Исследование задач квантовой механики с помощью непрерывных дробей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение.

Часть 1. Цепные дроби.

1.1 Общие сведения.

1.2 Цепные дроби и дифференциальные уравнения.

1.3 Сходимость цепных дробей.

Часть 2. Матрицы Якоби.

2.1 Общие сведения.

2.2 Формула Стоуна.

2.3 Достаточные условия сходимости нулей ортогональных полиномов первого рода к точным собственным значениям оператора.

Часть 3. Модель Джейнса-Каммингса без приближения вращающейся волны.

3.1 Модель Джейнса-Каммингса, как базовая модель квантовой оптики.

3.2 Учёт противовращающих слагаемых. Сведение полного гамильтониана к якобиевым матрицам.

3.3 Точное решение в одном частном случае.

3.4 Спектр гамильтониана в общем случае. Асимптотика собственных значений.

3.5 Временная эволюция квантовых амплитуд.

Численное решение.

3.6 Динамика атома во внешнем поле. Предел сильного поля.

Центральными проблемами квантовой теории являются : определение спектра оператора энергии физической системы и определение временной эволюции её начального состояния. Под определением спектра здесь понимается как качественное, так и количественное его исследование. Основным методом приближённого количественного решения спектральной задачи является, как известно, теория возмущений [1, 2, 3, 4]. Теория возмущений заключается в том, что собственные значения и собственные функции раскладываются в ряды по возмущающему параметру и известно решение невозмущённой задачи. Аналогичные разложения пишутся и для состояния системы в произвольный момент времени. Однако, несмотря на то, что ряд теории возмущений можно, по крайней мере формально, написать всегда, далеко не всегда он имеет смысл, а если и имеет таковой, то не для всех значений параметра возмущения. Основополагающие исследования Реллиха, а затем Като [5] выявили глубокую связь сходимости рядов теории возмущений с характером спектра оператора в зависимости от параметра возмущения. В частности, они позволили установить аналитический характер зависимости собственных значений от параметра возмущения для определённых классов, вообще говоря, неограниченных операторов. Однако, в силу довольно сложной структуры рядов теории возмущений количественный (а тем более и качественный) анализ спектра оператора становится практически очень трудным, особенно при больших значениях параметра возмущения.

В настоящей работе рассматривается метод исследования спектра операторов определённого вида, не использующий теорию возмущений. Метод позволяет рассчитывать также и временную динамику физической системы. Рассмотрим кратко основные идеи и положения этого метода.

Пусть оператор А (в физических приложениях это гамильтониан системы) представлен в некотором базисе векторов {еп} в виде бесконечной трёхдиагональной матрицы

А = а0 Ь0 О О Ьо щ ¿1 О

О Ъх а 2 Ь2 О О Ь~2 «з

V.

Результаты естественным образом переносятся и на конечные трёх-диагональные матрицы). Матрица такого вида называется матрицой Якоби или якобиевой матрицей. Строго говоря якобиевой матрицей называется матрица такого вида, в которой элементы последовательности {Ьп} вещественны и положительны. Однако для вопросов, которые мы будем рассматривать, это не существенно, так как эти матрицы связаны унитарным преобразованием.

Возникает вопрос: насколько широк класс операторов, допускающих такое представление? На этот вопрос частично отвечает теорема Стоуна [6], которая утверждает, что любой самосопряжённый оператор с простым спектром представим матрицей Якоби. Однако далеко не всегда можно легко найти элементы матрицы для данного оператора. Фактически, проблема здесь заключается в подходящем выборе базиса для представления.

Отметим, что якобиева матрица может представлять и несамосопряжённый симметрический оператор с индексами дефекта (1,1) [6].

В силу простоты спектра самосопряжённого оператора, представимого матрицей Якоби, спектр оператора А определяется всего одним матричным элементом резольвенты этого оператора :

Д(А) = (е0,(А- АЕ)-1е0)

По аналогии со спектральной теорией оператора Штурма-Лиувилля [7], будем называть функцию Н(\) функцией Вейля.

Центральным пунктом в рассматриваемом методе является формула, дающая представление функции Вейля ЩХ) в виде непрерывной дроби

А) = ---1—Тт2--(1) а0 - л----

1*11 Ы2 а2 — А — а3 - А - .

Эта формула была по-видимому впервые получена Стоуном. Она выведена для конечных якобиевых матриц в его монографии [8]. В монографии [9] показано также, что непрерывная дробь (1) является пределом отношения двух детерминантов.

