случае группы SW2) !\ю;г-'ль двухуровневого атома, взаимодействующего с модой квантованного электромагнитного поля).

Н р;)ЧД(;ло 4.2 приведеш,! уравнения для операторных средних. Решение таких систем требует обращения к численным методам. Как и

Рис.2 Динамика иолуразности населеностей. Параметрическое воздействие включается через ujl.it = 50 на д'(а)1) = 5,7 = 1.

П = 2, у = А,1/ = ^ = 1,; = 1/2,0(0) --- Г).С(О') = 0.3 вверху - д = 0.2 внизу - д = (М

!1|»И расчете НИНаМИКИ Параметров КОГереНТНЫХ СОСТОЯНИЙ. МЫ ИСПОЛЬ-

члнллм метл Цормана - Принса Г>-го порядка \он относится к методам Рунге - Куп ! с а и гоматической регулировкой шага). Компьютерная программ.» по.хюл^от получать графики временной эволюции не шестченмьк в ми>■ %'»-}х компонент операторных средних. их факжые портреты и гм^.тры мощностей, а 'I чкже графики зависимости от вре-<• ;• > 'римх переменных.

■. о.шичи тч, ь и (учением с.-1 учия. когда и ’полевая”, и ’’атом • паи" подсистемы изначально находятся в когерентном состоянии. Гаков «ь.Гм.1» н;'.ч,*льь.»1Х условий по;воласт сопоставить некоторые результат ы для динамики операторных средних с результатами иссде дования каазиклассической динамики параметров когерентных состояний.

Подученные графики описаны и проанализированы в разделе 4.3. Выло установлено, что кратковременное регулярное параметрическое воздействие на "полевую” подсистему подавляет развитие хаоса в ’’ато.м ной" подсистеме (рис.2). Однако, будет ли такое влияние краткосрочным. и гпут'! некоторое время развитие хаоса возобновится, или же поведение сж темы останется регулярным, зависит от величины кон чан г:: взаимодействия (величин:.! внешнего ноля) и времени воздей . гвия

Н ПРИЛОЖЕНИИ 1 содержим ч основные сведения о грассмановых алгебрах и анализе в них.

Н ПРИ ЛОЖ Е1111 И 2 описываются алгебры и сулералгебры Лии не которые ОСОбецНОСТИ НО(.Т]юеНИЯ когерентных СОСТОЯНИЙ соотвегс ГВУ Ю1ЦИХ групп и супергрупп.

П ПРИЛОЖЕНИИ :! припедпшл некоторые детали построения когерентных состояний супергруппы <)Ь'р('2:‘2).

ПРИЛОЖЕНИЕ -1 посвящено построению инвариантной меры для вычислении слоил при наличии грассмановых переменных.

ПРИЛОЖЕНИИ Г> включает явные выражения для символов опе-ри'оров сунералгебры 05;;(2;2).

'! иРИЛОЖ'.’.ПИЕ (> выне.сени решения уравнений Лагранжа - >)й лерг| для <;уш-рс иммез'ричных обобщений модели Джейнса - Каммингса.

И 1!1'ИЛПЖ КИИ И 7 рассматриваются когерентные состояния груш И'( 1), Ь'!Л2) и 5{/(1,1). .

И IIР И Л ОЖНП ИЕ 8 помещено краткое описание компьютерной

программы.

В ЗАКЛ 104 ГСПИИ сформулированы основные результаты и выводы:

Детально изучено суперсиммстричное обобщение модели Джейнса

- Каммингса: построен континуальный интеграл в представлении когерентных состояний супергруппы Овр(212) и выведены динамические уравнения для параметров этих когерентных состояний. Динамические уравнения точно решены для случаев суперсимметричиой модели Джейнса - Каммингса и суперсимметричиой "одетой" модели Джейнса

- Каммингса. Для суперсимметричиой модели Джейнса - Каммингса, исходя из полученных решений, вычислена вероятность перехода атома и статистическая сумма.

В базисе теоретико-групповых когерентных состояний получены динамические уравнения для модели двухуровневого атома, взаимодействующего с модой квантованного электромагнитною поля в идеальном резонаторе. Данный метод распространен на случай трехвол-1Ю во го параметрического взаимодействия. Обнаружены регулярные, многочастотные и хаотические режимы поведения параметров когерентных состояний и вероятностей перехода в ’’атомной” подсистеме.

Изучено влияние на возникновение и развитие хаоса в ’’атомной” подсистеме регулярного параметрического воздействия на полевую моду. Установлено, что, в зависимости от времени и амплитуды воздействия, хаос может подавляться.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

jlj Buzano С., Rasetti М.С., Rastello M.L. Dynamical superalgebra of ’’dressed” Jaynes - Cummings Model // Phys. Rev. Lett. - 1969. -V.62. - P. 137 - 139.

[2j Balantekin A.B., Schmitt II.A., Hal.se P. Coherent states for the noncompact supergroups OSp('2/2N, R). jjJ. Math. Phys. - 1989. -V.30. - No.2. - P.274 - 279. ’

{3} Аллен Л., Эберли Дж. Оптический резонанс и двухуровневые атомы. - М.: Мир. - 1978. - 222 с.

;lj Генденштейн JI.IO.. Крине И.В. Сунерсимметрия в квантовой механике // УФН. - 1985. - Т.14П. - вып.4. - С.553 - 590.

[Ц Шустер Г.1’. Детерминированный хаос: 1J ведение. - М.: Мир.

- 21(1 г.

ОСНОВНЫЙ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ЛИССЕРТЛДИИ

1. Горохов А.В., Рогачева 10.В. Когерентные состояния для супергруппы OSfii2\2) 11 континуальный интеграл в модели Джейнса -Каммингса // Современный групповой аналмч и задачи математического моделирования. X] Российский коллоквиум: тез. докл. - Самара, 1993. - С.35.

2. Горохов А.П., Рогачева Е.В. Дифференциальные уравнения с. грас.смановыми образующими и динамиха суперсимметричных моделей двухуровневого атома // Дифференциальные уравнения и их приложения: тез. докл. - Самара, 1995. - С.70

3. Coiokhov Rofivlmva K.V. Hubbard - Stratonovich Formula.

Path Integrals and lOffcrtive Dynamical (Super ,> Algebras // fCSMP - 95. VII International cunfcreuce on symmetry method in physics: Abstracts.

- Dubria, 1995. - P.23

-I. Горохов А.В.. Рогачева В.13.. Ширяев А.В. Динамика когерентных состояний в моделях квантовой оптики // Дифференциальные уравнения и их приложения: тез. докл. - Самара, 199G. - С.18

5. Горохов Л,В., Рогачева 10.В. Когерентные состояния на супергруппе OSp(2(2) и континуальный интеграл в моделях двухуровневого атом-»// Вестник Самарского государственного университета, пн.-ц.ьичугк. - i:wr>. - С.99 - 108.

6. Gorokhov A.V., Rogacheva E.V., Shiryaev A.V. Regular and chaotic coherent state dynamics of several quantum optical models //

quant-ph /(!?c?Of6