Динамика маятниковых многозвенных систем с качением тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

РГ8 Oñ

ЛКАДЕКШ НШЕ ЗПСРННИ XШИЮТ МЕШДКЙ

На правах рукопису

ХЕЕЕЙГ Валер i й Пшгорошч

да 531 .oí i

ДИШШКА ШЯГНИКОВШС БДГАТОЛНЕЕОВИХ СМОГИ! S КОТШЕЖМ

Ошщ1альз1оть 01.02=01 -теоретична «эжшйка

А в « о р о ® э р о т дасэртацП на здобуття ВЧ9НСГО 07УГОЯЯ каццвдато ф!зико - тзатемапсчних «вук

Kiiïb - 1993

Роботу вшгонано в 1ксгчгаут1 ыехавШ? АН JTKpaïEn

Наукошй кар î вник - доктор ф1вико-махемаигчниг наук Я.ГЛобао

£ф1ц1йн1 ошнеятя - доктор ф1зико-математшшшс тун, професор Т.Г.Стршшк

кандидат ф1знко-!<!ат0натачних паук А.Ю.Швець

Пров1дца oprsHîsanîsn КиХвоыгаг ухиввронтет ÎsjohI Тараоа Шавчвнка

Захнот в1дбудеться "26" кштпя 1 933 р* о 10 годан!' на еао!Даш! сдац1ал180ван01. радй К 016«49.01" Тватгугу ивхтШ АН Укра!да (252057, Ки1в~Б7, вул.Шотерова, 3)

В дааэртац1е22 иожна оанайоштись в бКШотвц! Институту !saxBsîM3 АН 2fKpaïm

Автореферат pOBîOJiaHO Ijyrrj^¿АмМ1993 p

Вченн® сакрагар ш9Ц1ал1вовано1 рада доктор TëiHtïHEX наук, профэсор '^"¿^^^в.Ы.Наваренко

ЗАГАЛЬНА. ХАРАКТЕРИСТИКА РОВОТИ

В дноертацИ вводиться та досл!дауеться еовкй клас механ!чних систем талу "маятник" - багатолвлков! маятников! систем ь качениям. Вош виникавть з теор'п руху зчлэноваяих пнор,мокол1г,гсп; машин у рамках феноменологIчно 1 теорИ Рокара. Вивчано особливос*! динам!чш! псзед!нки таких систем при ввр!пванн! шэрамэтр1в, ст!йк1сть прямол!н12но1 конф1гурац11, б!фур: ац11 народяоння (гене-рьдН) граничного циклу :з ст1йко.о фокусу та 01фуркацП злптя (ан1г1ляц11) нест!йкого граничного циклу. Методом збуронкя, який грунтувться на роботах О.М.Ляпунова, А.Пуашаре, 1.Г.Малк!на, по-будован! пер!одичн1 розв'язки диференц!альких ;?1енянь рУху, з яких утриман! величина до трэтюго порядку нклотно.

3^'язок mi ж tbopIbb мантяиковшс систем з коченнлм та дмам!-ков зчленованих QKtnoKiB. Шсля класичних доал!д1в G.Galilei (1632 р.) по вивченнв 1зозрон1зму колинвнь маятника та трактата "Маятниковий годакник" O.Euygena (1659 р.) з рсзрахунковкмк формулами для математичного t ф!зигавого маятник!в розшток данам!ки таких систем в1д<Зувавоя все зростаючида темпами» Було знайдеко ряд незвичайких ф!зичних ефект!в, що знайшли ззстосувавня в р!зних га-лузях природничих та техн1чних наук.

Вид!лення маятникових систем в самост!йний клас в нввэ«лкои к1льк!стю ступэн!в в!льшст1 t зрахуванням найб!лыа суттевкх фаи-ropis стимулювало задутавнн до lz шал1ау перспектЕвних як!сних та анал!тичшэ: нетод!з. Цэ сприяло в1д1сритт£ ряду д1кавих офзкт!в якраз на маятниковм системах: стабШзац!я не ст Шеях стан!в pisHcaam. дестабШзувчий вшшв дасипатаьшх сю. при наявност! шконсэрватшних шеяиДйниж сил, каскад б!фуркацШ шздвпвння шр!оду, хаотизвц1н коливань та !н. Всеб1чний енад!з розвнтку Tsopti маятшшзвих систем м!ститься в працях Т.Г. Стрнкак та «ГЛ„Н11ез.Ряд tстотних результат!а в теор!1 систем тигу "маятник", маятшкових pyxis твердого т!ла з нарухомозз точкою яв маятниковзх pyxiB твердого т!ла, яка п!дв1шеш на струн!, отримали л.Д.Аку-ленко, З.О.Баталова, Г.В.Бвлякова, Ю.П.Вапхальов, С.Я.Гад1оненко, Г.В.Горр, В.I.Гуляев, А.А.Зев!н, А.Л.Зубрицька, О.Ю.1тл!нсыслй, П.Л.Кап!ца, Т.О.Краснопольська, Д.Д.Лещешо, Ы.З.Л!тв!н - Седой, М.А. Павловський, Г.М.Сокол, О.П. Стрелков, Т.Г. Стрижак, В.О.Сто-роженко, В.А. Табуева, М.е Темченко, Ы. Чешанков, A.D. Швець, J.-D.Jln, Y.Matsuzaki, М.Hagedorn, R.Slieidle, Сетни, Отрабл,

H„ 5Croger, Хййибокель, Хеш, K.Zeman, G.Zlgler.