В пункте 2.2 будет показано, что необходимым и достаточным условием самосопряжённости оператора А является сходимость непрерывной дроби (1) для какого-нибудь невещественного значения А. При этом, если эта дробь сходится для какого-нибудь невещественного значения А, то она будет сходящейся и для любого невещественного значения А. Эта теорема позволяет использовать для исследования индексов дефекта оператора А известные теоремы о сходимости непрерывных дробей. Формула (1) позволяет находить собственные значения количественно. Именно, если оператор А самосопряжённый и имеет чисто точечный спектр, то Я(Х) есть мероморфная функция и собственные значения оператора А являются её простыми полюсами. Цепная дробь при этом сходится при всех А, исключая собственные значения Хп оператора А. Обрывая цепную дробь на п-ом звене и находя полюса получившейся рациональной дроби мы получаем приближённые значения первых п собственных значений. С увеличением п приближённые значения стремятся к точным. В пункте 2.3 будут показано, что применение известных теорем о сходимости непрерывных дробей позволяет получить достаточные условия существования у оператора только изолированных собственных значений и следовательно, сходимости приближённых собственных значений к точным.

Отметим, что собственные векторы оператора А могут считаться известными, если известны его собственные значения. Именно, проекции собственного вектора, соответствующего собственному значению Ат на базисные векторы е„ даются значениями ортогональных полиномов первого рода Рп(А) в точке Хт : Рп{Хт)- Полиномы Рп(А) определяются стандартными трёх-членными рекуррентными соотношениями с определёнными начальными условиями [6]. Таким способом собственные векторы определяются с точностью до нормировочного множителя. Различные аспекты применения трёх-членных рекуррентных соотношений, связанных с непрерывной дробью (1), для анализа собственных векторов и собственных значений рассматривались в работах [10, 11, 12, 13, 14]. В частности [10, 11] рассматривается дискретный аналог ВКБ метода в применении к трёх-членным рекуррентным соотношениям.

Как было отмечено выше, метод позволяет анализировать и временную динамику физической системы. Рассмотрим это на примере вычисления закона распада начального дискретного состояния системы, если возмущение приводит к абсолютно непрерывному спектру полного оператора энергии А.

Пусть начальное дискретное состояние системы, для простоты, совпадает с первым вектором базиса во, в котором представлен оператор А. Амплитуда распада, определяющая закон распада даётся выражением [2, 4]

Л<) = (в0,и(Ое0), и(г) = е-гА4 где и(£) - унитарный оператор временной эволюции системы. Используя спектральное представление оператора А, представим это выражение в виде [15, 16] оо I е-*хЫа(\), <т(А) = (е0,Еле0) ОС

Здесь Ед ~ спектральная функция оператора А, а <т(А) - функция спектральной меры, определяющая меру множества точек спектра оператора А. Если спектр, как мы предположили, абсолютно непрерывный, то функция <т(Л) имеет производную [8, 15, 16, 17] и мы можем переписать предыдущее соотношение в виде ь

А0 = |в-'л*г(А)Л\, Г(А) = ^ (2) а где [а, Ъ] - интервал, на котором сосредоточен абсолютно непрерывный спектр оператора А. Этот интервал может быть и бесконечным.

Аналогичное представление мы будем иметь и для функции Вейля :

Л> = / (3) а

Формула (2) даёт возможность вычислить амплитуду распада /(¿)> если известна функция г(х). Но последнюю можно выразить через функцию Вейля /?(А) из формулы (3), обращая интеграл Коши [18]

Как известно эта формула имеет место, если функция г(х) на интервале [а, Ь] удовлетворяет условию Липшица

Но, как отмечалось выше, цепная дробь (1) сходится для любого невещественного А (оператор А - самосопряжённый), и следовательно, мы можем использовать её для вычисления, по крайней мере приближённого, функции г(х) по формуле (4).

Мы рассмотрели простейший случай определения временной эволюции системы, когда начальное состояние описывалось вектором е0. В общем случае оно может быть произвольной линейной комбинацией векторов еп. Тогда, для определения, например, амплитуды распада необходимо знать кроме функции Вейля все остальные матричные элементы резольвенты оператора А : (еп, (А — АЕ)"1 е^). Построение этих матричных элементов будет сделано в пункте 2.2 . Там будет показано, что все матричные элементы выражаются линейно через основной матричный элемент - функцию Вейля.

В последней части, рассмотрено приложение метода к исследованию одной из базисных моделей квантовой оптики: модели Джейнса-Каммингса без приближения вращающейся волны, интерес к которой в последнее время резко возрос в связи с достижениями в экспериментальной области. Гамильтониан этой модели может быть довольно просто представлен в инвариантных подпространствах двумя якобиевыми матрицами. Используя нестандартную теорию возмущений, найдены асимптотики и приближённые формулы для собственных значений гамильтониана, а также рассмотрена временная динамика при различных начальных состояниях системы. г{х2) — г(х 1) [< к- | Х2 — XI |а , 0 < а < 1

Заключение.

