Динамические системы с нелинейной импульсной структурой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

л

^ л»"'

СЧ4

л.

На правах рукописи

СЕСЕКИН Александр Николаевич

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С НЕЛИНЕЙНОЙ ИМПУЛЬСНОЙ СТРУКТУРОЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Екатеринбург - 1997

Работа выполнена в Институте математики и механики Уральского Отделения Российской Академии Наук.

Официальные оппоненты — академик Национальной Академии

Наук Украины, доктор физико-математических наук, профессор А.М.САМОЙЛЕНКО доктор физико-математических наук, профессор Е.Л.ТОНКОВ доктор физико-математических наук, профессор В.Н.УШАКОВ Ведущая организация — Институт проблем передачи информации РАН.

Защита состоится "23" __1997 годе

.¿.ис О

в " I ' " часов на заседании диссертационного совета Д 002.07.0]

по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-

математических наук при Институте математики и механики Ураль

ркого отделения РАН по адресу: 620066, г.Екатеринбург, ул. С.Кова

лев'ской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института мате матики и механики Уральского отделения РАН.

Автореферат разослан " 1 6 " К._ 1997 г

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, старший научный сотрудник

М.И.Гусе!

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Ряд задач механики космического полета, механики сплошной среды, электрофизики, квантовой физики, медицины и экономики характеризуются тем, что в них возможны ситуации, когда за короткие промежутки времени под действием внешних воздействий высокой интенсивности происходит существенное изменение параметров, описывающих функционирование исследуемого объекта. Например, при выполнении коррекции орбиты космического аппарата управляющие двигатели включаются лишь на несколько секунд или минут, а полет продолжается в течение нескольких дней или недель; при включении электросети происходят большие изменения силы тока за очень малые промежутки времени; быстрое изменение цены на товар приводит к скачкообразной реакции его запаса; введение в организм лекарства за короткий промежуток времени может существенно изменить состояние больного; и т.д., Математическое моделирование таких процессов приводят к динамическим системам с разрывными траекториями. Другим источником таких систем является теория оптимального управления. Дело в том, что многие задачи оптимального управления без мгновенных ограничений на управление в пространстве обычных функций решений не имеют, а рассмотрение минимизирующих последовательностей приводит к разрывным оптимальным траекториям.

Принципиальные результаты по описанию и качественному анализу динамических систем с разрывными траекториями, а также по теории импульсного оптимального управления получены в работах отечественных и зарубежных авторов: Е.А.Барбашина, А.Брессана, В.И.Гурма-на, М.Г.Дмитриева, В.А.Дыхты, С.Т.Завалищина, Н.Н.Красовского, А.Б.Куржанского, Я.Курцвейля, Я.Лигезы, А.А.Меликяна, Б.М.Миллера, А.Д.Мышкиса, Ю.В.Орлова, Ю.С.Осипова, Я.Перссона, Н.А.Пе-рестюка, Ф.Рампаццо, А.М.Самойленко, А.Г.Ченцова, Ф.Л.Черноусь-ко, Ш.Швабика и этот список является не полным.

Существует несколько подходов к описанию динамических систем, имеющих разрывные траектории. Один из них состоит в том, что дифференциальное уравнение, описывающее непрерывную составляющую траектории дополняется правилом, по которому происходит скачок

траектории. Исследование таких систем начато в работе1 и системно продолжено в2.

Другой подход использует дифференциальные уравнения в распределениях Л.Шварца (обобщенных функциях). Важное с точки зрения физико-технических приложений место среди таких уравнений занимают нелинейные дифференциальные уравнения с аффинными по импульсному воздействию правыми частями. Для дифференциальных уравнений этого типа не удается формализовать понятие решения в рамках классической теории обобщенных функций. Это связано с тем, что в правой части мок:ет возникнуть некорректная операция умножения обобщенных' функций. Сложилось три подхода при исследовании таких уравнений.

Первыйсиз них использует порождаемое дифференциальным уравнением интегральное уравнение с интегралом Лебега-Стилтьеса или Перрона-Стилтьеса (импульсное воздействие считается обобщенной производной функции ограниченной вариации). Этот подход развивался в работах Я.Курцвейля и его учеников в3, а также в4. Заметим, что величина скачка так определенного решения будет зависеть от того, как оно доопределяется в точке разрыва. Так, полагая решение функцией, непрерывной слева, мы получим одно решение, а полагая решение функцией, непрерывной справа, другое.

Второй подход к обсуждаемой проблеме восходит к работе5, где Я.Курцвейль^предложил в качестве решения системы дифференциальных уравнений, содержащей 6-функцию в качестве сомножителя (другой сомножитель зависит от фазовых переменных), предел последовательности абсолютно непрерывных решений системы дифференциальных уравнений, в которой ¿-функция заменена последовательно-

1 Ммльман В.Д., Мышкис А .Д.. Об устойчивости движения при наличии толчков // Сибирский математический журнал, 19Ü0, Т.1, 2. - С. 233-237.

2СамоПленко A.M., Иерестюк H.A. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Киев: Вита Школа, I9S7. 288с.

3 Scliwabik S.8., Tvrdy M., Vejvoda О. Differential and integral equations. Boundary value problems and adjoints. Praha: Academia, 1979- 248p.

4 PanJit S.G., Deo S G. Differential systems involving impulses*?. Lect. Notes Math. 1982. Vol.954. 103p.

5 Kuriueil J. Generalised ordinary differential equations // Cxeebcel. Math. 3. 1958. Vol.S, oo l. P.360-388.

стыо ее гладких аппроксимации.- Естественность построения обобщенных решений при помощи предельного перехода с точки зрения теории управления отмечалась в монографии Н.Н.Красовского 6 (с.85). Этот подход получил свое развитие в7 , где для линейного дифференциального уравнения п -го порядка с обобщенными коэффициентами было получено достаточное условие, обеспечивающее независимость предела последовательности гладких решений от'выбранного способа аппроксимации обобщенных коэффициентов последовательностями гладких функций. Далее в монографии 8 указаны условия (типа Фробениу-са) единственности предельных решений и выписано их представление в классических терминах для воздействий - обобщенных производных локально интегрируемых функций. Формулировка результата о предельном переходе в нелинейной системе дифференциальных уравнений с воздействием - обобщенной производной функрии ограниченной вариации впервые была опубликована в9. Полное доказательство этого результата вышло в [2], и позже с использованием другой техники в10. Отметим, что в работе [2] техника разрывной замены времени была разработана для построения замыкания множества обычных траекторий в отличие от 11, где техника разрывной замены развивалась для замыкания множества траекторий, порожденных чисто импульсными управлениями. Это позволило рассмотреть не только "корректный" случай (когда из сходимости последовательности, аппроксимирующей обобщенные функции, входящие в систему, следует сходимость соот-зетствующей последовательности решений), но и случай, когда последовательность решений системы дифференциальных уравнений, поро-кденная гладкими аппроксимациями обобщенных функций, сходящей-

® КрасовсхиЯ H.H. Теория управления даижением.Лииейные системы. И.: Наука, 1968. 476 с.

7 Левин А.Ю. Вопросы теория обыкновенного линейного ур&авеквя. II //' Качественные и прн-¡лиженные методы исследования операторных уравнений (Вестник Ярославского ун-та,вып. 8), Яро-лавль, 1974. С. 122-144.

8 Заваливши С.*Г.,Суханов В.И. Прикладные задачи синтеза и проектирования управляющих алго-штмов. М.: Наука, 1985, 144 с. „

' Миллер Б.М. Импульсное управление движением в динамических системах: Тезисы III Всесоюз-юй коиферендии. Киев, 1979. С. 85-80.

Орлов Ю.В. Виброкорректные дифференциальные уравнения с мерами // Матеи. заметки. 1985. Г. 38, вып. 1. С. 110-119.

11 Миллер Б.М. Задача нелинейного импульсного управления объектами, описываемыми дифференциальными уравнениями с мерой. 1,11 // АиТ. 1978. N 1. С. 75-85; N 3. С.34-42.