Маятников! систеш а коченням, що вводиться в дан!й работ!, вишжлк в рэзультьт! математичного моделввання руху ведэких лаясн шарн!рно зчленовашх машин (Л.Г.Лобао,198-4). Втрата ст!йкост! пря-молШйвого ругу азтопоУ.да мохе бути эумовлэна вбо ввдучою ланкою (експонешЦальна наст1йк1сть), вбо веденими ланками ( коливагаьнб нвоз1йк1сть). Шдсистема, що в!доов!дае !вольован!й вэдуч1й ланц!, доол1дж8не на цей час досить докладно ( л.г.Лобас, В.Г.Вербицышй, 1Э90) не в!дм1ну в!д п!дсЕстеми, що в1даов!дав ведении ланк&ч.

Мезан! чве шотвиа, яка розглядавться киие, одерхусться в результат! розщашюшя ~>.+1-ланново1 слотами на вэдучу ланку та n-лаякову маятникову сиотему* Ф1зкчн! порэдумош такого розщоплэп-ня м!стятьзя б тому, що ведуча ланка пршускаеться нвс^льки гласивши яоргввлпо а ведвнаш ланками, ¡до збурення в!д останн!х на сприймеються вэдучою ланкою о Ввакаоти рух ц!еЗ ланки пршэл!н!йним ! нбзбуриввним, вивчимо обэртаяьн! рухи ведение ланок яа допуцэн-няыо ар точка вчашиння вэдучоЗ! та nepmoi воденоХ ланок рухавться прямэл1н!2но„

Твор1я руху кал!сешс вк1пзя!в пройпла складний те супврвчли-вий шлях ро а ел тку. Розвт.эвкня 13 принципових пктань складов одну в г!лок теоретично! иехш!кв систем з качоныш. На цвй час; даг1ч-но бэздоганншй s лише постановки задач у втшдку абсолютно твердая кол1с, при кочонн! яких без ковзавня роал!зуш,ъся juiüciiqui на^ толонош! в'яз! (НХ-Жуков^ькийр О.ВЛшл1нський^ Ц=С.Л!ка2г:1п, Л.Г.Лоб8Ср АЛ .Лурье» G.Hamel, B.Stuckler та !в.). У asinEiiiy ж балоенкх кол!а кожнв говорили т1лькн про нан!вэмп1рячЕ1 „ фйшяонс.--лог1чн! тв ыодельн! п1дгода„ заправдаиням адэкватност! яких дукэ часто е гойвпвдазня теорате<шн2 рзаультат1Ес що одвраан! на 1и основ!, и данный натурннх випробувень в говнюс областях простору параметр!в„ Серед велико! я1лыгаат! досл!дк9Нь в цьэму капрямку ввд1лкмо Taxis О.А.Горожо, В-П.дрвгеввр Л.П.Драгазва, М.В.Неядиш, К.С„Колесников, ил.Левы, Л.Г.Лобао» Р.Д.ЦусарсышЭ^ ЮЛ .Иоймарк, Л.ВЛШсолвнко, Я.М.Певааер, В=О.Бятацышй„ Х.Рокар, В.П.Озхш, Т. I „Тарнопольська, Х.Т.Тураев, Н.А„Фуфаев, I Л.Х1лькевяч, О.М.Щульг1н.

Актувльн!сть темио Маяташов! системк (оданочн! та багатолан-ков!, з'едаан1 шслХдовно га паралельно), представлявши ! сачос-т!йиий 1нтерес, часто, однак, g <3!льш простим прообразом складнях 41ззако-мэхан1чнпх систем. В кокаому такому маятнику, як правило, пруааз! гчрактеристики вначно пэревищують дисиаативн!, що ! зумов-

лпз в першу чергу його коливальН! якост!„ В маятникових системах а кочвнням, що вивчеютьоя в дисертац!1.порядок пружнжх та дисппатив-шх параметр! е однаковий ! вош' мають однвковэ походаення; в рамках акс!омптшш Рокера вони городаен! боковими реакц!ями оперной площини. Ягацо клвсиф!кувати caira за 1х математичною структурою, то в л1п!йному нвближвн! ц1 реакцИ привводять до дисипвтизтп:,потвн-ц! альшгу. та шконсорватквних позшд1йшх сил В1дом1 теоремк Томсо-н£.-Тета-Четаева при наявност! сил ;в!льиоЕ математячноЗ! струк^три "не працюить". Ненважаючи ка наявв!сть Огсремих результат!в в цьому вапрямку (С.А.Агафонов,В.Г.Вврбкцький, ВЛ,ГоЕчарвнко; В.М.Котляков, Л.Г.Лобас та 1н.), питания ст!йкоот! ргху п!д д!вю певних даконсорватившх отзщ!йких см розв'язуеться в датой: час, по оут1, 'ндив!дуальна, результат доел 1,джэпня дапередбачувапий нав!:гь для в1дносно простая мэхан!чних систем. Тим б!льш в1н актуальний для таких спвциф1чнжс систем, як маятниковí система з коченням.

