Динамика квантовых волновых пакетов в системах с полиномиальными потенциалами и трением тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

СМИРНОВСКИЙ Александр Андреевич

ДИНАМИКА КВАНТОВЫХ ВОЛНОВЫХ ПАКЕТОВ В СИСТЕМАХ С ПОЛИНОМИАЛЬНЫМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ И

ТРЕНИЕМ

01.04.07 — физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата ^ лук

003450582

Санкт-Петербург - 2008 7Г/3

003450582

Работа выполнена на кафедре теоретической физики ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет»

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор

Санин Андрей Леонардович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор

Мелькер Александр Иосифович (СПбГПУ)

Занддта состоится 26 ноября 2008 г. в 16.00 на заседании диссертационного совета Д212.229.05 ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет» по адресу: 195251, г. С.-Петербург, ул. Политехническая, д. 29. 2 учебный корпус, ауд. 265

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет»

Автореферат разослан «(у » октября 2008 г. Отзывы направлять по адресу: 195251, г. С.-Петербург, ул. Политехническая, д. 29, 2 учебный корпус, деканат ФМФ, ученому секретарю Воробьевой Т.В.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д212.229.05

кандидат физико-математических наук Мухоморов Владимир Константинович (Агрофизический институт)

Ведущая организация

Петербургский институт ядерной физики им. Б.П. Константинова Российской академии наук

кандидат физико-математических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Введение и актуальность задачи. Исследование квантовых динамических закономерностей имеет фундаментальное значение для развития физики конденсированного состояния, химии, наноэлектроники и точных технологий. Современные достижения лазерной импульсной фемто- и аттосекундной техники позволяют проводить экспериментальные исследования динамики микрочастицы на разных пространственных масштабах. Поэтому возрос интерес к теоретическим исследованиям процессов когерентных колебаний и делокализации квантовых волновых пакетов, резонансов во внешних полях как в изолированных квантовых системах, так и с учетом взаимодействия с окружающей средой. Объектом исследований становятся различные квантовые системы, в том числе традиционные, такие как потенциальная яма с непроницаемыми стенками, осциллятор и ротатор. Необходимость в проведении этих исследований также обусловлена прикладными задачами, такими как: передача информации квантовыми системами, разработка квантовых компьютеров и других приборов. В последние годы интенсивно разрабатываются методы управления квантовыми волновыми пакетами под воздействием электромагнитного поля. Один из них представлен теорией оптимального управления. Эта теория рассматривает динамический процесс перехода из исходного приготовленного состояния в конечное заданное состояние при помощи специально создаваемых лазерных импульсов с определенной формой и соответствующим Фурье-спектром. Теория реализуется в рамках численных итерационных алгоритмов, описывающих обратную связь между импульсами и квантовыми состояниями и являющихся самосогласованными. Для решения задач управления необходимо изучать условия, при которых движение может быть когерентным и, наоборот, чувствительным к разрушению когерентности. Возникновение декогерентности является фундаментальной проблемой, ей уделяется много внимания в научной литературе.

Для описания квантовых изолированных систем используются различные формы уравнений движения: нестационарное уравнение Шредингера, квантовое уравнение Гамильтона-Якоби, уравнения Маделунга. Влияние окружающей среды на динамику микрочастицы может быть учтено различными способами описания. Если не требуется полного описания системы вместе с окружающей средой и можно перейти к упрощенному, более краткому описанию, то достаточно ввести в уравнения квантовой динамики для системы один или несколько параметров, характеризующих влияние окружающей среды. Так появилось уравнение Гейзенберга-Ланжевена для оператора импульса [1], которое послужило основой для формулировки уравнения Шредингера-Ланжевена-Костина (ШЛК) [2, 3]. Уравнение ШЛК содержит слагаемое, включающее коэффициент трения. Так как оно предназначалось для описания квантового броуновского движения, то содержит еще одно слагаемое - потенциал случайной силы. Оба слагаемых входят в уравнение ШЛК аддитивно и не зависят друг от друга. При

3 1 1

определенных допущениях, а также в модельных задачах, действие случайной силы можно игнорировать, как это сделано в статьях [4-7]. Уравнение ШЛК без случайной силы имеет в качестве классического аналога уравнение движения с диссипативной силой, пропорциональной скорости и противоположно ей направленной.

Диссертационная работа посвящена численному интегрированию уравнения ШЛК и исследованию динамических закономерностей в пространственно-ограниченных квантовых системах с полиномиальными потенциалами, трением и обратной связью. Основные темы исследования: собственные колебания в одномерных системах, вынужденные колебания при импульсном воздействии на квантовые волновые пакеты, моделирование обратной связи, туннелирование в системах с полиномиальными потенциалами, влияние окружающей среды в рамках уравнения ШЛК. Рассматриваемая тематика и полученные результаты являются актуальными и значимыми для приложений в современной радиоэлектронике.

Цели и задачи исследования. Цель исследований — развитие динамической теории когерентных процессов, делокализации и сложных колебаний при внешних воздействиях и влиянии окружающей среды. Это определяет постановку следующих задач

1. Исследование квантового пространственно-ограниченного осциллятора в рамках нестационарного уравнения Шредингера; расчеты динамических средних и их Фурье-спектров, а также контурных карт (уровней) плотности вероятности.

2. Анализ квантового пространственно ограниченного осциллятора с трением в рамках уравнения Шредингера-Ланжевена-Костина; расчеты динамических средних и их Фурье-спектров, а также фазовых траекторий.

3. Динамические расчеты при разных начальных условиях: в форме гауссова пакета с заданной скоростью, при помощи воздействия одиночного импульса внешней силы.

4. Исследование вынужденных колебаний для пространственно-ограниченного осциллятора с трением, переход к установившемуся режиму колебаний; когерентные колебания; влияние случайной силы на колебания.

5. Разработка квантового аналога классической системы с обратной связью, с отрицательным трением, переход к хаотическому режиму колебаний.

6. Численное моделирование пространственно-ограниченных квантовых систем с трением и полиномиальными потенциалами, пропорциональными третьей и четвертой степеням по координате.

7. Расчеты инжекции двумерного квантового пакета волн через плоскую щель, дифракция на щели, управление пакетом.

В этих исследованиях необходимо установить области параметров, при которых в процессе эволюции волновые пакеты остаются локализованными и произведение неопределенностей остается минимизированным и, наоборот, когда происходит делокализация квантовых волновых пакетов, а движение становится сложным,

нерегулярным; выявить режимы когерентного движения в условиях диссипации и воздействия внешних сил.

Научная новизна диссертации

1. С единых позиций в рамках уравнения Шредингера — Ланжевена — Костина проведены всесторонние и обширные количественные исследования динамики квантовых волновых пакетов в системах с полиномиальными потенциалами, подверженных действию внешних силовых полей и окружающей среды.

2. Разработан численный метод решения уравнения ШЛК, использующий процедуру установления по псевдовремени. Подобный метод применяется для решения уравнений классической гидродинамики и других.

3. Пространственно-ограниченный осциллятор с квадратичным потенциалом (осциллятор в ящике) исследован с учетом трения и силы, обусловленной ланжевеновским случайным потенциалом. Если амплитуда колебаний соизмерима с половинным размером системы, то частотный спектр усложняется: вместо одной спектральной линии имеет место структурированный их набор, но спектр остается дискретным. Детально изучены вынужденные колебания пространственно-ограниченного осциллятора с трением и внешней силой в виде периодической последовательности импульсов. Установлены режимы вынужденных когерентных колебаний с минимизированным произведением неопределенностей координаты и скорости, а также режимы колебаний, когда происходит рост квантовых флюктуации и произведения неопределенностей координаты и скорости.

4. Предложена модель квантового осциллятора с трением и обратной связью, являющаяся аналогом классического осциллятора с трением и обратной связью (классические механические часы). Варьируя параметры предложенной модели — коэффициент трения, силу обратной связи — найден режим движения с минимизированным произведением неопределенностей координаты и скорости, с дискретным частотным спектром колебаний. При определенном значении силы с уменьшением коэффициента трения существует бифуркационное (критическое) значение коэффициента, при котором возникают сложные колебания в системе, характеризующиеся всюду плотным частотным спектром для зависимости средней координаты от времени.

5. В квантовой системе с двойной потенциальной ямой при воздействии силы трения и внешней гармонической силы исследованы различные режимы туннелирования и колебаний. Частоты внешнего воздействия были близки или равны частотам переходов между соседними энергетическими уровнями, при этом высота барьера между ямами варьировалась в определенных пределах. Частота переходов меаду первым возбужденным и основным уровнем, обусловленная туннелированием, характеризует релокализацию волнового пакета. Частота перехода между возбужденными третьим и вторым энергетическими уровнями характеризует мелкомасштабные колебания пакета в каждой из ям. Частотные Фурье-спектры для

колебаний средней координаты и карты уровней плотности вероятности дают картину динамики квантовых волновых пакетов. Возможны режимы, когда Фурье-компонента на частоте релокализации является доминирующей.

6. В квантовой системе, образуемой разностью потенциалов второй и третьей степени по координате, исследовано динамическое туннелирование из ямы, в которой происходят колебания волнового пакета, через барьер в свободное пространство. Установлено дискретное порционное туннелирование, при малой высоте барьера оно становится двухступенчатым.

