Динамические системы под действием быстропеременных случайных возмущений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

РГ Б V)»

\ З ФЕЗ 1595

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукопису

БОБРИК Роман Васильович

ДИНАМІЧНІ СИСТЕМИ ПІД ДІЄЮ ШВИДКОЗМІННИХ ВИПАДКОВИХ ЗБУРЕНЬ

01.Oi.OS — 'теорія ймовірностей і

математичка статйстпка

Автореферат дисертації па здобуття наукового ступоп? доктора фіаико-математичішх ппук

Київ о 1994

Дягергяцпч е рукопис. ,

Рооота Еикснана в Інституті ітрикладншс проблем механіки 1 матемчтики їм. Я.С.Пілстригачв АРІ України.

Г’ДОціІШ опоненти:

' доктор фізико~мят9М8тичних наук, доцент БОННА ГОВ Б.В., •

доктор фізико-мптематичша пяук, професор ТУРБІН А.Ф.,

" лектор фізико-математичних наук, про^гар Ш'КГ'В Є.Ф.

іір '?.іпня установа: Київський політехнічний Інститут,

Захист відбудеться ”38" ¿ЮіШЄ* 199$ р. о{{ гол. па

зэс1даннЗ спеціалізованої ради ~£) ам■ сі при Інституті математики ПАН »країни за адресою: 252601 Київ 4, ГСП, еул.Терв-

МЗНКІВСЬКЗ.З.

н гасрртяпіею можна ознайомитись в бібліотеці Інституту. Автореферат розісланий ___ _"

Р’гешіЛ секретер

' сизціалізоиеної ради ОіЬі#**' туп»'К Д.в.

поктор 'фіяіио-матвматк'шта • -у

нпук ■

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність тами. Динамічні системи з еигюдклеими зоурешш-ші а тим розділом теорії випадкових процесів, який починаючи з відомої роботи Л.Ланжевена (1908 р.) по теорії броунівського руху, привертає неослабну увагу як математиків, так 1 фізиків. Хоч воші і більш підходять для математичного моделювання реальних динамічних процесів в порівнянні з даторміноваїшш динамічними системами, їхній аналіз з набагато складнішім. Він дещо спрощується при припущенні, що випадкова збурення, як випадковий процес, в різні моменти часу є незалежним. Саме така збурення і розглядав П.Ланжеван. Спроба здійснити математично коректна трактування таких моделей і привела на початку 40-х років до створення теорії стохастичниі диференціальних рівнянь в роботах ЛЛ.Гіхмана, К.Іто. На дшшй час ця теорія 1 її відгалуження з одним із найбільш важливих розділів теорії випадкових процесів.

Звичайно, припущення незалежності випадкового збурення в різні моменти часу з досить сильною ідеалізацією реальних збурень. Більш реальним е припущення про швидкозмінність (слабку залеашість) випадкового збурення. Мабуть першою роботою, де розглядались динамічні системи з такого виду збуреннями, була відома робота М.М.Боголюбова і М.М.Крилова (1939 р.). На основі теорії збурень, там для наближеного аішсу таких систем були отримані рівняння Колмогорова (Колмогорсва-Фоккера-Плаша). Отримані ними результати не були достатньо строго обгрунтованими. З того часу багато дослідників займались ідім обгрунтуванням, зокрема й.І.Гіхман, Р.З.Хасьмінзькяй,

А.В.Скороход, Г.Иапаніколау та інші. .

При цьому застосовувались як методи дослідження збіжності сласно залежних випадкових величин, так і марпшгальні мотода.

Мата роботи полягає в розробці та обгрунтуванні нового нідм-ду до аналізу динамічних систем з швидкозмінними нліядігосиші збуреннями, який полягай ь дослідженні, безпосередньо зь’язшшх о ни ми,'деяких безмекних ланцшків детермінованих іятзгро •ди^лр.;:-ціальних рівнянь та проблеми замикання для них.

Наукова новизна роботи полягає:

■і

- в обгрунтуванні, так званого, безкумулянтнсго замикання безмежних лшшюкків рівнянь для тих чи інших Ймовірнісних характери« тик динамічних систем з гауссівськими швидкозмінними збуреннями, та отримшші, ла цій основі, оцінок для похибок різних ВІДОМИХ наближень;

- в отриманні асимптотичних розкладів для моментів розв’язків лінійних систем пвичзЯнмх диференціальних рівнянь лк з швидкими, так 1 з швидкими то великими випадковими збуреннями;

- в дослідженні стійкості е середньому квадратичному для лінійних

систем звичайних диференціальних рівнянь з гвуосівськими Коефіцієнтами; ■

- в дослідженні можливості стабілізації нестійких лінійних систем звичайних детермінованих диференціальних рівнянь за допомогою гаї-ССІЕСЬКИХ пантрованих Рбурень їх коефіцієнтів;

- в отриманні видих наближень для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь з гаусівськит.га швидкозмінними параметрами і в по будові відповідних асимптотичних розкладів;

- в розробці асимптотичного метода для аналізу моментів розв'язку нестаціонарного рівняння Шредінгера з випадковим швидкозмінним потенціалом, ідо є важливим в теорії поширення коротких хвиль в ви-ігадково-И9одаорідиих середовищах.

