Динамика квантовых систем с нелокальным во времени взаимодействием и влияние нелокальности на уширение спектральных линий атомов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Обобщенная квантовая динамика.

1.1. Вводные замечания.

1.2. Каноническая и фейнмановская формулировки квантовой теории.

1.3. Основополагающие физические принципы.

1.4. Оператор эволюции.

1.5. Обобщенное уравнение движения.

1.6. Динамика квантовых систем.

1.7. Матрица рассеяния.

Глава 2. Новый класс моделей в квантовой теории.

2.1. Вводные замечания.

2.2. Модель сепарабельного взаимодействия.

2.3. Физический смысл новых моделей в квантовой теории.

2.4. Решение разностного уравнения.

2.5. Логарифмическая модель.

2.6. Модель с нелокальной короткодействующей

частью взаимодействия.

2.7. Динамика, генерируемая нелокальным во времени взаимодействием.

2.8. Модели с нелокальным во времени взаимодействием и проблема описания естественного уширения спектральных линий.

Глава 3. Нелокальные во времени взаимодействия и уширения спектральных линий атомных систем.

3.1. Вводные замечания.

3.2. Уширение спектральных линий атомных систем.

3.3. Уширение спектральных линий, обусловленное нелокальным во времени взаимодействием атома с окружающей средой.

3.4. Исследование влияния нелокальности взаимодействия на форму уширения спектральных линий.

Глава 4. Эффекты запаздывания и динамика нуклонов.

4.1. Динамика систем с постоянно связанными каналами.

4.2. Нелокальность нуклон - нуклонных взаимодействий.

4.3. Мезонная теория ядерных сил.

4.4. Непрерывность оператора эволюции и динамика адронов.

4.5. Нуклон - нуклонное рассеяние при низких энергиях.

4.6. Нелокальная короткодействующая часть

NN взаимодействий.

4.7. Влияние эффектов запаздывания на характер динамики нуклонов.

Актуальность темы. Для решения многих проблем физики необходимо описывать динамику квантовых систем в случае, когда взаимодействие в системе является нелокальным во времени. Учёт такой нелокальности может быть важным при исследовании процессов фотоионизации атомов излучением сильно пульсирующих лазерных источников и при описании контролируемой лазерами молекулярной динамики [18]. При описании уширения спектральных линий атомных систем, обусловленного взаимодействием их с окружающей средой, в принципе, также следует учитывать, что это взаимодействие является нелокальным во времени. Важным примером систем, динамика которых определяется нелокальным во времени взаимодействием, являются системы нуклонов. В этом случае нелокальность взаимодействия связана с кварковыми и глюонными степенями свободы. Другой фундаментальный аспект рассматриваемой проблемы проявляется при квантово-электродинамическом описании естественного уширения спектральных линий атомов. Действительно, как хорошо известно, в квантовой электродинамике (КЭД) ультрафиолетовые расходимости можно устранить в ¿'-матрице и функциях Грина, но не в величинах, характеризующих временное развитие процессов, поскольку регуляризация матрицы рассеяния приводит к тому, что расходящиеся члены автоматически появляются в уравнениях Шредингера и Томанага-Швингера [19]. Поэтому эти уравнения в квантовой теории поля имеют только формальное значение. Таким образом, описание процессов временной эволюции КЭД систем, определяющих энергетические и иные характеристики связанных состояний, сопряжено с нерегуляризуемыми ультрафиолетовыми расходимостями. Следствием этого, в частности, являются трудности последовательного КЭД описания формы естественного уширения спектральных линий атомных систем. Однако, для большинства приложений эта проблема не имеет какого-либо существенного значения. Это связано с тем, что, во-первых, для большинства задач, связанных с описанием атомных спектров, КЭД эффекты вносят малый вклад по сравнению с другими факторами, определяющими уширение спектральных линий. Во-вторых, большинство возбужденных состояний удовлетворяет условию квазистационарности, и поэтому закон их распада близок к экспоненциальному. В этом случае контур спектральной линии имеет лоренцевскую форму и характеризуется энергией и шириной соответствующих энергетических уровней, которые могут быть вычислены с помощью стандартных методов КЭД. Однако, прогресс, достигнутый в последнее время, позволил приступить к экспериментальному исследованию спектров излучения тяжёлых многозарядных ионов, взаимодействие которых с собственным полем излучения уже нельзя рассматривать как малое возмущение и, соответственно, радиационное уширение спектральных линий может быть более значительным, чем другие виды уширения. В случае тяжелых многозарядных ионов, например, может иметь место перекрывание энергетических уровней с одинаковыми полным моментом его проекцией Зг и четностью. Закон распада таких состояний может существенно отличаться от экспоненциального, и, соответственно, форма естественного уширения спектральных линий - от лоренцевской. При этом, важную роль начинают играть КЭД эффекты, которые, как было показано в [20,21], приводят к неперенормируемым ультрафиолетовым расходимостям. Поскольку, как хорошо известно, причиной ультрафиолетовых расходимостей в квантовой электродинамике является локальность теории, представляется естественным попытаться решить эту проблему путем введения нелокального формфактора в плотность гамильтониана взаимодействия. Однако, как оказалось, такое введение нелокального формфактора приводит к нарушению релятивистской инвариантности теории, динамика которой определяется уравнением Шредингера. Причина этого вполне очевидна. Уравнение Шредингера является локальным во времени, и гамильтониан взаимодействия описывает мгновенное взаимодействие. В нерелятивистской квантовой механике процесс мгновенного взаимодействия может быть нелокальным в пространстве. Но в релятивистской теории локальный во времени процесс должен быть локальным и в пространстве. Таким образом, для того, чтобы введение в теорию нелокальности было внутренне непротеворечивым, необходимо найти способ описания эволюции систем, динамика которых генерируется нелокальным во времени взаимодействием. Впервые эта проблема была решена в работе [22], где было показано, что совместное использование наиболее общих принципов фейнмановской формулировки и канонического подхода позволяет такое обобщение квантовой динамики. Было показано, что развитая таким образом обобщенная квантовая динамика (ОКД) открывает возможности для решения эволюционной проблемы для систем, фундаментальное взаимодействие в которых является нелокальным во времени.

