Динамика формирования и взаимодействия пространственных солитонов в средах с квадратичной нелинейностью тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

ФОРМИРОВАНИЯ ИВЗАИМО^ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СОЛИТОНОВ В СРЕДАХ С КВАДРАТИЧНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

(01.04.03 - радиофизика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Физический факультет

На правах рукописи УДК 621.372; 621.373

Чупраков Дмитрий Арефь«

ДИНАМИКА ^

Москва - 2004

Работа выполнена на кафедре радиофизики физического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

Доктор физико-математических наук, профессор А. П. Сухорукое

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор А. С. Бирюков

Кандидат физико-математических наук, доцент Б. И. Манцызов

Ведущая организация:

Институт математического моделирования РАН

Защита диссертации состоится « &ej » VUCOUf.2004 года в 15.00 часов на заседании Специализированного Совета Д.501.001.67 в МГУ им.М.В. Ломоносова по адресу: 119992. г.Москва, ГСП, Ленинские Горы, МГУ, физический факультет, ауд. Ууу.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан

2003 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета Д.501.001 кандидат физико-математических нау:

727&КГ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В семействе оптических солитонов особое место принадлежит параметрическим солитонам в средах с квадратичной нелинейностью. Их существование было теоретически предсказано в 1974 году [1], но эпоха их активных исследований наступила после первых экспериментов по захвату квадратичных пространственных солитонов в кристаллах КТР в 1995 г. [2]. Такие солитоны в вырожденном случае состоят из двух пучков на основной и удвоенной частотах. Они могут возбуждаться в режимах генерации второй гармоники и параметрического усиления. По сравнению с керровской средой параметрические солитоны обладают низким порогом, высокой устойчивостью в многомерном случае, способностью излучать избыточную энергию при взаимодействии и захвате пучков. Поэтому они обладают большими возможностями для переключения пучков чисто оптическими методами. Разнообразные свойства параметрических солитонов изучаются теоретически и экспериментально в десятках лабораторий мира, в том числе на физическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова.

Параметрически связанные волны обладают модуляционной неустойчивостью, с помощью которой можно возбуждать солитонные антенны — поперечные периодические структуры, или решетки. Меньший фон и большая контрастность наблюдаются в широких эллиптических пучках [3]. Нелинейная решетка постепенно разрушается под влиянием взаимофокусировки, дифракции и взаимодействия соседних субпучков. Поэтому необходимо определить область всех параметров пучка и среды, необходимых для генерации качественных параметрических решеток.

Взаимодействие солитонов, зависящее от соотношения амплитуд и фаз, используется для переключения пучков в виде их слияния, рассеяния и закручивания в спираль. При описании этих процессов весьма плодотворной оказалась модель эффективных частиц. В упрощенной модели двухцветный солитон представлялся как одна

БИБЛИОТЕКА |

С.Пе1<я

о»

солитон состоит из двух компонент и в общем случае его надо описывать двумя связанными частицами, расстояние между которыми, может меняться. Сближение солитонных пучков-частиц сопровождается излучением. Поперечному смещению и несоосности пучков в солитоне отвечают асимметричные моды, которые изучены в меньшей степени, чем симметричные моды [6].

Для решения перечисленных выше задач используются методы численного моделирования и ряд аналитических подходов с применением точных и асимптотических решений, вариационного метода, метода возмущений, метода моментов и т.д.

Цель работы.

Целью настоящей диссертационной работы является разработка аналитической теории и проведение численного моделирования синхронного параметрического взаимодействия волновых пучков первой и второй гармоник, когда дифракция компенсируется самофокусировкой на квадратичной нелинейности, и образуются пространственные структуры и солитоны. В диссертации рассматриваются три круга вопросов: формирование одномерных периодических нелинейных решеток, возбуждение асимметричных мод параметрического солитона, а также динамика взаимодействия и переключения солитонов. В соответствие с поставленной целью было намечено решение следующих практически важных задач:

-Определение областей формирования и устойчивости периодической квазиодномерной оптической решетки вследствие модуляционной неустойчивости эллиптических пучков первой и второй гармоник.

- Изучение динамики захвата несоосных пучков первой и второй гармоник в солитои, развитие теории асимметричных мод квадратичного солитона, оценка параметров переключения солитона в приближении малого искажения профиля.

-Построение теории взаимодействия параметрических солитонов как эффективных квазичастиц с учетом векторного рассинхронизма наклонных пучков и относительного' смещения пучков разных частот.

Научная новизна работы заключается в следующем:

-Найдены области параметров (амплитуда пучка, пространственная частота поперечной модуляции, расстройка волновых векторов), при которых вследствие модуляционной неустойчивости эллиптических пучков образуется периодическая структура, существующая в ограниченной области квадратично-нелинейной среды.

-Разработана теория асимметричных мод низшего порядка на основе метода возмущения и модели связанных диэлектрических волноводов,-имитирующих свойства солитона. Получено хорошее согласие спектров мод, рассчитанных по двум моделям.

- Для описания динамики взаимодействия и определения координат и угла наклона солитона после захвата несоосных пучков первой и второй гармоник предложена диссипативная модель эффективных квазичастиц.

-Впервые обнаружено частичное расщепление параметрического солитона при их сильных столкновениях. Построена последовательная модель квазичастиц для аналитического описания непланарного взаимодействия квадратичных солитонов с учетом векторной фазовой расстройки у наклонных пучков и относительного смещения пучков в солитоне.

Научная и практическая значимость работы.

- Поперечная модуляционная неустойчивость двумерного эллиптического пучка в среде с квадратичной нелинейностью может использоваться для формирования регулярной периодической структуры из близко расположенных пучков. Солитонную антенну можно использовать в многоканальных системах интегральной и волоконной оптики.

-Отклонение несоосных пучков основной частоты и второй гармоники при их захвате в солитон является одним из методов переключения. Анализ спектра мод позволяет определить изменение параметров солитона под влиянием того или иного возмущения его профиля.

- Модель связанных диэлектрических волноводов, копирующих свойства параметрического солитона, хорошо описывает возбуждение симметричных и

асимметричных мод при малых возмущениях амплитудного и фазового профилей пучков.

-Модель солитонов в виде параметрически связанных квазичастиц с хорошей точностью описывает спиральное закручивание, рассеяние, и слияние пучков, а также разделение пучков двух гармоник внутри солитона. Эффекты взаимодействия могут применяться для чисто оптического переключения световых пучков.

Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались на VI, VII и VIII Всероссийских школах-семинарах "Волновые явления в неоднородных средах" (Красновидово, 1998, 2000, 2002 гг.), VII и VIII Всероссийских школах-семинарах "Физика и применение микроволн" (Красновидово, 1999, 2001 гг.), V и VI Международных школах по хаотическим колебаниям и образованию структур «Хаос'98» (Саратов, 1998 г.) и «Хаос 2001» (Саратов, 2001 г.), Международной конференции студентов и аспирантов "Ломоносов - 99" (Москва, 1999 г.), Международной конференции «Нелинейные направленные волны и их применения» (Дижон, Франция, 1999 г.), Международной конференции «Перспективные лазерные технологии» (Потенца-Лече, Италия,

1999 г.), научной школе Института перспективных исследований НАТО "Фотоника управляемых солитонов" (Свиноустье, Польша, 2000 г.), IX и X международных конференций "Оптика лазеров" (Санкт-Петербург, 1998 и

2000 гг.), Международном конгрессе "Оптика-XXI Век" (Санкт-Петербург, 2000 г.), Международном оптическом конгрессе "Фундаментальные проблемы оптики» (Санкт-Петербург, 2000 г.), II Международной конференции "Фундаментальные проблемы в физике" (Саратов, 2000 г.), II Международной конференции «Современные направления в вычислительной физике» (Дубна, 2000 г.), XVII Международной конференции по квантовой электронике и применениям лазеров (Москва, 2002 г.).

Материал диссертации докладывался и обсуждался на семинарах кафедры радиофизики физического факультета МГУ.

Публикации.

Основные результаты диссертации изложены в 26 опубликованных работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка цитируемой литературы, включающего 169 наименований. Общий объем работы составляет 127 страниц, включающих 39 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор выбранных направлений исследований, обосновывается актуальность избранной темы, излагается общая постановка задач и описывается структура диссертации.

В первой главе диссертации рассматривается модуляционная неустойчивость эллиптических пучков в объемной квадратично-нелинейной среде и формирование периодической квазиодномерной решетки пространственных солитонов. Глава состоит из 4 параграфов.

В первом параграфе сначала приводится система нелинейных уравнений Шредингера (НУШ) для огибающих волновых пучков 1-ой и 2-ой гармоник А} 0=1,2), распространяющихся в квадратично-нелинейной среде, следующего вида:

где z - продольная координата; Д± - поперечный оператор Лапласа, £>,= //(4/,), £>з= (1/2)^1 - коэффициенты дифракции, / - характерный продольный масштаб, -дифракционная длина пучка основного излучения, a1-ero ширина; -коэффициент нелинейного взаимодействия, расстройка волновых векторов. Приведены инварианты данной системы уравнений и представлены методы численного моделирования.

Далее излагается теория модуляционной неустойчивости плоских волн первой и второй гармоник в квадратично-нелинейной среде. Представлена зависимость инкремента от пространственной частоты возмущения и амплитуды основной волны. С помощью этих данных выполнена оценка параметров среды и излучения, при которых образуется контрастная периодическая структура.

Во втором параграфе описывается схема скрещенных эллиптических пучков основной частоты, которая используется для генерации оптической решетки с заданной пространственной частотой. Слабый пучок создает затравочную амплитудно-фазовую решетку, причем ее период зависит от угла между падающими пучками. Излагается постановка задачи и особенности реализации численного моделирования.

В третьем параграфе численно исследуется динамика формирования оптической квазиодномерной решетки в среде с параметрами кристалла КТР и длиной 41л при разной частоте начальной модуляции пучка и разной

амплитуде (рис. 1), где ¡¿=к\а2[2 - дифракционная длина пучка, а - ширина

эллиптического пучка вдоль малой оси. Для количественного анализа оптической структуры на выходе из нелинейной среды используется функция

видности Г = (|лр1|2 +|л,2|2-2|л/)/ф4,1|2 +|л;>2|2+2|л(,|2),где Ар1, Ар1, Ал

значения амплитуды пучка первой гармоники в двух соседних максимумах и минимуме между ними соответственно. Измеренная для разных частот модуляции функция видности решетки V сравнивается с поведением инкремента модуляционной неустойчивости плоских волн в, рассчитанного по амплитуде пучков на разных длинах (рис. 2).