Все сказакв в!дноситься до ст!йкост! за ,л1н!йним наближеи-еям.Шсля вад1лвння в простор! параматр!в облает! эстгготачно! ctíBkqctí викиквв пот1м штання оценки облает! притягування^ що рсзв'язуеться, природно,за нелШйним иаближэнням. В облает! простору параметр! в с яке в!дЕОв!дае иэстШсост! руху, представляв хвтерэв пошук ст*йкиг граничннх цикл!в фазового простору,як! м «уть прн дэякаж умоваж народятися is от!йкого фокусу. Розв'язання цих штань актуальна як з теоретично!, так í а практично! точок зору,

Виходячи а усього сквзашзго вшп, ыэта дисэртац!йного дос-д!докня голягае в тому, щоб

~ поОудувати матаматичну модель маятниковых аисте!.. в качениям Ни в!деосео кут!в складаиня лавок (Л.Г»Лобао)„ що шзначвють в!дтосну ар!ецтац1ю ланок, в в!даосно куроавах кут!в, що визначають 1х аб-солатну opteHiaaíjo?

- гобудувати облает! ст!йкост! та нест!йкост! пряшлШйно! конфх-гурец!! в простор! параматр!в;

- довл!до»л сое9д1еку система в фазовому простор!.

Новизна досл!джань шаначаеться там, що алао ¡¡М-лтникових систем, що розглядаються в дисертац!Г, ран!ше в теоретичн!й механ!ц! на вивчався.

Практична значим!сть одержаних результаг!в шлягаз в тому, що вони мохуть бути застосован! в теорП руху зчленованих пнэвмоко-л!сних BKlnaslB на стад!1 проектування нових 1 вдоскона-юнвя 1сну-ючих конструкц!й з метой оптим!зац11 1х нараметр!в.

Досточ!рн1сть обгрунтувзння НауКОЕИХ ЕОЛОЖВНЬ та ВИСК0ВК1В дисертацЛ аргументуються коректним застосуванням загальних теорем данам1ки при рсзробц! матемагачно! кодвл!, а такок теорем О.М.Ля-цунсЕа при доиз1дхвнн1 ст1£кост1 руху s строгим доведениям 1снування та едшост! пер1одшшого розЕ'язку нел!н1йккх диферонц!альних р!вняяь, cniвпадениям з достатн!м ступенэм тсчнос-т! наближешос шал1тичних результата з результатами нвзакшгаго чиоэльыого 1нгегрування даферанц1альыих р!внянь.

АпробацХя роботи. Окрем! результата дисертацИ доггав1далися на республ1каяськ1й конф~ренц!1 "Моделирование слоеных 'мэхашчес-гаи систем" (Ташкент, 1991 p.)» XVI наукоз!й конференц11 молодих вчсних 1нс12туту механ!ки АН Укра1ни (Кя1в, 1991 р.), ресщбл!кан-ськ!й нонфорсзндИ "Моделлроваше и исследование устойчивости процессов" (KzIb, 1992 p.), XVII наукозШ конфэренцП ыолодех вчених 1нсти?уту механПси АН УкраТш (Ки2в, 1992 р.), роспубл1нансы<1й копфэращИ "Моделирование п исследование устойчивости процессов" (Ки1в, 19ЭЗ р„)- Дисертац1я в ц!лому обговоршвалась на сем1нарах КнХвсьнога ун1верситету 1мен1 Тараса Шевчзнка, КиХвсьного пол!тех-н1чного 1нституту f knlbjbkoro 1нк9н9ро-буд1вельного 1нституту, 1нституту приклэдно! математики та каханХки АН УкраХнк, Донэцького дернааного унХверситоту.

ПусШкацН, Основний вмЮт дисортац! I опусШковано в робота?: 11-73 =

Структура тв об'см робота:. Дпсартац1я складаетьск Is вступу, чотнрьох глав, заключения, списку л1таратурн 1 вшишдена на 130 с.

аист дисертащ!