Методика дослідження. В роботі використовуються сучасні метода! теорії випадкових процесів, диференціальних рівнянь, функціонального аналізу. Серцевиною роботи в застосування, так евагоп, формул ічгегруваїшя чягтингми по ймовірнісних мірах, що відповідають втядковмм збуренням. Для дослідження проблемі замикання бдтачишх ¿«шшяків іртеїро-лпОДянціаштх рівнянь використовуються деякі результата я аналітичної теорії ланцюгових дробів, я тэт-с:-",’ з .теорії сялте« яівїЯчах рішчнь з частинними похідними гіперболічного типу. При доопідуончі стійкості використовуються методи лічійнг'ї алгоерк. 1 .

К-'-угсьа то. практична цінність роботи. Робота має теоретичний

л?.>р-'і:тер і г; рег-ултпти сформульовані у вигляді теорем. Гсзробле

ні методи дають ефективні алгоритми для побудови як вищих наближень для динамічних систем з ивидкозмйшша збуреннями, так і для побудови асимптотичних розкладів. Отримані результати відносно стійкості для динамічних систем з випадковими параметрами ставлять під сумнів часто висловлюване твердження, що випадкові збурення погіршують стійкість динамічної системи.

Результати дисертації можуть таком оути використані при дослідженні лощиреиня коротких хьиль в випадково-неоднорідних 1-А родовищах. Для основного б цій теорії, так званого, наближення мир-ковського процесу, еони дають можливість ефективно здійснювати Його корекцію, зв'язану із відмінністю від нуля радіуса кореляції неоднорідностей середовища. 1

Апробація роботи. Результати роботи доповідались:

•- па V Вільнюській міжнародиій конференції з тоорії ймовірностей та математичної статистики (Вільнюс, 1989 p.);

- на VI Радянсько-японському симпозіумі з теорії ймовірностей та математичної статистики (Київ, 1991 p.);

- па семінарі з теорії ймовірностей при Інституті математика ШН України (кер. якад.ІШ! України В.С.Королюк, 1984, і.в? pp.);

-* на семінарі з ймовірнісітх розподілів в наскіичсншовиміряих просторах при Інституті математики ІіАН Укроїли (пер. акад.НАІІ України ю.Л.Даяецький, акад.НАН України А.В.скороход, 1987 р, > ;

•- по семінарі з випадкових операторів та сорьдовігд lipa кафедрі теорії ймовірностей í.tocKoacír.oro держуніверситету (?«р, iî|y*Ji.

С.О.Молчанов, проф. В.М.Тутубзлін, 1988 p.);

- isa семінарі проФ. Р.З.Хасьмінсікого нра Інституті прейдем пере

дачі інформації ЛН Росії (1988 р.і; '

- на семінарі з ншіадкоиїх процесів при Інституті математики Польської Академії наук (кер. проф.с.Забчия, Rnpciann,1992 p.)í

- на семінарі відділу -тосрії пегжреннп хвиль р птм'.'гфррі Інституту фізики атмосфери /МІ Росії (кер. чл.-кор. лн Гоеії РЛ. Татарський, 1981 p.).

Публікації. Оснопні результати дисертації опубліковані s ро-.У.1 гаї автора (і-ІГЗ].

Структура та об'єм роботи. Дисертація складається з вступу, п'яте глав та списку цитованої літератури, що нараховує 125 найме-нупзиь. ПоииЛ об’єм роботи - 268 сторінок машинописного тексту.

У вступі наведений короткий огляд досліджень по тематиці дисертації, обгрунтовується актуальність та новизиа проблеми досліджен-р.изначзетьсл мета дослідження та описується зміст дисертації.

Нерка глава дисертації складається з п’яти параграфів. В § 1.1 розглядаються системи лінійних звичайних диференціальних рівнянь в гзуссівоькши коефіцієнтами. Тут будуються, так звані, Оезкумулян-хні нзйлвжєнчя для моментів їх розв'язків. Розглянемо ці иа'Злккзн-ігп ня приклаї! ріинчішя в Р.'1

дз Ait), G(t) в d'û іїОЕИпаакаві матриці ?. неперервними гтри t«-lO,Tl ел^монтзми, T)(t) ч центрований неперервний гауссігський процес, кореляційна функція B0(t,s) якого задовольняє v t.B«=iO,tl нерівності

• ■'•••шткоея УМОЇЗ пО) для рівняння (1) е невипадково».

Гозп’язск рівнттня (1) е деяким ф/шшіоиаяом від пронесу T)(t), •^’-¡сvs кай-ТР нанєвю існушь варіаційні похідні (функціональні

В дітеріації суттєво викоркотг:і-:-,іті.'*я♦ так окані. -їормули їнтегру ?? ’!!■! ’»эстия.’ми но Яч?рїрніскп.г мір««. Ямао ïttjl н х-.-ядаШ фуикиї

ОЬЯІУ ris ГПУССІГІН'КОГО ІКШ7рС-*:Г,,'.''ГС ирои?су TJ(tJ. î*>!fi,"i. то, як »ГЛИЧ«: - ІДО. і^рг.ул,

ЗМІСТ РОКОТИ

;і')<1пв* Фрчт®- Ргсі тргз i

М[^йр]»5Тв.МІ

.Для аналізу динамічних систем з випадковими зоуренняш (3) систематично використовувалась В.І.Татарськім, В.І.Кляцкіним. Ю.Л.Далецький разом зі своїми учнями встановив узагальнення цізї формула для гільбертового і оанаховоі’о простору 1 використав ця для побудові аналогу стохастичного Інтегралу в цих просторах.