7. Исследована дифракция квантового волнового пакета на плоской щели в рамках двумерного уравнения Шредингера — Ланжевена — Костина. Для начального гауссова пакета с продольной скоростью изучены карты уровней плотности вероятности на двумерной координатной плоскости в фиксированные моменты времени, динамика во времени средних продольной и поперечной скоростей, а также распределение плотности вероятности в зависимости от поперечной координаты для фиксированных моментов времени и определенного значения продольной координаты. Влияние трения на эти распределения также изучено.

Защищаемые положения:

1) предложен метод численного решения квантового уравнения Шредингера-Ланжевена-Костина, основанный на введении дополнительной производной по псевдовремени в разностную схему Кранка-Никольсона; разработан программный код для подробного изучения решений уравнения ШЛК;

2) найден режим вынужденных когерентных колебаний с минимизированным произведением неопределенностей и изучено влияние стенок на рост произведения и структуру Фурье-спектров координаты и скорости;

3) представлена и исследована модель квантового аналога классического осциллятора с трением и обратной связью, в том числе с отрицательным трением; установлен переход от когерентных колебаний к сложным, характеризующимися всюду плотным спектром;

4) установлены закономерности туннелирования в системах с полиномиальными потенциалами: а) для двойной ямы с трением и внешней силой мелкомасштабные осцилляции затухают, а осцилляции, обусловленные туннелированием, сохраняются, б) для комбинации потенциалов кубического и квадратичного обнаружены режимы порционного туннелирования через определенные промежутки времени.

Практическая значимость работы. Теоретические исследования и компьютерное моделирование волновой динамики микрочастицы, визуализация расчетов формируют научные представления и базу знаний, необходимых в физике конденсированного состояния, электронике, разработках квантовых приборов и компьютеров, и в других целях. Разработанный программный продукт может быть использован для последующих исследований движения микрочастицы в квантовых системах с полиномиальными потенциалами и диссипацией, а также в учебном процессе.

Достоверность результатов. Достоверность полученных результатов, положений и выводов подтверждается внутренней согласованностью всей совокупности данных качественного анализа и численных расчетов, корректным применением апробированных методов вычислительной физики, квантовой механики и теории конденсированного состояния.

Апробация. Основные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Политехнический симпозиум (Санкт-Петербург, 2005, 2006, 2007); Демидовские чтения на Урале (Екатеринбург, 2006); Tenth. Intern. Workshop on NDTSC-2006 (Olsztyn, Poland, 2006); XIV, XV международные конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, 2007, 2008); XIII, XIV международные научно-методические конференции «Высокие интеллектуальные технологии в образовании и науке» (Санкт-Петербург, 2006, 2007); X, XI, XII Всероссийские конференции по проблемам науки и высшей школы «Фундаментальные исследования и инновации в технических университетах» (Санкт-Петербург, 2005, 2006, 2007); семинар сектора численного моделирования ФТИ им. А.Ф. Иоффе РАН; семинары кафедры теоретической физики СПбГПУ; семинар сектора теории конденсированного состояния отделения теоретической физики в ПИЯФ им. Б.П. Константинова РАН.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, библиографического списка (119 наименований); содержит 147 страниц текста, иллюстрируется 55 рисунками.

Личный вклад автора. Соискатель принимал участие в постановке ряда задач, разработке метода решения уравнения ШЛК, анализе результатов, им проведены все численные расчеты и создан программный продукт.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава является обзорной, она состоит из пяти параграфов, в которых проводится критический анализ состояния динамических проблем одномерных квантовых систем, включая потенциальную яму с бесконечными стенками, стационарную задачу об осцилляторе в яме, двойную яму, динамическое туннелирование. Коллапсы и релокализации исходной формы квантовых волновых пакетов, дробные возвраты, классические и квантовые временные масштабы, квантовый хаос — характерные свойства динамики в этих системах. Также обсуждаются автокорреляционная функция Науенберга, энтропии в координатном и импульсном пространствах, средние значения координаты и скорости, частотный Фурье-спектр как методы анализа динамических закономерностей. В рамках теории оптимального управления кратко излагается проблема управления квантовыми волновыми пакетами, их переводов из исходных в заданные конечные состояния при помощи воздействия лазерными импульсами.

Поскольку в диссертационной работе исследуется влияние окружающей среды на движение микрочастицы, рассматривается состояние проблемы квантовых уравнений движения шредингеровского типа с дополнительным диссипативным слагаемым. Примером такого уравнения является уравнение Шредингера-Ланжевена, выведенное Костиным (уравнение Шредингера-Ланжевена-Костина, ШЛК). Это уравнение, как и другие аналогичного вида с нелинейным диссипативным слагаемым, многократно обсуждались в научной литературе. В безразмерной форме уравнение ШЛК может быть представлено в виде, инвариантном относительно выбора единиц измерения:

Здесь у/ и у/ - безразмерные волновая и комплексно сопряженная ей функции, С и г - координата и время. Величина и 1 состоит из двух слагаемых

Первое слагаемое в (2) определяет статический потенциал на отрезке —. Второе слагаемое в (2) представляет собой внешнюю силу, зависящую от времени (например, импульсная сила или гармоническая). Слагаемое в (1), включающее множитель к, характеризует диссипативные свойства. Символ 0 означает среднее значение на отрезке . Уравнение (1) описывает омическое трение в среде.

Во второй главе обсуждаются режимы движения осциллятора в яме для двух случаев: изолированной квантовой системы и, наоборот, с учетом ее взаимодействия с окружающей средой (тепловой баней) в рамках уравнения ШЛК. В первом случае рассчитывается энергетический спектр стационарной задачи и устанавливаются области движения с режимами гармонического осциллятора, свободного движения частицы в яме и промежуточного между ними. Для разности энергий между

соседними уровнями установлено наличие резкого излома в функциональной зависимости Д £„(«) (рис. 1). Нестационарная задача формулируется в рамках уравнения Шредингера, зависящего от координаты и времени, с начальным условием в форме гауссова пакета с заданной скоростью. Пакет такого типа может быть сформирован из основного состояния под воздействием кратковременного импульса внешнего потенциала. Если скорость начального гауссова пакета мала, то реализуется режим гармонических колебаний: центр тяжести пакета не достигает стенок ямы, а Фурье-спектр для зависимости средней координаты от времени содержит практически одну спектральную компоненту на частоте гармонического осциллятора. Если скорость начального пакета достаточно велика и амплитуда средней координаты становится сравнимой с половинным размером ямы, то характер колебаний средней координаты и её Фурье-спектр существенно изменяются. Временная реализация для средней координаты имеет области интенсивных и слабых колебаний с амплитудной

(1)

и^ща+илс.т)

(2)

♦ Прострзнственжмн'раннчениый асцидяятор, 11=2 а Прострлиствеино-ограинчашый осциллятор. £2=1

О 5 10 15 20 25 30 35 40 45п 50 0 5 10 15 20 25 О 30

. _ Рис. 2 Фурье-спектр средней координаты

Рис.1 а£„-Е,+ 1-е„ <п — индекс состояния

модуляцией, а также промежутки между ними, где колебания практически отсутствуют. Фурье-спектр характеризуется максимумами на классической частоте и её нечетных гармониках, при этом вместо отдельных спектральных линий имеются их дискретные наборы (рис. 2). Для анализа структуры волновых пакетов исследовались также автокорреляционная функция Науенберга и ее Фурье-спектр, полученные результаты согласуются с другими подходами. Учет воздействия окружающей среды на основе силы трения, предложенной Костиным, позволяет установить закономерности для средней координаты, аналогичные классическим колебаниям осциллятора с трением, т. е. подтвердить выполнение принципа соответствия.

Осциллятор с отрицательным трением может рассматриваться как идеализированная модель системы с обратной связью. Примером реальной системы может быть классический осциллятор ван дер Поля. Квантовый осциллятор с отрицательным трением, ограниченный стенками ямы, исследован для начального гауссова пакета, расположенного в центре системы и имеющего нулевую скоростью. С течением времени средние значения координаты и скорости остаются равными нулю как и в начальный момент времени, однако стандартные отклонения координаты и скорости осциллируют и возрастают по амплитуде. Если в начальном состоянии средние значения координаты или скорости отличны от нуля, то также происходит рост амплитуды колебаний для средних при сохранении гауссовой формы пакета. В целом, картина колебаний для средних в этом случае аналогична классическому осциллятору с отрицательным трением. Квантовая система с двойной потенциальной ямой является объектом непрекращающихся исследований, которые касаются различных сторон динамики волновых пакетов в тех случаях, когда система изолирована или взаимодействует с окружением. Несмотря на это, представленные исследования дополняют результаты, имеющиеся в литературе. Для изолированной двухъямной системы с потенциалом (У(С)=а(С2_ Ь2)2 и начального гауссова пакета,

Рис. 3. Двухъямный потенциал с трением Рис. 4. Порционное туннелирование

локализованного в одной из ям, исследованы колебания пакета и установлены характерные временные масштабы — периоды колебаний. Один из них — крупномасштабный — определяется движением из одной ямы в другую и обратно, обусловлен туннелированием; другой — мелкомасштабными колебаниями в каждой из ям. Соответствующие этим периодам частоты определяются как разность энергетических уровней стационарных состояний. Для низкой частоты (крупномасштабные осцилляции) для высокой (мелкомасштабные

осцилляции) , где ^E¡J=e~Ej ■ £/ (г = 1, 2, 3, ...) - уровни энергий. Фурье-

спектр временной зависимости средней координаты как раз содержит частоты и

■ Если система не является изолированной и подвержена действию силы трения, то из возбужденного начального состояния с течением времени она постепенно переходит в основное стационарное состояние (рис. 3). Начальный гауссов пакет, локализованный в одной из ям, перераспределяется на обе ямы. Конечное распределение представляет собой симметричную функцию относительно центра системы. Карта уровней плотности вероятности на плоскости (С.т), временные реализации для средних координаты и скорости, их Фурье-спектры, распределения плотности вероятности по координате в разные моменты времени, вычисленные при разных начальных условиях и высотах барьера между ямами дают наглядную картину волново-пакетной динамики. Используя эти же методы, исследовано туннелирование в другой потенциальной системе, представленной композицией двух потенциалов: квадратичного и кубического - и = ц 11/2 С2- 1 /3 /З£3) , отрицательная ветвь потенциала удалена. Такая система представляет собой яму и барьер. Гауссов волновой пакет задан в центре ямы с начальной скоростью.