ся не является, и описать все частичные пределы этой последовательности [6,7,10,14], ,12. В дополнение к перечисленным работам следует отметить статью13, где получено дифференциальное соотношение для начального скачка без предположения его единственности, работу 14, где с помощью квазидифференциальных уравнений исследуется линейное дифференциальное уравнение га-го порядка с обобщёнными коэффициентами. Из работ, вышедших в последнее время, представляет интерес работа.15 , где исследуется вопрос определения разрывногс решения без предположения мультипликативного вхождения обобщенного воздействия в правую часть системы. , -

Наконец, в настоящее время предложено несколько конструкций произведения обобщенных функций 16,17,18, 19. Заметим, что решения рассматриваемых дифференциальных уравнений с различными определениями произведения обобщенных функций также получаются раз: личными. Подход С.Т.Завалшцина к проблеме умножения обобщенных функций применительно к исследуемым в диссертации дифференциальным уравнениям приводит к определению решений, рассматриваемому в данной работе. С помощью этого подхода решен ряд зада1; об оптимальном импульсном упра-влении межорбитальными космиче-

" Миллер Б.М. Оптимизация динамических систем с обобщенными управлениями // AuT. 1,083.-t 6. с. 23-34. " ,

13 Дмитриев М.Г, Дифференциальные соотношение для начального скачка в одной сингулярно возмущенной задаче и их приложения // Докл. АН ССР. 1982. Т; 264, N i. С. 804- 806.

иДерр В.Я. К определению решения линейного дифференциального уравнения с обобщенным! функциями в коэффициентах.-Докл.АН СССР. 1988. Т.293. N2. С. 269-272.

15 Миллер В.М. Обобщенные решения в нелинейных задачах оптимизации с импульсными управле пнями 1. Проблема существования решения // АиТ. 1995. N 4. С.62-76., Ц/Представление решений . помощью дифференциальных уравнений с мерой // АиТ. 1095. N. 5. С.56-70.-

16 Завалищин С.Т. Специальные нелинейные дифференциальные уравнения в обобщешшх'фуикчи ях//Дифферент уравнения.1S90. Т. 26, N 8. С. 1316-1323.

17 Ligeza J. On generalised solutions of some differential noa-linear equations of order n // Attn. Pol Math. 1977. Vol.31, no.2 P.115-120. /

18Coloimbeau J,F. New generalized functions and multiplication of distributions. Amsterdam! North Holland, 1984. 375p. ' .

18 Petsson J. Regularization of oon-linear measure differential equations // Le matematiche. 198!) Vol.XLIV. Fasc.l. P.113-130.

скими перелетами механики жидкости 21, квантовой механики 22, и математической экономики 23

Цель работы состоит в формализации п описании движений динамических систем с нелинейной импульсной структурой, в исследовании свойств. множеств достижимости'нелинейных динамических систем с импульсным, интегрально ограниченным управлением, в изучении ряда задач импульсного оптимального управления.

Методы исследования.' Работа опирается на методы качественной теорий дифференциальных уравнений, функционального анализа, общей топологий и теории оптимального управления. .

Научная новизна; Полученные в диссертации результаты явля-ютей новыми/Среди них отметам/след^юище:

., , - введено определение решения в пространстве функций ограниченной вариации, основанное на. замыкания множества абсолютно непрерывных решений в топологии поточечной ■сходимости, получено интегральное; включение, описывающее так , определенные решения; '. -для нелинейной динамической систсмыс мультипликативным обобщённым ' воздействием б .правой, части' Ч' обобщенной производной функций ограниченной фариащш найденыдостаточпые условия, обеспечивающие единственность реакции системы на импульсное управление; ' . ..." ■;.•'.'.*.. '. ..' •■••..■ •''■ ' ', '

.V получено обобщение перавенстваГровуолла в пространстве фуйк-ций.ограниченной вариации;.: : : . .

• - в случае иптегральпо ограниченных импульсных управлений ис-сЛедоващд свойства компактности, непрерывной зависимости от параметров it ресурса управляющего йозДёйствия^связности множества достижимости;. • . .'•"..''Л-/"'. -С.-'.'V'.'-"

построено расширение задачи минимизации функционала, характеризующего затрата энергии на процесс управления, выделен случай,

^ Завалящин С,Т. Добавление к теории Лоудена // Прикл. математика и механик а. 1989. N 5. С.

572-578. ■■'--. ■ ■ ".-"':'. ..'.-'"■'.■

31 Завалищип Д.С., Завалищин С.Т. Оптимальное во расходу энергии управление движением цилиндрического тела в вяэк(}й среде // Прикл. математика и механика. 1995; N 5. С. 721-730.

"Завалищин С.Т., Ревенко В.В. .Оптимизация кинетической энергий микрообъекта Ц Изв. АН СССР. Техн. кибернегик1. Д988. N 3. G. 200-203. :

53 Zavalishchin S.T.' Impulse dynamic systems and applications to mathematical economics // Dynamic Systems arid Applications, vol.,3,: no. 3. 1594, P. 443-450.. "

когда можно понизить на единицу размерность вектора-управления в расширенной задаче;

- установлен порядок сингулярности оптимального управления, решающего задачу минимизации вырожденного интегрального квадратичного функционала на конечном промежутке времени вдоль траекторий линейной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием в фазовых координатах, получен явный вид оптимального программного управления, решающего эту задачу, предложен импульсный позиционный алгоритм для решения этой задачи.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации .результаты могут служить основой для дальнейших исследований в- теории динамических систем со сложной импульсной структурой и в теории оптимального импульсного управления. Предложенные методы решения задач импульсного оптимального управления допускают численную реализацию, использовались и могут быть использованы при решении ряда прикладных задач. Возможно использование материалов диссертации в специальных курсах по теории динамических систем и оптимальному управлению.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались

- на Республиканской научно-технической конференции "Интегральные уравнения в прикладном моделировании" (Киев, 1983г,);

- на "Десятой международной конференции по нелинейным колебаниям" (Болгария, Варна, 12 - 17 сентября 1984г.);

- на "Шестом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике" (Ташкент, 24 - 30 сентября 1986г.);

- на VI и VII Всесоюзных конференциях "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Иркутск, 1-3 июля 1986г., Рига, 3-7 апреля 1989г.);

- на Уральских региональных конференциях "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Пермь, 2-6 февраля 1983г., Челябинск, 2-5 февраля 1987г., Пермь, 1-5 февраля 1988г.);

- па научных конференциях цикла "Разрывные динамические системы" (Киев, 16 -18 мая 1989г., Изано-Франковск, 11 -14 сентября 1990г., Ужгород, 17-20 сентября 1991г.);

- на Шестой и Седьмой Всесоюзной конференции "Управление в ме-

о

ханических системах" (Львов, 26 - 28 апреля 1988г., Свердловск, 12 -14 июня 1990г.); • '

- на II Международном семинаре "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации" (Челябинск, 24 - 30 мая 1993г.);

- на I, II и III Международных семинарах "Сингулярные решения и возмущения в управляемых системах" (Переславлъ-Залесский, 23 - 27 августа 1993г., 26 - 30 июля 1995г., 7 - 11 июлй 1997г.).

Результаты, составляющие содержание диссертации, докладывались на научных семинарах сектора нелинейного анализа отдела оптимального управления ИММ УрО РАН (руководитель семинара - про. фессор С.Т.Завалищип), на объединенном семинаре Института проблем передачи информации РАН (руководитель семинара - доктор физ.-мат. наук Б.М.Миллер), на семинаре по дифференциальным уравнениям Киевского государственного университета (руководители семинара - академик А.М.Самойленко и профессор Н.А.Перестюк), на семинаре кафедры математического анализа Ижевского Государственного "Университета (руководитель семинара - профессор Е.Л.Тонков).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-20]. "

• Структура" и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на 20 разделов, приложения и списка литературы, включающего 185 наименований. Общий объем диссертации, выполенной в издательской системе B>TgX, составляет 224 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, определяется цель работы, даются историко-библиографические справки, дается краткий обзор основных направлений, к которым примыкает диссертация и приведена информация об основных публикациях и апробации работы. Кратко излагается основное содержание диссертации. '

Первая глава, состоящаят из пяти разделов, посвящена рассмотрению вопроса об определении и описании решения задачи Коши

x = f(t,x,v,V)+B{t,x,v,V)v(t), х(гй) = х°, (1)

где x(t), v(t) —соответственно n и m-мерные вектор-функции времени, f(t,x,v,V) — п -мерная вектор-функция и B(t, х, v, V) — пхтп-

матрица-функция, Vit) = var v(-), v(t) 6 BVm{tQ) г)], BVm[t0, - 6a-

t'o.'l

нахово пространство m - мерных функций ограниченной вариации. В первом разделе проводится сравнение различных определений разрывного решения для рассматриваемого класса систем. Второй раздел носит вспомогательный характер. В нем приводятся необходимые сведения о пространстве функций ограниченной вариации и доказывается одно важное в дальнейшем свойство.

