Пространственные солитоны в среде с квадратичной нелинейностью тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ЗАХВАТ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ СВЯЗАННЫХ

СОЛИТОНОВ В КВАДРАТИЧНО-НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ

1.1. Захват гауссовых пучков в параметрический солитон

1.2. Возбуждение солитона смещёнными пучками основной частоты и второй гармоники

1.3. Генерация квадратичного солитона из неколлинеарных пучков основной частоты и второй гармоники

1.4. Исследование устойчивости параметрических солитонов при наличии возмущения профилей

ГЛАВА 2. ВОЗБУЖДЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КВАДРАТИЧНЫХ СОЛИТОНОВ В ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ УСИЛИТЕЛЯХ СВЕТА

2.1. Захват солитонов в кристалле Ю\Иэ03 при некритическом синхронизме I типа

2.2. Захват солитонов в кристалле КТР при критическом синхронизме II типа

ГЛАВА 3. ВЗАИМОДЕИСТВИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КВАДРАТИЧНЫХ СОЛИТОНОВ

3.1. Описание взаимодействия солитонов с помощью теории эффективных частиц

3.2. Формирование двойной солитонной спирали в квадратично-нелинейной среде

3.3. Изучение пространственной динамики солитонной спирали

Формирование тройной солитонной спирали

Относительное смещение пучков гармоник солитонов при сильных взаимодействиях

ГЛАВА 4. ВЗАИМОФОКУСИРОВКА И ДЕФОКУСИРОВКА ПУЧКОВ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ ГАРМОНИК НА КВАДРАТИЧНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ

4.1. Уравнения геометрической оптики в среде с квадратичной нелинейностью

4.2. Параметрическое самовоздействие самосогласованных пучков

4.3. Самосогласованная взаимофокусировка и дефокусировка

4.4. Решение уравнений нелинейной геометрической оптики

В последние годы в нелинейной оптике продолжает расти интерес к теоретическому и экспериментальному изучению пространственных солитонов на квадратичной нелинейности. В отличие от одноцветных солитонов в среде с кубичной нелинейностью, квадратичные солитоны представляют собой три (в вырожденном случае два) параметрически связанных волновых пучка, частоты которых удовлетворяют условию трехволнового взаимодействия coj + ю2 = <и3. Составные части параметрического (квадратичного) солитона не обмениваются энергией и нелинейный отклик среды целиком идет на изменение фазовых скоростей, или показателей преломления в поле взаимодействующих волн. Параметрический механизм самовоздействия волновых пучков приводит в зависимости от фазовых соотношений к появлению эффекта взаимофокусировки или дефокусировки. Пространственный квадратичный солитон представляет собой 2-3 волновых пучка, сохраняющих свои амплитудные профили в процессе распространения благодаря балансу дифракционного расплывания и взаимофокусировки. При этом следует отметить, что волновые пучки могут иметь планарную или двумерную поперечную структуру. В силу пространственно-временной аналогии свойства двумерных пространственных солитонов переносятся на временные солитоны при учете линейной дисперсии 2-ого порядка.

Параметрически связанные пространственные солитоны были предсказаны 25 лет назад [1, 2]. Однако, со времени первого предсказания квадратичного солитона длительное время не было экспериментального подтверждения их существования. В центре внимания ученых и специалистов находились кубичные солитоны [3-10], эпоха которых началась с начала 60-х годов [11-13]. Многочисленные исследования различных свойств кубичных солитонов [14-24] привели, в частности, к реализации систем оптической передачи информации на дальние и сверхдальние расстояния [3,4, 14], создание элементов для чисто оптического переключения пространственных солитонов [15-18,22,23] и др. Однако, в керровских средах устойчивы к малым возмущениям только двумерные, планарные солитоны [4, 5, 9, 25-27], а трехмерные оказались принципиально неустойчивыми. Только при участии более высоких порядков нелинейности можно было формировать такие пространственные солитоны [18-20, 28-31].