Существенной чертой колебаний плотности вероятности является сопутствующее им истечение вероятностной жидкости из области, где происходят колебания. Это истечение наблюдается через дискретные промежутки времени, когда пакет

локализуется у правой границы ямы (рис. 4). Если высота барьера достаточно мала, то реализуется двухступенчатое туннелирование.

Уравнение 1IIJ1K и способ его решения, предложенный в диссертации, применялись не только для одномерных задач. В диссертации рассмотрена задача дифракции квантового волнового пакета на плоской щели. Начальный двумерный гауссов пакет с продольной компонентой скорости инжектируется через плоскую щель. В процессе эволюции пакет дифрагирует на щели, распадается на фрагменты, возникает поперечное движение. Карта распределения плотности вероятности на плоскости в фиксированные моменты времени, а также ее зависимость относительно поперечной координаты для заданного значения продольной координаты в разные моменты времени исследованы в деталях. Влияние трения на эти зависимости, а также на затухание компонент скоростей показывают приемлемость использования уравнения ШЛК.

В третьей главе представлены материалы исследования вынужденных колебаний квантовых систем с полиномиальными потенциалами, трением и разных формах внешнего воздействия, зависящего от времени. Для квадратичного потенциала, ограниченного стенками потенциальной ямы, и внешней силы, обусловленной потенциалом Uexr(T)=\-F0Ç ,те{пТ ,пТ+Ат); 0,т£(пТ ,пТ+Ат)}, где Г — период повторения импульсов, Л г - время действия импульса ( Дг<?С Т), п — целое. Если собственная частота осциллятора Г2=1, период повторения импульсов Т=2ж, Дг=л716 , к = 0.1, F о мала, а начальный гауссов пакет имеет нулевую скорость, то можно реализовать простой режим вынужденных колебаний. Этот режим устанавливается через несколько периодов повторения импульсов, характеризуется постоянной амплитудой. Фурье-преобразование для средней координаты имеет выраженную основную спектральную компоненту на частоте П=1, постоянная составляющая и высшие гармоники очень слабые. Выполняя точечные преобразования и используя теорему Кенигса об устойчивости, можно убедиться в существовании устойчивого аттрактора. Остальные исследования карты уровней плотности вероятности, временных реализаций для средних координаты и скорости, а также фазовых траекторий на плоскости средних дополняют картину колебаний. Можно также отметить неизменность формы волнового пакета при его смещении во времени. Произведение неопределенностей координаты и скорости сохраняет неизменное минимизированное значение, равное 0.5. Таким образом, устанавливается режим когерентных колебаний. Обозначая максимальную среднюю скорость на предельной траектории '''с и варьируя начальную скорость пакета так, чтобы l^olH ''J с неизменным значением F0, были изучены переходные участки и установление колебаний с постоянной амплитудой. Фазовая траектория на плоскости {{Z),{V)) переходит к предельной и практически совпадает с траекторией при . Отсюда

следует независимость установившегося режима колебаний от начальной скорости. Увеличение силы ^ о в 10 и 20 раз оставляет динамику квантового волнового пакета регулярной, Фурье-спектры для средней координаты как функции времени остаются дискретными.

Влияние энгармонизма на вынужденные колебания в системе с квадратичным потенциалом (7=0.5 С2 и трением рассматривалось для потенциальной добавки 0.25С4 • Решение стационарного уравнения Шредингера показывает что спектр энергий является существенно неэквидистантным: разности энергий равны Де-1=е2—е1 = 1.4 , Де2=е3—е2 = 1.67 . Величина Д&1 соответствует классической частоте ангармонического осциллятора. Для нестационарной задачи без трения и внешней импульсной силы с начальным гауссовым пакетом с (С)—0, (V }= У0= —1 в системе возбуждаются колебания с несколькими частотами. Фурье-спектр средней координаты содержит две наиболее интенсивные спектральные линии с П1=Ае1 , 0^=Ае2 . Для нестационарной задачи с внешней импульсной силой при F0——Ю и трением (к = 0.5) и периодом повторения импульсов 2л7Ле1 волновой пакет колеблется с небольшим изменением своей формы, что обусловлено ангармонизмом. Ангармонизм влияет на значения стандартных отклонений для координаты и скорости. Произведение стандартных отклонений (произведение неопределенностей) не является минимизированным. Фурье-спектр содержит много высших гармоник ,

интенсивность которых мала.

В данной главе также рассматривается влияние случайного воздействия на колебания. Как известно, броуновское движение может быть описано при помощи стоксовой силы и случайной ланжевеновской силы, поэтому дан анализ динамических свойств пространственно ограниченного осциллятора, подверженного действию силы трения и ланжевеновской случайной силы. Следует отметить появление шумовой составляющей в Фурье-спектре средней координаты. Непрерывная составляющая спектра при случайной силе, характеризующей окружающую среду, может рассматриваться как неизбежный спутник при реализации тех или иных функций управления квантовыми волновыми пакетами и их динамикой.

Влияние внешней периодической силы на колебания в системе с двойной ямой исследовано на основе потенциала иа=— /г0С5т(Пю,г), где Р 0 и - амплитуда и частота внешней силы. Частота внешнего воздействия выбирается в соответствии со спектром стационарной задачи. Разность А £21 соответствует частоте перехода (релокализации) из одной ямы в другую,, обусловленного туннелированием, величина Де32 соответствует частоте мелкомасштабных осцилляций в одной из ям. Если высота барьера относительно мала, а также малы сила Ро и к, то при Де21 в частотном

отклике для средней координаты ярко выражен пик /гу>(Де21) , компонента для мелкомасштабных осцилляции /г,г (Де32) выражена очень слабо. Если частота внешнего воздействия совпадает с частотой мелкомасштабных осцилляций, а остальные параметры остаются прежними, то картина динамических закономерностей изменяется. Амплитуда колебаний заметно ниже, чем в предыдущем режиме колебаний. Фурье-спектр частотного отклика для средней координаты имеет интенсивный пик Г ¿-.(Д £32) , но его величина примерно на два порядка ниже пика в предыдущем случае (когда ^ея=Д£21 )• При таком способе возбуждения пик на частоте Дс21 также обнаруживается, но он очень мал. Если высоту барьера заметно увеличить (например, в пять раз), то характер колебаний изменяется. Теперь величина ^ г(Д ^21) уменьшается почти на порядок, а Р о(Д £зг) увеличивается почти втрое. Полагая величины к и Р о прежними, выбирая ^ ^ ^21 и рассматривая генерацию колебаний из начального состояния, соответствующего основному стационарному, можно получить режим, отличающийся от предыдущих. Мелкомасштабные колебания (V) очень слабые по амплитуде, крупномасштабные колебания средней координаты на частоте релокализации происходят практически в левой половине квантовой системы, они слегка промодулированы мелкомасштабными колебаниями. Эта картина соответствует карте уровней плотности вероятности, на которой основная область локализации находится в левой части. Если частота внешнего воздействия Д , то есть равна частоте мелкомасштабных осцилляций, то динамическая картина процессов опять изменяется. Частотный отклик содержит лишь один спектральный пик на частоте . На карте уровней плотности вероятности имеет место симметричное распределение её относительно оси системы, происходят очень слабые колебания, определяющие характер колебаний средней координаты и средней скорости. Представленные здесь режимы движения говорят об их многообразии, но не исчерпывают других видов.

В четвертой главе рассматривается квантовая система, включающая квадратичный классический потенциал, ограниченный непроницаемыми стенками, а также трение и

обратную связь в виде: [/„(т)=}^оС,те(т5>т5+Ат);0,тг(т,,т5+Лт)'. Этот потенциал определяет силу /• 0, действующую на промежутке т,<т<т,+Дт ; Где Лт есть длительность действия силы. В качестве моментов т5 выбирались такие, когда система проходит через равновесное состояние, характеризующееся средними значениями (С}=0 , \ V) <0 .

Вначале была рассмотрена классическая задача с обратной связью. В этом случае колебания носили регулярный характер в широком диапазоне значений диссипативного коэффициента и силы обратной связи. Затем была рассмотрена квантовая задача с

умеренными значениями силы и коэффициента трения. В характере динамического поведения средних величин следует отметить аналогию с классическим осциллятором и выполнение принципа соответствия. Произведение неопределенностей здесь является минимизированным, а колебания остаются регулярными при различных рассмотренных скоростях гауссова пакета.