У встун! дано короткий нарис тоор!й налтнпкових слотом, вка-зало вв'язок к lis теор1ев маятвыяоних кистам в кочэяням дашП-кое зчленовашх Ш1евмокол1сних шшин, обгрунтовуеться актуальн1оть теми» формулюеться мэтв досл1дгвння„

< В тарной глав! ошсано походизяня ыаятникових систем з. качаниям та взаемод!я пневмокол1с з опорного площинол, вивэдано осшен! гоометвичн! та кЛнематичн! сн1вв1днапюшя, приведено анал^ичн! апроксимацП бокових рэакц!й як еюйричнгх фувкц1й кут!в з1даа~ дення та розроблана ыатематична модель плоскопаралельаого руху арьох- та двохланковкх маятниковых систем з коченням.

Вважаячи рух ввдучо! ланки нвзбурюваним, вгвчшз обертальн!

руга Е0Д9ЕИХ ланок в пряпущани!, що точка вчепу 01 (рио.1) вэдучо! тв перш! вадвноХ ленок рухазтьсз тгртюМигйг.Ог. :]Щврэт1элыИ р!ншшня руху трьохг.анксво1 системн мають пит ляд

- (% Ц^ ^М) ) -

2дл, ^^

да

\/»»»

(2)

4 0 Ш^и^Шх-^) 7

5 г б

Р1ВЯЯННЯ (X) допускають розв'язок^:?Д--0(1»1,2,3), якому в1дтюв!д8в прямол!н!йна кон£)1гурац1я нэдеких лапок.

В другой глав! досл!даено ст!йк!сть пря:«Шн!Яного руху в нокрнтичшх вкладках. Запяшеш р!вяяныя у вар!ац!ях а окол! прямо -л!н!йного руху в ЕЭКторцо-магричн1й форм!

АД- + &* + (С+Р)$«0, %- = СюЕ, (4)

та клвсиф!куемо сшш аз 1х математачноп структурою. В систем! пря-сутн! 1нэрц!йн! сиди з матрицею &0, дисшативд! з симетрачною матрице» В, потенц1альн! з слмэтричиов матрицей 0 та неконсерзатива! шзиц!йн! з кссосиштричши магрпцеи Р.

Аяал!з показав, що умови ст!якост! íctoteo залэжать в!д сл!в-в!дношення Mis дазшатившми та нэконсэрватаввими повяЩйними силами. 1нтвнютн!сть дисигштивндх сил шзначазться параметром (швадк!сть руху точки 01 на рис Л). 1нтеасиш1сть ваконсерзагаввкх позиц!йних сил визначаеться величинами ^ та , дэ Ь, - в!дстань 020t Mis в!дпов!дднш точкам зчепу ланок, а в!дстань 0Э02. 3 р!внянь

+ 4 ^ ^ + < (НЛЗ) (Б)

вппливаз, ¡цо кожна ланка маятника, яка розглядазться !зэльовшо, в асиштотично ст!йков системою; однак 1х о6'бднення в едану систему при деяких швидкостях руху ЯГ та значениях параметр*в ^ 1 ^ мок. юродити як ст!йку, так í нест!йку система. Умош ctíükoctí трьох-ланково! система в некритачних вшадаах визначалися кореняш характеристичного р!вшшня вдетого порядку. Шляхог- анзл!зу цих нора-н!в гобудовано поверхнв 118 ртс.г вс! точки простору

параметр!в , С^ та Vi » як! знаходяться вище ц!а! поверхн!, в!дпов!дагть нвст!йкост!.

Хврактеристичнв р!вняння матриц! р!внянь першсо наближення квв одну пвру власних вначень, яка перетирав уявну в!сь комплексно! шгащини при Va при шдальшому зб! льшэнн! швидкост! руха-еться ал!ва направо. Характер пов9д!нки двохланково! маятниково! система принцкпово таквй еэ, як трьохланково!, однак дозволяв провести анал!тичн9 досл!дження. При Ш}=0,IjsO) H^d-yC^'O, Yj -Q система (4) переходить в таку:

а«

а значения % , якому в!дшв!даз пара сута уявних корен!в характеристичного р1ввяння четвертого порг зсу г визначавтьоя формулою

I внап!тичшй розгляд, про!люстрозаний рио.З, 1 нвзвлезшэ чисэль-еэ досл!доэння показують, що при наявност! нэконоврватинних погви-ц!йних сил !з вб1лшеЕням швидкост! руху, яка зменщуа дисшац!ю, в систем! моялив! досить р!зн! ситуацП, як! з!даюв!дапть як ст!й-коот! руху, так ! кадгавальнШ нэст!йкост!.

В трат!й глав! доол!даоно динам!чну поввд1шсу двохланковиг маятникових. систем э кочэнням на границ! облаот! от!йкоот! (еггруби® за О.О.Андроновзм вкладок) г тобто при % , кот матряця р!вшшь в вар!ац!ях лаз одну пару оуто уявшх власивх значэш» та другу а вЯд'емдаю д!йсноп частиною. Утрчмуючи а р!вняннях вбурано-го руху члэни до третьего порядку вйлечно, одэршш систему

(7)

Зам!на х-с[£<, де мвтриця сС склвдзва в д!Йсязх та уявних час-тин влвених вектор! в матриц! || || . приводить до системи

О)

% = ^з + зв^ + Оч^,...)^).