С появлением первых экспериментальных наблюдений солитона на квадратичной нелинейности, опубликованных в 1995 г. [32,33], интерес многих исследователей переместился на квадратичные солитоны [34-85]. Это связано с тем, что они имеют низкий порог возбуждения [53, 54], высокую стабильность в трехмерном пространстве и во времени [34,35,42-45,47,5052], устойчивость к малым пространственным искажениям профилей [50, 58]. Уникальные свойства квадратичных солитонов создали новую основу для разработки и реализации чисто оптических методов переключения с использованием взаимодействия как двумерных, так и трехмерных пучков [46,60,61,74,75,80] и др. На практике пространственные квадратичные солитоны чаще всего возбуждаются в режиме генерации второй гармоники или в параметрическом усилителе света при двух типах синхронизма: оое и оее.

К числу наиболее важных теоретических проблем в данной области исследований относятся определение пороговых условий захвата пучков в солитон, расчет огибающих солитона, анализ одномерных и двумерных движений солитонов при их взаимодействии, описание взаимофокусировки и дефокусировки параметрически связанных пучков при минимальном энергообмене и др. Здесь требуется развитие методов численного моделирования и различных как точных, так и приближенных аналитических подходов, таких как, вариационный метод, безаберрационное описание, метод моментов и т.д.

Точные решения для огибающих двумерных квадратичных солитонов были найдены аналитически в случае совпадения форм амплитудных профилей [1, 2]. В более общих случаях расчеты огибающих солитонов велись с помощью численных методов [1, 7] или приближенных аналитических подходов [91, 50, 67]. Так, вариационный метод позволяет достаточно просто найти параметры квадратичных солитонов; причем результат расчета тем лучше, чем ближе пробная функция к профилю солитона. В последнее время найдены аналитические выражения для огибающих двумерных и трехмерных квадратичных солитонов, аппроксимирующие точные профили с ошибкой менее 1-3 % [67]. В связи с тем, что огибающие, найденные приближенными методами, несколько отличаются от точных солитонных профилей, захват солитона сопровождается осцилляциями амплитуд. Это заметно при генерации солитона двумя (тремя) гауссовыми пучками разных частот. Поэтому, возникает задача уточнения полученных вариационным методом результатов расчета параметров гауссовых пучков с помощью других методов, в частности, градиентного.

Представляет практический интерес также задача захвата солитона при падении на квадратичную среду смещенных и несоосных гауссовых пучков. Здесь следует ожидать ряда новых эффектов, приводящих к зависимости положения и направления распространения солитона от начального смещения и угла наклона пучков гармоник. Возбуждение солитонов в названных случаях еще не было рассмотрено.

При столкновениях друг с другом пространственные солитоны изменяют направление своего распространения. Это свойство дает возможность переключать направления световых пучков чисто оптическими методами. В настоящее время растёт интерес и к изучению непланарных взаимодействий пространственных солитонов [18-20, 23, 31, 78, 81, 82, 92], которые позволяют осуществлять оптическое переключение в трехмерном пространстве. В определенном смысле можно говорить о траекториях, описываемых центрами поперечных сечений пучков. При этом полезно использовать аналогию с взаимодействием частиц [78,81,82,93,94], хотя в общем случае следует помнить, что при изменении положения солитонов в пространстве меняются и их фазы, что может оказать заметное влияние на их динамику. В зависимости от типа взаимодействия солитонов (притяжение или отталкивание) и начальных условий (расстояние между пучками, углы наклона осей) траектории могут иметь самый разнообразный вид [60,61,74,77,80,81,82]. Среди различных типов непланарных взаимодействий особый интерес представляет эффект закручивания пространственных солитонов в спираль [78, 81, 82, 92]. Если два притягивающих друг друга солитона наклонены так, чтобы их волновые векторы лежали в параллельных плоскостях и были наклонены в разные стороны под определенным углом, то пучки образуют структуру, напоминающую двойную спираль ДНК [92]. На кубичной нелинейности с насыщением, в фоторефрактивных кристаллах спиральное вращение пары солитонов наблюдалось экспериментально [19, 20, 92].

