Динамические системы, порожденные квазиоднородными многозначными отображениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

JG стр.

ВВЕДЕНИЕ

I' ГЛАВА. КВАЗИОДНОРОДНЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ

ОТОБРАЖЕНИЯ. МАГИСТРАЛЬ

§1. Основные определения

§2. Примеры квазиоднородных отображений

§3. Простейшие свойства квазиоднородных отображений

§4. Теорема о магистрали

П ГЛАВА. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА и СВОЙСТВА функций х роста квазиоднородного отображения:

§5. Функции роста отображения

§6. Спектральные свойства квазиоднородных отображений

§7. Отображения а* и а** и их связь с квазиоднородным отображением а

Ш ГЛАВА. НОРМИРУЮЩЕЕ ЧИСЛО ОТОБРАЖЕНИЯ. СУЩЕСТВОВАНИЕ

ИНВАРИАНТНОГО КОМПАКТА. ПРИМЕРЫ 71

§8. Существование нормирующего числа. Связь нормирующих чисел отображении а , а.» , а

§9. Построение инвариантного множества и доказательство его компактности 78

§10.Эффективные- траектории.

Одномерный случай. Примеры. 83

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 102

В настоящей работе рассматриваются квазиоднородные многозначные отображения , определенные на конусе /f в конечномерном пространстве, а также полудинамические системы, порожденные этими отображениями.

Многозначные отображения, определенные на конусе и обладающие теми или иными алгебраическими и порядковыми свойствами, интенсивно изучаются в настоящее время советскими и зарубежными математиками в связи с потребностями математической экономики и теории экстремальных задач. Один из наиболее общих классов таких отображений представляют собой исследуемые в данной работе квазиоднородные многозначные отображения.

Отображение а называется квазиоднородным, если а(о1х)зоСа(х) дая О^об^У, осеИ 1.

Квазиоднородные многозначные отображения естественным образом возникают как обобщения, с одной стороны, вогнутых'или положительно однородных первой степени многозначных -отображений, а с другой стороны, квазиоднородных однозначных отображений.

Многозначные отображения одновременно вогнутые, положительно однородные и обладающие свойством а(О) = { О} (суперлинейные), являются одним из основных объектов изучения математической теории экономической динамики. С помощью таких

Понятие квазиоднородного многозначного отображения введено A.M.Рубиновым в [3.0] отображений задается так называемая модель Неймана-Гейла.

Как правило, рассматриваются нормальные отображения. Это означает, что душ всех х*К выполняется

Нормальные суперлинейные отображения, определенные на конусе Д * , обладают рядом хороших свойств:

1) нормальное суперлинейное отображение непрерывно на конусе ft* (в метрике Хаусдорфа);

2) нормальное суперлинейное отображение монотонно (из ОС^ОС^ следует а (ос<) =>а(осх) для всех ас^ос^е/С );

3) нормальное суперлинейное отображение всегда имеет неотрицательное собственное число Л , которому отвечает собственный компакт Ct(^)=otf • Если этот компакт те-лесен, то это число совпадает с неймановским темпом роста, который определяется формулой d - Ыьр bup {d: ctx * &(Х)} ;

4) множество неподвижных точек (если они существуют) выпукло.

В некоторых случаях рассматривают отображения, обладающие только свойством вогнутости или только свойством положительной однородности.

Наряду с многозначными отображениями указанных выше классов, в математической экономике исследуется поведение динамических систем вида

I), где вектор-функция Н переводит ft* в R + , является непрерывной на ft* 4f0j и положительно однородной степени т ( О ^ Л1 $ 1 ) » и также исследуется распределение собственных значений /■/ , то есть чисел Л , что Н(ос)'ЛЭС для х>,0

Доказано утверждение (см. [43] } [41] ) о том, что каждое положительное число является в. случае tr\< 4 собственным значением отображения f-j при условии, что максимальный элемент Ji (И) множества Л~ i Л /-/ ( ос) = Л ос при некотором ос е Ph } , где Ph = {ос : Х>,0 , 2Г 0сс= 4} - стандартный симплекс, строго положителен: Л(Н)>0.