Целью диссертационной работы было исследование новых возможностей, которые открывает ОКД для решения ряда проблем атомной физики, атомной спектроскопии и квантовой теории. Важное место в диссертации занимают вопросы, связанные с использованием ОКД для описания динамики открытых квантовых систем, уширеня спектральных линий атомов и описанием динамики нуклонов.

Научная новизна работы заключается в следующем.

В рамках ОКД построен новый класс моделей в квантовой теории. Эти модели описывают динамику квантовых систем, фундаментальное взаимодействие в которых является нелокальным во времени. Они позволяют взглянуть с новой точки зрения на проблему ультрафиолетовых расходимостей в квантовой теории.

Исследована возможность использования ОКД и построенных в работе моделей для описания эволюции открытых квантовых систем и уширения спектральных линий атомных систем, обусловленного нелокальным во времени взаимодействием атома с окружающей средой.

Построена модель, описывающая уширение спектральной линии двухуровневого атома, взаимодействие которого с возмущающими частицами является нелокальным во времени. Показано, что при решении ряда задач, учет влияния нелокальности во времени взаимодействия на форму контуров спектральных линий атомов может быть существенен.

Построен обобщенный оператор нуклон- нуклонного взаимодействия, форма которого учитывает нелокальность во времени этого взаимодействия, которая обусловлена наличием кварковых и глюонных степеней свободы. Показано, что эффекты запаздывания, связанные с кварковыми и глюонными степенями свободы, существенно влияют на характер динамики нуклонов.

Научная ценность и практическая значимость. Построенные в работе точно решаемые модели показывают, что ОКД действительно допускает обобщение квантовой динамики на случай описания эволюции систем, фундаментальное взаимодействие в которых является нелокальным во времени. Проведенные исследования показали, что ОКД позволяет рассматривать модели, которые в рамках гамильтоновой динамики не имеют смысла из-за ультрафиолетовых расходимостей. В частности, это открывает новые возможности для решения упомянутых выше проблем КЭД теории естественного уширения спектральных линий атомных систем.

Построенная в работе модель уширения спектральных линий атомных систем позволяет учитывать нелокальность во времени взаимодействия атома с окружающей средой. Эта модель и проведенные с её помощью исследования открывают возможности для обобщения ударной теории уширения спектральных линий атомов, которое бы позволило учитывать тот факт, что столкновения излучающего атома с возмущающими частицами не являются мгновенными.