Аналитическое описание различных типов непланарных взаимодействий пространственных солитонов разрабатывалось в [23,31,78]. Так как параметрические солитоны описываются не интегрируемым классом уравнений, то даже в двумерном случае точные солитонные решения для квадратичной среды отсутствуют. Поэтому, на сегодняшний день известно не так много работ, которые предложили бы вниманию исследователей адекватную модель взаимодействия квадратичных солитонов. Как правило в теоретических работах используются различные упрощенные модели взаимодействия пространственных солитонов. Например, предложена модель удалённых друг от друга солитонов (со слабо перекрывающимися профилями) [78, 81, 82]. Это позволило пренебречь возмущением солитонных профилей в процессе взаимодействия и свести описание движения солитонов к движению их центров. Однако, в этих работах не учитывалось влияние рассинхронизма, вызванного встречным наклоном фазовых фронтов солитонов, что снижает потенциал взаимодействия между солитонами. Этот эффект особенно велик при малом расстоянии между солитонами, когда наклон пучков значителен. Поэтому предложенные ранее модели адекватно описывают поведение лишь достаточно удалённых солитонов.

Другим следствием взаимодействия пучков 1-ой и 2-ой гармоник на квадратичной нелинейности может быть параметрическая взаимофокусировка и дефокусировка. При взаимофокусировке нелинейные фокусы возникают одновременно на двух частотах при соотношении фаз, таком же как при формировании солитонов, но при больших значениях начальной мощности, много превышающей порога возбуждения солитона. Величина интенсивности поля в фокусе может в несколько сот раз превосходить исходное значение. Ранее это явление было исследовано в режиме генерации второй гармоники (ГВГ) путем численного моделирования и было доказано отсутствие коллапса трехмерных пучков на квадратичной нелинейности [101]. Здесь параметрическая самофокусировка развивается после нескольких циклов обмена энергией между пучками в приосевой области. В результате дифракционного сбоя фаз волновые фронты автоматически приобретают вогнутую форму, после чего энергия стягивается в нелинейный фокус, вернее два фокуса для двух гармоник одновременно. Сложная картина активного и реактивного взаимодействия дифрагирующих пучков в удвоителе частоты затрудняет развитие достаточно простой и наглядной теории взаимофокусировки. Аналитическая теория взаимофокусировки до последнего времени не развивалась и, в частности, оптимизация входных параметров двух пучков не проводилась.

Для решения ряда новых задач в теории пространственных параметрических солитонов была выполнена данная диссертационная работа. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы, включающего 123 наименования. Общий объем работы составляет 98 страниц, включающих 38 рисунков.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть сформулированы следующим образом:

1. Рассмотрена динамика захвата параметрического солитона при падении на кваадратично-нелинейную среду двух в общем случае несоосных, со смещенными центрами сечений гауссовых пучков основной и второй гармоник. Вычисление параметров пучков, при которых захват параметрического солитона происходил с минимальными биениями амплитуд, выполнен с помощью сочетания вариационного и градиентного методов. Показана повышенная устойчивость трехмерных параметрических солитонов по отношению к мелкомасштабным поперечным возмущениям, что можно использовать для сглаживания амплитудных профилей гармоник.

2. Установлено, что первоначально смещенные пучки сливаются в солитон после нескольких затухающих пространственных осцилляций, сопровождающихся излучением энергии. При исследовании захвата в солитон двух несоосных пучков 1-ой и 2-ой гармоник обнаружено, что направление распространения солитона регулируется изменением мощности и угла падения пучка второй гармоники по отношению к основному пучку.

3. Выполнено численное моделирование возбуждения пространственных квадратичных солитонов в режиме параметрического усиления света при взаимодействии I типа в кристалле КЫЬ03 и II типа в кристалле КТР. Найдены зависимости порога захвата солитонов от различных параметров таких, как фазовый рассинхронизм, сдвиг между начальными фазами волны накачки и сигнальной волны, поляризация сигнальной волны и др. Выявлено широкое плато в зависимости порога от фазовой расстройки.

4. Разработана обобщенная теория взаимодействия квадратичных пространственных солитонов как эффективных частиц, которая учитывает фазовую расстройку из-за наклона волновых пучков. Выведены динамические уравнения трехмерных движений центров двух одинаковых взаимодействующих солитонов. Аналогом скорости частицы является угол наклона (поперечная составляющая волнового вектора), а потенциальной энергии взаимодействия - интеграл нелинейного перекрытия амплитудных профилей пучков разных частот.

5. Исследовано движение по спирали пространственных солитонов в квадратично-нелинейной среде. Найдены соотношения между углом наклона пучков, периодом и диаметром спирали, а также зависимость силы притяжения от расстояния между солитонами. Достигнуто хорошее соответствие с теорией, основанной на представлении солитонов в виде эффективных частиц. Обнаружена неустойчивость спирального вращения солитонов, обусловленная наличием локального максимума эффективной потенциальной энергии в точке равновесного значения радиуса спирали.

