Динамика нелинейных внутренних гравитационных волн в трехслойной жидкости

Рувинская, Екатерина Александровна

Динамика нелинейных внутренних гравитационных волн в трехслойной жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Рувинская, Екатерина Александровна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нижний Новгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Динамика нелинейных внутренних гравитационных волн в трехслойной жидкости»

Автореферат диссертации на тему "Динамика нелинейных внутренних гравитационных волн в трехслойной жидкости"

На правах рукописи

Рувинская Екатерина Александровна

ДИНАМИКА НЕЛИНЕЙНЫХ ВНУТРЕННИХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН В ТРЕХСЛОЙНОЙ ЖИДКОСТИ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

6 дек гт

Нижний Новгород - 2012

005056716

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева и кафедре математики НИУ ВШЭ - Нижний Новгород.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Куркин Андрей Александрович

Официальные оппоненты: Талипова Татьяна Георгиевна

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник ФГБУН «Институт прикладной физики РАН»

Зайцев Андрей Иванович

кандидат физико-математических наук, заведующий лабораторией вычислительной гидромеханики и океанографии ФГБУН «Специализированное конструкторское бюро средств автоматизации морских исследований ДВО РАН»

Ведущая организация: ФГБУН Институт водных проблем РАН

Защита состоится «21» декабря 2012 г. в 14 часов на заседании специализированного совета Д 212.165.10 при Нижегородском государственном техническом университете им Р.Е. Алексеева по адресу: 603600, г. Нижний Новгород, ул. Минина, 24, корп. 1, ауд. 1313.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева.

Автореферат разослан ноября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н., доцент

Л.Ю. Катаева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации

Последние десятилетия характеризуются интенсивным освоением морских берегов, океанического шельфа и прибрежных регионов. Внутренние гравитационные волны оказывают важное влияние на гидрологический режим шельфовой зоны. Интенсивные внутренние волны представляют особый интерес, так как могут затруднять осуществление хозяйственной деятельности человека на шельфе, влияя на сверхдальнее распространение акустических сигналов, движение подводных аппаратов, размывы фунтов под нефтяными и газовыми платформами, продуктивность планктона, процессы вертикального перемешивания, перенос примесей и загрязнений. Очевидно, что создание прогностических моделей, позволяющих предсказывать возможность существования и свойства интенсивных внутренних волн в зависимости от условий среды, является актуальной и практически значимой задачей.

В мелких морях вертикальная стратификация плотности нередко имеет трехслойную структуру с хорошо различимым сезонным пикноклином на глубине ~ 100 м и основным пикноклином на большей глубине [4]. Так, например, Балтийское море имеет более или менее постоянную трехслойную структуру, вызванную стоком пресных вод у поверхности и проникновением наиболее соленой воды в придонные слои через Датские проливы [7]. Различимая трехслойная стратификация плотности встречается и в ЮжноКитайском море [12]. Некоторые аспекты волновой динамики в трехслойной жидкости были исследованы ранее в рамках слабонелинейных [3, 11] и полнонелинейных моделей [6, 9, 10], главным образом численно. Многие важные вопросы, однако, остались не исследованными. В трехслойной жидкости существуют две волновые моды, и так называемые медленные волны почти не изучены в литературе. В трехслойной среде могут распространяться специфические классы нелинейных уединенных волн — бризеры, которые пока еще слабо исследованы как аналитически, так и численно. Кроме того, при некоторых соотношениях параметров среды уравнение Кортевега — де Вриза вырождается, и необходим учет нелинейности высших порядков. Все это указывает на актуальность проблемы изучения внутренних волн в трехслойной жидкости.

Цели диссертационной работы

Основной целью диссертационной работы является изучение динамики нелинейных гравитационных волн в трехслойной жидкости. В частности, предполагается:

1. Вывести расширенное уравнение Кортевега — де Вриза (уравнение Гарднера) для внутренних волн в трехслойной жидкости при произвольном соотношении толщин слоев и перепадов плотностей для волн первой (быстрой) и второй (медленной) моды в трехслойной жидкости.

квадратичной и кубической нелинейности в обобщенном уравнении Кортевега — де Вриза.

3. Исследовать влияние эффектов полной нелинейности на процессы генерации и свойства уединенных внутренних волн в трехслойной жидкости, в том числе на вертикальную структуру волновых полей.

Научная новизна результатов работы

Научная новизна диссертационной работы определяется полученными оригинальными результатами:

1. Получено расширенное уравнение Кортевега — де Вриза (уравнение Гарднера) для внутренних волн в трехслойной жидкости при произвольном соотношении толщин слоев и перепадов плотностей. Продемонстрировано, что для медленной (второй моды) невозможно, чтобы оба нелинейных коэффициента (квадратичной и кубической нелинейности) одновременно обращались в нуль, в то время как для быстрой (первой) такое возможно, что было известно ранее. Тем не менее, для медленной моды возможно обращение квадратичной нелинейности в нуль, в то время как коэффициент кубической нелинейности всегда отрицателен. Показано, что в частном случае симметричной трехслойной стратификации коэффициенты нелинейного эволюционного уравнения для медленной моды совпадают с аналогичными коэффициентами двухслойной жидкости, если одну из границ переместить в середину потока.

2. Выведено так называемое «2+4» уравнение Кортевега — де Вриза (с точностью до нелинейности пятого порядка), справедливое для быстрых волн в трехслойной (симметричной) жидкости при одновременном вырождении коэффициентов квадратичной и кубической нелинейностей. Это уравнение не является полностью интегрируемым, но допускает существование солитона, форма которого стремится к платообразной при приближении амплитуды к критической. Численно изучены процессы двух-солитонного взаимодействия, приводящие к образованию дисперсионных пакетов.

3. Исследованы эффекты полной нелинейности для интенсивных локализованных внутренних гравитационных волн, которые в слабонелинейном пределе описываются фундаментальными неизлучающими решениями (солитонами и бризерами) соответствующих упрощенных моделей -эволюционных уравнений типа Кортевега — де Вриза. Численным интегрированием исходных уравнений гидродинамики продемонстрировано существование широких солитоноподобных волн в среде с нулевой квадратичной нелинейностью, исследованы свойства уединенных волн в такой среде, определена предельная амплитуда. Сравнение результатов моделирования с решениями уравнения модифицированного Кортевега — де Вриза показывает, что область применимости последнего для количественных оценок характеристик уединенных волн относительно узка. Прогнозирование количества солитонов, возникающих из начального возмущения с помощью слабонелинейной модели приводит к переоценке числа уединенных волн по сравнению с полно нелинейной моделью.

4. Выполнено исследование вертикальной структуры солитонов, полученных путем численного интегрирования начальной задачи для полной системы уравнений гидродинамики в сопоставлении с солитонами расширенного модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза для трехслойной среды. Выявлены количественные различия структуры профиля горизонтальной и вертикальной скорости течений в солитоне в рамках слабо и сильно нелинейных моделей.

5. Доказано, что бризер может трансформироваться в солитон в трехслойной жидкости переменной глубины в рамках полно нелинейной модели внутренних волн (ранее этот процесс был известен только для слабонелинейных волн).

6. Показано, что вклад внутренних волн в формирование придонных потоков сравним с вкладом приливных волн даже для областей, находящихся на достаточно большой глубине по сравнению с пикноклином, что доказывают результаты численных экспериментов для Охотского моря, а, значит, бароклинная составляющая придонных скоростей должна учитываться при решении инженерных задач, связанных с обеспечением безопасности экосистем океанов и морей. Важно отметить, что коротковолновые цуги, наблюдаемые во всех расчетах, вносят основной вклад в придонные и приповерхностные скорости, что влияет на процессы переноса примесей и взвесей.

Положения, выносимые на защиту

1. Уравнение Гарднера для внутренних волн в трехслойной жидкости при произвольном соотношении толщин слоев и перепадов плотностей. Для быстрой моды коэффициенты квадратичной и кубической нелинейности могут менять знак. Для медленной моды коэффициент квадратичной нелинейности может менять знак, а коэффициент кубической нелинейности всегда отрицателен.

2. «2+4» уравнение Кортевега - де Вриза (с точностью до нелинейности пятого порядка), справедливое для быстрых волн в трехслойной (симметричной) жидкости при одновременном вырождении коэффициентов квадратичной и кубической нелинейностей. Оно допускает существование солитона, форма которого стремится к платообразной при приближении амплитуды к критической.

3. Результаты сопоставления выводов полнонелинейной и слабонелинейной теории внутренних волн. В частности, в рамках исходных уравнений гидродинамики продемонстрировано существование широких солитоноподобных волн в среде с нулевой квадратичной нелинейностью, в то время как в классической слабонелинейной теории солитоны остаются узкими.

4. Процесс трансформации солитона в бризер в трехслойной жидкости переменной глубины в рамках полно нелинейной модели внутренних волн.

5. Важность учета сильнонелинейных эффектов в описании вертикальной структуры солитонов и их вклада в придонные и приповерхностные скорости, что влияет на процессы переноса примесей и взвесей.

Практическая значимость результатов работы

Предложенные в работе модели нелинейных волн в трехслойной жидкости могут применяться для изучения природных и технологических

процессов и интерпретации результатов натурных и лабораторных экспериментов. Они позволят прогнозировать условия существования солитонов и бризеров в природных водоемах, стратификация которых близка к трехслойной. Важным практическим приложением теории является оценка придонных и приповерхностных скоростей во внутренних волнах, необходимых для расчета транспорта донных наносов и поверхностных загрязнений.

Апробация работы

Основные результаты диссертации представлялись на конференциях: IX международной конференции MEDCOAST (Сочи, 2009); XV Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (Кемерово -Томск, 2009); IV и V Сахалинских молодежных научных школах «Природные катастрофы: изучение, мониторинг, прогноз» (Южно-Сахалинск, 2009, 2010); XIV, XV Нижегородских сессиях молодых ученых «Технические науки» (Нижний Новгород, 2009, 2010); Генеральной Ассамблее Европейского геофизического союза (Вена, Австрия, 2009 - 2012); XII Всероссийской школе-семинаре «Волновые явления в неоднородных средах» (Москва, 2010); Международной конференции «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике», посвященной 110-летию академика М.А. Лаврентьева (Новосибирск, 2010); X международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» (Санкт-Петербург, 2010); XV - XVIII Международных научно-технических конференциях «Информационные системы и технологии» (Нижний Новгород, 2009 - 2012); IX - XI Международной молодежной научно-технической «Будущее технической науки» (Нижний Новгород, 2010 - 2012); Конференции, посвященной 65-летию Института морской геологии и геофизики ДВО РАН «Геодинамические процессы и природные катастрофы в Дальневосточном регионе» (Южно-Сахалинск, 2011).

Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева и НИУ ВШЭ - Нижний Новгород.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Общий объем диссертации — 164 страницы, включая 76 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы ее цели, научная новизна и основные положения, выносимые на защиту, практическая значимость результатов работы, апробация, список публикаций по теме диссертации.