Застосовувчи цю формулу до рівняішя (1), ми отримуємо для мата • матичного сподівання їіхш його розв'язку безмежний ланцюжок ін-тегоо~дк$епеншалышх вівняннь

ДЗ Х(І,9) - матриця Коші ДЛЯ нез^уренош (Т)(г)з0) рівняння (1), 9(1) - функція Хевісайда.

Здійснимо формальне замикання цього ланцшка, накладаючи в його (П+і }-Му рівнянні 1

і йохпй, так звппо, оэакумулянтио нполижения ф (ї' задовольняй

цей замкнений ланцюжок, матриця X(t,s) задовольняє vt.s^tO.Tl ' нерігаість

, ho, atHJ ’ (B,

а параматер о задовольняй нерівності: С > - CL,

ЩАХ ----------¡A f—^-----------------¿4- С = шЬ\С(і)\ ш

Наступно твердження в основним в цій главі.

Теорема і. Нехай елементи матриць Л<t), С( t) а неперервними при t«[0,D, а кореляційна функція B0(t,a) задовольняв умову (2). Тоді безкумулянтне наближення (р^ (t) при п-® збігається до Mx(t) 1 мае чісио оцінка -.і. дп+і h+i

¿$1[е (sk) # s'

я (п+і)! lx(o)l ___________________ <6)

(irf a) (r+ a +/+іг^) .

Майте автоматично цей результат переноситься 1 на моменти вищих порядків. Дійсно, для вектора y(t)-x(t)®.'‘’згідно (1), маємо аналогічне до (і) рівняння в Н'\ але замість матриці A<t) е в ньому в матриця

Ak (t )-А( t )®Е.. «*Е+.. ,+Е*.. .«Е*А (t),

замість матриці C(t) в матриця СкШ, що визначується чпраз Oft) аналогічним чином. Гут * означає тензорний добуток, Е - одинична 'матредя. Маючи цо на увазі, результати першої і другої глави в основному форму дасться тільки для математичного сподівання.

R § І.З розглянуті для математичного сподівання розв'язку рівняння f!) деякі лаблйження, нкі часто використовуються в фіаичній літературі, й cm:: т?лтаюм Еурію, Кубо, Ван Кампчна, дифузійно Ш ■ наближення у і>ш ііид замкнутих рішянь 1 оспжм увага тут ігри ЛІЛРСГЬСЯ 0ТрЯ'*3!гіЧ ДЛЯ HVX оцінок похибки. Зокром». з цих. ОЦІНОК кгллішав, в« -жде і’!рпд!сой‘? збурення в рШишіїі (J) ч ьелакмм і

■ згміги ij(t> В рІРДШННІ (І), СТОЇТЬ НрОЦЭП

до кореляційна функція B(t,a) неперервного станіопарного центрова кого гауссівського процесу £(*> задоволіняс оцінку (2), є о малий додатний параметр, то ці похибки будуть поранку 0<к) при е-»0.

В § 1.3 здійснено порівняння цих наближань на прикладі рівняння коливань гармонійного осцилятора з випадковою частотою. Основна увага тут овертавться на їх поведінку при t-**. Зокрема показано, що наближення Кубо, дифузійне можуть ігри великих і давати помилковий опис поведінки розв'язку.

В § 1 А побудовані асимптотичні розклади по степенях є для середнього розв'язку рівняння (1) у галйдку швидких 1 великих rayedвських збурень (7), а в § 1.5 побудовані відповідні розклади у випадку швидких гаусіпських збурень, тобто коли замість п'і) в рів

Як випливає з оцінки (6), для побудови цих розіслядів ДОСИТЬ ЬНІТ'Л їх будувати для відповідних безкумулянтних наблішліь, що спрощу<з задачу. В свою чергу, рівняння для ішх наближень можна звости у випадку стаціонарних збурень до інтегро-дифореніїїйльшх ріг^’янь я малим параметром при похідних. Структура цих рівнянь дає моят-пість використати для побудови асимптотичних розкладів метод при-мвкевях функцій, згідно якого соті мають кнд суші регулярної частини і црішокосого кару. Цим аляхом п 5 1.4 отримано твердження. Теорема 2. Нехай в р!гнанні (і) певшіадкові матриці Ait), C(t) я двічі кеперорию-дифвр^нцІйоЕіікми, й випадкове ЗбурвІШЯ з великим і швидким, тобто ма« вид (7), де кореляційна функція В (t-я) стаціонарного неперервного центрованого гауссіі;сі.когс> nporany ffti задополшяв умову (2) vt,s«R* t

(8)

Тоді для Нх{і) їда місце реепдад

Иxct>v/ptt)>) + e)+ЦДî) ? T?tr\ ,i>}

C(f')[^^-J (t)C(í) ■*

o • 0

- Oo

>CMJ('t)]w„(fc), «íto)=-5sí!«<t& *

° (10)

rC'ío)x(o), г,{Ф í(i-i)$(i)tU c (eMoJ ,

T

! рівномірно ВІДНОСНО teío.ll,

Якщо * випадкові зОурання в швидкими, тобто ма»ть вигляд (8), то при тих самих умовах, що і т> попередній теоремі, в 5 1.6 твкок стримчний розклад (9), в якому примежввий член вперше появляється тільки при б* і співпадає з s( (т), а перші два регулярні члаїш ннз-чячйгсться з рівнянь

»C!(t4(t), KW-rtol , w¡(c>0 .

В пій главі також отримані замкнуті рівняння 1 для дальших члл■ пір асимптотичного розкладу, ада п.,'ки мають досить громіздкий

гІ'ГЛЯЦ.