6. Предсказано относительное смещение пучков гармоник при спиральном закручивании, рассеянии и слиянии пары одинаковых солитонов. Построена зависимость величины смещения от среднего расстояния между солитонами.

7. Впервые в рамках приближения геометрической оптики рассмотрены эффективная взаимофокусировка и дефокусировка пучков, имеющих согласованные амплитудные и фазовые пространственные профили. Аналитическими методами найдены соотношения между параметрами согласованных гауссовых пучков первой и второй гармоник, которые позволяют значительно увеличивать интенсивность поля в нелинейном фокусе.

8. Решены уравнения геометрической оптики квадратично-нелинейных сред с помощью безаберрационного приближения для случая согласованной взаимофокусировки и дефокусировки. Получены зависимости ширины пучков от расстояния при взаимофокусировке и дефокусировке; даны оценки фокусного расстояния и интенсивности поля в нелинейном фокусе, согласующиеся с данными численного моделирования.

В заключение выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю д. ф. м. н. профессору Анатолию Петровичу Сухорукову за предложенные интересные темы и постоянную поддержку в работе. Я также благодарен аспиранту Дмитрию Арефьевичу Чупракову за сотрудничество в научных работах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Ю. Н. Карамзин, А. П. Сухоруков. О взаимофокусировке мощных световых пучков в средах с квадратичной нелинейностью. // ЖЭТФ. 1975. Т. 68. С. 834.

2. A. Hasegawa and F. Tappert // Appl. Phys. Lett. 1973. V. 23. P. 142.

3. L. F. Mollenauer, R. H. Stolen, and J. P. Gordon // Phys. Rev. Lett. 1980. V. 45. P. 1095.

4. A. Barthelemy, S. Maneuf, and C. Froehly // Opt. Commun. 1985. V. 55. P. 201.

5. S. Maneuf, R. Desailly, and C. Froehly // Opt. Commun. 1988. V. 65. P. 193.

6. S. Maneuf and F. Reynaud // Opt. Commun. 1988. V. 66. P. 325.

7. J. S. Aitchison, A. M. Weiner, Y. Silberberg, M. K. Oliver, J. L. Jackel, E. M. Vogel, and P. W. E. Smith // Opt. Lett. 1990. V. 15. P. 471.

8. Y. Silberberg. Collapse of optical pulses. // Opt. Lett. 1990. V. 15. P. 1282.

9. J. U. Kang, G. I. Stegeman, J. S. Aitchison, and N. Akhmediev // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76. P. 3699.

10. J. A. Armstrong, N. Bloembergen, J. Ducuing, and P. S. Pershan. Interactions between light waves in a nonlinear dielectric. // Phys. Rev. 1962. V. 127. P. 1918.

11. R. Y. Chiao, E. Garmire, and С. H. Townes // Phys. Rev. Lett. 1964. V. 13. P. 479.

12. В. E. Захаров, А. Б. Шабат // ЖЭТФ. 1972. Т. 34. С. 62.

13. J. P. Gordon. Interaction forces among solitons in optical fibers. // Opt. Lett. 1983. V. 8. P. 596.

14. F. Reynaud and A. Barthelemy // Europhys. Lett. 1990. V. 12. P. 401.

15. J. S. Aitchison, A. M. Weiner, Y. Silberberg, D. E. Leaird, M. K. Oliver, J. L. Jackel, and P. W. E. Smith. Experimental observation of spatial solitong interactions. // Opt. Lett. 1991. V. 16. P. 15.

16. A. W. Snyder and A. P. Sheppard. Collisions, steering, and guidance with spatial solitons. // Opt. Lett. 1993. V. 18. P 482.

17. D. E. Edmundson and R. H. Enns. Particlelike nature of colliding three-dimensional optical solitons. // Phys. Rev. A. 1995. V. 51. P. 2491.

18. V. Tikhonenko, J. Christou, and B. Luther-Daves. Spiraling bright spatial solitons formed by the breakup of an optical vortex in a saturable self-focusing medium. // J. Opt. Soc. Am. B. 1995. V. 12. P. 2046.