Глава 1 является преимущественно вводной, в ней обсуждаются основные подходы к изучению длинных внутренних гравитационных волн в слоистой жидкости. Основной акцент делается на описание моделей, применимых для исследования внутренних волн в трехслойной среде. § 1.2 посвящен рассмотрению линейной теории длинных внутренних волн в N-

слойной жидкости, необходимой для последующего изучения нелинейных эффектов. Для двухслойной (§ 1.2.1) и трехслойной (§ 1.2.2) среды получены и проанализированы дисперсионные соотношения, построена вертикальная структура функции тока. Разложение дисперсионного соотношения для линейных длинных внутренних волн в ряды Тейлора по малому волновому числу к позволяет определить коэффициенты дисперсионных членов произвольного порядка, что может быть использовано для верификации слабонелинейных моделей высокого порядка теории возмущений. В § 1.3.1 дан обзор известных слабонелинейных моделей и их уединенных стационарных решений, используемых для изучения динамики солитонов внутренних волн. В § 13.2 приведено подробное описание асимптотической процедуры вывода обобщенного уравнения Кортевега - де Вриза для волн на границах раздела в трехслойной жидкости, усовершенствованной и автоматизированной при участии автора. Рассмотрим модельную ситуацию потенциального движения в трехслойной невязкой жидкости несжимаемой жидкости с невозмущенным положением верхнего и нижнего интерфейса на уровне г = Н]2 (Я2 > Я,), ограниченную ровным дном (г = 0), для которого выполняется условие непротекания, и поверхностью на уровне г = Я3 (Я3 > Я2), для которой выполняется приближение «твердой крышки». Величины плотности в нижнем, среднем и верхнем слоях определяются как р1 = р + Дрь р2 = р, р3 = р - Др2 соответственно. Также используется приближение Буссинеска (Др1,2/р «1). Для того чтобы с помощью асимптотических методов получить эволюционные уравнения, описывающие динамику внутренних волн относительно малой амплитуды в рассматриваемой среде, необходимо определить соотношение характерных масштабов среды и волновых процессов. Пусть глубина жидкости Я, характерный горизонтальный масштаб волновых движений Ь и характерная амплитуда а. Следуя допущению о распространении длинных волн Ь» Я, введем малый параметр дисперсии /V = Я2//.2. Долгоживущие волны обычно имеют малую по сравнению с глубиной жидкости амплитуду, иными словами можно ввести малый параметр нелинейности е = а/Н «1. Так как уединенные волны могут существовать только при достижении баланса между нелинейными и дисперсионными членами, предположим, что £ ~ ц. Тогда уравнения Лапласа для каждого слоя и системы динамических и кинематических граничных условий на интерфейсах в размерном виде, но с учетом малости параметров запишутся следующим образом:

ф12г+£ф1«=°. 0<г<Я„ Фи(2 = 0) = 0, (1)

ф2в+*&2„=0, Нх<г<Н2, (2)

фзя+£фзхж=°. #2 <*<Я3, Ф3г(2 = Я3) = 0. (3)

(4)

4 +\ М =а(Ч 4Ф2х? +1К-Г +54

■г = Я,+ ТТ(А-,0 ,

°° п> д* I

Здесь Ф„ 1=1—3 — потенциалы скорости частиц жидкости в каждом из слоев, g - ускорение силы тяжести.

В предположении малости амплитуд распространяющихся возмущений граничные условия на интерфейсах могут быть сведены к более простому виду путем разложения всех неизвестных функций, в них входящих, в ряды Тейлора по малым отклонениям от невозмущенного уровня:

, Л*,2=я2+а*,0,')=27тт7 (6)

.-=//, х>у' г=//2 Разложим также в ряды по малому параметру е = а/Н<< 1 потенциалы в каждом слое и отклонения интерфейсов:

ц = е(т]0 + £77, + £2т]2 +...), (7)

£ = *(£„+<1+^2 +4 (8)

Ф, = -¡ё{фчп + ефгщ + е2Фц,) + ■■■) , »" = 1,2,3, (9)

Подстановка выражений (7)-(9) в исходную систему уравнений, позволяет перейти к асимптотическому рекурсивному алгоритму, который подробно описан в работе [Р6]. На каждом шаге алгоритма может быть получено эволюционное уравнение относительно соответствующей поправки ряда (7) или ряда (8), комбинируя которое с уравнениями для поправок предыдущих порядков соответствующего ряда, можно получить эволюционную модель для искомой функции г| или ¡¡. Также на каждом шаге асимптотического алгоритма определяются соотношения между поправками одного порядка рядов (7) и (8), подстановка которых в выражение (7) или (8) позволяет найти уравнения связи между смещениями интерфейсов. Так, например, эволюционные уравнения второго порядка теории возмущений для внутренних волн первой или второй моды, распространяющихся по нижнему интерфейсу имеют вид (в исходных координатах (х, /)):

77* +с±т]±х +а±т]±т]±х +Р±т]±ххх+а{т]±2т]±х + Д1^* + Г\^1±т}±ххх+у^хГГхх =0 (Ю) где индекс «+» соответствует волновой функции первой моды, а индекс «-» используется для обозначения второй моды. Тогда уравнение связи смещений верхнего и нижнего интерфейсов примут вид:

4'± = 5±'7 + 5±яиаЫТ]2 + Лир^хг С1 О

Мы не выписываем здесь коэффициенты в уравнениях (10) и (11), которые представляются весьма громоздкими выражениями.

В работе получены системы уравнений, описывающих смещения верхнего и нижнего интерфейсов до пятого порядка теории возмущений (в симметричной трехслойной среде).

В § 1.4 представлено описание программного комплекса IGW, который решает систему уравнений, описывающих движение невязкой несжимаемой стратифицированной жидкости в вертикальной плоскости в приближении Буссинеска. IGW, разработанный первоначально профессором университета Ватерлоо К. Лэмбом [5], усовершенствован в научно-исследовательской группе с участием диссертанта под руководством профессора A.A. Куркина для решения широкого круга задач, к числу которых относится настоящее исследование.

Глава 2 посвящена разработке слабонелинейных эволюционных моделей для описания динамики внутренних волн в трехслойной жидкости. В такой среде существуют две волновые моды. В § 2.2 получено расширенное уравнение Кортевега — де Вриза (называемое уравнением Гарднера) для внутренних волн быстрой (первой) моды в трехслойной жидкости при произвольном соотношении толщин слоев и перепадов плотностей. Первый порядок теории возмущений оказался недостаточным, так как коэффициент квадратичной нелинейности может вырождаться. Чтобы получить уравнение Гарднера с помощью асимптотических разложений, необходимо заменить стандартное масштабирование е = ¡i на ¿ = fi для учета дисперсионных и нелинейных эффектов в одном порядке, при этом должна возрастать роль следующих по нелинейности членов в асимптотическом разложении волнового поля. Коэффициенты эволюционных моделей представляют собой сложные функции, зависящие от параметров среды. При этом параметры дисперсии для внутренних волн всегда положительны, а коэффициенты нелинейностей могут быть положительными, отрицательными или обращаться в нуль. Поэтому для предсказания возможности существования уединенных волн, а также определения их типов, необходим подробный анализ значений коэффициентов квадратичной и кубической нелинейности в зависимости от сочетания условий в жидкости. В качестве примера на рис. 1 представлена схема солитонных режимов для волн быстрой моды в трехслойной среде при Api = Др2.

Верхняя половина плоскости параметров (выше диагонали Н\ = Н2) используется для отображения значений коэффициентов эволюционного уравнения для верхнего интерфейса, а нижняя половина - для отображения значений коэффициентов эволюционного уравнения для нижнего интерфейса. В выделенных точках на рис. 1 параметры квадратичной и кубической нелинейности одновременно обращаются в нуль, поэтому при таких стратификациях плотности необходимо уточнение теории.

В § 2.3 исследованы особенности динамики внутренних уединенных волн быстрой моды в трехслойной жидкости с симметричной стратификацией плотности (Я, =#з - Н2 —h, Ар, = Др2). Симметрия приводит к вырождению коэффициента квадратичной нелинейности, так что стартовой моделью является классическое модифицированное уравнение Кортевега — де Вриза (мКдВ). Однако коэффициент кубической нелинейности и нелинейности четвертой степени могут одновременно обращаться в нуль при некотором соотношении толщин слоев (hcr = 9Н /26). В малой окрестности такой

критической точки необходима модификация асимптотической процедуры и нами выведено для этого случая следующее уравнение

С, + с£х + +е(а2С3Сх <12>

+ * 2(а3^* +Гз,(СхУ+Гз2^Схх +Г33£2Сха+/}1С5х) + о(е3)=0,

коэффициенты которого определены в [Р6]. Уравнение для г](х, /) отличается от (12) только противоположным знаком коэффициентов, помеченных индексом "*". Раскладывая выражения для коэффициентов уравнения (12) в ряд Тейлора в окрестности точки Исг (А = (А —Нсг)/Н) (для учета дисперсионных и нелинейных эффектов в одном порядке, соотношение между малыми параметрами Д и е должно быть следующим: А = е2) и вновь изменяя масштабирование параметров для баланса нелинейности и дисперсии, получаем расширенное модифицированное уравнение Кортевега - де Вриза с комбинированной нелинейностью («2+4» КдВ):

+сСх+а]С2Сх +а3С4Сх +/?Ссх;с =0, (13>

Рис. 1 Схема солитонных режимов для волн быстрой моды в трехслойной жидкости (Api = Ар2). Черные контуры соответствуют вырождению квадратичной нелинейности, серые - кубической. Выделенные точки имеют координаты: черные ромбы (Н//Нз, Н2/НзМ9/26; 17/26), серые круги (Н,/Н3. Нт/Щ*(0. 1703; 0.5717) и (H,/H¡, Н2/Н3)^0 4283;

0.8297).

В рамках уравнения «2+4» КдВ легко доказывается возможность существования уединенных волн при положительных значениях кубической нелинейности (коэффициент нелинейности пятой степени отрицателен всегда). При небольших амплитудах реализуются солитоны уравнения мКдВ, которые при приближении к предельной амплитуде неограниченно уширяются. В рамках уравнения «2+4» КдВ численно основе неявной псевдоспектральной

я/я3

схемы с контролем массы и энергии [1, 2] исследованы двухсолитонные взаимодействия различных типов - обмен, обгон и взаимодействия с участием солитонов предельных амплитуд. В качестве примера на рис. 2 представлено взаимодействие разнополярных импульсов в безразмерных координатах

з 3/4 Я 3/4

в- <*1 »1

«3 «3 «3

Рис. 2 Взаимодействие разнополярных солитонов в рамках уравнения (10) с амплитудами 1.118 и -0.5 в безразмерных координатах

§ 2.4 посвящен исследованию динамики внутренних волн второй моды, которые имеют меньшее значение фазовой скорости, чем у первой моды. Механизмом генерации солитонов медленной моды может быть интрузия жидкости в стратифицированный бассейн [8], взрывы внутри слоистой акватории и др. Для описания динамики таких волн в трехслойной жидкости при произвольном соотношении толщин слоев и перепадов плотностей получено уравнение Гарднера, коэффициенты которого определены через параметры среды и проанализированы. Уточнение слабонелинейной теории (классического уравнения КдВ) оказалось необходимым, так как коэффициент квадратичной нелинейности может вырождаться, при этом коэффициент кубической нелинейности всегда отрицателен. Построены схемы солитонных режимов для волн медленной моды в трехслойной жидкости (в качестве примера на рис. 3 представлена такая схема при Ар, = Др2).

В § 2.5 показано, что коэффициенты эволюционных уравнений для внутренних волн второй моды в частном случае симметричной трехслойной жидкости совпадают с параметрами аналогичных слабонелинейных моделей для волн в двухслойной жидкости, если перенести одну из границ в середину потока.

Рис. 3 Схема солитонных режимов для волн медленной моды в трехслойной жидкости (Ap¡ = Лр2).

Глава 3 посвящена исследованию эффектов сильной нелинейности, а также содержит несколько примеров моделирования внутренних гравитационных волн в реалистичных условиях. Основная цель этого раздела -продемонстрировать в каких случаях использование слабонелинейной теории (в том числе теоретических модели, полученные в главе 2) для предсказания свойств уединенных внутренних волн в трехслойной жидкости оправдано, а в каких необходим учет полной нелинейности. § 3.2 посвящен сравнению свойств уединенных внутренних волн в симметричной трехслойной жидкости в рамках уравнения мКдВ, «2+4» КдВ и полнонелинейной модели. В § 3.2.1 показано, что слабонелинейная теория (уравнение мКдВ) переоценивает количество солитонов в составе решения начальной задачи и недооценивает время формирования уединенной внутренней волны. При этом предсказания слабонелинейной теории относительно возможности существования солитоноподобных волн оказываются достаточно точными. В § 3.2.2 исследуются свойства уединенных внутренних волн при фиксированном соотношении толщин слоев в симметричной трехслойной жидкости в рамках уравнений мКдВ, «2+4» КдВ и полнонелиненой модели. Показано, что уравнение «2+4» КдВ позволяет делать более точные, чем мКдВ, прогнозы относительно параметров волн умеренных амплитуд и предсказывает возможность существования платообразных уединенных волн в симметричной трехслойной жидкости.

§ 3.3 посвящен

исследованию вертикальной

структуры волнового поля при прохождении уединенной

внутренней волны в

симметричной трехслойной

жидкости в рамках

полнонелинейной численной модели и уравнения мКдВ. Доказано, что существенная нелинейность приводит не только к количественным, но и качественным изменениям

пространственной структуры уединенной волны в сравнении со слабонелинейным солитоном. В частности, выявлены качественные (расположение максимума вертикальной скорости и линии нулевой горизонтальной скорости) и количественные различия структуры профиля горизонтальной и вертикальной скоростей для уединенных внутренних волн и солитонов мКдВ умеренных амплитуд. Сделан вывод о том, что в трехслойной симметричной среде для волн быстрой моды положительной полярности слабонелинейная теория недооценивает придонные и переоценивает приповерхностные скорости, а для волн отрицательной полярности наоборот недооценивает приповерхностные и переоценивает придонные (рис. 4).

