Динамика и управление автономным мобильным роботом с двумя соосными колесами

Белотелов, Вадим Николаевич

Динамика и управление автономным мобильным роботом с двумя соосными колесами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Белотелов, Вадим Николаевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Динамика и управление автономным мобильным роботом с двумя соосными колесами»

Автореферат диссертации на тему "Динамика и управление автономным мобильным роботом с двумя соосными колесами"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

□034945Э0

На правах рукописи

Белотелов Вадим Николаевич

ДИНАМИКА И УПРАВЛЕНИЕ АВТОНОМНЫМ МОБИЛЬНЫМ РОБОТОМ С ДВУМЯ СООСНЫМИ КОЛЕСАМИ

специальность: 01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2010

2 5 МАР 2010

003494590

Работа выполнена на кафедре прикладной механики и управления

механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Ю.Г. Мартыненко

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ю.Ф. Голубев доктор физико-математических наук, профессор Г.Н. Яковенко

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Институт проблем механики имени А.Ю. Ишлинского РАН

Защита состоится 26 марта 2010 года в 16:30 на заседании диссертационного совета Д 501.001.22 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, Главное здание МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-10

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание МГУ, 14 этаж).

Автореферат разослан 24 февраля 2010 года

Ученый секретарь диссертационного совета, доцент

В. А. Прошкин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Развитие теории аппаратов с двумя соосными колесами стимулируется многочисленными приложениями, возникшими в последнее время в промышленности, в транспорте, в робототехнике. Проблема синтеза алгоритмов стабилизации стационарных движений таких систем актуальна как в связи с разработкой теории управления неголономными неустойчивыми системами с дефицитом числа управляющих воздействий, так и с обеспечением требований безопасности сервисных гуманоидных роботов и колесных аппаратов, используемых в режиме индивидуальных транспортных средств.

Цель работы.

Целью данной диссертационной работы является исследование динамики двухколесного аппарата, корпус которого представляет собой произвольное твердое тело, построение законов управления движением такого аппарата по горизонтальной плоскости, разработка алгоритмов определения фазовых координат рассматриваемой системы при различном составе измерений.

Научная новизна.

В работе впервые построена пространственная модель движения двухколесного аппарата, корпус которого является произвольным твердым телом, шарнирно закрепленным на оси колесной пары. В модели учтено наличие редукторов между электродвигателями и колесами и ограниченность допустимых напряжений, подаваемых на двигатели. Разработаны алгоритмы управления, обеспечивающие максимальную область притяжения вертикального положения корпуса. При различном составе измерений решена задача определения параметров движения аппарата, включая построение вертикали. Предложен новый алгоритм определения фазовых переменных по показаниям двух датчиков углов поворота колес относительно корпуса.

Достоверность и обоснованность

Все результаты работы получены при исследовании полной и корректной модели двухколесного аппарата. Они базируются на методах теоретической механики и теории управления. Аналитические вычисления и все численные эксперименты проводились в известной и хорошо зарекомендовавшей себя системе «Mathematica».

Теоретическая и практическая ценность.

В работе построена математическая модель аппарата, представляющего собой твердое тело на колесной паре. Проведен анализ управляемости и разработан алгоритм управления движением аппарата, реализующий максимальную область притяжения его стационарного движения при наличии ограничений на управляющие воздействия. Проведен анализ наблюдаемости и построен алгоритм определения фазовых переменных системы по показаниям двух датчиков поворота колес относительно корпуса.

Полученные результаты могут быть применены при создании мобильных роботов и транспортных средств, использующих кинематическую схему перевернутого физического маятника на колесной паре.

Апробация и публикации.

Результаты диссертации излагались автором на следующих конференциях и семинарах:

Научные конференции «Ломоносовские чтения», секция механики, 2004,2005 гг.

- Всероссийская научная конференция «Математика. Компьютер. Образование», 2005 г.,

Конференции-конкурсы молодых ученых МГУ, 2008,2009 гг.,

- Всероссийская научная школа-конференция с международным участием «Теория управления: новые методы и приложения», Пере-славль-Залесский, 22-26 сентября 2009,

Семинар Института проблем механики РАН «Теория управления и динамика систем» под руководством академика Ф.Л. Черноусько.

Список публикаций по теме диссертации приведен в конце автореферата.

Работа над диссертацией выполнялась при поддержке РФФИ (проекты 06-01-00517а, 09-01-00593а) и Фонда содействия развитию малых форм предприятий в научной сфере (программа «УМНИК»).

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы. Общий объем работы составляет 125 страниц, включая список использованных источников из 84 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор работ по теме диссертации, обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется ее цель, а также определяется научная новизна, теоретическая и практическая значимость полученных результатов. Описана структура диссертации и дано краткое содержание ее глав.

В первой главе описана конструкция аппарата (рис. 1), который состоит из корпуса 1, шарнирно закрепленного на горизонтальной оси колесной пары с двумя одинаковыми колесами 2,3 радиуса г. Центр масс С, корпуса находится выше оси вращения колес, проходящей через их центры масс С2 и С3. Колеса 2,3 жестко скреплены с шестернями радиуса г,, которые находятся в зацеплении с шестернями радиуса гг, жестко скрепленными с роторами двигателей 4, 5. Статоры двигателей установлены на корпусе 1. Оси вращения колес и роторов двигателей являются осями симметрии соответствующих центральных эллипсоидов инерции, а корпус представляет собой произвольное твердое тело.

Предполагается, что во все время движения отрыва колес от горизонтальной плоскости Оху не происходит.