19. V. Tikhonenko, J. Christou, and B. Luther-Daves. Three Dimensional bright spatial soliton collision and fusion in a saturable nonlinear medium. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76. P. 2698.

20. P. B. Lundquist and D. R. Andersen. Four-wave mixing spatial soliton interaction dynamics. // J. Opt. Soc. Am. B. 1997. V. 14. P. 3038. A. W. Snyder, A. V. Buryak, and D. J. Mitchell. Beam splitting on weak illumination. // Opt. Lett. 1998. V. 23. P. 4.

21. А. С. Десятников, А. И. Маймистов. Взаимодействие двух пространственно-разделенных пучков света в нелинейной керровской среде. //ЖЭТФ. 1998. Т. 113. №. 6. С. 2011.

22. E. Alvarado-Mendez, G. Е. Torres-Cisneros, М. Torres-Cisneros, J. J. Sanchez-Mondragon, and V. Vysloukh. Internal reflection of one-dimensional bright spatial solitons. // Opt. Quant. Electron. 1998. V. 30. P. 687.

23. M. Desaix, D. Anderson, and M. Lisak // J. Opt. Soc. Am. B. 1991. V. 8. P. 2082.

24. A. W. Snyder, D. J. Mitchell, L. Poladian, and F. Ladouceur // Opt. Lett. 1991. V. 16. P. 21.

25. A. W. Snyder and Y. S. Kivshar. Bright spatial solitons in non-Kerr media: stationary beams and dynamical evolution. // J. Opt. Soc. Am. B. 1997. V. 14, P. 3025.

26. W. E. Torruellas, Z. Wang, D. J. Hagan, E. W. VanStryland, G. I. Stegeman, L. Torner, and C. R. Menyuk. Observation of two-dimensional spatial solitary waves in a quadratic medium. // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 74, P. 5036.

27. W. E. Torruellas, Z. Wang, L. Torner, and G. I. Stegeman. Observation of mutual trapping and dragging of two-dimensional spatial solitary waves in a quadratic medium. // Opt. Lett. 1995. V. 20. P. 1949.

28. K. Hayata and M. Koshiba. Multidimensional solitons in quadratic nonlinear media. //Phys. Rev. Lett. 1993. V. 71. P. 3275.

29. A. V. Buryak, and Y. S. Kivshar. Spatial optical solitons governed by quadratic nonlinearity. // Opt. Lett. 1994. V. 19. P. 1612.

30. L. Torner, C. R. Menyuk, and G. I. Stegeman. Excitation of solitons with cascaded %{2) nonlinearities. // Opt. Lett. 1994. V. 19. P. 1615.

31. M. J. Werner and P. D. Drummond. Strongly coupled nonlinear parametric solitary waves. // Opt. Lett. 1994. V. 19. P. 613.

32. C. R. Menyuk, R. Schiek, and L. Torner. Solitary waves due to %(2): %(2) cascading. // J. Opt. Soc. Am. B. 1994. V. 11. P. 2434.

33. G. I. Stegeman, D. J. Hagan, and L. Torner. x(2) cascading phenomena and their applications to all-optical signal processing, mode-locking, pulse compression and solitons. // Optical and Quantum Electron. 1997. V. 29. P. 532.

34. L. Torner, C. R. Menyuk, W. E. Torruellas, and G. I. Stegeman. Two-dimensional solitons with second-order nonlinearity. // Opt. Lett. 1995. V. 20. P. 13.

35. L. Torner, C. R. Menyuk, and G.I. Stegeman. Bright solitons with second-order nonlinearities. // J. Opt. Soc. Am. B. 1995. V. 12. P. 889.

36. А. V. Buryak, Y. S. Kivshar, and V. V. Steblina // Phys. Rev. A. 1995. V. 52. P. 1670.

37. Torner, W. E. Torruellas, G. I. Stegeman, and C. R. Menyuk. Beam steering by X(2) trapping. // Opt. Lett. 1995. V. 20. P. 1952.

38. C. Jly, А. П. Сухорукое. Формирование трехмерных пространственных солитонов в среде с квадратичной нелинейностью. // Изв. РАН Сер. физ. 1996. Т. 60. №. 12. С. 64.

39. A. V. Buryak and Y. S. Kivshar. Multistability of three-wave parametric self-trapping. // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. P. 3286.