Рис. 4 Нормированные значения придонных (серый) и приповерхностных (черный) скоростей для солитонов мКдВ (сплошная линия) и полнонелинейных уединенных волн (точки)

§ 3.4 содержит результаты моделирования динамики внутренних волн в шельфовой зоне о. Сахалин. Показана важнейшая роль бароклинной компоненты волнового поля в формирование придонных скоростей (рис. 5).

и, м/с ^Ыг' '''/с

X, км х, км

Рис.5 х-I диаграмма полной скорости в проекции на касательную к линии дна, скорости баротропного прилива, вертикальной и горизонтальной бароклинных составляющих для

шельфовой зоны о. Сахалин

X, км и , м/с

В § 3.5 в рамках полнонелинейной модели продемонстрирован процесс трансформации бризера в солитон над наклонным дном при прохождении точки смены знака коэффициента кубической нелинейности. При этом для подбора трассы использовались полученные во второй главе диаграммы значений коэффициентов нелинейности.

В заключении перечислены основные результаты диссертационной работы.

В Приложении приведены вычисленные коэффициенты уравнения Гарднера для смещений верхнего и нижнего интерфесов при распространении волн первой и второй моды в зависимости от параметров среды.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Получено расширенное уравнение Кортевега - де Вриза (уравнение Гарднера) для внутренних волн в трехслойной жидкости при произвольном соотношении толщин слоев и перепадов плотностей. Продемонстрировано, что для медленной (второй моды) невозможно, чтобы оба нелинейных коэффициента (квадратичной и кубической нелинейности) одновременно обращались в нуль, в то время как для быстрой (первой) такое возможно, что было известно ранее. Тем не менее, для медленной моды возможно обращение квадратичной нелинейности в нуль, в то время как коэффициент кубической нелинейности всегда отрицателен. Показано, что в частном случае симметричной трехслойной стратификации коэффициенты нелинейного эволюционного уравнения для медленной моды совпадают с аналогичными

коэффициентами двухслойной жидкости, если одну из границ переместить в середину потока.

2. Выведено так называемое «2+4» уравнение Кортевега - де Вриза (с точностью до нелинейности пятого порядка), справедливое для быстрых волн в трехслойной (симметричной) жидкости при одновременном вырождении коэффициентов квадратичной и кубической нелинейностей. Это уравнение не является полностью интегрируемым, но допускает существование солитона, форма которого стремится к платообразной при приближении амплитуды к критической. Численно изучены процессы двух-солитонного взаимодействия, приводящие к образованию дисперсионных пакетов.

3. Исследованы эффекты полной нелинейности для интенсивных локализованных внутренних гравитационных волн, которые в слабонелинейном пределе описываются фундаментальными неизлучаю щими решениями (солитонами и бризерами) соответствующих упрощенных моделей -эволюционных уравнений типа Кортевега - де Вриза. Численным интегрированием исходных уравнений гидродинамики продемонстрировано существование широких солитоноподобных волн в среде с нулевой квадратичной нелинейностью, исследованы свойства уединенных волн в такой среде, определена предельная амплитуда. Сравнение результатов моделирования с решениями уравнения модифицированного Кортевега — де Вриза показывает, что область применимости последнего для количественных оценок характеристик уединенных волн относительно узка. Прогнозирование количества солитонов, возникающих из начального возмущения с помощью слабонелинейной модели приводит к переоценке числа уединенных волн по сравнению с полно нелинейной моделью.

5. Доказано, что солитон может трансформироваться в бризер в трехслойной жидкости переменной глубины в рамках полно нелинейной модели внутренних волн (ранее этот процесс был известен только для слабонелинейных волн).

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Куркин, А.А. Численные эксперименты по распространению волн Россби в океане/ А.А. Куркин, О.Е. Полухина // Известия Академии инженерных наук РФ. Прикладная математика и механика, 2003. - 4. - с. 99 — 116.

2. Fornberg, В. A Practical Guide to Pseudospectral Methods/ Cambridge University Press, 1998.-231 pp.

3. Grimshaw, R. The modified Korteweg - de Vries equation in the theory of large -amplitude internal waves/ Grimshaw, R., Pelinovsky, E., and Talipova, T. // Nonlin. Processes Geophys, 1997. - 4. - p. 237-250, doi:10.5194/npg-4-237-1997

4. Knauss J. A. Introduction to Physical Oceanography/ Prentice Hall, 1996. — 309 p.

5. Lamb, K. Numerical experiments of internal wave generation by strong tidal flow across a finite amplitude bank edge // J. Geoph. Res., 1994. - 99C1 - p. 843-864.

6. Lamb, K.G. Conjugate flows for a three-layer fluid // Phys. Fluids, 2000. - v.12. No.9-p. 2169-2185.

7. Lepparanta, M. Physical Oceanography of the Baltic Sea/ Lepparanta, M., Myrberg, K. // Springer Praxis, Berlin Heidelberg New York, 2009. - 378 p.

8. Mehta, A.P. Interfacial gravity currents. Wave excitation/ Mehta, A.P., Sutherland, B.R., and Kyba, P.J. // Phys. Fluids, 2002. -14. - p. 3558-3569.

9. Rubino, A., Brandt, P., and Weigle, R. On the dynamics of internal waves in a nonlinear, weakly nonhydrostatic three-layer ocean/ Rubino, A., Brandt, P. and Weigle, R. // J.Geophys. Res., 2001. - 106. - p.26899 - 26915.

10.Rusas, P.-O. Solitary waves and conjugate flows in three-layer fluid/ Rusas, P.-O. and Grue, J. // Eur. J. Mech. B-Fluids, 2002. - 21. - p. 185-206.

П.Талипова, Т.Г. Эффекты кубической нелинейности при распространении интенсивных внутренних волн/ Талипова, Т.Г., Пелиновский, Е.Н., Ламб, К., Гримшоу, Р., Холловэй,П.//ДАН, 1999.-364(6).-р.824-827.

12. Yang, Y. J. Convex and concave types of second baroclinic mode internal solitary waves/ Yang, Y. J., Fang, Y. C., Tang, T. Y., and Ramp, S. R. // Nonlin. Process. Geophys., 2010. - 17. - 605.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК:

Р 1. Куркина О.Е., Куркин А.А., Рувинская Е.А., Пелиновский Е.Н., Соомере Т. Динамика солитонов неинтегрируемой версии модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза // Письма в ЖЭТФ. 2012. Т. 95. № 2. С. 98 -103.

Р 2. Рувинская Е.А., Куркина О.Е., Куркин А.А. Моделирование «внутренней погоды» в экосистеме стратифицированного морского шельфа // Экологические системы и приборы. 2011. № 6. С. 8 - 16.

Р 3. Рувинская Е.А., Куркина О.Е., Куркин А.А. Исследование структуры уединенных внутренних волн большой амплитуды в трехслойной жидкости // Вестник МГОУ, серия «Физика - математика». 2011. № 2. С. 61 - 74.

Р 4. Kurkina O.E., Kurkin A.A., Soomere Т., Pelinovsky E.N., Rouvinskaya E.A. Higher-order (2+4) Korteweg-de Vries — like equation for interfacial waves in a symmetric three-layer fluid // Physics of Fluids. 2011. V. 23. Issue 11. С. 1166021-13.

Статьи в рецензируемых журналах:

Р6. Рувинская Е.А., Куркина O.E., Куркин A.A. Уточненное нелинейное эволюционное уравнение для внутренних гравитационных волн в трехслойной симметричной жидкости // Труды Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева. 2010. № 4(83). С. 30-39.

Статьи в трудах международных и всероссийских конференций:

Р7. Владыкина (Рувинская) Е.А., Куркин A.A., Полухина (Куркина) O.E., Норкин В.М. Особенности динамики уединенных волн в океане с двумя пикноклинами. // Природные катастрофы: изучение, мониторинг, прогноз: IV Сахалинская молодежная научная школа, Южно-Сахалинск, 2-5 июня 2009 г.: сборник материалов/ отв. Ред. О.Н. Лихачева. — Южно-Сахалинск: ИМГиГ ДВО РАН. 2010. С. 225 - 232.

Р8. Владыкина (Рувинская) Е.А., Куркин A.A., Полухина (Куркина) O.E., Норкин В.М. Анализ скоростей придонных течений в поле длинных нелинейных внутренних волн. // Природные катастрофы: изучение, мониторинг, прогноз: IV Сахалинская молодежная научная школа, Южно-Сахалинск, 2-5 июня 2009 г.: сборник материалов/ отв. Ред. О.Н. Лихачева. — Южно-Сахалинск: ИМГиГ ДВО РАН. 2010. С. 233 - 239.

Р 9. Viadykina (Rouvinskaya) Е.А., Poloukhina (Kurkina) O.E., Kurkin A.A., Norkin V.M. Internal Gravity Waves in the Ocean with Two Pycnoclines: Models and Dynamics. // Proceedings of the Ninth international conference on the Mediterranean coastal environment, MEDCOAST 09.2009. V. 2. P. 949 - 960.

Тезисы докладов на международных и всероссийских конференциях:

PIO. Kurkina O.E., Rouvinskaya E.A., Kurkin A.A. Higher-order weakly nonlinear theory for internal waves in three-layer fluid // Geophysical Research Abstracts 2012. V. 14. EGU2012-8429-2

Pll. Рувинская E.A., Куркина O.E., Куркин A.A. Уточненное нелинейное эволюционное уравнение для волн второй моды в жидкости с симметричной трехслойной стратификацией // Информационные системы и технологии ИСТ-2012 (20 апреля 2012 г, Нижний Новгород). Материалы XVIII международной научно-технической конференции. Нижний Новгород, 2012. С. 369.

Р 12. Рувинская Е.А., Куркина O.E., Куркин A.A. Исследование волновой динамики в трехслойной жидкости со слоями произвольной толщины // Будущее технической науки БТН-2012. Материалы XI международной молодежной научно-технической конференции «Будущее технической науки», 2012. С. 426.

Р 13. Rouvinskaya Е.А., Kurkina O.E., Kurkin A.A.., Kuzin A.M., Barenboim M.N. Nonlinear dynamics of intensive internal waves in bounded stratified basins. //Geophysical Research Abstracts 2011. V. 13. EGU2011-433.

P 14. Рувинская E.A., Куркина O.E., Куркин A.A. Уточненные нелинейные эволюционные модели высокого порядка для внутренних гравитационных волн в трехслойной жидкости // Геодинамические процессы и природные катастрофы в Дальневосточном регионе: научная конференция, посвященная 65-летию Института морской геологии и геофизики ДВО РАН: тезисы докладов, Южно-Сахалинск, 26-30 сентября 2011г./отв. ред. Б.ВЛевин.-Южно-Сахалинск: Ин-т мор. геологии и геофизики ДВО РАН, 2011. С. 122 -123.

Р 15. Viadykina (Rouvinskaya) Е.А., Poloukhina (Kurkina) O.E., Kurkin A.A. Extended modified Korteweg — de Vries equation for internal gravity waves in a symmetric three-layer fluid. // Geophysical Research Abstracts. 2010. V. 12. EGU2010-2998,

P 16. Владыкина (Рувинская) E.A., Куркина O.E., Куркин A.A. Уточненная теория нелинейных внутренних волн в трехслойной жидкости. // Природные катастрофы: изучение, мониторинг, прогноз: тезисы докладов Пятой Сахалинской молодежной научной школы, Южно-Сахалинск, 8-11 июня 2010 г. / отв. ред. О.Н. Лихачева. - Южно-Сахалинск: ИМГиГ ДВО РАН, 2010. С. 44-45.

Р 17. Куркина O.E., Куркин A.A., Владыкина (Рувинская) Е.А. Уединенные внутренние гравитационные волны большой амплитуды в трехслойной жидкости: сравнение моделей. // Международная конференция «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике», посвященная 110-летию академика М.А. Лаврентьева. 23 - 27 августа 2010 г. Тезисы докладов. Новосибирск 2010. С. 119 - 120.

Р 18. Владыкина (Рувинская) Е.А., Куркина O.E., Куркин A.A. Уединенные волны в симметричной трехслойной жидкости: уточненное модифицированное уравнение Кортевега — де Вриза и полнонелинейная модель. // Сборник трудов XII Всероссийской школы-семинара «Волновые явления в неоднородных средах» «Волны 2010» 24 - 29 мая 2010 г. Звенигород, Московская обл. — М.: Изд-во физ. ф-та МГУ, 2010. С. 15—16.