Колесная пара с прикрепленным маятником и роторами электродвигателей постоянного тока представляет собой систему пяти абсолютно твердых тел, положение которых можно определить восемью независимыми параметрами: ц =

(х у у а <р2 (р3 (р^ (р5)' , где х,у - координаты точки А, у/ — угол курса (угол поворота вокруг оси Аг1 колесной пары, отсчитываемый от оси х), а -угол поворота маятника (угол между осями Аг1 и Агь), (ргь(ръ - абсолютные углы поворота колес относительно горизонтальной оси Ауп <рА,<р5 -абсолютные углы поворота роторов электродвигателей относительно своих осей вращения, Г - знак транспонирования.

Условия отсутствия проскальзывания колес аппарата приводят к трем независимым уравнениям неголономных связей

чР2у\ = = -хв,\пу/ + усоъц/ = О

VР2хХ = х со$\// +у&ту/ + ац/-г ф2 = Ъ (1)

= хсоб^/ + узту -сщг — г<р2 = О

Условия отсутствия проскальзывания в точках зацепления шестерен имеют вид

г2( 1 +

г2(\ + х)сс-г№-ггф5=0

Рис. 1. Схема аппарата

cos у/ sin у/ 0 о у /г 1/ / г ■Уг

0 0 1 0 а/ -а/ -Ха/ Ха/

/г / г /г / г

0 0 0 1 0 0 7 + 1 Z +1

Здесь % = гг1г\ отношение радиусов шестерен — коэффициент редукции. Таким образом, на восемь обобщенных координат налагается пять уравнений связей (1), (2), и рассматриваемая система имеет три степени свободы.

Связь между векторами обобщенных скоростей с| и псевдоскоростей я =

(К, , ) записывается в матричном виде

Я = ш, нг

(3)

где K = xcos^+jsinц/ - скорость точки A, Qv = ц/ , С1а =сс.

Для вывода уравнений движения используется система аналитических вычислений «Mathematica». В этой системе была паписапа программа, автоматизирующая вывод уравнений из общих теорем динамики, а также с применением формализма Маджи и Аппеля для неголономных систем.

В работе электродвигатели аппарата считаются одинаковыми, а момент на валу двигателя определяется выражением:

N?=cvuRJ.-cv{q>AJi-aa), (4)

где Си,Су -постоянные коэффициенты, определяемые паспортными характеристиками двигателя, а подаваемые на правый и левый двигатели напряжения UR L ограничены по абсолютной величине

\URL(t)\<U0 (U0 = const ) (5)

Кинематические и динамические уравнения движения аппарата в безразмерной форме:

х =vcosw\ v =vsnw; w =o) ; a =a>

(6)

v'+(л + J\ cos«) a'a - ЛоЧ - Л sina(o¿ + <о2) ■+ pv- рша = (л +Л sin2 a+y5 sin -jwv'-{j1 cosa-j6 sin a)a'e+ +(y6cosa+y7sina)ft>2 + y,sinovia^+(2j5cos2a+/4sin2a)ü)aú) -t-/2;«^ =/«0 (7) U +;.cosa)v'+7X - (y, cos a - y6 sin а) --(/4 cos a sin a+y5 eos 2or) «y2 - pv + paa - j\ sin a = -us

Здесь введены безразмерные переменные и безразмерное время г по формулам v = V/V', av=t'£2v, (Da = t'Q.a, r = tlt*, где V^yfgr, t*=,jrjg, и управляющие воздействия US=UR+UL, UD=UR-UL, При этом us-Us/U*, uD=UD/U', U' = aug/-/(jCy). Штрих означает дифференцирование по безразмерному времени г, и использованы следующие обозначения для безразмерных комплексов:

: _ а|3 ,• _ Яс13 : _ g12

JO ~~ > J\ ~ > JK ~ anr anr u„r

a,.

_ , - 33 ; _ "U

2> Jl~ 2 ' 2

11' «цГ «i/

a-,.

a,.

2' h ~ 2' h' a,,r a.,r

1CvX

2' P =

___, ¡=zt

ii'

(8)

•«и' "и

которые составлены из размерных параметров аппарата

а,, = щ + 2 тг

( рг л I+Eil г2 + 2 м4 Г 2 2 ^ 1 . X РУ4 г1 , о]2 = b2m

V / 1 Г )

а22 ~ т\ ifil + р\\ ) + 2т2

\ V

f Л W

+ 2 т.

J J

2 2 2 Л „2 , „2 , а X РуА а1 +—

аГ1 = т\Ъ]+ргу1) + + ^ аПс + (9)

"и =--"-^-Ч 4 = 2г, I :1 + - \ т, + ж, + - А,),

а24 = РъЩ > аМ ~ РтуЩ » "44 = (+ )И1 >

/я,, от2 =от3, ш4 =от5 - соответственно масса корпуса, колеса, ротора, - тензор инерции корпуса в осях хьуьгь, = Л3, 34 = - тензоры инерции колес и

роторов в главных центральных осях инерции, которые коллинеарны осям

J ,=т.

( 2 Ри ~Р*>

~Рху Рху

Ри

Г 2 Рг

32=т2

О Р\у О О

о о

р\

Л4=т4

Р]

О Р\У О О 0 р1

Уравнения, получаемые с помощью теорем динамики, содержат реакции связей. В работе определяются вертикальные компоненты реакций опорной плоскости, приложенных к колесам, и сумма составляющих этих реакций, направленных параллельно оси вращения колес.

Уравнения движения аппарата с динамически симметричным корпусом образуются из уравнений (7), если в формулах (9) величину Ь2 смещения центра масс корпуса в сторону от плоскости геометрической симметрии принять равной нулю.