В следующем разделе вводятся определения разрывных решений. Выберем последовательность Vk{t) абсолютно непрерывных функций, поточечно сходящуюся к функции v(t) б BVm[t0,1?]. Предполагая существование решения задачи Коши (1) для любой абсолютно непрерывной функции v(t) (все функции v(t) и Vk(t) удовлетворяют ограничению var и(-) < а), каждой функции i>*(i) поставим в соответствие.

('о.*?]

решение x(t) = Xk(t) задачи Коши (1) с v{t) = v*(i)-

Определение 3.1. Аппроксимируемым решением задачи Коши (1), соответствующим функции ограниченной вариации v(t), будем называть функцию ограниченной вариации x(t), являющуюся поточечным пределом последовательности xt(t) > порожденной последовательностью абсолютно непрерывных функций Vk(t), поточечно сходящейся к v{t), если ï(î) не зависит отп выбора последовательности ti*(i).

Будем говорить, что последовательность Vk(-) V-сходится к вектор-

функции ограниченной вариации «(•), если lim*—ooi>,b(t) = v(t) для

всех t € [¿Oi и var Vk(-) = V(t). Такую сходимость далее

[io.

будем обозначать символом "^¿(i) v(t)".

Отметим, что для любых а и b, удовлетворяющих неравенству îq < а < b< ß

vaxv(.)<V(b)~V(a)..

Определение 3.2. Назовем V-решением задачи Коши (1) всякий частичный поточечгшй предел последовательности x*(i), порожденной произвольной последовательностью абсолютно непрерывных функций vt(t), V-сходящейся к v(t) .

Из сравнения этих двух определений следует, что всякое аппроксимируемое решеине является У-решением. Далее мы увидим, что класс систем, имеющих V-решенпя, существенно шире класса систем, имеющих аппроксимируемые решепия.

В четвертом разделе изучаются билинейные интегральные уравнения и интегральные неравенства. Приведены формулы, представляющие решения билинейных интегральных уравнений и оценки на решения билинейных интегральных неравенств. Основным результатом раздела является обобщение неравенства Гронуолла в пространстве функций ограниченной вариации, которое представлено в виде следующих двух лемм. Обозначим через и два счетных (возможно пересекающихся) множества точек f; из отрезка [¿о, г?].

Лемма 4.2. Пусть {g(t),4>(t),h(t),v(t)} С причем g(t) > О,

h{t) > 0, </>(i) > 0 для всех iG £ [ioi^L функция v(t) — неубывающая. Тогда на отрезке [io,^] решение интегрального неравенства t

x{t)<g{t) + <}>(t)[(h{i)x{t)dv{t) + £ С{*(«,-0)+ Е $*(<*)} t0 ti<t,t ¡en. i,<t,i,eii+

{Ci > 0, Ci > Ci + i,en+ Ci < oo) мажорируется реше-

нием' уравнения

s(0 = iK0 + fl<)[/A(0ff(0<Mt)+ E a-y(i,-0)+ £ Qyiu)).

t0 u<t,ti en.

Лемма 4.3. Пусть {h(t),g(t)} С С[£<ь Aj_, Д;+ — неотрицательные постоянные, поставленные в соответствие точкам из множеств и такие, что E(i<tf,<ien_ Aj_ + Ef,<>?,г.еп+ < v(f) — неубывающая непрерывная функция. Тогда, решение неравенства t

»(*) < ff(t) + / Л('Ы') £ (exp(ft(ii)A«-) - - 0)+

. to <,<М.еЯ-

+ E (ex^'(A(<,)Aif) - l)i(ii) 0

удовлетворяет оценке

■ ■' t x(t) < expFi(f)[p(i0) + /exp(-Hi(«)) «&(»)];

to

где

fh(t)d(v(0+ £ Д.--+' £ Ai+)

Основным разделом этой главы является пятый раздел. В нем получено интегральное включение, описывающее все V-решения. Оказалось, что вообще говоря реакция системы на обобщенное воздействие однозначной не является и зависит от выбора последовательности, аппроксимирующей обобщенное воздействие.

Пусть

• z{r{ti - 0)) = х*(т(и - 0)) 0(r(i,)) = х*(т(*0)),

" р(т(и - 0)) = ь'(т(и - 0)), (цШ) = v*(r(U))) начальные условия для системы

¿(0 = B(t, z(0, №),v(t) +1 - Ш)

А(0 = ч(0 . (2)

Обозначим через S(t,x(t), &v(t),V(t), AV(i)) (здесь t может принимать значения t = U - 0 или t — U Н- 0) множество, получающееся сдвигом на величину —x(t) в момент t + AV(t) сечения множества достижимости системы (2) при

р{т(и + AV(ti - 0)) = v(ti) (ах(т(<,- + AV(ti)) = v(ti + 0)), где управление г/(£) подчинено ограничению ||»?(£)11р ^ 1-

Теорема 5.2. Всякий частичный поточечный предел последовательности .Tjt(i) решений уравнения (1), порожденной последовательностью абсолютно непрерывных функций Vk(t) , поточечно сходящейся к вектор-функции v(t) б BVm[<o, и удовлетворяющей условию

lim yai■«*(.) = V(t), ' (3)

к-* со [io, (J

xejxevicx решением интегрального включения

+ £ S(th x(ti - 0), Ao{U- 0)., V(t{ - 0), ДV(tt - 0))+

+ E -Siii.a^.Aw^ + OJ.^tO.AViii + O)) (4)

Для всякого решения x(t) включения (4), порожденного парой >(t), V(t), существует последовательность абсолютно непрерывных функций Vk(t), поточечно сходящаяся к v(t) й удовлетворяющая условию (3), такая, что соответствующая последовательность решений уравнения (1) xt(t) будет поточечно сходиться к x(t),

Следующая теорема дает простое условие, обеспечивающее единственность V-решения.

Теорема 5.3. При сделанных выше предположениях .о f{t,x,v,V)

и B(t,x,v,V) в случае, когда V{t) = varv(-), интегральное включение

Ро.«]

(4) превращается в интегральное уравнение и пара (v(t), V(i)) порождает единственное V-решение уравнения (1). _

В заключение главы приведено несколько модельных примеров и примеров механического содержания как с единственным V -решением, ^ак и- со множеством V -решений.

Во второй главе работы исследуются классы нелинейных дифференциальных уравнений, для которых предельная траектория не зависит от способа аппроксимации обобщенного воздействия.

В шестом разделе, рассматривается следующая задача Коши

х = f(t,x,v) + B(t,x,v)i>(t), x(t0) = x°, (5)

Заметим, что правая часть уравнения в (5) в отличие от (1) не зависит от V(t).

Лемма 6.1. Пусть в области t € [<(ь^]> х € й", ||u||p < М, где М — некоторая постоянная, удовлетворяющая неравенству var v(-) <

М, элементы матрицы B(t, ху v) непрерывны'по совокупности переменных, выполняется неравенство

||B(i,e,w)||p<c(i+||s||p),

существуют непрерывные по х и v частные производные дЬ^/дх„ и dbij/dvv> где bij — элементы матрицы В. Тогда для того, чтобы множество ' , . ■ .,

было одноточечным, достаточно выполнения условия 9bjj(t, х, у) . » дЪц{1,х,у)

до, +к о*. м*.

Г dvj + h ' ' }

(условие 'Фробепиуса) г = 1,2,...,ri; j, I — 1,2

С помощью этой леммы доказана следующая

Теорема 6.1. Пусть в области t G [to^li^ € Rn, ||î>]jp < M элементы матрицы B(t, x,v) удовлетворяют условиям леммы 6.1, вектор-функция /(£,ce,v) непрерывна по совокупности переменных, липшицева по х и удовлетворяет неравенству

Тогда для всякой вектор-функции v(t) € существует ап-

проксимируемое решение х(i) задачи-Когии (5), которое удовлетворяет интегральному уравнению • ,

' «о и

+ £ з(и,х{и-0)Хи-0),&у(и-0))+ t.<M,eW-

+ £ '[Ь, x{ti), v(ti), &v(ti + 0)), где s(t, x, v, ù>v) = z(l) — x

¿(0 = B(t, ziO,f(0'+.MOOM<), =

(ÎF+) — множество точек левого (правого) разрывов вектор-функции v(t), Av(i- 0) = v(t) - v(t - 0), Дv(i + 0) = v(t + 0) - v(t).