Заувмшмо, ріо зотропоованяй підхід до побудови асимптотичних росклпрів тнеться н»м досить природним. Для прикладу в скалярному випадку ии-н.нри Орштейн-Ул^нсйківському збуренні неважко : ü-.ífTi; о явному иіглччі всі моменти розв'язку рівняння (!) і пере

КОНЭТИСЬ, ідо ВІДПОВІДНІ ЙСИМЛТОТИЧНІ розклади є су мои регулярної частіші і примекового тару.

Відзначимо, ЦО ВП0рЯ!8 МЭТОД ПріаЛОКбБИХ функцій до ймовірнісних задач застосував В.С.Королюк, а саме для асюштотичиого аналізу випадкових блукань. Він також разом з А.Ф.ТурОїшм 1 їхніми учнями розвивали цей підхід і в інших проблемах.

Друга глава дисертації присвячена моментному аналізу рівииішя (1) без припущення про гауссовість збурень. В перших трьох параграфах цієї глави аналіз проводиться по тій сьмій; схемі, що 1. в партій главі, тільки замість формули (3) використовується її узагальнення. Це узагальнення відрізняється від формули (3) тіш, що б правій частині з ряд, в який входять як кумулянта (сомиінварі анти) процесу Т](С), так 1 математичні сподівання варіаційних похідних функціоналу Р Гт)ї.

Застосовуючи цю формулу до рівняння (1), отриманий для Мх(і) Согмежний лшіцвкск інгогро-дифоренціальних рівняннь о варіаціЯшшіі похідними. По аналогії з першою главою здійснюється його замикання і доводиться збіжність цієї процедури замикання з відповідними оцінками похибки. З цих оцінок випливає, що запропонована процедура замикання дає наближення вищого порядку як у випадку швидких збурень виду (8), так і у випадку швидких і великих збурень (7).

У випадку строго стаціонарного випадкового процесу |(і) можна знову звости ці замкнуті рівняння до інтегро-дифероціальних рівнянь з малим параметром при похідних. Структура цих рівнянь дає можливість для.побудови відаовідпик розкладів використати метод примеже»внх функцій. Слід відзначити, що у випадку швидких і вели них-збурень (7) тут існує суттєва відмінність в порівняти з гзу-ссівсьгаїм випадком. Вона полягає в тому, ідо відповідні розклади будуються по степенях квадратного кореня від е. Зокрема, отриміиия наступний результат.

■ Теорема 3. Нехай випадково збурення в рівнянні (1)6 великим і швидким, тобто має вигляд (7), дз кумулянти .

строго стаціонарного нэперярвиого центрованого прайсу і її; волінчть умови:

неспадкові матриці АШ.СШ е двічі неперервно-диферонційоишми. Тоді для Мх(П мчє місця розклад

Заутяжимо, !П? ПРрІМІЙ примп*;тай член 6 вперив присутнім г,ри ' слігяіадяє я я (т) в (10).

З ліої теореми пипливзе, що хоч перший ЧЛ0И в гауссівському і РЄг'іїг?.і%сьг.'жу випадку однакоьий, другі члени 5 різними* Як і Б і -.'угіг ір.сіг;'*!іту випадку, г«тоджштя членів псимптотичіюго розкляду и.'-и« йшумп ло осмислення кьздратур, якпю с відомою матриця Коші п.чр ямфуэ 1ГИЗГО ИвЛЛІКґЧНЯ. 'ДО РИПІШЧЕіСТЬСЯ 3 рІМІПННЯ

і: •. ;\.з пг^чзаті я'идапогпчні. |«ууі»ли у шіадку шгадкпх ста-;-Дсі»э/"*”'и.ч ('■.■■-.-.гуов'.'г. збудні. «• і, пг.ячі'му ис-рші два члени цих рол-

ле Функції визначаються ч рівнянь

(ІС о

клодїї; співпадають з відповідними членами в гауссівському випадку І ТІЛЬКИ 'гроті члени 8 різними. Таким чином, негпуссовість збурень е більи суттєвою при швидких і келшшх збуреннях, ПІК просто ГфИ швидких. Як 1 в гауссівському випадку, знаходження членів асимптотичного розкладу мокна свести до обчислення квадратур, якщо є відомо» матриця Коші Х<С,а> кезбуроного рівняння (і).

Зауважимо, що в регулярних членах асимптотичних розкладів в

5 1.4, 5 1.5, 5 2.2, 5 2.3 присутнє тільки зночошія спектральних густин кумулянтів процесу £Ш в нулі, а також їх вхідних п нулі, що вимагав відносно небпгато інформації про збурення.

Відзначимо також, що результати 5 2.2 дають можливість судухоти асимптотичні розклади в центральній граничній теоремі, в принципі інваріантності для строго стаціонарних процесів.

Дійсно, розглянемо послідовність центооватіх випадкових процесів

Добро відомо, що ггри виконанні деяких умов перемішування ця послідовність слабо збігається яри п*<» до вінерівського процесу. Для

Але цз е рівняння з великими 1 мвидтої випадковими збуреннями 1 для знаходження асимптотичних розкладів можна застосовувати результати § 2.2. Зокрема, при т,-! отримуються асимптотичні розклади для характеристичної функції в центральній гранитаїй теоремі, причому тут можна знехтувати примвжевим шаром.

