Поляризация электрон-позитронного вакуума и динамические эффекты в атомных спектрах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

005003514

!/ ' ^

Васильев Александр Александрович

Поляризация электрон-позитронного вакуума и динамические эффекты в атомных спектрах

Специальность 01.04.05 — Оптика

2 4 НОЯ 2011

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Казань — 2011

005003514

Работа выполнена на кафедре оптики н нанофотоники ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет».

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор

Гайнутдинов Ренат Хамитович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Моисеев Сергей Андреевич

кандидат физико-математических наук, с.н.с.

Башаров Асхат Масхудович

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Самарский государственный

университет»

Защита состоится 15 декабря 2011 года в 14.40 часов на заседании Диссертационного совета Д 212.081.07 при ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 16, ауд. 210.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Казанского университета по адресу: г. Казань, ул. Кремлевская 35.

Автореферат разослан ноября 2011 года.

Учёный секретарь Диссертационного Совета д.ф.-м.н.

Камалова Д.И.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Спектроскопия атома водорода и водородоподобных атомов сыграла ключевую роль в развитии квантовой электродинамики (КЭД) и квантовой теории. Открытие в 1947 году лэмбовского сдвига энергетических уровней атома водорода послужило мощным стимулом для развития квантовой электродинамики, которая считается сейчас наиболее точной физической теорией. Теория перенормировок, развитая для объяснения лэмбовского сдвига, стала ключевым элементом квантовой электродинамики и квантовой теории поля. По аналогии с КЭД были построены квантовая хромодинамнка (КХД) и теория электрослабых взаимодействий, и на основе этих теорий была принята концепция Стандартной модели. Поэтому проверке КЭД на простых водородоподобных атомных системах уделяется большое внимание. К таким водородоподобным системам относится и атом мюонного водорода.

В то же время с помощью прецизионной атомной спектроскопии определяются фундаментальные физические постоянные. Одной из важнейших физических постоянных, которые до сих пор ещё не определены с достаточной точностью, является размер протона, который равен по определению среднеквадратичному зарядовому радиусу протона (его также часто называют сокращённо.радиусом протона). Знание радиуса протона важно для фундаментальных и практических задач. В частоту перехода атома дают вклад: дираковская частота (определяемая из решения уравнения Дирака) вместе с другими квантовомеханическими поправками; лэмбовский сдвиг, определяемый в КЭД с точностью выше, чем точность эксперимента, и поправка на конечный размер ядра, определяемая в лидирующем порядке уравнением Дирака. Поправка на конечный размер ядра является достаточно малой в атоме водорода, и поэтому для определения радиуса протона требуются сверхточные эксперименты. Благодаря прогрессу в развитии лазерной спектроскопии удалось с 1997 по 2004 годы измерить с высочайшей точностью оптическую частоту 15 —» 25 двухфотонного резонанса [1,2] и оптические частоты 25 —> пБ/пО двухфотонных переходов в водороде и дейтерии [3]. В

результате для перехода 15 -» 25 в атоме водорода была достигнута точность измерения с относительной ошибкой порядка Ю-14. Из спектроскописческих данных по атому водорода было определено значение радиуса протона, равное 0.8802(80) фм [2]. В то же время спектроскопия атома мюонного водорода может предоставить более точную информацию о размере протона, так как в мюонных атомах мюон локализован примерно в 200 раз ближе к атомному ядру, чем электроны в обычных атомах.

Эксперименты по лазерной спектроскопии атомов мюонного водорода начались в 2001 году [4] и, как ожидалось, должны были только уточнить значение радиуса протона, определённое из спектроскопии атома водорода. Однако эксперименты были завершены лишь в 2010 году, и из измеренной оптической частоты 25 - 2Р перехода было определено значение радиуса протона, равное 0.84184(67) фм [5], т.е. на 4% меньше значения, полученного из спектроскопии атома водорода. Это расхождение не укладывается в погрешность экспериментов и является слишком большим, чтобы его можно было устранить путём учёта ещё нерассчитанных КЭД поправок. Эта проблема является чрезвычайно серьёзной, и требуется тщательная проверка всех возможных причин, которые могут приводить к расхождению значений для радиуса протона, начиная с перепроверки точности экспериментов до перепроверки методов, которые используются для описания связанных состояний в КЭД. Как отмечалось в [6], причиной этого расхождения может быть то, что стандартная теория связанных состояний КЭД может приводить к неправильным поправкам для уровней атома, или при этом может быть упущёно что-то важное. Поэтому изучение этой возможной причины расхождения является актуальной задачей. Особый интерес вызывают КЭД поправки, связанные с поляризацией вакуума.

Цель работы

Целью работы является исследование влияния поляризации вакуума на энергетические уровни атомов и их спектры в рамках подхода к теории связанных состояний, основанного на формализме обобщённой квантовой динамики (ОКД).

Научная новизна работы

Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые используется формализм обобщённой квантовой динамики для описания процессов рождения и аннигиляции элсктрон-позитронной пары в атоме и вычисления вакуумно-поляризационных поправок к энергии уровня атома. Такой подход открывает новые возможности для решения проблемы связанного состояния в рамках подхода, основанного на использовании оператора эволюции. Преимуществом развитого в диссертационной работе нового способа вычисления вакуумно-поляризационных поправок является тот факт, что он не приводит к ультрафиолетовым (УФ) расходимостям. В результате проведённых исследований определены и рассчитаны новые вакуумно-поляризационные поправки, которые ранее не учитывались для описания атомных спектров.

Достоверность результатов исследований

В представляемой диссертационной работе корректно используются современные методы квантовой теории, которые зарекомендовали себя как наиболее точные методы, показали свою предсказательную силу в ядерной физике и успешно применяются в различных областях квантовой физики. Достоверность проведённых исследований подтверждается тем, что в работе в частном случае воспроизводится результат, получаемый с помощью других общепринятых методов описания связанных состояний в квантовой электродинамике, а именно поправка Юлинга. Достоверность результатов обеспечивается строгостью математических преобразований, проведённых в работе, и использованием современных методов численных вычислений.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Разработанный метод описания вакуумно-поляризационных эффектов позволяет вычислять поправки к спектральным линиям атомов исходя из основополагающего определения связанных состояний, в котором стационарное состояние изменяется во времени как свободное состояние с постоянной энергией.

2. Рассчитанные динамические поправки к энергетическим уровням атомов являются новыми поправками и не могут быть вычислены с помощью стандартных методов.

Научная ценность и практическая значимость исследований

Проведенные в диссертационной работе исследования демонстрируют возможности подхода обобщённой квантовой динамики для описания эволюции связанного состояния. Полученные результаты позволяют более точно вычислять атомные спектры и важны для изучения размера и структуры атомных ядер.

Апробация работы

Результаты исследовательской работы докладывались соискателем на 14 научных международных и всероссийских конференциях: «X-XV международная молодежная научная школа «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия» (Казань, 2006-2011); «X-XI международные чтения по квантовой оптике» (Самара, Волгоград, 2007, 2011); «International Conference on Coherent and Nonlinear Optics», «Conference on Lasers, Applications, and Technologies», «School for Young Scientists and Engineers» ICONO/LAT (Kazan, 2010); «LX International Conference on Nuclear Physics «Nucleus 2010». Methods of Nuclear Physics for Femto- and Nanotechnolies» (Saint-Petersburg, Peterhof, 2010); «Международная конференция молодых ученых и специалистов «Оп-тика-2009» (Санкт-Петербург, 2009); «IX международный симпозиум по фотонному эхо и когерентной спектроскопии» (Казань, 2009); «XX международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики «Петровские чтения. Волга-2008» (Казань, 2008); «XI всероссийская школа-семинар «Волновые явления в неоднородных средах» (Звенигород, Моск. обл., 2008).

Личный вклад

Автором было сформулировано и решено обобщённое динамическое уравнение для однопетлевой и двухпетлевой поляризации вакуума. Получены и рассчитаны вакуумно-поляризационные поправки к энергетическим уровням

лёгких обычных и мюоиных атомов и тяжёлых мюонных атомов. ПублИКсЩИИ

Основные результаты по теме диссертации изложены в 12 статьях, 4 из которых входят в список ВАК.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объём составляет 119 страниц, включая 43 рисунка и 8 таблиц.

Содержание работы

Во введении указываются и обосновываются актуальность выбранной темы диссертации, научная новизна исследований, достоверность результатов и выводов, научная ценность и практическая значимость работы, приводятся положения, выносимые на защиту, и апробация работы.

В первой главе обсуждается современное состояние спектроскопии атома водорода и мюонных атомов. Рассматриваются особенности физики мюонных атомов. Обсуждается вклад конечного размера ядер в атомные спектры. Отражаются важные достижения квантовой электродинамики. Подробно рассматривается эффект однопетлевой поляризации вакуума, обусловленный рождением и аннигиляцией электрон-иозитронной пары в кулоновском поле ядра и мюона (или электрона). Приводятся потенциал Юлинга, который модифицирует закон Кулона добавочным потенциалом, создаваемым электрон-позитронной парой, и поправка Юлинга к энергии уровня. Рассматриваются общепринятые методы описания связанных состояний в квантовой электродинамике: метод адиабатической 5-матрицы, метод оператора эволюции в картине Фарри и метод функций Грина. Показывается, что все эти методы оперируют с ¿"-матрицей, которая по определению не может описать эволюцию системы для конечных времён, а, значит, не может предоставить полную информацию о динамике системы. Наиболее строгим из вышеперечисленных методов является метод оператора эволюции в картине Фарри, но

этот метод, базирующийся на гамильтоновой динамике, приводит к непере-нормируемым ультрафиолетовым расходимостям, и для того, чтобы обойти эту проблему, этот метод всё равно в итоге сводится к ¿'-матричному виду. С одной стороны, использование оператора эволюции совместно с гамильтоновой динамикой приводит к неперенормпруемости теории, а с другой стороны, УФ-расходимости могут быть устранены из 5-матрицы и функций Грина, но в 5-матрице теряется часть информации о динамике системы. Это означает, что динамические вклады в поправку к энергии, определяемую через оператор эволюции в гамильтоновой динамике, являются неперенормируемыми и игнорируются методами, базирующимися на ¿'-матричном подходе.