В четвертом параграфе определяется диапазон параметров (пространственных частот модуляции, амплитуд входного пучка и расстройки волновых векторов), при которых формируется регулярная периодическая решетка субпучков первой и второй гармоник. Границы области определяются по уровню видности, равному 1/2. Показано, что наблюдающееся постепенное искажение нелинейной решетки при распространении волн на дальние

расстояния порядка 201й, обусловлено неоднородностью исходного профиля пучка, дифракцией, взаимофокусировкой и нелинейными аберрациями.

Во второй главе диссертации изучается динамика захвата пучков первой и второй гармоник в пространственный солитон при наложении несимметричных амплитудно-фазовых возмущений. Асимметричные возмущения возникают, в частности, в несоосных пучках. Изменение положения и наклона захваченных пучков обусловлено возбуждением собственных асимметричных мод солитона. Для описания этих эффектов в главе разработаны модели пучков-квазичастиц и двухкомпонентного прямоугольного диэлектрического волновода. Глава состоит из 6 параграфов.

В первом параграфе в приближении стационарных профилей и плоского фазового фронта пучков строится консервативная модель эффективных квазичастиц, описывающая взаимные колебания «центров масс» несоосных пучков первой и второй гармоник. При этом «масса» пучка пропорциональна его мощности а коэффициент упругости выражается через

интеграл перекрытия его огибающих.

Во втором параграфе для описания сильного затухания осцилляции «центров масс» пучков предлагается феноменологическая модель диссипативных эффективных частиц. Она строится на применении следующих уравнений к описанию динамики центров пучков первой и второй гармоник:

Коэффициенты затухания. и упругого взаимодействия у определяются

численно и зависят от мощности солитона и фазовой расстройки в среде. Их значения найдены для широкой области фазовых расстроек и выбранной мощности солитона. Коэффициенты диссипативной модели сравниваются с

расчетом коэффициентов упругости в теории консервативных

пучков-частиц. Приведены формулы для поперечного смещения и угла наклона захваченных пучков-квазичастиц, устанавливаемые после релаксации взаимных колебаний.

В третьем параграфе представлены результаты численного моделирования динамики взаимодействия несоосньгх пучков двух гармоник при рассогласовании амплитуд и фаз. Результаты расчетов со скрещенными и смещенными пучками сравниваются с данными, полученными по модели квазичастиц. Обсуждается влияние величины начального смещения на период пространственных осцилляции пучков, исследуется характер излучения такой системы, а также поведение захваченной мощности, гамильтониана и полного поперечного момента, захваченного пучками. Переключение направления распространения захваченного солитона осуществляется регулировкой амплитуды и относительной фазы смещенных пучков. При этом плавное изменение амплитуды первой гармоники приводит к постепенному переключению направления солитона. Напротив, сложное и немонотонное переключение возникает при варьировании относительной фазы

смещенных пучков. Найдено, что вблизи значения происходит

резкое переключение между двумя солитонами, идущими в противоположных направлениях под большими углами.

В четвертом параграфе рассматривается модель двухкомпонентного прямоугольного диэлектрического волновода с ширинами и показателями преломления, эквивалентными соответствующим параметрам солитона. Показано, что при согласованном изменении параметров диэлектрического волновода, имитирующем сжатие или уширение солитона, число мод остается фиксированным. Это наглядно объясняет отсутствие роста числа внутренних мод высшего порядка в солитоне, что также согласуется с известным характером распространения квадратичного солитона [6].

В пятом параграфе непосредственным решением системы уравнений для малых возмущений и амплитудно-фазового профиля пучков двух гармоник:

Щ дг

ви,

дгиг

дх

дг

дх1

где - огибающая и нелинейный сдвиг волнового числа, находятся

собственные симметричные и асимметричные моды квадратичного солитона. Некоторые симметричные моды известны и хорошо изучены [6]. В настоящей работе особое внимание уделяется асимметричным решениям задачи (3), среди которых:

гм дв, ' дх

(4)

- трансляционная мода, приводящая к смещению солитона по поперечной координате на малую величину (см. рис. 3, слева), и

дВ

(5)

- угловая мода, характеризующая малый наклон плоского фазового фронта солитона на величину (см. рис. 3, справа). Приведенный набор

симметричных и асимметричных мод квадратичного солитона хорошо согласуется с рассчитанным выше полным спектром собственных мод эквивалентного прямоугольного диэлектрического волновода.

Наконец, в шестом параграфе численно изучается распространение асимметричного возмущения в солитоне. При задании амплитудного искажения пучка на основной частоте в виде 17,(дг) = 0.4дсВ1(х)ехр(1>1), где В,(х) огибающая пучка основной частоты, часть мощности излучается из волновода, а оставшаяся часть оказывается захваченной в солитоне. Это можно трактовать как возбуждение внутренних собственных мод в волноводе, образуемом солитоном. Причем, если амплитудное несимметричное возмущение

возбуждает стационарную асимметричную моду, то возмущение фазы напротив, возбуждает угловую моду, линейно растущую по амплитуде при распространении вдоль оси солитона (рис. 3, справа). Обе моды являются локализованными и не излучают. В конце параграфа выведены формулы для определения поперечных координат и угла наклона солитона. Показано, что полученные формулы сохраняют высокую точность до тех пор, пока амплитуда моды не становится сравнимой с амплитудой самого солитона.

Рис. 3. Распространение (слева) трансляционной моды и<л> и (справа) угловой моды и^ в параметрическом солитоне на расстояние 2 =

В третьей главе диссертации изучаются планарные и непланарные

взаимодействия двумерных пространственных квадратичных солитонов. В главе развит обобщенный подход к построению аналитической модели взаимодействия, основанный на анализе лагранжиана системы связанных уравнений для огибающих волновых пучков (1). Глава состоит из 4 параграфов.

В первом параграфе строится модель солитона как системы параметрически связанных квазичастиц для описания взаимодействия квадратичных солитонов. Амплитудные профили двух слабо перекрывающихся солитонов представляются в виде:

(6)

где Вм - огибающая пучка >ой гармоники т-го солитона, хм и у1т координаты центров пучков гармоник солитонов в плоскости поперечных координат, - углы наклона пучков солитона к

оси z в плоскостях № и ^ соответственно, д - нелинейный сдвиг волнового числа солитона, Ф„ - начальные фазы солитонов.

В работе рассмотрены симметричные движения солитонов относительно центра координат для После подстановки (6) в

Лагранжиан системы уравнений (1) получены следующие уравнения движения для центров пучков солитонов:

где т) = 2- эффективная масса пучи солитона; Р -мощность пучка;

потенциальная энергия

взаимодействия солитонов, которая в отличие от предыдущих работ содержит поперечную фазовую расстройку

вызванную относительным наклоном пучков и начальным рассогласованием

фаз, - коэффициент упругого взаимодействия

пучков внутри каждого солитона.

Во втором параграфе аналитически описаны движения солитонов по спирали и возникающее при этом расщепление параметрически связанных пучков. Из выводов теории солитонов - квазичастиц следует, что движение квадратичных солитонов по спирали является неустойчивым, что обусловлено

- 13 -

наличием локального максимума эффективной потенциальной энергии в точке равновесного значения диаметра спирали. Из уравнений движения" (7) получены параметры равновесного спирального вращения солитонов, а именно, угол наклона солитонов как функция расстояния между их центрами:

(8)

период спирали и сила взаимного притяжения в зависимости от расстояния между солитонами, оценка относительного смещения центров пучков в солитоне дается формулой:

В третьем параграфе представлены результаты численного моделирования двойной и тройной солитонной спирали в квадратично-нелинейной среде. На рис.4 показано вращение поперечных сечений двух параметрических солитонов по мере их распространения. Видно, что при повороте солитонной пары на угол расстояние между солитонами сохраняется. На больших пройденных расстояниях обнаружена неустойчивость движения по спирали, предсказанная теорией квазичастиц. Параметры тройной спирали (угол и диаметр) могут быть оценены из параметров двойной спирали с помощью принципа суперпозиции. Теоретическая оценка отличается от результата численного эксперимента лишь на 5%.

В четвертом параграфе обсуждаются результаты наблюдения относительного смещения пучков в солитоне при сильном взаимодействии. При детальном изучении взаимодействия параметрических солитонов на близких расстояниях впервые обнаружено, что центры пучков первой и второй гармоник слабо смещаются друг относительно друга. В модели квазичастиц параметрический солитон представляет собой систему из двух пучков-частиц с

потенциалом упругого взаимодействия U = . Когда сила

взаимодействия солитонов становится сравнимой с силой, удерживающей оба пучка вместе, пучки неодинаково смещаются. Этот эффект наблюдался при

-14-

слиянии, закручивании солитонов в спираль и рассеянии противофазных солитонов (рис. 5), где смещение способно достигать 1/3 ширины пучка. Построена зависимость величины смещения пучков от расстояния между центрами солитонов при столкновениях.

Рис 4. Последовательные положения поперечных сечений двух солитонов в процессе закручивания в спираль на расстояниях z = 0 (а ), 8 Ы ( б), 24 1а ( в ), 40 1Л (г)

Рис. 5 Траектории центров пучков первой (сплошная) и второй (пунктирная линия) гармоник при рассеянии противофазных солитонов под углом к1 а1 0 = 1 25.

В приложении описана разностная схема для численного решения уравнений распространения пучков первой и второй гармоник и методика численного моделирования, используемая в работе.

В заключении изложены основные выводы диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Определены области формирования квазиодномерной оптической решетки с заданной пространственной частотой из эллиптических пучков. Показано, что эта область соответствует модуляционной неустойчивости плоских волн.

2. Прослежена динамика разрушения периодической решетки, вызванного неоднородностью исходного амплитудного профиля, дифракцией и

взаимофокусировкой пучков. Рассчитаны расстояния, на которых функция видности решетки уменьшается в два раза.

3. С помощью предложенной диссипативной модели квазичастиц описываются траектории движения несоосных пучков первой и второй гармоник, определяются положение и наклон захваченных пучков. Численно получены зависимости направления распространения солитона от разности фаз и амплитуд пучков, демонстрирующие дополнительные возможности чисто-оптического переключения.

4. Найдены асимметричные моды низшего порядка солитона, характеризующие поперечное смещение и наклон оси. Спектры симметричных и асимметричных мод квадратичного солитона согласуются со спектрами собственных мод эквивалентного двухкомпонентного прямоугольного диэлектрического волновода.