В диссертации рассмотрен метод анализа различных свойств квантовой системы, таких как спектр и временная эволюция, если гамильтониан системы представлен самосопряжённой якобиевой матрицей. Ключевым звеном этого метода является формула М.Стоуна, дающая представление матричного элемента резольвенты оператора - функции Вейля в виде непрерывной дроби. В качестве примера применения метода, в диссертации рассмотрена модель Джейнса-Каммингса без приближения вращающейся волны.

Перечислим кратко основные результаты диссертации

1. Доказана теорема, связывающая самосопряжённость оператора (индексы дефекта) со сходимостью непрерывной дроби в формуле М.Стоуна при невещественных значениях спектрального параметра.

2. Показано, что использование известных теорем о сходимости непрерывных дробей и теорем о спектре якобиевых матриц позволяет установить ряд достаточных условий сходимости последовательных приближений метода к точным собственным значениям оператора.

3. Рассматриваемый метод применён к исследованию модели Джейнса -Каммингса без приближения вращающейся волны. Численно исследован спектр гамильтониана и временная динамика системы.

4. Найдены асимптотики собственных значений гамильтониана модели по квантовому индексу и показано, что учёт противовращающих слагаемых сохраняет главный член в асимптотике, но абсолютно меняет второй член. Следствием этого является тот факт, что расщепление собственных значений стремится к частоте полевой моды при возрастании квантового индекса, в противоположность тому, когда противовращающие слагаемые отбрасываются и расщепление неограниченно возрастает.

5. Выведена формула, для временной зависимости средней энергии атома в поле моды с произвольной статистикой по числу фотонов при малой относительной константе взаимодействия, обобщающая известную формулу Каммингса на случай, когда учитываются противовращающие слагаемые. Проанализировано влияние противовращающих слагаемых на динамику атома при когерентном начальном состоянии поля с разным средним числом фотонов.

Кроме модели Джейнса-Каммингса, существует большое число задач квантовой механики, в которых гамильтонианы могут быть легко представлены в виде одной или нескольких матриц Якоби, и следовательно, к ним можно также применить рассматриваемый метод. К таким задачам можно отнести ряд задач теории молекул, в частности, задачу о полярной молекуле типа симметричного волчка в однородном электрическом поле [74], квантовую модель сверхизлучения Дике [73] (модель Тэвиса-Каммингса), задачу о двух кулло-новских центрах [9].

В заключение автор хотел бы поблагодарить проф. С.Н. Набоко, любезно предоставившего свои результаты по теории якобиевых матриц и сделавшего ряд полезных замечаний, доц. Г.П. Мирошниченко, за обсуждение результатов и ценные замечания, а также своего научного руководителя проф. А.И. Шерстюка.

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М., "Квантоваямеханика", т. 3, "Наука", М. 1989.

2. Давыдов A.C., "Квантовая механика", "Наука", М. 1973.

3. Дирак П.A.M., "Принципы квантовой механики", Физматгиз, М. I960.

4. Фок В.А., "Начала квантовой механики", М. 1976.

5. Като Т., "Теория возмущений линейных операторов", "Мир", М. 1972.

6. Ахиезер Н.И., "Классическая проблема моментов", Физматгиз, М. 1961.

7. Левитан Б.М., Саргсян "Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака", М. 1988.

8. Stone М.Н., "Linear transformations in Hilbert space and their applications to analysis", American mathematical Society, Providence, RI, 1932, p. 532.

9. Комаров И.В., Пономарёв Л.И., Славянов С.Ю., "Сфероидальные и кул-лоновские сфероидальные функции", М. 1976, с. 67.

10. Браун П.А., "Метод ВКБ для трёх-членных рекуррентных соотношений и квазиэнергии ангармонического осциллятора", ТМФ, 1978, т. 37, N 3, с. 355.

11. Браун П.А., Киселёв A.A., "Введение в теорию молекулярных спектров.", ЛГУ, 1983.

12. Браун П.А., "Квазиэнергии ангармонического осциллятора при параметрическом резонансе", ТМФ, 1979, т. 41, N 3, с. 336.

13. Комаров И.В., "Волчок Горячева-Чаплыгина в квантовой механике", ТМФ, 1982, т. 50, N 3, с. 402.

14. Комаров И.В., "Квантовый волчок Горячев а-Чаплыгина в сильном поле", ТМФ, 1982, т. 53, N 2, с. 296.