Рассматриваются способы определения постоянной Ридберга и среднеквадратичного радиуса заряда протона из спектроскопических данных по атому водорода и атому мюонного водорода. Акцентируется, что современная прецизионная спектроскопия позволяет достаточно точно определить размер протона, но при условии, что и теория должна выдерживать соответствующий порядок точности. Приводится существующее расхождение в значениях среднеквадратичного радиуса заряда протона, определенное из спектроскопии атома водорода и атома мюонного водорода. Полученное расхождение не укладывается в точность экспериментов и теории. Важным является то обстоятельство, что это расхождение нельзя устранить путём учёта ещё нерас-считанных КЭД поправок, и причина этого расхождения неизвестна. Излагаются особенности спектроскопии мюонных атомов, и обсуждается роль атомной спектроскопии в развитии новых физических теорий.

Во второй главе рассматривается формализм обобщённой квантовой динамики (ОКД), на основе которого в работе исследуется эффект поляризации вакуума в атоме. Этот формализм не оперирует ни с ^-матрицей, ни с гамильтоновой динамикой и оказывается чрезвычайно удобным для построения эффективных теорий поля (ЭТП) в терминах оператора эволюции и оператора Грина. В формализме ОКД из первых физических принципов по-

лу чается обобщённое динамическое уравнение (ОДУ) [7]

¿2 ¿4

(¿2 - «ОЭДа, «1) = / ^ / <**з(*4 - «4)5(4З, «О, (1)

«I «1

где оператор ¿'(¿г, ¿1) есть вклад в оператор эволюции ¿о) от процессов, в которых взаимодействие начинается в момент времени ^ и заканчивается в момент времени ¿2

£/(Мо) = 1 +1 <Йа У «Й1 5(«2><1). (2)

£0 ¿0

Для построения оператора эволюции достаточно знать вклад в £>(£2^1) от процессов с бесконечно малым временем взаимодействия г = ¿2 — ¿1- Обозначая этот вклад как Н-^Ц,^), можно записать граничное условие для уравнения (1)

Ят1(г2,^). (3)

'2—><1

В случае, когда взаимодействие является мгновенным во времени, из обобщённого динамического уравнения (1) с граничным условием (3) следует уравнение Шредингера, и динамика системы становится гамильтоновой.

Приводится ОДУ в терминах оператора Т(г) [7]; в такой записи ОДУ удобно для практических вычислений. Вводится определение оператора Грина как фурье-преобразование от оператора эволюции в представлении Шредингера

00

С (г) =1! ¿т ё:т ЩЬ, к) еш°<1. (4)

о

Излагается метод описания взаимодействия свободных частиц с вакуумом в терминах оператора Грина [8], и приводятся основные уравнения этого метода. В такой формулировке энергия системы определяется из условия полюса в матричном элементе оператора Грина Со(г), который описывает самодействие частиц

"""•"""".-¿ад' (5)

Поправка к энергии Сп(г) определяется из дифференциального уравнения, свободного от ультрафиолетовых расходимостей и получаемого из ОДУ. Для этого уравнения нужно только правильно определить граничное условие. Этот подход оказывается чрезвычайно эффективным для решения проблемы связанных состояний в КЭД. В этом случае можно воспользоваться теми же уравнениями, но записанными в картине Фарри, в которой в качестве свободных состояний |п) используются собственные векторы гамильтониана Дирака Н0 для частицы в кулоновском поле. Тогда условие полюса в выра-женни (5) будет определять КЭД поправки к энергетическим уровням мюона (или электрона) в кулоновском поле ядра. Это условие является следствием основополагающего определения связанных состояний, в котором стационарное состояние изменяется во времени как свободное состояние с постоянной энергией.

Показывается, что формализм ОКД и ОДУ оказались универсальными при решении многих задач квантовой теории. В работе [9] при изучении нуклон-нуклонного рассеяния при низких энергиях с помощью формализма ОКД демонстрируется выход за рамки гамильтоновой динамики. Г-матрица, описывающая динамику нуклонов при низких энергиях, в этом случае строится из ОДУ и симметрий квантовой хромодинамики и не содержит УФ-расходимостей. На этой задаче формализм ОКД показал свою предсказательную силу: формула для Т-матрицы, полученная в работе [9], независимо была получена в рамках эффективной теории ядерных сил [10] после суммирования и перенормировки фейнмановских диаграмм в работе [11]. Это означает, что нелокальность взаимодействия спрятана за процедурой перенормировок. Формализм ОКД открывает новые возможности для построения ЭТП и решения многих проблем квантовой теории. Выбор этого формализма для исследования эффекта поляризации вакуума в атоме и вычисления вакуумно-поляризационных поправок обоснован.

В третьей главе проводится исследование процессов взаимодействия атома с электрон-позитронным вакуумом и вычисление вакуумно-поляризационных поправок к энергии уровня атома. Записывается уравнение для ве-

к, k3=k,+q

к! k2=k,-q

Рис. 1. Упорядоченные во времени вакуумно-поляризационные процессы: рождение и аннигиляция электрон-шии'^юнной пары в кулоновском поле ядра и мюона.

личины Cn(z), определяющей лэмбовский сдвиг энергетического уровня п

+00 +00 dCn(z) _ ул ^ Г d pi f £Р2_

dz J (2тг)3 J (2тг)3 Х

ni s ь^ v J^ '

х (n\M{z)\nï,рх,5!;P2,S2){rц; pbsi;p2,s2\M(z)\n) (z - Ещ - EVl - EP2 - Cn,(z - En - EP1))2

где pi, EPi = y/m* + pf и s\ есть импульс, энергия и спин электрона; рг = q — pi, ЕР2 = д/mf + р| и S2 есть импульс, энергия и спин позитрона; q есть импульс кулоновского фотона и те есть физическая масса электрона. Рассматриваются процессы в первом борновском приближении, соответствующие однопетлевой поляризации вакуума. Для итерационного решения этого уравнения принимается, что M (z) ~ Br(z), где оператор Br(z) есть граничное условие для оператора M(z), и BT(z) выражается через гамильтонианы взаимодействия электромагнитного и электрон-позитронного полей. Расписываются матричные элементы гамильтонианов, соответствующие рождению и аннигиляции электрон-позитронной пары в кулоновском поле ядра и мюона (или электрона). В произведении матричных элементов рассматривается только та часть, которая соответствует обменному взаимодействию между ядром и мюоном через поляризацию вакуума (см. рис. 1), так как остальные процессы дают поправку в массу частиц.

Проводится суммирование по атомным состояниям щ и спиновым состояниям в уравнении (G), и получается уравнение в окончательном виде. Величина C„(z — EPl — EPï) является малой но сравнению с энергией состоя-

ния, и полученное уравнение можно решать итерационно, исключив в первом приближении эту величину из правой части

+оо

—ОО

где

+0°

О) = ^ / ** Др^+РФз-т* ,

* 1 ч\П2пУЕР1ЕР2 (г-ЕР1-ЕР2)> (8)

и функции ип(ц) выражаются через дираковские волновые функции для состояния п. Важным является тот факт, что уравнение (8) свободно от ультрафиолетовых расходимостей, и для того, чтобы определить функцию , через дифференциал которой формально выражается дифференциал <Юп\г)/<1г, нужно определить граничное условие для уравнения (8). В качестве такого условия выбирается 7г(0,0) = 0. Такой выбор граничного условия обеспечивается формулировкой физического заряда в КЭД и тем, что в уравнении (8) фигурирует физический заряд. Это граничное условие позволяет определить функцию 7г(г, 0). В то же время, функция я) определяет собственную энергию фотона, и 4-импульс (г, я) должен рассматриваться как 4-импульс фотона. В случае, когда \г\ оо, трехмерным импульсом можно пренебрегать, и функция будет асимптотически стремиться к тг(г,0)

при \г\ -+ оо. Решение уравнения (8) с выбранным граничным условием при г —> —оо есть

+оо

т(г оЫ— / ¿У ЕРхЕ^ + Р1Р2 - тп2е

Я2 У (21Г)3ЕР1ЕР2 ЕР1 + ЕР2~г

а 2т» 7. Р? (К ^

2)- <9>

Важно, что развитый подход, основанный на формализме обобщённой квантовой динамики, позволяет получать вакуумно-поляризационные поправки к энергетическим уровням, не обращаясь к теории перенормировок. Энергия состояния атома Еп определяется из уравнения

г-ЕМ-С<»[г) = 0, (10)

и сР(Еп) есть поправка к энергии уровня, а Сп\Е®) будет поправкой в лидирующем порядке. Полученная поправка С^(Е^) в точности совпадает с поправкой Юлинга АЕц, которая вычисляется стандартными методами КЭД. Вместе с тем, зависимость от энергии в функции Сп\г) приводит к тому, что энергетический уровень смещается на дополнительную величину

Ср(Еп) = АЕЦ + Д£у''п, (11)

где

ДЯ& = - СР(Е^) = (12)

Эта зависимость от энергии не может быть учтена стандартными методами КЭД. Из развитого в работе подхода следует, что существуют дополнительные поправки к энергетическим уровням атомов. В стандартных методах описания связанного состояния в КЭД поправка Юлинга получается в рамках 5-матричного подхода. Но 5-матрица не может содержать полную информацию о характере временной эволюции системы, т.е. 5-матрица не может полностью описать динамику системы. С другой стороны, развитый в этой работе метод описания поляризации вакуума в атоме построен в терминах оператора эволюции, а не в терминах ^-матрицы. Поэтому новые КЭД поправки названы динамическими.

Таблица 1. Динамическая поправка Д/?^ для атома мюонного водорода в сравнении с поправкой Юлинга А-Ец; значения в мэВ.