Ы.М.БаутЛн покаеавр що пврший непульовмй ляпуновоькяй коэф1ц1ент, знак якоговир.?шуе питания от1йкоот£ у вшгадау пари суто уявних корен!в характеристичного р1вняяня0 ыае вкгляд .

, . Локажамо, що тополог!чна структура фазового простору Звгато-ланково! система в окол! початку координат мае вягляд, сс5рпг.шзй на рие=4„ В залегшеетг в!д значень сутеавах шраштрЗв кошаш1 61 -фуркацХя злиття (анШляцЩ кэст1йкого граничного цвкл^ 01фуркац1я народавшя (ге.;ерац11) ст!йкого грешкного циклу що проходить зв сценар!ями (II) та (12) в*дпов1део:

(12)

Нзет1йкжй граничила цикл Р ебмэжув область притйгуввнш! початку координат? фазового простору як ооабшзо! го'сш р1ваянь збурзюго ругу« ПарЛодогшвд роза'язкан р2вшшъ (В) в£даэв1двзда> на фэзсв£й лгащвн£ гранича! цикли при ПГт - ПэРя перейти до анагодЕен-НЯ енаЛ1ТЫЧВ2К Р0ИВ*ЯЗК1В ЦН2 ЦИКЛОВ, З'ЯСуШйО ЕСЕЗрЗДЕЬО ЕЙВЗЗЙЯ? чи мовлив! сер1одБ1Чн! розв'язки при , тобто на мэг! облает!

ет2йнсст2о Р1вжння руху (9) нрэдуег-саить Лнзар! ветшай йЕгаховяй' Пуакквре

(КЗ)

паявк!сть якого дозволяв крнтичи! р!вняшя сивгеш {9} ввшеатн у вигляд!

Пер!одачн1 рорв'язки система (14) знаходшшсь доома способам зведэнням до одного р!вняння та розв'язуванням система безносерэд-ньо. В пераому внпадку маено р5вняння

I

Ч'

.At

• M,

......™ "Г" ' t \

■...........\ " 1 \ V * й

Var=u0 ч ч Г Со

__ рм &

5 fO i5i¡ îo Рис. Ц

fy, A

tommlotb 1 снування пер!одачного розв'язку р!вняння (15) доая!даувапаоь зам!ною кезаяежно! ам!нно1 такта чином, щоб пер!оду Т ва SMíHHOE t, який в голоморфно® фушсц!вв сс в1доов!дав noctítess нар!од 2Х за bmíesoe т„ тут о - початковэ в!дхклеаня smíhhoí g^o ВшшклосЬр що р!внянгш (15), права чаоиша якого ы!стить во! чдэни третьего порядку в!дноснс £ та 8 мае шр1одачвий розз'язок лише в тому вшгвдау» колы два з цих КОЭф1ц!внт1в Дорiвшшгь ly,79bí,, тобто р!вняння мае вигдяд

'А^С^^ + ^Аш^^4 . (16)

В окремому випадау, коли Á122«0, останне переходить в р!внянш1 Дюфф1ета, тоЗто р!вняшш (16) а йога уэагальнешям.

В четвертШ глав! прийнято V » В цьому випадку е дв! пари комплекоша влзених анечвнь матриц! р!внянь першого наблиЕэння. Д1йсна частина а вяасних значень К, та К. в!д'бШ1а прт Оудь-яких

k. Vj

IT, а д1йснв частина е вльспих епачэнь та кг в!д'емка nps l/^Vo 1 додатня при Vy-ITo » В систем!

I) 1] Ч

ti ...,

JL Ц Ч (2)

е=1 м ^ 7

И «1=1 М

Н ии им

hlm^tm^Kln. ОН-»4)

yoî В8ЛПЧКПЯ oôesposMîpaai. ¿.-слад пзбудови переданного розв'язку ! даз g>0¿ î для е<0 один i тоа зкэ. Забором нового м!рила вим!рю-вань твушзних ®увкц1й приведэно р!впяння <17} до внгляду

О vrt м l»

г,т3(г

е,»уг

Cjïïijil

Вшориотовувчи !дв» Пуанкаре, доведено, що в систем! (IB) !снув П0р1одичлзй резв "явок „ яккй зданий 1 голсморфшй sa в. Доведения нрснодпться мотодо?« зйуреньс Породаувчжй розв'язок мае шгляд

(10)

-lijCöSeût, ^ ---М9 Síntot} ql = 0, y¡°4*0 .

Початков! умози при в О в!зшемо у вигдяд!

> ъ

't=0 »t=ö

Ч*о

(19)

(20)

4=0

причому адитявз! стал! ß5 fl,, ß2 а функц!яш s, що зннщуеться пря s=Q. П&канта розв'язок енехэш (18) у взгляд!