5. Разработана обобщенная теория взаимодействия пространственных квадратичных солитонов как эффективных квазичастиц, в которой впервые учитываются поперечная фазовая расстройка, вызванная наклоном пучков, а также относительное разъединение пучков разных частот. Выведены динамические уравнения трехмерного движения центров солитонов с потенциалом взаимодействия в виде интеграла перекрытия огибающих пучков.

6. Исследовано движение солитонов по спирали, найдены параметры спиральных траекторий, выявлена неустойчивость такого движения. Впервые отмечено и изучено расщепление параметрических солитонов при их сильном спиральном закручивании, слиянии и рассеянии.

ЛИТЕРАТУРА

1.Ю.Н. Карамзин, А.П. Сухорукое «Нелинейное взаимодействие дифрагирующих световых пучков в среде с квадратичной нелинейностью; взаимофокусировка пучков и ограничение эффективности оптических преобразователей частоты» // Письма в ЖЭТФ. Т. 20. с. 734-739 (1974).

2. W.E. Torruellas, Z.Wang, D.J.Hagan, E.W. Van Stryland, G.I. Stegeman, L. Torner, C.R. Menyuk «Observation of Two-Dimensional Spatial Solitary Waves in a Quadratic Medium» // Phys. Rev. Lett. V. 64. pp. 5036-5039 (1995).

3. R.A. Fuerst, D.M. Baboiu, B.L. Lawrence, W.E. Torruellas, G.I. Stegeman, S. Trillo, S. Wabnitz «Spatial Modulational Instability and Multisolitonlike Generation in a Quadratically Nonlinear Optical Medium» // Phys. Rev. Lett. V. 78. pp. 2756-2759 (1997).

4. A.V. Buryak, V.V. Steblina «Soliton collisions in bulk quadratic media: comprehensive analytical and numerical study» // J. Opt. Soc. Am. B. V. 16. pp. 245-255 (1999).

5. C. Simos, V. Couderc, A. Barthelemy, A.V. Buryak «Phase-dependent interactions between three-wave spatial solitons in bulk quadratic media» // J. Opt. Soc. Am. B. V. 20. pp. 2133-2141 (2003).

6. N.N. Rosanov, P.I. Krepostnov, V.O. Popov «Damping of persistent oscillations of quadratic optical solitons» // Chaos. V. 13 (791). pp. 791-799 (2003).

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. С. Лу, А.П. Сухоруков, ДА Чупраков «Спиральное вращение пространственных солитонов в квадратично-нелинейной среде» // Изв. РАН Сер. Физ. Т. 62. № 12. с. 2319-2326 (1998).

2. D.A Chuprakov, X. Lu, and A.P. Sukhorukov «Shifted beam interaction for quadratic soliton control» // In: A.D. Boardman, A.P. Sukhorukov (eds.), Soliton-driven Photonics. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, pp. 347-350 (2001).

3. Д.А. Чупраков, А.П. Сухоруков «Динамика захвата несогласованных пучков первой и второй гармоник в квадратичный солитон» // Изв. РАН Сер. Физ. Т. 65. с. 1730-1734 (2001).

4. А.П. Сухоруков, Д.А. Чупраков «Симметричные и асимметричные моды пространственного квадратичного солитона» // Изв. РАН. Сер. Физ. Т. 66. с. 1798-1802(2002).

5. D.A Chuprakov, A.A. Kalinovich, A.P. Sukhorukov, I.G. Zakharova «Effective Numerical Methods for Simulating (2+1) D Three Wave Mixing» // J. Сотр. Methods. Sc. Eng. V. 2. № ls-2s. pp. 51-56 (2002).

6. А.П. Сухоруков, Д.А. Чупраков «Генерация квазиодномерной оптической решетки в квадратично-нелинейной среде скрещенными пучками основной частоты» // http://jre.cplire.ru. Журнал Радиоэлектроники. № 11 (2003).

7. ЛуС., Сухоруков А.П., Чупраков ДА. «Спиральное вращение пространственных солитонов в квадратично-нелинейной среде» // Труды VI Всероссийской школы-семинара «Физика и применение микроволн». Красновидово. Изд. Физфак МГУ. с. 28-30 (май 1998).

8. X. Lu, A. P. Sukhorukov, D.A. Chuprakov «Non-planar interactions of spatial quadratic solitons» // Proceedings of 5-th Int. school on chaotic oscillation and pattern formation «CHAOS'98». Saratov, Russia. P. 40 (October, 6-10 1998).

9. ДА Чупраков «Формирование и взаимодействие пространственных квадратичных солитонов на каскадной нелинейности» // Сборник тезисов Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-99». Секция «Физика». (1999).

10. А.П. Сухорукое, С. Лу, А.А. Калитювич, А.К. Сухорукова, Д.А. Чупраков «Новые эффекты при возбуждении и взаимодействии пространственных квадратичных солитонов» // VII Всероссийская школа-семинар «Физика и применение микроволн». Красновидово. Изд. Физфак МГУ. Т. 1. С. 37 (2430 мая 1999).

11. С. Лу, А.П. Сухорукое, Д.А. Чупраков «Закручивание в спираль и рассеяние солитонов: теория частиц и эффект относительного смещения параметрически связанных пучков» // VII Всероссийская школа-семинар «Физика и применение микроволи». Красновидово. Изд. Физфак МГУ. Т. 1. с. 38-40 (24-30 мая 1999).

12. С. Лу, А.П. Сухорукое, Д.А. Чупраков «Формирование пространственных квадратичных солитонов в параметрическом усилителе» // Труды VII Всероссийской школы-семинара «Физика и применение микроволн». Красновидово. Изд. Физфак МГУ. Т. 1. с. 40-43 (24-30 мая 1999).

13. Anatoly P. Sukhorukov, Dmitry A. Chuprakov and Xin Lu «Quadratic soliton interactions in a bulk medium» // Proceedings of «Nonlinear Guided Waves and Their Applications». Dijon, France, pp. 97-99 (September, 1-3 1999).

14. A.P. Sukhorukov, X. Lu, D.A Chuprakov «All-optical switching by interaction of spatial quadratic solitons» // Proceedings of the International Conference «Advanced Laser Technologies. ALT-99». Potenza-Lecce, Italy. (September, 2024 1999).

15. С. Лу, А.П. Сухорукое, Д.А. Чупраков «Генерация пространственного квадратичного солитона из смещённых пучков основной частоты и второй гармоники» // Труды VII Всероссийской школы-семинара «Волновые явления в неоднородных средах». Красновидово. Изд. Физфак МГУ. Т. 1. с. 70-72 (22-27 мая 2000).

16. Anatoly P. Sukhorukov, Dmitry A. Chuprakov, and Xin Lu «Quadratic soliton self-trapping for mis-aligned fundamental and harmonic beams» // Proceedings ofX International Conference on Laser Optics. S-Petersburg, Russia. P. 65 (June, 26-30 2000).

17. Chuprakov D.A., Sukhorukov A.P., Zakharova I.G. «Modeling of optical soliton trapping in quadratic nonlinear medium» // Proc. ofII Int. Conf. «Modern Trends In Computational Physics». Dubna, Russia. P. 54 (July, 24-29 2000).

18. A.P. Sukhorukov, I.G. Zakharova, O.A.Egorov, E.G.Pavlova, A.G.Pimenov,

D.A. Chuprakov, G.G. Shapovalov «Quadratic spatial solitons: Problem of generation, stability and interactions» // Proc. of II Int. Conf. «The Fundamental Problems in Physics». Saratov, Russia. P. 179 (October, 9-14 2000).

19. A.P. Sukhorukov, I.G. Zakharova, OA Egorov, Yu.N. Karamzin, X. Lu,

E.G. Pavlova, A.G. Pimenov, A.K. Sukhorukova, DA Chuprakov «Fundamental problems of parametric spatial solitons physics» // Proc. of Int. Congress «OPTICS - XXI CENTURY». S-Petersburg, Russia. P. 13 (October, 16-20 2000).

20. D.A Chuprakov, A. P. Sukhorukov «All-optical switching on the base of quadratic soliton trapping» // Proc. of 2000 Annual Meeting OSA. ILS-XVI. Providence, USA. ThN4 (October 2000).

21. Сухорукое А.П., Захарова И.Г., Егоров О.А., Карамзин Ю.Н., Лу С., Павлова Е.Г., Пименов А.В., Сухорукова А.К., ЧупраковД.А. «Фундаментальные проблемы физики параметрических пространственных солитонов» // Труды Международного оптического конгресса «Фундаментальные проблемы оптики». Санкт-Петербург. С. 129 (17-19 октября 2000).

22. А.П. Сухорукое, Д.А. Чупраков «Динамика захвата несогласованных пучков первой и второй гармоник в квадратично-нелинейной среде» // Труды VIII Всероссийской школы-семинара «Физика и применение микроволн». Звенигород. Изд. Физфак МГУ. Т. 1. с. 80-81 (26-30 мая 2001).

23. D.A. Chuprakov, A.P. Sukhorukov «Growing asymmetric modes and switching of quadratic solitons» // Proc. of 6-th Int. School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation. Saratov, Russia. P. 22 (October, 2-7 2001).

24. Д.А. Чупраков «Захват несогласованных пучков первой и второй гармоник в квадратичный солитон» // Сборник трудов 2-ой Международной конференции молодых учёных и специалистов «Оптика 2001». С. 72 (2001).

25. А.П. Сухорукое, Д.А. Чупраков // Труды VIII Всероссийской школы-семинара «Волновые явления в неоднородных средах». Красновидово. Т. 1. с. 25-26 (2002).

26. D.A Chuprakov, A.P. Sukhorukov // Technical Digest of International Quantum Electronics Conference on Lasers, Applications, and Technologies. Moscow, Russia. P. 62 (June, 23 2002).

t--62C

РНБ Русский фонд

2004-4 26276

ООП Фю ф-т МГУ Зак 147-1GG-G3

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ГЕНЕРАЦИЯ КВАЗИОДНОМЕРНОЙ ОПТИЧЕСКОЙ

РЕШЕТКИ В КВАДРАТИЧНО-НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ.

1.1 Аналитическое описание модуляционной неустойчивости плоских волн первой и второй гармоник.

1.1.1 Трехчастотное, взаимодействие в средах с квадратичной нелинейностью.

1.1.2 Описание модуляционной неустойчивости плоских волн.