Проведенное сравнение «объема» уравнений (число символов до приведения подобных членов, которые образуются при многократном умножении матриц ориентации при выводе уравнений) показало, что уравнения Маджи содержат 7 тысяч символов, а уравнения Аппеля - 11 тысяч. После приведения подобных слагаемых уравнения Маджи и Аппеля совпадают.

Во второй главе найдено семейство стационарных решений системы (6), (7), которые в случае динамически симметричного корпуса (js=j6=j1 = Q, у10 =0) представляют собой такие движения аппарата, при которых центр колесной пары движется с постоянной скоростью по прямой (формула (10) или по окружности (формула (11), а маятник (корпус) находится в верхнем (неустойчивом) положении.

х-у0(, у = 0, ц/= 0, а = 0, у = у0, соа- 0, со¥=0 = — зт(гу0г + у = соз(со0т + у/0), ц/ = а>0т + ц/0,а = О,

(10)

(П)

Рис. 2. Геометрический смысл угла у

При рассмотрении движения по окружности сделан переход к новым координатам по формулам

x = rcos(y/-y-л"/2),

_______.....

у — / мЩ ~ У — /t/z.;,

где (-л-) - полярный радиус, а угол у можно считать «локальным» курсом (рис. 2).

При линеаризации уравнений (7) в окрестности стационар-

ного движения (10) или (11) линейная система, записанная в отклонениях переменных от стационарных значений, в общем случае имеет вид

(К (И

6 = A6i;6+B6u, А6 = s 3x3

А dj

( 0 0

;в6 =

А =

ь, о

3x1

0 1ь

V3xl d

; « =

(12)

Л + h

-1-Л

hvо

-Л®о 0 hv о 0 0 -pl\

V1/

Здесь вектор Е,6 в случае движения по прямой состоит из отклонений (Аа, Ду, Асоа, Ау, Д(//, А«,,, , а в случае движения по окружности - из отклонений (Да, Ду, Асоа, А г, А у, Аа^.

В системе (12) выделяются две подсистемы - подсистема продольного движения с парой (А5,Ь5) и скалярным управлением и, и подсистема бокового движения с парой (А^Ь^) и скалярным управлением ил.

Критерием управляемости подсистемы продольного движения является неравенство пулю определителя матрицы управляемости

£^е1(Ь5,А>Ь1,А12Ь1) = -78"3(1 ++(_/, ч-/,)^ (13)

Критерием управляемости подсистемы бокового движения является неравенство нулю определителя матрицы управляемости

с1е1(Ь„А,Ь,.А>,) = -у2-2/Ч^0 (14)

Физический смысл условия (13) заключается в том, что при достаточно большом моменте инерции корпуса относительно вертикальной оси выражение ( /, + у4) может стать отрицательным (см. формулы (8) и (9)), и система может стать неуправляемой при некоторых скоростях <у0 стационарного движения. Неравенство (14) в сделанных предположениях о свойствах аппарата выполнено всегда, и подсистема бокового движения всегда управляема.

Условие реализуемости стационарного движения, заключающееся в положительности вертикальных составляющих реакций опорной плоскости во время движения, сводится к ограничению на центростремительное ускорение

|уй,1<_атЕ-2(т|+2(ш2 + ,к4))_ ^

т/х{г + Ь]) + 2т2х(г2+р2у2) + 2тА(г(г1 + гх + г1х)-х2р^)

Линеаризованная система продольного движения имеет одно собственное значение \ в правой полуплоскости. Выделяется «неустойчивая» переменная С, , которая является линейной комбинацией переменных продольного движения ^. Алгоритм, в котором управление и, строится в виде линейной обратной связи по неустойчивой переменной С, , реализует максимальную область притяжения стационарного движения в случае ограниченного напряжения и$:

Г>Ъ (16)

Другой алгоритм в виде линейной обратной связи по всем переменным продольного движения позволяет назначать собственные значения замкнутой системы, однако, он уменьшает область управляемости по сравнению с законом управления (16).

и.=К„

Ау

(17)

Для стабилизации бокового движения использовался метод назначения корней аналогично (17):

Д г )

Ау

> К<4. ~[К>ку>Кч')

(18)

Проверка работоспособности полученных алгоритмов управления в полной нелинейной модели с учетом ограничений на управляющие напряжения проводилась численно. График динамики угла наклона корпуса при использовании управления (16) и (17) приведен на рис. 3.

-ю -20 -30

/V ........I.............

4 1

Рис. 3. Динамика угла наклона корпуса (в градусах) в нелинейной модели при движении по окружности с использованием алгоритма управления (16) (левый рисунок) и (17)

(правый рисунок).

В случае динамически несимметричного корпуса ( у5 Ф 0 ) в системе существуют только стационарные решения, соответствующие движению по прямой с постоянной скоростью. Система, линеаризованная в окрестности такого стационарного решения, не разделяется на продольное и боковое движение.

Поставлен численный эксперимент, в котором система (7) была замкнута обратной связью (17), (18), со всеми назначенными корнями, равными = -0.5, и проведена линеаризация замкнутой системы в окрестности стационарного движения по

прямой. При варьировании Рис. 4. Миграция корней системы, замкнутой обратной

смещения центра масс кор-

свячью, не учитывающей смещение центра масс, при увеличении смещения центра масс корпуса в сторону от пУса Ь2 ОТ нуля до макси-плоскости геометрической симметрии аппарата. Собст- мального значения а (рас-венные числа остаются в левой полуплоскости.. стояние от центра колесной

пары до центра колеса) собственные значения такой системы мигрируют, но остаются в левой полуплоскости (рис. 4). Э то подтверждает возможность стабилизации линеаризованной системы в случае несимметричного корпуса законом управления, построенным для «симметричной» системы.