Имеется теорема о том, что каждое решение xt системы (I), исходящее из любого начального состояния ОСо>,0 , сходится к стационарному состоянию = и ( -6 = О, 4, А,.) » где Н ( U.) = и. , при предположениях: вектор-функция f-j : (пъЗ.) является непрерывной (м.б. кроме точки ос = О ), положительно однородной степени m < 4 » монотонной, примитивной в точке О и неразложимой ( [1А],[43] ).

В [й.6] исследуется асимптотическое поведение итерационного процесса ос = р( oct) , 0со ъ О , где отображение р: * —► у^ * предполагается квазиоднородным ( F(cLoc) >/oL Р(эс) для всех О £ сС * 4 , ос * R* ' )*» возрастающим и сепарабельным на Найдены условия, при которых итерационный процесс

- F(ocJ сходится к положительному решению уравнения X = F(х) (неподвижным точкам). Рассматриваются задачи о собственных значениях.

Одна из целей данной работы - выяснить,,/какие свойства

В данной работе и рядом других авторов (см., например, [ $ ] ) в однозначном случае для обозначения этого свой -ства используется термин "квазивогнутость". указанных выше классов многозначных и однозначных отображений переносятся на квазиоднородные нормальные отображения.

Существенным в отличии понятия квазиоднородности от понятия вогнутости является то, что квазиоднородность накладывает ограничительные условия на значения отображения только на каждом фиксированном луче и ничего не говорит о связи между собой значений отображения на разных лучах. Поэтому естественно, что, не налагая никаких дополнительных предположений на отображение, вряд ли можно получить какие-то содержательные результаты об этом отображении. Такими дополнительными предположениями выступают два: во-первых, монотонность и, во-вторых, нормальность. Оба эти предположения носят порядковый характер, т.е. указывают свойства отображения, касающиеся отношения порядка.

Условие монотонности предполагалось ранее в однозначном случае: [fa] ? [iS] ^ [if], [&б] . Условие нормальности в однозначном случае смысла не имеет, однако, как указано выше, оно естественно возникает при исследовании многозначных отображений.

Для суперлинейных отображений (как уже отмечалось) из нормальности следует монотонность. В общем случае это, однако, не так (см. § 2.1). Отметим здесь же, что в отличие от вогнутого отображения, образы квазиоднородного отображения не обязаны быть выпуклыми.

Интерес к квазиоднородным отображениям вызван в основном полудинамическими системами, которые они порождают. Полудинамические системы (по другой терминологии - дискретные динамические системы), порождаемые квазиоднородными отображениями, находят приложение в математической экономике и экологии; кроме того, они представляют собой, с одной стороны, далеко идущее обобщение дискретных динамических систем, порождаемых однозначными квазиоднородными отображениями, однородными степени 8$ 1 , а с другой - обобщение полудинамических систем, порождаемых суперлинейными многозначными отображениями.

Под полудинамической системой в общем случае понимается многозначное отображение 7Г: (Х*&) —* * где X ~ метрическое пространство, а аддитивная полугруппа с нулем. Обзор теории полудинамических систем с подробной библиографией дан в . Там отмечается, что теория полудинамических систем начала развиваться лишь последние два десятилетия, но, несмотря на 20-летний период развития, систематической теории полудинамических систем еще нет.

В работах ^-[мЦ^Щъаосштъшатся некоторые вопросы, касающиеся дисперсных динамических систем, в том числе устойчивости по Пуассону в этих системах, вопросы асимптотической устойчивости множеств в них.