. Близкий результат был сформулирован в 9, а полное доказатель-• ство впервые опубликовано в работе [2].' . . В следующем разделе рассматривается система дифференциальных уравпёний . .. • - .

. . \ . .;;•'.' -¿ = Л(*)® + 6(*),' (6)

где Л(<) = Л(*) + — п х п-матрица с непре-

рывными элементами, 6(£) — вектор с суммируемыми элементами, -О; (О(г € 1, т) — непрерывные пхп-матрицы-функции, — компоненты вектора.г>(<) = —1 функции ограниченной вариацта.- Для'системы дифференциальных уравнений (6) справедлива;' • _

Теорема- 7.1.: Пусть магприцы-'Ю^^) 6 1,т) для каждого < 6 / взаимно коммутативны. Тогда всякое аппроксимируемое решение однородной системы х = А(1)х'с начальным условием = хй прёдставимо в виде = Х{1)х^, где п х п-матрица Х^) — аппрок-: симирусмде решение матричного, уравнения X ■=. А(1)Х с начальным 'условием = Е, поторое удовлетворяет уравнению

• •• '■'*".: < . '' .,; т- г ■ "■' -

г ХШ= Е (МШУс+ Е /Д-(ОХ(£)

• ' 'а ' ' г=1<о • •

+ £ х(и — о), Дг'(г,- - о)),+ Е ^(г.-.ад.Д^ + о)),

где '. ' ' •.' 'V '.''' • ... - '

: - ■ т ':: " .. > ' .

Для аппроксимируемого, решения уравнения (6) справедлива формула Коши ' ' * -

х(<) = Х{г)х°+/вда'-1^)^) <1з.

■■'••-• : 'о

■ ' ' ' ( . ' ®

Далее будем полагать матрицы А и Д (г 6 1, т) постоянными. Теперь система (б) примет вид , ; ' .

а-= Л(*)г + 6(*), (7)

где

m

A{t) = A + T,DiVi{t). »=i

Теорема 7.2. Пусть матрицы А, Д (г € 1, т) взаимно коммутативны. Тогда аппроксимируемое решение уравнения (7) представимо в виде

t

x(t) = exp[i*(0 ~ Л*{Щхй -f /exp[i*(i) - A*(s)]6(5)ik,

<o

где

m

A*(t) = Af + £ DiVi{t). i=l

В следующем разделе рассматриваются нелинейные дифференциальные уравнения п -го порядка

*<"> = fo(t,x, х',..., *<"-'>) + Е Vi(t)fi(t, х,х',..., (8)

i=i

где x(t) - скалярная функция, и,•(/) € iJ] (г Е 1,пг), функции

fi(t,x,x',..., а^"-1') непрерывны по f и лшшшцевы по х, х', на множестве t € [¿oi^L < оо (г £ 0, п - 1).

Аналогично определению 3.1 вводится понятие аппроксимируемого решения для уравнения (8) и показывается, что если уравнение (8) представимо в виде

x("> = fo(t,x,x',...,x<"-1))+

+ g(t, X, t ViCOaCt, x,x',..., х<п~У), (9)

>=i

то существует аппроксимируемое решение уравнения (8).

Далее рассматривается линейное дифференциальное уравнение

+ vn+i(t) + fln+i(t) = 0, (10)

i=i

где Vi(t) 6 BV[t0, i?], r/(t) — непрерывные на [¿о, i)] функции, x^(t) = л•(<), (г € 1,п+1).

. Теорема 8.2. Для того чтобы существовало аппроксимируемое решение уравнения (10) , необходимо и достаточно, чтобы уравнение (10) имело вид' . •

.: + t(Mt) 4- ыо)**""0 + «n+i(<) + пп+1 (<) = о,

•' '■'. " • - •" \ . - 1=2 ' .

либо ; ..

х(") + + + Е ъЮхЪ-о + r?„+i(<) = о.

■ i-i

. Б девятом и-десятом разделах рассматриваются дифференциальные уравнения второго порядка, имеющие в правой части в качестве обобщенных воздействий - обобщенные производные второго порядка от функций: ограниченной вариации. Нелинейное уравнение (уравнение Дьенара) '. • ' • . ■ V-. . ';'•..' -

•' " : ' х+ f(x)x + <j(t,x)=v(t). (11)

рассматривается в девятом разделе. Если v(t) ~ дифференцируемая .функция, первая производная которой абсолютно непрерывна, то при некоторых условиях на /(<) и g(t,x) в рамках,теоремы Каратеодори решёние,уравнения (11) с начальными условиями x(to) = х°, ¿(¿о) = существует и единственно в некоторой окрестности точки t =

Если v(t) —дифференцируемая функция, первая производная которой, является функцией ограниченной вариации, то решение уравнения^(11)можнЬ определить с Помощью теоремы 6.1.

Представляет интерес определить решение уравнения (11) в случае, если v(tj . является функцией ограниченной вариации. Трудности определения решения уравнения (1.1) в этом случае связаны с тем, что соли -*■•(<) 6 BV } то следует.ожидать-,."что и x(t) 6 BV, а тогда в уравнении (11) член ./(я)¿- будет содержать .произведение разрывной функции /(x(f)) на обобщенную x(t). Отмеченная трудность преодолевается с помощью приема, использовавшегося выше.

Обозначим через i^(-ji) — класс функций, определенных на отрезке > первая производная которых является абсолютно непрерывной, var v(-) < 6 , d(to) — 0, v(to) = с.

. !<о,>?] - . . . ■'...-''

Определение 9.1. Назовем аппроксимируемым решением уравнения (11) функцию x(t) 6 являющуюся поточечным пре-

делом последовательности xt(t) решений уравнения (11), порожденной последовательностью абсолютно непрерывных функций Vk(t) € W(-\a/2), поточечно сходящейся к v(t), если x(t) не зависит от выбора последовательности «¿(О •

Справедлива

Теорема 9.2. Пусть в области Ц < t < д, — < а, где а - некоторая положительная постоянная, j{x) и g(t,x) удовлетворяют условиям

l/(x)j < Ki(l + И), |5(i,®)| < «а(1 + И),

g(t,x) липшицева по х с постоянной L и измерима tio t, f(x) -ий-' тегрируема, var v'(-) < а/2,

Т =< minir'Kil 4- \х°\ + в) + («1(1 + -Ь а)2 + 2L)X>\

т'н«.« + тЦ^)+««■■+■ттр^'"»-

Тогда на всяком отрезке [<о, гс?е г) — to <Т, существует аппроксимируемое решение уравнения (11) с начальными условиями x(to) = , x(to) = , которое описывается интегральным уравнением

t *К) t i

x(t) = x° + x°$-tb)-J / f(x)dxd£-J jg(s,x(s))dsd£+v(t)-c(t-t0).

to x° to to

Десятый раздел посвящен исследованию дифференциального уравнения

х + a(t) х + b{t) х - g(t). (12)

Пусть задано начальное условие я(<о) = ¿(<о) = Если a(t), b(t), g(t) - измеримые на [io, Щ функции, то уравнение (12) имеет решение в рамках теоремы Каратеодори. Если g(t) €BV\to,t9], a a(t) и b(t) -измеримые функции, то решение уравнения (12) можно определить с помощью теоремы 6.1. .

Если a(t), b(i), g(t) € £F[io,t9], то определить решение с помощью теоремы 6.1 не удастся. Особенностью этого случая является наличие

в уравнении слагаемых, содержащих произведения разрывных функций на обобщенные. В самом деле, если g(t) 6 BV[t0, tf], то естественно ожидать, что и x(t) будет из BV[to, а тогда в слагаемых a(t)x(t) и b(t)x(t) возникнет проблема определения отмеченного выше произведения.