1.2 Численное моделирование возбуждения решетки скрещенными пучками основной частоты.

1.3 Динамика формирования решетки солитонов.

1.4 Области генерации периодической решетки. Квазисолитонная антенна в дальней зоне.

ГЛАВА 2. АСИММЕТРИЧНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ

ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СОЛИТОНА.

2.1 Описание взаимодействия несоосных пучков первой и второй гармоник. Модель пучков - квазичастиц.

2.2 Феноменологическая модель диссипативного взаимодействия эффективных частиц.

2.3 Численное изучение взаимодействит пучков первой и второй гармоник при рассогласовании осей, амплитуд и относительной фазы

2.4 Модель двухкомпонентного прямоугольного диэлектрического волновода.

Симметричные и асимметричные моды солитона.

Численное изучение распространения асимметричного возмущения. Расчет параметров переключения солитона.

ГЛАВА 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ

СОЛИТОНОВ.

3.1 Аналитическое описание взаимодействия параметрических солитонов. Теория эффективных частиц.

3.2 Оценка параметров солитонной спирали и частичного расщепления пучков в солитоне.

3.3 Численное моделирование закручивания солитонов в двойную и тройную спираль.

3.4 Наблюдение относительного смещения центров параметрически связанных пучков солитона при взаимодействии.

I , 1

Стремительный рост информационных технологий ставит задачу поиска многоканальных носителей информации и оптических переключателей, способных работать в условиях предельной компактности и огромной скорости. Это приводит к тому, что оптические солитоны и возбуждаемые периодические структуры относятся к объектам самых активных исследований в нелинейной оптике сегодня. Особое внимание здесь привлекают пространственные параметрические солитоны, распространяющиеся в средах с квадратичной нелинейностью. В отличие от одноцветных солитонов на кубичной нелинейности, квадратичные солитоны представляют собой три (в вырожденном случае два) параметрически связанных волновых пучка, частоты которых удовлетворяют условию трехволнового взаимодействия щ+со2=а>з [1-4]. Составные части параметрического солитона не обмениваются энергией и нелинейный отклик среды целиком идет на изменение фазовых скоростей, или показателей преломления в поле взаимодействующих волн. Взаимофокусировка пучков полностью компенсирует их дифракционное расплывание, и солитон представляет собой самоиндуцированный волновод с неизменным амплитудным профилем. При этом следует отметить, что волновые пучки могут иметь планарную (1+1) О или двумерную (2+1) О поперечную структуру. В силу пространственно-временной аналогии свойства пространственных солитонов переносятся на временные или пространственно-временные солитоны при учете линейной дисперсии 2-ого порядка.

Параметрически связанные пространственные солитоны были предсказаны около 30 лет назад [5]. Однако, не смотря на это, длительное время не было экспериментального подтверждения их существования. В центре внимания ученых и специалистов находились кубичные солитоны [614]. Исследования нелинейных свойств кубичных солитонов способствовали внедрению новых практических применений световых пучков. Среди них и оптическая передача информации на дальние и сверхдальние расстояния [7,10,12], и создание элементов чисто оптического переключения на основе пространственных солитонов [1,6,7,11,15-26] и др. Однако в керровских средах устойчивы к малым возмущениям только одномерные, (1 + 1)0, солитоны, солитоны в объемных керровских средах оказались принципиально неустойчивыми [27-30]. Только при ^участии более высоких порядков нелинейности можно было формировать такие пространственные солитоны [15,31-33].

С появлением первых экспериментальных наблюдений солитона на квадратичной нелинейности, опубликованных в 1995 г. [34,35], интерес многих исследователей переместился на квадратичные солитоны. Это связано с тем, что они имеют низкий порог возбуждения [36,37], и высокую стабильность в трехмерном пространстве и времени [38-51], устойчивость к малым пространственным искажениям профиля [52] и неоднородностям среды [5360]. Немаловажным фактором является многообразие природных кристаллов с квадратичной нелинейностью [1]. Хотя солитоны в квадратично-нелинейных средах имеют в общем случае трехчастотную структуру [46,49,50,61,62,63], в большинстве теоретических и экспериментальных работ рассматривались бицветные солитоны, состоящие из пучков первой и второй гармоник [2,4,35,40,41,43,51,52,55,64-78,79,82,85,101,104]. Условия возбуждения, точные решения для огибающих и области устойчивости квадратичных солитонов были найдены и детально изучены за последнее время [40,41,43,47-49,50,79-85]. Система уравнений для огибающих волновых пучков в квадратично-нелинейной' среде относится к классу неинтегрируемых систем, и это приводит к появлению новых эффектов, отсутствующих в классических моделях НУШ. Среди них - неупругое взаимодействие солитонов, всегда сопровождаемое излучением части мощности, эффект слияния нескольких солитонов в один и пр. Уникальный характер г взаимодействия квадратичных солитонов создает основу для чисто-оптического пространственного переключения световых пучков. Эпоха квадратичных солитонов знаменательна тем, что при изучении их свойств затрагивались не только планарные, но и трехмерные взаимодействия пространственных солитонов [1,16,17,19,21,23,25,41,86-100]. В определенном смысле можно говорить о траекториях, описываемых центрами поперечных сечений пучков. При этом оказывается полезным использовать аналогию с взаимодействием механических частиц, хотя в общем случае следует помнить, что при изменении положения солитонов в пространстве меняются и их фазы, что может оказать заметное влияние на их динамику. В зависимости от типа взаимодействия (притяжение или отталкивание) и начальных условий (расстояние между пучками, углы наклона осей) траектории могут иметь самый разнообразный вид [23,91,93,94,100]. Среди разных типов непланарных взаимодействий особый интерес представляет эффект закручивания пространственных солитонов в спираль: если два притягивающих друг друга солитона наклонены так, что их волновые вектора лежат в параллельных плоскостях и наклонены в разные стороны под определенным углом, то пучки I образуют структуру, напоминающую двойную спираль ДНК [17,87,90,91]. На кубичной нелинейности с насыщением [16,17,19], в фоторефрактивных кристаллах [87] и совсем недавно в квадратично-нелинейной среде [92,100] спиральное вращение пары солитонов наблюдалось экспериментально.

Аналитическое описание различных типов непланарных взаимодействий I пространственных солитонов приводилось в [6,23,90,93]. Напомним, что система уравнений для огибающих пучков не интегрируема и точно предсказать динамику их взаимодействия нельзя. Однако, адекватное описание движения солитонов в приближении слабого перекрытия огибающих возможно при помощи модели эффективных частиц [6,93]. Это позволяет пренебречь возмущением солитонных профилей в процессе взаимодействия и свести описание движения солитонов к движению их центров. Однако такая модель требует дополнения и обобщения. Так, например, не учитывалось влияние поперечной фазовой расстройки, вызванной относительным наклоном солитонов. Этот наклон снижает потенциал взаимодействия между солитонами, так что эффект особенно велик на малом расстоянии, когда наклон пучков значителен. Не учитывалась также внутренняя степень свободы у системы взаимодействующих солитонов засчет смещения пучков внутри каждого солитона. Резюмируя сказанное, ясно, что нужна более строгая модель, учитывающая векторную расстройку волновых векторов и расщепление связанных в солитоне пучков. Тем не менее, все эти научные исследования выдвинули параметрические солитоны на первый план. Их уникальные свойства создали новую основу для разработки и реализации чисто оптических методов переключения с использованием взаимодействия как одномерных, так и двумерных пучков.

Еще одним механизмом переключения пространственного солитона является асимметричное искажение его огибающей. Среди примеров такого искажения - взаимное смещение, ¡наклон пучков параметрического солитона. При этом следует ожидать ряда новых эффектов, приводящих к зависимости положения и направления распространения солитона от величины начального смещения и угла наклона пучков гармоник. Кроме того, возникновение относительной фазы между смещенными пучками должно приводить к появлению либо активной перекачки'энергии между пучками, либо смене знака взаимофокусировки между пучками. Все эти эффекты должны вызвать, вообще говоря, сдвиг и изменение направления распространения солитона. Возбуждение солитонов в названных случаях еще не было рассмотрено.

В волноводных системах принято рассматривать электромагнитное поле как суперпозицию собственных мод волновода. Для пространственного солитона такая аналогия была бы очень продуктивна, тем более, что попытки исследовать собственные моды солитона уже предпринимались [101]. В частности, была обнаружена и детально изучена внутренняя симметричная мода квадратичного солитона, возбуждающая долгоживущие пространственные осцилляции его профиля [102-104]. Амплитуда моды влияет на размах пространственных осцилляций пиковой амплитуды и ширины захваченных пучков. В общем случае, если известен набор собственных мод солитона, можно определить вклад его возмущения в возбуждение той или иной моды, и как следствие, рассчитать Изменение того или иного внутреннего параметра солитона.

Другой актуальной проблемой в физике нелинейных волн является модуляционная неустойчивость. Сильная нелинейность может приводить к распаду волны, как во времени [105-111], так и в пространстве [ 10,24,2830,106,109,110,111,112-140]. Результатом пространственной неустойчивости становится формирование разнообразных поперечных структур, в том числе периодически-регулярных [111,112,115,127,132,133]. Наиболее интересным и интенсивно изучаемым механизмом генерации таких структур на протяжении уже более 30 лет является модуляционная неустойчивость пучков, впервые обнаруженная Беспаловым и Талановым в середине 60-х годов [28]. Её суть в том, что малые пространственные возмущения поля плоской волны, I находящиеся в определенной ограниченной области спектра пространственных частот, усиливаются по мере распространения, и плоский фронт волны постепенно превращается в структуру маленьких субпучков. Если область неустойчивых пространственных частот достаточно узка, распадная структура имеет вид периодической решетки. Строго говоря, вид такой структуры определяется пространственным спектром начального возмущения, полем волны и параметрами среды [108,114,116,129,141].

Первые исследования, модуляционной неустойчивости проводились в кубично-нелинейных средах с керровской нелинейностью [28,29,107,142]. Из-за сильной самофокусировки (2+1) О пучка исследователи прибегали к разным механизмам, ослабляющим её, таким как поперечная фазовая [129,130,132,134,137,138,139] или поляризационная [143] модуляция пучка. Лишь сравнительно позднее такие структуры начали наблюдаться в фоторефрактивных [113,114,132] и квадратично-нелинейных [110,111,115117,119-125,127,128,131,133] средах. Поперечный распад нелинейных волн немало изучался теоретически в приближении малого возмущения плоских одномерных стационарных волн [106,135,141,144]. Каждая пространственная гармоника такого возмущения усиливается экспоненциально по амплитуде и решение линеаризованных уравнений относительно возмущения позволяет вывести соотношение между инкрементом неустойчивости, амплитудой плоской волны и периодом структуры [141]. Специальные исследования экспериментально [115] и численно [133] подтвердили экспоненциальный характер роста малого возмущения у широкого пучка в планарном волноводе. Аналогично системе (1+1) О волн, анализ модуляционной неустойчивости может быть проведен для системы (2+1) Б волн.

