Динамика космического аппарата с магнитно-гравитационной системной ориентации при наличии тепловых и упругих деформаций элементов конструкции тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ОРДЕНА ЛЕНИНА ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ имени М. а Келдыша АКАДЕМИИ НАУК СССР

На правах рукописи

Иванова Галина Антоновна

УДК 531.3; 531.391

ДИНАМИКА КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С МАГНИТНО-ГРАВИТАЦИОННОЙ СИСТЕМОЙ ОРИЕНТАЦИИ ПРИ НАЛИЧИИ ТЕПЛОВЫХ И УПРУГИХ ДЕФОРМАЦИЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ

01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1991

Работа выполнена в Конструкторском Бюро "Южное"

Научный руководитель: кандидат технических наук Е И. Драновекий

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Ю. А. Садов

кандидат физико-математических наук В. И. Пеньков

Ведущая организация: Центральный Научно-Исследовательский Институт Автоматики и Гидравлики

Автореферат разослан " " 1931 г.

Защита диссертации состоится "_" 1991 г.

на заседании Специализированного Совета Д 002.40.01 при ордена Ленина Институте прикладной математики им. М. Е Келдыша АН СССР по адресу: 125047, Москва, Миусская пл. , 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института.

Ученый секретарь Специализированного Совета , кандидат физико-математических наук /{М у-

И. А. Бахарев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1. Актуальность работа Практика разработки и создания продых, надежных и недорогих космических аппаратов (КА). несущих гриборы научной аппаратуры (НА) для исследования околоземного [ространства, показала, что наиболее предпочтительными являются СА с гравитационной системой ориентации. Основным элементом та-их систем является гравитационный стабилизатор (ГС), представ-гапдий собой стержень с грузом на свободном конце. При помощи ГС юрмируются моменты инерции, обеспечивающие ориентацию КА в ор->итальной системе координат.

В случае, если требования по точности ориентации, предъявля-:мые к КА с гравитационной системой, невысокие (порядка 10 ° ), 1елесообразно в качестве груза на свободном конце ГС использо-1ать магнитный успокоитель (МУ), представляющий собой сферу, «утри которой находится сферический поплавок, несущий постоянней магнит. Для обеспечения ориентации КА по курсу (и одновре-юнного увеличения восстанавливающего момента по крену) исполь-;уется вращющийся с постоянной угловой скоростью маховик, кине-ический момент которого в ориентированном положении КА совпадает с вектором орбитальной угловой скорости.

Система ориентации, включающая ГС, МУ и маховик, относится к ¡лассу полупассивных систем и получила название магнитно-грави-'ационной системы ориентации (МГСО). Так как восстанавливающие ¡о менты у таких систем сравнительно малы, необходим тщательный лализ и учет возмущающих моментов, в том числе моментов, дей-твуюшях со стороны приборов НА.

Кроме гравитационного, магнитного, аэродинамического и демп-ирующего моментов, особое место занимает моменты, действующие а КА при деформациях (тепловых и упругих) элементов конструк-ли, в состав которых, кроме стержня ГС, могут входить панели например, солнечные батареи), а также стержневые и кольцевые лтенны больших размеров. ГЬэтому исследование динамики КА с четом температурных деформаций и упругих колебаний элементов онструкции является актуальным.

. Цель работы. Для обеспечения проектных работ по созданию МГСО втоматической универсальной орбитальной станции, ориентирован-

ной на Землю, разработать математическую модель и комплекс программ, позволяющих исследовать динамику КА и выбрать параметрь МГСО, обеспечивающие выполнение требований по точности стабилизации.

Учитывая присутствие на КА стержневых элементов, разработать методику и комплекс программ для расчета следующих характеристик: 1) температурных деформаций стержней разомкнутого профиля при орбитальном движении, 2) динамики КА с учетом температурных деформаций ГС и произвольного количества стержневых антенн, 3) динамических моментов, действующих на КА при температурных деформациях стержней.

Разработать математическую модель, учитывающую упругие колебания произвольного количества стержней и панелей, а также кольцевой антенны. Исследовать устойчивость МГСО с учетом колебаний упругих элементов. Для случая установки на КА произвольного количества одинаковых упругих элементов модифицировать систему уравнений с целью понижения ее порядка.