Атом Состояние

№ 151/2 -1898.9827(2) -0.01044

251/2 -219.61036(2) -0.000341

2Л/2 -14.582156(3) -0.000024

2Р1/2 -14.577140(3) -0.000024

Приводятся результаты расчёта динамической поправки для лёг-

ких обычных и мюонных атомов в сравнении с поправкой Юлинга (для атома мюонного водорода см. табл. 1). В атоме мюонного водорода динамическая

Таблица 2. Сравнение поправки с поправками Юлинга АЕу, Челлена-Сабри

Атом Состояние АЕ» ЛЕКЗ

151/2 -67249 -553 492 -222

251/2 -19412 -149 244 -46

2Р,/2 -32470 -251 348 -71

2Рз/2 -29919 -229 335 -63

поправка сопоставима по величине с поправкой Уичмэна-Кролла и поправками шестого порядка по теории возмущений. Учёт динамической поправки ДЕ^ для 2Р - 2¿'-перехода изменяет радиус протона гр со значения 0.84184(67) фм до значения 0.84187(67) фм; полученное смещение радиуса протона находится в пределах погрешности определения размера протона. Для атома водорода поправка Д£^ для 15-состояния составляет -8 Гц и является ничтожно малой. Проведены исследования поправки АЕ^ в тяжёлых мюонных атомах с использованием ферми-моделей атомных ядер (для атома мюонного свинца см. табл. 2); для этого численно решалось уравнение Дирака с потенциалом, задаваемым ферми-моделью ядра. Динамическая поправка ДЕ^ для тяжёлых мюонных атомов становится сопоставима по величине со следующими по важности после поправки Юлинга АЕц вакуумно-поляризационными поправками: поправками Челлена-Сабри Д£КЕ и Уичмэна-Кролла Д£дук [12]

Ь = АЕи + АЕю + АЕщ, + АЕ№,

где Ь есть лэмбовский сдвиг уровня и ДЕдр обозначает другие КЭД поправки. Исследуется уравнение на следующую двухпетлевую поправку с£\г),

где

Сп(Еп) = СР(Еп) + <%>(&) + 0{(га2)3}

и приводится выражение для поправки в лидирующем порядке С^(Е^). Эта поправка для 2Р — 25 перехода в атоме мюонного водорода равна примерно -0.00015 мэВ. Вместе с поправкой С&2)(£&0)) необходимо учитывать поправки от других двухпетлевых процессов поляризации электрон-позитронного

вакуума, которые имеют такой же порядок по величине, но дают вклад с противоположным знаком.

В заключении приведены основные результаты и выводы работы:

1. Разработан метод вычисления вакуумно-поляризационных поправок к энергетическим уровням атома исходя из основополагающего определения связанного состояния в квантовой теории.

2. Разработанный метод позволяет явно учитывать в поправках к энергетическим уровням эволюцию квантовых систем.

3. Разработанный метод в частном случае воспроизводит результат, получаемый с помощью других общепринятых методов КЭД, а именно поправку Юлинга.

4. Разработанный метод позволяет получать вакуумно-поляризационные поправки без процедур регуляризации и перенормировки.

5. Получены новые вакуумно-поляризационные поправки, названные динамическими поправками, которые не могут быть вычислены с помощью стандартных методов.

6. Рассчитаны динамические поправки для лёгких обычных и мюонных атомов и тяжёлых мюонных атомов.

Публикации автора по теме диссертации

1. Vasil'ev, A.A. Effects of nonlocality of the interaction of a muon with a nucleus on the lamb shift in muonic atoms / R.Kh. Gainutdinov, A.A. Mutygullina, A.A. Vasil'ev // Proc. of SPIE. -2008. -V. 7024. -P. 702411.

2. Васильев, A.A. Проблема связанных состояний в квантовой электродинамике и эффекты поляризации вакуума в мюонных атомах / A.A. Васильев, Р.Х. Гайнутдинов, A.A. Мутыгуллина, М.Х.Салахов // Изв. РАН. Сер. физ. -2010. - Т. 74. -С. 1003-1005.

3. Васильев, A.A. Проблема связанных состояний в КЭД и лэмбовский сдвиг в мюонных атомах / Р.Х. Гайнутдинов, A.A. Мутыгуллина, A.A. Васильев // Учен. зап. КГУ. -2009. -Т. 151. -Кн. 1. -С. 66-73.

4. Васильев, A.A. Поправки высших порядков к лэмбовскому сдвигу в мк>-онном водороде / A.A. Васильев, Р.Х. Гайнутдинов, A.C. Июдин, A.A. Мутыгуллина // Учен. зап. КГУ. -2008. -Т. 150. -Кн. 2. -С. 79-85.

5. Васильев, A.A. Обобщенное динамическое уравнение и взаимодействие мюона с ядром / A.A. Васильев, Р.Х. Гайнутдинов, A.A. Мутыгуллина, М.А. Хамадеев // Учен. зап. КГУ. -2007. -Т. 149. -Кн. 1. -С. 20-27.

6. Васильев, A.A. Прогресс в квантовой оптике и прецизионной лазерной спектроскопии и новые горизонты в развитии фундаментальной физики / A.A. Васильев, Р.Х. Гайнутдинов, A.A. Мутыгуллина // Когерентная оптика и оптическая спектроскопия: XV Международная молодежная научная школа. Сборник лекционных заметок. - Казань: КУ. -2011. -С. 84-90.

7. Vasilev, A.A. Dynamical corrections to the energy levels of muonic atoms and the nuclear structure / R.Kh. Gainutdinov, A.A. Mutygullina, A.A. Vasilev / LX International Conference on Nuclear Physics «Nucleus 2010». Book of Abstracts. -2010. -P. 264.

8. Васильев, A.A. Проблема связанных состояний в КЭД и динамические поправки к спектрам мюонных атомов / A.A. Васильев, Р.Х. Гайнутдинов, A.A. Мутыгуллина // Когерентная оптика и оптическая спектроскопия: XIII Международная молодежная научная школа. Сборник статей. -Выпуск XIII. Казань: КГУ. -2009. -С. 134-137.

9. Васильев, A.A. Эффекты нелокальности взаимодействия мюона с ядром при описании лэмбовского сдвига в мюонных атомах / A.A. Васильев, Р.Х. Гайнутдинов, A.C. Июдин, A.A. Мутыгуллина / XX Международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики. Материалы школы-семинара. -2008. -С. 25.

10. Васильев, А.А. Динамические поправки к лэмбовскому сдвигу в тяжелых мюонных атомах / А.А. Васильев, Р.Х. Гайнутдинов, А.С. Июдин, А.А. Мутыгуллина // Когерентная оптика и оптическая спектроскопия: XII Международная молодежная научная школа. Сборник статей. -Выпуск XII. Казань: КГУ. -2008. -С. 117-120.

11. Васильев, А.А. Лэмбовский сдвиг в мюонных атомах с учетом распределения заряда в ядре / А.А. Васильев, Р.Х. Гайнутдинов, А.А. Мутыгуллина // Когерентная оптика и оптическая спектроскопия: XI Международная молодежная научная школа. Сборник статей. -Выпуск XI. Казань: КГУ. -2007. -С. 155-158.

12. Васильев, А.А. Обобщенное динамическое уравнение и лэмбовский сдвиг в мюонных атомах / А.А. Васильев, Р.Х. Гайнутдинов // Когерентная оптика и оптическая спектроскопия: X Международная молодежная научная школа. Сборник статей. -Выпуск X. Казань: КГУ. -2006. -С. 245248.

Список цитируемой литературы

1. Udem, Th. Phase-Coherent Measurement of the Hydrogen 1S—2S Transition Frequency with an Optical Frequency Interval Divider Chain / Th. Udem, et. al. // Phys. Rev. Lett. -1997. -V. 79. -P. 2646-2649.

2. Mohr, P.J. CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2006 / J.P. Mohr, B.N. Taylor, D.B. Newell // Rev. of Mod. Phys. -2008. -V. 80. -P. 633-730.

3. de Beauvoir, B. Absolute Frequency Measurement of the 2S-8S/D Transitions in Hydrogen and Deuterium: New Determination of the Rydberg Constant / B. de Beauvoir, et. al. // Phys. Rev. Lett. -1997. -V. 78. -P. 440-443.

4. Kottmann, F. The Muonic Hydrogen Lamb Shift Experiment at PSI / F. Kottmann, et. al. // Hyper. Interac. -2001. -V. 138. -P. 55-60.

5. Pohl, R. The size of the proton / R. Pohl, et. al. // Nature. -2010. -V. 466. -P. 213-217.

6. Flowers, J. A chink in the armor / J. Flowers // Nature. -2010. -V. 466. -P. 195-196.

7. Gainutdinov, R.Kh. Nonlocal Interactions and Quantum Dynamics / R. Kh. Gainutdinov // J. Phys. A.: Math. Gen. -1999. -V. 32. -P. 5657-5677.

8. Гайнутдинов, P.X. Естественное уширение спектральных линий многозарядных ионов и проблема поверхностных расходимостей / Р.Х. Гайнутдинов // ЖЭТФ. -1995. -Т. 108. -С. 1600-1613.

9. Gainutdinov, R.Kh. Nonlocality of the AW "interaction in an effective field theory / R.Kh. Gainutdinov, A.A. Mutygullina // Phys. Rev. C. -2002. -V. 66. -P 014006.

10. Weinberg, S. Nuclear forces from chiral lagrangians / S. Weinberg // Phys. Rev. B. -1990. -V. 251. -P. 228-292.

11. van Kolck, U. Effective Field Theory of Short-Ranges Forces / U. van Kolck // Nucl. Phys. A. -1999. -V. 645. -P. 273-302.

12. Bergem, P. Nuclear polarization and charge moments of 208Pb from muonic x rays / P. Bergem, et. al. // Phys. Rev. C. -1988. -V.37. -P. 2821-2833.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательства Казанского университета Тираж 100. Заказ 38/11

420008, г.Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37 тел.: (843) 233-73-59,292-65-60

Введение

1 Современное состояние спектроскопии атома водорода и мю-онных атомов

1.1 Физика мюонных атомов

1.2 Описание спектров водородоподобных атомов

1.2.1 Водородоподобный атом в квантовой механике.

1.2.2 Вклад конечного размера ядер в атомные спектры

1.2.3 Квантовая электродинамика.

1.2.4 Эффект поляризации вакуума.

1.2.5 Проблема связанных состояний в КЭД

1.3 Проверка КЭД связанных состояний.

1.3.1 Постоянная Ридберга и размер протона.

1.3.2 Аномалия размера протона.

1.3.3 Спектроскопия мюонных атомов.