Для распада двумерного пучка на вход объемной квадратично-нелинейной среды обычно подается эллиптический пучок основной частоты, малая и большая оси которого выбираются таким образом, чтобы распад пучка при заданной интенсивности мог происходить лишь вдоль направления большой оси [115,121,125,127]. Для этого размер вдоль большой оси пучка должен в несколько раз превышать диаметр солитона для заданной интенсивности и параметров среды, а другой поперечный размер пучка следует задать не больше этого характерного размера. Может оказаться практически важным получать на выходе решетку с заданным пространственным периодом. Для этого достаточно слабо промодулировать начальный профиль пучка с требуемым периодом. Для такой цели может использоваться схема скрещенных пучков, в которой мощный пучок пересекается на входе в нелинейную среду с другим более слабым наклонным пучком. Такая схема генерации решетки пучков уже применялась Шиком, Стегеманом и Малендевичем при изучении модуляционной неустойчивости на планарном волноводе с кристаллом ЫЫЬОз [133]. В настоящее время остается теоретически мало исследованной распадная неустойчивость эллиптического пучка в двумерной среде, наблюдавшаяся в экспериментах Стегемана [115]. Динамику развития неустойчивости нестационарных пучков не удается описать аналитически, и на первый план здесь выступают численные эксперименты. При исследовании поперечного распада пучков важен учет конкурирующих с модуляционной неустойчивостью взаимофокусировки, дифракции и нелинейных аберраций, также приводящих к разбиению пучка. Так, в работе [127] уже анализировалось влияние взаимофокусировки и дифракции на распад двумерного гауссова пучка основной частоты, возмущенного наклонными пучками при отсутствии второй гармоники на входе, а в работе [111] рассматривалась неустойчивость пучков при наложении гауссовых шумов и учете временного ограничения пучка. Немало внимания уделялось также зависимости количества субпучков в решетке от размеров и интенсивности эллиптического пучка [115,127].

Тем не менее, задача модуляционной неустойчивости двумерных пучков в квадратично-нелинейной среде оставляет еще много непонятного и невыясненного. Среди открытых вопросов - области параметров формирования решетки (длина, пространственная частота, амплитуда пучка, расстройка волновых векторов), влияние неоднородного профиля, взаимофокусировки, дифракции и нелинейной аберрации исходного пучка на формирование квазисолитонной решетки, и, как следствие, остается открытым вопрос об устойчивости оптической решетки при распространении. В силу того, что развитие модуляционной неустойчивости пучков в режиме генерации второй гармоники не поддается аналитическому описанию, полезной оказалась бы г оценка инкремента модуляционной неустойчивости и области возбуждения решетки при тех или иных параметрах пучков и среды.

В силу сложности аналитического решения поставленных задач, требуется развитие методов численного моделирования и различных как точных, так и приближенных аналитических подходов: метод возмущений, вариационный метод, метод моментов и т. д.

Для решения ряда новых задач в теории пространственных параметрических солитонов и нелинейных оптических структур была выполнена данная диссертационная работа. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка цитируемой литературы, включающего 169 наименований. Общий объем работы составляет 127 страниц, включающих 39 рисунков.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть сформулированы следующим образом:

1. Определены области формирования квазиодномерной оптической решетки с заданной пространственной частотой из эллиптических пучков. Показано, что эта область соответствует модуляционной неустойчивости плоских волн.

2. Прослежена динамика разрушения периодической решетки, вызванного неоднородностью исходного амплитудного профиля, дифракцией и взаимофокусировкой пучков. Рассчитаны расстояния, на которых функция видности решетки уменьшается в два раза.

3. С помощью предложенной диссипативной модели квазичастиц описываются траектории несоосных пучков первой и второй гармоник, определяются положение и наклон захваченных пучков. Численно получены зависимости направления распространения солитона от разности фаз и амплитуд пучков, демонстрирующие дополнительные возможности чисто-оптического переключения.

4. Найдены асимметричные моды , низшего порядка солитона, характеризующие поперечное смещение и наклон оси. Спектры симметричных и асимметричных мод квадратичного солитона согласуются со спектрами собственных мод эквивалентного двухкомпонентного прямоугольного диэлектрического волновода.

5. Разработана обобщенная теория взаимодействия пространственных квадратичных солитонов как эффективных квазичастиц, в которой впервые учитываются поперечная фазовая расстройка, вызванная наклоном пучков, а также относительное разъединение пучков разных частот. Выведены динамические уравнения трехмерного движения центров солитонов с потенциалом взаимодействия в виде интеграла перекрытия огибающих пучков. 6. Исследовано движение солитонов по спирали, найдены параметры спиральных траекторий, выявлена неустойчивость такого движения. 1

Впервые отмечено и изучено расщепление параметрических солитонов при их сильном спиральном закручивании, слиянии и рассеянии.

В заключение, прежде всего, хочу выразить глубокую благодарность моему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Петровичу Сухорукову, за интересные предложенные темы, прекрасное руководство на протяжении многих лет, незаменимую профессиональную поддержку в научной работе, а также материальную заботу. Хочу поблагодарить моих коллег, бывших аспирантов кафедры радиофизики, Лу Синя (Пекин, Китай) и Олега Александровича Егорова (Йена, Германия) за проявленный интерес к моим исследованиям и полученным результатам. Спасибо Роману Малендевичу (Орландо, США) за щедрые научные диалоги по вопросам, связанным с реализацией эксперимента. Отдельно хочется поблагодарить Андрея Анатольевича Сухорукова (Канберра, Австралия) за немалую помощь в подготовке публикаций в иностранные издания и полезные научные дискуссии. Выражаю благодарность научному сотруднику, кандидату физико-математических наук, Марии Валентиновне Комиссаровой за участие в обобщении материала диссертации. Благодарю Ирину Гургеновну Захарову за помощь в решении ряда проблем численного моделирования, а также всех преподавателей и сотрудников кафедры радиофизики физического факультета МГУ за внимание ко мне и моей научной теме.

ЗА К Л Ю Ч Е НИ Е

1. M.Segev, G.1.Stegeman. Self-Trapping of Optical Beams: Spatial Solitons. // Physics Today. 1998. № 8. pp.42-48.

2. G.I.Stegeman, R.A.Fuerst, R.M^lendevich, R.Schiek, Y.Baek, I.Baumann, W.Sohler, G.Leo, G.Assanto, Ch.Bosshard. Unique Properties of Quadratic Solitons. // Acta Phys. Pol. 1999. V. 95. № 5. pp.691-703.

3. W.E.Torruellas, Yu.S.Kivshar, G.I.Stegeman. Quadratic Solitons in "Spatial Solitons", S. Trillo and W. Torruellas. (eds.) // Springer-Verlag, Berlin. 2001. pp.127-168.

4. G.Assanto, G.I.Stegeman. Simple physics of quadratic spatial solitons. // Opt. Express. 2002. V. 10. № 9. pp.388-396.

5. V.I.Karpman, V.V.SoloVjev. A perturbational approach to the two-soliton systems. // Physica D. 1981. pp.487-502.

6. J.P.Gordon. Interaction forces among solitons in optical fibers. // Opt. Lett. 1983. V. 8. № ll.pp.596-598.

7. A.E.Kaplan. Bistable Solitons. // Phys.Rev.Lett. 1985. У. 55. № 12. pp. 1291-1294.

8. S.Maneuf, F.Reynaud. Quasi-steady state self-trapping of first, second and third order sub-nanosecond soliton beams. // Opt.Comm. 1988. V. 66. № 5. pp.325-328.

9. J.S.Aitchison, A.M.Weiner, Y.Silberberg, M.K.Oliver, J.L.Jackel, D.E.Leaird, E.M.Vogel, P.W.Smith. Observation of spatial optical solitons in a nonlinear glass waveguide. // Opt.Lett. 1990. V. 15. № 9. pp.471-473.

10. R.H.Enns, R.Fung, S.S.Rangnekar. Application of optical cross talk to switching between bistable soliton states. // Opt.Lett. 1990. V. 15. №3. pp. 162-164. ;

11. A.W.Snyder, DJ.Mitchell, I.Poladian, F.Ladouceur. Self-induced optical fibers: spatial solitary waves. // Opt.Lett. 1991. V. 16. № 1. pp.21-23.

12. J.S.Aitchison, A.M.Weiner, Y.Silberberg, D.E.Leaird, M.K.Oliver, J.L.Jackel, P.W.Smith. Experimantal observation of spatial soliton interactions. // Opt.Lett. 1991. V. ^6. № 1. pp. 15-17.

13. A.W.Snyder, D.J.Mitchell. Spatial solitons of the power-law nonlinearity. // Opt.Lett. 1993. V. 18. № 2. pp.101-103.

14. A.W.Snyder, A.P.Sheppard. Collisions, steering, and guidance with spatial solitons. // Opt.Lett. 1993. V. 18. № 7. pp.482-484.

15. B.Luther-Davies, R.Powles, V.Tikhonenko. Nonlinear rotation of three-dimensional dark spatial solitons in a Gaussian laser beam. // Opt.Lett. 1994. V. 19. №22. pp.1816-1818.

16. V.Tikhonenko, J.Christou, B.Luther-Davies. Spiraling bright spatial solitons formed by the breakup of an optical vortex in a saturable self-focusing medium. // J.Opt.Soc.Am.B. 1995. V. 'l2. № 11. pp.2046-2052.

17. D.E.Edmundson, R.H.Enns. Particlelike nature of colliding three-dimensional optical solitons. // Phys.Rev.A. 1995. V. 51. № 3. pp.2491-2498.

18. V.Tikhonenko, J.Christou, B.Luther-Davies. Three Dimensional Bright Spatial Soliton Collision and Fusion in a Saturable Nonlinear Medium. // Phys.Rev.Lett. 1996. V. 76. № 15. pp.2698-2701.

19. W.J.Firth, D.V.Skryabin. Optical Solitons Carrying Orbital Angular Momentum. //Phys.Rev.Lett. 1997. V. 79. № 13. pp.2450-2453.