Если мы заменим'функции a(i), b(t), и g(t) поточечно сходящимися последовательностями, то соответствующая последовательность решений вообще говоря не будеу сходящейся, а частичные Пределы этой последовательности будут зависеть от способа аппроксимации этих функций.

Некорректность умножения разрывных функций на обобщенные, как и выше, мы преодолеем по схеме первой главы, где под решением дифференциального уравнения понимается предел последовательности решений уравнения (12), порожденный гладкими аппроксимациями обобщенных функций, входящих в уравнение. В отличие же от главы 1, для того, чтобы обеспечить независимость предела последовательности от способа аппроксимации функций a(t), b(t), и g(t), необходимо сузить класс рассматриваемых аппроксимирующих последовательностей.

. Здесь аппроксимирующие последовательности определим так:

ak(t) = (а * 4(0), Ш = (13)

где звездочка - знак операции свертки, Ь, д - обобщенные производные функций b(t), g(t) € BV[tQ, t?], 8k(t) - б-последовательность, т.е. последовательность неотрицательных гладких, для которых:

a) J 6k{t)dt = 1;

-оо

b) существует последовательность положительных чисел а*, сходящаяся к'нулю такая что <5*(£) = 0 при ¡¿| > а*;

c) существуют числа Mo, Mi,,... такие, что

ОО.'

al j \6l{t)\dt<Ms,

-оо

для всех fc = 1,2,... и любого s.

Такой способ аппроксимации обобщенных функций используется в секвенциальном подходе теории обобщенных функций в24.

24 Антосик П., Минусинский Я., СикорскнЯ Р. Теория обобщенных функций. Пер. с англ. М. Мир,

Особенностью аппроксимаций (13) является то, .что хотя в них 6-последовательности произвольные, но все функции, входящие в уравнение (12), сворачиваются с одной и той же последовательностью. Следовательно, аппроксимации (13) являются зависимыми. . .

Рассмотрим задачу Коши

хк + ак(г)хк + Ьк{г) хк = &(*), хк(г0) = ж0, ¿*(<0) = х°. (14)

Определение 10.1. Непрерывную слева функцию х^) 6 ВУ\}о, г?] . будем называть 5 -аппроксимируемым решением уравнения (12), если х(() в точках непрерывности функции д(1) совпадает с поточечным пределов последовательности решений xt(í) уравнения (14) и не зависит от выбранной 6'последовательности.

Теорема 10.1. На отрезке существует 5 - аппроксимиру-

емое решение уравнения (12), которое представимо в виде

У(0 = *<>(*)+3(0.

где 2о(0 ~ решение интегрального уравнения

М*) - *о(*о) - ¿o(to)(t - to) - J[~a(s)z0(s) + a(t0)z(t0)+'

+) *o(0 da(0 - / 2o(0 da(0 - / 6(0 dg{0 - ) № ¿HO 1 da.

io to to 'o .

В последнем разделе главы рассматривается дифференциальное уравнение с последействием нейтрального типа

x(t) = F(t,x(t),x(t-r))+G(t,x(t),x(t-r))i(t-r)+B(t,x(t),x(t-r))v(t),

■ (15)

где F(t,x,y) — непрерывная по t и липшицевая по х ,у п-вектор-функция, G(t,x,y) и P(t,x,y) -пхп и п х т — матрицы-функции, элементы которых непрерывны, по t и липшицевы по х и у, х е R", у £ Rn, т > 0 - постоянное запаздывание. Обозначим через ip(t)

1978. 311 с.

начальную функцию (начальное-условие) заданную на отрезке [fo — ; г, ta] -. '••■•• •

Если функции v(t), и ^(i). абсолютно'непрерывны, то при выполнений стандартных предположений на F(f,a:,y), G(t,x,y), и B(t, х, у) в области t 6 [f0, t9], x £:Rn, у G Rn решение уравнения (15) на отрезке {/о, ï)\ может быть построено с помощью метода шагов. В случае, когда <p(t). E'.BVn[to, i?], v(t) G BVrn[to, 0), производные в (15) необходимо понимать в обобщенном смысле, но тогда в (15) возникает проблема умножения разрывной функции на Обобщенную. В самом деле, если функция v(t) или начальная функция ip(t) разрывна в t*, то на систему в этот момент (если разрывна функция v(t) ), или в момент f + т (если разрывна функция tp(t) ), будет действовать импульс, что приведет к разрывности x{t) и возможности-появления произведений отмеченного типа в слагаемых G(t,x(t),x(t->-T))x(t — T)) и B(t,x(t),x(t — T))v(t). Таким образом собенностью этого уравнения является то, что дополнительным обобщенным воздействием в нем является нейтральное слагаемое, и дополнительным источником обобщенных возмущений становится и начальное условие - функция ограниченной вариации.

В такой ситуации, как и выше, естественно в качестве решения рассматривать предел последовательности xt(t) последовательности ре. шеннй уравнения :( 15) с v(t) = r*(i), <p(t) = <pk(t), где vt(t) и <pk{t) -последовательности абсолютно непрерывных функций, поточечно сходящиеся к вектор-функциям ограниченной вариации v(t) и ç(t).

. Определение 11,1. Назовем аппроксимируемым решением урав-нения'(15) вектор-функцию ограниченной вариации x(t), являющуюся поточечным пределом на отрезке [¿о, ^J последовательности A'jt(f), порожденной произвольными гладкими поточечными аппроксимациями <fk(t) и bk(t). вектор-функций ip(t) и u(t), если x(t).He зависит

. от выбора последовательностей pk(t) й vt(t).

о

Получены условия на матрицы-функции G(t,x,y) и B(t,x,y), обеспечивающие существование аппроксимируемого решения уравнения (15). Из-за громоздкости этих условий здесь они не приводятся.

Далее рассматривается частный случай системы (15). а именно ru-

стема

n m

x(t) = + £ i,(i - T)Di{t) + £ VjMQMxit)*

i=l ■ ;=1 n _ 'm _

+ IMt) + £ ii(i - T)Di{t) + E Vjit)Qj{t)Ht - т) + f(t), (16)

«=1 J=1 i

где A\(t), Az(t), Dj(t), D;(f), QjCO> Qj(0 — матрицы-функции с непрерывными элементами (г G 1 ,n,j G l,m), f(t) — интегрируемая вектор-функция. Для системы (16) справедлива

Теорема 11.2. Пусть матрицы Д(2), Qj(t) взаимно коммутативны, Di{t) = 0, Qj(t) = 0 (г G 1, n, j G 1, m), либо Di{t) = 0, Qj(t) = 0, Qj(t) = О (г £ 1, n, j G 1, m), a элементы dj^(i) матриц D„(t) удовлетворяют условиям ¿[^(i) = (k,n,v G 1, n). ТЪгйг

существует аппроксимируемое решение системы (16).

Третья глава посвящена изучению свойств множества V - решений нелинейной системы дифференциальных уравнений с обобщенным воздействием - импульсным управлением, подчиненным интегральному ограничению.

В двенадцатом разделе доказывается компактность множества допустимых управлений и соответствующего множества V"-решений-Как следует из результатов пятого раздела, каждая пара функций (u(t), V(t)) порождает некоторое множество V'-решений уравнения (1), Обозначим через У(-|а) множество m-f 1-мерных абсолютно непрерывных вектор-функций, первые m координат которых есть вектор-

функция v(t), a m + 1 -ая координата — var v(-), причем для всех

1М

v(t) выполняется неравенство var v(-) < а .

Пару функций ограниченной вариации v(t) со значениями в Rm ц V(t) со значениями в Я1 будем называть совместимой, если для любых 11 и удовлетворяющих условию Ц < ti < ti < д, выполняется ' неравенство

(17)

Заметим, что из (17) в частности следует, что var v(-) < а и V(d) < а,

Совместимые пары (v(t), V(i)) далее будем обозначать через w(t) = (r(1). V'(f)), а все множество совместимых пар w(t)—через И7(-|а).

Доказано, что множество W(-\a) замкнуто в топологии поточечной сходимости и замыкание множества У(-|а) в топологии поточечной сходимости совпадает с множеством 1К(-|а).

Обозначим через X(t,w(-)) множество всех У-решений системы дифференциальных уравнений (1), удовлетворяющих начальному условию x(to) — х° и порожденных совместимой парой функций w(t) = (v(t), V{t)). Доказана следующая

Теорема 12.2. Множество X(t,w(~)) компактно в топологии поточечной сходимости.