Актуальность темы диссертационной работы

Спектроскопия атома водорода и водородоподобных атомов является очень важным направлением исследований современной физики. На протяжении последних почти 125 лет, начиная с открытия Бальмером в 1885 году серии линий в видимой области спектра атома водорода, атомная спектроскопия не раз приводила к глобальным переосмыслениям и дополнениям законов физики. Как хорошо известно, попытки объяснения серии Бальмера, а также других спектральных серий, в конечном итоге привели к созданию квантовой механики, которая триумфально описала спектральные серии в спектре атома водорода. Повышение точности измерения частоты переходов в атоме водорода привело к открытию в 1947 году Лэмбом и Резерфордом расщепления 251/2 и 2Рг/2 уровней, названного лэмбовским сдвигом. Это открытие послужило мощным стимулом для развития квантовой электродинамики (КЭД) и в целом квантовой теории поля. Теория перенормировок, развитая для объяснения этого сдвига, стала ключевым элементом квантовой электродинамики. По аналогии с КЭД были построены квантовая хромодинамика (КХД) и теория электрослабых взаимодействий, и на основе этих теорий была принята концепция Стандартной модели. Поэтому проверке КЭД на простых водородоподобных атомных системах уделяется большое внимание. Благодаря прогрессу в развитии лазерной спектроскопии удалось с 1997 по 2004 годы измерить с высочайшей точностью оптическую частоту 15 —» 25' двухфотон-ного резонанса и оптические частоты 25 —> п5/пБ двухфотонных переходов в водороде и дейтерии [1-6]. В результате для перехода 15 —> 25 в атоме водорода была достигнута точность измерения с относительной ошибкой порядка Ю-14. Благодаря современной прецизионной спектроскопии удалось значительно повысить точность определения постоянной Ридберга и среднеквадратичного зарядового радиуса протона (его часто называют сокращенно радиусом протона) [6]. Основоположник современного способа прецизионной лазерной спектроскопии Теодор Хэнш удостоен Нобелевской премии по физике в 2005 г.

Также мюонные атомы уже почти на протяжении 60 лет являются важными объектами исследований физики. Основными направлениями таких исследований стали мюонный катализ ядерного синтеза, проверка квантовой электродинамики связанных состояний в мюонных атомах и изучение электромагнитной структуры атомных ядер. Актуальность исследования КЭД процессов в мюонных атомах заключается в том, что в них КЭД эффекты могут проявиться с еще неизученной стороны из-за того, что в мюонных атомах энергия уровней почти в 200 раз больше, чем в обычных атомах. Наиболее сильно в мюонных атомах проявляется эффект поляризации вакуума, обусловленный рождением и аннигиляцией электрон-позитронной пары. Также энергетические уровни мюонных атомов гораздо чувствительнее к структуре атомных ядер, чем энергетические уровни обычных атомов. Например,' смещение энергетического уровня за счет конечного размера протона для 2й,-состояния ■ атома мюонного водорода составляет по величине примерно 1/50 от лэмбовского сдвига. В то время как аналогичное смещение для 15-состояния атома водорода есть приблизительно 1/7000 от лэмбовского сдвига. Это означает, что спектроскопия атома мюонного водорода может предоставить более точную информацию о размере протона.

Эксперименты по лазерной спектроскопии атомов мюонного, водорода начались в 2001 году [7] и, как ожидалось, они должны были уточнить значение радиуса протона, полученное из спектроскопии атома водорода. Однако эксперименты были завершены лишь в 2010 году и привели к неожиданным результатам [8]: радиус протона, определенный из анализа данных спектроскопии мюонного водорода, оказался на 4% меньше радиуса, полученного с помощью спектроскопии обычного водорода. Именно поэтому экспериментаторы не наблюдали резонанс, предсказанный на основе данных по спектроскопии атома водорода, и потребовалось достаточно много времени для выяснения причин возможной ошибки. Это расхождение не укладывается в погрешность экспериментов и является также слишком большим, чтобы его можно было устранить путем учета еще нерассчитанных КЭД поправок. Эта проблема является чрезвычайно серьезной, и требуется тщательная проверка всех возможных причин, которые могут приводить к расхождению значений для радиуса протона, начиная с перепроверки точности экспериментов до перепроверки методов, которые используются для описания связанных состояний в КЭД. Если предположить, что в резонансных экспериментах все проанализировано правильно, то это означает, что в теории может быть потеряно примерно 100 кГц для лэмбовского сдвига 15-состояния атома водорода или примерно 75 ГГц (0.3 мэВ) для частоты перехода 2в — 2Р атома мюон-ного водорода. В дополнение к этому остаются расхождения между теорией и экспериментом для тяжелых мюонных атомов, которые не могут быть устранены подгонкой свободных параметров, входящих в модели атомных ядер [9,10]. Поэтому развитие новых более точных методов описания КЭД связанных состояний, в том число и вакуумно-поляризационных эффектов в атоме, является актуальным.

Цель работы

Целью работы является исследование влияния поляризации вакуума на энергетические уровни атомов и их спектры в рамках подхода к теории связанных состояний, основанного на формализме обобщенной квантовой динамики (ОКД).

Научная новизна работы

Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые используется формализм обобщенной квантовой динамики для описания процессов рождения и аннигиляции электрон-позитронной пары в атоме и вычисления вакуумно-поляризационных поправок к энергии уровня атома. Такой подход открывает новые возможности для решения проблемы связанного состояния в рамках подхода, основанного на использовании оператора эволюции. Преимуществом развитого в диссертационной работе нового способа описания вакуумно-поляризационных эффектов является тот факт, что он не приводит к ультрафиолетовым (УФ) расходимостям. В результате проведенных исследований определены и рассчитаны новые вакуумно-поляризационные поправки, которые ранее не учитывались для описания атомных спектров.

Достоверность результатов и выводов

В представляемой диссертационной работе корректно используются современные методы квантовой теории, которые зарекомендовали себя как наиболее точные методы, показали свою предсказательную силу в ядерной физике и успешно применяются в различных областях квантовой физики. Достоверность проведенных исследований подтверждается тем, что в работе в частном случае воспроизводится результат, получаемый с помощью других общепринятых методов описания связанных состояний в квантовой электродинамике, а именно поправка Юлинга. Достоверность результатов обеспечивается строгостью математических преобразований, проведенных в работе, и использованием современных методов численных вычислений.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Разработанный метод описания вакуумно-поляризационных эффектов позволяет вычислять поправки к спектральным линиям атомов исходя из основополагающего определения связанных состояний, в котором стационарное состояние изменяется во времени как свободное состояние с постоянной энергией.

2. Рассчитанные динамические поправки к энергетическим уровням атомов являются новыми поправками и не могут быть вычислены с помощью стандартных методов.

Научная ценность и практическая значимость

Проведенные в диссертационной работе исследования демонстрируют возможности подхода обобщенной квантовой динамики для описания эволюции связанного состояния. Полученные результаты позволяют более точно вычислять атомные спектры и важны для изучения размера и структуры атомных ядер.

Апробация работы

Результаты исследовательской работы докладывались соискателем на 14 научных международных и всероссийских конференциях: «X-XV международная молодежная научная школа «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия» (Казань, 2006-2011); «X-XI международные чтения по квантовой оптике» (Самара, Волгоград, 2007, 2011); «International Conference on Coherent and Nonlinear Optics», «Conference on Lasers, Applications, and Tech-nologiés», «School for Young Scientists and Engineers» ICONO/LAT (Kazan, 2010); «LX International Conference on Nuclear Physics «Nucleus 2010». Methods of Nuclear Physics for Femto- and Nanotechnolies» (Saint-Petersburg, Peterhof, 2010); «Международная конференция молодых ученых и специалистов «Оп-тика-2009» (Санкт-Петербург, 2009); «IX международный симпозиум по фотонному эхо и когерентной спектроскопии» (Казань, 2009); «XX международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики «Петровские чтения. Волга-2008» (Казань, 2008); «XI всероссийская школа-семинар «Волновые явления в неоднородных средах» (Звенигород, Моск. обл., 2008).

Исследовательская работа награждалась медалью Министерства образования и науки Российской Федерации «За лучшую научную студенческую работу» по итогам открытого конкурса на лучшую научную работу студентов по естественным, техническим и гуманитарным наукам в высших учебных заведениях Российской Федерации (Москва, 2008); стипендией Мэра г. Казани по итогам конкурса научно-практической конференции студентов и аспирантов «Наука и инновации в решении актуальных проблем города» (Казань, 2010); дипломом первой степени по итогам республиканского конкурса научных работ студентов на соискание премии им. Н.И. Лобачевского (Казань, 2006); дипломом за лучший доклад по итогам конкурса на «XII международной молодежной научной школе «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия» (Казань, 2008); дипломами первой и второй степени по итогам конкурсов «Итоговой научно-студенческой конференции КГУ». (Казань, 2006, 2008).

Личный вклад соискателя

Автором было сформулировано и решено обобщенное динамическое уравнение для однопетлевой и двухпетлевой поляризации вакуума. Получены и рассчитаны вакуумно-поляризационные поправки к энергетическим уровням легких обычных и мюонных атомов и тяжелых мюонных атомов.

Публикации

Основные результаты по теме диссертации изложены в 12 статьях, 4 из которых входят в список ВАК.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 119 страниц, включая 43 рисунка и 8 таблиц.

Выводы диссертационной работы

1. Разработанный метод позволяет явно учитывать в поправках к энергетическим уровням эволюцию квантовых систем.

2. Динамические поправки необходимо учитывать наравне с другими КЭД поправками для более точного описания атомных спектров и исследования структуры атомных ядер .

3. На основании проведенного исследования динамических поправок можно предполагать, что размер протона., определенный из спектроскопии атома мюонного водорода, является более правильным.

4. Чтобы точно ответить на вопрос, позволяет ли учет динамики КЭД процессов устранить существующее расхождение между теорией и экспериментом в атомной спектроскопии, требуется также исследовать динамический эффект в атоме водорода, связанный с собственной энергией электрона.

5. Для тяжелых мюонных атомов требуется провести переподгонку свободных параметров, входящих в модели атомных ядер, с учетом динамических поправок.

1.4 Заключение

В этой главе были сформулированы основные теоретические проблемы, с которыми столкнулась современная спектроскопия атомов водорода и мюонного водорода, а также тяжелых мюонных атомов. Решение существующих в теории проблем в свою очередь поможет перейти на новый уровень понимания законов квантовой физики. Поэтому спектроскопия как обычных атомов, так и экзотических атомных систем остается сегодня актуальной задачей и используется для того, чтобы все глубже заглянуть внутрь вещества и точнее определить фундаментальные законы природы. Например, нобелевский лауреат по физике за вклад в развитие точной лазерной спектроскопии 2005 года Теодор Хэнш сравнивает изучение лэмбовского сдвига с разгадкой розетт-ского камня [68]. На сегодняшний момент времени существует расхождение между теорией и экспериментом. Можно ожидать, что с увеличением исследуемой энергетической области (например, спектроскопия иона гелия и иона мюонного гелия) это относительное расхождение будет тоже увеличиваться. Остается надеяться, что устранить это расхождение сможет принципиально новая теория, являющаяся обобщением существующей сегодня стандартной теории.