20. B.Luther-Davies. Spatial Solitons and Photonics. // AOS News. 1997. V. 11. №2. P. 11.

21. L.Friedrich, G.I.Stegeman, P.Millar, C.J.Hamilton, J.S.Aitchison. Dynamic, electronically controlled angle steering of spatial solitons in AlGaAs slab waveguides. // Opt.Lett. 1998. V. 23. № 18. pp.1438-1440.

22. A.C. Десятников, А.И.Маймистов. Взаимодействие двух пространственно разделенных пучков света в нелинейной керровской среде.//ЖЭТФ. 1998. V. 113. №6. рр.2011-2021.

23. A.W.Snyder, A.V.Buryak, D.J.Mitchell. Beam splitting on weak illumination. // Opt.Lett. 1998. V. 23. № 1. pp.4-6. j

24. A.V.Buryak, Yu.S.Kivshar, M.F.Shih, M.Segev. Induced Coherence and Stable Soliton Spiraling. // PhyslRev.Lett. 1999. V. 82. № 1. pp.81-84.

25. C.Anastassiou, M.Segev, K.Steiglitz, , J.A.Giordmaine, M.Mitchell, M.F.Shih, S.Lan, J.Martin. Energy-Exchange Interactions between Colliding Vector Solitons. // Phys.Rev.Lett. 1999. V. 83, № 12. pp.2332-2335.

26. P.L.Kelley. Self-Focusing of Optical Beams. // Phys.Rev.Lett. 1965. V. 15. №26. pp. 1005-1008.

27. V.I.Bespalov, V.l.Talanov. Filamentary structure of light beams in nonlinear liquids. // J.Math.Phys. 1966. V. 3. P. 307.,

28. A.J.Campillo, S.L.Shapiro, B.R.Suydam. Periodic breakup of optical beams due to self-focusing. // Appl.Phys.Lett. 1973. V. 23. P. 628.

29. M.D.Feit, J.A.Fleck. Beam nonparaxiality, filament formation, and beam breakup in the self-focusing of optical* beams. // J.Opt.Soc.Am.B. 1988. V. 5. № 3. pp.633-640.

30. V.V.Afanasjev, P.L.Chu, Yu.S.Kivshar. Breathing spatial solitons in non-Kerr media. // Opt.Lett. 1997. V. 22. № 18. pp. 1388-1390.

31. B.L.Lawrence, G.I.Stegeman. Two-dimensional bright spatial solitons stable over limited intensities and ring formation in polydiacetylene para-toluene sulfonate. // Opt.Lett. 1998. V. 23. № 8. pp.591-593.

32. D.E.Pelinovsky, Yu.S.Kivshar, V.V.Afanasjev. Internal modes of envelope solitons.//Physica D. 1998. V. 116. pp. 121-142.

33. W.E.Torruellas, Z.Wang, L.Torner, G.I.Stegeman. Observation of mutual trapping and dragging of two-dimensional spatial solitary waves in a quadratic medium. // Opt.Lett. 1995. V. 20. № 19. pp. 1949-1951.

34. W.E.Torruellas, Z.Wang, D.J.Hagan, E.W.VanStryland, G.I.Stegeman, L.Torner, C.R.Menyuk. Observation of Two-Dimensional Spatial Solitary Waves in a Quadratic Medium. // Phys.Rev.Lett. 1995. V. 64. № 25. pp.50365039.

35. H.He, P.D.Drummond. Ideal Soliton Environment Using Parametric Band Gap. //Phys.Rev.Lett. 1997. V. 78. № 23. pp.4311-4315.

36. P.D.Drummond, H.He. Optical mesons. // Phys.Rev.A. 1997. V. 56. №2. pp.1107-1109.i

37. K.Hayata, M.Koshiba. Multidimensional solitons in quadratic nonlinear media. // Phys.Rev.Lett. 1993. V. 71. № 20. pp.3275-3278.

38. C.R.Menyuk, R.Schiek, L.Torner. Solitary waves due to chi-2:chi-2 cascading. //J.Opt.Soc.Am.B. 1994. V. 11. № 12. pp.2434-2443.

39. A.V.Buryak, Yu.S.Kivshar. Spatial optical solitons governed by quadratic nonlinearity. // Opt.Lett. 1994. V. 1*9. № 20. pp.1612-1614.

40. A.V.Buryak, Yu.S.Kivshar, V.V.Steblina. Self-trapping of light beams andparametric solitons in diffractive quadratic media. // Phys.Rev.A. 1995. V. 52. № 2. pp.1670-1674.

41. D.E.Pelinovsky, A.V.Buryak, Yu.S.Kivshar. Instability of Solitons Governed by Quadratic Nonlinearitiejs. // Phys.Rev.Lett. 1995. V. 75. № 4. pp.591-595.

42. A.V.Buryak, Yu.S.Kivshar. Solitons due to second harmonic generation. // Phys.Lett.A. 1995. V. 197. pp.407-412.

43. A.D.Boardman, K.Xie, A.Sangarpaul. Stability of scalar spatial solitons in cascadable nonlinear media. // Phys.Rev.A. 1995. V. 52. № 5. pp.4099-4106.

44. L.Torner, D.Mihalache, D.Mazilu, N.N.Akhmediev. Stability of spatial solitary waves in quadratic media. // Opt.Lett. 1995. V. 20. № 21. pp.21832185.

45. A.V.Buryak, Yu.S.Kivshar, S.Trillo. Stability of Three-Wave Parametric Solitons in Diffractive Quadratic Media. // Phys.Rev.Lett. 1996. V. 77. № 26. pp.5210-5213.

46. U.Peschel, C.Etrich, F.Lederer, B.A.Malomed. Vectorial solitary waves in optical media with a quadratic nonlinearity. // Phys.Rev.E. 1997. V. 55. № 6. pp.7704-7711.

47. B.A.Malomed, P.D.Drummond, H.He, A.Berntson, D.Z.Anderson, M.Lisak. Spatiotemporal solitons in multidimensional optical media with a quadratic nonlinearity. //Phys.Rev.E. 1997. V. 56. № 4. pp.4725-4735.

48. A.V.Buryak, Yu.S.Kivshar, S.Trillo. Parametric spatial solitary waves due to type II second-harmonic generation. // J.Opt.Soc.Am.B. 1997. V. 14. № 11. pp.3110-3118.

49. I.Towers, A.V.Buryak, R.A.Sammut, B.A.Malomed. Quadratic solitons resulting from double-resonance wave mixing. // J.Opt.Soc.Am.B. 2000. V. 17. № 12. pp.2018-2025.

50. S.V.Polyakov, G.I.Stegeman. Existence and properties of quadratic solitons in anisotropic media: Variational approach. // Phys.Rev.E. 2002. V. 66. P.046622.

51. C.JIy, А.П.Сухоруков. Формирование трехмерных пространственных солитонов в среде с квадратичной нелинейностью. // Изв.РАН Сер.Физ.1996. V. 60. № 12. рр.64-69.

52. C.B.Clausen, O.Bang, Yu.S.Kivshar, P.L.Christiansen. Effect of a fluctuating phase mismatch on spatial solitons in quadratic media. // Opt.Lett.1997. V. 22.№5.pp.271-273.г

53. L.Torner, G.I.Stegeman. Soliton evolution in quasi-phase-matched secondharmonic generation. //J.Opt.Soc.Am.B. 1997. V. 14. № ll. pp.3127-3133.i

54. L.Torner, C.B.Clausen, M.M.Fejer. Adiabatic shaping of quadratic solitons. // Opt.Lett. 1998. V. 23. № 12. pp.903-905.

55. L.Torner. Guiding-center walking soliton. // Opt.Lett. 1998. V. 23. № 16. pp.1256-1258.

56. C.B.Clausen, L.Torner. Self-Bouncing of Quadratic Solitons. // Phys.Rev.Lett. 1998. V. 81. № 4. pp.790-793.

57. C.B.Clausen, L.Torner. Spatial switching of quadratic solitons in engineered quasi-phase-matched structures. // Opt.Lett. 1999. V. 24. № 1. pp.7-9.

58. B.Bourliaguet, V.Couderc, A.Barthelemy, G.W.Ross, P.G.Smith, D.C.Hanna, C.Angelis. Observation of quadratic spatial solitons in periodically poled lithium niobate. // Opt.Lett. 1999. V. 24. №20. pp. 14101412.

59. S.Carrasco, J.P.Torres, L.Torner, R.Schiek. Engineerable generation of quadratic solitons in synthetic phase matching. // Opt.Lett. 2000. V. 25. № 17. pp.1273-1275.

60. М.В.Комиссарова, А.П.Сухоруков. Бистабильность оптических солитонов, формирующихся при нелинейных взаимодействиях волн с кратными частотами. //Изв.РАН Сер.Физ. 1995. V. 38. № 3. pp.331-336.

61. A.V.Buryak, Yu.S.Kivshar. Multistability of Three-Wave Parametric Self-Trapping. // Phys.Rev.Lett. 1997. V. 78. № 17. pp.3286-3289.

62. D.V.Skryabin, W.J.Firth. Modulational Instability of Solitary Waves in Nondegenerate Three-Wave Mixing: The Role of Phase Symmetries. // Phys.Rev.Lett. 1998. V. 81. № 16<pp.3379-3382.

63. A.E.Kaplan. Eigenmodes of Chi(2) wave mixings: cross-induced second-order nonlinear refraction. // Opt.Lett. 1993. V. 18. № 15. pp. 1223-1225.

64. L.Torner, C.R.Menyuk, G.I.Stegeman. Excitation of solitons with cascaded chi-2 nonlinearities. // Opt.Lett. 1994. V. 19. № 20. pp. 1615-1617.

65. L.Torner, W.E.Torruellas, G.I.Stegeman, C.R.Menyuk. Beam steering by chi-2 trapping. // Opt.Lett. 1995. V. 20. № 19. pp. 1952-1954.

66. C.Etrich, U.Peschel, F.Lederer, B.A.Malomed. Collision of solitary waves in media with a second-order nonlinearity. // Phys.Rev.A. 1995. V. 52. № 5.1. P.3444. ' 'i

67. R.Schiek, Y.Back, G.I.Stegeman. One-dimensional spatial solitary waves due to cascaded second-order nonlinearities in planar waveguides. // Phys.Rev.E. 1996. V. 53. № 1. pp.1138-1141.