Возникает вопрос о динамических свойствах системы при изменении силы F0 и коэффициента трения к. Изменяя одну из этих величин при фиксированном значении другой, можно реализовать переход к колебаниям более сложного вида, чем рассмотренные в предыдущем случае. Здесь представлены результаты численного моделирования при достаточно высоком значении F0 и варьируемой величине к. Последовательность моментов времени rs, в которые «включается» сила F 0 , может генерировать неодинаковые промежутки времени Ars=rs+1-rs, подчиняющиеся определённым закономерностям и распределениям по величине Ats . Как и раньше, сила F0 «включалась» в моменты времени rs, соответствующие (С)=0 и (К)<0 . В зависимости от величины к динамические режимы можно условно разделить на две группы: одну из них при ¿>0.165, другую при ¿<0.165. Значение ¿=0.165 можно назвать критическим, т. к. при этом значении происходят заметные качественные изменения в динамике колебаний. Наиболее простая зависимость Л rs ( гs ) имеет место для ¿=0.167 . На начальном промежутке времени постепенно A rs ( Ts ) скачками уменьшаются, затем спустя некоторое время спадание замедляется и зависимость Ars(TJ выходит почти на прямую, т. е. практически A zs становятся постоянными. Промежутки A ls определяют соответствующую частоту П=2;г/Дг5. При увеличении ¿, например, при ¿=0.2 функциональная зависимость Ат,( г.) имеет сходный вид с предыдущей формой для 0.167, однако величина Аг5 спадает до другого значения. При к = 0.5 практически все промежутки Аг5 одинаковы, т. е. характеризуют один и тот же период колебаний.

После приведенного краткого обсуждения функциональных зависимостей для группы с к> 0.165 , можно перейти к граничной величине ¿=0.165 , а затем для ¿<0.165 . В отличие от предыдущего расчета, характер зависимости усложняется (рис. 5). Теперь можно отметить три участка для rs . На этих участках происходят скачкообразные уменьшения величин Ars , т.е. последующие значения ArJ+i меньше предыдущих А т, для подавляющего числа точек. Однако возможны отдельные точки (значения rs ) или набор их, нарушающие это правило, при этом отклонения в этих случаях очень малы, а затем спад значений продолжается. В среднем на этих участках функциональную зависимость А гs(xs) можно назвать монотонно убывающей. На

*«0165 Дх,

65 00

го

¡1

50 \ \

Ч \ ч

40 35 ■ч \ 1

\ V

Л N »

1 Л

20

г

1 0

1 0 2 0 зс 0 4 0 Я 0 б< 0 7 0 8 0 9 ю

Рис.5 Дт^т,) прик = 0.165

Ж.О 2900 ЗОХ 3100 3200 ЪИМ МЫ 350П 36С0 37С0 3800 МО 4000 41Х

Рис. 6 Дг,(г.) при ¿ = 0.14

каждом из трех участков уменьшение А происходит до некоторой минимальной величины. Однако монотонно убывающие участки перемежаются участками малой длительности по времени, которые имеют восходящую и нисходящую ветви, своего рода всплески. С последующим уменьшением коэффициента трения ¿ увеличивается число убывающих участков и всплесков на одном и том же временном интервале, а расстояния между минимальными значениями (или максимумами) уменьшаются. При увеличении длины временной реализации для к = 0.165, 0.16 характер функциональных зависимостей ДгДт,) сохраняется, однако, для параметра ¿=0.14 происходит переход функциональной зависимости ДтДО на пологий участок (рис. 6). Расчеты средних значений (С), (У) для к = 0.165 дают картину колебаний с переменным периодом. Следует отметить наличие вариации амплитуд (С), {V) при уменьшении периода Д , а также при скачкообразном увеличении периода Д Т1 . Произведение стандартных отклонений ^"У существенно возрастает по сравнению с предыдущим режимом колебаний (¿=0.167). Пределы изменений стандартных отклонений значительно больше, чем в предыдущем режиме и, тем более, когда ¿>0.2 . Несмотря на очень маленькое уменьшение А¿=0.002 по сравнению с режимом движения при ¿=0.167, Фурье-спектр колебаний (С) существенно видоизменяется, он всюду плотно заполняет частотный диапазон (рис. 7). Увеличение временного промежутка вдвое не изменяет характера заполнения указанного частотного диапазона, расстояние между соседними спектральными линиями соответствует минимальной частоте разрешения где т _ полный

временной промежуток реализации колебательного процесса для (С) . Фазовая траектория представлена на рис. 8. Расчеты автокорреляционной функции Науенберга и ее Фурье-спектра подтверждают эту картину режимов движения. Если трение отсутствует, колебания остаются сложными, а всюду плотный Фурье-спектр имеет максимумы в окрестностях характеристической частоты осциллятора и некоторой частоты перехода для свободной частицы в яме.

01 2345678 9 1011 12131415161718 Рис. 7. Фурье-спектр средней координаты при к — 0.165

'6-3 -2-10 I 2 3

Рис. 8. Фазовый портрет при к = 0.165

В пятой главе представлен обзор известных численных методов, применяемых для получения решений стационарного одномерного уравнения Шредингера (задача на собственные значения), нестационарного уравнения Шредингера (одномерного и двумерного), метод расчета Фурье-спектров различных динамических величин. Также в данной главе сформулирован метод установления по псевдовремени для решения нелинейного дифференциального уравнения в частных производных (уравнение ШЛК в одномерном и двумерном случаях).

Уравнение ШЛК (1) является нелинейным по у/ , и, следовательно, его численное интегрирование требует использования итерационного метода. Одним из наиболее часто используемых в виду его простоты реализации и возможности применить к практически любым нелинейным уравнениям является метод простых итераций. Для начала запишем уравнение (1) в дискретизированном по схеме Кранка-Никольсона виде:

¡(/+1-/)/4т =Йху/"+т, (3)

где НН-¿к/2[\п(ч/"+1'2/у/'"+112)—\1п{ч/"+1/2/у/'"+1а))), у"+У2=[у"+1+у")12. Схема Кранка-Никольсона даёт второй порядок точности по времени. Дискретное уравнение (3) является неявным по времени, и, следовательно, при наличии дополнительных нелинейных по ¡¡/ слагаемых (как в рассматриваемом случае) обладает хорошей устойчивостью и не требует малых шагов Лт . Также данная аппроксимация сохраняет нормировку волновой функции во времени. Задача заключается в том, чтобы по известной волновой функции на временном слое п найти с помощью итераций значение на слое п+1. Можно использовать метод простых итераций, однако, как показывает практика, целесообразней применить так называемый метод установления по псевдовремени, широко использующийся в вычислительной гидродинамике для решения уравнений Навье-Стокса, и также являющийся разновидностью метода простых итераций. Добавим к уравнению (3) дополнительную производную по псевдовремени т и дискретизируем её с первым порядком неявным методом:

Уравнение (3) будет решено на временном слое п+1, если в результате итераций (4) по псевдовремени производная (y/"+u+1— у"+1д)/Лт обратится в ноль. Данный метод обладает следующими достоинствами: точность решения уравнения не зависит от At, временная и пространственная дискретизация уравнения может быть выполнена произвольным способом с любой степенью точности вне зависимости от итерационного метода, точность аппроксимации по псевдовремени не играет роли. Для аппроксимации пространственных производных используется конечно-разностный метод. Результаты и выводы

1) Как результат проведенных исследований следует отметить расширение области применения уравнения 1ПЛК. Если раньше оно применялось преимущественно к осциллятору с квадратичным потенциалом, то теперь вычисления были проведены для пространственно-ограниченного осциллятора с трением, осциллятора с учетом дополнительных ангармонических потенциальных слагаемых, пропорциональных координате в третьей и четвертой степенях (осциллятор Дуффинга, осциллятор с двойной ямой), для двумерной задачи с дифракцией. В этих исследованиях отсутствовали нефизические эффекты, например, нарушение принципа причинности или возникновение сверхсветовых скоростей квантовых пакетов. Напротив, все решения удовлетворяли условиям нормировки, законам сохранения для средних и принципу соответствия. Поэтому можно сделать вывод, что уравнение ШЛК применимо и для других квантовых систем.

2) Впервые рассмотрена модель квантового осциллятора с обратной связью, являющаяся аналогом модели классических часов. В такой модели наряду с режимами когерентных колебаний возможен режим хаотических колебаний.

3) Показано существование режимов когерентных колебаний в диссипативных системах с внешней вынуждающей силой.

Цитируемая литература

1. Ford G.W., Кас M, Mazur P. Statistical Mechanics of Assemblies of Coupled Oscillators // J. Math. Phys. - 1965. - Vol. 6, № 4. - P. 504-515.

2. Kostin M.D. On the Schrodinger-Langevin equation // J. Chem. Phys - 1972. - Vol. 57, № 9. -P. 3589-3591.

3. Kostin MD. Friction and Dissipative Phenomena in Quantum Mechanics // J Stat. Phys. - 1975. -Vol. 12, №2. -P 145-151.

4 Wagner Heinz-Jurgen. Schrödinger quantization and variational principles in dissipative quantum theory // Zeitschrift für Physik В - 1994. - Vol. 95. - P. 261-273.

5. Albrecht К. A new class of Schrödinger operators for quantized friction // Phys. Lett. В - 1975. - Vol 56, №2. -P 127-129.

6. Doebner H -D, Goldin G.A. Introducing nonlinear gauge transformation in a family of nonlinear Schrödinger equations // Phys Rev. A - 1996; V.54, №5. - P. 3764-3771

7. Wysocki R J. Hydrodynamic quantization of mechanical systems // Phys. Rev. A. - 2005, V.72, №3. - P. 032113 (24 pages).

Список публикации в журналах, рекомендуемых ВАК

1. Sanin A.L , Smirnovsky A A. Oscillatory motion in confined potential systems with dissipation in the context of the Schrodinger-Langevin-Kostin equation // Phys Lett A. - 2007 - Vol. 372, № 1. - P. 21-27.