Глава 2

Нелокальные взаимодействия и квантовая динамика

2.1 Формулировки квантовой теории

Существуют две общепринятые формулировки квантовой теории: каноническая формулировка и фейнмановская формулировка. В канонической квантовой теории, а в частности, в атомной физике [22,23], постулировано, что динамика системы описывается уравнением Шредингера (с гамильтонианом Дирака). В этом случае взаимодействие в системе является мгновенным и описывается гамильтоновой динамикой. Уравнение Шредингера следует из теоремы Стоуна при условии строгой непрерывности оператора эволюции

1іт\\и3(і2,0)- ^(¿і,0)|| = 0, (2.1) где С/5 (і, 0) есть оператор эволюции в представлении Шредингера. В случае когда взаимодействие немгновенно во времени, условие строгой непрерывности нарушается [66]. В результате использование уравнения Шредингера в квантовой теории поля при описании нелокальных процессов приводит к ультрафиолетовым расходимостям. Как известно, причиной УФ-расходимостей в КЭД является локальность теории, и поэтому долгое время считалось, что проблему нелокальности можно решить путем введения нелокального формфактора в плотность гамильтониана взаимодействия. Однако в релятивистской теории, если мы «размазываем» взаимодействие в пространстве, то мы должны «размазывать» его и во времени, что неизбежно приводит к потере в гамильтоновой динамике унитарности или релятивисткой инвариантности. Причиной этого является то, что уравнение Шредингера является локальным во времени и гамильтониан описывает мгновенное взаимодействие. И как следствие в гамильтоновой динамике взаимодействие в принципе не может быть нелокальным во времени. Преимущество канонической квантовой теории - это удобный математический аппарат, использующий язык векторов (а точнее лучей) состояний в гильбертовом пространстве и язык операторов, а недостаток - это использование локального во времени уравнения Шредингера. Именно локальность аргументировала, что она является основной причиной бесконечности в квантовой теории поля.

Фейнмановская формулировка квантовой теории отличается от канонической [43,82]. Главная идея этого формализма состоит в том, что квантовая динамика может быть описана без использования уравнения Шредингера. Фейнмановская теория начинается с анализа явления квантовой интерференции, которое сопровождается • непосредственно введением понятия суперпозиции амплитуд вероятности (первый постулат Фейнмана). Амплитуда вероятности события, которое может произойти несколькими различными способами, есть сумма амплитуд вероятности для каждого из событий [43]. В фейнмановской формулировке квантовой теории этот постулат используется как основополагающий постулат теории (первый постулат Фейнмана). Его можно использовать различными способами в зависимости от того, на какие классы можно подразделить альтернативы. Фейнман в качестве альтернатив рассматривал движения по различным возможным траек ториям в пространстве-времени, которые все дают вклад [43]. Фейнмановская формулировка содержит в себе как и важнейшую идею суперпозиции амплитуд вероятности, так и понятие амплитуды вероятности, связанное с определенными перемещениями, или траекториями в пространстве-времени, и искусственно постулирует, что эта амплитуда вероятности, имеет фазу, пропорциональную классическому действию для соответствующей траектории exp (¿^[^(i)]) (второй постулат Фейнмана) [43], где Sab есть классическое действие (в единицах К) ь J МЬ(х,х). (2.2) а

Амлитуда вероятности (Ь\а) того, что частица перейдет из пространственно-временной точки (Ьа,ха) в пространственно-временную точку (Ц,хь), равна

Ь\а) = ^]ехр (¿ЗДаф)]). (2.3) х{1)

Второй постулат был введен таким образом, чтобы из него следовало уравнение Шредингера. Теория Фейнмана очень отличается от канонической квантовой теории. Эти разные подходы достоверны и эквивалентны и дополняют друг друга в решении различных проблем квантовой физики.

2.2 Формализм обобщенной квантовой динамики

В работе [66] было показано, что уравнение Шредингера не является самым общим динамическим уравнением, совместным с современными концепциями квантовой физики, ибыло выведено более общее уравнение движения как следствие основополагающих физических принципов. Являясь эквивалентным уравнению Шредингера в случае, когда взаимодействие в системе является мгновенным, это более общее уравнение позволяет расширить квантовую динамику на случай нелокальных во времени взаимодействий. Это динамическое уравнение, развитое на основе формализма обобщенной квантовой динамики (ОКД), открывает новые возможности для решения многих проблем квантовой физики [83,84,93,95].

2.2.1 Оператор эволюции

Как постулат в ОКД используется то [66,87], что вероятность события есть модуль квадрата комплексного числа, названного амплитудой вероятности. Общая амплитуда вероятности упорядоченной по времени последовательности событий есть произведение отдельных амплитуд вероятности для каждого события. Амплитуда вероятности события, которое может произойти несколькими различными способами, есть сумма амплитуд вероятности для каждого из этих способов. Очевидное преимущество формализма ОКД состоит в том, он объединяет в себе первый постулат Фейнмана и удобный математический аппарат канонической квантовой теории и приэтом не содержит «искуственных» постулатов. В работе [66] было показано, что вместо процессов, в которых частицы системы имеют определенные траектории, в качестве альтернатив события можно использовать процессы с определенными временами начала и конца взаимодействия в системе. Используя основные предположения фейнмановской формулировки, матричные элементы оператора эволюции представляются как сумма вкладов всех альтернативных способов реализации соответствующего процесса эволюции. В формализме ОКД амплитуда вероятности Ц)\Ф\) того, что при измерении в момент времени £ система будет обнаружена в состоянии \ф2)> если при измерении в момент времени ¿о она находилась в состоянии \ф\), представляется в следующей форме [66] г ¿2

ШЩМШ) = (ЬШ + / / ШЭ&МШ)- (2.4)

0 ¿0

Здесь ¿1)1^1) ~~ амплитуда вероятности того, что если в момент времени ¿1 состояние системы было то взаимодействие в системе начнется в момент времени ¿1, закончится в момент времени ¿2 и в тот же момент система окажется в состоянии \ф2). Величина (^2есть амплитуда вероятности того, что в системе не было взаимодействия. Представление (2.4) выражает тот факт, что если в момент времени £ система обнаружена в состоянии отличном ОТ СОСТОЯНИЯ В момент Времени ¿0) то в промежуток времени между £ и £о имело место взаимодействие в системе, которое должно было начаться в какой-то момент времени £1 (£ ^ ¿1 ^ £о) и в какой-то момент времени ¿2 (¿2 ^ ¿1 ^ ¿о) закончится. Интеграл в правой части (2.4) означает суммирование вкладов от всех этих альтернативных возможностей, а это и есть принцип суперпозиции амплитуд вероятности. Для наглядности на рис. 2.1 приведен пример времен начала и конца взаимодействия. Тогда оператор эволюции

Н-1-1-1-► и ^ ¡2 ? ВРЕМЯ

Рис. 2.1. Пример времен начала и конца взаимодействия.

Н-1—н и ti ?2 ВРЕМЯ

Рис. 2.2. Пример промен более фундаментальных процессов.

11 (£, ¿о) можно записать в следующем виде г ¿2 о) = 1 + / У <Й1 (2.5)

0 ¿0 где оператор ¿"(¿г,^) описывает вклад в оператор эволюции £/(£,£0) от процессов, в которых взаимодействие начинается в момент времени ¿1 и заканчивается в момент времени £2.

2.2.2 Обобщенное динамическое уравнение

Как было показано [66], для того чтобы оператор эволюции о) был унитарным и удовлетворял композиционному закону

С/+(МоММо) = £/(Мо)^+(Мо) = 1 (унитарность), {/(£,£)£/(£',¿о) = и(Ь,Ьо) и [/(¿о,£о) = 1 (композиционный закон), оператор ¿"(¿¡^¿х) должен удовлетворять уравнению

2 £4

2-^1)^2^1) = IСЙ4 У (2-6)

1 ¿1

Это рекуррентное соотношение (2.6) показывает, что вклады в процесс, который происходит в промежуток времени г = £2 — ¿1, вносят процессы, которые происходят в еще меньшие промежутки времени £4 — ¿з (рис. 2.2). Таким образом, это уравнение является прямым следствием принципа суперпозиции амплитуд вероятности и унитарности оператора эволюции. Исключительно важным является то, что для построенного оператора эволюции достаточно знать вклад в £(¿2, ¿1) от процессов с бесконечно малыми временами взаимодействия. Если эти вклады заданы, уравнение (2.6) позволяет определить для любых ¿1 и ¿2- Естественно предположить, что в пределе ¿2 —» ¿1 наибольший вклад в оператор эволюции дают процессы, ассоциируемые с фундаментальными взаимодействиями в системе. Например, для атомной физики фундаментальным взаимодействием является процесс обмена кулоновским фотоном; для КЭД - процесс поглощения (или испускания) фотона и процесс рождения (или аннигиляции) электрон-позитронной пары. Тогда используя соотношение (2.6), оператор 5(¿2, ¿1) можно представить в виде разложения в ряд по степеням фундаментальных взаимодействий. Обозначая вклад как вклад от процессов с бесконечно малым времен взаимодействия, можно записать граничное условие для уравнения (2.6)

2,¿1) ,Яшь(*2}«о + 0(те), (2.7) где т = Ь2 — ¿1 - время взаимодействия, е - некоторая степень, выбираемая таким образом, чтобы уравнение (2.6) в пределе —> ¿1 имело единственное решение, имеющее поведение (2.7) В окрестности ТОЧКИ ¿2 = ¿1, обобщенный оператор взаимодействия, описывающий фундаментальные взаимодействия. Дополненное этим граничным условием уравнение (2.6) становится динамическим уравнением. В случае, когда обобщенный оператор взаимодействия имеет следующий вид

ЯшЬ(£2,£ 1) = -2Щ2 - (2.8) где Я/(£) - гамильтониан взаимодействия в представлении взаимодействия, из уравнения (2.6) можно получить уравнение Шредингера в интегральной форме в виде разложения Дайсона [66]. Дельта-функция — ¿1) в соотношении (2.8) указывает на мгновенность взаимодействия. Уравнение (2.6), полученное из общих физических принципов и являющееся в частном случае уравнением Шредингера, названо обобщенным динамическим уравнением (ОДУ) [66]. ОДУ (2.6) позволяет обобщить теорию на случай, когда взаимодействие в системе является нелокальным во времени и, следовательно, динамика в системе не является гамильтоновой.