Построенный в работе обобщенный оператор нуклон- нуклонного взаимодействия позволяет учитывать кварковые и глюонные степени свободы при описании динамики нуклонов.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Развитый новый класс моделей в квантовой теории позволяет описывать эволюцию систем с нелокальным во времени взаимодействием и открывает новые возможности для решения проблемы неперенормируемых ультрафиолетовых расходимостей квантово- электродинамической теории естественного уширения спектральных линий атомных систем.

2. Предложенная модель уширения спектральных линий атомных систем позволяет учитывать влияние нелокальности во времени взаимодействия атома с окружающей средой на форму уширения спектральных линий.

3. Имеются физические условия, при которых влияние нелокальности во времени взаимодействия атома с возмущающими частицами на форму уширения спектральных линий может быть существенным.

4. Построенный обобщенный оператор нуклон- нуклонного взаимодействия позволяет учитывать кварковые и глюонные степени свободы при описании динамики нуклонов.

Достоверность результатов и выводов работы обеспечивается корректностью постановки задач, тщательностью анализа, лежащих в основе развитых моделей принципов, строгостью математических преобразований, а также хорошим согласием результатов расчетов, проведенных в рамках предложенных моделей, с экспериментальными данными.

Апробация работы

Основные выводы и результаты работы докладывались на

- 2 республиканской научной конференции молодых учёных и специалистов (Казань 1996)

- 3 и 4 международных конференциях "Geometrization of Physics" (Казань 1997, 1999)

- региональных школах "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия" (Казань 1997 - 1999)

- международных летних школах-семинарах по современным проблемам теоретической и математической физики "Volga 10-12" (Казань 1998 - 2000)

- международной летней школе "Particle Production Spanning MeV and TeV Energies" (Nijmegen, The Netherlands 1999)

- международном симпозиуме "Advances in Nuclear Physics" (Bucharest, Romania 1999)

- международной летней школе "Trapped Particles and Fundamental Physics" (Les Houches, France 2000).

Основные результаты содержатся в работах [1-17].

Заключение

Приведём основные результаты диссертации.

1. В рамах ОКД построен новый класс моделей в квантовой теории. Эти модели позволяют описывать эволюцию систем, динамика которых определяется нелокальным во времени взаимодействием.

2. Исследована возможность использования ОКД и построенных в работе моделей для описания эволюции открытых квантовых систем и уширения спектральных линий атомных систем, обусловленного нелокальным во времени взаимодействием атома с окружающей средой.

3. Построена модель, описывающая уширение спектральной линии атома, взаимодействие которого с окружающей средой является нелокальным во времени.

4. Проведены модельные расчёты уширения спектральных линий водородоподобных атомов, обусловленного его взаимодействием с возмущающими частицами. Результаты расчётов показывают, что нелокальность во времени этого взаимодействия может приводить к существенному отличию формы контура от лоренцевской.

5. Исследовано влияние эффектов запаздывания, связанных с кварковыми и глюонными степенями свободы, на динамику нуклонов. Показано, что эти эффекты могут существенно влиять на характер динамики нуклонов.

6. Построен обобщенный оператор нуклон - нуклонного взаимодействия, учитывающий, что из-за кварковых и глюонных степеней свободы это взаимодействие является нелокальным во времени.

Показано, что учёт такой нелокальности позволяет улучшить согласие теоретических предсказаний с экспериментом.

Полученные в работе результаты позволяют сделать следующие выводы.

1. ОКД открывает новые возможности для преодоления трудностей

КЭД теории естественного уширения спектральных линий, связанных с неперенормируемыми УФ расходимостями.

2. Динамическое уравнение (2.23) позволяет описывать эволюцию квантовых систем, динамика которых определяется нелокальным во времени взаимодействием. Это открывает новые возможности для учёта кварковых и глюонных степеней свободы при описании динамики нуклонов.

3. ОКД открывает новые возможности для описания открытых квантовых систем и уширения спектральных линий атомов, обусловленного взаимодействием его с окружающей средой.

1. Мутыгуллина А.А., Модель сепарабельного взаимодействия в рамках Т матричного формализма // Тез. докл. 2 республиканской научной конференции молодых учёных и специалистов 1996, с.46.