В перших двох главах в основному розглядались випадкові збурення, які в добутком скалярного випадкового процесу во невшадкову матрицю. Цо робилось з 'тричшіи компактності та наглядності викладу, оскільки всі наведоиі міркування 1 результати переносяться на загальний тпппрк иптргиюгт'пюго процесу.

При отриманні аекмптотичщїх розкладів суттєво використовувалась стаціонарність випадкового збурення. В-загальному випадку неясно, як мокла стримати відповідні розклади в негтвціонарночу випадку.

В § 2.4 розглянутий деякий чясткоый. рипядск нестаціонарного збу-

функції

маємо рівняння б R

¿UL і\ а* ^(и-ij .

ол

-Ü-

Р-іШія, дт якого побудову відповідних асіїштотімлих розкладів не-вьм;о здійснити. А саме', припускається, що випадковий rrpouec T)(t) в рівішші її) е r)(t)=fjGin(<iiv(uj. де w(t) - стандартний вінарів-еький ироцес, (3,а - дійсні сталі.

В останньому параграфі другої глави запропонований даякий підхід для знгшудс-шя моментів розв’язку рівняння п-го порядку з ви-«ьдаоиша -.юофіціеїшш, оснований ии представленні їх в явному вигляді чероа Іитегради ш мірі Вінора.

Третя глава присвячена аналізу стійкості для систем звкчайішх діііврбнціалі-щїх рівиянь з гауссівськнми коефіцієнтами, причому використовується підхід, розвинутий в першій главі.

Дослідженню стійкості для систем з випадковими параметрами присвячено Ойгато робіт, призму найбільш дослідженою g стійкість для стохастичшх. диференціальних ріьнниь, тоото, грубо каку чи, для

рїБїіИНЬ З "ОІЛІЇМ L'VUCM".

Мабуть портали роботами, ди досліджувалась стійкість для система звичайних лінШш ділередціалнш рівшпь з гауссівськшлі коефіцієнта),ш були роботи М.Г.Іііура 1 Р.З.Хасвмінського .

■ Розглянемо рівняння (!). дз матриця A(t) е сталою 1 ьше власні значення а від'ємними діПешіми частинами, тобто тривіальний розв’язок вдзОуреного рівняння е асимптотично стійісим по Лкпунову, гууссівсьігая ьішадаовкй процес т>( t) має нульова математичне сподівання. Пк показали М.Г.Шур 1 І'.З.Хасьмінсишй, прй достатньо малих

тривіальний розв'язок рівняння (1) буде експонентно стійким в середньому квадратичному.

Цей розультат ¡ге дчє відповіді на питання, чи веидкі випадкові гауссівські зоурения, грубо кижучи, но роблять стійку незбурииу систему нестійкою. Основним результатом § 3.1 с спроба відповісти на це питання, fei розглядимо рівняння (1), Д? матраці A(t),C(t) е обмеженими при t«R‘, тривіальний розв’язок незоуреного рівняння є рівномірно експонентно СТІЙКИМ, TOÖTO для матриці Копі X(t,3) мав місце оцінка (5) прй а>0 *t,s vs.

Теорема 4. Нехай кореляційна функція В (t.s) гзуссівського центрованого непорершого процесу 1](t) ПЭДОГОЛЫМ Wt.ÖßR* умову (В). Тоді якщо існуч така додатне а, т о<2з,

.»nwc _____, ■* A '

(<1û-8 , .

ТО тривіальний РОЗВ'ЯЗОК ріВПЯІіЛЯ (1 ) Є експонентно СТІЙКИМ В С Є-• радньому квадрагії'їнму і мас місце оцінки: vt.t^n*, t>tor

З цієї теоремі! випливає, що лк'до випадкове збурення в рішшіші (І) в швидким, тобто замість тцї) в ньому отоїть процес (8). с с малий додатний параметр, то якщо тривіальній розв'язок незОуреіюго рівняння 3 рівномірно ОКСИОНОН’ЛЇО стійким, ТО тривіальній рос-ф’л-эок рівняння (1) будя експонентно стійким о середньому квадрчтнч-ному при достатньо молому є.

В цьому к параграфі розглянуто такс» рівняння (1 Î при d>i, сталих A(t),C(t), причому матриця А а сим-чтричиою, а С є кососимот-ричиою. Процес i7(t) 8 процесом Орнштойна-УленОоха з кореляційною функцією pexpi-cti t) ). Доведено, що якшо тризіальний розв’язок поз-буреного рівняння с асимптотично стійким по Ляпунову, то тривіальний розв’язок збуреного рівняння буде експонентно стішим б середньому квадратичному при будь яки р,а>0. Зауважимо, що в скалярному випадку ((1*1 ) цей результат не те місця.

J передмові до п’ятої глави своєї відомої моноірофії по стійкості Р.З.ХясьмІнський вислови» припущення, що кожний результат про стійкість для стохастичного диференціального рівняння повинен мати місце 1 для звичайного диференціального рівнлння при заміні "білого иуму" нв регулярний процес, який в певному СГНСІ 0 слизьким до нього.

Б } 3.2 дисертації наведено підтвердження гіпотези Р.З.Хась-мінського для системи ЛІНІЙНИХ диференціальних рівнянь. А само розглядається рівняння (1) з великим і швидким гауссівським збуренням (?), кореляційна функція стаціонарного неперервного

центрованого процесу Ç(t,j задовольняє умову (2) vt,e«R’, матриці Ait), С (t.) s обмеженими при t«R’.