3. Методы исследования. Полная система динамических уравнений, полученная на основании теоремы об изменении кинетического момента, а также выведенная из нее в предположении безинерционнос-ти поплавка МУ упрощенная система уравнений решается вместе с кинематическими уравнениями численными методами на ЭВМ Исследование устойчивости ЫГСО проводится методами Флоке и Гурвица.

Еыбор параметров системы производится с использованием амплитудно-фазовых частотных характеристик. При решении системы уравнений теплового баланса для поперечного сечения стержня разомкнутого профиля используется метод сеток и прогонки.

Вывод системы динамических уравнений КА, несущего произвольное количество упругих элементов, производится для случая системы с конечным числом параметров. Собственные частоты колебаний кольцевой антенны получены расчетным путем и экспериментально.

Программы для расчетов на ЭВМ составлены на языке АЛГОЛ-бО применительно к БЭС М-6 и "Эльбрус".

4. Научная новизна. Научная новизна выполненной работы заключается в следующем. Разработана комплексная методика исследования динамики КА, которая позволила решить ряд практических задач, связанных с проектированием, выбором параметров и оценкой динамических характеристик МГСО.

Разработана методика и комплекс программ, позволяющих исследовать в квазистатической постановке температурные деформации стержней разомкнутого профиля при орбитальном движении, динамику МГСО с учетом температурных деформаций ГС и стержневых антенн, а также динамические моменты, действующие на КА при температурных деформациях ГС и антенн.

Разработана математическая модель, учитывающая колебания произвольного количества упругих элементов, и получены выражения для коэффициентов системы динамических уравнений в общем виде. Разработан способ понижения порядка системы уравнений для случая размещения на КА одинаковых упругих элементов. Исследована устойчивость ориентации КА с МГСО с учетом изгибных колебаний стержня ГС.

Применительно к КА Интеркосмос-24 разработана система уравнений и программа для исследования динамики КА с учетом упругих колебаний кольцевой антенны.

5. Личный вклад. При разработке МГСО, установленной на ряде КА, автор был ведущим исполнителем в части исследования динамики КА и выбора параметров системы. Разработка программ для проведения расчетов на ЭВМ выполнена автором самостоятельно.

6. Практическая ценность. Разработанная методика может быть использована при проектировании МГСО с учетом температурных деформаций ГС и длинных антенн, а также упругих колебаний таких элементов конструкции, как стержни, панели и кольца.

7. Реализация результатов работы. Результаты работы использованы при разработке и создании космических аппаратов Ореол-3, Кос-мос-900, 1809, Интеркосмос-1Б, 17-21, 24.

8. Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы подтверждены в процессе эксплуатации МГСО в составе КА, запущенных в период с 1976г. по 1989г. По теме диссертации сделаны доклады на секции НТС КБ "Южное" и семинаре в ИПМ АН СССР.

9. Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 20 научно-технических отчета и 2 статьи, три программы включены в Отраслевой Фонд алгоритмов и программ.

10. Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 110 страниц машинописного текста, включает 57 рисунков и 4 таблицы. Список литературы содержит 85 наименований.

- 6 -СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведено описание исследуемой магнитно-гравитационной системы ориентации и режимов ее работы. На основании анализа научно-технической литературы показано, что простые и надежные в эксплуатации КА с гравитационными системами ориентации при разработке требует особенно тщтельного изучения действующих на них моментов в том числе моментов, вызванных температурными деформациями стержней (при одностороннем нагреве Солнцем) и упругими колебаниями элементов конструкции.

Была обоснована актуальность темы и необходимость ее дальнейшего исследования. Определены цели и задачи диссертационной работы, а также приведено краткое содержание глав.