2.2.3 ОДУ в терминах Т-оператора

Для практических вычислений обобщенное динамическое уравнение (2.6) удобно переписать в терминах Т-оператора в дифференциальной форме. Т-оператор определяется с помощью оператора S{t2,t{) следующим образом (здесь и далее используется рациональная система единиц h = с = 1)

Т(т) = exp(-itfoi2)5(i2,ii) ехр(г#0*і). (2.9)

Здесь S(¿2: ^і) ~ оператор в представлении взаимодействия, Т(т) - тот же самый оператор в представлении Шредингера и Но - свободный гамильтониан. Далее можно записать Т-оператор в энергетическом представлении, связав энергетическое и временное представления фурье-преобразованиями со

T(z) =i J dr exp(izr)T(r), (2.10) о oo f(r) = [ dx exp(-izr)T(z). (2.11)

27Г J

-oo

Принцип причинности требует, чтобы матричные элементы оператора Т(т) обращались в нуль при г < 0. Из принципа причинности г > 0 следует, что - аналитическая операторная функция от 2 в верхней половине комплексной плоскости. В этом случае оператор эволюции (2.4) можно представить в следующем виде п2|[/(М[)Ж) = (п2|п!) + г Т ехр(-г(г - ЕП2)£) {п2\Т^)\гы) ехр(г(г - ЕПг)Ьо)

-оо где г; = х+гу - энергия (как комплексное число) и у > 0, п обозначает полный набор дискретных и непрерывных переменных, описывающих систему, |п) и Еп - собственные вектора и собственные значения свободного гамильтониана

Hq, т.е. Но\п) = Еп\п). В терминах оператора T(z) обобщенное динамическое уравнение (2.6) может быть представлено в виде [66] и приведено к дифференциальной форме или

T(z) = -T(Z){G0(Z))2T(Z). (2.15)

Здесь Gq(z) есть свободный гриновский оператор

G0(z) = (z - НоГ1 или = (2Л6) п z

Суммирование по п подразумевает суммирование и интегрирование по всем свободным состояниям системы. Граничное условие для уравнения (2.14) выбирается как

T(z) B(z), (2.17) z\—>оо где B(z) определяется с помощью обобщенного оператора взаимодействия Н\ntihih), записанного в представлении Шредингера оо

B(z)=i J тexp(izт)exp(-iHot2)Hmt(t2,tl)exp(гHotl). (2.18) о

Таким образом, оператор В (г) есть оператор взаимодействия с бесконечно малым временем взаимодействия.

Уравнение (2.14) позволяет получить решение для любых -г, если определено соответствующее граничное условие для этого уравнения. Граничное условие (2.17) означает, что наибольший вклад в в пределе —» оо дают процессы, ассоциируемые с фундаментальными взаимодействиями в рассматриваемой системе, описываемые оператором В (г). Несмотря на то, что в граничном условии (2.17) 2; устремляется к бесконечности, мы можем ограничиться рассмотрением области энергии, лежащей гораздо выше нашего низкоэнергетического приближения, но гораздо меньшей области энергии, соответствующей более фундаментальной высокоэнергетической теории. Такую область энергий мы обозначим как Т>. Тот факт, что область Т> лежит гораздо выше масштаба низкоэнергетической динамики, позволяет утверждать, что при таких «бесконечно больших» энергиях основной вклад в оператор Т(г) дают процессы, которые можно определить как «фундаментальные» для данной низкоэнергетической теории. И, как следствие этого, оператор взаимодействия В{г) достаточно близок к истинной Т-матрице, т.е. к (^¡Т^)]^}. Так, чтобы учесть тот факт, что любая теория имеет границы применимости, вместо граничного условия (2.17) для уравнения (2.14) мы должны воспользоваться выражением (ф2\В(г)\ф!) + г^Ъ. (2.19)

Для того чтобы уравнение (2.14) с граничным условием (2.19) имело единственное решение, оператор взаимодействия В (г) должен быть достаточно близок к истинной Т-матрице в области V, другими словами, функция Н{г) должна быть малой для х е Т> [66].

2.2.4 Оператор Грина

Если представить оператор эволюции в представлении Шредингера как преобразование Фурье оо } <ьехр(-«*)ад, (2.20) оо где С/^й, 0) = ехр(—гН^и^Ь) ехр(гЯо^г) - оператор эволюции в представлении Шредингера, то обратное преобразование Фурье даст оо

С?(г)=г J сЙехр(гг*)С/5(*,0), (2.21) о где С(г) - гриновский оператор. Физический смысл гриновского оператора заключается в том, что он описывает эволюцию системы в энергетических переменных и содержит в себе информацию от всех времен. Из выражения (2.4) следует, что гриновский оператор есть [66] или

ЭД = <ЭД + <?о (*)Т(*)<?о(*)- (2.23)

Здесь (ЗД = (г — -Но)-1 свободный гриновский оператор, описывающий свободную систему, т.е. систему в отсутствие каких-либо взаимодействий, и Т(г) - оператор взаимодействия, описывающий взаимодействия в системе.

2.3 Взаимодействие квантовой системы с вакуумом

2.3.1 Свободные состояния в КЭД

Уравнение позволяет (2.14) описывать нелокальное взаимодействие квантовой системы с вакуумом. Но Т-матрица описывает не только взаимодействие между частицами, но и их самодействие (т.е. взаимодействие с вакуумом), в то время, как свободный гриновский оператор (?о(^) описывает эволюцию частиц в отсутствии каких-либо взаимодействий. В этом случае для практических вычислений удобно перейти от свободного оператора. Грина Со (г) и оператора Т(г) к другим операторам. Вклад в оператор Грина от процессов, связанных с самодействием'частиц, имеет такую же структуру, как свободный гриновский оператор Єо(г). По этой причине естественно заменить свободный оператор на пропагатор Со(^), который описывает эволюцию частиц, взаимодействующих с вакуумом, а следовательно имеет следующий вид [87,88] д{г) = (г - Щ - ОД)"1. (2.24)

Здесь оператор С (г) определяется уравнением С(г)\п) = Сп(г)\п). Условие г - Я<0> - Сп(г) = 0 (2.25) определяет физические массы частиц. Следует отметить, что Со (г) отличается от свободного гриновского оператора тем, что в пропагаторе заменяется на Е^ + Сп(г). Если бы Сп(г) не зависела от г, то ее можно было бы рассматривать как поправку к энергии, обусловленную взаимодействием с вакуумом. Однако в общем случае эту зависимость от л, которая есть проявление того, что взаимодействие с вакуумом является нелокальным во времени, необходимо учитывать. Соответственно, оператор T{z) необходимо заменить оператором M(z), описывающим взаимодействие только между частицами. Эти операторы связаны следующим простым соотношением [87,88]

G0(z) + Gq{z)T{z)Gq{z) = G{z) + Go(z)M(z)Go(z). (2.26)

Используя это соотношение, можно переписать обобщенное динамическое уравнение в терминах оператора M{z) и функции Cn(z) п2\м(г)\гы) = -ЫА-ООЫ

- (гъ\М(г)\т) ({ni\Ds{z)\m) + (n2\D5{z)\n2)), (2-27)

Cn(z) = —(n\Ds\n), (2.28) где (ni\Ds(z)\ni) и (ri2\Dr(z)\ni) связаны с операторами M{z) и Gq(z) следующими соотношениями [88] пзІОДІщ) = (n2|ni)<ni|Z?j(2í)|ni) + (паІД-МІпі), (2-29)

D(z) = M{z) (Go(^))2 M{z). (2.30)

Первый член в правой части выражения (2.29) содержит множитель (П2ІП1) и описывает «сингулярную» часть (ri2\D('z)\ni). Граничные условия для уравнений имеют вид п2|М(г)|ш> , ЫД-ОгОК), (2.31)

Cn{z) -> (n\Bs(z)\n), (2.32) z|—>00 где B§(z) и Br(z) описывают соответственно «сингулярную» и «регулярную» части оператора взаимодействия п2\В{г)\ты) = {n2\n1)(ni\B6(z)\n1) + {n2\Br{z)\m). (2.33)

Здесь Br(z) - регулярная часть оператора взаимодействия, описывающая взаимодействие между частицами, a B$(z) - сингулярная часть оператора взаимодействия, описывающая их самодействие. Уравнение на Cn(z) имеет следующий вид [65,87,88] c„(Z) = -(n|MW(§„(,))2MWH. (2.34)

Это уравнение и уравнение на М{г) можно решать итерационно, положив в первой итерации М(г) = Вг(г), где оператор Вг{г) есть регулярная часть оператора В (г) и выражается через гамильтониан взаимодействия системы.

2.3.2 Связанные состояния в КЭД

Подход, описанный в предыдущем подразделе 2.3.1, оказывается чрезвычайно эффективным при решении проблемы связанных состояний в КЭД. Для решения этой проблемы мы можем воспользоваться теми же уравнениями, но записанными в картине Фарри, в которой в качестве базисных векторов используются собственные векторы гамильтониана Дирака, т.е. Но\п) — где #0 есть гамильтониан Дирака-Кулона. Действительно, связанные состояния мюона (или электрона) в кулоновском поле ядра и энергии этих состояний могут считаться «голыми» состояниями и «голыми» энергетическими уровнями мюонного (или электронного) атома в случае, когда частицы системы не взаимодействуют с вакуумом. Для того, чтобы определить настоящие состояния и энергии уровней мюонных атомов, мы должны рассмотреть взаимодействие таких «голых» атомов с вакуумом. Таким образом, вместо свободных состояний в качестве базисных состояний можно использовать полную систему векторов |п), являющихся решениями уравнения Дирака. Таким образом состояние \п) можно рассматривать как «свободные» состояния системы. Если взаимодействие в системе, за исключением взаимодействия частиц с кулоновским полем, отсутствует, то эволюцию системы можно описать «свободным» гриновским оператором, который можно представить в следующем виде [88]

Теперь для описания динамики системы мы должны учесть, что частицы в «свободных» состояниях |п) могут участвовать в других взаимодействиях, например, в процессах рождения и поглощения фотонов или рождения и уничтожения электрон-позитронных пар. Причем последний процесс является доминирующим в мюонных атомах. В результате из условия полюса в

2.35) матричном элементе гриновского оператора п|С(г)|и> = (2'36) следует уравнение г — Е^ — Сп{г) ~ 0, определяющее КЭД поправки к энергетическим уровням мюона (или электрона) в кулоновском поле ядра. Это условие является следствием основополагающего определения связанных состояний (1.67), в котором стационарное состояние изменяется во времени как свободное состояние с постоянной энергией. Тогда величина

АЕп = Еп- = Сп(Еп) (2.37) есть лэмбовский сдвиг энергетического уровня п.