15. Смирнов В.И., "Курс высшей математики", т. 5, Физматгиз, М. 1960.

16. Ахиезер H.И., Глазман И.M., "Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве", "Наука", М. 1966.

17. Coddington Е., Levinson N., "Theory of Ordinary Differential Equations", McGraw-Hill, New York, 1955.

18. Смирнов В.И., "Курс высшей математики", т. 3, ч. 2, Физматгиз, М. 1949.

19. Хованский А.Н., "Приложения цепных дробей и их обобщений к вопросам приближённого анализа", М. 1956.

20. Стилтьес Т., "Исследования о непрерывных дробях", М. 1936.

21. Sanielevici S., "Sur l'intégration des equations différentielles par les fractions continues", Ann. Sei. de l'Universite de Jassy 18 (1933), 197-214.

22. Смирнов В.И., "Курс высшей математики", т. 2, 1952.

23. Jones W., Thron W., "Continued fraction : Analytic Theory and Applications", Encyclopedia of mathematics and its applications, v. 11, 1980.

24. Маделунг Э., "Математический аппарат физики", "Наука", 1968, с. 139.

25. Thron W., " Two families of twin convergence regions for continued fractions", Duke Math. J., 10 (1943), pp. 677-685.

26. Thron W., "Convergence of sequences of linear fractional transformations and of continued fractions", J. Indian. Math. Soc., 27 (1963), pp. 103-127.

27. Jones W., Thron W., "Twin-convergence regions for continued fractions Ki^f-y. Trans. Amer. Math. Soc., 150 (1970), pp. 93-119.

28. Perron O., "Die Lehre von der Kettenbruchen", Leipzig und Berlin, Teubner, 1913, 520 (есть второе немецкое изд. , 1924).

29. Pringsheim A., "Ueber die Convergenz unendlicher Kettenbruche", Sitzungsber. der math.- phys. Klasse der Kgl. Bayer. Akad. Wiss., München, 28 (1898), pp. 295-324.

30. Pringsheim A., "Ueber Konvergenz und funktionen-theoretischen Charakter gewisser limitar-periodischer Kettenbruche", Sitzungsber. der math-phys. Klasse der Kgl. Bayer. Akad. Wiss., München 6 (1910), 1-52.

31. Szego G., "Orthogonal polynomials", New York, 1939.

32. Чеботарёв Н.Г., Мейман H.H., "Проблема Рауса-Гурвица для полиномов и целых функций", ТММО, т. 26, 1949.

33. Ахиезер Н. И., Бесконечные матрицы Якоби и проблема моментов, УМН, вып. 9, 1941, с. 126-156.

34. Masson D.R., Repka J., "Spectral theory of Jacobi matrices in 12{Z) and su(l,l) Lie algebra", SIAM J. Math. Anal., 1991, v. 22, n. 4, pp. 1131-1146.

35. Лукач E., "Характеристические функции", "Наука", М. 1979.

36. Janas J., Naboko S., "Multithresholds spectral phase transition examples in a class of unbounded Jacobi matrixes", Res. Reports in Math. Stockholm Univ., 1999, n. 7.

37. Jaynes E.T., Cummings F.W., Proc. IEEE 51, 1963, p. 89.

38. Meshede D., Walther H., Muller G., "One atom maser.", Phys. Rev. Lett., v. 54, n. 6, 1985, p. 551.

39. Rempl G., Walther H., Klein N., "Observation of quantum collapse and revival in a one atom maser.", Phys. Rev. Lett., v. 58, n. 4, 1987, p.353.

40. Gabrielse G., Dehmelt H., "Observation of inhibited spontaneous emission.", Phys. Rev. Lett. , v. 55, n. 1, 1985, p. 67.

41. Goy P., Raimond J., Gross M., Haroche S., "Observation of cavity enhanced single - atom spontaneous emission.", Phys. Rev. Lett., v. 50, n. 24, 1983, p. 1903.

42. Purcell E. M., Phys. Rev., v. 69, 1946, p. 681.

43. Brune M., Raimond J. M., Goy P., Davidovich, Haroche S., "Realization of a two-photon maser oscillator.", Phys. Rev. Lett., v. 59, n. 17, 1987, p. 1899.

44. Ален Л., Эберли Дж., "Оптический резонанс и двухуровневые атомы", М. 1978.

45. Cummings F.W., "Stimulated emission of radiation in a single mode.", Phys. Rev., v. 140, п. 4A, 1965, p. 1051.

46. Faist A., Geneux E., Meystre P., Quattropani A., "Rayonnement coherent en interaction avec un systeme a deux niveaux.", Helvetica physica acta, v. 45, n. 6, 1972, p. 956.