В главе 1 приведена математическая модель МГСО в виде системы дифференциальных уравнений, описывающих динамику двух тел, одно из которых КА с гиростабилиэатором курса, другое - поплавок МУ. Система дифференциальных уравнений включает динамические

¿си = СЗсГ[Мг-»си<(ЗеФси+Н} + +

МИ

= ИмГЧЙмг - Юм« хЗмйм* +Ймч - Мт I

иъ

и кинематические уравнения

У' _ \

9 СЬьЭ

А

Со^

0

0

Со^

0

0

(к^ - Сй^&лХ

0«

(1) (2)

(3)

и)

мс>

(4)

где Юсн , Ю - векторы абсолютной угловой скорости КА и поплавка МУ соответственно; ,1с. Тм - тензоры инерции КА и поплавка ЫУ соответственно; Мг, Ым, Ма - векторы гравитационного, магнитного и аэродинамического моментов соответственно, действующие на КА; Н - вектор кинетического момента гиростабилизатора курса;

Ммг, Мму - векторы гравитационного и магнитного моментов соответственно, действующие на поплавок МУ; Мг - вектор момента трения, действующий на КА и МУ; У , в ,У - углы ориентации КА по крену, тангажу и рысканию соответственно; X , ^ , Ы. - углы ориентации поплавка МУ, введеные по аналогии с углами У , 0 .У ; и)о- вектор угловой скорости КА относительно орбитальной системы координат; ч>мс - вектор угловой скорости поплавка МУ, относительно системы координат, связанной с КА.

Решение системы (1)-(4), которая представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений 12-го порядка, получено с помощью ЭВМ. Однако, скорость счета такой системы оказалась небольшой из-за необходимости интегрировать уравнения (2) и (4), а следовательно и всю систему, с мелким шагом. Так как Тм<<,1с, с целью увеличения скорости счета было введено допущение о беэы-нерционности поплавка МУ им=0). Тогда уравнение (2) вырождается в тождество, из которого получено выражение для угловой скорости , входящей в уравнение (4), и выражение для момента трения Мг, входящэго в уравнение (1).

Полученная таким образом система уравнений (1), (3), (4) представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений 9-го порядка, которая интегрируется на ЭВМ с приемлемой скоростью (одни сутки процесса в течение -м 1,5 часа). Разработанная для этой системы программа была использована при разработке целой серии КА с МГСО и вошла в Отраслевой Фонд алгоритмов и программ С20].

При расчете вектора индукции В, входящего в выражения магнитных моментов Мм и Мму, используется как дипольная, так и Га-уссовская модели МПЗ. Дальнейшее упрощение системы уравнений связано с допущением о том, что поплавок МУ строго отслеживает вектор индукции МПЗ. Тогда система уравнений, описывающая динамику КА и поплавка МУ, сводится к уравнениям (1) и (3), а момент трения Мг, входящий в (1), принимает вид

Мт = -к.8шс&, _ (6)

где к а - коэффициент демпфирования МУ; СО св - вектор угловой скорости КА относительно вектора Е

Так как выражение для Шее в аналитическом виде можно получить только при дипольном представлении МПЗ, эта модель для ис-

следования динамики КА применения не нашла, а была использована при получении линеаризованной системы уравнений.

Исследование устойчивости КА с МГСО относительно положения равновесия в орбитальной системе координат на круговой (или близкой к ней) орбите производится с использованием линеаризованной системы уравнений, полученной для (1), (3) с учетом (5) в предположении, что ось диполя МПЗ совпадает с осью вращения Земли. Эта система уравнений, представляющая собой систему линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, используется при исследовании устойчивости МГСО методом Слоке. После осреднения коэффициентов для этой системы получена частотная передаточная функция в матричном виде

и построены амплитудно-фазовые частотные характеристики системы, используемые при выборе параметров МГСО.

В главе 2 рассматривается влияние тепловых деформаций стержней разомкнутого профиля с перехлестом кромок на ориентацию КА с МГСО. Цхзстейший анализ температурных деформаций стержней производится при помощи известных аналитических выражений

где с1 - диаметр, Ь - толщина, к - коэффициент теплопроводности, Зо - солнечная постоянная, Аз - поглощательная способность, «Л. -коэффициент линейного расширения, Чь - угол между направлением солнечных лучей и продольной осью стержня, X, У - координаты на плоскости параметров длина-изгиб стержня, & Т - разность температур между обращенной к Солнцу стороной и противоположной.

Для более детального изучения температурных деформаций стержней разомкнутого профиля в соответствии с методикой К 3. Федо-ренко составлена система уравнений теплового баланса для поперечного сечения стержня, учитывавшая следующие потоки тепла: от солнечной радиации; за счет теплопроводности; за счет излучения во внешнее пространство, во внутрь цилиндрической полости, от внутренней поверхности, в область перехлеста кромок, от внутренней поверхности в области перехлеста кромок. Полученная система

«(р) - (Ар1 + Бр + С)"1

1п Соб(Х ¿Ыо.