Відомо, що при є-0 розв’язок цього рівняння, при зроблених прппущошілЕ, буде слабо збігатись до розв’язку стохастичного диференціального рівняння І то

О

Стійкість в сородньому квадратичному дли цього рішшшя досліджена досить повна. .

ТоО£омч_5. Якдо тривіальний розв’язок рівняння (12) е експонентно стійким ь середньому квадратичному, то при достатньо малому є 1 тріїьівлі-ниЛ 'розв'язок рівняння (1 >, (V) оуда експоіюнтно стійкім в середньому квадратичному.

Тут сказані також деякі нерівності, які дають можливість оцінити наскільки. малил поь’.ши:> суш є, щоб мало місце твардкання теореми.

Наступні дьа параграфи цієї глаш с спробою встановити тоні рівняння, для яких гіпотйза Р.З.Хасьмінського має місце без близькості ¡збурення до "білого шуму".

Припустимо,'їда £<1) ь рівнянні (1), (7) в лроцосом Орнштейна-Уленбекв з кореляційною функцією єхр (-1 г і).

Тооеєуз в. Якаю з ріишші (І) матриці сталими і

трігїшялі, то Із експонентної стійкості тривіального розо’яз- . ку рівняння (12) випливає вкспонзнтна стійкість тривіального розв'язку рівняння (1),('/) ітр’.і будь-якому а>0.

В б 3.4 розглядається рівняння коливань для гармонійного осцилятора

+ (к^)=0 , к,А>0 .

Добре відомо, що якщо тут Т)Ш в процесом "білого шуму" 1 цо рішшшя інтерпретується їж рівняння Стратоно&йчп, то умовч 2(Ґ5К є необхідною 1 достатньою для стійкості тривіального розв’язну в середньому квадратичному. 0 цьому иарагрсфі покязано, г,о якщо т)(г; с процосом Орнштейнв-Улекбека з кореляційною ^ужцівп гехцс-%і її >, то вищезгадана умовч о достатньою лля стійкості тривіального розв'язку в середашлу кваадратмчпому яш буді-якому і>0.

Останній параграф цізї глави присвячений тітаїп»’ про ствбШоа-Цік нестійких детермінована* лінійних систем зр гоцомогоп гауссіг»-СЬКИІ цянтро'вештх ЯОуроП*. •-оефіцімітів. А О!!“', V-.-ЛГЛ ПУЛ'ТЬСЯ

рівняння в R*

efêlzjlÿxtthfctW,

(13)

де Л(t) в квадратна d-d матриця з обмеженими при t«R* коефіцієнта ми, Ф(ї) е центрований d*d - матричнозначниЯ гауссівськкЯ процес.

Так як можливі різні означання стабілізації, то спочатку зробимо відповідні означення.

Означення . Система x=A(t)x припускай стабілізацію

а) середньої траєкторії, якщо існує така центрована матриця Ф(і), що для середнього Mx(t) розв'язку рівняння (13), що задовольняв «евипадкову початкову умову x(to), vt,toeR% t>tn,

, fi,rr° ;

б) в середньому квадратичному, якщо гривіольїгай розв’язок р¡пилиш (із) s експонентно стійтвш в середньому квадратичному;

в) майже неповно, якщо тривіальний розв'язок рівняння (13) о стія-ким з ймовірністю 1.

Зрязу відзначимо, що ця задача а нетряні сш.іюр, бо розглядаються пантровані збурення. В скалярному випадку (flM ), краховугш' явний ти розв'язку для рівняння (13), неважко псрвісс-ютись в поможттсгі стабілізації в будь-якому з варіантів нетдпглх ооча-'Ніії> за допомогою гауссівського центрованого збурення.

Початок дослідження цієї задачі поклала робота Дж.С&муольеа, в якій розглядалась стабілізація середньої траєкторії, стиОІлізащя в середньому квадратичному для лінійного рівняння другого порядку за допомогою збурень "біЗіим шумом".

В останньому параграфі цієї глави ми досліджуймо цю задачу у випадку, коли матриця Л(t) в довільною обмеженою при t«R* магри-цою. основним результатом тут о наступне твердження.

Теорема У. Лінійна система i^A(t)x, . ■

I) ігрипускав стабілізацію майже напевно (в середньому квадратично

му) тоді, коли ________ £

t-Î2£o “A* S bac^Ah^i * 0 )

II) при (Ь1 зздяші припускає стабілізацію середньої траєкторії.

-і?-

йауважкмо,- що уиова в п.1) е олизькою до нгобх1дно*. Цв випливав як з формулы 0строградського-Л1ув1лля для матриц1 Кои! р1вняи-нй (13), так 1 а результатов Л.Арнольда та 1и., як1 показал», що в сгьц'онарь'ому ишадку (АН) е стелою) ця уысша е нообх1доо» ! достатньою для стабШаацП майка нанавно,

Ь чотьортШ глав! розглядаеться шлИЦйие эиичайне даференц!-

ЦЛЬНО рШШШШ

Яйцо г<х) є гладка функція па R і x(tïf,x) є розв’язок рівняння U4), що аадовзлшяз їіовипадкову початкову умову то для

Функції и(г,х)=Г<x(t;a.x)) маємо, згідно (14), обернене рівняння Ліу в ІЛЛЯ

Якщо T|(t) с неперервний центрований гауссівсшій процес, то формально для Ии(а,х) можна отримати відповідний аналог ланцшка (4),

а.г* його дослідження сильно ускладнюються тим, що це Су до ланцк>-жок інтегро-дифервнціальних рівнянь з частинними похідними.