2. Санин A.JI., Смирновский A.A. Вынужденные колебания квантовых волновых пакетов в системе с трением, квадратичным потенциалом и стенками // Изв. вузов Прикладная нелинейная динамика -2007. - Т. 15 №4.-С. 68-83.

3. Санин А.Л, Смирновский А А. Квантовый пространственно-ограниченный осциллятор в системе с трением и обратной связью // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 2008. - Т. 16, № 2. -С. 18-34.

4. Багманов А.Т., Санин A.JI, Смирновский А А. Динамика квантовых волновых пакетов в системе с потенциальными ямами и барьером // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - СПб: Изд СПбГПУ, 2006.-№6-1.-С. 124-139.

5. Смирновский А.А. Когерентное и хаотическое движение в квантовых системах с обратной связью // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - СПб Изд СПбГПУ, 2008. - №3. - С. 80-87.

Список публикаций в других журналах н трудах конференций

6. Bagmanov А.Т., Sanin A.L., Smirnovsky A.A. Dynamical tunneling in system with non-monotonous potential and impenetrable walls // Proceedings of SPIE. - 2006. - Vol 6253. - P. 625303(1-9).

7. Smirnovsky A.A., Sanin A.L. Influence of dissipation on quantum wave dynamics in confined potential systems // Proceedings of SPIE. - 2007. - Vol 6597. - P. 659704(1-7).

8. Sanin A.L., Smirnovsky A.A., Bagmanov A.T. Motion, tunneling, and quantum revivals of wave packets into systems with distributed potential and boundary walls // Proceedings of SPIE. - 2007. - Vol 6597 - P. 659705(1-5).

9. Smirnovsky A A., Sanin A.L. Temporal resonances and structures in quantum systems under dissipation // Proceedings of SPAS jointly with UWM. 5-8 July 2006, Olsztyn, Poland. - Olsztyn, 2006. - P. 43-47.

10 Sanin A.L, Smirnovsky A.A, Bagmanov A.T., Motion, tunneling and quantum revivals of wave packets into systems with distributed potential and boundary walls // Proceedings of SPAS jointly with UWM. 5-8 July 2006, Olsztyn, Poland. - Olsztyn, 2006. - P. 27-32.

11. Багманов A.T., Санин A.JI, Смирновский A.A. Динамическое туннелирование в квантовых системах с полиномиальными потенциалами // В кн. "Высокие технологии, фундаментальные и прикладные исследования, образование" [Сб. трудов под ред. А.П. Кудинова и др.] - СПб: Изд. СПбГПУ,2006 - Т.IV.-С 79-80.

12 Смирновский А.А. Уравнение Шредингера-Ланжевена-Костина с диссипативным слагаемым в интегральной форме // Материалы докладов XIV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» / Отв ред И.А Алешковский, П.Н. Костылев [Электронный ресурс] - М.. Издательский центр факультета журналистики МГУ им. М.В Ломоносова, 2007.

13. Смирновский А.А. Динамика квантовых систем с трением и обратной связью // Материалы докладов XV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» / Отв ред И.А Алешковский, П Н. Костылев, А И. Андреев. [Электронный ресурс] - М.: Издательство МГУ; СП МЫСЛЬ, 2008.

14 Санин АЛ, Смирновский А.А. Управление движением квантовых волновых пакетов и когерентностью в системах с диссипацией // Молодые ученые — промышленности Сев.-Зап. региона: материалы конференций Политехнического симпозиума. - СПб: Изд. СПбГПУ, 2007. -С. 52-53.

15. Смирновский А.А. Неявный итерационный метод для решения одномерного уравнения Шредингера-Ланжевена-Костина // Молодые ученые — промышленности Сев.-Зап. региона: материалы конференций Политехнического симпозиума. - СПб: Изд. СПбГПУ, 2006.

18

16. Смирновский A.A., Санин А.Л. Квантовый осциллятор с трением // Молодые ученые -промышленности Сев.-Зап региона: материалы семинаров Политехнического симпозиума. - СПб: Изд. СПбГПУ, 2005. - С. 100.

17. Смирновский A.A., Санин АЛ. Квантовый осциллятор при наличии диссипации // Тезисы докладов. Демидовские чтения на Урале (1-3 марта 2006 г.) - Екатеринбург, 2006. - С. 102-103

18. Санин А.Л, Смирновский A.A. Дифракция квантового пакета волн на плоской щели // Матер. XII Всерос. конф. по проблемам науки и высшей школы "Фундаментальные исследования и инновации в технических университетах", 14 мая 2008. - СПб: Изд. СПбГПУ, 2008. - С. 102-104.

19. Багманов А.Т., Санин А.Л., Смирновский A.A., Ульянова В.Г. Квантовая динамика с малым числом степеней свободы: вычислительный эксперимент // Матер X Всероссийской конф. по проблемам науки и высшей школы "Фундаментальные исследования в технических университетах" (18-19 мая 2006). -СПб: Изд. СПбГПУ, 2006. - С. 120-121.

20. Санин А.Л., Смирновский A.A. Шредингеровские уравнения с диссипативными слагаемыми и их приложения // Матер. XI Всерос. конф. по проблемам науки и высшей школы "Фундаментальные исследования и инновации в технических университетах" (18-19 мая 2007). - СПб. Изд СПбГПУ, 2007.-С. 158.

21. Санин А.Л, Смирновский А А. Квантовая динамика и наноприборы в курсах теоретической физики // Матер. XIV межд. науч.-метод. конф. "Высокие интеллектуальные технологии и инновации в образовании и науке" (14-15 февраля 2007). - СПб: Изд. СПбГПУ, 2007. - Т. 1. -С. 224-225.

Лицензия ЛР №020593 от 07.08.97

Подписано в печать 15.10.2008. Формат 60x84/16. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,25 Тираж 100. Заказ 167.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в Цифровом типографском центре Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29. Тел.: 550-40-14 Тел./факс: 297-57-76

Введение.

§1. Актуальность проблемы.

§2. Цели и задачи исследования.

Глава 1. Обзор: эволюция волновых пакетов в одномерных квантовых системах.

§1. Квантовые возвраты и коллапсы, автокорреляционный анализ.

§2. Пространственно ограниченный осциллятор как двухмодовая система.

§3. Туннелирование, делокализация и хаос в системе с двумя потенциальными ямами.

§4. Уравнение Шредингера - Ланжевена - Костина.

§5. Управление квантовыми волновыми пакетами.

Глава 2. Моделирование простых квантовых систем.

§1. Основные положения и используемые формулы.

§2. Пространственно ограниченный осциллятор с квадратичным потенциалом.

§3. Отрицательное трение.

§4. Система с двухямным потенциалом.

§5. Порционное туннелирование.

§6. Дифракция квантового волнового пакета на плоской щели.

Глава 3. Вынужденные колебания квантовых волновых пакетов в системе с полиномиальными потенциалами и трением.

§1. Вынужденные колебания квантового волнового пакета в системе с квадратичным потенциалом и стенками.

§2. Учет энгармонизма.

§3. Влияние случайной силы на колебания в системе с ограниченным квадратичным потенциалом.

§4. Влияние внешней периодической силы на колебания в системе с двойной ямой.

Глава 4. Пространственно ограниченный осциллятор с трением и обратной связью.

§1. Модель обратной связи.

§2. Когерентные колебания.

§3. Неравномерные временные промежутки между импульсами обратной связи.

§4. Сложные режимы движения.

Глава 5. Методы численного интегрирования квантовых уравнений движения.

§ 1. Методы решения стационарного и нестационарного одномерного уравнения

Шредингера.

§2. Тестирование алгоритма расчета собственных функций и собственных значений уравнения (5.1).

§3. Метод интегрирования уравнения Шредингера-Ланжевена-Костина.

§4. Тестирование численного метода решения нестационарного уравнения Шредингера и уравнения ШЛК.

§5. Метод дискретного преобразования Фурье.

§ 1. Актуальность проблемы

Исследование квантовых динамических закономерностей имеет фундаментальное значение для развития физики, химии, наноэлектроники и точных технологий. Современные достижения лазерной импульсной фемто- и аттосекундной техники позволяют проводить экспериментальные исследования динамики микрочастицы на разных пространственных масштабах. Поэтому возрос интерес к теоретическим исследованиям процессов когерентных колебаний и делокализации квантовых волновых пакетов, резонансов во внешних полях как в изолированных квантовых системах, так и с учетом взаимодействия с окружающей средой. Объектом исследований становятся различные квантовые системы, в том числе традиционные, такие как потенциальная яма с непроницаемыми стенками, осциллятор и ротатор. Необходимость в проведении этих исследований также обусловлена прикладными задачами: передачи информации квантовыми системами, разработка квантовых компьютеров и другими. В последние годы интенсивно разрабатываются методы управления квантовыми волновыми пакетами под воздействием электромагнитного поля. Один из них представлен теорией оптимального управления. Эта теория рассматривает динамический процесс перехода из исходного приготовленного состояния в конечное заданное состояние при помощи специально создаваемых лазерных импульсов с определенной формой и соответствующим Фурье-спектром. Теория реализуется в рамках численных итерационных алгоритмов, описывающих обратную связь между импульсами и квантовыми состояниями и являющихся самосогласованными. Для решения задач управления необходимо изучать условия, при которых движение может быть когерентным и, наоборот, чувствительным к разрушению когерентности. Возникновение декогерентности является фундаментальной проблемой, ей уделяется много внимания в научной литературе.