Схожий по виду подход в терминах оператора эволюции и оператора Грина развивается Коэном-Таннуджи и соавторами в [89], в котором п|ед|п> =- 1 (2.38) где оператор Грина определяется как резольвента полного гамильтониана <?(г) = (г- Я)"1; Я = Н0 + У, и <ЗД равен в(г) = + <ЗДГОоМ + + - • (2.39)

Здесь Т-оператор есть сумма обычного борновского ряда

Т = V + УС0{г)У + УО0(г)УО0(г)У + . . (2.40)

Выражения записаны не картине Фарри, но никаких трудностей перенести полученные результаты на случай картины Фарри не возникает. Поправка к энергии Ип{г) раскладывается в ряд по теории возмущений [89] г) = {п\У\п) + <ті|УС?оМ^|7і) + {п\Уво{г)Уво{г)У\п) + . . (2.41)

Как видно, такой подход в [89] построен на гамильтоновой динамике, и это неизбежно приводит к УФ-расходимостям в поправке Яп^). Но подход ОКД отличаются от него более фундаментальными определениями оператора эволюции и оператора Грина и, как будет показано в следующей главе, оказывается свободным от УФ-расходимостей. В отличие от (2.41) в формализме ОКД функция Cn{z) определяется дифференциальным уравнением (2.34), которое свободно от УФ-расходимостей за счет дополнительной степени в знаминате-ле, и если правильно определить граничное условие для этого уравнения, то и в поправке к энергии УФ-расходимостей тоже не появится.

1. Udem, Th. Phase-Coherent Measurement of the Hydrogen 15 — 25 Transition Frequency with an Optical Frequency 1.terval Divider Chain / Th. Udem, et. al // Phys. Rev. Lett. -1997. -V. 79. -P. 2646-2649.

2. Huber, A. Hydrogen-Deuterium 15 — 25 Isotope Shift and the Structure of the Deuteron / A. Huber, et. al // Phys. Rev. Lett. -1998. -V. 80. -P. 468-471.

3. Niering, M. Measurement of the Hydrogen 1S-2S Transition Frequency by Phase Coherent Comparison with a Microwave Cesium Fountain Clock / M. Niering, et. al. // Phys. Rev. Lett. -2000. -V. 84. -P. 5496-5499.

4. Mohr, P. CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2006 / P.J. Mohr, B.N. Taylor, D.B. Newell // Rev. of Mod. Phys. -2008. -V. 80. -P. 633-730.

5. Kottmann, F. The Muonic Hydrogen Lamb Shift Experiment at PSI / F. Kottmann, et. al // Hyperfine Interactions. -2001. -V. 138. -P. 55-60.

6. Pohl, R. The size of the proton / R. Pohl, et. al. // Nature. -2010. -V. 466. -P. 213-217.

7. Haga, A. Reanalysis of muonic 90Zr and 208Pb atoms / A. Haga, Y. Horikawa, H. Toki // Phys. Rev. C. -2007. -V. 75. -P. 044315-1-044315-8.

8. Thalapillil, A.M. Bound states and fermiophobic unparticle oblique corrections to the photon / A.M. Thala.pillil // Phys. Rev. D. -2010. -V. 81. -P. 035001-1-035001-21.

9. Antognini, A. Powerful fast triggerable 6 m laser for the muonic hydrogen 2S'-Lamb shift experiment / A. Antognini, et. al // Opt. Comm. -2005. -V. 253. -P. 362-374.

10. Pohl, R. Observation of Long-Lived Muonic Hydrogen in the 2S State / R. Pohl, et. al. // Phys. Rev. Lett. -2006. -V. 97. -P. 193402-1-193402-4.

11. Ludhova, L. Muonic hydrogen cascade time and lifetime of the short-lived 2S state / L. Ludhova, et. al // Phys. Rev. A. -2007. -V. 75. -P. 040501-1040501-4.

12. Dixit, M.S. Experimental Test of the Theory of Muonic Atoms / M.S. Dixit, H.L. Anderson, C.K. Hargrove, R.J. McKee, D. Kessler, H. Mes, A.C. Thompson // Phys. Rev. Lett. -1971. -V. 27. -P. 878.

13. Barrett, R.C. Nuclear sizes and structure / R.C. Barrett, D.F. Jackson.-Oxford: Clarendon press. -1977.

14. Borie, E. The Energy Levels of Muonic Atoms / E. Borie, G.A. Rinker // Rev. of Mod. Phys. -1982. -V. 54. -P. 67-118.

15. Bergem, P. Nuclear polarization and charge moments of 208Pb from muonic x rays / P. Bergem, G. Piller, A. Rueetchi, L. Shaller, L. Schellenberg, H. Schneuwly // Phys. Rev. C. -1988. -V.37. -P. 2821-2833.

16. Borie, E. Lamb shift in muonic hydrogen / E. Borie // Phys. Rev. A. -2005. -V. 71. -P. 032508-1-032508-8.

17. Eides, M.I. Theory of Light Hydrogenic Bound States / M.I. Eides, H. Grotch, V.A. Shelyuto. -Berlin: Springer-Verlag. -2007.

18. Герштейн, С.С. Мюонный катализ и ядерный бридинг / С.С. Герштейн, Ю.В. Петров, Л.И. Пономарев // УФН -1990. -V. 160. -С. 3-46.

19. Chelkowski, S. Muonic molekules in superintense laser fields / S. Chelkowski, A. Bandrank and P. Corkum // Phys. Rev. Lett. -2004. -V.93. -P. 083602.

20. Матвеев, A.H. Квантовая механика и строение атома / А.Н. Матвеев. -М.: Высшая школа. -1965.

21. Левич, В.Г. Курс теоретической физики / В.Г. Левич, Ю.А. Вдовин, В.А. Мямлин. -Т.2. -М.: Наука. -1971.

22. Бете, Г. Квантовая механика атома с одним и двумя электронами / Г. Бете, Э. Солпитер. -М.: Физматгиз. -1960.

23. Хелзен, Ф. Кварки и лептоны / Ф. Хелзен, А. Мартин. -М.: Мир. -1987.

24. Grotch, Н. Effective Potencial Model for Calculating Corrections to the Energy Levels of Hydrogen / H. Grotch, D.R. Yennie // Rev. of Mod. Phys. -1969. -V. 41. -P. 350-374.

25. Берестецкий, В.Б. Квантовая электродинамика / В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский. -М.: Наука. -1989.

26. Никифоров, А.Ф. Специальные функции математической физики / А.Ф. Никифоров, В.Б. Уваров -М.: Наука. -1984.

27. Talukdar, В. Remarks on momentum-space hydrogenic wavefunctions / В. Talukdar, J. Dutta, H.P. Chattopadhay // J. Phys. B: At. Мої. Phys. -1984. -V. 17. -P. 3211-3216.

28. Martynenko, A.P. 2S Hyperfine splitting of muonic hydrogen / A.P. Martynenko // Phys. Rev. A. -2005. -V. 71. -P. 022506.

29. Martynenko, A.P. Fine and hyperfine structure of P-wave levels in muonic hydrogen / A.P. Martynenko // Phys. At. Nucl. -2008. -V. 71. -P. 125-135.

30. Andrea, D. Finite nuclear charge density distributions in electronic structure calculations for atoms and molecules / D. Andrea // Phys. Rep. -2000. -V. 336. -P. 413-525.

31. Lamb, W.E. Fine Structure of the Hydrogen Atom by Microwave Method / W.E. Lamb, R.C. Retherford // Phys. Rev. -1947. -V. 72. -P. 241-243.

32. Швебер, С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля / С. Швебер. -М.: Изд. ин. лит. -1963.

33. Feynman R.P. The Development of the Space-Time View of Quantum Electrodynamics / R.P. Lamb // Science. -1966. -V. 153. -P. 699-708.

34. Бродский, С. Современный статус квантвой электродинамики / С. Бродский, С. Дрелл // УФН. -1972. -V. 107. -Р. 57-98.

35. Бьеркен, Дж.Д. Релятивистская квантовая теория / Дж.Д. Бьеркен, С.Д. Дрелл. -Т.1. -Москва: Наука. -1978.

36. Боголюбов, Н.Н. Введение в теорию квантованных полей / Н.Н. Боголюбов, Д.В. Ширков. -М.: Наука. -1984.

37. Райдер, JI. Квантовая теория поля / JI. Райдер. -Волгоград: Платон. -1998.

38. Ахиезер, А.И. Квантовая электродинамика / А.И. Ахиезер, В.Б. Бере-стецкий. -М.: Наука. -1981.

39. Тейлор, Дж. Теория рассеяния. Квантовая теория нерелятивистских столкновений. / Дж. Тейлор. -М.: Мир. -1975.

40. Вайнберг, С. Квантовая теория поля / С. Вайнберг. -Т.1. -М.: Физмат-лит. -2003.

41. Feynman, R.P. Quantum Mechanics and Path Integrals / R.P. Feynman, A.R. Hibbs. -New York: McGraw-Hill. -1965.

42. Боголюбов, Н.Н. Квантовые поля / Н.Н. Боголюбов, Д.В. Ширков. -М.: Наука. -1980.

43. Uehling, E.A. Polarization Effects in the Positron Theory / E.A. Uehling // Phys. Rev. -1935. -V. 48. -P. 55.

44. Pachucki, K. Theory of the Lamb shift in muonic hydrogen / K. Pachucki // Phys. Rev. A. -1996. -V. 53. -P. 2092-2100.

45. Karshenboim, S.G. Polarization of the vacuum in a relativistic hydrogenlike atom: the Lamb shift / S.G. Karshenboim // Zh. Éksp. Teor. Fiz. -1999. -V. 116. -P. 1575-1586.

46. Watson, P.J.C. Discrepancy Between Theory and Experiment in Muonic X Rays A Critical Discussion / P.J.C. Watson, M.K. Sundaresan // Can. J. Phys. -1974. -V. 52. -P. 2037-2058.