<±

уравнений представляет собой систему нелинейных интегро-диффе-ренциальных уравнений в частных производных с кусочно-постоянными коэффициентами, которая методом сеток приведена к системе линейных уравнений с переменными правыми частями и представлена в виде _

А-Х - Р (б)

В результате решения уравнения (6) исследуется процесс перехода стержня из начального недеформированного в изогнутое под действием солнечной радиации положение. Такое представление температурных деформаций стержня получило название квазистатического.

Для более полного изучения теплового изгиба предлагается моделировать процесс движения стержня по орбите путем расчета с определенным шагом по времени ^ значений аргумента широты и. Тогда для заданного положения Солнца на эклиптике, орбиты относительно Солнца и стержня в орбитальной системе координат, решая на каждом шаге уравнение (6), можно рассчитать характеристики изгиба стержня (радиус кривизны, прогиб и угол, определяющий по-ломэние плоскости изгиба) на периоде обращения вокруг Земли с учетом участка тени.

Следующим шагом в изучении влияния температурных деформаций стержней на ориентацию КА явилась разработка математической модели и программы для расчета динамики КА с МГСО при учете температурных деформаций стержня ГС и произвольного количества стержневых антенн. Система динамических уравнений с учетом температурных деформаций стержней представлена в виде

¿с^ПгГЧМ^-Зп&си-К- (7)

си

где Лг , 7п - суммарный тензор инерции КА и производная его переменной составляющей соответственно; К , К - вектор главного момента относительных количеств движения и его локальная производная соответственно; М£ - вектор суммарного момента, действующего на КА.

Определенный интерес представляет изучение динамического момента, действующего на КА при температурных деформациях стержней, особенно в момент пересечения линии терминатора, когда на

КА действует тепловой удар. Выражение момента получено путем выделения в уравнении (7) той его части, которая учитывает деформации стержней, включая гравитационный момент,

= - С ЛЩс* + К +

+ Юси X СЙ Лен +КИ,

где ¿Л - разность между моментами инерции стержней в деформированном и исходном (недеформированном) состоянии; к - единичный орт, направленный по радиусу-вектору текущей точки орбиты; Ю0 -средняя орбитальная угловая скорость КА.

Приведены результаты расчетов температурных деформаций стержней и динамики КА, проведенные для КА Интеркосмос-19 [13, на котором был установлен стержень ГС длиной 17м, выполненный из бронзы БР БНГ1.7, и 6 стержневых антенн (2 длиной 25м и 4 длиной 7,5м), выполненных из стали ЗбНХТЮ,

Третья глава посвящена исследованию влияния колебаний упругих элементов конструкции на динамику КА с МГСО. Уравнения, описывающие динамику системы, получены для случая размещения на КА произвольного количества упругих элементов. Колебания представлены в виде изгибных (в плоскости и из плоскости) и крутильных (вокруг продольной оси) упругого элемента

Вектор смещения произвольной точки упругого элемента представляется в виде

п _ _

а = I и^МлО +

а Я- а

где qj.it), - обобщенные координаты изгибных_колебаний;

г«! (t) - обобщ§нные координаты крутильных колебаний; и., (х.у.г), йп+4(х.у.г). П^ (х.у.г), и ^ (х.у.г), - век-

торные коэффициенты.

Система уравнений включает динамические уравнения, полученные для КА на основании теоремы об изменении кинетического момента, уравнения Лагранжа для обобщенных координат и кинемати-

ческие уравнения (3), (4). Выражения для векторных и матричных коэффициентов уравнений получены в общем виде, а система динамических уравнений приведена к виду

X - [AT* (В X + М) (8)

и решается с помощью ЭВМ.