В остаїші десять років рівняння (14) привертав значну увагу фіоиків (дип. перший том збірника "Noise In Nonlinear Dynamical Systems". Bela.: F.Moos and P.V.G.HcCllntock, Cambridge Univ.Press, 1985). В основному припускається, що rj(t) e процес Орнштейна-Улен-бпка з кореляційно» функцією

де порадатр £ називається часом кореляції.

Добра відомо, що ігри певних сіСьекоїшях на a(t,x),b(t,x) розв’язок рівняння (14),(16) при е-0 слабо збігається до деякого дифузійного марковськсго процесу y(t), l'Hf(y(t;t,x) ) задовольняє ооор'ї'иіо рівняння Ксшюгорова. Головною проблемою, яка розглядалась у згадуваних роОотях в задача дослідження (14),(16) при малих, яло Фіксованій є.

(14)

x&R, <c*t,

Зусилля концентрувались на тому, як підправити коефіцієнти рів няння Колтгорова, щоб його розв’язок Правильно ОПМСУЕОВ збурене рівняння. На цьому шляху були запропоновані різні схеми, ало, як виявилось, воїш g між собою суперечливими 1 не узгоджуються з числовими експериментами. . • '

В 5 4.1 цієї глави ми показуємо, ro для моделі (14 ),(îG) варто шукати наближення для МГ (х(t;т;,х) ) не серед параболічних рівнянь, а серед гіперболічних рівнянь. Тут приводиться обгрунтування цього і наводяться відповідні оцінки, причому знову суттєво використовується формула (3). Відмітимо, що потужні методи теорії гіперболічних рівнянь, що грунтуються на відомих енергетичних нерівностях, тут виявились недостатніми. Ми виводимо більш тонкі аналоги цих нерівностей, які дають можливість повній« враховувати специфіку задачі.

Припускається, цо a(t,x),b(t,jc) g неперервними функціями від t, в такок „. „, ,

a(t,x), ê(t,x)} f(x) б С ( R.), №/x)f 0 ;

|a(t,xJhiC(i+x*/1 , lOVt^l

|ÿiMl*K , j=o,...,4,

- a*

де 1/* gy, K,7 о додатні сталі, 721.

В 5 4.2, на основі методу примеягавих функцій, будується для рівняння (14), (1G) асимптотичний розклад для NfUUît.x) ) по степеням s.

В § 4.3. показано, як на основі теор»ми Бахігора-Хінчинз, результати попередніх двох параграфів переносяться на випадок, коли гвусівське рипалковв збурення е швидким і великим. Точнії», коли замість rj(l) е (7), де Е-малий додатний паркмотр, a Ç(t) є центрований неперервний стаціонарний гауссівський процес, кореляційна функція якого задовольняє vt.g^R' умову {?.). Тут також отриманий асимптотичний розклад для ) по стопьвям є, причому

кожний члеч і і юго розкладу можна за дзп//.-гою квпдретур виразити

черлз фундаментальний розв'язок відповідного рівішшш Колмогорова длл jwtyslflnoro наближення. Для побудови цих розкладів знову мию -рі'.сташій метод приможових функцій.

Ь останній п'ятій глііні дисертації розглядається нестаціонарне лінійно рівняння Шродінгера з випадковим потенціалом, яке завади мокп полоти у наступному координатному вигляді

¿-&І^ (і?)

. ^(0;р)=ед) / fet .

& іншого Соку, рівняння (17) співпадає з рівнянням Леонтови-чв-Фока r теорії, поширення короткій хвиль, причому потенціал тут опису-з бгоидкові властивості середовища.

Дослідженню цього рівняння присвячено дута багато робіт і головна увага приділялась розробці мзїодів знаходження перших чотирьох моментів розв'язку рівняння (17).

На даний час, найбільш визнаним серед фізиків е, так званий, м«тод морковського випадкового процесу, вперш» запропонований ВЛ.Тотарськмм (ЖЗТФ, 1969,т.Ь6,Ж).

Згідно цьоі'о методу на потенціал накладаються наступні умови! о) T)(t,p) е центрованим гауссІвоьким полам; б) Воно є дзльта-корельошчим по t, тобто

-іЩу) ,

ДО 6(t) Є О-фуїКіШї.

При цих умовах вдапться отримати гамкну ті рівняння для моментів будь-якого порядку.

L’pvrnftiio, що реальні модулі для т;(t,p) не задовольняють умову

б) 1 до певііої чіри а). Кореляційна функцій для них ко в D -функцією від t. Постає питання, якім чйиом в отриманні рівняння для моментів ввести, реальну кореляційну функцію. На основі овристич-тіх міркувань в багатьох роботах цо було прождано. В fiifi главі ми математично обгрунтовуємо це. ‘

Розуміючи слйпі сторони запропонованої моделі для Tj(t.p),

В.І.Татарський в Висновках до w ггрЕдусгчої роботи постом® зв&~ д?шя побудови деякої теорії абуг»іо-, яка <5и не кикористорукпла

припущення в),б) їв основі якої б лекал* наближення М8рковського випадкового процесу. В цій главі і цю згдачу мі! намагаємось розв’язати. Конкретніша, в перших двох параграфах розглядається наступна модель для потенціалу:

де £<t,pj е центроване неперервне гауссінське поле, є s малий дс-датішй парзметер. В останньому параграфі розглядається та к csva модель, але без припущення про гауссовість. Рівняння (17) розглядається е, так званій, імпульсній форлі (в перетвореннях Фур’я по просторових координатах).