Р 19. Владыкина (Рувинская) Е.А., Полухина (Куркина) O.E., Куркин A.A. Динамика уединенных волн в симметричной трехслойной жидкости. // Материалы конференции «ВНКСФ-15 Пятнадцатая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых», издательство Ассоциации студентов-физиков России, Кемерово - Томск. 2009. С. 533 — 534.

Р 20. Владыкина (Рувинская) Е.А., Полухина (Куркина) O.E., Куркин A.A. Использование модернизированного программного комплекса для обеспечения исследований уединенных внутренних волн в трехслойной среде. // Материалы XV Международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии ИСТ-2009», Hl ТУ, Нижний Новгород. 2009. С. 197-198.

Р 21. Владыкина (Рувинская) Е.А., Полухина (Куркина) O.E., Куркин A.A., Гиниятуллин А.Р., Норкин В.М., Безрук И.В. Анализ скоростей придонных течений в поле длинных нелинейных внутренних и краевых волн. // Природные катастрофы: изучение, мониторинг, прогноз: IV Сахалин, молод, науч. Школа, Южно-Сахалинск, 2-5 июня 2009 г.: тез. докл.; Рос. акад. наук, Дальневост. отд-ние, Ин-т морской геологии и геофизики.-Южно-Сахалинск:ИМГиГ ДВО РАН, 2009.С. 80-82.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение

Глава 1 Математические модели внутренних гравитационных волн в слоистой жидкости § 1.1. Введение

§ 1-2. Линейная теория внутренних гравитационных волн в слоистой жидкости § 1.2.1. Линейная теория: двухслойная жидкость § 1.2.2. Линейная теория: трехслойная жидкость § 1.3. Слабонелинейная теория внутренних гравитационных волн в слоистой жидкости

§ 1.3.1. Обзор слабонелинейных моделей, используемых для описания динамики внутренних гравитационных волн в слоистой жидкости § 1.3.2. Асимптотическая процедура получения обобщенного уравнения Кортевега-де Вриза для жидкости с трехслойной стратификацией плотности

§ 1.4. Полнонелинейная модель внутренних гравитационных волн в стратифицированной жидкости § 1.5. Заключение

Глава 2 Особенности динамики слабонелинейных внутренних волн в трехслойной жидкости § 2.1. Введение

§ 2.2. Внутренние гравитационные волны быстрой моды в трехслойной жидкости

§ 2.3. Внутренние гравитационные волны быстрой моды в симметричной трехслойной жидкости

§ 2.3.1. Уточненное модифицированное уравнение Кортевега-де Вриза: масштабирование и асимптотическое преобразование § 2.3.2. Уединенные внутренние волны быстрой моды в симметричной трехслойной жидкости § 2.4. Внутренние гравитационные волны медленной моды в трехслойной жидкости

§ 2.5. Внутренние гравитационные волны медленной моды в симметричной трехслойной жидкости

§ 2.5.1. Уточнение нелинейных эволюционных уравнений в зависимости от сочетания условий в среде

§ 2.5.2. Уединенные внутренние волны медленной моды в симметричной трехслойной жидкости

§ 2.6. Заключение

Глава 3 Динамика сильнонелинейных внутренних волн в стратифицированном океане § 3.1. Введение

§ 3.2. Свойства уединенных внутренних волн в трехслойной жидкости: сравнение моделей

§ 3.2.1. Особенности генерации уединенных внутренних волн в симметричной трехслойной жидкости

§ 3.2.2. Свойства уединенных внутренних волн при фиксированном соотношении толщин слоев в симметричной трехслойной жидкости § 3.3. Исследование вертикальной структуры интенсивных уединенных внутренних волн в трехслойной жидкости

§ 3.4. Моделирование внутренних гравитационных волн на стратифицированном морском шельфе

§ 3.5. Трансформация бризер-солитон в шельфовой зоне океана с двумя

пикноклинами

§ 3.6. Заключение

Заключение

Приложение

Список литературы

Подписано в печать 15.11.2012. Формат 60 х 84 '/,6. Бумага офсетная. _Печать офсетная. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 726._

Нижегородский государственный технический университет им. P.E. Алексеева.

Типография НГТУ. Адрес университета и полиграфического предприятия: 603950, ГСП-41, г. Нижний Новгород, ул. Минина, 24.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Рувинская, Екатерина Александровна

Введение.

глава

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВНУТРЕННИХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН В СЛОИСТОЙ ЖИДКОСТИ.

§ 1.1. Введение

§ 1.2. Линейная теория внутренних гравитационных волн в слоистой жидкости

§ 1.2.1. Линейная теория двухслойная жидкость

§ 1.2.2. Линейная теория- трехслойная жидкость

§ 1.3. Слабонелинейная теория внутренних гравитационных волн в слоистой жидкости

§ 1.3.1. Обзор слабонелинейных моделей, используемых для описания динамики внутренних гравитационных волн в слоистой жидкости

§ 1.3.2. Асимптотическая процедура получения обобщенного уравнения Кортевега-де Вриза для жидкости с трехслойной стратификацией плотности

§ 1.4. Полнонелгшейная модель внутренних гравитационных воин в стратифицированной жидкости

Введение диссертация по механике, на тему "Динамика нелинейных внутренних гравитационных волн в трехслойной жидкости"

§ 2.2. Внутренние гравитационные волны быстрой моды в трехслойной жидкости 66

§ 2.3. Внутренние гравитационные волны быстрой моды в симметричной трехслойной жидкости 69

§ 2.3.1. Уточненное модифицированное уравнение Кортевега-де Вриза • масштабирование и асимптотическое преобразование 75

§ 2.3.2. Уединенные внутренние волны быстрой моды в симметричной трехслойной жидкости 80

§ 2 4. Внутренние гравитационные волны медленной моды в трехсюйной жидкости 82

§ 2.5. Внутренние гравитационные вопны медленной моды в симметричной трехслойной жидкости 86

§ 2.5.1. Уточнение нелинейных эволюционных уравнений в зависимости от сочетания условий в среде 88

§ 2.5.2. Уединенные внутренние волны медченноймоды в симметричной трехслойной жидкости 88

§ 2 6. Заключение 88

Глава 3

ДИНАМИКА СИЛЬНОНЕЛИНЕЙНЫХ ВНУТРЕННИХ ВОЛН В СТРАТИФИЦИРОВАННОМ ОКЕАНЕ .109

§3 1 .Введение 109

§ 3.2. Свойства уединенных внутренних волн в трехслойной жидкости• сравнение моделей 111

§ 3.2.1. Особенности генерации уединенных внутренних волн в симметричной трехслойной жидкости 111

§ 3.2.2. Свойства уединенных внутренних волн при фиксированном соотношении толщин слоев в симметричной трехслойной жидкости 111 § 3.3. Исследование вертикальной структуры интенсивных уединенных внутренних воин в трехслойной жидкости 115

§ 3.4. Моделирование внутренних гравитационных волн на стратифицированном морском шельфе 120

§ 3.5. Трансформация бризер-солитон в шельфовой зоне океана с двумя пикноклинами 120

§ 3.6. Заключение 129

Заключение.144

Приложение.146 список литературы 153

Введение

Изучение внутренних гравитационных волновых движений - актуальная задача механики жидкости, интерес к которой остается высоким на протяжении нескольких десятилетий. История открытия внутренних волн в связи с эффектом «мертвой воды» приведена в [Mercier et al., 2011]. В настоящее время сложно переоценить роль интенсивных внутренних волн в динамических процессах, происходящих во всех природных стратифицированных водоемах: от озер и водохранилищ до морей и океанов. Особый интерес представляют уединенные внутренние волны (солитоны), которые часто проявляются как стационарные, весьма значительные, энергонесущие образования и играют ведущую роль в процессах, происходящих в окружающей их среде. Эти солитоны проявляются на спутниковых изображениях морской поверхности фактически во всех районах Мирового океана, и их амплитуды достигают 100 метров и более. В настоящее время составлен атлас интенсивных внутренних волн [Jackson, 2004].

Первые теоретические результаты по проблеме внутренних волн были получены в рамках уравнений гидродинамики (уравнений Эйлера) несжимаемой стратифицированной жидкости; см. например, [Краусс, 1968]. В частности, было показано, что в случае непрерывной стратификации число мод внутренних волн неограниченно, и наиболее быстрой является первая мода. Вертикальная структура волновых движений находится из решения краевой задачи (задачи Штурма - Лиувилля), а скорость распространения волны является собственным значением этой задачи. В случае же слоистой стратификации число мод конечно. Показано также, что при слабой стратификации, характерной для природных водоемов, смещение водной поверхности во внутренних волнах очень мало. Развита также асимптотическая теория распространения внутренних волн в океане с плавно меняющейся глубиной [Булатов и Владимиров, 2011].

Нелинейная теория внутренних волн развивалась по двум направлениям. В первом из них рассматривают установившиеся волны в рамках нелинейной краевой задачи, основанной на уравнении Дюбрей-Жакотин - Лонга [Dubriel-Jacotin, 1932; Long, 1953]. Этот подход позволяет исследовать внутренние уединенные и периодические волны любой амплитуды. В рамках второго направления исследуются неустановившиеся волны малой, но конечной амплитуды в рамках уравнения Кортевега-де Вриза, выведенного для внутренних волн как в слоистой, так и в непрерывно стратифицированной жидкости; см., например, [Миропольский, 1981]. Последний подход активно использовался для изучения трансформации внутренних волн в океане переменной глубины, как правило, при использовании двухслойной стратификации [Helfrich and Melville, 200.6; Талипова и др., 2012].

Следующий шаг в аналитической теории внутренних волн связан с обобщениями уравнения Кортевега-де Вриза, в частности включением в него дополнительных слагаемых, связанных с кубической нелинейностью, вращением Земли и донного трения [Holloway et al, 1997, 1999, 2001; Ostrovsky, Grue, 2003; Grimshaw et al., 2007, 2010]. Другое направление -вывод уравнений типа Буссинеска для внутренних волн большой амплитуды в двухслойном потоке [Camassa et al., 2010; Choi and Camassa, 1996, 1999; Craig et al., 2004; Funakoshi, 1985; Funakoshi and Oikawa, 1986; Guyenne, 2006], наиболее известны здесь уравнения Камассы-Чоя [Choi and Camassa, 1999].

Стремительное развитие вычислительной математики и ЭВМ позволило создать ряд вычислительных программных комплексов [Lamb, 1994; Marshall et. al., 1997; Vlasenko et al, 2005; Adcroft et al., 2008; Maderich et al., 2009, 2010], позволяющих решать задачу о генерации и распространении внутренних волн путем прямого численного интегрирования полной системы уравнений гидродинамики стратифицированной идеальной или вязкой жидкости. Такие модели достаточно универсальны и за ними большое будущее.

Большинство исследований, посвященных изучению динамики солитонов внутренних волн, проводится в рамках упрощенных моделей среды - в рамках концепции слоистой жидкости, как правило, двухслойной. Но двухслойная жидкость, все же, является очень упрощенной моделью природных стратифицированных бассейнов. В мелких морях вертикальная стратификация плотности имеет трехслойную структуру с хорошо различимым сезонным пикноклином на глубине ~ 100 м и основным пикноклином на большей глубине [Knauss, 1996]. Балтийское море, имеет более или менее постоянную трехслойную структуру, вызванную стоком пресных вод на поверхности и проникновением „наиболее соленой воды в придонные слои [Leppàranta, Myrberg, 2009]. Различимая трехслойная стратификация плотности встречается и в Южно-Китайском море [Yang et. al., 2010]. Некоторые аспекты волновой динамики в трехслойной жидкости были исследованы ранее в рамках слабонелинейных [Grimshaw et. al., 1997; Талипова и др., 1999] и полнонелинейных моделей [Lamb, 2000; Rubino et. al, 2001; Rusas and Grue, 2002], главным образом численно. Многие важные вопросы, однако, остались не исследованными. Во-первых, в трехслойной жидкости могут распространяться так называемые медленные волны, которые не изучены в литературе. В трехслойной жидкости могут распространяться специфические классы нелинейных уединенных волн - бризеры, которые пока еще слабо исследованы как аналитически, так и численно. Кроме того, при специфических соотношениях на параметры среды расширенное уравнение Кортевега - де Вриза вырождается, и необходим учет нелинейности высших порядков. Все это указывает на актуальность проблемы изучения внутренних волн в трехслойной жидкости.