% = MoCosaît

1 вимагавчи шр1одачност1 шуканих функцШ г?г за зы1анои £ а пэр!о-дом 2х/ш-<£, сгриыааво вираз для ампл!туди шродкуючого розв'язку

кЛ _ ^

Ие ЫЩ'ЦГ) (22)

1 крутою! частота пер1одачыого розв'яажу

сд

2 =

Ешрто в!дм!тити, що 1 ашШ-гуде М0, 1 кругава частота Д вивнача-ються двоыа величинами ^ 1 (], кокна а яких залэзшть лашз в!д чо-тирьох коеф!ц1внт1в нелШйшх члон!в перших двох р£вкянь„Кааф1ц{~ бнти нелШйнях член!в остани1х доох т>1внянь нэ м1стягься н! в М_,

** О

н! ,в Л.У цьому розум!ш! чотиривйм1рнЕ система (18) дакомпозувть-ся на да! дзовш!рн! п1дснстеми ш г1дьке у кершому наблихекн1,аке 1 до член!в третьего тарядау ышяно,

Для вев!додаг функцХЁ В{$), у розклвдах (21),

а тш5се яшШтуда шродауотого розв'язку Мо та частота Д. тар1одаг-шго розв'язку отрзмано однозначн1 ок2нчана£ шразж чю£ ! вавэршу-еться доведения генуваншг шзрЮдачыого розв'язку оногеш (15). Для габудош пар{одачнош розв'язку у вягляд!

^№ = ^ ^¿^(Ф-Е1^) + (в-1,...4)(24)

й пер1одачнишг членами введет аш!сть г шву незалагшу вд2шу те таким чинш; щоб пер£оду i аа ш!неов ^ що в гагоаорфтю фушшдев 8, в1даон2даз тст1йшй тр1од Т»2я за ш2ннсш т.

+ ) . (25)

Шукают розв'язок сйетоиг (18) методом вбураяь та шкориотовувчи 1дэ1 А.К.Ляпунова, Х.Г„5£алн1на, А.Еуанкара, одаряемо розв'явок скстеш (17) у вигляд! суш двог доданк1вг доданки з штрихом про-шрц!ональн1 ^е, доданкн в двдаа штрихами пропорц1ональн1

ДО

Н\ =^MoCOS'UMoSinCút,

1=Ял, Q - «o(Í-^e+...).

'Гаку s атруктуру маять í взрази для курсозст кут!з í

Твким чипом, в першому наближэнн! розв'язок системк (18) мае вигляд:

^ = lio Costót + ^- НоSiriwt+£ ,

Анелогачкэ шшходатьоя як зазгсдао escíssS набхкаэена. Осх^яьеи

pasiss було ДСВЗДЕПЗ 2СКУЗВЗШЙ НВр£ОД55ЧЕОГО pO'SS'ESSy сзсгеет {18}»то згошшза !сщувата а ^крвйиьску раз2 одаа рад шгладу (24), шскп фор'лальпо зэдоеолъняй систем! (18).В силу того, що ,такий ряд В2ЯВЙВСЯ ЗДКННМ, SlH S S8C3Zl£SÍ0SD прадетваяяз ауканий розз'язок £,також, нб1гаетызя.

На шс.Б назэдэна тасдозз сц!ш13 ирзж. дсдзкл£з. Вояа поккаув, ЩО ДОДОЕКОИ S одам HTpHEC!«! QESCyeSbSít OSSEOEHS BOBÍ^bHQ 0ВСЛ2Ц£О-нуича еклздсза, доденксм s десмз агрякекгш одасузвься швдкаосцаяа-шп с1сладопа=Грзф15? сумарного ровв'язку на рио.6 показаний суц!ль-поо кривоэ,граф1к розв'язку, nporrapqífteoro \Г8»-гатрзгоаоэ-.-В£да1н-níGTb м!я готот пэзэдяка,тобто при грубых оценках доданкаш, нро-порцШшмя s-fc. нота знахтуввтаи

1з (27) вшштав, що зм!ин! ^ i £г мавть порядок /б, а suímil С3 i £д маять порядок УЁ? . Задачу побудови пер1одичного розв'язку чотириЕнм!ряо1 система (17) можнп ввести до 1нтагрувавня двсхтайрно" п2дсзстзш

5« = ü)fГ + Si +A¿i«í¿f ... .

10 {fi

а вяразн зм!тих £3 I £ д зпайти 1з ск!нчэенпж сп!вв!дношещ>* Сис-темо!о(29) ошюузться осповна о волга. 1 я системк, дал IX анаходження ефектнвкимс як в!дома, з метод осереднвння. Переходячи в ц!Э слогом! до полхрних координат, отримуемо систему

?