40. B. A. Malomed, P. Drummond, H. He, A. Berntson, D. Anderson, and M. Lisak. Spatialtemporal solitons in multidimensional optical media with a quadratic nonlinearity. // Phys. Rev. E. 1997. V. 56. P. 4725.

41. H. He and P. Drummond. Ideal soliton environment using parametric band gaps. // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. P. 4311.

42. P. Drummond and H. He. Optical mesons. // Phys. Rev. A. 1997. V. 56. P. 1107.

43. G. Leo, G. Assanto, and W. E. Torruellas. Bidimensional spatial solitary waves in quadratically nonlinear bulk media. // J. Opt. Soc. Am. B. 1997. V. 14. P. 3134.

44. A. V. Buryak, Y. S. Kivshar, and S. Trillo. Parametric spatial solitary waves due to type II second-harmonic generation. // J. Opt. Soc. Am. B. 1997. V. 14. P. 3110.

45. R. A. Fuerst, M. T. G. Canva, D. Baboiu, and G. I. Stegeman. Properties of type II quadratic solitons excited by imbalanced fundamental waves. // Opt. Lett. 1997. V. 22. P. 1748.

46. R. A. Fuerst, B. L. Lawrence, W. E. Torruellas, and G. I. Stegeman. Beam reshaping by use of spatial solitons in the quadratic nonlinear medium KTP. // Opt. Lett. 1997. V. 22. P. 19.

47. U. Peschel, C. Etrich, F. Lederer, and B. A. Malomed. Vectorial solitary waves in optical media with a quadratic nonlinearity. // Phys. Rev. E. 1997. V. 55. P. 7704.

48. D. M. Baboiu and G. I. Stegeman. Solitary-wave interactions in quadratic media near type I phase-matching conditions. // J. Opt. Soc. Am. B. 1997. V. 14. P. 3143.

49. G. Leo and G. Assanto. Collisional interactions of vectorial spatial solitary waves in type II frequency-doubling media. // J. Opt. Soc. Am. B. 1997. V. 14. P. 3151.

50. G. Leo and G. Assanto. Multiple branching of vectorial spatial solitary waves in quadratic media. // Opt. Commun. 1998. V. 146. P. 356. L. Torner. Amplification of quadratic solitons. // Opt. Commun. 1998. V. 154, P. 59.

51. A. A. Sukhorukov. Approximate solutions and scaling transformations for quadratic solitons. // Phys. Rev. E. 2000. V. 61. P. 4530.

52. R. Shiek, Y. Baek, G. I. Stegeman, and W. Sohler. One-dimensional quadratic walking solitons. // Opt. Lett. 1999. V. 24. P. 83.

53. R. A. Fuerst, M. T. G. Canva, G. I. Stegeman, G. Leo, and G. Assanto. Robust generation, properties and potential applications of quadratic spatial solitons generated by optical parametric amplification. // Opt. Quant. Electron. 1998. V. 30. P. 907.

54. G. Leo and G. Assanto. Phase and polarization-insensitive all-optical switching by self-guiding in quadratic media. // Opt. Lett. 1997. V. 22. P. 1391.

55. P. D. Trapani and W. Chinaglia. Ultrafast addressing by use of solitons in traveling-wave parametric amplification. // Opt. Lett. 1998. V. 23. P. 1653.

56. B. Costantini, C. D. Angelis, A. Barthelemy, B. Bourliaguet, and V. Kermene. Collision between type II two-dimensional quadratic solitons. // Opt. Lett. 1998. V. 23. P. 424.

57. G. Leo, G. Assanto, and W. E. Torruellas. Intensity-controlled interactions between vectorial spatial solitary waves in quadratic nonlinear media. // Opt. Lett. 1997. V. 22. P. 7.

58. А. V. Buryak and V. V. Steblina. Soliton collisions in bulk quadratic media: comprehensive analytical and numerical study. // J. Opt. Soc. Am. B. 1999. V. 16. P. 245.

59. B. Constantini, C. D. Angelis, A. Barthelemy, A. Laureti Palma, and G. Assanto. Polarization-multiplexed %(2) solitary-wave interactions. // Opt. Lett. 1997. Y. 22. P. 1376.