Для случая, когда масса упругих элементов намного меньше массы КА и можно пренебречь влиянием их колебаний на смещение центра масс и изменение моментов инерции KÄ, система уравнений (8) существенно упрощается и может быть представлена в виде

где q.^, plA, r-Lii - обобщенные координаты изгибных (в плоскости и из плоскости) и крутильных (вокруг продольной оси) колебаний упругого элемента соответственно; m^, Ji- масса и момент инерции упругого элемента соответственно; , 'с 12,1 .¿Чи " коэффициенты демпфирования; с-IU , СаА> - коэффициенты жесткости; •

^ Lad. • ^ iIa Л коэффициенты взаимного влияния КА и упругого элемента; mz=Mz-iöx. 'ЗсЛО •

В общем случае порядок системы (9) рассчитывается по формуле

П, - 2N (п , + пг + п,) +3,

где п(, п,, п3- количество учитываемых форм для каждого вида колебаний - изгибных (в плоскости и из плоскости) и крутильных соответственно.

Для случая, когда упругие элементы имеют одинаковые характеристики (массу, моменты инерции, коэффициенты демпфирования и жесткости), для системы уравнений (9) получена модифицированная

- 12 -

система путем введения новых переменных

N — __А _

"1М л - _

в результате чего порядок системы понизился до

Па - 6 (п Л + па + п^) + 3,

при этом каждые N уравнений Лагранжа, записанные в скалярной форме, заменяются одним векторным, т.е. модификацию имеет смысл проводить при N й- 4. В том случае, когда характеристики упругих элементов не зависят от направления изгиба, понижение порядка системы возможно до

П3- 6 (п + п<) +3

Для (9) получена линеаризованная система уравнений, которая используется при исследовании устойчивости.

Глава 4 посвящена исследованию динамики КА с МГСО, на котором установлена кольцевая антенна, применительно к КА Интеркос-мос-24. Деформации кольца представлены в виде чисто изгибных колебаний в плоскости и из плоскости кольца, при этом иэгибные колебания из плоскости включают и крутильные колебания вокруг оси. проходящей через точку крепления и центр кольца.

Приведены выражения для форм колебаний кольца, а также значения коэффициентов и корней характеристических уравнений, используемых при вычислении форм. Применительно к кольцевой антенне диаметром 20м, получены значения собственных частот расчетным путем и экспериментально, которые хорошо согласуются.

Получены выражения коэффициентов, входящих в динамические уравнения, а также гравитационных моментов, учитывающих деформации кольца, и обобщенных гравитационных и упругих сил, действующих на антенну. После линеаризации система уравнений приведена к виду _ ^

А X + В X - 0

Пз результатам решения этого уравнения построены графики изменения углов ориентации КА и смещений различных точек антенны.

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы, которые сводятся к следующему:

1. В процессе разработки магнитно-гравитационной системы ориентации для автоматической универсальной станции, ориентированной на Землю, на стадии эскизного проектирования разработана математическая модель, включающая систему динамических и кинематических уравнений, выражения для действующих моментов и пара-мэтры орбитального движения, модели (дипольную и Гауссовскую) МПЗ, а также модель верхней атмосферы, учитывающую суточные и сиротные вариации плотности. С целью увеличения скорости счета на ЭВМ и сокращения затрат машинного времени разработана упрощенная модель, на базе которой создана универсальная программа, позволяющая исследовать динамику КА в различных режимах. Исследована устойчивость и выбрани параметры МГСО, обеспечивающие выполнение требований по точности стабилизации.

2. Разработана методика и комплекс программ, позволяющих рассчитать температурные деформации стержней при орбитальном движении, динамику КА с учетом температурных деформаций стержня ГС и произвольного количества стержневых антенн, а также динамические моменты, действующие на КА при температурных деформациях стержневых элементов конструкции. Это позволило правильно выбрать материал, параметры и вид обработки наружной поверхности стержня ГС, а также длинных антенн, установленных на КА Интер-космос-19 и Космос-1809.

3. Получена система уравнений для КА с учетом изгибно-кру-тильных колебаний стержня ГС и произвольного количества упругих элементов, а также выражения для коэффициентов этих уравнений в общем виде. Исследована устойчивость КА с учетом упругости стержня ГС. Для случая размещения на КА N упругих элементом с одинаковыми характеристиками, где N^ 4, разработан способ понижения порядока системы уравнений. Применительно к КА Интеркос-мос-24, на котором была установлена кольцевая антенна диаметром 20м, разработана система уравнений и программа, позволяющая исследовать колебания КА и антенны.

4. В процессе эксплуатации МГСО в составе 10-ти КА, запущенных в период с 1976г. по 1989г., подтверждена правильность методик и программ и достоверность полученных с их помощью результатов.