68. L.Torner, D.Mazilu, D.Mihalache. Walking Solitons in Quadratic Nonlinear Media. // Phys.Rev.Lett. 1996. V. 77. № 12. pp.2455-1458.

69. D.M.Baboiu, G.I.Stegeman. Solitary-wave interactions in quadratic media near type I phase-matching conditions. // J.Opt.Soc.Am.B. 1997. V. 14. № 11. pp.3143-3150.

70. Y.Baek, R.Schiek, G.I.Stegeman, I.Baumann, W.Sohler. Interactions between one-dimensional quadratic solitons. // Opt.Lett. 1997. V. 22. №20. pp.1550-1552.

71. M.T.Canva, R.A.Fuerst, S.Baboiu, G.I.Stegeman, G.Assanto. Quadratic spatial soliton generation by seeded downconversion of a strong harmonic pump beam. // Opt.Lett. 1997. V. 22. № 22. pp.1683-1685.

72. R.A.Fuerst, B.L.Lawrence, W.E.Torruellas, G.I.Stegeman. Beam reshaping by use of spatial solitons in the quadratic nonlinear medium KTP. // Opt.Lett. 1997. V. 22. № 1. pp.19-21.

73. P.D.Trapani, G.Valiulis, W.Chinaglia, A.Andreoni. Two-Dimensional Spatial Solitary Waves from Traveling-Wave Parametric Amplification of the Quantum Noise. // Phys.Rev.Lett. 1998. V. 80. № 2. pp.265-268.

74. D.Artigas, L.Torner, N.N.Akhmediev. Dynamics of quadratic soliton excitation. //Opt.Comm. 1999. V. 162. pp.347-356.

75. L.Torner, J.P.Torres, D.Artigas, D.Mihalache, D.Mazilu. Soliton content with quadratic nonlinearities. // Opt.Comm. 1999. V. 164. pp. 153-159.

76. R.Schiek, Y.Baek, G.I.Stegeman, W.Sohler. One-dimensional quadratic walking solitons. // Opt.Lett. 1999. V. 24. № 2. pp.83-85.

77. L.Torner, D.Artigas, S.Carrasco, J.P.Torres, E.Lopez-Lago, V.Couderc, A.Bartheiemy. Soliton content with quadratic nonlinearities. // Tech.Digest NLGW. 2001. V. 1. pp.373-375.

78. L.Torner, C.R.Menyuk, W.E.Torruellas, G.I.Stegeman. Two-dimensional solitons with second-order nonlinearities. // Opt.Lett. 1995. V. 20. № 1. pp. 1315.

79. L.Torner, C.R.Menyuk, G.I.Stegeman. Bright solitons with second-order nonlinearities. // J.Opt.Soc.Am.B. 1995. V. 12. № 5. pp.889-897.

80. A.A.Sukhorukov. Approximate solutions and scaling transformations forquadratic solitons. // Phys.Rev.E. 2000. V. 61. № 4. pp.4530-4539.

81. S.Darmanyan, A.Kobyakov, F.Lederer. Quadratic solitons in nonconservative media. // Opt.Lett. 1999. V. 24. № 21. pp.1517-1519.

82. Yu.S.Kivshar, A.A.Sukhorukov, S.M.Saltiel. Two-color multistep cascading and parametric soliton-induced waveguides. // Phys.Rev.E. 1999. V. 60. № 5. pp.5056-5059.

83. A.Brenier. (2+1 )-dimensional Gaussian solitons due to cascaded second-order non-linearities. // Opt.Comm. 1998. V. 156. pp.58-62.

84. M.J.Werner, P.D.Drummond. Strongly coupled nonlinear parametric solitary waves. // Opt.Lett. 1994. Y. 19. № 9. pp.613-615.

85. G.Leo, G.Assanto. Collisional interactions of vectorial spatial solitary waves in type II frequency-doubling media. // J.Opt.Soc.Am.B. 1997. V. 14. № 11. pp.3151-3161.

86. M.F.Shih, M.Segev, G.Salamo. Three-Dimensional Spiraling of Interacting Spatial Solitons. // Phys.Rev.Lett. 1997. V. 78. № 13. pp.2551-2554.

87. A.W.Snyder, Yu.S.Kivshar. Bright spatial solitons in non-Kerr media: stationary beams and dynamical evolution. // J.Opt.Soc.Am.B. 1997. V. 14. №11. pp.3025-3031.

88. W.Krolikowski, S.A.Holmstrom. Fusion and birth of spatial solitons upon collision. // Opt.Lett. 1997. V. 22. № 6. pp.369-371.

89. V.V.Steblina, Yu.S.Kivshar, A.V.Buryak. Scattering and spiralling of solitons in a bulk quadratic medium. // Opt.Lett. 1998. V. 23. № 3. pp. 156158.

90. C.JIy, А.П.Сухоруков, Д.А.Чупраков. Спиральное вращение пространственных солитонов в квадратично-нелинейной среде. // Изв.РАН Сер.Физ. 1998. V. 62. № 12. рр.2319-2326.

91. B.Costantini, C.Angelis, A.Bartlielemy, B.Bourliaguet, V.Kermene. Collisions between type II two-dimensional quadratic solitons. // Opt.Lett. 1998. V. 23. № 6. pp.424-426.

92. A.V.Buryak, V.V.Steblina. Soliton collisions in bulk quadratic media: comprehensive analytical and numerical study. // J.Opt.Soc.Am.B. 1999. V. 16. № 2. pp.245-255.

93. M.Segev, G.I.Stegeman. Optical Spatial Solitons and Their Interactions: Universality and Diversity. // Science. 1999. V. 286. pp.1518-1523.

94. M.R.Belic, A.Stepken, F.Kaiser. Spatial Screening Solitons as Particles. // Phys.Rev.Lett. 2000. V. 84. № 1. pp.83-86.

95. G.I.Stegeman, D.N.Christodoulides, M.Segev. Optical Spatial Solitons: Historical Perspectives. // IEEE J. Sel.Top.Quantum Electron. 2000. V. 6. №6. pp.1419-1427.

96. J.J.Garcia-Ripoll, V.M.Perez-Garcia, W.Krolikowski, G.McCarthy, B.Luther-Davies, D.Neshev, E.A.Ostrovskaya, Yu.S.Kivshar. Scattering oflight by molecules of light. // Tech.Digest NLGW. 2001. V. 1. pp.455-457.i

97. D. A. Chuprakov, X. Lu, and A. P. Sukhorukov. Shifted beam interaction for quadratic soliton control. // In: A. D. Boardman, A. P. Sukhorukov (eds.). Soliton-driven Photonics. Kluwer Academic Publishers. Dordrecht/Boston/London. 2001. pp. 347-350.

98. A. A. Sukhorukov, Yu.S.Kivshar. Self-trapped optical beams: Spatial solitons. // PRAMANA-J.Phys. 2001. V. 57. № 5. pp.1079-1095.

99. C.Simos, V.Couderc, A.Barthelemy, A.V.Buryak. Phase-dependent interactions between three-wave spatial solitons in bulk quadratic media. // J.Opt.Soc.Am.B. 2003. V. 20. № 10. pp.2133-2141.

100. D.V.Skryabin. Role of internal and continuum modes in modulational instability of quadratic solitons. // Phys.Rev.E. 1999. V. 60. №6. pp.75117517.

101. C.Etrich, U.Peschel, F.Lederer, B.A.Malomed, Yu.S.Kivshar. Origin of the persistent oscillations of solitary waves in nonlinear quadratic media. //

102. Phys.Rev.E. 1996. V. 54. № 4. pp.4321-4324.i , 1 t j

103. D.E.Pelinovsky, J.E.Sipe, J.Yang. Generation of soliton oscillations in nonlinear quadratic materials. //Phys.Rev.E. 1999. V. 59. № 6. pp.7250-7253.

104. N.N.Rosanov, P.I.Krepostnov, V.O.Popov. Damping of persistent oscillations of quadratic optical solitons. // Chaos. 2003. V. 13. № 2. pp.791799.

105. B.S.Azimov, Yu.N.Karamzin, A.P.Sukhorukov, A.K.Sukhorukova. Interaction of weak pulses with a low -frequency high-intensity wave in a dispersive medium. // Sov.Phys.JETP. 1980. V. 51. № 1. pp.40-46.

106. A.A.Kanashov, A.M.Rubenchik. On Diffraction And Dispersion Effect On Three Wave Interaction. // Physica D. 1981. pp. 122-134.

107. K.Tai, A.Hasegawa, A.Tomita. Observation of modulational instability in optical fibers. // Phys.Rev.Lett. 1986. V. 56. № 2. pp. 135-138.

108. P.Ferro, S.Trillo. Periodical waves, domain walls, and modulational instability in dispersive quadratic nonlinear media. 11 Phys.Rev.E. 1995. V. 51. № 5. pp.4994-4998.

109. D.E.Pelinovsky, V.V.Afanasjey, Yu.S.Kivshar. Nonlinear theory of oscillating, decaying, and collapsing solitons in the generalized nonlinear Shrodinger equation. // Phys.Rev.E. 1996. V. 53. № 2. pp. 1940-1953.

110. A.Rossi, S.Trillo, A.V.Buryak, Yu.S.Kivshar. Snake instability of one-dimensional parametric spatial solitons. // Opt.Lett. 1997. V. 22. № 12. pp.868-870.

111. А.К.Сухорукова, А.П.Сухоруков. Неустойчивость оптических пучков в планарных волноводах с квадратичной средой. // Изв.РАН Сер.Физ. 2000. V. 64. № 12. pp.2344-2348.

112. N.N.Akhmediev, D.R.Heatly, G.I.Stegeman, E.M.Wright. Pseudorecurrence in two-dimensional mddulation instability with a saturable self-focusing nonlinearity. // Phys.Rev.Lett. 1990. V. 65. № 12. pp. 1423-1426.

113. A.V.Mamaev, M.Saffman, A.A.Zozulya. Propagation of Dark Stripe Beams in Nonlinear Media: Snake Instability and Creation of Optical Vortices. // Phys.Rev.Lett. 1996. V. 76. № 13. pp.2262-2265.

114. A.V.Mamaev, M.Saffman, D.Z.Anderson, A.A.Zozulya. Propagation of light beams in anisotropic nonlinear media: From symmetry breaking to spatial turbulence. // Phys.Rev.A. 1996: V. 54. № 1. pp.870-879.