(30)

Поотазимо у в!дпов1да!оть систем! зв'ясених р!вняиь (30) систему р!внннь, и,о рсзпадаються

в -

1 :

(31)

Тут

-2 с

б! -

Щгг 0 '1

Дя

(32)

з середами значениями Г1 (■в) ! Х?(■в) на пром!хку довзвшоя 2зс. Подальше досл1дкэння розладазтьоя на два випадки в задвигает! з!д ТОГО, шуквзтьвя СТ1йНИЙ чн ностШий граничим® цикл. В о бог, вкладках аднотм!рне р!зяяння для р мэз три особливих точки,, пра цьсму в перасому шшадку, коли з>0, значения ро~0 в нест1йков' особливо» течкол.поблпзу яко! 1 зл!вв,1 «зпрява д да! особлив! точки р -±^£рНе Овз€& зим оооблиЕим точкам в1дпов1дав роав'язок сиотемя (17),

прсаорцАЙжтй е. Ямцс ж а<0, те р «0 -р «»±\Р? М - пэст!йк! особлив! точки»

гО ' с

апрокснмувться р1В1ШГОЯШ

от!йка аосблнзй точка р а КэстШетй граничвий" цакл

(33)

¿а наведэлого вишгавав:

1) ЕШ1л1туда автоколивань зростаэ як Уе", ¡до узгодгузться в в!-домою теоремою Хопфа,

2) оуттвву роль з!д!граз величина е53С/0') ?! моано наяватк "яэ-л!нШшм декрементом". Вона з продагжоЕням за параметром V поршого ненульоЕого ляпуновського ноеф!ц1ента в область визяачаать-

ся чотирма коеф!ц1ентами при нелШйних членах парпкпс деох р1вяянь для 1 £2. 0станн1ми чотирма коеф!ц!ентами при 5 I £ в цих р!вкяннях визначавться частота автоколпвань.

0ск1льки коеф1ц1енти при £3 1 на вшшвають н! на аюШтуду, н* на частоту автоксливань „ а такок враховузочи можлив!сть декомпо-зицП системи (17) на дв! п!дсистеми, займемось поОудовоп пер!о-дичного розв'язку приведено! систоме (29). Бона зводаться до одного р!вняння

-ы^шнль- ■

Розв'язувчи його так, як I чогирйвим!рну систему, зам!ною (25) от-римавмо р!вняння

наблшгоний розв'язок якого мае вигляд

¿■вМвС05'Г + £(М1С09С + +..,,

(36)

К. ),

Оск1лыш Е1 ! мають порядок \Ге, 1 з (13) вишшвав, що £3 I Ц

будуть мата порядок е{в. Не обмежухгогсь доведениями ст!Йкосг! чи нест!Якост! граничких цикл!в Г4''1 1 Г5»5, , як! базуються на вико-рсстннн! оператора осэреднення, доведено ст!йк1сть граничного циклу Г4,1 , базувчиоь на ц1лком строгому анал!тичному критер!!

1.Г.Мэлк1на

¿Р(Мо)

л <37)

да ' - Цк

Р(Но)= ^(^ОК^Мо^М) ¿¿ПЦ-с1и , (за) о

В дасертацП показано, що

зв!дки видно, що тар!одечниС розв'язок р!вняннь (30) стШяий, а, отгл, ст!йкка 1 п9р!одичкпЯ розв'язок приведено! систзми (29).

Результата чисельного 1нтегрування вих!дних рлвзяпь (I), ви-конаного, звпчайно, зовс!м незалзжно в!д вказаншс анал!тичних по-Зудов, сп1вггадають з останн!.ми ях1сно 1 к1льк!сно„ На рис.7 наведен 1 1нтвгральн! крзв! л!н!йно1 система при 1Г-30м/с, при цьому 1^«1Эн/с. На рис.8 показана шгацила конф!гурац!й. 1з рис.9 1 10 звдно» що в нел!н!йн!й систем! з плином чаоу встановлвзться гар1одичний розв'язок ст1йкий як знизу,так I вверху. В!дпов1дн! ?азов! портрета зобраиен! на рис.II I 12.

У висновку коротко сфорыульован! основн1 науков! результата !неер?ац1йЕо1 робота. Вони полягають у нвступному: . Ввэдена 1 досл!дкано новий гслас систем типу маятник -маятников! бвгатоленков! оиотени з коченням, що модэлшоть веден! ланки зчленовзнзх кол! слих мвшин.У яор!внянн! 3 в!домими вони м!стять ряд особлквссгай„ як! полягавть, нвприклад, в тому, що, якщо класЕф1куватн сили за 1х математичнов структурой, дасинативв!, потенд!альн! та наконсврватквн! нозиЩйн! оили мають однакову ф!вичну пряроду, однаковий порядок 1 во! вони одночасно знишу-ються, хсоли рокаровськ! кооф1ц!ента опору боковому в1давд!энни дор!втсють нулвв!. . Вствновлено суттев! парагатри (V Л^ Л% ) трьоглаякових ма-ятнкковж а коченням, зм!ну яких в парку чергу ешмва£ да топо-

О 15 lo i,i -o,i -0,1 O 0,1

i 0,Q4

0,02-

-ад

-0,02"

tue M

UM

лог!чну структуру фазового простору,- та яобудовано поверхню, яка розд!ляз облает! ст!йкост! 1 нест1йкоот1« ■

3. Анял1тично 1 чисельно побудован! облает! ст!йкост! двохланко-вих 1 маятникових систем з коченням.