Список работ по теме диссертации

1. Драновский Е И., Иванова Г. А. Динамика магнитно-гравитационной системы ориентации с учетом температурных деформаций длинных стержней. Сб. ИЗМИРАН, Аппаратура для исследования внешней ионосферы, М. , 1980.

2. Иванова Г. А. .и др. Исследование движения вокруг центра масс гравитационного спутника с магнитно-вязким демпфером при учете аэродинамических возмущений. ОТ 312-6036, КБ "Кйшое",

1970.

3. Иванова Г. А. и др. Выбор параметров гравитационно- демпфирующего устройства станции УОС-3. ОТ 312-6914, КБ "Южное",

1971.

4. Иванова Г. А. и др. Динамика стабилизации УОС-3 при квазистатических температурных изгибах длинных стержневых антенн. ОТ 312-8198, КБ "Южное", 1972.

5. Иванова Г. А. и др. Оптимизация динамических характеристик СУОС-2 станции УОС-3. ОТ 312-8666, КБ "Юкное", 1973.

6. Иванова Г. А. и др. Устойчивость стабилизации станции УОС-3 с длинными стержнями. ОТ 312-9032, КБ "Южное", 1973.

7. Иванова Г. А. и др. Разработка математической модели СУОС с учетом изгибно-крутильных колебаний длинных стержней. ОТ 21. 0107-312, КБ "Кйное", 1974.

8. Иванова Г. А. и др. Влияние параметров штырей АФУ научной аппаратуры на динамику СУОС. ОТ 21.0702-312, КБ "Южное", 1974.

9. Иванова Г. А. и др. Исследование динамики СУОС с учетом изгибно-крутильных колебаний штанги ГДУ и стержней НА. ОТ 21. 0897-312, КБ "Южное", 1975.

10. Иванова Г. А. и др. Динамика и точность стабилизации объекта с учетом орбитальных изменений аэродинамического момента из-за суточных вариаций плотности атмосферы. ОТ 21.2895-312, КБ "Южное", 1978.

11. Иванова Г. А. и др. Зависимость теплового изгиба гравитационной штанги и создаваемых им динамических моментов от различных эксплуатационных значений углов освещения Солнцем. ОТ 21. 4045-312, КБ "Южное", 1980.

12. Иванова Г. А. и др. Разработка динамической схемы изделия

is

с учетом упругости элементов конструкции. ОТ 21.4489-312, КБ "Юмое", 1981.

13. Иванова Г. А. и др. Определение требований к динамическим характеристикам панелей СБ и их демпфированию. ОТ 21. 4744-312, КБ "Южное", 1982.

14. Иванова Г. А. , ХЬрошилов Б. С. Определение требований к динамическим характеристикам деформируемых элементов движущихся систем. Сб. научн. тр. , Киев, Наук, думка, 1984.

1Б. Иванова Г. А. Расчет температурных деформаций трубчатых стержней разомкнутого профиля - ТЕМП. Per. N 2018, ОФАП, 1984.

16. Иванова Г. А. и др. Разработка программы для расчета динамических возмущающих моментов, действующих на изделие при температурных деформациях упругих стержней. ОТ 361С 21. 8967-312, КБ "Южное", 1987.

17. Иванова Г. А. и др. Исследование динамических моментов от теплового изгиба длинных стержней. ОТ 361С 21. 931Б-312, КБ "Южное", 1SS7.

18. Иванова Г. А. и др. Учет влияния не жесткости антенны OPA-20 на точность ориентации изделия. ОТ ЗБ2С 21.9629-312, КБ "Южное", 1987.

19. Иванова Г. А. и др. Динамика изделия с учетом деформаций OPA-20. ОТ ЗБ20 21.9630-312, КБ "Кйяое", 1988.

20. Иванова Г. А. Динамика магнитно-гравитационной системы -ДИНАМ. Per. N 2804, ОФАП, 1988.

21. Иванова Г. А. Динамика магнитно-гравитационной системы с учетом температурных деформаций длинных стержней - ДИТЕМ. Per. Ы ЗБ14, ОФАП, 1989.

22. Иванова Г. А. и др. Модификация математической модели деформированного изделия с целью снижения ее размерности. ОТ 359С 21.10278-312, КБ "Южное", 1989.