2. Гайнутдинов Р.Х., Мутыгуллина А.А., Обобщенный оператор взаимодействия и новый класс моделей в нерелятивистской квантовой теории рассеяния // Тез. докл. 2 республиканской научной конференции молодых учёных и специалистов 1996, с.47.

3. Gainutdinov R.Kh., Mutygullina A.A., Generalized interaction operator and the hadron-hadron scattering at low energies // Abstr., Geometrization of Physics III, 1997, p.31-32.

4. Гайнутдинов P.X., Мутыгуллина А.А., Обобщенный оператор взаимодействия и новый класс моделей в нерелятивистской квантовой теории рассеяния // ЯФ, 1997, т.60, с.938-945.

5. Гайнутдинов Р.Х., Мутыгуллина А.А., Квантово- электродинамические эффекты в спектрах излучения многозарядных ионов и обобщенный оператор взаимодействия / / Сб. статей, Когерентная оптика и оптическая спектроскопия, 1997, с.57-62.

6. Gainutdinov R.Kh., Mutygullina A.A., Generalized interaction operator and the hadron-hadron scattering at low energies // Proc. of Int. Conf., Geometrization of Physics III, 1997, p.102-111.

7. Гайнутдинов P.X., Мутыгуллина А.А., Нелокальные КЭД взаимодействия и проблема УФ расходимостей в теории уширения спектральных линий // Сб. статей, Когерентная оптика и оптическая спектроскопия, 1998, с.79-84.

8. Gainutdinov R.Kh., Mutygullina A.A., Karimova A.K., Nonlocal interactions and hadron-hadron scattering at low energies // Abstr., Int. Summer School-Seminar on Recent Problems in Theoretical and Mathematical Physics, 1998, p. 14.

9. Gainutdinov R.Kh., Mutygullina A.A., Karimova A.K., Nonlocal interactions and hadron-hadron scattering at low energies // Proc. of Int. Summer School-Seminar on Recent Problems in Theoretical and Mathematical Physics, 1998, p.187.

10. Гайнутдинов P.X., Мутыгуллина A.A., Нелокальное взаимодействие адронов и проблема описания NN- рассеяния при низких энергиях // ЯФ, 1999, т.62, с.2061-2070.

11. Гайнутдинов Р.Х., Мутыгуллина A.A., Каримова А.К., Решение обратной задачи теории рассеяния в модели с нелокальным во времени взаимодействием // Сб. статей, Когерентная оптика и оптическая спектроскопия, 1999, с. 142-149.

12. Gainutdinov R.Kh., Mutygullina A.A., Nonlocality of hadron interactions and the high energy behavior of total cross sections // Proc. of Int. Conf., Geometrization of Physics IV, 1999, p.200-203.

13. Gainutdinov R.Kh., Mutygullina A.A., Nonlocality of hadron interactions at small distances and the NN scattering at low energies // Abstr. of Int. Conf., Advances in Nuclear Physics, 1999, p.36.

14. Gainutdinov R.Kh., Mutygullina A.A., Nonlocality of QED interaction and high-energy behavior of total cross sections // Proc. of Spie, Quantum optics, 1999, p.20-24.

15. Гайнутдинов Р.Х., Мутыгуллина А.А., Обобщенная квантовая динамика и проблема описания эволюции систем с нелокальным во времени взаимодействием / / Известия РАН, серия физическая, 2000, т.64, 10, с.2010- 2017.

16. Гайнутдинов Р.Х., Мутыгуллина А.А., Динамика систем с нелокальным во времени взаимодействием: оператор эволюции // Известия РАН, серия физическая, 2000, т.64, 10, с.2053-2056.

17. Гайнутдинов Р.Х., Мутыгуллина А.А., Модели с нелокальным во времени взаимодействием и уширение спектральных линий атомных систем // Деп. в ВИНИТИ 28.07.00, 2353-В235.

18. H.J.Liidde, A.Henne, T.Kirchner and R.M.Dreizler, Optimized dynamical representation of the solution of time dependent quantum problems //J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., 1996, v.29, p.4423.

19. Боголюбов H.H. и Ширков Д.В., Введение в теорию квантованных полей // Изд-во "Наука", 1973г.

20. Браун М.А., Закон распада нестабильных уровней и форма спектральной линии в теории релятивистского атома // ЖЭТФ, 1988, т.4, N10, с.145-158.