Для цієї задачі повністю використовується методика перлих двох глав дисертації. Для математичного сподівання розв'язку побудовані як вищі наближення, так і асіадітотичні розклади по степенях ?, причому перший член такого розкладу співпадає з набриданням мар-ковського випадкового процесу. Немае принципових труднощів з пероне сенням отриманих результатів на моменти вилого порядку.

Основні результати дисертації опубліковані в наступних роботах:

1. Бобрик Р.В. О безнумулянтном замыкают линейных уравнений для решения системы линейных дифференциалытх уравнений со случайно возмущениями коэффициентами //Укр. мат. журн;-1985.-37,.1б.--ь.551-Е>!59.

2. Вобрик Р.В. Цепочки цементных уравнений для решения уравнения

Шредингеря со случайным потенциалом и та замыкание //Теорет. мат. Физика.-1966.-68,/К.-С.301-3)1.

3. Ообрик Р.В. Об асимптотическом поведении в среднем решений ли-

нейных дифференциальных уравнений с гауссовскими коэфГициента-т //Применение аналитических методов в вероятностных задачах: Сб. науч. тр.-Киев:Ии-т математики АН УССР, 1934.-0.5-9.

1. Бобрик Р.В. О средне квадратической устойчивости реиений еисте-. т линейных дифференциальных уравйений о гауссовскими коэффициентами //Укр. мат. курн.-19в8.-40,№?.-и.?78-?й0.

5. Бобрик Р.В. Можливість стабілізації нестійких систем лінійних звичайних диференціальних рівнянь з допомогою випадкових збурень їх коефіцієнтів //Допое. АН УТСГ. Сер.А.-1989.-#12.--С.6-Э. _ 49 ~

о. - Бо о рик Р..В. Об одном свойстве устойчивых систем линэЛшх стохастических уравнений //Укр. мат. журн.-1990,-42,1$.-0.147--152.

/. По'оркк Р.В. Про дифузійна наближення при дослідженні моментів розв'язків систем лінійній диференціальних ріЕНяиь з гауссів-ськнми коефіцієнтами //Допов. All УРСР. Cep.A.-1990.-Ji9.-C.6-8.

6. Боорик Р.В, Про стійкість в середньому квадратичному для гармонійного осцилятора з випадковим параметром //Укр. мат. журн. -1&S2.-44,*9.-С.1276-1278,

9. Bobryk R.V. мі asymptotic expansion Гог the linear systems

with Oauealan parameter //Probability Theory and Mathematical Statistic. Proceed.of the 6th USSR-Japan Symp., Kiev,1991.--fforld Selentii.,t992.-P.5-9.

10. Bobryk R.V. Comparison of soae approaches lor analysis of sto-

chastic systems with short correlation time noise //Physlca. S6Ct.A:Statist.is Theoret. Phys. .-1992.-184,Ji3-4.-P.493-498.

11. Bobryk R.V, Stochastic equations of the Langevln type under a weakly dependent perturbation //J,Statist.Phys..-1993.-70,

, .’¡3-4 .-P. 1045-1056.

i£. Bobryk R.V. Conditions for the moment stability of linear stochastic systems //Systems & Contr.Lett. .-1993.-20,Ji3.--P.227-232.

13. Bobryk R.V. Singular perturbation method for short waves in

random media //Waves in Random Media.-1993.-3.J64.-P.267-277.

14. BodpiiK F.B. 00 одном подходе к нахождений момэнткых функций

линейных дифференциальных уравнений со случайными парамэтраш. і /Исследование вероятностная характеристик некоторах стохастических систем.-Киев,1984.-С.2-10.-(Препринт/АН УССР. Ин-т мате-маткки; 84,10). '

16. БоСршс Р.В. О показателях Ляпунова лннзйншс стохастических систем // Пятая Меидунар. Вильнюс, конф. по теории вероятном.

' и мат. статистике.: Таз. докл..Вильнюс,1989.-Вильнюс: Ин-т Математики И КИОврнеТЕКИ АН ЛитССР,1989.~С.75.

Боорик f, й. Динамические системы под дайстБи*« быстршаременных случайных возмущений.

Диссертация на соискание ученой степени доктора ^изико-математи-ч°ских няуг. по специальности 0t.0l.06 - теория вероятностей и математическая статистика, Ин-т математики HAI! Украины, Киав|і994. Защищается 15 научных работ, которые содержат теоретические исслэ доячния лшчмических систем со случайными Оыстропрремэюшми параметрами. Построены асимптотические разложения для вероятностных характеристик таких систем. Получена оценки погрешности некоторых приближений. Наследована устойчивость и стабилизация для линейннх систем С ¡'ПУССОВСКВМИ КОЭ{фЮ№<?НТВНИ.

SobryK R.V. Dynamical syatema under fnst varying randan perturbations’. iioctci’ "i iclence thesis (fhyalcs and Mathematics), spe:la Llrat.ii-'П - probability theory aril mathematical statistic. Institute of !':я, NAS erf Ukraine, Kyiv.1994.

'5 scientific papers containing theoretical атііез of dynamical ayatema with fapt Tarylng parameters are defended. Asymptotic expansions for probability characteristics rucli systems are con4-atrjeted. Efltlrnatea Of error for some approximations are obtained Tbe stability and the stabilisation for linear systems rlth Овиз-alan coefficients &r<5 investigated.

Ключей! слова:

динамічні системи, випадкові параметри, асиштотячні розклади, стійкість. - '