115. R.A.Fuerst, D.M.Baboiu, B.L.Lawrence, W.E.Torruellas, G.I.Stegeman, S.Trillo, S.Wabnitz. Spatial Modulational Instability and Multisolitonlike Generation in a Quadratically Nonlinear Optical Medium. // Phys.Rev.Lett. 1997. V. 78. № 14. pp.2756-2759.

116. A.D.Boardman, P.Bontemps, K.Xie. Transverse modulation instability of vector optical beams in quadratic nonlinear media. // J.Opt.Soc.Am.B. 1997. V. 14. № 11. pp.3119-3126.

117. M.Haelterman, S.Trillo, P.Ferro. Multiple soliton bound states and symmetry breaking in quadratic media. // Opt. Lett. 1997. V. 22. № 2. pp.8486.

118. A.V.Mamaev, M.Saffman. Modulational Instability and pattern formation in the field of noncollinear pump beams. // Opt.Lett. 1997. V. 22. № 5. pp.283285.i

119. G.Leo, G.Assanto. Phase- and polarization-insensitive all-optical switching by self-guiding in quadratic media. // Opt.Lett. 1997. V. 22. № 18. pp. 13911393.

120. D.V.Petrov, L.Torner. Second-harmonic generation by intense beams containing phase dislocations: self-breaking into sets of solitons. // Opt.Quantum Electron. 1997. V. 29. pp. 1037-1046.

121. D.M.Baboiu, G.I.Stegeman. Beam breakup and modulational instability in a bulk type I quadratic medium. // Opt.Quantum Electron. 1998. V. 30. pp.937954.

122. D.V.Petrov, L.Torner, J.Martorell, R.Vilaseca, J.P.Torres, C.Cojocaru. Observation of azimuthal modulational instability and formation of patterns of optical solitons in a quadratic nonlinear crystal. // Opt.Lett. 1998. V. 23. № 18. pp. 1444-1446. ,

123. G.Leo, G.Assanto. Multiple branchg of vectorial spatial solitary waves in quadratic media. // Opt.Comm. 1998. V. 146. pp.356-362.

124. D.V.Skryabin, W.J.Firth. Instabilities of higher-order parametric solitons: Filamentation versus coalescence. // Phys.Rev.E. 1998. V. 58. № 2. pp. 12521255.

125. D.M.Baboiu, G.I.Stegeman. Modulational instability of a strip beam in a bulk type I quadratic medium. // Opt.Lett. 1998. V.23. №1. pp.31-33.

126. D.V.Skryabin, W.J.Firth. Modulational instability of bright solitary waves in incoherently coupled nonlinear Schrodinger equations. // Phys.Rev.E. 1999. V. 60. № 1. pp. 1019-1029.

127. A.K.Sukhorukova, A.P.Sukhorukov. Modulation Instabilty of an Elliptic Beam at the Second Harmonic Generation. // Bull.RAS. Physics. 1999. V. 63. № 12. pp. 1906-1909.

128. H.Fang, R.Malendevich, R.Schiek, G.I.Stegeman. Spatial modulational instability in one-dimensional lithium niobate slab waveguides. // Opt.Lett. 2000. V. 25. № 24. pp. 1786-1788.

129. M.Soljacic, M.Segev, T.H.Coskun, D.N.Christodoulides, A.Vishwanath. Modulation Instability of Incoherent Beams in Noninstantaneous Nonlinear Media. // Phys.Rev.Lett. 2000. V. 84. № 3. pp.467-470.

130. D.Kip, M.Soljacic, M.Segev, E.D.Eugenieva, D.N.Christodoulides. Modulation Instability and Pattern Formation in Spatially Incoherent Light Beams. // Science. 2000. V. 290. pp.495-498.

131. X.Liu, K.Beckwitt, F.W.Wise. Transverse Instability of Optical Spatiotemporal Solitons in Quadratic Media. // Phys.Rev.Lett. 2000. V. 85. № 9. pp.1871-1874.

132. J.Klinger, H.Martin, Z.Chen. f Experiments on induced modulationalinstability of an incoherent optical beam. // Opt.Lett. 2001. V. 26. №5. pp.271-273.

133. R.Schiek, H.Fang, R.Malendevich, G.I.Stegeman. Measurement of Modulational Instability Gain of Second-Order Nonlinear Optical Eigenmodes in a One-Dimensional System. // Phys.Rev.Lett. 2001. V. 86. № 20. pp.45284531.f

134. C.Anastassiou, M.Soljacic, M.Segev, E.D.Eugenieva, D.N.Christodoulides, D.Kip, Z.H.Musslimani, J.P.Torres. Eliminating the Transverse Instabilities of Kerr Solitons. // Tech.Digest NLGW. 2001. pp.376-378.

135. W.Krolikowski, O.Bang, J.J.Rasmussen, J.Wyller. Modulational instability in nonlocal nonlinear Kerr media. // Phys.Rev.E. 2001. V. 64. P.016612.

136. G.Fibich, B.Ilan. Deterministic vectorial effects lead to multiple fomentation. // Opt.Lett. 2001. V. 26. № 11. pp.840-842.

137. C.Cambournac, H.Maillotte, E.Lantz, J.M.Dudley, M.Chauvet. Spatiotemporal behavior of periodic arrays of spatial solitons in a planar waveguide with relaxing Kerr nonlinearity. // J.Opt.Soc.Am.B. 2002. V. 19. № 3. pp.574-585.

138. D.Kip, M.Soljacic, M.Segev, S.M.Sears, D.N.Christodoulides. (1+1)-Dimensional modulation instability of spatially incoherent light. // J.Opt.Soc.Am.B. 2002. V. 19. № 3. pp.502-512.

139. L.Helczynski, D.Z.Anderson, R.Fedele, B.Hall, M.Lisak. Propagation of Partially Incoherent Light in Nonlinear Media via the Wigner Transform Method. // IEEE J. Sel.Top.Quantum Electron. 2002. V. 8. № 3. pp.408-412.

140. M.Peccianti, C.Conti, G.Assanto. Optical modulational instability in a nonlocal medium. // Phys.Rev.E. 2003. V. 68. P.025602.

141. S.Trillo, P.Ferro. Modulational instability in second-harmonic generation. // Opt.Lett. 1995. V. 20. № 5. pp.438-440.

142. A.Hasegawa, W.F.Brinkman. Tunable coherent IR and FIR sources utilizing modulational instability. // IEEE J.Quantum Electron. 1980. V. 16. pp.694696.

143. G.Fibich, B.Ilan. Multiple Filampntation of Circularly Polarized Beams. // Phys.Rev.Lett. 2002. V. 89. № 1. P. 013901.

144. J.F.Corney, O.Bang. Modulational Instability in Periodic Quadratic Nonlinear Materials. //Phys.Rev.Lett. 2001. V. 87. № 13. P. 133901.

145. Ю.Н.Карамзин. Численные методы для некоторых задач нелинейнойоптики. // препринт ИПМ АН СССР. 1982. № 73.t I

146. Д.А. Чупраков, А.П. Сухоруков. Динамика захвата несогласованных пучков первой и второй гармоник в квадратичный солитон. // Изв. РАН. Сер. Физ. 2001. Т. 65, с.1730-1734.

147. А.П. Сухоруков, Д.А. Чупраков. Симметричные и асимметричные моды пространственного квадратичного солитона. // Изв. РАН. Сер. Физ. 2002. Т. 66, с.1798-1802.

148. D.A. Chuprakov, А.А. Kalinovich, А.Р. Sukhorukov, I.G. Zaharova. Effective Numerical Methods for Simulating (2+1) D Three Wave Wixing. // Journal of Computational Methods in Sciences and Engineering. 2002. V. 2. № ls-2s. pp. 51-56.

149. А.П. Сухоруков, Д.А. Чупраков. Генерация квазиодномерной оптической решетки в квадратично-нелинейной среде скрещенными пучками основной частоты. // http://jre.cplire.ru. Журнал Радиоэлектроники. 2003. №11.

150. Лу Синь, Сухоруков А.П., Чупраков Д.А. Спиральное вращение пространственных солитонов в квадратично-нелинейной среде. // Труды VI Всероссийской школы-семинара «Физика и применение микроволн». Красновидово. май 1998. Изд. Физфак МГУ. с.28-30.

151. Х. Lu, А.Р. Sukhorukov, D.A. thuprakov. Non-planar interactions of spatial quadratic solitons. // Proceedings of 5-th International School on Chaotic Oscillation and Pattern Formation «CHAOS'98». Saratov, Russia. October 610, 1998. P. 40.

152. Д.А. Чупраков. Формирование и взаимодействие пространственных квадратичных солитонов на каскадной нелинейности. // Сборник тезисов Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-99», секция «Физика». 1999.

153. Anatoly P. Sukhorukov, Dmitry A. Chuprakov and Xin Lu. Quadratic soliton interactions in a bulk medium. // Proceedings of «Nonlinear Guided Waves and Their Applications». Dijon, France. 1-3 September, 1999. pp.97-99.

154. Anatoly P. Sukhorukov, Dmitry A. Chuprakov, and Xin Lu. Quadratic soliton self-trapping for mis-aligned fundamental and harmonic beams. // Proceedings of X International Conference on Laser Optics. S-Petersburg, Russia. June 2630, 2000. P. 65.

155. Chuprakov D.A., Sukhorukov A.P., Zakharova I.G. Modeling of optical soliton trapping in quadratic nonlinear medium. // Proceedings of II International Conference «Modem Trends In Computational Physics». Dubna,

156. Russia. July 24-29, 2000. P.54.t , '

157. D.A. Chuprakov, A.P. Sukhorukov. All-optical switching on the base of quadratic soliton trapping. // Proceedings of 2000 Annual Meeting OSA / ILS-XVI. Providence, USA. October 2000. ThN4.

158. D.A. Chuprakov, A.P. Sukhorukov. Growing asymmetric modes and switching of quadratic solitons. // Proceedings of 6-th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation. Saratov, Russia. October 2-7,2001. P. 22.

159. Д.А. Чупраков. Захват несогласованных пучков первой и второй гармоник в квадратичный солгитон. // Сборник трудов 2-ой Международной конференции молодых учёных и специалистов «Оптика 2001». С. 72.

160. А.П. Сухоруков, Д.А. Чупраков. // Труды VIII Всероссийской школы-семинара "Волновые явления в неоднородных средах". Красновидово.2002. Т. 1.С.25-26. I

161. D.A. Chuprakov, A.P. Sukhorukov. // The International Quantum Electronics Conference on Lasers, Applications, and Technologies. June, 23 2002. Moscow, Russia. Technical Digest. P.62.i