21. Гайнутдинов Р.Х., Естественное уширение спектральных линий многозарядных ионов и проблема поверхностных расходимостей // ЖЭТФ, 1995, т.108, с.1600-1613.

22. R.Kh. Gainutdinov, Nonlocal interactions and quantum dynamics // J. Phys. A: Math. Gen., 1999, v.32, p.5657-5677.

23. R.P. Feynman, Space time approach to non - relativistic quantum mechanics // Rev. Mod. Phys., 1948, v.20, p.367.

24. Фейнман Р., Хиббс А., Квантовая механика и интегралы по траекториям // М.: Мир, 1968.

25. R.F.Streater and A.S.Wightman, РСТ, Spin and Statistics, And All That. // W.A.Benjamin, New York, 1964.

26. Боголюбов H.H., Медведев Б.В., Поливанов М.К., Вопросы теории дисперсионных соотношений // М.: Физматгиз, 1958 .

27. М. Reed and В. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I (Academic Press, New York, 1972).

28. Гайнутдинов P.X., Подход к нерелятивистской теории рассеяния, основанный на принципе причинности, суперпозиции и унитарности // ЯФ, 1983, т.37, с.464- 473.

29. Гайнутдинов Р.Х., Фундаментальные физические принципы и релятивистская Т матрица // ЯФ, 1987, т.46, с.1271.

30. Гайнутдинов Р.Х., Динамическое уравнение релятивистской Т матрицы и возможность введения в теорию нелокального формфактора // ЯФ, 1991, т.53, с.1431-1443.

31. Gainutdinov R.Kh., The decay and energy distribution of unstable bound states //J. Phys. A. 1989, v.22, p.269-286.

32. Блохинцев Д.И. // УФН, 1957, т.61, c.137.

33. Марков M.A., Гипероны и К-мезоны // М.: Физматиз, 1958.

34. L. Fonda, G.C, Ghirardi and A. Rimini, Decay theory of unstable quantum systems // Rep. Prog. Phys., 1978, v.41, p.587-631.

35. Фок В.А., Крылов H.C., О двух основных толкованиях соотношения неопределенности для энергии и времени / /

36. Т Т Г Г I 1 J*L Н /"Ч Л Mr hv /Л л1. ЖУ1Ф, 1У4У, Т.1/, С.У6.

37. Gamov G.A. Zur Quantentheorie des Atomkernes // Zs. f. Phys., 1928, v.51, N2, p.204-212.

38. Gurney R.W., Gondon E.I., Quantum Mechanics and Radiactive Disintegration // Phys.Rev., 1929, v.33, N1, p.127-140.

39. Weiskopf V.F., Wigner E.P., Berechnung der naturlichen Linienbreit auf Grund der Diracschen Lichettheorie // J.Phys., 1930, v.63, N1, p.54-73.

40. Халфин JI.А., Условие причинности и критерий физической осуществимости в квантовой теории поля // РАН СССР, 1956, т.111, N1, с.345.

41. Халфин Л.А., К теории распада квазистационарного состояния // ЖЭТФ, 1957, т.33, N6, с.1371.

42. Gell-Mann М., Low F., Bound states in quantum field // Phys. Rev., 1951, v.84, N2, p.350-354.

43. Low F., Natural Line Shape // Phys. Rev., 1952, v.88, N1, p.53-57

44. Лабзовский Л.Н., Релятивистская теория атома // Вопросы квантовой теории атомов и молекул. Л.: Изд-во ЛГУ, 1978, вып. 1, с.13-69.

45. Лабзовский Л.Н., Естественная ширина и форма спектральных линий в релятивистской теории атома // ЖЭТФ, 1983, т.85, с.869-879.

46. Лабзовский Л.Н., Султанаев A.A., Радиационный распад уровней с перекрывающимися ширинами / / Тез. докл. Всесоюзной конференции по теории атомов и атомных спектров, Ужгород, 1985, с.36.

47. Лабзовский J1.H., Султанаев A.A., Квантово- электродинамическая теория контуров спектральных линий // Оптика и спектр., 1986, т.60, N3, с.547-550.

48. Горшков В.Г., Лабзовский Л.Н., Султанаев A.A., Квантово-электродинамическая теория перекрывающихся спектральных линий многозарядных ионов // ЖЭТФ, 1989, т.96, N1(7), с.53-60.

