Динамические задачи в структурно-неоднородных средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПОЛИТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

2 8 ШОН 1893 : '

На правах рукописи

П Е Т К У Н Сергей Эдуардович

УДК 539.3:534.22.222

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В СТРУКТУРНО-НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск 1993

Работа выполнена в Белорусской государственной политехнической академии

Научный руководитель - доктор физ.-мат. наук,

профессор А.В.ЧИГЛРЕВ

Официальные оппоненты: • чл. корр. РЛТН,

доктор физ.-мат. наук, профессор Т.Д.ШЕРМЕРГОР

доктор техн. наук, профессор Г.Ф.ЕРШОВ

Ведущая организация Институт прикладных физических

проблем Белорусского государственного университета

Защита состоится 2 июля 1993 года в 10.00 на заседании

специализированного совета К 056.02.04 в Белорусской

государственной политехнической академии / 220027, г. Минск, пр. Ф.Скорины, 65, главный корпус к.201

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белорусской государственной политехнической академии.

Автореферат разослан I июня 1993 года.

УЧЕНЫЙ СЕКРЕТАРЬ

доцент Г.Л.БЛХМАТ

Белорусская государственная политехническая академия, 1993

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современные концепции развития промышленности г-?*-•■, - гэвериенствования методов исследования, получения и оптимизации физико-механических свойств новых материалов. Тенденции снижения материалоемкости, цены, повышения прочности, надежности, износостойкости конструкций часто вступают в противоречие. Компромисные решения неоходимо принимать с учетом оптимизации результатов по тому, либо по другому критерию.

Важным направлением в получении новых физико-механических свойств является интенсификация обработки материалов с помощью ультразвука, волнами высокой частоты и т.д.

Новые требования к акустическим свойствам материалов 15 конструкций появляются в связи с требованиями эргономики и акустической экологии.

Успех решения этих задач во многом определяется уровнем теоретических и прикладных исследований теории распространения волн в структурно-неоднородных средах. Несмотря на интенсивное развитие этого направления, в.науке остается множество проблем, о чем свидетельствует число' публикаций по этой тематике.

Динамические уравнения случайно-неоднородной среды решаются с использованием аппарата теории случайных функций. Применение статистического подхода к решению динамических задач для структурно-неоднородных сред позволяет исследовать тонкие наблюдаемые эффекты. Решения динамических уравнений среды строятся в виде рядов* рассеяния, суммирование которых представляет большие математические трудности. Поэтому большинство задач решено в приближении однократного рассеяния, что налагает ограничения на величину флуктуаций неоднородности. Учет многократного рассеяния позволяет избавиться от этих ограничений, однако требует знания большего числа статистических мер случайно-неоднородной среды. Так как случайно-неоднородная среда является стохастическим фильтром, то решения находятся в зиде статистических мер. Поэтому большой интерес представляет азвитие теории эффективных операторов.

При рассмотрении волны как суперпозиции гармонических ясли ^обходимо решать дисперсионные уравнения, корни которых чон

воляют найти коэффициенты рассеяния, скорости и другие эффективные параметры. Необходимо развивать- методы решения дисперсионных уравнений, которые для случайно-неоднородных сред являются трансцендентными.

Цель и задачи работы .Целью работы является алгоритмизация метода осреднения в сочетаний с методом последовательных приближений для решения динамических задач случайно-неоднородных сред. При исследовании-процессов распространения гармонических упругих волн в структурно-неоднородных средах требуется решить следующие вопросы.

1. Разработать алгоритм решения динамических задач методом последовательных приближений с последующим осреднением.

2. Исследовать тензорную алгебру, описывающую тензорную структуру статистически-изотропных однородных полей.

3. Разработать метод нахождения эффективных упругих постоянных, исследовать влияние разброса исходных'компонент.

Разработать алгоритм получения дисперсионных уравнений с учетом многократного рассеяния.