Актуальность проблемы

Последние десятилетия характеризуются интенсивным освоением морских берегов, океанического шельфа и прибрежных регионов. Внутренние гравитационные волны оказывают важное влияние на гидрологический режим шельфовой зоны. Интенсивные внутренние волны представляют особый интерес, так как могут затруднять осуществление хозяйственной деятельности человека на шельфе, влияя на сверхдальнее распространение акустических сигналов, движение подводных аппаратов, размывы грунтов под нефтяными и газовыми платформами, продуктивность планктона, процессы вертикального перемешивания, перенос примесей и загрязнений. Очевидно, что создание прогностических моделей, позволяющих предсказывать возможность существования и свойства интенсивных внутренних волн в зависимости от условий среды, является актуальной и практически значимой задачей.

Настоящая диссертация посвящена разработке теоретических моделей длинных нелинейных внутренних волн в невязкой несжимаемой трехслойной жидкости.

Цели диссертационной работы

1. Вывести расширенное уравнение Кортевега - де Вриза (уравнение Гарднера) для внутренних волн в трехслойной жидкости при произвольном соотношении толщин слоев и перепадов плотностей для волн первой (быстрой) и второй (медленной) моды в трехслойной жидкости.

2. Произвести уточнение динамики волн первой моды в рамках слабонелинейной теории в частном случае жидкости с симметричной трехслойной стратификацией при одновременном вырождении коэффициентов квадратичной и кубической нелинейности в обобщенном уравнении Кортевега - де Вриза.

Научная новизна результатов работы

Научная новизна диссертационной работы определяется полученными оригинальными результатами:

3. Исследованы эффекты полной нелинейности для интенсивных локализованных внутренних гравитационных волн, которые в слабонелинейном пределе описываются фундаментальными неизлучающими решениями (солитонами и бризерами) соответствующих упрощенных моделей - эволюционных уравнений типа Кортевега - де Вриза. Численным интегрированием исходных уравнений гидродинамики продемонстрировано существование широких солитоноподобных волн в среде с нулевой квадратичной нелинейностью, исследованы свойства уединенных волн в такой среде, определена предельная амплитуда. Сравнение результатов моделирования с решениями уравнения модифицированного Кортевега - де Вриза показывает, что область применимости последнего для количественных оценок характеристик уединенных волн относительно узка. Прогнозирование количества солитонов, возникающих из начального возмущения с помощью слабонелинейной модели приводит к переоценке числа уединенных волн по сравнению с полно нелинейной моделью.

Положения, выносимые на защиту

Практическая значимость результатов работы

Предложенные в работе модели длинных нелинейных волн в трехслойной жидкости могут применяться для изучения природных и технологических процессов и интерпретации результатов натурных и лабораторных экспериментов. Они позволят прогнозировать условия существования солитонов и бризеров в природных водоемах, стратификация которых близка к трехслойной. Важным практическим приложением теории является оценка придонных и приповерхностных скоростей во внутренних волнах, необходимых для расчета транспорта донных наносов и поверхностных загрязнений.

Апробация работы

Основные результаты диссертации представлялись на конференциях: IX международной конференции MEDCOAST (Сочи, 2009); XV Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (Кемерово - Томск, 2009); IV и V Сахалинских молодежных научных школах «Природные катастрофы: изучение, мониторинг, прогноз» (Южно-Сахалинск, 2009, 2010); XIV, XV Нижегородских сессиях молодых ученых «Технические науки» (Нижний Новгород, 2009, 2010); Генеральной Ассамблее Европейского геофизического союза (Вена, Австрия, 2009 - 2012); XII Всероссийской школе-семинаре «Волновые явления в неоднородных средах» (Москва, 2010); Международной конференции «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике», посвященной 110-летию академика М.А. Лаврентьева (Новосибирск, 2010); X международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» (Санкт-Петербург, 2010); XV - XVIII Международных научно-технических конференциях «Информационные системы и технологии» (Нижний Новгород, 2009 - 2012); IX - XI Международной молодежной научно-технической «Будущее технической науки» (Нижний Новгород, 2010 - 2012); Конференции, посвященной 65-летию Института морской геологии и геофизики ДВО РАН «Геодинамические процессы и природные катастрофы в Дальневосточном регионе» (Южно-Сахалинск, 2011).

Полученные результаты используются в российских исследовательских проектах, выполняемых при участии автора диссертации:

• Грант Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых ученых - кандидатов наук МК - 846.2009.1 «Динамика локализованных внутренних гравитационных волн большой амплитуды в стратифицированной горизонтально-неоднородной жидкости» (2009 - 2010);

• РФФИ 10-05-00199а «Краевые поверхностные и краевые внутренние волны в горизонтально- и вертикально-неоднородном океане: теоретический анализ и численное моделирование» (2010-2012); 06-05-64087а «Нелинейная и нестационарная динамика многомодовых и случайных ансамблей захваченных волн в прибрежной зоне океана» (2006 - 2008);

Грант Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых ученых - докторов наук МД - 99.2010.5 «Прогнозирование шельфовых динамических процессов, индуцированных длинными поверхностными и внутренними волнами, в рамках усовершенствованных математических моделей» (2010 - 2011); Государственный контракт № П851 «Проведение поисковых научно-исследовательских работ по направлению «Геофизика» в рамках мероприятия 1.2.1 ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 -2013 годы» (2010-2012);

Государственный контракт № П518 «Проведение поисковых научно-исследовательских работ по направлению «Снижение риска и уменьшение последствий природных и техногенных катастроф» в рамках мероприятия 1.2.1 ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 - 2013 годы» (2010-2012);

Государственный контракт № 14.740.11.1141 «Проведение научных исследований целевыми аспирантами в следующих областях: «- математика;- механика», в рамках мероприятия 1.3.2 ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 - 2013 годы» (2011 - 2012);

Государственный контракт № 14.В37.21.0611, мероприятие 1.1 ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 - 2013 годы» «Поддержка научных исследований, проводимых коллективами научно-образовательных центров по научному направлению «Науки о Земле» в области «Океанология»»;

Государственный контракт № 14.В37.21.0642 Мероприятие 1.1 ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 - 2013 годы» «Поддержка научных исследований, проводимых коллективами научно-образовательных центров по научному направлению «Рациональное природопользование в области «Предупреждение и ликвидация чрезвычайных ситуаций природного и техногенного характера»»;

Государственный контракт № 14.В37.21.0868 Мероприятие 1.5 ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 — 2013 годы» «Поддержка научных исследований, проводимых коллективами под руководством приглашенных исследователей по научному направлению «Математика, механика, информатика» в области «Механика»».

Диссертант является лауреатом стипендии Правительства РФ для студентов (2009) и стипендии им. ак. Г.А. Разуваева (2012). Публикации

По теме диссертации опубликовано более 30 печатных работ, куда входят 4 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК, 2 статьи в рецензируемом журнале, 3 статьи в трудах международных конференций и тезисы докладов на международных и всероссийских конференциях.

Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК:

Р 1.Куркина O.E., Куркин A.A., Рувинская Е.А., Пелиновский E.H., Соомере Т. Динамика солитонов неинтегрируемой версии модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза // Письма в ЖЭТФ. 2012. Т. 95. № 2. С. 98 - 103. Р 2. Рувинская Е.А., Куркина O.E., Куркин A.A. Моделирование «внутренней погоды» в экосистеме стратифицированного морского шельфа // Экологические системы и приборы. 2011. № 6. С. 8 - 16. Р 3. Рувинская Е.А., Куркина O.E., Куркин A.A. Исследование структуры уединенных внутренних волн большой амплитуды в трехслойной жидкости // Вестник МГОУ, серия «Физика - математика». 2011. № 2. С. 61 - 74. Р 4. Kurkina O.E., Kurkin A.A., Soomere Т., Pelinovsky E.N., Rouvinskaya E.A. Higher-order (2+4) Korteweg-de Vries - like equation for interfacial waves in a symmetric three-layer fluid //Physics of Fluids. 2011. V. 23. Issue 11. C. 116602-1-13. Статьи в рецензируемом журнале:

Р 5. Рувинская Е.А. Свойства уединенных внутренних волн в трехслойной среде: сравнение моделей. // Труды Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева. 2012. № 3. С. 39 - 50. Р 6. Рувинская Е.А., Куркина O.E., Куркин A.A. Уточненное нелинейное эволюционное уравнение для внутренних гравитационных волн в трехслойной симметричной жидкости // Труды Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева. 2010. № 4(83). С. 30 - 39. Статьи в трудах международных и всероссийских конференций:

Р 7. Владыкина (Рувинская) Е.А., Куркин A.A., Полухина (Куркина) O.E., Норкин В.М. Особенности динамики уединенных волн в океане с двумя пикноклинами. // Природные катастрофы: изучение, мониторинг, прогноз: IV Сахалинская молодежная научная школа, Южно-Сахалинск, 2-5 июня 2009 г.: сборник материалов/ отв. Ред. О.Н. Лихачева. - Южно-Сахалинск: ИМГиГ ДВО РАН. 2010. С. 225 - 232.

Р 8. Владыкина (Рувинская) Е.А., Куркин А.А., Полухина (Куркина) О.Е., Норкин В.М. Анализ скоростей придонных течений в поле длинных нелинейных внутренних волн. // Природные катастрофы: изучение, мониторинг, прогноз: IV Сахалинская молодежная научная школа, Южно-Сахалинск, 2-5 июня 2009 г.: сборник материалов/ отв. Ред. О.Н. Лихачева. - Южно-Сахалинск: ИМГиГ ДВО РАН. 2010. С. 233 - 239.

Р 9. Vladykina (Rouvinskaya) Е.А., Poloukhina (Kurkina) O.E., Kurkin A.A., Norkin V.M. Internal Gravity Waves in the Ocean with Two Pycnoclines: Models and Dynamics. // Proceedings of the Ninth international conference on the Mediterranean coastal environment, MEDCOAST 09. 2009. V. 2. P. 949 - 960.

Тезисы докладов на международных и всероссийских конференциях:

Р 10. Kurkina О.Е., Rouvinskaya Е.А., Kurkin А.А. Higher-order weakly nonlinear theory for internal waves in three-layer fluid // Geophysical Research Abstracts 2012. V. 14. EGU2012-8429-2

P 11. Рувинская E.A., Куркина O.E., Куркин А.А. Уточненное нелинейное эволюционное уравнение для волн второй моды в жидкости с симметричной трехслойной стратификацией // Информационные системы и технологии ИСТ-2012 (20 апреля 2012 г, Нижний Новгород). Материалы XVIII международной научно-технической конференции. Нижний Новгород, 2012. С. 369.

Р 12. Рувинская Е.А., Куркина О.Е., Куркин А.А. Исследование волновой динамики в трехслойной жидкости со слоями произвольной толщины // Будущее технической науки БТН-2012. Материалы XI международной молодежной научно-технической конференции «Будущее технической науки», 2012. С. 426.

Р 13. Rouvinskaya Е.А., Kurkina О.Е., Kurkin А.А., Kuzin A.M., Barenboim M.N. Nonlinear dynamics of intensive internal waves in bounded stratified basins. // Geophysical Research Abstracts 2011. V. 13. EGU2011-433.

P 14. Кузин A.M., Рувинская E.A., Куркина O.E., Куркин А.А. Динамика полнонелинейных внутренних волн в закрытых стратифицированных бассейнах // Информационные системы и технологии ИСТ-2010 (22 апреля 2011 г, Нижний Новгород). Материалы XVII международной научно-технической конференции. Нижний Новгород, 2011. С. 430.

Р 15. Баренбойм М.Н., Рувинская Е.А., Куркина О.Е., Куркин А.А. Трансформации внутренних солитонов при прохождении «точек переворота» в трехслойной жидкости // Информационные системы и технологии ИСТ-2010 (22 апреля 2011 г, Нижний Новгород). Материалы XVII международной научно-технической конференции. Нижний Новгород, 2011. С. 431.

Р 16. Рувинская Е.А., Гиниятуллин А.Р., Тюгин Д.Ю., Куркина O.E., Куркин A.A. Прогнозирование параметров поля короткопериодных нелинейных внутренних волн в шельфовой зоне о. Сахалин в приложении к анализу скоростей индуцированных придонных и приповерхностных течений // Сборник материалов X Международной молодежной научно - технической конференции «Будущее технической науки» (13 мая 2011 г., Нижний Новгород). Нижний Новгород: НГТУ им. P.E. Алексеева, 2011. С. 381— 382.

Р 17. Рувинская Е.А., Куркина O.E., Куркин A.A. Дисперсионные свойства и структура мод краевых волн над ступенчатым шельфом со вдольбереговым течением // Сборник материалов X Международной молодежной научно - технической конференции «Будущее технической науки» (13 мая 2011 г., Нижний Новгород). Нижний Новгород: НГТУ им. P.E. Алексеева, 2011. С. 382.