Численные эксперименты с нелинейной моделью, в которой корпус несимметричен, показали применимость законов управления, построенных для симметричной модели.

В третьей главе рассматривается задача определения фазового вектора системы, необходимого для замыкания системы управления. Исследована возможность определения фазовых переменных непосредственно при помощи двух двухкомпонентных акселерометров, а также показана принципиальная возможность и предложен метод определения фазовых переменных (наблюдатель Люенбергера) при использовании показаний двух датчиков угла поворота

колес относительно корпуса. Верификация предложенных моделей и алгоритмов проводилась с помощью вычислительных экспериментов и аналитически с

При определении угла наклона корпуса с помощью акселерометров рассматриваются два двухкомпонентных акселерометра, закрепленные на оси Azb, соединяющей середину колесной пары и центр масс корпуса на расстояниях /, и 12 от оси вращения колес. Одна из чувствительных осей каждого акселерометра направлена вдоль Azb, другая направлена перпендикулярно этой оси в плоскости вращения корпуса вокруг оси вращения колес (рис. 5).

Проекции ускорений точек крепления акселерометров на оси, параллельные осям хь и zb, обозначены соответственно a¡x и ai2, i = 1,2. Для них имеют место следующие формулы:

а. = V cos а +1Q„ + /,. sin a cos aQ2, + g sin a

(19)

a¡z = V sin a - 1£1га -1¡ sin2 аП* - g cos a Для угла наклона корпуса а получена формула

. rq2±Jqf(q?+q22-r2)

а = arcsin-*—^-----(20)

Ч[+Чг

где qx-lxa^-lyau, q, = l2air-lxa2t, г = g(l2 -/,).

Истинное значение угла а может принадлежать одной из ветвей выражения (20), и необходимым условием смены ветви для определения угла а является обращение в ноль подкоренного выражения в формуле (20).

применением системы «Mathematica».

Рис. 5. Расположение акселерометров па корпусе аппарата.

В задаче определения фазовых переменных продольного движения а, V, аа по измерению углов поворота колес относительно корпуса аппарата рассматривается система

<р'= V

а' = со„

(21)

V' + (Л + А С0!3а)а'а - А 51Па(01 + ®а) = и$ Ц + А С03 а) V' + А ^ а = -Щ

с измерением г — <р — а. Здесь введена переменная д> = ^ . Критерием наблюдаемости системы (21) является неравенство нулю определителя матрицы наблюдаемости

(ЫВ^14"/9) (22)

Д2 4

Физический смысл выражения (22) состоит в том, что рассматриваемая система наблюдаема тогда и только тогда, когда ее общий центр масс не лежит на оси вращения колес.

Для определения фазовых переменных продольного движения построен наблюдатель Люенбергера, переменные которого использовались в законе управления (17) вместо отклонений фазовых переменных.

£=А4£+В4К„|4

£=А4£+В4ки|4+К4С4(#4-#4) 23

Здесь £4=(Д^> Аа Av Д®а)' , А4 и В4 - матрицы системы (21), линеаризованной в окрестности стационарного движения с постоянной скоростью, - переменные наблюдателя, С4=(1 -1 0 0) - вектор-строка измерения, К4 = (Д, ка ку кта) - вектор обратной связи наблюдателя, назначающий заданные собственные значения матрицы (А4 -К4С4).

Численный эксперимент показал применимость такого способа определения фазовых переменных в полной нелинейной модели, замкнутой обратной

связью вида (17) по переменным наблюдателя, учитывающей ограничения на управляющее напряжение и1 (рис. 6, 7)

90° 45°

-45°

1 ......|.......т

V 1

90°

45° Ь

-45"

и ! .......

а) б)

Рис. 6. Динамика угла наклона корпуса а при стабилизации нелинейной модели линейной обратной связью по отклонениям фазовых переменных (слева) и по переменным наблюдателя (справа). Пунктиром показана динамика переменной наблюдателя а.

и, V

6|........

3 2 1

и,у

б|

5 4 | 3 2 1

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

Рис. 7. Суммарное размерное напряжение на двигателях I]3 (в вольтах) при стабилизации нелинейной модели линейной обратной связью по отклонениям фазовых переменных (слева) и по переменным наблюдателя (справа). Точечной линией обозначено предельное значение напряжения, равное 7.2 В.

В заключении перечислены основные результаты диссертации:

1. Построена пространственная модель движения аппарата, представляющего собой произвольное твердое тело, шарнирно закрепленное на колесной паре. Колеса аппарата управляются двумя независимыми электродвигателями постоянного тока.

2. Найдены стационарные решения, которые соответствуют движению центра колесной пары аппарата по окружности или по прямой с постоянной скоростью. Исследована управляемость линеаризованных в окрестности стационарных движений уравнений аппарата.

3. Построен алгоритм управления в виде линейной обратной связи, который стабилизирует движение аппарата по окружности заданной кривизны (в том числе и нулевой, т.е. по прямой) с заданной постоянной продольной скоростью. Данный алгоритм обеспечивает максимальную область притяжения при наличии ограничений на управляющие воздействия (напряжения на электродвигателях).

4. Проведены численные эксперименты по исследованию применимости алгоритма управления, которые показали возможность его использования в полной нелинейной модели.

5. Поставлена и решена задача определения фазовых координат продольного движения по измерениям углов поворота колес относительно корпуса аппарата. Найдено необходимое и достаточное условие наблюдаемости. Построен линейный наблюдатель Люенбергера. Проведены численные эксперименты, показавшие возможность его использования в полной нелинейной модели.