49. Gorshkov V.G., Karasiov V.Y., Labzowsky L.N., Neflodov A.V., Sultanaev A.A., QED theory of the line profile with applications to the spectra of the heliumlike uranium // Л., 1991, c.53 (препринт/Ленинградский институт ядерной физики: 1974).

50. Горшков В.Г., Лабзовский Л.Н., Султанаев A.A., Квантово-электродинамическая теория перекрывающихся уровней в спектре гелиоподобного урана // Тез. докл. Всесоюзной конференции по теории атомов и атомных спектров, Томск, 1989, с.106.

51. Шабаев В.М., Квантово- электродинамическая теория естественной формы спектральных линий // Тезисы докл. Всесоюзной конференции по теории атомов и атомных спектров, Томск, 1989, с.107.

52. Горшков В.Г., Лабзовский Л.Н., Султанаев A.A., Интерференционный эффект при перекрывании уровней с одинаковыми квантовыми числами // Тез. докладов Всесоюзного семинара по атомной спектроскопии, Москва, 1990, с.58.

53. Гайнутдинов Р.Х., Спонтанное излучение и форма естественного уширения спектральных линий в Т матричной теории // Опт. т/г гп^ггтл 1 QSfi rr fin ^ 8QD-Г J- V11VXL Л. t. KS KJ x • vu ^ v t w v •

54. Гайнутдинов Р.Х., Калашников К.К., Расщепление энергетических уровней многозарядных ионов, обусловленное взаимодействие с собственным полем излучения // ЖЭТФ, 1991, т.100, N1(7),с.133-144.

55. Грим Г., Уширение спектральных линий в плазме // М.: Мир, 1978.

56. Baranger М. // Phys. Rev., 1958, v.lll, р.481.

57. Baranger M. // Phys. Rev., 1958, v.112, p.855.

58. Williams D.N. // Commun. Math. Phys., 1971, v.21, p.314.

59. Sinha K. // Helv. Phys. Acta, 1972, v.45, p.619.

60. R. Machleidt, K. Holinde and Ch. Elster, The Bonn meson -exchange model for the nucleon-nucleon interaction // Phys. Rep., 1987, v.149, No.l, p.l.

61. Калашникова Ю.С.,Народецкий Н.М.,Юров В.П. // ЯФ, 1989, т.49, с.632.

62. Барышников А.Г.,Блохинцев Л.Д.,Народецкий И.М., Савин Д.А. // ЯФ, 1988, т.48, с.1273.

63. Сафронов А.Н., Метод решения задачи трех тел с энергозависимыми взаимодействиями // ЯФ, 1994, т.57, с.208-211.

64. Куперин Ю.А.,Макаров К.А.,Меркурьев С.П. // ТМФ, 1988, т.75, с.431. Т.76.с.242.

65. Abdurakhmanov A.,Zubarev A.L. // Z. Phyz., 1985, v.A322, p.523.

66. Orlowski M. // Helv. Phys. Acta., 1983, v.56, p.1053.

67. KepÖHKOB B.O. // £<£, 1985, t.41 c.725; TM$, 1985, t.65, c.379.

68. Simonov Yu.A. // Phys. Lett., 1981, v.107 B, p.l.

69. A. Faessler, F. Fernandez, G. Lübeck and K. Shimizu, Phys. Lett. B, 1982, v.112, p.201; Nucl. Phys. A, 1983, v.402, p.555.

70. K. Bräuer, Amand Faessler, F. Fernandez and K.Shimizu, Z. Phys. A, 1985, v.320, p.609.

71. M. Oka and K. Yazaki, Phys. Lett. B 90 (1980) 41; Nucl. Phys. A, 1983, v.402, p.477.

72. D.R. Entern, A.I. Machvariani, A. Valcarce, A.J. Buchmann, Amand Faessler and F. Fernandez, Nucl. Phys. A, 1996, v.602, p.308.