Полудинамические системы, определяемые квазиоднородными отображениями, рассматриваются в случае, когда По другой терминологии в этом случае полудинамические системы называются дискретными дисперсными динамическими системами С «X)3 — системами) (см. [1д] ). При изучении Я)3 - систем, порожденных суперлинейными отображениями (модель Неймана-Гей-ла) асимптотику траекторий (траектория oct - последовательность, обладающая свойством 0CtM6Ct(oc4) Для t'O, . ) этих систем, как правило, изучают с помощью понятия магистрали, Под магистралью при этом понимают множество, к которому притягиваются в том или ином смысле траектории системы. С нашей точки зрения удобно следующее понятие магистрали в мо.п Неймана-Гейла (см. [49] ): наименьшее замкнутое коническое (т.е. с каждой точкой ос содержащее и точку Дос для ЛъО ) множество М такое, что душ любой траектории ,

J3 ( оL~1X± , М) О » где оС - неймановский темп роста. Пусть, х - неймановский вектор, т.е. обладающий свойством (JL5L*Gl(X) . Если модель Неймана-Гейла в определенном о® " смысле не вырожденная, то множество | -U (<1 а) (эс) ограничено и, как показано в [41] , является собственным компактом, отвечающим собственному числу Л . Понятно, что изучение магистрали сводится к изучению траекторий отображения d~1CL , заданных только на компакте ^ , который является инвариантным компактом этого отображения. В [48] магистраль изучается для 3)ъ - систем, определенных на компакте.

Можно показать, что все эти рассуждения переносятся на нормальные положительно однородные отображения (без условия вогнутости), однако для квазиоднородных отображений дело обстоит существенно сложнее - ограничение отображения на собственный компакт (если он существует) не позволяет говорить об асимптотике всех траекторий, включая и те, которые не лежат в этом компакте. Тем не менее, понятие о магистрали может быть использовано для изучения асимптотики траекторий, исходящих из точек инвариантного компакта и в случае квазиоднородных отображений. Основная сложность здесь заключается в отыскании условий, гарантирующих существование инвариантного компакта. Этой задаче посвящена основная часть работы. Она решается с помощью так называемого нормирующего числа, которое определяется в работе.

Поясним рассматриваемую задачу. Известная теорема Каку-тани утверждает, что если отображение а имеет инвариантный компакт, его образы на этом компакте выпуклы и оно замкнуто, то отображение имеет неподвижную точку. В работе решается в определенном смысле обратная задача, когда из существования неподвижной точки вытекает существование инвариантного компакта. Приводятся достаточные условия, гарантирующие существование инвариантного компакта для квазиоднородного нормального монотонного отображения, при этом выпуклость образов его не предполагается.

Перейдем к более подробному изложению содержания работы.

В § I даются основные определения, касающиеся многозначных отображений и напоминаются простейшие топологические, порядковые и другие свойства этих отображений. Приведены определения квазиоднородного и положительно однородного степени S (0^S<1) отображения.

Параграф 2 посвящен примерам квазиоднородных отображений.

В § 3 выясняются некоторые свойства квазиоднородных многозначных отображений, в частности, какие свойства суперлинейных многозначных отображений остаются справедливыми и в классе квазиоднородных. Многие свойства суперлинейных отобра жений в более общей ситуации уже не верны.

В четвертом параграфе рассматривается сужение квазиоднородного непрерывного нормального регулярного отображения на его инвариантный компакт в предположении, что этот компакт существует. Дается описание магистрали во внутренних терми -нах, а именно магистраль совпадает со множеством точек, устойо» чивых по Пуассону, т.е. таких, что ос к U а* (ос)

Наряду с этим приводится описание магистрали и во внешних терминах: с помощью так называемых равновесных функций, т.е. функций, невозрастакхцих вдоль траекторий системы (эти функции можно рассматривать как некоторые аналоги функций Ляпунова).

Во П главе раскрываются спектральные свойства квазиоднородных отображений и свойства функций их роста.

В § 5 вводится функция ' , характеризующая рост отображения в данном направлении, и отмечены ее свойства, в том числе и для частных случаев - однородных степени £ отображений.

Непрерывность функции оС 'требуется в ряде теорем, но<?С не все г/у; непрерывна на границе конуса . Это обстоятельство помешало рассмотрению всей излагаемой теории на конусе " . В работе предполагается, что конус /{ , на котором задано отображение а » является замкнутым подконусом конуса Я + и отображение а нормально в смысле /? * . При этом точки конуса К упорядочены в смысле конуса .

Эти предположения возникают, если рассматривать отображение а : /?; (R1) и траектории S)3 - системы, "не подходящие близко к границе конуса р{ " (Здесь через /7 ( R 2) обозначено множество всех непустых компактных подмножеств конуса R " .)