47. Meystre P., Quattropani A., Baltes H. P., "Quantum mechanical approach to Rabi flipping.", Phys. Lett., v. 49A, n. 1, 1974, p. 85.

48. Eberly J. H., Narozhny N. В., Sanchez Mondragon J. J., "Periodic collapse and revival in a simple quantum model.", Phys. Rev. Lett., v. 44, n. 20, 1980, p. 1323.

49. Narozhny N. В., Sanchez Mondragon J. J., Eberly J. H., "Coherence versus incoherence : Collapse and revival in a simple quantum model.", Phys. Rev. A, v. 23, n. 1, 1981, p. 236.

50. Yoo H-I, Sanchez Mondragon J. J., Eberly J. H., "Non - linear dynamics of the fermion - boson model : interference between revivals and the transition to irregularity.", J. of Phys. A, v. 14, n. 6, 1981, p. 1383.

51. Foerster T., " A comparison of quantum and semiclassical theories of the interaction between a two level atom and the radiation field.", J. of Phys. A, v. 8, n. 1, 1975, p. 95.

52. Meystre P., Geneux E., Quattropani A., Faist A., "Long time behaviour of a two-level system in interaction with an electromagnetic field.", Nuovo Cimento, v. 25B, n. 2, 1975, p. 521.

53. Buck В., Sukumar C., "Solution of the Heisenberg equations for an atom interacting with radiation", J. of Phys. A, v. 17, n. 4, 1984, pp. 877-83.

54. Lais P., Steimle Т., "Squeezing in the Jaynes Cummings model without the RWA", Optics communications, v. 78, n. 5,6 , 1990, p.346.

55. Feranchuk I. D., Komarov L. I., Ulyanenkov A. P., "Two level system in a one -mode quantum field : numerical solution on the basis of the operator method.", J. of Phys. A, v. 29, 1996, p. 4035.

56. Reik H. G., Nusser H., Amarante Ribeiro L. A., "Exact solution of non-adiabatic model hamiltonians in solid state physics and optics.", J. of Phys. A, v. 15, n. 11, 1982, p. 3491.

57. Holstein Т., Ann. Phys., v. 8, 1959, p. 343.

58. Reik H. G., "Polarons in ionic crystals and polar semiconductors." ed. J. T. Devreese ( Amsterdam : Noth -Holland ) 1972, p. 679.

59. Schirmer 0. F., "The Physics of MOS Insulators." ed. G. Licowsky, S. T. Pantelides, F. L. Galeener ( New York : Pergamon ) 1980, p. 102.

60. Bargmann V., Comm. Pure Appl. Math., v 14, 1961, p. 187.

61. Bargmann V., "On the representations of the rotation group.", Review of Modern Physics, v. 34, n. 4, p. 829.

62. Фок В.А., "Работы по квантовой теории поля", Изд-во ЛГУ, 1957.

63. Judd В. R., "Exact solutions to a class of Jahn -Teller systems.", J. of Phys. C, v.12, 1979, p. 1685.

64. Kus M., Lewenstein M., "Exact isolated solutions for the class of quantum optical systems.", J. of Phys. A, v. 19, n. 2, 1986, p. 305.

65. Milonni P. W., Ackerhalt J. R., Galbraith H. W., "Chaos in the semiclassical N-atom Jaynes -Cummings model : failure of the RWA.", Phys. Rev. Lett., v. 50, n.13, 1983, p. 966.

66. Graham R., Hohnerbach M., "Quantum chaos of the two -level atom.", Phys. Lett. A, v. 101, n. 2, 1984, p. 61.

67. Feranchuk I. D., Komarov L. I., Phys. Lett., v. 88A, 1982, p. 212.

68. Feranchuk I. D., Komarov L. I., J. of Phys. A, v. 17, 1984, p. 3111.

69. Feranchuk I. D., Komarov L. I., Nichipor I., Ulyanenkov A., Ann. Phys., v. 238, 1995, p. 370.

70. Тихонов A.H., Самарский A.A., "Уравнения математической физики", "Наука", М. 1977.

71. Сегё Г., "Ортогональные многочлены", Физматгиз, М. 1962.

72. Харди Г., "Расходящиеся ряды", М. 1951.

73. Tavis М., Cammings Е., Physical Review, 1968, v. 170, р. 379

74. Гапонов A.B., Демков Ю.Н., Протопопова Н.Г., Файн В.М., "Эффект Штарка для вращательных уровней молекул в сильных полях", Оптика и спектроскопия, 1965, т. 19, в. 4, с. 501.