Для описания квантовых изолированных систем используются различные формы уравнений движения: нестационарное уравнение Шредингера, квантовое уравнение Гамипьтона-Якоби, уравнения Маделунга. Квантовая теория движения в рамках этих уравнений развивалась во мношх работах, например, в монографии П. Холланда [1]. Влияние окружающей среды на динамику микрочастицы может быть учтено различными способами описания. Если не требуется полного описания системы плюс окружающая среда и можно перейти к упрощенному, более краткому описанию, то достаточно ввести в с уравнения квантовой динамики для системы один или несколько параметров, характеризующих влияние окружающей среды. Так появилось уравнение Гейзенберга-Ланжевена для оператора импульса [2], которое послужило основой для формулировки уравнения Шредингера-Ланжевена-Костина (ШЛК) [3, 4]. Уравнение ШЛК содержит слагаемое, включающее коэффициент трения. Так как оно предназначалось для описания квантового броуновского движения, то содержит еще одно слагаемое — потенциал случайной силы. Оба слагаемых входят в уравнение ШЛК аддитивно и не зависят друг от друга. При определенных допущениях, а также в модельных задачах, действие случайной силы можно игнорировать, как это сделано в рассматриваемых ниже статьях. Уравнение ШЛК без случайной силы имеет в качестве классического аналога уравнение движения с диссипативной силой, пропорциональной скорости и противонаправленной ей. Уравнение ШЛК детально обсуждалось в рамках лагранжевой полевой теории в обзоре [5]. Здесь также сравнивалось гидродинамическое представление уравнения ШЛК с уравнениями классической гидродинамики. Другие подходы к формулировке диссипативных слагаемых, вводимых в уравнение Шредингера, рассматривались в статьях [6, 7]. При определенных значениях параметров этих диссипативных слагаемых наблюдалось структурное сходство с уравнением ШЛК. В статье [8] формулируется семейство нелинейных уравнений Шредингера с диссипативными слагаемыми и показывается их связь с уравнением ШЛК. Здесь отмечается фундаментальное значение уравнения Шредингера с диссипативными слагаемыми для исследование диссипативных процессов. Гидродинамический метод квантования систем с диссипацией, предложенный в статье [9], позволяет также воспроизвести уравнение ШЛК. Уравнение ШЛК, а также соответствующие ему гидродинамические уравнения, применялись для решения конкретных задач, например в статьях [10, 11].

Диссертационная работа посвящена численному интегрированию уравнения ШЛК и исследованию динамических закономерностей в пространственно-ограниченных квантовых системах с полиномиальными потенциалами, трением и обратной связью. Основные темы исследования: собственные колебания в одномерных системах, вынужденные колебания при импульсном воздействии на квантовые волновые пакеты, моделирование обратной связи, туннелированис в системах с полиномиальными потенциалами, влияние окружающей среды в рамках уравнения ШЛК. Рассматриваемая тематика и полученные результаты являются актуальными и значимыми для приложений в современной радиоэлектронике.

Заключение

В диссертационной работе исследованы динамические закономерности в квантовых системах с полиномиальными потенциалами, обратной связью, подверженных воздействию окружающей среды и внешних силовых полей. Для изучения этих закономерностей было проведено численное интегрирование уравнения Шредингера — Ланжевена — Костина, основанного на методе установления по псевдовремени. Дан детальный анализ пространственно-временных реализаций плотности вероятности, динамических средних координаты и скорости, их частотных Фурье-спектров, фазовых траекторий, произведения стандартных отклонений, когерентности и перехода к сложному движению.

Полиномиальные потенциалы — квадратичный по координате, комбинации квадратичного и кубического, квадратичного и четвертой степени по координате — были заданы на конечном промежутке, ограниченным непроницаемыми потенциальными стенками. В отдельном случае рассматривалась двумерная прямоугольная потенциальная яма, разделенная барьером с плоской щелью. Несмотря на идеализацию, эти потенциалы отражают свойства реальных физических систем. Диссипативные свойства окружающей среды описывались потенциалом Костина в уравнении ШЛК, кроме того, в отдельных вычислениях в уравнение ШЛК вводился случайный ланжевеновский потенциал.

Исследование отклика квантовых систем на внешние воздействия выполнено при разных его формах: периодической последовательности импульсов и непрерывного периодического сигнала. Для управления квантовыми волновыми пакетами проведено изучение обратной связи на модели, являющейся аналогом модели классических часов. Как результат проведенных исследований прежде всего следует отметить расширение области применения уравнения ШЛК. Если раньше оно применялось преимущественно к осциллятору с квадратичным потенциалом, то теперь вычисления были проведены для пространственно-ограниченного осциллятора с трением, осциллятора с учетом дополнительных ангармонических потенциальных слагаемых, пропорциональных координате в третьей и четвертой степенях (осциллятор Дуффинга, осциллятор с двойной ямой), для двумерной задачи с дифракцией. В этих исследованиях отсутствовали нефизические эффекты, например, нарушение принципа причинности или возникновение сверхсветовых скоростей квантовых пакетов. Напротив, все решения удовлетворяли условиям нормировки, законам сохранения для средних и принципу соответствия.

Поэтому можно сделать вывод, что уравнение ШЛК применимо и для других квантовых систем.

В диссертации существенно место уделяется осциллятору с квадратичным потенциалом на конечном отрезке с бесконечными стенками. Стационарные решекния этой задачи как аналитические, так и численные исследуются с давних пор до настоящего времени. Тем не менее, в диссертации был установлен достаточно резкий излом в функциональной зависимости разности энергий соседних состояний от квантового состояния, т. е. промежуточный режим, отличающийся от осцилляторного и для свободной частицы в яме, не является столь выраженным. Подробное изучение нестационарной задачи показывает, что при амплитуде колебаний, сравнимой с половинным размером системы, спектр колебаний имеет набор дискретных линий, подчиняющихся определенной закономерности. Лишь для малой амплитуды колебаний Фурье-спектр для средней координаты содержит практически одну спектральную линию, и свойства осциллятора в яме приближаются к свойствам гармонического осциллятора на неограниченном интервале. Для рассматриваемой квантовой системы, подверженной действию сил трения и периодической последовательности импульсов внешнего поля установлены режимы вынужденных колебаний, характеризующиеся минимизированным произведением неопределенностей. В широком диапазоне параметров при достаточно больших значениях амплитуды импульсов внешнего воздействия режимы вынужденных колебаний оставались регулярными, переход к динамическому хаосу не наблюдался. Аддитивное введение ланжевеновского случайного потенциала в уравнение ШЛК и моделирование отклика было проведено. Для апериодического режима осциллятора в яме характер осцилляции для средних и Фурье-спектр их отвечает картине для классического осциллятора в этом режиме. В других режимах при определенных параметрах спектральная компонента, соответствующая частоте осциллятора, может быть вполне существенной на фоне случайного шума.

В диссертации построена модель квантового пространственно-ограниченного осциллятора с обратной связью и трением. Установлены режимы когерентных колебаний с минимизированным произведением неопределенностей, а также режимы с ростом квантовых флюктуаций и переходом к сложным колебаниям, характеризующимися всюду плотным спектром частот. Установлено бифуркационное значение коэффициента трения при остальных фиксированных параметрах системы, когда происходит переход к сложным колебаниям. Изучена также другая модель обратной связи, когда в систему вводится отрицательное трение. При определенных начальных условиях (без начального смещения и с нулевой скоростью квантового волнового пакета) имеет место рост среднеквадратичных отклонений координаты и скорости при сохранении нулевой средней скорости.

Квантовая осцилляторная система с двойной потенциальной ямой исследована при разной высоте барьера с учетом трения и внешнего воздействия. Роль туннелирования в формировании колебаний с различными частотами и режимами дает дополнительную информацию о свойствах этой системы, представляющей интерес для практических приложений. Комбинация квадратичного и кубического потенциалов дает другой пример осцилляторной системы с туннелированием. Существенной особенностью ее является дискретный порционный характер истечения вероятностной жидкости через барьер, характеризующий туннелирование.

Заканчивая обсуждение основных результатов и выводов диссертационной работы, в целом следует отметить ее вклад в развитие теоретической физики, теории конденсированного состояния и физической электроники.

1. Holland P.R. The Quantum Theory of Motion. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1993. — 598 p.

2. Ford G.W., Кае M., Mazur P. Statistical Mechanics of Assemblies of Coupled Oscillators // J. Math. Phys. 1965. - Vol. 6, № 4. - P. 504-515.

3. Kostin M.D. On the Schrodinger-Langevin equation // J. Chem. Phys. 1972. - Vol. 57, № 9. -P. 3589-3591.

4. Kostin M.D. Friction and Dissipative Phenomena in Quantum Mechanics // J. Stat. Phys. — 1975.-Vol. 12, №2.-P. 145-151.

5. Wagner Heinz-Jurgen. Schrodinger quantization and variational principles in dissipative quantum theory // Zeitschrift fur Physik B. 1994. - Vol. 95. - P. 261-273.

6. Albrecht K. A new class of Schrodinger operators for quantized friction // Phys. Lett. B. -1975. Vol. 56, № 2. - P. 127-129.

7. Hasse R.W. On the quantum mechanical treatment of dissipative systems // J. Math. Phys. — 1975.-Vol. 16, № 10.-P. 2005-2013.

8. Doebner H.-D., Goldin G.A. Introducing nonlinear gauge transformation in a family of nonlinear Schrodinger equations // Phys. Rev. A. 1996; V.54, №5. - P. 3764-3771.