73. V.l. Kukulin, V.N. Pomerantsev, and A. Faessler, Phys. Rev. C, 1999, v.59, p.3021.

74. Yu.A. Simonov, Nucl. Phys. A, 1984, v.463, p.231.

75. Fl. Stancu, S. Pepin, and Ya. Glosman, Phys. Rev. C, 1997, v.56, p.2779.

76. D. Bartz and Fl. Stancu, Phys. Rev. C, 1999, v.59, p.1756.

77. A. Proca //J. Phys. Radium, 1936, v.7, p.347.

78. N. Kemmer // Proc. Roy. Soc. (London), 1938, A166, p.127.

79. C. Moeller and L. Rosenfeld // Kgl. Danske Vid. Selskab, Math.-Fys. Medd., 1940, v.17, 8.

80. J. Schwinger // Phys. Rev., 1942, v. 61, p.387.

81. J. Kellog, I. Rabi, N.F. Ramsey and J. Zacharias // Phys. Rev., 1939, v.56, p.728; 1940, v. 57, p. 677.

82. W. Paulli, Meson Theory of Nuclear Forses // Intersience, New Jork, 1946.

83. G. Wentzel, Quantum Theory of Fields // Intersience, New Jork, 1949; Rosenfeld L., Nuclear forces // North-Holland, Amsterdam, 1948.

84. M. Taketani, S. Nakamura and M. Sasaki // Progr. Theor. Phys. (Kyota), 1951, v.6, p.581.

85. J. Iwadare, S. Otsuki, R. Tamagaki and W. Watary // Progr. Theor. Phys. (Kyota), 1956, v.15, p.86.

86. G. Breit, M.H. Hull, K.E. Lassila and K.D. Pyatt // Phys. Rev., 1960, v.120, p.2227; G. Breit // Rev. Mod Phys., 1962, v.34, p.766.

87. M. Taketani, S. Machida and S. Onuma // Progr. Theor. Phys. (Kyota), 1952, v.7, p.45.

88. K.A. Brueckner and K.M. Watson // Phys. Rev., 1953, v.90, p.699; 1953, v.92, p.1023.

89. J.L. Gammel and R.M. Thaler // Phys. Rev., 1957, v.107, p.291; G. Breit // Phys. Rev., 1960, v.120, p.287.

90. P. Signel // Advances in Nucl. Phys., 1969, v.2, p.223.

91. Particle Data Group // Rev. Mod. Phys., 1976, v.48, p.116.

92. M.M. Nagels, T.A. Rijken and J.D. de Swart // Phys. Rev. D17, 1978, p.768; D20, 1979, p.1633.

93. K. Holinde and R. Machleidt // Nucl. Phys. A256, 1976, p.479, 497.

94. A.D. Jakson, D.O. Riska and B. Verwest 11 Nucl. Phys. A249, 1975, p.397.

95. G.E. Brown and A.D. Jakson, The Nucleon-Nucleon Interaction // North-Holland, Amsterdam, 1976.

96. M. Lacombe et al // Phys. Rev. D12, 1975, p.1495.

97. M. Lacombe et al // Phys. Rev. C12, 1980, p.861.

98. M.H. Partovi and E.L. Lomon // Phys. Rev. D2, 1970, p.1999.

99. M.H. Partovi and E.L. Lomon // Phys. Rev. D5, 1972, p.1192; E.L. Lomon // Phys. Rev. D14, 1976, p.2402; D22, 1980, p.229.

100. R. Blakenbecler and R. Sugar // Phys. Rev, 1966, v.142, p.1051.

101. W.T. Nutt and L. Wilets // Phys. Rev. Dl, 1973, p.2303; D7, 1975, p.110.

102. Y.Yamaguchi, Two-nucleon problem when the potential is nonlocal but separable // Phys. Rev., 1954, v.95, p.1628-1643.

103. F.Tabakin, Single Separable Potential with Attraction and Repultion // Phys. Rev., 1968, v.174, p.1208.

104. G.Rupp and J.A.Tjon, Bethe Salpiter calculation of three -nucleon observables with rank - one separable potentials // Phys. Rev. C, 1988, v.37, p.1729.

105. S.K.Adhikari and L.Tomio, Relativistic effect on low energy nucleon - deuteron scattering // Phys.Rev. C, 1995, v.51, p.70-77.

106. Y. G. J. Stoks, R. A. M. Klomp, M. C. M. Rentmeester, and J. J. de Swart, Phys. Rev. C, 1993, v.48, p.792.

107. R. Machleidt, F. Sammarruca, and Y. Song // Phys. Rev. C,1QQA t, ^ 1 /18Q1. V.CHJ, Jj.nuu.