Р 18. Рувинская Е.А., Куркина O.E., Куркин A.A. Уточненные нелинейные эволюционные модели высокого порядка для внутренних гравитационных волн в трехслойной жидкости // Геодинамические процессы и природные катастрофы в Дальневосточном регионе: научная конференция, посвященная 65-летию Института морской геологии и геофизики ДВО РАН: тезисы докладов, Южно-Сахалинск, 26-30 сентября 2011г./отв. ред. Б.В.Левин.-Южно-Сахалинск: Ин-т мор. геологии и геофизики ДВО РАН, 2011. С. 122- 123.

Р 19. Viadykina (Rouvinskaya) Е.А., Poloukhina (Kurkina) O.E., Kurkin A.A. Extended modified Korteweg - de Vries equation for internal gravity waves in a symmetric three-layer fluid. // Geophysical Research Abstracts. 2010. V. 12. EGU2010-2998,

P 20. Владыкина (Рувинская) E.A., Куркина O.E., Куркин A.A. Исследование уединенных внутренних волн в бассейне с наклонным дном для случая двухслойной жидкости. // Материалы XVI Международной научно-технической конференции «Информационные технологии и системы» ИСТ-2010, 23 апреля 2010 г. - Н. Новгород: НГТУ, 2010. С. 384.

Р 21. Владыкина (Рувинская) Е.А., Куркина O.E., Куркин A.A. Уточненная теория нелинейных внутренних волн в трехслойной жидкости. // Природные катастрофы: изучение, мониторинг, прогноз: тезисы докладов Пятой Сахалинской молодежной научной школы, Южно-Сахалинск, 8-11 июня 2010 г. / отв. ред. О.Н. Лихачева. -Южно-Сахалинск: ИМГиГ ДВО РАН, 2010. С. 44 - 45.

Р 22. Куркина O.E., Куркин A.A., Владыкина (Рувинская) Е.А. Уединенные внутренние гравитационные волны большой амплитуды в трехслойной жидкости: сравнение моделей. // Международная конференция «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике», посвященная 110-летию академика М.А. Лаврентьева. 23 - 27 августа 2010 г. Тезисы докладов. Новосибирск 2010. С. 119-120.

Р 23. Владыкина (Рувинская) Е.А., Гиниятуллин А.Р., Куркин A.A. Нелинейная динамика уединенных внутренних волн в двухслойном бассейне переменной глубины. // Сборник трудов XII Всероссийской школы-семинара «Волновые явления в неоднородных средах» «Волны 2010» 24 - 29 мая 2010 г. Звенигород, Московская обл. - М.: Изд-во физ. ф-таМГУ, 2010. С. 13-14.

Р 24. Владыкина (Рувинская) Е.А., Куркина O.E., Куркин A.A. Уединенные волны в симметричной трехслойной жидкости: уточненное модифицированное уравнение Кортевега - де Вриза и полнонелинейная модель. // Сборник трудов XII Всероссийской школы-семинара «Волновые явления в неоднородных средах» «Волны 2010» 24 - 29 мая 2010 г. Звенигород, Московская обл. -М.: Изд-во физ. ф-таМГУ, 2010. С. 15-16.

Р 25. Рувинская Е.А., Кузин A.M., Баренбойм М.Н., Куркина O.E., Куркин A.A. Внутренние волны в озерах и их влияние на озерные экосистемы // Материалы международной конференции «Экосистемы болот и озер Белорусского поозерья и сопредельных территорий: современное состояние, проблемы использования и охраны» (16-17 декабря 2010 г, Витебск, Белоруссия). Витебск. УО «ВГУ им. П.М. Машерова». 2010. С. 199-200.

Р 26. Владыкина (Рувинская) Е.А., Полухина (Куркина) O.E., Куркин A.A. Динамика уединенных волн в симметричной трехслойной жидкости. // Материалы конференции «ВНКСФ-15 Пятнадцатая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых», издательство Ассоциации студентов-физиков России, Кемерово -Томск. 2009. С. 533 - 534.

Р 27. Владыкина (Рувинская) Е.А., Полухина (Куркина) O.E., Куркин A.A. Использование модернизированного программного комплекса для обеспечения исследований уединенных внутренних волн в трехслойной среде. // Материалы XV Международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии ИСТ-2009», НГТУ, Нижний Новгород. 2009. С. 197 - 198.

Р 28. Viadykina (Rouvinskaya) Е.А., Poloukhina (Kurkina) O.E., Kurkin A.A. Properties of internal solitary waves in a symmetric three-layer fluid. // EGU General Assembly, Vienna, Austria, April 19-24, 2009.Geophysical Research Abstracts. 2009. V. 11, EGU2009-6168

P 29. Владыкина (Рувинская) E.A., Полухина (Куркина) O.E., Куркин A.A., Безрук И.В. Численное исследование нелинейных внутренних волн в шельфовой зоне о. Сахалин. // Природные катастрофы: изучение, мониторинг, прогноз: IV Сахалин, молод, науч. Школа, Южно-Сахалинск, 2-5 июня 2009 г.: тез. докл.; Рос. акад. наук, Дальневост. отдние, Ин-т морской геологии и геофизики.-Южно-Сахалинск:ИМГиГ ДВО РАН. 2009.С.

76-77

Р 30. Владыкина (Рувинская) Е.А., Полухина (Куркина) O.E., Куркин A.A., Норкин В.М. Особенности динамики уединенных волн в океане с двумя пикноклинами. // Природные катастрофы: изучение, мониторинг, прогноз: IV Сахалин, молод, науч. Школа, Южно-Сахалинск, 2-5 июня 2009 г.: тез. докл.; Рос. акад. наук, Дальневост. отд-ние, Ин-т морской геологии и геофизики.-Южно-Сахалинск:ИМГиГ ДВО РАН. 2009. С.

77-80

Р 31. Владыкина (Рувинская) Е.А., Полухина (Куркина) O.E., Куркин A.A., Гиниятуллин А.Р., Норкин В.М., Безрук И.В. Анализ скоростей придонных течений в поле длинных нелинейных внутренних и краевых волн. // Природные катастрофы: изучение, мониторинг, прогноз: IV Сахалин, молод, науч. Школа, Южно-Сахалинск, 2-5 июня 2009 г.: тез. докл.; Рос. акад. наук, Дальневост. отд-ние, Ин-т морской геологии и геофизики.-Южно-Сахалинск:ИМГиГ ДВО РАН, 2009.С. 80-82. Р 32. Владыкина (Рувинская) Е.А., Полухина (Куркина) O.E., Куркин A.A., Чернов А.Г. Информационно-аналитическое обеспечение исследований свойств уединенных волн в симметричной трехслойной жидкости. // Материалы «14-й Нижегородской сессии молодых ученых. Технические науки» (15-19 февраля 2009) / Отв. за вып. Зверева И.А. - Н. Новгород: изд. Гладкова О.В. 2009. С. 33 - 34. Личный вклад автора.

В совместных работах научному руководителю проф. Куркину A.A. и доц. Куркиной O.E. принадлежат постановка задачи и обсуждение результатов, а также выбор методов исследования. В работах [PI, Р4] в постановке задачи и обсуждении результатов также принимали участие соавторы проф. E.H. Пелиновский и проф. Т. Соомере. Во всех работах автору принадлежит выполнение большинства аналитических и численных расчетов, а также непосредственное участие в обсуждении и интерпретации полученных результатов. В вычислениях, описанных в статьях [Р7, Р8, Р9], принимал участие ассистент Норкин В.М. Работа [Р5] опубликована без соавторов.

Выражаю огромную благодарность научному руководителю д.ф.-м.н., профессору Куркину A.A., а также к.ф.-м.н., доценту Куркиной O.E. за их большую помощь и безграничное терпение, проявленное при обсуждении настоящей диссертации. Также выражаю признательность профессору, лауреату Государственной премии России Пелиновскому E.H. за ценные замечания, способствовавшие подготовке настоящей диссертационной работы. Благодарю всех своих соавторов за творческие идеи.

Также благодарю коллективы кафедры «Прикладная математика» Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева, (д.ф.-м.н., проф., С.Н. Митякова, д.ф.-м.н., доц., Л.Ю. Катаеву) и кафедры «Математика» НИУ ВШЭ - Нижний Новгород, (д.ф.-м.н., проф., Е.М. Громова) за создание благожелательной, творческой атмосферы, позволившей автору эффективно подготовить диссертацию.

Заключение диссертации по теме "Механика жидкости, газа и плазмы"

Основные результаты главы опубликованы в статьях [Р2, РЗ, Р5, Р7, Р8, Р9].

§3.2 Свойства уединенных внутренних волн в трехслойной жидкости с симметричной стратификацией плотности: сравнение моделей

Рассматривается задача о генерации уединенных внутренних волн из начального возмущения в виде импульса прямоугольной формы в бассейне глубины Я с ровным плоским дном и поверхностью и симметричной устойчиво стратифицированной трехслойной жидкостью (рис.3.2.1).

Границы между слоями разной плотности резкие (для слабонелинейной модели) или представляющие собой тонкие переходные слои (для полнонелинейной модели). На рис.3.2.1 изображены возмущенные линии одинаковой плотности (изопикны) внутри верхнего и нижнего переходного слоя для полнонелинейной модели в начальный момент времени, толстой черной линией обозначены резкие границы между слоями (толщины симметричных верхнего и нижнего слоев обозначим за /г = 2русХ = Я -1рус1).

Наиболее простой моделью для описания динамики внутренних волн в симметричной трехслойной жидкости в предположении малой амплитуды является модифицированное уравнение Кортевега-де Вриза (мКдВ) (1.60). Для жидкости с резкими скачками плотности на пикноклинах коэффициенты уравнения мКдВ имеют вид (1.61). Если границы между слоями разной плотности сглаженные, то коэффициенты уравнения (1.60) определяются интегральными выражениями. В частности, фазовая скорость с линейных длинных волн находится (в приближении Буссинеска) из задачи на собственные значения вида

2 2 й(Ф + ДЦ£)ф=0 Ф(0) = Ф(Я) = 0 (3.1) ск2 с

Коэффициентынелинейности и дисперсии находятся в соответствии с решениями задачи Штурма - Лиувилля (3.1) через интегральные выражения [РеПпоузку е! а1., 2007] о

3.2)

-и о

2 г

2) 2 ¿2

3.3)

-Н а, =

2 О

9с г ( с1ФЛ 4

-6с + 5 а

1 ¿г ) \ ¿2 ) с!Тс!Ф аг[ёФ

- 4«---ск (¡2 с

V ¿2 у

3.4) где Т(г)- первая нелинейная поправка к вертикальной структуре волны, определяемая решением неоднородной краевой задачи:

2Т Ы2 а ¿Г Ф 3 Т =---— +— 2

3.5) с" с 2 ёу

Т(0) = Т(-Я) = 0 . Т(гтах)=0, (3.6)

Как было показано во второй главе, для корректного описания динамики внутренних гравитационных волн умеренных амплитуд в симметричной трехслойной жидкости должно быть использовано уравнение «2+4» КдВ (2.26).

Исследование эволюции начального возмущения в рамках слабонелинейных моделей

1.60) и (2.26) проводилось с помощью численного интегрирования на основе неявной псевдо-спектральной схемы с контролем сохранения интегралов массы и энергии [ОптэЬаш е1 а1., 2010; РеПпоУэку е1 а1., 2007; Куркин, Полухина, 2003, 2005; Полухина, Самарина, 2007].

Для численного моделирования динамики уединенных внутренних волн в рамках полной системы уравнений гидродинамики невязкой несжимаемой жидкости использован программный комплекс ЮШ (§ 1.4).

При проведении численных экспериментов полная глубина жидкости принималась равной 100 м. Сглаженная почти трехслойная стратификация задавалась функцией вида: г) = -0.005 • 1апЬ

- — ¿.

РУС1

4.0

0.0051апЬ рус 2

4.0

3.7)

Параметры используемых стратификаций и соответствующие им коэффициенты уравнения мКдВ представлены в табл. 3.2.1.

Заключение

Таким образом, в настоящей работе получены следующие результаты:

2. Выведено так называемое "2+4" уравнение Кортевега - де Вриза (с точностью до нелинейности пятого порядка), справедливое для быстрых волн в трехслойной (симметричной) жидкости при одновременном вырождении коэффициентов квадратичной и кубической нелинейностей. Это уравнение не является полностью интегрируемым, но допускает существование солитона, форма которого стремится к платообразной при приближении амплитуды к критической. Численно изучены процессы двух-солитонного взаимодействия, приводящие к образованию дисперсионных пакетов.