В направлении поставленной цели рассмотрено решение следующих задач:

- I) распространение в среднем гармонических волн в статистически-однородно изотропной среде с учетом многократного

о

рассеяния;

2) построение алгебры тензорных базисов,' описывающих статистически-однородные изотропные поля;

3) нахождение эффективных упругих модулей из условия равенства нулю средней поляризуемости.при наличии разброса от основных значений упругих модулей компонент;

4) получение дисперсионных уравнений для среды, описываемой экспоненциальной корреляционной функцией.

Научная новизна работы заключается в следующем:

разработан алгоритм метода последовательных приближений с послёдующим осреднением с учетбн многократного рассеяния волн;

предложены тензорные базисы, описывающие статистические однородные.изотропные поля и исследована алгебра ' тензорного базиса;

предложен метод нахождения эффективных упругих модулей,

произведен анализ влияния разброса исходных компонент;

получены дисперсионные уравнения для среды с экспоненциальной корреляционной функцией.

Достоверное Т ь научных положений работы обосновывается тем, что все результаты получены на основе точных динамических уравнений неоднородной среды. Методы перенормировки для учета многократного рассеяния достаточно надежно зарекомендовали себя в электродинамике неоднородных сред. Результаты, полученные при нахождении эффективных упругих ходулей,, показали хорошую корреляции с экспериментальными данными. В частных случаях полученные результаты совпадает с результатами метода самосогласованного поля. Полученные дисперсионные уравнения при переходе к коротко(длинно)волновому приближение совпадают с дисперсионными уравнениями, полученными другими Методами .

Практическая значимость работы.

Результаты работы могут быть использованы в организациях, занимающихся исследованиями воздействия волновых полей на структурно неоднородные материалы, вопросами, распространения в них упругих волн, проектированием композиционных материалов с заданными физико-механическими свойствами. Н а з а и и т у выносятся:

алгоритм метода последовательных приближений с последующим осреднением, учитывающего многократное рассеяние волн в случайно неоднородной трехмерной среде; .

методика нахождения спектра тензоров описывающих статистически однородные изотропные поля; .

метод нахождения эффективных упругих модулей композитных материалов с учетом разброса исходных компонент;

алгоритм получения„ дисперсионных уравнений для' сред с экспоненциальной корреляционной, функцией.

Апробация р а б о т ы. Основные положения диссертации докладывались на III Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости (Сыктывкар, 1989), XI Всесоюзной акустической конференции (Москва, 1990), Международной математической конференции посвященной 200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского (Минск,. 1992), II сессии Российского акустического общества (Москва. 1993), научно-технических конферен-

циях Белорусского политехнического института (Минск, 1989-1992).

Публикации. По теме диссертации опубликовано V печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов, и списка цитированной литературы. Работа 'содержит 80 страниц машинописного текста, в том числе 4 рисунка и приложение. Библиографический список включает 94 названия.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обоснование актуальности темы диссертации, сформулированы цель и назначение работы, дан обзор литературы. Рассмотрен значительный вклад отечественных и зарубежных ученых в решении теоретических и прикладных задач структурно неоднородных сред.

В первой главе рассматривается формализм, предложенный A.B. Чигаревым и Т.Д.Шермергором для решения динамических задач теории упругости неоднородных сред, представляющий собой метод последовательных приближений с последующим статистическим осреднением.

Метод осреднения заключается в том, что математическое ожидание решения дифференциального уравнения выражается через вероятностные характеристики усредненного уравнения. Нулевое приближение получается в случае, когда при нахождении решения используют математическое ожидание параметров дифференциальных уравнений.

В первом приближении используют размыкание на следующем шаге и среднее решение выражается через средние и корреляционные функции. Такой подход дает удовлетворительные результаты в случае слабонеоднородного поля, т.е. когда флуктуации малы. Для того, чтобы провести учет сильных флуктуаций, необходимо переходить к новым переменным,' которые являются малыми, в то время как не требуется малость флуктуаций.