60. D.-M. Baboiu, G. I. Stegeman, and L. Torner. Interaction of one-dimensional bright solitary waves in quadratic media. // Opt. Lett. 1995. V. 20. P. 2282.

61. С. Jly, А. П. Сухоруков, Д. А. Чупраков. Спиральное вращение пространственных солитонов в квадратично нелинейной среде. // Изв. РАН Сер. физ. 1998. Т. 62. № 12. С. 2319.

62. V. V. Steblina, Y. S. Kivshar, and А. V. Buryak. Scattering and spiraling of solitons in a bulk quadratic medium. // Opt. Lett. 1998. V. 23. P. 156.

63. C. Etrich, U. Peschel, F. Lederer, and B. Malomed. Collision of solitary waves in media with a second-order nonlinearity. // Phys. Rev. A. 1995. V. 52. P. 3444.

64. S. Darmanyan, A. Kobyakov, and F. Lederer. Quadratic solitons in nonconservative media. // Opt. Lett. 1999. V. 24. P. 1517.

65. C. Balslev Clausen, O. Bang, Yu. S. Kivshar, and P. L. Christiansen. Effect of a fluctuating phase mismatch on spatial solitons in quadratic media. // Opt. Lett. 1997. V. 22. P. 217.

66. G. I. Stegeman, M. Sheik-Bahae, E. Van Stryland, and G. Assanto. Large nonlinear phase shifts in second-order nonlinear-optical processes. // Opt. Lett. 1993. V. 18. P. 13.

67. D. C. Hutchings, J. S. Aitchison, and C. N. Ironside. All-optical switching based on nondegenerate phase shifts from a cascaded second-order nonlinearity. // Opt. Lett. 1993. V. 18. P. 793.

68. D. V. Petrov, L. Torner. Second harmonic generation by intense beams containing phase dislocations: self-breaking into sets of solitons. // Opt. Quant. Electron. 1997. V. 29. P. 1037.

69. D. V. Petrov, L. Torner, J. Martorell, R. Vilaseca, J. P. Torres, and C. Cojocaru. Observation of azimuthal modulational instability and formation of patterns of optical solitons in a quadratic nonlinear crystal. // Opt. Lett. 1998. V. 23. P. 1444.

70. V. V. Steblina, Y. S. Kivshar, M. Lisak, and B. A. Malomed // Opt. Commun. 1995. V. 118. P. 345.

71. M. F. Shin, M. Segev, and G. Salamo. Three-dimensional spiraling of interacting spatial solitons. // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. P. 2551.

72. K. A. Gorshkov and L. A. Ostrovsky. Interactions of solitons in nonintegrable systems: direct pertubation method and applications. // Physica D. 1981. V. 3. P. 428.

73. V. I. Karpman and V. V. Solov'ev. A perturbation approach to the two-solitons systems. // Physica D. 1981. V. 3, P. 487.

74. B. Bourliaguet, V. Couderc, A. Barthelemy, G. W. Ross, P. G. R. Smith, D. C. Hanna, and C. D. Angelis. Observation of quadratic spatial solitons in periodically poled lithium niobate. // Opt. Lett. 1999. V. 24. P. 1410.

75. А. П. Сухоруков. Самовоздействие и солитоны огибающей в средах с квадратичной нелинейностью. // Соросовский Образовательный Журнал (в печати).

76. С. Лу, А. П. Сухоруков, Д. А. Чупраков. Формирование пространственных квадратичных солитонов в параметрическом усилителе. // Труды VII Всероссийской школы-семинара "Физика и применение микроволн". Красновидово, Май, 1999. Т. 1. С. 40.

77. В. Р. Халилов, Г. А. Чижов. Динамика классических систем. // М.: Изд-во МГУ, 1993. С. 47.

78. JI. Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. // М.: Наука, 1969. С. 324.

79. Ю. Н. Карамзин Численные методы для некоторых задач нелинейной оптики. // Препринт ИПМ АН СССР им. М. В. Келдыша. 1982. № 73.

80. А. П. Сухоруков. Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике. // М.: Наука, 1988. 230 с.

81. Ю. Н. Карамзин, А. П. Сухоруков, В. А. Трофимов. Математическое моделирование в нелинейной оптике. // М.: Издательство Московского Университета, 1989. 153 с.