3. Исследованы эффекты полной нелинейности для интенсивных локализованных внутренних гравитационных волн, которые в слабонелинейном пределе описываются фундаментальными неизлучающими решениями (солитонами и бризерами) соответствующих упрощенных моделей - эволюционных уравнений типа Кортевега - де Вриза. Численным интегрированием исходных уравнений гидродинамики продемонстрировано существование широких солитоноподобных волн в среде с нулевой квадратичной нелинейностью, исследованы свойства уединенных волн в такой среде, определена предельная амплитуда. Сравнение результатов моделирования с решениями уравнения модифицированного Кортевега-де Вриза показывает, что область применимости последнего для количественных оценок характеристик уединенных волн относительно узка. Прогнозирование количества солитонов, возникающих из начального возмущения с помощью слабонелинейной модели приводит к переоценке числа уединенных волн по сравнению с полно нелинейной моделью.

4. Выполнено исследование вертикальной структуры солитонов, полученных путем численного интегрирования начальной задачи для полной системы уравнений гидродинамики в сопоставлении с солитонами расширенного модифицировнного уравнения Кортевега-де Вриза для трехслойной среды. Выявлены количественные различия структура профиля горизонтальной и вертикальной скорости течений в солитоне в рамках слабо и сильно нелинейных моделей.

5. Доказано, что солитона может трансформироваться в бризер в трехслойной жидкости переменной глубины в рамках полно нелинейной модели внутренних волн (ранее этот процесс был известен только для слабонелинейных волн).

6. Показано, что вклад внутренних волн в формирование придонных потоков сравним со вкладом приливных волн даже для областей, находящихся на достаточно большой глубине по сравнению с пикноклином, что доказывают результаты численных экспериментов для Охотского моря, а, значит, бароклинная составляющая придонных скоростей должна учитываться при решении инженерных задач, связанных с обеспечением безопасности экосистем океанов и морей. Важно отметить, что коротковолновые цуги, наблюдаемые во всех расчетах, вносят основной вклад в придонные и приповерхностные скорости, что влияет на процессы переноса примесей и взвесей.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Рувинская, Екатерина Александровна, Нижний Новгород

1. Абловиц М. Солитоны и метод обратной задачи. / М. Абловиц, X. Сигур // М.: Мир, 1987.-478 с.

2. Владимиров B.C. Уравнения математической физики //Наука, 1981.-512 с.

3. Власенко В. И. Исследование структуры уединенных внутренних волн большой амплитуды/ Власенко, В. И., Брандт, П., Рубино, А. // Морской гидрофиз. журнал, 2000. т. 5. с. 15-31.

4. Горшков К.А. Точные и приближенные N-солитонные решения уравнения Гарднера / Горшков К.А., Островский JI.A., Соустова И.А. // Изв. академии инженерных наук, 2005. -т. 14.-с. 113-122.

5. Захаров В.Е. Теория солитонов / В.Е. Захаров, C.B. Манаков, С.П. Новиков, Л.П. Питаевский// М.: Наука, 1980. 321 с.

6. Ии Чиа Шун. Волновые движения в слоистых жидкостях // Сб. Нелинейные волны: Под ред. С. Лейбовича и А.Сибаса: Пер. с англ. М.: МИР, 1977. С. 271-295.

7. Канарская Ю. В. Негидростатическая модель стратифицированных течений со свободной поверхностью: дис. канд. физ.-мат. наук, Киев. 2004.

8. Ландау Л.Д. Гидродинамика / Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М // М.: Наука, 1986. 733 с.

9. Краусс В. Внутренние волны. Л.: Гидрометеоиздат, 1968. 272 с.

10. Куркин A.A. Численные эксперименты по распространению волн Россби в океане / A.A. Куркин, O.E. Полухина // Известия Академии инженерных наук РФ. Прикладная математика и механика, 2003. 4. - с. 99 - 1 16.

11. Куркин A.A. Нелинейная фокусировка аномальных волн Россби в океане: численные эксперименты / A.A. Куркин, O.E. Полухина // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. -T. 41.-М.: 2005.-с. 93 ^ 101.

12. Куркина O.E. Динамика солитонов неинтегрируемой версии модифицированного уравнения Кортевега де Вриза / Куркина, O.E., Куркин, A.A., Рувинская, Е. А., Пелиновский, Е. Н., Соомере, Т. // Письма в ЖЭТФ, 2012. - 95. - 2. - с. 98 - 103.

13. Миропольский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волны в океане. Л.: Гидрометеоиздат, 1981. 302 с.

14. Островский J1. А., Потапов А. И. Введение в теорию модулированных волн // Физматлит, 2003. 400 с.

15. Пелиновский E.H. Уравнение Кортевега де-Вриза для нестационарных внутренних волн в неоднородном океане / E.H. Пелиновский, М.А. Раевский, С.Х. Шаврацкий // Известия АН СССР. ФАО, 1977. -13,- с. 325 - 328.

16. Пелиновский Е. Н. Внутренние волны // Сб. Практикум по динамике океана: Под ред.А.Некрасова и Е. Пелиновского. Санкт-Петербург: Гидромстеоиздат, 1992. С. 140 - 155.

17. Полухина O.E. Цилиндрическая расходимость уединенных внутренних волн в рамках обобщенного уравнения Гарднера / O.E. Полухина, Н.М. Самарина // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. Т. 43. - № 6. - М., 2007. - с. 818 - 825.

18. Талипова Т.Г., Пелиновский E.H., Лэмб К., Гримшоу Р., Холловей П. Влияние кубической нелинейности на трансформацию интенсивных внутренних волн // Доклады АН. 1999. Т. 364. № 6. С. 824 827.

19. Чжи Л. Уточненная теория длинных волн на поверхности воды / Л. Чжи, Н.Р. Сигбатуллин // ПММ, 1997. 61. - с. 184 - 189.

20. Ablowitz M.J. Solitons, nonlinear evolution equations and inverse scattering / Ablowitz M. J., Clarkson P.A. Cambridge University Press, 1991.- 532 pp.

21. Adcroft J., Campin S. et al. MITgcm User Manual. MIT Department of EAPS. 2008. P. 464.

22. Apel J., Ostrovsky L.A., Stepanyants Y.A., Lynch J.F. Internal solitons in the ocean and their effect on underwater sound. J. Acoust. Soc. Am. 121; 2007, p. 695-722.

23. Benjamin T. B. A unified theory of conjugate flows // Philos. Trans. Roy. Soc. London A, 1971.-269.-p. 587-643.

24. Benney D.J. Long non-linear waves in fluid flows // J. Math, and Phys., 1966. 45, 52.

25. Benney D. J. The propagation of long large amplitude internal waves / Benney D. J., D. R. S. Ko // Stud. Appl. Math., 1978.-59, 187.

26. Bogucki D.J., Redekopp,L.G. A Mechanism for sediment resuspension by internal solitary waves. Geophys. Res. Lett. 26; 1999, p. 1317-1320.

27. Brown D. J. Fully Nonlinear Solitary Waves in Continuously Stratified Incompressible Boussinesq Fluids/ Brown, D. J., Christie, D. R. //Phys.Fluids, 1998. v. 10. p. 2569-2586

28. Camassa R. Fully nonlinear periodic internal waves in a two-fluid system of finite depth / Camassa R., Rusas P.-O., Saxen A., Tiron R. // J. Fluid Mech., 2010. 652, 259.

29. Chin-Bing S.A., Warn-Varnas A., King D.B., Lamb K. Effects on acoustics caused by ocean solitons. Part B. Acoustics. Nonlinear Analysis 71; 2009, p. e2194-e2204.

30. Choi W. Weakly nonlinear internal waves in a two-fluid system / Choi W. and Camassa R. // J. Fluid Mech., 1996.-313, 83.

31. Choi W. Fully nonlinear internal waves in a two-fluid system / Choi W. and Camassa R. // J. Fluid Mech., 1999,- 396, 1.

32. Clarke S. On the generation of solitons and breathers in the modified Korteweg de Vries equation/ Clarke, S., Grimshaw, R., Miller, P., Pelinovsky, E., Talipova, T. // Chaos. 2000. v. 10. No.2. p.383-392.

33. Craig W. A new model for large amplitude long internal waves / Craig W., Guyenne P., and Kalisch H. // C.R. Mechanique, 2004. 332, 525.

34. Drazin P. G. Solitons: An introduction / Drazin, P. G. and Johnson, R. S // Cambridge University Press, 1989.

35. Dubriel-Jacotin L. Sur les ondes type permanent dans les liquids heterogenes // Atti della reale Academic Nationalité dei Lincei. 1932. V. 15. P. 44 52.

36. Engelbrecht J.K., Fridman, V.E., Pelinovsky, E.N. Nonlinear Evolution Equations. Pitman Research Notes in Mathematics Series, 180, London: Longman, 1988, 122 p.

37. Fokas A.S. On a class of physically important integrable equations. // Physica D, 1995. 87. -p. 145-150.

38. Fokas A.S. Asymptotic integrability of water waves / Fokas, A.S., Liu, Q.M. // Phys. Rev. Lett., 1996. -77. p. 2347-2351.

39. Fornberg B. A Practical Guide to Pseudospectral Methods / Cambridge University Press, 1998. -231 pp.

40. Funakoshi M. Long internal waves in a two-layer fluid 11 J. Phys. Soc. Japan, 1985. 54, 2470.

41. Funakoshi M. Long internal waves of large amplitude in a two-layer fluid / Funakoshi M., M. Oikawa // J. Phys. Soc. Japan, 1986. 55, 128.

42. Gardner, C.S. Method for solving the Korteweg de Vries equation / C.S. Gardner et al. // Phys. Rev. Lett., 1967. -v.19. -p. 1095 - 1097.

43. Gear J. A second order theory for solitary waves in shallow fluids / Gear J., Grimshaw R.// Phys. Fluids, 1983.-26, 14.

44. Grimshaw, R. The modified Korteweg de Vries equation in the theory of large -amplitude internal waves / Grimshaw, R., Pelinovsky, E., and Talipova, T. // Nonlin. Processes Geophys., 1997. - 4. - 237-250, doi: 10.5194/npg-4-237-1997

45. Grimshaw R. Solitary wave transformation in a medium with sign-variable quadratic nonlinearity and cubic nonlinearity / Grimshaw R., Pelinovsky E., and Talipova T. // Physica D, 1999,- 132,40.

46. Grimshaw R. Higher-order Korteweg-de Vries models for internal solitary waves in a stratified shear flow with a free surface / Grimshaw, R., Pelinovsky, E., Poloukhina, O. // Nonlinear Processes in Geophysics, 2002. 9. - p. 221-235.

47. Grimshaw R. The generation of large amplitude solitons from an initial disturbance in the extended Korteweg de Vries equation / Grimshaw R., Pelinovsky D., Pelinovsky E., and Slunyaev A.//Chaos, 2002.- 12, 1070.

48. Grimshaw R., Pelinovsky E., Talipova T. Modeling internal solitary waves in the coastal ocean // Surveys Geophys. 2007. V. 28. № 2. P. 273 298.

49. Grimshaw R. Internal solitary waves: propagation, deformation and disintegration / Grimshaw, R., Talipova, T., Pelinovsky, E. and Kurkina, O. // Nonlin. Processes Geophys. , 2010. p. 633649.

50. Grimshaw R. Generation of solitons and breathers in the extended Korteweg-de Vries equation with positive cubic nonlinearity / R. Grimshaw, A. Slunyaev, and E. Pelinovsky // Chaos, 2010. 20, 013102

51. Grimshaw R. Internal solitary waves: propagation, deformation and disintegration / Grimshaw, R., Talipova, T., Pelinovsky, E. and Kurkina, O. //Nonlin. Processes Geophys. , 2010. p. 633649

52. Grue J. A method for computing unsteady fully nonlinear interfacial waves/ Grue, J., Friis, A., Palm, E., Rusas, P.-O. // J. Fluid Mech., 1997. 351. p. 223.

53. Guyenne P. Large-amplitude internal solitary waves in a two-fluid model // C.R. Mecanique, 2006.-334, 341.

54. Hamdi S. Analytical solutions of long nonlinear internal waves: Part 1 / Hamdi, S., Morse, B., Halphen, B., Schiesser, W. // Nat Hazards, 2011. 57. - p. 597-607

55. Helfrich K.R., Melville W.K. Long nonlinear internal waves // Annu. Rev. Fluid Mech. 2006. V. 38. P. 395-425.

56. Holloway P., Pelinovsky E., TalipovaT., Barnes B. A Nonlinear Model of Internal Tide Transformation on the Australian North West Shelf // J. Phys. Oceanogr. 1997. V. 27. № 6. P. 871 -896.