В § 5 рассмотрена также, другая функция Jf , характеризующая максимальный рост отображения в сечении конуса сферой. Отмечены простейшие свойства функции ^ : монотонность, непрерывность, а также свойства JL и Jf в частных случаях однородности степени 8 = / и S< 1 рассматриваемого отображения.

§ 6 посвящен спектральным свойствам квазиоднородных отображений.

Даются определения собственного числа, собственного и полусобственного множеств отображения. Указан способ построения собственных множеств и условия, необходимые и достаточные для существования собственных компактов. Отмечен результат о собственных числах однородных степени 8< 1 отображений, являющийся обобщением утверждения, полученного в [i3] для однозначного случая. Установлены достаточные условия для ограниченности всех траекторий, исходящих из точек некоторого компакта и другие предложения.

В седьмом - последнем параграфе П главы - рассматрива -ются два положительно однородных i степени отображения а* ийн , тесно связанные с рассматриваемым квазиоднородным отображением а. ; отмечаются их свойства, в том числе наследуемые отображением а : нормальность,- монотонность, полунепрерывность. Указана альтернатива, касающаяся ограниченности квазиоднородного многозначного отображения. Завершает П главу важная теорема о равенстве пределов функции ft- роста квазиоднородного отображения cl темпам роста отображений а^ и а** .

В главе Ш работы речь идет о существовании нормирующего числа квазибднородного отображения; доказывается, что всегда существует собственное множество и приводятся условия, гарантирующие существование инвариантного компакта, что позволяет пользоваться теоремой о магистрали, поскольку она имеет мест^ только на полуинвариантном компакте; приводятся примеры.

В § 8 по-прежнему рассматриваются только траектории, "не подходящие близко" к границе конуса - отображение задано на замкнутом подконусе Ц конуса

Важную роль играет понятие нормирующего числа, которое определяется следующим образом.

Множество всех положительных чисел я разбивается на ос три класса в зависимости от поведения последовательности f где - траектория рассматриваемого квазиоднородного отображения, исходящая из некоторой точки ос • Доказана теорема, позволяющая сделать вывод о том, что третий класс, состоящий из чисел, превращающих траектории ов ограниченные и не все стремящиеся к нулю последовательности, исходящие из произвольной точки xe/f , либо пуст, либо состоит из единственного элемента. Данное число и названо нормирующим числом рассматриваемого квазиоднородного отображения. Отмечен известный факт совпадения для положительно однородного j степени отображения его нормирующего числа с темпом роста этого отображения. Далее устанавливается связь между нормирующим числом отображения а . и нормирующими числами положительно однородных степени / сопутствующих отображений d^ и .

Заканчивается § 8 теоремой о границах, в которых находится нормирующее число рассматриваемого отображения а . Этими границами явились пределы функции роста отображения а на f ©о и при ч + О

§ 9 посвящен построению инвариантного множества и доказательству его компактности.

В последнем, десятом параграфе, приведены примеры квазиоднородных многозначных отображений. Подробно рассмотрена одномерная ситуация. В том числе проиллюстрированы все возможные ситуации, касающиеся принадлежности нормирующего числа тому или иному классу. Здесь же рассмотрены условия, при которых существуют эффективные траектории, т.е. траектории, которые "идут по границам множеств-образов", и другие вопросы.

Кратко назовем основные результаты исследования.

1). Впервые рассмотрены свойства квазиоднородных многозначных отображений.

2). Доказана теорема о магистрали.

3). Введено в рассмотрение нормирующее число отображения, доказано его существование и выяснены некоторые его свойства.

4). Построен инвариантный компакт квазиоднородного многозначного отображения.

1. Барбашин Е.А. К теории обобщенных динамических систем.- В сб.: Ученые записки Московского университета (математика) , т. 135,1948, J82, с. II0-I33.

2. Барбашин Е.А. Дисперсные динамические системы.- Успехи математических наук,т.5,1950,$4(38),с.138-139.