Обозначим через lim X(t, wU-)) множество поточечных частич-

к—оо

ных пределов произвольных последовательностей Xk(t), где xt(t) 6 X(t,wk(-)).

Теорема 12.3. Пусть для каждого t € [t0, последовательность функций ограниченной вариации Wk(t) поточечно сходится w(t). Тогда lim X(i, Wk{-)) С X(t, w(-)).

k—>oo

Замечание. Обратное включение, вообще говоря, верным не является. .

Обозначим через X\v(t,a) объединение множеств X(t, »;(•)) новеем допустимым w(-) е W(-la).

Теорема 12.4. Множество Xw(t,a) компактно в топологии поточечной сходимости.

Обозначим через Xy{t, а) множество решений системы дифференциальных уравнений (17), порожденных абсолютно непрерывными управлениями v(t),V(t) = varu(-), подчиненными ограничению

(М

. varu(-) < а, т.е. управлениями из класса У(-|а), а через Xy(t,a) -

(¡о,0

Множество У-решений системы (17), порожденных функциями ограниченной вариации t>(i), V(t) = var г'(-), подчиненными ограничению

var ц(-) < а, т.е. порожденных функциями из класса У(-|а).

['о,'}

Очевидно включение

Xy(t,a) С Xy{t,a) С XiV(t,a). (18)

Теорема 12.5. = Х(,^,а) =

В следующем разделе рассматриваются вопросы непрерывной заш(- . симости от параметров. В качестве параметров выступают параметры в правой части системы дифференциальных уравнений и величина ре-. -сурса управления. . -V ■ . ■

Здесь предполагается, что правая часть системы дифференциальных уравнений (1) зависит от параметра Л, т.е. уравнение (1) имеет вид: ' . ' ..' .

х = + ,- (19)

Множества А'(£,ги'(-)) и а) в'данном ..случае, будем обозначать

так: Х^, и'(-), Л) и Хцг^,а,Х). •.'.

Множествам Ху,^(<,а) и Х^(<,а,;Л) можно поставить в соответствие многозначные отображения а) и а, А), отображающие от* '

резок {(о, Щ в Д" по следующему правилу. Элемент .- а; 6 а)

(х € а, А)), если существует ги(£) 6 1У(-|а), что; среди порожден-,

ных этой вектор-функцией траекторий системы (1). (йли (19)) суще-.; ствует такая траектория х(<), что х = .х(<). _.•"/:

Аналогичным образом можно'определить Многозначные отображения Х*(*,ш(-)) и Х*(*,и;(-),А). ' ;/ ' ..'.' -./У-

Традиционным образом даются определения непрерывной зависимо-г стн множества достижимости от параметров и ;от ресурса управления.

Теорема 13.1. Пусть правая часть уравнения (19) помимо.условий, оговоренных в главе 1, удовлетворяет следующему: для всех допу- ~ спшмых х, V, V для произвольного е > 0 найдется такое 6(е) > О, что для всех А, таких, что |А — Ао| < <5, выполняются неравенства

х, V, V, А) - Б(*, я, V, V, Л0)Ц <е.

Тогда для всех < € [¿о, г)] множество Хц,^, а, А) непрерывно зависит от параметра А в точке А = Ао- 1

Заметим, что при предположениях теоремы 13.1 можно доказать аналогичный результат и для множества Х*{1, ш(-), А).

Затем рассматривается вопрос о непрерывной зависимости множества достижимости от величины ресурса управления. Здесь предполагается, что объект управления описывается системой дифференциальных уравнений (1). Обозначим через Р 6 К1 ограниченное замкнутое множество, содержащее в себе Xw(t,a), а через Q — шар радиуса а в Rm. Очевидно, что v(t) е Q для всех t £ [¿о, гЗ].

Теорема 13.2. Пусть f(t,x,v,V) и B{t,x,v,V) помимо условий, оговоренных в главе 1, непрерывны по совокупности переменных (t,v,V) в области [fo,$]xQx[0,a]. Тогда X^(t,a) непрерывно зависит от величины заданного ресурса управления а.

Далее доказано, что хотя множество достижимости, состоящее из рообще говоря разрывных траекторий, как многозначное отображение непрерывно па полуинтервале (ío,

В четырнадцатом раздеДе изучается такое важное свойство множества достижимости как связность. Сначала устанавливается, что множество допустимых управлений W(-\a) связно. Затем показывается, что множество X(t, w(-)) линейно связно. Далее доказывается связность множества Xw(t,a).

В пятнадцатом разделе обсуждаются возможные способы построения множества достижимости. Они оспованы на сведении задачи к вспомогательной задаче о построении множеств достижимости для систем с мгновенными ограничениями на управление.

Для линейных систем с импульсным управлением известна теорема о числе импульсов, необходимых для перемещения фазовой точки в произвольную точку множества достижимости. Этот результат в шестнадцатом разделе распространяется на класс билинейных систем вида

x = D + v(Bx + C), (20)

- где x(t)— п -мерная вектор-функция, v(t) — скалярное неотрицательное управление, D и/ С — постоянные п -мерные векторы, В— постоянная n х п-матрица.

Теорема 16.1. Для любой точки х € X^v(t,a) существует допустимое управление, содержащее не более п+1 S -импульсов, переводящее фазовую точку системы (20) из начальной позиции х° в тачку х в момент t.

В четвертой главе работы рассматриваются четыре задачи оптимального управления. В семнадцатом разделе рассматривается задача минимизации функционала, характеризующего затраты энергии на процесс управления. Необходимость исследования такой задачи связа-. на с ее актуальностью в механике космического полета, в электрофизике, медицине и экономике. Линейная зависимость подынтегральной функции в функционале качества от модуля управления управления позволяет допускать импульсное управление. В такой ситуации задачу минимизации энергетического функционала необходимо либо, рассматривать в классе обобщенных функций, либо, искать минимизирующие последовательности. В работе реализуется, второй подход к решению задачи. ' ; ..".-.:.• -

Пусть объект управления описывается! системой дифференциальных уравнений : •', . .

х = /Л; ' ' (21)

где вектор-функция /(<, х, г;, V") и матрица-функция и, V") удо-

влетворяют условиям, оговоренным в пятом разделе первой.главы. В качестве критерия качества рассматривается _

1{и(-)} = /ИиМИрЛ, . , ■ ' (22)

где д - фиксированные моменты времени.

Задача 17.1. Требуется минимизировать функционал (22) вдоль траекторий системы (21) при концевых ограничениях х(Ьо) — хо и М(х(0)) = с.

Здесь М(х) - непрерывная к - мерная вектор-функция, с - постоянный к - мерный вектор.

Заметим, что Ш в задаче 17.1, вообще говоря, может не достигать-' ся в классе обычных (измеримых) управлений и в гкачестве решения задачи 17.1 естественно рассматривать минимизирующую последовательность обычных управлений и,(<), для которой —> ^о при ( -+ оо, а также М(х^д)) -* с (х{(-) - решение уравнения (21) с

"И = «.'(•))• '

' Далее будем предполагать, .что существует обычное управление, переводящее фазовую точку из начального положения x(to) — xq на многообразие М(х) = с за заданное время 0 — tg. В этом случае Jq < ос. : В диссертации предложены два варианта расширения задачи 17.1, основанные на построении некоторой вспомогательной задачи, решение которой существует. Выделеп случай,- когда можно понизить на едн-. пицу, размерность вектора-управления в расширенной задаче. Указан способ построения минимизирующей последовательности. В заключение раздела рассматривается в качестве примера задача о переводе точки переменной массы, движущейся в центральном гравитационном ¡голе по вертикальной орбите, из позиции г = го, V =.Va в точку г = г\ за заданное время 0 — to с минимальным расходом реактивной массы.

В первой главе работы было показано, что множество всех V - решений системы дифференциальных уравнений (1), удовлетворяющих начальному условию ¿-(¿о) = х° и порожденных парой v(t),V(t), образуют интегральную воронку разрывных решений, удовлетворяющих интегральному включению (4)

В такой ситуации возникает следующая

Задача 18.1. .Требуется минимизировать функционал

м V

£

на траекториях -интегрального включения (4).