57. Holloway P., Pelinovsky E., Talipova T. A generalized Korteweg-de Vries model of internal tide transformation in the coastal zone // J. Geophys. Res. 1999. V. 104/C8. P. 18333 18350.

58. Holloway P. A generalised Korteweg-de Vries model of internal tide transformation in the coastal zone / Holloway P., Talipova T., Pelinovsky E.// J. Geophys. Res., 1999. 104, 18333.

59. Holloway P., Pelinovsky E., Talipova T. Internal tide transformation and oceanic internal solitary waves, in: Environmental Stratified Flows, ed. by: Grimshaw, R. Boston: Kluwer, 2001.

60. Jackson Ch.R. (Ed.) An atlas of internal solitary-like waves and their properties. 2nd ed. -Alexandria (Va): Global Ocean Associates, 2004. 560 pp. URL: http://www.internalwaveatlas.com.

61. Jeans D.R.G. Solitary internal waves in the ocean: A literature review completed as part of the internal wave contribution to Morena, UCES, Marine Science Labs, University of North Wales, Rep. U-95, 1995.

62. Kakutani T. Solitary waves on two-layer fluid / Kakutani T., Yamasaki N. // J. Phys. Soc. Japan, 1978,- 45, 674.

63. Knauss J. A. Introduction to Physical Oceanography / Prentice Hall, 1996. 309 pp.

64. Koop C.G. An investigation of internal solitary waves in two-fluid system / Koop, C.G., and Butler, G. //J. Fluid Mech., 1981. 112. - p. 225 - 251.

65. Lamb K. Nurnerical experiments of internal wave generation by strong tidal flow across a finite amplitude bank edge // J. Geoph. Res., 1994. v. 99 CI. p. 843-864.

66. Lamb K. The evolution of internal wave undular bores: comparisons of a fully nonlinear numerical model with weakly nonlinear theory / K. Lamb, L. Yan // J. Phys. Oceanography. 1996. -v. 26. p. 2712-2734.

67. Lamb K. G. Conjugate flows and flat solitary waves for a continuously stratified fluid / Lamb K. G. and Wan, B. // Phys. Fluids, 1998. 10. - p. 2061-2079.

68. Lamb K. G. Conjugate flows for a three-layer fluid // Phys. Fluids, 2000. 12- p. 2169 -2185.

69. Lamb K.G. Extreme internal solitary waves in the ocean: Theoretical considerations // Preprint University of Waterloo. 2006. p. 109-117.

70. Lepparanta M., K. Myrberg Physical Oceanography of the Baltic Sea / Springer Praxis, Berlin Heidelberg New York, 2009. 378 pp.

71. Li Chin-Hsiu Instability of Three-Layer Viscous Stratified Flow // Physics of Fluids. 1969. 12. p. 2473-2481

72. Long R.R. Some aspects of the flow of stratified fluids. I. A theoretical investigation // Tellus. 1953. V. 42. P. 42-58.

73. Maderich V., Talipova T., Grimshaw R., Pelinovsky E., Choi B.H., Brovchenko I., Terletska K., Kim D.C. The transformation of an interfacial solitary wave of elevation at a bottom step // Nonlin. Process. Geophys. 2009. V. 16. P. 33 -42.

74. Maderich V., Talipova T., Grimshaw R., Terletska E., Brovchenko I., Pelinovsky E., Choi B.H. Interaction of a large amplitude interfacial solitary wave of depression with a bottom step // Phys. Fluids. 2010. V. 22. P. 076602.

75. Makarenko N. I.On the non-uniqueness of conjugate flows // J. Appl. Mech. Techn. Phys., 2004.-45 -p. 68 -74.

76. Makarenko N. I. Conjugate flows and amplitude bounds for internal solitary waves / Makarenko N.I., Maltseva Zh.L. and Kazakov A.Yu. // Nonlinear Process. Geophys., 2009. -16 p. 169- 178.

77. Mann K.H. and Lazier J.R.N. Dynamics of Marine Ecosystems: Biological-Physical Interactions of the Oceans. Blackwell, UK, 2006.

78. Marchant T.R. Soliton interaction for the extended Korteweg de Vries equation / T.R. Marchant, N.F. Smyth // J. Appl. Math., 1996. - v. 56. - p. 157 - 176.

79. Marshall J. Hydrostatic, quasi-hydrostatic, and nonhydrostatic ocean modeling / J. Marshall et al. // J. Geophysical Res. 1997. v. 102(C3). No. 37. p. 5753 5766.

80. Mehta A.P. Interfacial gravity currents. Wave excitation / Mehta, A.P., Sutherland, B.R., and Kyba, P.J. //Phys. Fluids, 2002. -14. p. 3558-3569.

81. Mercier M., Vasseur R., Dauxois T. Resurrecting Dead-water Phenomenon // Nonlin. Processes Geophys. 2011. V. 18. P. 193 -208.

82. Michallet H. Experimental study of interfacial solitary waves / Michallet H. and Barthelemy F. // J. Fluid Mech., 1998. 366, 159.

83. Miles J. W. On internal solitary waves // Tellus. 1979. - 31, 456.

84. Miles J. W. On internal solitary waves II // Tellus. 1981. - 33, 397.

85. Mirie, R. M. Internal solitary waves in a two-fluid system / Mirie, R. M. and Pennel, S. A. // Phys. Fluids A, 1989. 1. -986. - p. 1 -6.

86. Miyata M. Long internal waves of large amplitude / Nonlinear Water Waves (ed. K. Horikawa and H. Maruo), Springer, 1988. p. 399-406.

87. Miyata M. A note on broad and narrow solitary waves // IPRC Report 00-01 SOEST 00-05, Honolulu, Hawaii, 2000. 47 p.

88. Nakoulima O., Zahibo N., Pelinovsky E., Talipova T., Slunyaev A., Kurkin A. Analytical and numerical studies of the variable-coefficient Gardner equation. Applied Mathematics and Computation 152; 2004, p. 449^171.

89. Newell A.C. Solitons in mathematics and physics. SIAM, Philadelphia, 1985, 244 p.

90. Osborne A.R. Soliton creation and destruction, resonant interactions, and inelastic collisions in shallow water waves / A.R. Osborne, M. Onorato, M. Serio, and L. Bergamasco // Phys. Rev. Lett., 1998.-v. 81.-p. 3559-3562.

91. Osborne A.R. Nonlinear ocean waves and the Inverse Scattering Transform. Elsevier, San Diego, 2010.

92. Ostrovsky L.A., Stepanyants, Yu.A. Do internal solitons exist in the ocean? Rev. Geophys. 27/3; 1989, p. 293-310.

93. Ostrovsky L., Stepanyants, Yu. Internal solitons in laboratory experiments: comparison with theoretical models. Chaos 15; 2005, Art. No. 037111.

94. Pelinovsky D.E. An asymptotic approach to solitary wave instability and critical collapse in long-wave KdV-type evolution equations / D.E. Pelinovsky, R.H.J. Grimshaw // Physica D 1996. -v. 98.-p. 139 155.

95. Pelinovsky D., and Grimshaw, R. Structural transformation of eigenvalues for a perturbed algebraic soliton potential. Phys. Lett. A, 1997, 229, 165 172.

96. Pelinovsky E. N. Nonlinear internal waves in the ocean stratified in density and current / Pelinovsky E. N., Polukhina O. E., and Lamb K. // Oceanology, 2000. 40, 757.

97. Pelinovsky E. Internal solitary waves / Pelinovsky, E., Polukhina, O., Slunyaev, A. & Talipova, T. // Chapter 4 in the book "Solitary Waves in Fluids". WIT Press. Southampton, Boston. 2007.-p. 85-110.

98. Pullin D.I., Grimshaw R.H.J. Finite-amplitude solitary waves at the interface between two homogeneous fluids. Phys. Fluids 31; 1998, p. 3550.

99. Reeder D., Ma B., & Yang Y. Very large subaqueous sand dunes on the upper continental slope in the South China Sea generated by episodic, shoaling deep-water internal solitary waves. // Marine Geology, 2010. -DOI: 10.1016/j.margeo.2010.10.009

100. Romanov A.A., Sedaeva O.S., Shevchenko G.V. Seasonal and tidal variations of the sea level between Hokkaido and Sakhalin Islands based ob satellite altimetry and coastal tide gauge data// J. Pacific Oceanography, 2004. v. 2, No. 1-2, p. 117-125.

101. Rubino A., Brandt P., Weigle R. On the dynamics of internal waves in a nonlinear, weakly nonhydrostatic three-layer ocean // J.Geophys. Res. 2001. V. 106. P. 26899 26915.

102. Rusas P.-O., Grue J. Solitary waves and conjugate flows in a three-layer fluid. European J. Mech. B/Fluids 21; 2002, p. 185-206.

103. Sabinin K., Serebryany A. Intense short-period internal waves in the ocean. J. Marine Res. 63; 2005, p. 227-261.

104. Sandstrom H., Elliott J.A. Internal tides and solitons on the Scotian Shelf: a nutrient pump at work // J. Geophys. Res., 1984. v. 89, p. 6415-6426.

105. Soomere T. Coupling coefficients and kinetic equation for Rossby waves. Nonlin. Process. Geophys. 10; 2003, p. 385-396.

106. Soomere T. Solitons interactions in: Meyers, R.A. (editor), Encyclopedia of Complexity and Systems Science, Springer, 2009. 9. - p. 8479-8504.

107. Slyunyaev A. V. Dynamics of large-amplitude solitons / Slyunyaev A. V. and Pelinovsky E. N. // J. Exp. Theor. Phys., 1999. 89, 173.

108. Slyunyaev A. V. Dynamics of localized waves with large amplitude in a weakly dispersive medium with a quadratic and positive cubic nonlinearity // J. Exp. Theor. Phys., 2001. 92, 529.

109. Sridevi B., Murty T.V.R., Sadhuram Y., Murty V.S.N. Impact of internal waves on the acoustic field at a coastal station off Paradeep, east coast of India. Nat. Hazards; 2010, DOI 10.1007/sl 1069-010-9567-9.

110. StastnaM., LambK.G. Sediment resuspension mechanisms associated with internal wave in coastal waters. J. Geophys. Res. 113; 2008, p. C10016.

111. Stober U., Moum J.N. On the potential for automated realtime detection of nonlinear internal waves from seafloor pressure measurements. Appl. Ocean Res. 33; 2011, p. 275-285.

112. Teague W.J, Carron M.J., and Hogan P.J. A comparison between the Generalized Digital Environmental Model and Levitus climatologies. //J. Geophy. Res., 1990. -95, p.7167-7183.

113. Talipova T., Pelinovskii E., Grimshaw R. Transformation of a soliton at a point of zero nonlinearity. JETP Letters 65; 1997, p. 120-125.

114. Talipova T. Cubic nonlinearity effects in the propagation of intense internaj waves / Talipova T., Pelinovsky E., Lamb K., Grimshaw R., and P. Holloway // Doklady Earth Sciences, 1999. -365, 241.

115. Vlasenko V. Nonlinear internal waves forced by tides near the critical latitude/ Vlasenko, V., Stashchuk, N., Hutter, K., Sabinin, K.II Deep-Sea Research I, 2003. v. 50. p. 317-338

116. Vlasenko V., Stashchuk N., Hutter K. Baroclinic tides: Theoretical modeling and observational evidence. Cambridge: Cambridge University Press, 2005.

117. Warn-Varnas A., Chin-Bing S.A., King D.B., Hawkins J., Lamb K. Effects on acoustics caused by ocean solitons, Part A. Oceanography. Nonlinear Analysis 71; 2009, p. el807-el817.

118. Woolfenden H.C., Parau E.I. Numerical computation of solitary waves in a two-layer fluid // J. Fluid Mech. 2011. 688. p. 528-550.

119. Yang Y. J. Convex and concave types of second baroclinic mode internal solitary waves / Yang Y. J., Fang Y. C., Tang T. Y„ and Ramp S. R.// Nonlin. Process. Geophys., 2010. 17, 605.

120. Zahibo N. Strongly nonlinear steepening of long interfacial waves / Zahibo N., Slunyaev A., Talipova T., Pelinovsky E., Kurkin A., and Polukhina O. //Nonlin. Process. Geophys., 2007. 14, 1.