Список литературы

1. Белотелое В.Н. Алгоритмы управления пространственным движением двухколесной роботизированной платформы // Всероссийская научная школа-конференция с международным участием «Теория управления: новые методы и приложения», Персславль-Залссский, 22-26 сентября 2009. Тезисы доклада (сборник тезисов на электронном носителе).

2. Белотелое В.Н. Вычислительная сложность уравнений динамики антропоморфных мобильных роботов, получаемых системами символьных вычислений // Ломоносовские чтения. Научная конференция. Секция механики. Апрель 2004 года. Тезисы докладов. М.: Изд-во Моск. Университета, 2004, стр. 35.

3. Белотелое В.Н. Математическое моделирование систем связанных твердых тел // Сб. трудов конф. «Математика. Компьютер. Образование» 2005, вып. 12, Ижевск: РХД. Тезисы доклада, стр. 87.

4. Белотелое В.Н., Мартыненко Ю.Г. Алгоритмы стабилизации мобильного робота на базе платформы Segway RMP // Труды конференции - конкурса молодых ученых. 12-17 октября 2005г. М.: Изд-во Моск. университета, 2006, стр. 52-62.

5. Белотелое В.Н., Мартыненко Ю.Г. Автоматизация моделирования динамики систем твердых тел // Ломоносовские чтения. Научная конференция. Секция механики. Апрель 2005 года. Тезисы докладов. М.: Изд-во Моск. университета, 2005, стр. 42.

6. Белотелое В.Н., Мартыненко Ю.Г. Управление пространственным движением перевернутого маятника, установленного на колесной паре// Изв. РАН. Механика твердого тела, №3,2006 г., стр. 25-42.

7. Белотелое В.Н., Мартыненко Ю.Г.. Управление пространственным движением несимметричной двухколесной роботизированной платформы. // Мобильные роботы и мехатронные системы. Материалы научной школы-конференции 24-29 марта 2008 г. М.:, Изд-во Моск. университета, 2009, стр. 70-85.

Отпечатано в копицентре « СТ ПРИНТ » Москва, Ленинские горы, МГУ, 1 Гуманитарный корпус, e-mail: globus9393338@yandex.ru тел.: 939-33-38 Тираж 75 экз. Подписано в печать 18.02.2010 г.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Белотелов, Вадим Николаевич

Введение.

Глава 1. Механическая модель мобильного робота с двумя соосными колесами.

1.1. Конструкция робота.

1.2. Об автоматизированном выводе уравнений движения систем связанных твердых тел.

1.3. Различные формы уравнений движения робота.

1.3.1. Применение общих теорем для получения уравнений движения аппарата.

1.3.2. Уравнения Маджи.

1.3.3. Уравнения Аппеля.

1.3.4. Безразмерные уравнения движения двухколесного аппарата

1.3.5. Частные случаи уравнений движения.

1.4. Сравнение трудоемкости получения уравнений различными методами.

Глава 2. Построение алгоритмов управления роботом.

2.1. Стационарные движения аппарата.

2.1.1. Движение по прямой.

2.1.2. Движение по окружности.

2.1.3. Условие реализуемости стационарного движения.

2.2. Условия управляемости.

2.3. Собственные значения разомкнутой системы.

2.4. Алгоритмы управления продольным движением.

2.5. Алгоритмы управления боковым движением.

2.6. Численные эксперименты с математической моделью.

2.7. Стационарные движения динамически несимметричного аппарата.

2.8. Алгоритм управления несимметричным аппаратом.

2.9. Численное исследование движения несимметричного аппарата

Глава 3. Задача определения фазовых переменных маятника на колесной паре.

3.1. Определение угла наклона корпуса при помощи показаний акселерометров.

3.2. Использование датчиков поворота колес для определения фазовых переменных.

Введение диссертация по механике, на тему "Динамика и управление автономным мобильным роботом с двумя соосными колесами"

Последнее десятилетие отмечено резким возрастанием интереса к новому семейству двухколесных транспортных средств, содержащих одну колесную пару с закрепленным на нем корпусом. Эти средства возникли как ответ на требования разработки маневренных транспортных средств, используемых для решения ряда промышленных задач, создания развлекательных устройств, ухода за больными, обслуживания и др.

Рис. 1. Машина «Gyrauto» итальянского инженера Эрнста Фракелли

Одно из первых упоминаний об аппарате с двумя соосными колесами появилось еще в 1935 г. [49], (см. рис. 1). Центр масс этой двухколесной машины располагался ниже оси вращения колес, а управление осуществлялось водителем, сидящим внутри машины. С тех пор было разработано много машин такого типа, которые в обзоре [75] были разделены на три группы:

- аппараты без какой-либо стабилизации платформы

- аппараты с механической стабилизацией платформы

- аппараты с электронной стабилизацией платформы.

В частности, аппарат, представленный на рис. 1, относится по этой классификации к первой группе.

В 2001 г. было анонсировано новое транспортное средство, разработанное компанией Segway LLC, в котором центр масс корпуса (вместе со стоящим пассажиром) находится выше оси вращения колес [79], рис. 2, а). Размещение центра масс выше оси вращения колесной пары позволило существенно сократить диаметр колес и общие габариты аппарата, однако, такая конструкция является статически неустойчивой, и для ее стабилизации во время движения необходима надежная система управления. В случае несрабатывания системы управления человек, стоящий на платформе, падает. Примеров таких падений в результате ошибок системы в интернете достаточно много. В результате по соображениям безопасности использование транспортных средств Segway НТ (human transporter, индивидуальное транспортное средство) запрещено в некоторых крупных городах США и Европы (Сан-Франциско, Лондон и пр.). Система управления Segway НТ защищена патентами и в публикациях не раскрывается, хотя имеются открытые проекты, например, anybots Тревора Блеквела [83]. а) 2002 год, Segway НТ б) 2002 год, «Joe» в) 2003 год, RMP

Рис. 2. Примеры аппаратов с одной колесной парой

Компактность и маневренность двухколесных средств, использующих подобную кинематическую схему, привлекает все большее число исследователей. В частности, на сайте [83] разрабатываются открытые (open-source) проекты, посвященные, в том числе роботам, использующим кинематическую схему с двумя соосными колесами. Все желающие могут участвовать в создании и развитии роботов, а также просмотреть, как устроены роботы и программное обеспечение для них.