47. Schneider, S.M. Kàllén-Sabry energy shift for hydrogen-like atoms with finite size nuclei / S.M. Schneider, W. Greiner, G. Soff // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. -1993. -V. 26. -P. L529-L534.

48. Wichmann, E. Vacuum Polarization in a Strong Coulomb Field / E. Wichmann, N. Kroll // Phys. Rev. -1956. -V. 101. -P. 843-859.

49. Schmidt, J.M. Higher-order vacuum-polarization corrections in muonic atoms / J.M. Schmidt, G. Soff // Phys. Rev. A -1989. -V. 40. -P. 2176-2179.

50. Kinoshita, T. Sixth-order vacuum-polarization contribution to the Lamb shift of muonic hydrogen / T. Kinoshita, M. Nio // Phys. Rev. Lett. -1999. -V. 82. -P. 3240-3243.

51. Shabaev, Y.M. Quantum Electrodynamic Theory of Multiply Charged Ions / V.M. Shabaev // Rus. Phys. Jour. -1990. -V. 33. -P. 660-670.

52. Веселов, M.Г. Теория атома. Строение электронных оболочек. / М.Г. Веселов, JT.H. Лабзовский . -М.: Наука. -1986.

53. Sucher, J. S-Matrix Formalism for Level-Shift Calculations / J. Sucher // Phys. Rev. -1957. -V. 107. -P. 1448-1449.

54. Лабзовский, Л.Н. Теория атома. Квантовая электродинамика электронных оболочек и процессы излучения. / Л.Н. Лабзовский -М.: Наука. Физматлит. -1996.

55. Gell-Mann, М. Bound states in quantum field theory / M. Gell-Mann, F. Low // Phys. Rev. -1951. -V. 84. -P. 350-354.

56. Запрягаев, С.А. Теория многозарядных ионов с одним и двумя электронами / С.А. Запрягаев, Н.Л. Манаков, В.Г. Пальчиков -М.: Энерго-атомиздат. -1985.

57. Васильев, А.Н. Нестационарная теория возмущений для сдвигов энергии вырожденного уровня / А.Н. Васильев, А.Л. Китанин // Теор. и мат. физ. -1975. -Т. 24. -С. 219-229.

58. Hubbard, J. / J. Hubbard // Proc. Roy. Soc. -1957. -V. A240. -P. 539.

59. Lepage, G.P. Analytic bound-state solutions in a relativistic two-body formalism with applications in muonium and positronium* / G.P. Lepage // Phys. Rev. A. -1977. -V. 16. -P. 863-876.

60. Salpeter, Е.Б. A Relativistic Equation for Bound-State Problems / E.E. Salpeter, H.A. Bethe // Phys. Rev. -1951. -V. 84. -P. 1232-1242.

61. Ициксон, К. Квантовая теория поля / К. Ициксои, Ж.-Б. Зюбер. -Т.1. -Москва: Мир. -1984.

62. Дульян, Л.С. Модифицированное уравнение Дирака в квантовой теории поля / Л.С. Дульян, Р.Н. Фаустов // Теор. и мат. физ. -1975. -V. 22. -Р. 314-322.

63. Gainutdinov, R.Kh. Proton radius, bound state QED and the nonlocality of the electromagnetic interaction / R.Kh. Gainutdinov // ArXiv quant-ph. 2011. 1103.3989.

64. Gainutdinov, R.Kh. Nonlocal Interactions and Quantum Dynamics / R.Kh. Gainutdinov // J. Phys. A: Math.Gen. -1999. -V. 32. -P. 5657-5677.

65. Flowers, J. A chink in the armour? / J. Flowers // Nature. -2010. -V. 466. -P. 195-196.

66. Herrmann, M. Feasibility of coherent xuv spectroscopy on the 15 — 25 transition in singly ionized helium / M. Herrmann, et. al // Phys. Rev. A. -2009. -V. 79. -P. 052505-1-052505-15.

67. Sick, I. On the rms-radius of the proton / I. Sick // Phys. Lett. B. -2003. -V. 576. -P. 62-67.

68. Blunden, P.G. Proton radii and two-photon exchange / P.G. Blundeb, I. Sick // Phys. Rev. C. -2005. -V. 72. -P. 057601.

69. Pohl, R. The size of the proton and the deuteron / R. Pohl, et. al. // 22nd International Conference on Atomic Physics. J. Phys.: Conf. Ser. -2011. -V. 264. -P. 012008-1-012008-9.

70. Pachucki, K. Theory of the Lamb shift in muonic hydrogen / K. Pachucki // Phys. Rev. A. -1996. -V. 53. -P. 2092-2100.

71. Pachucki, K. Proton structure effects in muonic hydrogen / K. Pachucki // Phys. Rev. A. -1999. -V. 60. -P. 3593-3598.

72. Borie, E. Lamb shift of muonic deuterium / E. Borie // Phys. Rev. A. -2005. -V. 72. -P. 052511-1-052511-7.

73. Martynenko, A.P. Lamb shift in the muonic helium ion / A.P. Martynenko // Phys. Rev. A. -2007. -V. 76. -P. 012505-1-012505-11.

74. Vogel, P. Atomic Aftereffects and the Line Shape of Muonic X Rays / P. Vogel // Phys. Rev. A. -1973. -V.7. -P. 2292-2297.

75. Barrett, R.C. The Eigenchannel Method and Related Theories for Nuclear Reactions / R.C. Barrett, et al. // Rev. Mod. Phys. -1973. -V.45. -P. 44-108.

76. Шабаев, B.M. Квантовая электродинамика тяжелых ионов и атомов: статус и перспективы / В.М. Шабаев // Конференции и симпозиумы. УФН. -2008. -Т. 178. -С. 1220-1225.

77. Feynman, R.P. Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics / R.P. Feynman // Rev. of Mod. Phys. -1948. -V. 20. -P. 367.

78. Gainutdinov, R.Kh. Nonlocality of the NN interaction in an effective field theory / R.Kh. Gainutdinov, A.A. Mutygullina // Phys. Rev. C. -2002. -V. 66. -P. 014006.

79. Gainutdinov, R.Kh. Effects of nonlocality in time of interactions of an atom with its surroundings on the broadening of spectral lines of atoms / R.Kh. Gainutdinov, A.A. Mutygullina and W. Scheid // Phys. Lett. A. -2002. -V. 306. -P. 1-9.

80. Гайнутдинов, P.X. Лэмбовский сдвиг в атомах, взаимодействующих с интенсивным лазерным полем / Р.Х. Гайнутдинов, А.А. Мутыгуллина. // Известия РАН. Серия физическая. -2008. -Т. 72. -С. 774-776.

81. Гайнутдинов, Р.Х. Нелокальность взаимодействия и квантовый парадокс Зенона / Р.Х. Гайнутдинов, А.А. Мутыгуллина // Известия РАН. Серия физическая. -2008. -Т. 72. -С. 721-723.

82. Gainutdinov, R.Kh. The decay and energy distribution of unstable bound states / R.Kh. Gainutdinov // J. Phys. A: Math. Gen. -1989. -V. 22. -P. 269286.

83. Гайнутдинов, Р.Х. Естественное уширение спектральных линий многозарядных ионов и проблема поверхностных расходимостей / Р.Х. Гайнутдинов // ЖЭТФ. -1995. -Т. 108. -С. 1600-1613.

84. Cohen-Tannoudji, С. Atom-Photon Interactions / С. Cohen-Tannoudji, J. Dupont-Roc, G. Grynberg. -Weinheim: Wiley-VCH Verlag GmbH.& Co.• KGaA. -2004.

85. Weinberg, S. Nuclear forces from chiral lagrangians / S. Weinberg // Phys. Rev. B. -1990. -V. 251. -P. 228-292.

86. Гайнутдинов, Р.Х. Нелокальность взаимодействия и квантовый парадокс Зенона / Р.Х. Гайнутдинов, А.А. Мутыгуллина // Изв. РАН. Сер. физ. -2008. -V. 72. -Р. 721-723.

87. Башаров, A.M. Эффективный гамильтониан атомно-фотонного кластера в резонансном когерентном поле / A.M. Башаров // Учен. зап. Каз. ун. Сер. физ.-мат. науки. -2010. -Т. 152. -Кн. 3. -Р. 43-52.

88. Cohen, S. Relativistic Self-Consistent Solution for Atoms of Large Atomic Number / S. Cohen // Phys. Rev. -1960. -V.118. -P. 489-494.

89. Vasil'ev, A.A. Effects of nonlocality of the interaction of a muon with a nucleus on the lamb shift in muonic atoms / R.Kh. Gainutdinov, A.A. Mutygullina, A.A. Vasil'ev // Proc. of SPIE. -2008. -V. 7024. -P. 702411.

90. Васильев, A.A. Проблема связанных состояний в квантовой электродинамике и эффекты поляризации вакуума в мюонных атомах / А.А. Васильев, Р.Х. Гайнутдинов, А.А. Мутыгуллина, М.Х.Салахов // Изв. РАН. Сер. физ. -2010. Т. 74. -С. 1003-1005.

91. Васильев, А.А. Проблема связанных состояний в КЭД и лэмбовский сдвиг в мюонных атомах / Р.Х. Гайнутдинов, А.А. Мутыгуллина, А.А. Васильев // Учен. зап. КГУ. -2009. -Т. 151. -Кн. 1. -С. 66-73.

92. Васильев, А.А. Поправки высших порядков к лэмбовскому сдвигу в мюонном водороде / А.А. Васильев, Р.Х. Гайнутдинов, А.С. Июдин, А.А. Мутыгуллина // Учен. зап. КГУ. -2008. -Т. 150. -Кн. 2. -С. 79-85.

93. Васильев, А.А. Обобщенное динамическое уравнение и взаимодействие мюона с ядром / А.А. Васильев, Р.Х. Гайнутдинов, А.А. Мутыгуллина, М-.А. Хамадеев // Учен. зап. КГУ. -2007. -Т. 149. -Кн. 1. -С. 20-27.

94. Vasilev, А.А. Dynamical corrections to the energy levels of muonic atoms and the nuclear structure / R.Kh. Gainutdinov, A.A. Mutygullina, A.A. Vasilev / LX International Conference on Nuclear Physics «Nucleus 2010». Book of Abstracts. -2010. -P. 264.