82. С. Лу, А. П. Сухоруков. Взаимофокусировка световых пучков в средах с квадратичной нелинейностью. //Изв. РАН. Сер. Физ. 1997. С. 2342.

83. А. P. Sukhorukov, X. Lu. Ray optics theory of mutual focusing in quadratic nonlinear media. // Advanced photonics with second-order optically nonlinear processes. Kluwer Academic publishers. 1999. P. 227.

84. А. П. Сухоруков. //Вестн. МГУ. Сер. 3. Физика и астрономия. 1996. № 6. С. 32.

85. М. Б. Виноградова, О. В. Руденко, А. П. Сухоруков. Теория Волн. // М.: Наука, 1990. 230 с.

86. С. Jly. Сухоруков А. П. Среднеквадратичная расходимость как мера качества лазерного пучка в адаптивной оптике. // Изв. РАН. Сер. Физ. 1996. Т. 60. №. 3. С. 96.

87. А. P. Sukhorukov, V. A. Trofimov, X. Lu. Mean-squared divergence as a beam quality in adaptive optics. // 8-th Laser Optics Conference. St.Petersburg, Russia. June 27-July 1. 1995. Technical Digest. P. 26.

88. С. Лу. Взаимодействия волновых пучков основного излучения и второй гармоники в средах с квадратичной нелинейностью. // Тезисы Международной конференции студентов и аспирантов "Ломоносов 96", Москва, 1996. Сборник тезисов. С. 97.

89. С. Лу. Взаимофокусировка волновых пучков основного излучения и второй гармоники в средах с квадратичной нелинейностью // Хохловские чтения, Москва, 1996.

90. С. Лу, А. П. Сухоруков. Формирование пространственных солитонов в среде с квадратичной нелинейностью. // Тезисы V Всероссийской школы- 96семинара "Волновые явления в неоднородных средах". Красновидово, Май, 1996. С. 68.

91. А. П. Сухоруков, М. В. Комиссарова, С. Jly, С. В. Поляков, А. С. Поташников, А. В. Чурилова. Солитоны огибающей в средах с квадратичной нелинейностью. // Тезисы конференции "Проблемы фундаментальной физики", Саратов, 1996.

92. С. Лу, А. П. Сухоруков. Взаимофокусировка волновых пучков в средах с квадратичной нелинейностью. // Тезисы VI Всероссийской школы-семинара "Физика и применение микроволн". Красновидово, Май, 1997. С. 9.

93. С. Лу, А. П. Сухоруков. Спиральное вращение пространственных солитонов в квадратично-нелинейной среде. // Тезисы VI Всероссийской школы-семинара "Волновые явления в неоднородных средах". Красновидово, Май, 1998. С. 28.

94. X. Lu, А. P. Sukhorukov, А. К. Sukhorukova. Bessel and Gaussian beams in optical quadratic crystals. // 9-th Laser Optics Conference. St.Petersburg, Russia. June 22-26, 1998. Technical Program. P. 13.

95. A. P. Sukhorukov, X. Lu. Spiraling of spatial quadratic solitons. //16-th. International conference on coherent and nonlinear optics. Moscow, Russia. June 29 July 3, 1998. Technical Program. P. 62.

96. A. P. Sukhorukov, X. Lu, S. V. Polyakov. Paramectric solitons and mutual focusing in quadratically nonlinear media. //16-th. International conference on coherent and nonlinear optics. Moscow, Russia. June 29 July 3, 1998. Technical Program. P. 40.

97. X. Lu, A. P. Sukhorukov, D. A. Chuprakov. Non-planar interactions of spatial quadratic solitons. // 5-th International School on chaotic oscillations and pattern formation "CHAOS'98". Saratov, Russia. October 6-10, 1998. Book of Abstracts. P. 40.

98. А. P. Sukhorukov, X. Lu, D. A. Chuprakov. Quadratic soliton interactions in a bulk medium. // Nonlinear Guided Waves and Their Applications, Technical Digest, Topical meeting, Dijon, France. September 1-3, 1999. Technical Digest. WD-14. P. 97.

99. A. P. Sukhorukov, X. Lu, D. A. Chuprakov. All-optical switching by interaction of spatial quadratic solitons. // International conference "Advanced Laser Technologies ALT'99", Potenza-Lecce, Italy. September 20-24, 1999. Advance Program. P. 19.