9. Wysocki R.J. Hydrodynamic quantization of mechanical systems // Phys. Rev. A. 2005; Vol. 2, № 3. - P. 032113 (24 pages).

10. Van P., Fiilop T. Stability of stationary solutions of the Schrodinger-Langevin equation // Phys. Lett. A. 2004. - Vol. 323. - P. 374-381.

11. Weiner J.H., Forman R.E. Rate theory for solids. V. Quantum Brownian-motion. model // Phys. Rev. B. 1974. - Vol. 10, № 2. - P. 325-337.

12. Bluhm R., Kostelecky V.A. Quantum defects and the long-term behavior of radial Rydberg wave packets // Phys. Rev. A. 1994. - Vol. 50, № 6. - P. 4445^1448.

13. Bluhm R., Kostelecky V.A. Long-term evolution and revival structure of Rydberg wave packets // Phys. Lett. A. 1995. - Vol. 200, №3/4. p. 308-313.

14. Bluhm R., Kostelecky V.A. Long-term evolution and revival structure of Rydberg wave packets for hydrogen and alkali-metal atoms // Phys. Rev. A. 1995. - Vol. 51, № 6. -P. 4767-4786.

15. Bluhm R., Kostelecky V.A., Porter J.A. The evolution and revival structure of localized quantum wave packets // Am. J. Phys. 1996. - Vol. 64, № 7. - P. 944-953.

16. Aronstein D.L., Stroud C. R. Fractional wave-function revivals in the infinite square well // Phys. Rev. A. 1997. - Vol. 55, № 6. - P. 4526^1537.

17. Robinett R. Visualizing the collapse and revival of wave packets in an infinite square well using expectation values // Am. J. Phys. 2000. - Vol. 58, № 5. - P. 410-420.

18. Styer D.F. Quantum revivals versus classical periodicity in the infinite square well // Am. J. Phys.-2001.-Vol. 69, №1. P. 56-62.

19. Doncheski M. A., Heppelmann S., Robinett R. W., Tussey D. C. Wave packet construction in two-dimensional quantum billiards: Blueprints for the square, equilateral triangle, and circular cases // Am. J. Phys. 2003. - Vol. 71, №6. - P. 541-557.

20. Romera E., Francisco de los Santos. Identifying Wave-Packet Fractional Revivals by Means of Information Entropy // Phys. Rev. Lett. 2007. - Vol. 99, № 2. - P. 263601 (4 pages).

21. Efremov M.A., Fedorov M.V. Potential scattering of electron wave packets by large-size targets // Phys. Rev. A. 2002. - Vol. 65, № 5. - P. 052725 (11 pages).

22. Bialynicki-Birula I., Cirone M.A., Dahl J.P., Fedorov M., Schleich W.P. In- and Outbound Spreading of a Free-Particle s-Wave // Phys. Rev. Lett. 2002. - Vol. 89, № 6. - P. 060404 (4 pages).

23. Dodonov V.V., Andreata M.A. Shrinking quantum packets in one dimension // Phys. Lett. A. -2003.-Vol. 310, №2/3.-P. 101-109.

24. Mott N., Sneddon I. Wave mechanics and its applications. Oxford and the Clarendon Press, 1948.-427 p.

25. Marin J.L., Cruz S.A. On the harmonic oscillator inside an infinite potential well // Am. J. Phys. 1988.-Vol. 56.-P. 1134-1136.

26. Lejarreta J.D. The generalized harmonic oscillator and the infinite square well with a moving boundaiy // J. Phys. A. 1999. - Vol. 32, № 25. - P. 4749^1759.

27. Pupyshev V.I., Scherbinin A.V. Molecular energy level shifts in large boxes: use of the Kirkwood-Buckingham method // J. Phys. B. 1999. - Vol. 32, № 19. - P. 4627-4634.

28. Gueorguiev V.G., Rau A.R.P., Draayer J.P. Confined one-dimensional harmonic oscillator as a two-mode system // Am. J. Phys. 2006. - Vol. 74, №5. - P. 394-403.

29. S an к ага n aray an an R., Lakshminarayan A., Sheorey V.B. Quantum chaos of a particle in a square well: Competing length scales and dynamical localization // Phys. Rev. E. — 2001. -Vol. 64, № 4. P. 046210 (12 pages).

30. Беляев M.B., Лазерсон А.Г. Сложная динамика неавтономного квантового осциллятора // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2003. - Т. 11, № 2. — С. 25-33.

31. Багманов А.Т., Санин A.JI. Резонансы пространственно-ограниченного квантового осциллятора // Успехи современной радиоэлектроники. 2005. - № 12. - С. 46-54.

32. Pattanayak А.К., Schieve W.C. Semiquantal dynamics of fluctuations: Ostensible quantum chaos // Phys. Rev. Lett. 1994. - Vol. 72, № 18. - P. 2855-2558.

33. Roy A., Bhattachaijee J.K. Chaos in the quantum double well oscillator: the Ehrenfest view revisited // Phys. Lett. A. 2001. - Vol. 288, № 1. - P. 1-3.

34. Bittner E.R. Quantum tunneling dynamics using hydrodynamic trajectories // J. Chem. Phys. 2000. - Vol. 112, № 22. - P. 9703-9710.

35. Bittner E.R. Integrating the quantum Hamilton-Jacobi equations by wavefront expansion and phase space analysis // J. Chem. Phys. 2000. - Vol. 113, № 20. - P. 8888-8897.

36. Hanggi P., Kohler S., Dittrich T. Driven Tunneling: Chaos and Decoherence // Lecture Notes in Physics, Statistical and Dynamical Aspects of Mesoscopic Systems. 2000. - Vol. 54. -P. 125-157.

37. Dittrich Т., Hanggi P., Ingold G.-L., Kramer В., Schon G., Zwerger W. Quantum transport and dissipation. Weinheim: Wiley-VCH, 1998. - 372 p.

38. Igarashi A., Yamada H. S. Controllability of wavepacket dynamics in coherently driven double-well potential // arXiv:cond-mat/0603321 J. Chem. Phys. 2006. - Vol. 327, № 2/3. -P.395—405.

39. Igarashi A., Yamada H. S. Quantum dynamics and delocalization in coherently driven one-dimensional double-well system // arXiv:cond-mat/0508483 Physica D: Nonlinear Phenomena. -2006.-Vol. 221, №2.-P. 146-156.

40. Yamaguchi Y. Structure of the stochastic layer of a perturbed double-well potential system // Phys. Lett. A.- 1985,-Vol. 109, №5.-P. 191-195.

41. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. New-York: Springer-Verlag, 1983. - 483 p.

42. Pattanyak A.K., Shieve W.C. Semiquantal Dynamics of Fluctuations: Ostensible Quantum Chaos // Phys. Rev. Lett. 1994. - Vol. 72, № 18. - P. 2855-2858.

43. Kohler S., Dittrich Т., Hanggi P. Floquet-Markovian description of the parametrically driven dissipative harmonic quantum oscillator // Phys. Rev. 1997. — Vol. 55, № 1. - P. 300-313.

44. Adachi S., Toda M., Ikeda K. Potential for Mixing in Quantum Chaos // Phys. Rev. Lett. -1988. Vol. 61, № 6. - P. 655-658.

45. Antunes V.D., Lombardo F.C., Monteoliva D., Villar P.I. Decoherence, tunneling and noise-activation in a double-potential well at high and zero temperature // arXiv:quant-ph/0508036v2 Phys. Rev. E. 2006. - Vol. 73, № 6. - P.066105 (14 pages).

46. Doebner H.-D., Goldin G.A. On a general nonlinear Schrodinger equation admitting diffusion currents // Phys. Lett. A. 1992. - Vol. 162. - P. 397-401.

47. Ushveridze A.G. Dissipative quantum mechanics. A special Doebner-Goldin equation, its properties and exact solutions // Phys. Lett. A. 1994. - Vol. 185. - P. 123-127.

48. Ushveridze A.G. The special Doebner-Goldin equation as a fundamental equation of dissipative quantum mechanics // Phys. Lett. A. 1994. - Vol. 185. - P. 128-132.

49. Goldin G.A. Gauge Transformations for a Family of Nonlinear Schrodinger Equations // Nonlinear Math. Phys. 1997. - Vol. 4, №1-2. - P. 6-11.

50. Doebner H.-D., Goldin G.A., Nattermann P. Gauge transformations in quantum mechanics and the unification of nonlinear Schrodinger equations // J. Math. Phys. 1999. - Vol. 40, № 1. — P. 49-63.

51. Wysocki R.J. Quantum equations of motion for a dissipative system // Phys. Rev. A. 2000. -Vol. 61, №2. -P. 022104 (15 pages).

52. Madelung E. Quanten theorie in hydrodynamischer Form in German. // Z. Phys. 1926. -Vol. 40. - P. 322-326.

53. Санин A.JI. Квантовый транспорт электрона в пространстве с однородным положительным зарядом и световой волной // Оптика и спектроскопия. — 1994. — Т. 77, № 5. С. 822-826.

54. Tarasov V.E. Quantization of non-Hamiltonian and dissipative systems // Phys. Lett. A. -2001. Vol. 288, № 3/4. - P. 173-182.