Структурно-неоднородная среда- предполагается линейной и подчиняется обобщенному закону Гука

А и_.|(«)ВВ| = б tJ . CI.I)

где А ыкг(2) - тензор упругих коэффициентов структурно-неоднородной среды, е„е - тензор деформации, б и- тензор напряжения, 1 - радиус-вектор. Тензор деформации е„е связан с вектором перемещений и

Бк{ = (С1Б? и„), = (и„., ♦ и е ,«)/2 . (1.2)

Распространение волн описывается

( А'и«» и,.»), ; = ри'л. (1.3)

Р = Р (.2) - плотность среды.

Нестационарные процессы во времени можно представить в виде суперпозиции гармонических процессов с дискретным или непрерыв ним спектром. Предполагается, что полевые величины б и,£К(,и| имеют экспоненциальную временную зависимость в виде еграшЪ

(Л „«, и«.»), л ♦ РО)2 Ц| = 0 . (1.1)

Система уравнений (1.'4) представляет собой систему дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами. Общего метода решения таких систем уравнений нет. В уравнениях (1.4) Л , Р, Ш являются параметрами. Л , Я характеризуют пространственную зависимость, (а) - связана с длиной волн. Значительно развиты методы приближенных решений уравнений (1.'(), использующих представление искомого решения в виде асимптотического- ряда по степеням параметра Ы (коротковолновое приближение ) и степеням 10 1 ( длинноволновое приближение) . Этот метод не дает значительных результатов в случае, когда длина волны соизмерима с масштабом измёне-ния однородности.

При статистическом подходе предполагают, что А(2), Р(2) -случайные величины. При этом предположении А(2), Р(2) представляют собой случайные поля и для их описания используется аппарат теории случайных полей .

Решение (1.'\) ТГ(2) также Представляет собой случайную функцию и его описание дается через вероятностные характеристики. Основные используемые вероятностные характеристики - это моменты низших порядков: математическое ожидание и корреляционная функция.

Материальные коэффициенты Л, Р, и, следовательно, их вероятностные характеристики являются структурно-чувствительны-ыи, поэтому, используя различные интегральные характеристики, можно единообразно моделировать среду от периодической до полностью разупорядоченной. Не имеется принципиальных сложностей при переходе от среды с непрерывными материальными коэффициентами к среде с дискретными.

Для нахождения решения...-(1.1) методом последовательных приближений необходимо знать материальные величины Л *, Р * среды сравнения. Решением (1.4) в нулевом приближении будет И* - волна в среде сравнения с постоянными А , Р . Следовательно. в нулевом приближении динамические эффекты и дисперсия не описываются.

'Для учета затухания и дисперсии среднего поля в неоднородной среде примем, что А * и Р - динамические эффективные модули и плотность.

А ,р вводятся соотношениями

<б> = <ле> = Л"<е> , <ри> = РМГ> . (1.5)

Необходимо отметить, что эффективные величины А *, р* заменяются эффективными операторами А , Р*.

Осреднение уравнения (1.4) с учетом (1.5) дает:

(Аи.1<ив>-. »). Л * ш2 Р* <11 р = О , (Г.6)

где Л", Р* являются эффективными операторами .

В корреляционном приближении эффективный упругий оператор Л" имеет вид •

Л*<е> = <а> - $С,*Г(КА <л>А*)с1г , (I.?)

К * = <Л(Т) А (?<)>, С" ,- функция Грина среды сравнения Первое слагаемое < А > представляет собой статическую часть эффективного упругого' оператора, так как в этой части нет учета динамических эффектов. Вторая часть (1.7) является динамической составляющей эффективного упругого оператора.