^b(-)] = £ Ciixito) + J Mt *(0)« (23)

Заметим, что задача отыскания траектории, мшшмизируюшеН функционал (23), эквивалентна задаче построения минимизирующей последовательности Vk(-) абсолютно непрерывных функций, удовлетворяющей условиям Vk(t) —+ v(t), var -+ V(t) для всех i € [¿о, l4m

['о,']

к -»оо. „

В предположении, что число точек разрыва f, функции V(t) конечно и равно N, в восемнадцатом разделе получены необходимые условия оптимальности в задаче 18.1.

Девятнадцатый раздел посвящен задаче оптимизации негладкою интегрального функционала вдоль траекторий линейной системы при интегральных ограничениях на управляющее воздействие.

Пусть движение объекта управления описывается линейным дифференциальным уравнением

х .= A{t)x + B{t)v{t), (24)

где х — п— мерный фазовый вектор, v — m—мерное управление ( v £ V(-Ja) ), A(t) и B(t) - соответственно п х п— и п х m— матрицы-функции с непрерывными на элементами, V(-\a) - класс функ-

цией ограниченной вариации со значениями в Rm, удовлетворяющих неравенству

var и(-) < а (а > 0). M w _ ' v '

Для определенности в этом разделе будем предполагать, что вариация

вектор-функции v(t) определяется с помощью евклидовой нормы, т.е.

р — 2. Производные в (24) понимаются в обобщенном смысле.

Под решением уравнения (24) будем понимать

t

®[i>(f)] = X{t, i0)s° + / X{t, s)B(s) dv(s), (25)

где X(t,s)— фундаментальная матрица системы x = A(t)x. Для системы (24) такое определение решения эквивалентно определению, введенному в первой главе.

В Rk, где к— целое число, удовлетворяющее неравенству 1 < к < га, для каждого t £ задано непустое выпуклое множество M(t).

Будем предполагать, что многозначное отображение t 7+ M(t) удовлетворяет следующему условию: для любых ii и из отрезка [îq, подчиненных неравенству ij < Î21

к{М(и),М(ь))<ф2)-ср(и), (26)

где <p(i)— неубывающая на [io, t?] ограниченная функция, h(M\,Mi)— хаусдорфово расстояние между множествами.

Пусть C(t) — n х к- матрица-функция, элементы которой - функции ограниченной вариации, a(t)— неубывающая на [¿о, Щ ограниченная функция.

Далее рассматривается функционал

i <

7(а, »(•)) = / />(С(* МЦ.)], M(t)) da, (27)

<0

где р(у, Л/)— функция расстояния от точки у € Rk до множества М С Rk. Интеграл в (27) понимается в смысле Лебега-Стилтьеса. Показано, что подинтегральная функция в (27) есть функция ограниченной вариации. Сначала рассмотрена

Задача 19.1. Требуется минимизировать функционал (27) по v £ У(-|а) воЬль траекторий системы (24).

Для задачи 19.1 получена формула для оптимального значения функционала (27) и необходимые условия оптимальности. С цомощыо задачи 19.1 рассмотрена задача минимизации максимального отклонения от множества М(t).

Если предположить, что функция a(t) представима в виде

a(<) = i>iX(i-*i), («¡>0),

>=о

а

< h < h < ■•• = -заданное разбиение отрезка [io, t?], то функционал (27) примет вид

7(", Н-)) = £ сцр(С(Ь)х(и), Л/(<,-))• (28)

¿-I

Задачу минимизации функционала (28) вдоль траекторий системы (24) в классе управлений i'(-) 6 1^(-|а) будем называть задачей 19.3. Для задачи 19.3 справедлива

Теорема 19.3. Оптимальное значение функционала в задаче 19.3 задается формулой

7Н = max т)(а, Л),

где

Ч(а, Л) = £ail\r(i)C(ti)X(ti,io)x° - /».,/<,,,(A(i))] ¿=1

ы

-ornax max оч\т{ПС{и)Х{Ь, s)B{s)\.

Здесь Ln - декартово произведение N к-мерных единичных шаров, А = (A(l), А(2), ...A(JV)), А(г) 6 Д* (г € lJV).

Если a(t) = 0 при t € 11 = 1, то задача 19.1. становится

задачей терминального управления. Такую задачу будем называть задачей 19.4. Минимизируемый функционал в этой задаче будет иметь вид :

7(v) = р{Сх(д), М).

Задача 19.4 является частным случаем задачи, рассматривавшейся в 25 , где получены необходимые условия оптимальности. В рабо-т^установлены достаточные условия оптимальности, получено Выражение для оптимального значения функционала и вид оптимального управления.

В качестве примера построена область достижимости в пространстве геометрических координат для линейной модели космического аппарата на круговой орбите.

В последнем, двадцатом разделе расссматривается задача минимизации функционала

/[«(■)] = \xT(tf)S(tf)x(tf) + \ J[xT(t)Q(t)x(t)}dt, . (29)

'о

где Q(-), S(i3) — симметричные, неотрицательно определенные матрицы размерности п х п , вдоль траекторий системы дифференциальных уравнений ,

x(t) = A(t)x(t) + C{t)x{t - т) + B(t)u(t) (30)

с начальным условием

x(t) = (p(t), t0-T<t<t0, (31)

которую дальше будем называть задачей 20.А. Здесь A(t), С(t) — непрерывные матрицы-функции размерности тг X п, B(i) — матрица-функция размерности п х m с дифференцируемыми элементами, x(t) — вектор-функция размерности п, u(t) —вектор-функция размерности in, <£>(i) —вектор-функция ограниченной вариации размерности п. - ■

-'* Куржанскив А.11. Оптимальные системы с импульсным управлением // Дифференциальные игры и задачи управления. Свердловск, 1975. С. 131-156.

Как и в случае задачи без запаздывания, задача 20.А в классе абсолютно непрерывных функций решения не имеет. В связи с этим возникает необходимость в расширении класса допустимых управлений u(t).

Пусть элементы матриц A(t), B(t) и С it) соответственно 21 - 1., 21 и 21 — 2 непрерывно дифференцируемы. Введем следующие обозначения:

= A(t)Bi-lti(t) - Bi.i,i(t), B0li(t) = B(t), г G 17П; Bij{t) = A(i)B,-_ij(i) + C(0B;_i,;-i(f - т) - j G 2

д-,;+1(<) = С(г)Д--м(* - т).

• Пусть существует такое I G N, что матрицы-функции Q(t) A(t) и B{j(t) удовлетворяют следующим условиям:

Bj}{t)Q(t)Bij{t) = 0, te j G l,t+ 1,

BUj(t)Q(t)B,-4{t)=0, j G 271, detB^jCOQCO^-MÎO^O, для всех t G [ioi^]) и матрица S($) удовлетворяет условию:

BTjWSWBijtf) =0, i G бД^Т, j G ртт.

Показано, что в классе распределений / -го порядка сингулярности существует оптимальное программное управление и найден его явный вид.

Далее подробно исследуется случай / = 1. Показано, что при определенных предположения на матрицы-функции A(t), B(t), C(t) и Q(t) оптимальное управление

u(t) = Av(t0,¥>(•)) 6(t - t0) + Zi(t)x(t) + Z2(t)x(t - т)+ 0 /

+ / Zs{ttt)x{t + t)dZ + Av{d,x{d))6(t-Û), (32)

"T

имеет импульсные составляющие лишь в начальный и конечный моменты, внутри промежутка управления u(t) - суммируемая функция. Показано, что под действием начального импульса позиция t, xT(t),

где xT(f) - отрезок траектории, сосредоточенный на отрезке [t — т, f], оказывается на функциональном многообразии

о

- F0(t)x(t) +. / F2(î, t)x(t + 0 dt = 0, « (33)

—т

где Fo(t) и F2(t,£) некоторые функции, и будет двигаться по нему вплоть до конечного момента. В момент t — д возможен сход с функционального многообразия (33) под действием конечного импульса.