55. Tarasov V.E. Stationary states of dissipative quantum systems // Phys. Lett. A. — 2002. — Vol. 299.-P. 173-178.

56. Tarasov V.E. Dissipative Quantum Mechanics: The Generalization of the Canonical Quantization and von Neumann Equation // arXiv:hep-th/9410025v2

57. Bolivar A.O. Quantization of non-Hamiltonian physical systems // Phys. Rev. A. 1998. -Vol. 58, № 6. - P. 4330-4335.

58. Caldirola P.//Nuovo Cimento. 1941. -Vol. 18.-P. 393.

59. Kanai E. On the Quantization of the Dissipative Systems // Prog. Theor. Phys. 1948. — Vol. 3, № 4. - P. 44(M42.

60. Schuch D. Nonunitary connection between explicitly time-dependent and nonlinear approaches for the description of dissipative quantum systems // Phys. Rev. A. 1997. — Vol. 55, № 2. - P. 935-940.

61. Mensky M.B. Continuous quantum measurements and path integrals. Bristol: CRC Press, 1993.- 188 p.

62. Менский М.Б. Квантовые измерения и декогеренция: Модели и феноменология: Пер.с англ. / М.Б. Менский. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 227 с.

63. Churkin A.V. Stochastic Schrodinger Equation for a Quantum Oscillator with Dissipation // Mathematical Notes. 2005. - Vol. 78, №6. - P. 867-873.

64. Wusheng Zhu, Jair Botina, Herschel Rabitz. Rapidly convergent iteration methods for quantum optimal control of population // J. Chem. Phys. 1998. - Vol. 108, № 5. - P. 19531963.

65. Sundermann K., Regina de Vivie-Riedle. Extensions to quantum optimal control algorithms and applications to special problems in state selective molecular dynamics // J. Chem. Phys. — 1999. Vol. 110, № 4. - P. 1896-1904.

66. Carmen M. Tesch, Regina de Vivie-Riedle. Quantum Computation with Vibrationally Excited Molecules // Phys. Rev. Lett. 2002. - Vol. 89, № 15. - P. 157901 (4 pages).

67. Kaiser A., May V. Optimal control theory for a target state distributed in time: Optimizing the probe-pulse signal of a pump-probe-scheme // J. Chem. Phys. 2004. - Vol. 121, № 6. -P. 2528-2535.

68. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний. М.: Наука, 1984. -432 с.

69. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, Физматлит, 1997. - 495 с.

70. Прохоров Л.В. Квантовые динамические системы со связями II рода // Вестник СПбГУ. 2005. - Сер. 4, №1. - С. 82-87.

71. Averin D.V., Korotkov A.N., Likharev К.К. Theory of single-electron charging of quantum wells and dots // Phys. Rev. B. 1991. - Vol. 44, № 12. - P. 6199-6211.

72. Averin D.V. Quantum Computation and Quantum Coherence in Mesoscopic Josephson Junctions // Journal of Low Temperature Physics. 2000. - Vol. 118, № 5/6. - P. 781-793.

73. Демиховский В.Я. Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое // Соросовский образовательный журнал. — 1997. -№5. С. 80-86.

74. Холево А.С. Введение в квантовую теорию информации. М.: МЦНМО, 2002. - 128 с.

75. Баграев Н.Т., Буравлев А.Д., Клячкин JI.E., Маляренко A.M., Рыков С.А. Самоупорядоченные микрорезонаторы в сверхмелких кремниевых р+—п -переходах // Физика и техника полупроводников. — 2000. — Т. 34, вып. 6. С. 726—736.

76. Смирновский А.А., Санин A.JI. Квантовый осциллятор с трением // Молодые ученые -промышленности сев.-зап. региона: материалы семинаров политехнического симпозиума. СПб: Изд. СПбГПУ, 2005. - С. 100.

77. Bateman Н. On Dissipative Systems and Related Variational Principles // Phys. Rev. 1931. -Vol. 38, №4. -P. 815-819.

78. Sanin A.L., Smimovsky A.A. Oscillatory motion in confined potential systems with dissipation in the context of the Schrodinger-Langevin-Kostin equation // Phys. Lett. A. — 2006. — Vol. 372, № 1,-P. 21-27.

79. Sanin A.L., Bagmanov A.T. Shape and Fourier's spectra of a quantum packet in a box for electron motion with specified initial velocities // Proc. of SPIE (SPIE, Bellingham, Wa). 2005. -Vol. 5831.-P. 6-14.

80. Багманов A.T., Санин А.Л. Структуры волновых пакетов в квантовой яме // Успехи современной радиоэлектроники. 2005. - № 12. - С. 25-34.

81. Багманов А.Т., Санин А.Л. Квантовая динамика микрочастицы в одномерных системах // Научно-технические ведомости СПбГТУ. 2005. — № 4. — С. 7-17.

82. Villavicencio J., Romo R., Sosa у Silva S. Quantum-wave evolution in a step potential barrier // Phys. Rev. A. 2002. - Vol. 66, № 4. - P. 042110 (8 pages).

83. Garcia-Calderon G., Villavicencio J. Time dependence of the probability density in the transient regime for tunneling // Phys. Rev. A. 2001. - Vol. 64. - P. 012107 (6 pages).

84. Соколов А.А., Лоскутов Ю.М., Тернов И.М. Квантовая механика. М: Учпедгиз, 1962. -591 с.

85. Киттель Ч. Квантовая теория твердого тела. — М: Наука, 1967. — 492 с.

86. Анпмалу А. Квантовая теория кристаллических твердых тел. — М: Мир, 1981. — 574 с.

87. Stomphorst R.G. Transmission and reflection in a double potential well: doing it the Bohmian way // Phys. Lett. A. 2002. - Vol. 292. - P. 213-221.

88. Savel'ev S., Xuedong Hu, Kasumov A., Nori F. Quantum electromechanics: Quantum tunneling near resonance and qubits from buckling nanobars // arXiv:cond-mat/0601019 (Phys. Rev. B. 2007. - Vol. 75.-P. 165417, 11 pages).

89. Батманов А.Т., Санин A.JI., Смирновский A.A. Динамика квантовых волновых пакетов в системе с потенциальными ямами и барьером // Научно-технические ведомости СПбГПУ. СПб: Изд. СПбГПУ, 2006. - №6-1. - С. 124-139.

90. Sanin A.L., Smirnovsky A.A. Temporal resonances and structures in quantum systems under dissipation // Proceedings of SPAS jointly with UWM. 5-8 July 2006, Olsztyn, Poland. Olsztyn, 2006. - P. 43^17.

91. Endoh A., Sasa S., Muto S. Time evolved numerical simulation of a two-dimensional electron wave packet through a quantum point contact // Appl. Phys. Lett. 1992. - Vol. 61, № 1. — P. 2-54.

92. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: ГИФМЛ, 1959. -926 с.

93. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука, 1980.-356 с.

94. Карлов Н.В., Кириченко Н.А. Колебания, волны, структуры. — М.: Физматлит, 2001. — 496 с.

95. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. -М.: Наука, 1988.-392 с.

96. Санин A.JL, Смирновский А.А. Вынужденные колебания квантовых волновых пакетов в системе с трением, квадратичным потенциалом и стенками // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2007. - Т. 15. № 4. - С. 68-83.

97. Хир К. Статистическая механика, кинетическая теория и стохастические процессы. — М.: Мир, 1976.-600 с.

98. Smirnovsky А.А., Sanin A.L. Influence of dissipation on quantum wave dynamics in confined potential systems // Proceedings of SPIE. 2007. - Vol. 6597. - P. 659704.

99. Штокман Х.-Ю. Квантовый хаос Под ред. Демиховского В.Я. / Пер. с англ. Малышева А.И. М.: Физматлит, 2004. - 376 с.

100. ДемиховскийОО В.Я., Малышев А.И. Квантовая диффузия Арнольда в канале с гофрированной границей в присутствии переменного электрического поля // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2004. - Т. 12, № 5. — С. 3.

101. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984. -528 с.

102. Санин А.Л., Смирновский А.А. Когерентное и хаотическое движение в квантовых системах с обратной связью // Научно-технические ведомости СПбГПУ. СПб: Изд. СПбГПУ, 2008. - №3. - С. 80-87.

103. Санин А.Л., Смирновский А.А. Квантовый пространственно-ограниченный осциллятор в системе с трением и обратной связью // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2008. - Т. 16, № 2. - С. 18-34.

104. Смирновский А.А. Неявный итерационный метод для решения одномерного уравнения Шредингера-Ланжевена-Костина // Молодые ученые — промышленности Сев.

105. Зап. региона: материалы конференций политехнического симпозиума. — СПб: Изд. СПбГПУ, 2006.

106. Фадеев Д.К., Фадеев В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. — М.: Физматгиз, 1963. 730 с.

107. Juan L., Van der Maelin Uria, Santiago Garcia-Granda, Amador Menendez-Velazquez. Solving one-dimensional Schrodinger-like equations using a numerical matrix method // Am. J. Phys. 1996. - Vol. 64, № 3. - P. 327-332.

108. Schweizer W. Numerical Quantum Dynamics. Dordrecht: Boston Kluwer Academic Publishers, 2001.-288 p.

109. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. M.: Наука, 1989. - 432 с.

110. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости. М.: Мир, 1991. — Т. 1. -502 с; Т. 2.-552 с.

111. Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике / Под ред. проф. Гейликмана Б.Т. М.: ГИТТЛ, 1957. - 275 с.

112. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособие для вузов. В 10 т. Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — 4-ое изд., испр. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 768 с.

113. Grindlay J. On an application of a generalization of the discrete Fourier transform to short time series // Can. J. Phys. 2001. - Vol. 79. - P. 857-868.