Обширный список устройств (транспортных средств, роботов и т.д.), использующих указанную двухколесную схему, приведен в [59].

До появления машин Segway возможность движения аппаратов с двумя соосными колесами были реализована в Институте механике МГУ им. М.В.Ломоносова А.В.Ленским и его коллегами [29] как частный случай движения автономного робота-велосипеда с двумя поворотными колесами и гироскопической системой стабилизации. Этот велосипед успешно демонстрировался в Корее во время визита сотрудников Института механики МГУ в университет Аджу, Сеул в октябре 1999 года.

В работе [57] (Университет Лозанна, Швейцария, 2002) задача управления перевернутым маятником, установленным на колесной паре, колеса которой вращаются двумя независимыми двигателями, решается в рамках линеаризованной математической модели, полученной с помощью общих теорем динамики для каждого из трех тел, входящих в систему. Построенный в этом университете аппарат представлен на рис. 2, б). Управление плоскопараллельным движением перевернутого маятника, установленного на катящемся колесе, исследовано в статье A.M. Формальского и Ю.Г. Мартыненко [34], где была решена задача синтеза в виде обратной связи ограниченного по величине управления, обеспечивающего стабилизацию вертикального положения маятника и заданной скорости центра колеса.

Рассматриваемая в работе [70] математическая модель пространственного движения системы учитывает неголономность связей (отсутствие проскальзывания колес), однако построенный в [70] алгоритм управления движением не учитывает ограничений на величины управляющих воздействий.

Большое внимание уделяется также разработке различных робототех-нических устройств - подвижных манипуляторов и т.п., использующих двухколесную схему. В частности, манипулятор на базе подвижной платформы 6

Segway RMP (рис. 2, в) рассматривается в [68], а «антропоморфные» роботы с колесами вместо ног — в проектах [83]. В Японии построен трехосный манипулятор на базе двухколесной платформы [50].

Такой интерес к задачам, связанным с двухколесными роботами, подчеркивает актуальность исследований в этой области.

Ключевой проблемой при создании двухколесного робота является стабилизация корпуса робота (платформы) в вертикальном положении с помощью системы управления, поскольку центр масс платформы расположен выше оси колес. Одновременно необходимо разработать алгоритмы управления движением робота по заданной траектории. Сложность такой задачи связана с дефицитом управляющих воздействий (число управляющих воздействий - 2, - оказывается меньше числа степеней свободы системы - 3), неустойчивостью (в отсутствие управления) вертикального положения платформы, ограниченностью ресурсов управления, неголономностью связей. Аналогичные проблемы возникают при разработке одноколесных аппаратов [22], [33], [84], маховичных систем стабилизации перевернутого маятника, расположенного на цилиндре [17].

Кроме того, необходимо выбрать чувствительные датчики, обеспечивающие измерение фазовых координат робота. Для определения положения корпуса в двухколесных аппаратах, вообще говоря, требуется построение вертикали. В литературе описаны разнообразные системы датчиков, используемые в рассматриваемой задаче. Например, в статье [57] , применяется датчик угловой скорости (ДУС) и акселерометр, в работе [74] для исследования плоского движения использовался один двухкомпонентный акселерометр, в аппарате Segway [79] установлено пять гироскопов и два инклинометра, в диссертации [69] описан набор датчиков, состоящий из одного ДУС и двух одноосных акселерометров с взаимно-ортогональными осями, в статье [62] — ДУС, двухкомпонентный акселерометр и аналоговые датчики угла поворота колес.

Как указано в [77], для робота JOE [57] интегрирование сигнала ДУС приводит к накоплению ошибки, в результате чего робот начинает со временем медленно двигаться вперед или назад, пытаясь стабилизировать мнимое падение корпуса. Этого можно избежать, используя на борту аппарата инклинометр [77].

В диссертации [48] исследована безгироскопная система построения вертикали, которая не содержит ДУС и использует управляемый физический маятник и один двух- или трехкомпонентный акселерометр. Такая система позволяет определять вертикаль на движущихся объектах и, в частности, может быть использована в рассматриваемой задаче.

При различном составе измеряемых параметров движения для нахождения всех компонент фазового вектора применяются вспомогательные математические модели, так называемые наблюдатели, которые строятся с учетом свойств управляемого объекта. Принцип построения наблюдателя для линейных систем был сформулирован Дэвидом Люенбергером в его диссертации [65] в 1963 г. и заключается в построении дополнительной системы, переменные которой сходятся с течением времени к фазовым переменным наблюдаемой системы. Существуют подходы, которые могут использоваться для построения наблюдателя для отдельных классов нелинейных систем. Например, в [60] строится наблюдатель для неголономных механических систем специального вида. В [49] выделяются два основных принципа построения наблюдателя для нелинейных систем: один подразумевает преобразование наблюдаемой системы с тем, чтобы можно было использовать принцип Люенбергера, другой — введение в наблюдателе внутренних связей для обеспечения его сходимости. В частности, первому принципу соответствуют работа [78], где рассмотрены варианты-построения наблюдателя в нормальных координатах, [67], где система разделяется на линейную часть и возмущение. Второй принцип используется, например, в работе [55].