Управление (32) хотя по форме и является позиционным, но не обладает двумя важными свойствами: после действия возмущения вида aé(t — t,), где t, £ (to,û), на правую часть системы (30), реакция системы (30) с управлением (32) на (i*, i9) вообще говоря не будет реализо-вывать оптимальную траекторию; если система (30) будет находиться под воздействием постоянно действующего возмущения, то реакция системы (30) может не иметь непрерывной зависимости от возмущений, а так же если это возмущение в некоторый момент £** G (tо, i?) прекратит действовать на систему, то на (i»„, #] реакция системы на управление

(32) не будет оптималыо. Это связано с тем, что возмущения могут заставить фазовую траекторию покинуть функциональное многообразие

(33) (io = t). Чтобы этого не произошло, в управлении (32) необходимо вместо начального импульса иметь импульсную составляющую, обеспечивающую сброс траектории в каждый момент на функциональное многообразие (33) (t0 = t). -

Определим оператор 7[i,x|(-)], где х((-)-функция ограниченной вариации, заданная на отрезке [t — r,i], следующим образом: J[t,a:t(-.)] = 0, если позиция t,xt(-) принадлежит функциональному многообразию или t > i9, и I\t, Xt(-)] = ¿(Ç — i), если позиция t, xt(-) не принадлежит функциональному многообразию. .

Рассматривается следующий позиционный закон управления

v(t) = Av(t, «((•))/[*,®i(-)J + Zt[t)x(t) + Z2(t)x(t - r)+ "o . ;

+ J (34)

—r ,','''.'• *

Очевидно, что если на систему не действуют возмущения, то реакцией системы на позиционное управление (34) будет оптимальная траектория задачи 20.А. •

Пусть на систему (30) с позиционным управлением (34) действует возмущение

w

ДО = £ - *<) (to <h<t2< ... < tN < ß). (35) «=i

В работе указан способ построения реакции системы (30) с управлением (34) на возмущение (35). Заметим, что па промежутке времени [íjvi»?], соответствующий отрезок траектории будет оптималью.

В случае постоянно действующего возмущения f(t) па функциональном многообразии (33) может возникнуть ситуация непродолжаемости решений системы (30) с управлением (34), связанная с тем, что в каждый момент возмущение будет стремиться выталкивать фазовую точку с функционального многообразия, а импульсное позиционное управление будет стремиться импульсом нулевой интенсивности удерживать траекторию па многообразии. Отмеченную непродолжаемость решений можно преодолеть путем введения, как и 26, импульсио-скользящпх режимов.

Для формализации импульсно-скользящего режима предполагается, что импульсная составляющая позиционного управления будет действовать на систему лишь в фиксированные моменты времени, заданные некоторым конечным разбиением промежутка управления. Реакцией на такое управление будет кусочно-непрерывная траектория. Затем рассматривается последовательность таких траекторий, порожденных последовательностью разбиений промежутка управления, когда максимальное расстояние между соседними точками в разбиении стремиться к нулю." Показано, что построенная последовательность оказывается равномерно сходящейся и ее предел не будет зависеть от выбора разбиений промежутка управления. Это предельное движение мы и называем импульсно-скользящим режимом. Так введенное . понятие импульсно-скользящего режима является развитием понятия обобщенного движения для системы с позиционным управлением 27 на случай импульсных позиционных управлений.

Получено дифференциальное уравнение, описывающее импульепо-скользящнй режим. Показано, что значение функционала (29), пыча-

26 Завалищин С .Т., Сесекии А.П., Дро-эдеико С.Е. Динамические системы с иынул^ноП cipj VT),'.1 Свердловск: Средн.-Урал. кн. иад-во, 1983. 112 с.

27 Красовский H.H., Субботин А.II. Позиционные дифференциальные игры. М.:-1Ь;ка, 1571 VA с

сленное вдоль'траекторий импульСно-скользящего режима, будет, не? прерывно зависеть от возмущения f(t) в точке fit) = 0.

В приложении обсуждается вопрос об определении аппроксимируемого решения на бесконечном промежутке; времени, получены достаточные условия устойчивости таких движений. Кроме того, здесь сравниваются две модели, применяемые для, описания двшкенйя материальной точки переменной массь1 в центральном гравитационном поле.

Основные результаты диссертацииопубликованы в следующих работах: ! ^ " . -

1. Завалищин С.Т., Сесекин А.Н.; Дрозденко С.Е. Дифференциальные уравнения с разрывными решениями //'Десятая междунар. конф. по нелинейным колебаниям. 'Варна, 12-17'сентября 1984: Докл. . София, 1985. С. 315-318. ' '-.;. д^;'-' ; ; '7:. ' •

2. Сесекин А.Н. О нелинейных дифференциальных уравнениях, со- . держащих произведения разрывных ^функций на обобщенные // Обобщенные функции и дифференциальные уравнения; Свердловск, 1985. С. 48-61. . "■■'''■".-=•;-'/^л '

3. Сесекин А.Ц. Разрывные решения интегральных уравнений и их оценки // Обобщенные функции и дифференциальные уравнения. Свердловск, 1985. С. 62-68. > ■ : ' л /..'С-

4. Сесекин А.Н. Нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка с разрывными решениями // Дифферецциальпые^уравнепия и обобщенные функции.. Свердловск, 1986. С. 88-93. Г:

5. Сесекин А.Н. О р>азрывных решениях линейного дифференщ1аль: пого уравнения второго порядка // Функционально-дифференциальные уравнения: Межвуз. сб. Пермь: Политех, ин-т, 1986. С. 46-51.

6. Сесекин А.-Н. О непрерывной зависимости от правых частей и устойчивости аппроксимируемых решений: дифференциальных уравнений, содержащих произведения разрывных функций на обобщенные // Дифферент уравнения. 1986. N11. С. 2009-2011. ^

7. Сесекин А.Н. Интегральная воронка радрьшных решений обыкновенного дифференциального уравнения // Функционально-днффе-ренцнальные уравнения: Межвуз. сб. Пермь: Политех, ин-т, 1988. С. , 127-130. - ' .. ; -."-V д^Л -Л /.у.;: _' / : '"■■•д ,

8. Сесекин А.Н. Об оптимальном управлении линейной системой с ограниченным ресурсом // Нелинейные задачи в обобщенных функци-

' ях/Свердловск,1988..С.-77'84-.-\ . . . .

; 9.. Сесекин А.Н. О,нелинейных дифференциальных уравнениях в "классе функций ограниченно^' вариации // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, N 11. С. 1925-1932, о'

10. Сесекин А.Н. Разрывные решения обыкновенных дифференциальных равнений "с последействием нейтрального типа // Краевые задачи;, Мелсвуз. сб. Пермь: 1991. С. 107-112.

" 11." Завалищип С.Т., Сесекин. А.Н. Импульсные процессы. Модели п -приложения: М.: Наука. 1991. 256 с.

12. Сесекип А.Н; О наилучшей траектории в интегральной воронке разрывных траекторий // Обобщенные функции в задачах управления и дифференциальных уравнениях. Свердловск, 1992. С. 78-84. • 13. Сесекин А.Н.. Импульсное расширение в задаче минимизации энергетического функционала.// АиТ. 1992. N 8. С.53-62.

14. Сесекин А.Н.'. Об описаний разрывных решений обыкновенных дифференциальных уравнений с обобщенным воздействием. Екатеринбург,: 1992. Деп. в ВИНИТИ N 2820-В92. 31с.

15. Сесекин. А.Н. Свойства множества достижимости динамической с'истемьгс импульсным управлением // АиТ. 1994. N 2. С. 52-59.

16. Сесекин А.Н.. О множествах разрывных решений нелинейных . дифференциальных уравнений // Известия ВУЗов. Математика. 1994.

N 6. С.83-89.

17. Сесекин А.Н. О связности множества разрывных решений нелинейной динамической системы с импульсным управлением // Известия ВУЗов:.Математика,. 1996. N 11. С. 85-93.

18- Андреева И.Ю., Сесекин А.Н. Вырожденная линейно-квадратичная .задача оптимизации с запаздыванием по времени // АиТ. 1997. N7. С. 43-54. У;/:";/'.. • ' .

19. Sesekin A.N. On "tHe singularity order of the optimal control in the linear-quadratic optimization problem for systems with time delay. Singular solutions and perturbations in control systems. Proceedings of International .Workshop, July 7-11, 1997, Pereslavl-Zalessky, Russia, P. 35-36.

20.'Zavalishchin S.T., Sesekin A.N. Dynamic Impulse Systems: Theory and Applications. Kluwer Academic Publishers. Dordrecht. 1997. 2G8p.