4= Досл1да;еЕо повэд!нку деохланкових маятшкових систем на меж! облает! ст1Якост1 у випадку парк суто уявних корен!в характеристичного р1вняння 1з залученням нелШйних член!в у р!вняшдх збурепого руху.

5« Зпайден! умови !снузагам пер!одичних розв'язк!в при критичпга. •квидкостях, як! псказують, чо париодичний розв'язок моке мати р!вняння (16), яке уззгалънюе р!зшшня Дюфф!нга.

6. Доведено 1снування, здинЮть 1 голоморфн!сть за малим параметром пвр1одичного розв'яЕку р!вншп> руху маятникових систем 3 коченням у невеликому окол! початку координат фазового простору,

7о Досл1дкено локальн! б1фуркзц!1 Андронова-Хопфа !з наближено» анал! точной побудовою в1даов!дних гюрЮдичних розв'язк!в-як для втп1дно1 чотириним1рноЗ системав так 1 для приведено! двохва-м1рно£.

8, Шляхом сп1встзвлошш вкЕзаного розв'язку по строг!й нвтодиц!, ¡цо базуеться на !деях Пувккарв-Ляпуновв-НалШна,, !з наблтгеноп процедурою, яка зв'язйна а викориотанняк оператора осереднення, сказало простая алгоритм атрямшшя о споено! оволшДйно! оклвдо-во! розв'язку.

9о Анвл!т:-гевд доведена ояШЗать яа Ляпутавин анаДдвЕйго пзр!одяч-ного розв'язку»

ЮоПокззано, що результата нвбжявно! зная!нгапоХ аобудевп пэр!о-ровз'язя1в яовы!от» узгодаувтьоя я результатами нэзаяаж-кех чкеэльних ексшрнвднтгБ*

Осаовпкй дисвртац1Яао1 робота з!дображвний в наступних

я.ублШпЩях;

1. Лобсс Л.Г., У.ребвг В.Го Бифуркация рождения предельного цикла в маятниковая • двухзвевнше системах с качением //. Моделирование слояшх механических сзистеМо 'Таз. докл. науч.. конф. ( Ташкент, 24-26 сент. 1991 г.) - Ташсапт, 1ЭЭ1.- С.45-46.

2. Хройэ? В.Г. Об устойчивости 'движения маятниковых двухзвенют систем с казенном // Тр. XVI науч. копф. мол. ученых Института мехзпикп ¿К Ухрашга.- Киэв, 21-24 мая 1991. 4.2 / Институт мэх.

АН Украины.- Киев 1392. - 0. 378 - 382,- Чей. в ВИНИТИ 12.11.91, Н 4260-В91.

3. Хребет В.Г.Бифуркация Авдронова-Хопфа в маятниковой даухзвенвой системе о качением // Моделирование и кослэдоеенев устойчивости Процессов. Тез. докл. науч. конф. (Ккэв, 26 - 28 мая 1992 г.).-Киев, 1992.- C.5S.

4. Хребет В.Г. Нелинейный анализ динамического поведения маятниковых двухзБэшшх систем с начешем // 3?р„ Ш11 науч. кон®, мол. ученых Ин-та мех. АН Украины» - Киэв0 19 - 22 мая 1992 . 4=2. / Институт механики АН Украины,- Киев 1992. - 0. 163 - 167.- Дел. В УкрИНТЭИ 07.07.92, N 1022-Ук92.

6. Лобво Л.Г., Хребет В Л1. О маятниковых двухзвенных системах с качением // Прикя. механика.- 1993.- N 2.- 0.82-83»

6» Лобас Л.Г» Дребэт В=Г. Дрпшичеоше поведение 'маятниковой двух-звенной слотами о качение»: на границе области устойчивое*/« // Цршшо механика.,- ХЭЗЗ.,- Т.2Э,'И 4.- 0.78-88„

7. Лобво Л.Г=0 Хрэбаг В„Р.0 Завьялова В.В» БиЭдаацки и устойчивость дшашчзкши OESSSK 0 ttffl«S®pE8SS ЦрйЕСЖеаЗЯ S3 КиХагЛКО

трангакзржи кэлэсанг мшзш // Модэларозашэ н иоагэдованиэ jc-тойчивооте щрэ^®одаз=, дакз» шуч. кгаф. (Кнев0 24 -'28 мая 1993 Го)о- KESBp 1993.« 0.83 -84» '

Подписано к печати оых.!9йЗг, формат 60x84/16 Бумага офсетная Усй,-п0ч.пйст.1,о.Уч»-а8д.йист|(о Тираж toc». Заказ 815, Бесплатно

Полиграф, уч-к Института электродинамики АН Украшш, 252057, Киев-57, проспект Победит, 56.