Для нелинейных систем отдельным вопросом является возможность построения закона управления, включающего переменные наблюдателя (т.н. 8 динамического контроллера). Этот вопрос исследуется, например, в [60] для систем специального вида.

Целью данной диссертационной работы является исследование динамики двухколесного аппарата, корпус которого представляет собой произвольное твердое тело, построение законов управления движением такого аппарата по горизонтальной плоскости со стабилизацией неустойчивого положения корпуса, а также разработка алгоритмов определения фазовых координат, аппарата, при различном составе измерений.

Новизна полученных результатов: В работе построена новая математическая модель двухколесного аппарата, учитывающая динамику редукторов между электродвигателями и колесами и описывающая движение по горизонтальной плоскости аппарата, корпус которого является произвольным твердым телом. Разработаны алгоритмы управления, учитывающие ограниченность моментов, развиваемых двигателями аппарата, и обеспечивающие максимальную область притяжения вертикального положения платформы. Решена задача определения параметров движения аппарата, включая угол наклона корпуса, при различном составе измерений.

Диссертация делится на три главы.

В первой главе для случая отсутствия проскальзывания колес выводятся уравнения двухколесного аппарата по горизонтальной плоскости. С этой целью в программной среде Mathematica [82] была разработана программа автоматизированного вывода уравнений движения систем связанных твердых тел. Выполнено сравнение трудоемкости вывода уравнений с применением различных методов: с помощью общих теорем динамики, формализмов Маджи и Аппеля.

Во второй главе находится семейство стационарных решений полученной системы уравнений, представляющих собой такие движения аппарата, при которых центр колесной пары движется по прямой или по окружности с постоянной скоростью, а маятник (корпус) находится в верхнем (неустойчивом) положении. Поскольку эти решения являются неустойчивыми, предлагаются алгоритмы их стабилизации, которые учитывают ограниченность управляющих напряжений, подаваемых на двигатели колес аппарата, и обеспечивают максимальную область притяжения стационарного движения.

В третьей главе рассматривается задача выбора набора сенсоров, позволяющего определить фазовый вектор системы и тем самым замкнуть систему управления. Исследована возможность определения фазовых переменных непосредственно при помощи двух двухкомпонентных акселерометров, а также показана принципиальная возможность и предложен метод определения фазовых переменных (наблюдатель Люенбергера) при использовании показаний двух датчиков угла поворота колес относительно корпуса, например, энкодеров или потенциометров.

Верификация предложенных моделей и алгоритмов проводилась с помощью вычислительных экспериментов и аналитически с применением системы Mathematica.

Основные результаты диссертации были опубликованы в [12, 13]:

Белотелое В.Н., Мартыненко Ю.Г. Управление пространственным движением перевернутого маятника, установленного на колесной паре// Изв. РАИ. Механика твердого тела, №3, 2006 г., стр. 25-42.

Белотелое В.Н., Мартыненко Ю.Г. Управление пространственным движением несимметричной двухколесной роботизированной платформы. // Мобильные роботы и мехатронные системы. Материалы научной школы-конференции 24-29 марта 2008 г. М.:, Изд-во Моск. унив-та, 2009, стр. 70-85.

Результаты диссертации излагались автором на следующих конференциях и семинарах:

Научные конференции «Ломоносовские чтения-2004, 2005» [5, 11], Всероссийская научная конференция «Математика. Компьютер. Образование» 2005 г. [6], Конференция молодых ученых МГУ [10], Всероссийская научная школа-конференция с международным участием «Теория управления: новые методы и приложения», Переславль-Залесский, 22-26 сентября 2009

Заключение диссертации по теме "Теоретическая механика"

Заключение

3. Построен алгоритм управления в виде лршейной обратной связи, который стабилизирует движение аппарата по окружности заданной кривизны (в том числе и нулевой, т.е. по прямой) с заданной постоянной продольной скоростью. Данный алгоритм обеспечивает максимальную область притяжения при наличии ограничений на управляющие воздействия (напряжения на электродвигателях).

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Белотелов, Вадим Николаевич, Москва

1. Александров В. В., Болтянский В. Г., Лемак С. С., Парусников Н. А., Тихомиров В. Н. Оптимальное управление движением. М.: Изд-во: ФИЗ-МАТЛИТ, 2005, 376 стр.

2. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976, 424 стр.

3. Аппелъ П. Теоретическая механика. Т.2: Динамика системы. Аналитическая механика. М.: ФизМатЛит, 1960, 487 с.

4. Белотелое В.Н. Математическое моделирование систем связанных твердых тел // Сб. трудов конф. «Математика. Компьютер. Образование» 2005, вып. 12, Ижевск: РХД. Тезисы доклада, стр. 87.

5. Белотелое В.Н., Голован А.А., Григиин А.А., Жихарев Д.Н., Ленский А.В., Пахомов В.Б. Математические модели и алгоритмы управления движением мобильного робота // Препринт №63-2001, М., Институт Механики МГУ. Изд-во Моск. унив-та, 2001. 50 стр.

7. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. М.: Мир, 1980, 293 с.

8. Голован А.А. Парусников Н.А. Математические основы навигационных систем. Часть 1. Математические модели инерциальной навигации. М.: Изд-во Моск. унив-та, 2007, 112 стр.

9. Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики. М.: Изд-во Изд-во Моск. унив-та, 2000, 720 стр.