Для учета больших флуктуаций среды проводится перенормировка ряда рассеяния и вводится эффективный оператор упругой поляризуемости среды. Связь.между аффективными операторами

г#= < Ь ГЛ'Г'Л' • (1.8)

• - а -

Более важно выражение эффективного упругого оператора через эффективный оператор упругой поляризуемости.

Обращение операторного соотношения (1.81) имеет вид:

Л*= А * + Г M - »TV1* А" ♦ 2 r"<-»TV .(1.9)

Таким образом,' для нахождения эффективного упругого оператора необходимо знать тензор упругих модулей среды сравнения А и резольвентный оператор для F .Нахождение резольвентного оператора связано с суммированием операторного ряда (1.9). Важно отметить,что в Г* содержится информация о моментах А ' всех порядков. При суммировании ряда (1.9) сталкиваются с обычным недостатком информации о виде моментов для П> 3 и ограничиваются корреляционным приближением. Однако, несмотря на корреляционное приближение, производится учет многократного взаимодействия в силу (1.8).

При определении средних полей решение ТГ ищется в виде разложения по плоским волнам вида Bip (lf$V:

t* = £ а„ (Кп) в,Bf . (i.ю)

Волновые числа Кп в (1.10) являются корнями дисперсионного уравнения :

IIKj Aijki(K) К» - P*(ït) 10 2 <8 u II = 0 . (I.II)

Здесь Л*(Й), Я "(К) - спектры эффективных операторов

Корни уравнения (Il II) в общем случае комплексные и для неограниченной среды имееют вид

Kn(ui> = aétn>(u>) + 13

Действительная часть корня 5 <n>(U)) характеризует затухание, групповая скорость соответствующей волны вычисляется по формуле:

с« = ( d36.<n>/du) ) 1 , (i. 12)

фазовая скорость равна

, с: - w/ae<n' . <i.i3)

Решение дисперсионных уравнений представляет математические сложности, т.к. это обычно получается система трансцендентных уравнений на поле комплексных чисел.

При решении динамических задач теории упругости неоднородных сред приходится иметь дело с тензорами специального вида, зависящими от кронекеровских дельт и единичного вектора При стастистическом подходе к решению задач такого типа обычно рассматриваются статистически однородные изотропные тензорные поля. Исходя из физических предположений задачи, на тензоры, описывающие данные поля, налагаются следующие условия симметрии : симметричность первой и второй пар индексов и часто симметричность перестановки первой и второй пар индексов.

' В последнем параграфе первой главы предлагается подход, к описанию статистически однородных изотропных тензорных полей, использующий разложение по тензорному Оазису.

Во второй главе предлагается метод нахождения эффективных упругих модулей из условия того., что упругая поляризуемость в среднем равна нулю.

В композиционных материалах, упрочненных наполнителем, должно учитываться наличие переходного свойства, отличного от свойств матрицы и включения . Разброс около основных значений компонент!;.может быть следствием несовершенства технологии. Проводится учет влияния разброса значений относительно основных значений.для бинарного композита.

Рассмотрим общий случай, когда разброс значений компонент подчиняется битреугольному распределению.

К,. Д 1 ; (I = 1,2) - основные значения объемных н сдвиговых модулей компонент. Если уравнения для обюмных и сдвиговых модулей имеют одинаковый вид, то иод Л 1 Оудем понимать К | и Л |

Положим, ч1<1 плотности распределения К и Д имеют вид

-(Л - Л,,.

В а* Б 12 (Б ц * С 1г)£ ¡л

для ле[л г(1*(-1>'-1)е 1,|/2,л.|+(1+(-1)^е а/г\

О для остальных Л (1.Ю

А = К,.Ц ; А 1 = К1,Д 1; А 2 = Кг.Д 2 соответственно, 1,}=1,2 С1, С 2 - концентрации компонентов, т. е. С1 + С2 = I ^ ( А ) - распределение упругих модулей.