3. Гейл Д.'Теория линейных экономических моделей.- М.: ИЛ, 1963,-418с.

4. Изман М.С. Об асимптотической устойчивости множеств в дисперсных динамических системах. Дифференциальные уравнения,т.7,1971,№4,с.615-621.

5. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах.- М.: Физматгиз,1959.-4б5с.

6. Карлин С. Математические методы в теории .игр, программировании и экономике.- М.: ИЛ, 1964.-216с.

7. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений.- М.: Физматгиз,1962.-396с.

8. Красносельский М.А., Покровский А.В. Об абсолютной устойчивости систем с дискретным временем. Автоматика и телемеханика ,1978,Ш,с.42-52.

9. Ларичева Г.А. Динамические системы, порожденные квазиоднородными многозначными отображениями.- В сб.: Тезисы докладов седьмой казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике (15-18 сентября 1981 г.). Караганда,1981,с.27.

10. Ларичева Г.А. Динамические системы, порожденные квазиоднородными многозначными отображениями.- Доклада АН СССР, т.276,1984,Ж,с.31-34.

11. Макаров В.Л., Рубинов A.M. Математическая теория экономической динамики и равновесия.- М.: Наука,1973.-335с.

12. Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост.- М.; Наука, 1972.-319с.

13. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика.- М.: Мир,1972.-517с.

14. Опойцев В.И. Равновесие и устойчивость в моделях коллек-. тивного поведения.- М.: Наука,1977.-244с.

15. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи.- М.: Наука,1980.-319с,• 16. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ.- М.: Мир,1973.-470с.

16. Рубинов A.M. Магистрали в моделях Неймана-Гейла. Доклады АН СССР,т.242,1978,№2,с.287-289.

17. Рубинов A.M. Магистральные множества в дискретных дисперсных динамических системах. Сибирский математический журнал,т.21,1980,Н,с.136-145.

18. Рубинов A.M. Суперлинейные многозначные отображения и их приложения к экономико-математическим задачам.- Л.: Наука, 1980. -166с. ■

19. Рубинов A.M. Обобщенные рекуррентные множества в дисперсных дискретных динамических системах. Сибирский математический журнал, т.24,1983, J83, с. 149-157.

20. Сибирский К.С. Полудинамические системы.- В сб.: Дифференциальные уравнения (П). Труды Ш конференции в Руссе, Болгария. Русса,1972,с.663-672.

21. Сибирский К.С., Чебан Н.К. Классификация устойчивых по Пуассону точек в дисперсных динамических системах. Доклады АН СССР,т.209,1973,М,с.801-804.

22. Сибирский К.С., Чебан Н.К. Устойчивость по Пуассону вдисперсных динамических системах. Дифференциальные уравнения,т.II,1975,№,с.1416-1426.

23. Сибирский К.С., Чебан Н.К. Полудинамические системы на прямой. Дифференциальные уравнения,т.13,1977,ЖЕ2,с.2207-2212.

24. Смирнов А.И. Динамика возрастно-генетического состава биологической популяции в одной математической модели.- В сб.: Математические методы в планировании промышленного производства.Свердловск,1977,с.91-98.

25. Смирнов А.И. Анализ развития популяции в условиях нестационарной среды,- В сб.: Методы ддя нестационарных задач математического программирования.Свердловск,1979,с.94-103.

26. Чебан Н.К. Отображения дисперсных динамических систем.- В сб.: Математические исследования. Кишинев,вып.55, 1980,с.123-130.

27. Шарковский А.Н. Притягивающие множества, не содержащие циклов. Украинский математический журнал, 1968„Ж), с.136-142.

28. Шубэ А.С. Связь дисперсной динамической системы на прямой с полудинамическими системами.- В сб.: Математические исследования. Кишинев,вып.55,1980,с. 135-147.,

29. Hajei 0. £оса£ (Жо^иоЫгиcdoon <4 XocaJt Semi-^^namLcaZ Stybiunb.- ТПсМ,. fflumy, <2, 4968 с. 41-3L5.

30. WoeduiP.E. Зоре&уСей Штих£ Sesiti4Ш% "l,c.9SL-40S.S.