10. П.Голубев Ю.Ф. Робот-эквилибрист на цилиндре. // ПММ, 2003, т.67, вып.4, стр. 603-619.

11. Гришин А.А., Ленский А.В., Охоцимский Д.Е., Панин Д. А., Формалъский A.M. О синтезе управления неустойчивым объектом. Перевернутый маятник // Изв. РАН, Теория и системы управления. №5, 2002, стр. 14-24.

12. Девянин Е.А. О движении колесных роботов //Доклады научной школы-конференции «Мобильные роботы и мехатронные системы». М.: Изд-во Моск. унив-та, 1999, сс. 169-200.

13. Ленский А.В., Формальский A.M. Управление движением неустойчивых механических систем. // Второе Всероссийское совещание-семинар заведующих кафедрами теоретической механики. Тезисы докладов. М.:, 11-16 октября 1999 г., стр. 38-39

14. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Ленинград, 1950, 472 стр.31 .Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: ЧеРо, 1999, 572 стр.

15. Мартыненко Ю.Г., Формальский A.M. К теории управления моноциклом // ПММ. 2005. Т. 69. Вып. 4. стр. 569-583.

16. Мартыненко Ю.Г., Формальский A.M. О движении мобильного робота с роликонесущими колёсами //Известия РАН. ТИСУ, № 6, 2007, стр. 142-149.

17. Мартыненко Ю.Г., Формальский A.M. Проблемы управления неустойчивыми системами // Успехи механики, №2, апрель-июнь 2005, стр. 71135.

18. Мартыненко Ю.Г. Методика изложения кинематики твердого тела с одной неподвижной точкой // Теоретическая механика. Сборник научно-методических статей, вып. 24, М.: Изд-во Моск. унив-та, 2003, стр. 3-15.

19. ЪЪ.Мирошник КВ. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы. СПб.: Питер, 2006. 272 стр.

20. Морозов В.М., Каленова В.К Оценивание и управление в нестационарных линейных системах. М: Изд-во Моск. унив-та, 1988, 144 стр.

21. Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967, 520 стр.41 .Павловский М.А., Акинфиева Л.Ю., Бойчук О.Ф. Теоретическая механика. Статика. Кинематика. К.: Выща шк. Головное изд-во, 1989. 351 стр.

22. А2.Погорелое Д.Ю. О кодировании символьных выражений при синтезе уравнений движения систем твердых тел // Изв. РАН. Технич. кибер-нет. 1993. сс. 209-213

23. Погорелое Д.Ю, Ефимов Г.Б. Решение некоторых модельных задач механики с использованием программного комплекса «Универсальный механизм». Препринт №72 ИПМ им.М.В. Келдыша, 1993, 24 стр.

24. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978. стр

25. Челоноков Ю.Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твердого тела и их приложения. М.: Физматлит 2006г. 512 стр

26. АЪЯкимова Е. В. Безгироскопные построители вертикали и измерители на их основе. Автореферат диссертации на соискание степени к.т.н., Томский политехнический университет, 2002. 25 стр.

27. Antsaklis, Panos J., and Michel, Anthony N. Linear systems. Boston, Birk-hauser, 2006. 670 pp.

28. Boizot, Nicolas and Busvelle, Eric. Adaptive-Gain Observers and Applications // Nonlinear Observers and Applications, 2007, Vol. 363/2007, pp. 71114.

29. Campion G., Chung W. Wheeled robots // Springer Handbook of Robotics. Siciliano Bruno; Khatib, Oussama (Eds.) 2008, pp.87-107.

30. Grasser F., D'Arrigo A., Colombi S., Rufer A.C. JOE: A mobile, inverted pendulum // IEEE Transactions on Industrial Electronics, Feb. 2002, Vol. 49, No. l,pp. 107-114.

31. Gyro-wheel car zooms along on giant tires at 116 mph // Modern Mechanix and Inventions, June 1935, vol. 14, p. 43.59.http://leiwww.epfl.ch/ioe/ioerelatives.html

32. Jeong S., -Takahashi T. Wheeled inverted pendulum type assistant robot: design concept and mobile control //Intel Serv Robotics, 2008, Vol. 1, pp. 313320.

33. Jiang, Zhong-Ping and Nijmeijer, Henk. Observer-Controller Design for Global Tracking of Nonholonomic Systems // Berlin: Springer, New Directions in nonlinear observer design, 1999, Part I, pp. 207-228.r

34. Luenberger D.G. Observers for multivariable systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1966. Vol.AC-11, No.2, pp. 190-197.

35. Moreno Jaime A. Approximate Observer Error Linearization by Dissipativ-ity Methods // Springer-Verlag Berlin Heidelberg, T. Meurer et al. (Eds.): Control and Observer Design, LNCIS 322, 2005, pp. 35-51.

36. A.Robert Grepl. Balancing wheeled robot: effective modelling, sensory processing and simplified control //Engineering MECHANICS, Vol. 16, 2009, No. 2, pp. 141-154.

37. Segway LLC, SegwayTM Human Transporter Data-Sheet. Online., athttp://www.segwav.com 80.Spong M.W., Corke P., Lozano R., Nonlinear control of the Reaction Wheel Pendulum. Automatica, 2001, pp. 1845-1851,

38. Wang W., Gao Z. A Comparison Study of Advanced State Observer Design Techniques Clevland/

39. Wolfram Stephen. The mathematica book. 4th ed. Wolfram media/Cambridge University Press, 1999, 1470 p., http://www.wolfram.com/83. www.anybots.com

40. JCu Y., Ou Y., Control of single wheel robots. Springer Tracts in Advanced Robotics, 2005, 188 pp.