Условия равенства нулю средней упругой поляризуемости примет вид

< А '(I + 1 А А ')_1> = О , А ' = А - А о,

или с учетом того, что плотности распределения заданы,

<Ь Л А '|(А)(1 ♦ 1<А У А ' = 0 . (1.15)

- оо

Обозначив Ко * = К | - Ко, и вычисляя (1.15) явно получаются уравнения:

Ао1- в ц А01* е 12

£ £ с 1 I Ао1-е 11

Б ц+ Б 12 1_ Е И 1+612 2 С2

\о1 J Б 2 1+ Б 2 2

А01 6

12

г, Ао 1+2 12 I 2 С 2 Ао2"Б 21 П Ао2- б 21

^ —а- * "Г-— —- ^ —д- *

п01 J ь 21+Ь 22 I ь 21 »»О2

Ао 1+ Б 22 р А01+Б22 I (1.16)

], Ао1=

8 гг Ао2 J . Ао|= А 1- А о+1/■

1 (к> = 2(К0 + 2Д о) /((Ко + о /3)5П о)

£с>д } = I /(Ко + о /3)

для нахождения объемного Ко и сдвигового Д о модулей эффективной среды. Здесь опущены индексы А ,так как все величины А, 8 зависят от А = К,Д . Система (1.16)- нелинейная, которую точно, исключая специальные случаи, решить не удается, поэтому для ее решения использовались численные методы. Проведены вычисления эффективных упругих модулей для частично кристаллизованного полимерного материала, пористого полимерного материала и др.

В третьей главе рассматривается распространение гармонических волн в полностью разупорядоченной среде с экспоненциальной корреляционной функцией.

. . Структурно-разупорядоченная среда характеризуется слабой

коррелированностыо значений материальных коэффициентов. Корреляционные функции, описывающие такую среду имеют вид

ЧЧгьНи.а) (1.1?)

где 0 - радиус корреляций.

Фактически, любая апроксимация <3 - функции Дирака представляет собой корреляционную функцию структурно-разупоря-доченной среды.

Корреляционная функция

Ч» (г)=ир(-г/а) (1.18)

хорошо подходит для описания поликристаллической среды где О по порядку-величины совпадает со средним радиусом квазисферических зерен.

В качестве среды сравнения выбирается однородная изотропная детерминированная среда с параметрами А, Р . Эффективные материальные коэффициенты выбираются из условия центрированности упругой поляризуемости среды.

При Нахождении спектра эффективного оператора упругой поляризуемости Г* возникает проблема выражения в элементарных функциях.интегралов вида

■■15«в"оьаФп(г)г"",Чг (1.19)

Разработана аналитическая процедура выражения интегралов такого типа в виде рациональной функции от ОС *и (Ш^ЗП/ОО.

При нахождении резольвентного оператора для Г предлагается перейти к специальнону тензорному базису в котором возможно поучать обратше тензоры.

Предлагается использовать тензорный базис, для которого базисная матрица Ймет простой вид

!♦♦(?,I) = Т**<2,2) = V Т«(з,з) = Т3 ;

Т«;<з,5) =1' = Г Т*»(1,б) = Т6 (1.20)

= I* Т««(5,6) = I* Т«1(6,3) = Т6

т«(б,5)Мч, = т' т\

■ '■■ ■■■■■ - - ■■■ :.;■ : ! - 12 - .

отсутствующие элементы матрицы Т^ равны нулю.

Если тензор Б имеет компоненты [ Л» ], где 1=1,...,6 , то

после преобразований компоненты Б 1 = [д {]

£ 1 = £ 11 ¿2 = ¿2 * ¿з = ЛнА

Лч = йз А ■ ¿5 = -¿5 А . = -Лз А (1.21)

А/ 2 2 2 = (¿3 ¿4 - ¿Б)/(£Э Лн - 2 ¿3 4ч ¿5 ¿6 + ¿5 ¿б)

С использованием (2.21) находится резольвентный оператор для

г*.

Дисперсионные уравнения получены для случая сильной изотропии эффективного оператора упругой поляризуемости, что налагает ограничения в виде четырех дополнительных уравнений к дисперсионному. Однако общность предлагаемого аналитического алгоритма не ограничивается.

ВЫВОДЫ

1. Предлагаемый аналитический алгоритм решения динамических задач теории упругости позволяет выявить основные наблюдаемые эффекты, обусловленные интегральными параметрами структуры: фильтрацию волн, их затухание, дисперсию скоростей.

2. Введение тензорных базисов значительно упрощает механизм аналитических исследований динамики случайно-неоднородных сред.

3. Введение тензора упругой поляризуемости является полезным как с математической точки зрения( разложение по параметру X позволяет учитывать большие флуктуации упругих модулей ), так и с механической точки зрения( используя предположение о равенстве нулю средней упругой поляризуемости, получаем физи-. чески обоснованный метод нахождения эффективных упругих модулей).

Ц. Учет разброса упругих модулей от основных значений дает возможность находить эффективные величины при наличие переходных слоев, наличии технологического несовершенства,при получении композиционных материалов, наличии пористостости и т.д. Вид распределения разброса задает структуру переходных свойств от одного компонента к другому.

5. Получение дисперсионных уравнений требует значительных объемов аналитических преобразований. Предлагаемый метод получения дисперсионных уравнений позволяет автоматизировать этот процесс для любого вида симметрии полностью разупоряузоченной среды с экспоненциальной корреляционной функцией.

6. Условия сильной изотропии статистически - однородных полей приводит к системе дисперсионных уравнений, что ведет к появлению дополнительных фильтрирующих свойств случайно-неодно-роднородных сред.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

1. Петкун С.Э., Чигарев А.В.,Чигарев Ю.В. Нелинейные свойства пористых композитных материалов //Тезисы доклада на

III

Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости в Сыктывкаре, ( 12-14 сентября 1989 г. ) . •: Сыктывкар, 1989, с.149-151.

2. Петкун С.Э., Чигарев A.B. Упругие свойства композиционных материалов.//Весц1 АН БССР. Сер. ф1з.-фэх. навук., 1990, N43, с.48-50.

3. Чигарев A.B., Петкун С.Э. Последовательная идентификация и диагностика динамических параметрических систем.//Тезисы доклада на 47-й научно-технической конференции, посвященной 70-летию Белорусского политехнического института,-Мн.: БГПА, 1992.- 4.1.. с.83.

4. Петкун С.Э. Тензорные базисы в координатном и волновом пространствах и их применение в теории распространения волн.//Тезисы доклада на Международной математической конференции, посвященной 200-летию со дня рождения Н. И. Лобачевского ( 4-8 декабря 1992 г.).:Мн. БГУ, 1993. - 4.2., с.100.

5. Петкун С.Э., Троян Г.М. Вывод дисперсионных уравнений в теории распространения волн в случайно-неоднородных средах. //Тезисы доклада на Международной математической конференции, посвященной 200-летию со дня рождения И.И. Лобачевского (4-8 декабря 1992 г.).:Мн. БГУ, 1393 - Ч.2.,с.101.

6. Чигарев A.B., Петкун С.Э. Метод рандомизации в теории рас-

пространения волн в неоднородных средах.//Тезисы доклада на XI Всесоюзной акустической конференции в Москве ( июнь, 1991).//Деп. в ЦНТИ РУМБ, 1993, ДР-3422/4.

V. Петкун С.Э., Троян Г.М. .Чигарев A.B. Зондирование структурной неоднородности атмосферы по.рассеянию и дисперсии скорости акустических волн. //■ Тр. II сессии РАО. Акустический мониторинг сред. :М., 1993, с.68-70.

Подписано к печати 25.05.1993 Объем л.

Тираж 100 экз. Бесплатно. Заказ ¿£3 Отпечатано на ротапринте БГУ