Динамика орбитальной тросовой системы при воздействии возмущающих факторов космического полета тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

Введение.

1. Математическая модель малых колебаний орбитальной тросовой системы относительно центра масс.

1.1 Постановка задачи.

1.2 Уравнения движения материальной точки в орбитальной системе координат.

1.3 Математическая модель для анализа малых колебаний тросовой системы относительно центра масс в плоскости орбиты.

1.4 Численный алгоритм.

1.5 Выводы по главе 1.

2. Определение собственных динамических характеристик тросовой системы.

2.1 Математическая модель собственных продольных колебаний тросовой системы.

2.2 Математическая модель собственных поперечных колебаний тросовой системы с концевыми массами.

2.3 Математическая модель собственных поперечных колебаний тросовой системы с концевыми телами.

2.4 Результаты численного моделирования.

2.5 Выводы по главе 2.

3. Экспериментальное исследование упругих и диссипативных свойств троса.

3.1 Анализ затухания свободных колебаний.

3.2 Энергетическая оценка диссипативных свойств троса.

3.3 Демпфирование форм собственных колебаний.

3.4 Выводы по главе 3.

4. Возмущающие воздействия.

4.1 Анализ возмущающих факторов.

4.2 Математическая модель температурного состояния троса.

4.3 Расчет температурного состояния троса.

4.4 Термоупругое возмущение тросовой системы.

4.5 Частотные свойства термоупругого возмущения.

4.6 Гравитационное возмущение тросовой системы.

4.7 Частотные свойства гравитационного возмущения.

4.8 Выводы по главе 4.

5. Численное моделирование воздействия возмущающих факторов на движение тросовой системы относительно центра масс.

5.1 Частотные свойства тросовой системы и внешних воздействий.

5.2 Численное моделирование внутренней динамики тросовой системы при отсутствии резонансных соотношений.

5.3 Численное моделирование внутренней динамики тросовой системы в окрестности резонанса продольных колебаний.

5.4 Резонанс продольных колебаний тросовой системы. Частотная характеристика.

5.5 Угловое движение ОТС. Резонанс угловых колебаний концевого тела.

5.6 Анализ результатов численного моделирования и выводы.

Орбитальной тросовой системой (ОТС) называется совокупность искусственных космических объектов, соединенных гибкими протяженными связями (тросами).

Идея создания ОТС впервые была высказана К.Э.Циолковским в работе "Грёзы о Земле и небе" в 1895г. [1]. Циолковский предложил соединить космический аппарат длинной цепью с дополнительной массой и закрутить полученную связку относительно общего центра масс, что позволило бы получить на борту искусственную тяжесть.

Регулярные теоретические исследования ОТС ведутся в нашей стране и за рубежом с 60-70-х годов. Среди большого числа работ отечественных авторов, исследовавших вопросы теории и практического применения тросов в космосе, наибольшую известность получили монографии Иванова В.А. и Ситарского Ю.С. [2], а так же Белецкого В.В. и Левина Е.М. [3].

Появление современных концепций использования тросов в космосе на Западе обычно связывают с именем итальянского ученого Джузеппе Коломбо (1920-1984). Авторами наиболее известных публикаций в этой области являются Беки И. ([4], [5]), Кэрролл Дж. ([6], [7]), Мисра А.К. и Моди В.Дж. ([8]) и многие другие.

Перспективы развития новой космической технологии впервые широко обсуждались на XXXV конгрессе Международной астронавтической федерации в 1984 г. в Лозанне, где была образована секция "Применение тросов в космосе". Впоследствии международные конференции по ОТС стали традиционными, они проводились в Венеции (Италия, 1987), Сан-Франциско (США, 1989), Риме (Италия, 1991), Нордвике (Голландия, 1994), Вашингтоне (США, 1995). В США выпускается «Справочное руководство по тросам в космосе». Последнее, третье издание справочника вышло в декабре 1997г. и помещено в Интернете [9]. В этом руководстве содержится обзор вопросов теории, возможного практического применения тросовых систем, разработок, проводимых в западных странах в этой области, планируемых космических экспериментов, библиография. Среди отечественных изданий, в [3] приведен наиболее подробный анализ различных способов применения ОТС, реализуемых при этом физических принципов и достижимых технических характеристик.

В настоящее время работы по освоению технологии ОТС достигли стадии создания опытных образцов и проведения летных экспериментов. Разработки в этом направлении ведутся примерно в 10 странах мира, включая США, Канаду, Италию, Германию, Францию, Японию и Россию. Проведены около 15 экспериментов в космосе с использованием тросов. Первыми из них были американские эксперименты 1966г. по соединению космических кораблей «Джемини-11» и «Джемини-12» с ракетной ступенью «Аджена» при помощи синтетической ленты длиной около 30 метров [10].

В 1980-85 годах в рамках американо - японской программы были осуществлены четыре запуска (из них первые два - неудачно) зондирующих ракет на высоту 328 км, которые в свободном падении выпускали на несколько минут полезный груз массой 75 кг на проводящем тросе длиной 400 метров с целью исследования электромагнитного взаимодействия с окружающей плазмой.

С начала 80-х годов разрабатывается совместный итало -американский проект TSS (Tethered Satellite System), предусматривающий проведение двух экспериментов с привязными спутниками на Шаттле: создание электродинамической тросовой системы (TSS-1) и зондирование верхних слоев атмосферы (TSS-2) [11]. Две попытки осуществления эксперимента TSS-1 в 1992 и в 1996г. окончились неудачей.

В 1993 году в США проведен успешный эксперимент по испытанию тросового блока SEDS (Small Expendable tether Deployer Systems). Катушка массой 14 кг с полиэтиленовым тросом длиной около 20 км и массой 22 кг была установлена на второй ступени ракеты-носителя «Дельта-2». Через час после пуска ракеты, на высоте около 720 км, был включен механизм размотки катушки и полезный груз массой 23 кг за 30 минут отведен на полную длину троса. Совместный полет второй ступени и привязного спутника продолжался 14 минут, затем трос был отрезан от катушки и вместе с полезным грузом сгорел в атмосфере Земли. Одной из задач этого эксперимента являлось изучение возможности снижения высоты орбиты привязного спутника. Второй эксперимент этой серии был проведен в 1994г., так же успешно.

В настоящее время в США и Европе продолжается разработка космических экспериментов с тросами TSS, SEDS, OEDIPUS, ATM, RAPUNZEL, STEX и других [9].

Следует отметить, что ни в одном из проведенных до настоящего времени экспериментов не было в полной мере реализовано какое-либо полезное свойство тросовой системы.

К основным задачам, которые планируется решать в космосе с помощью тросовых систем в ближайшей перспективе, относятся ([2], [3], [9], [И], [12]):

- Спуск грузов с орбиты на Землю (и другие планеты). В частности, возможно оснащение Международной Космической Станции (МКС) тросовой транспортной системой для возвращения баллистических капсул. Это снизит стоимость доставки грузов с орбиты и удешевит эксплуатацию станции в целом, за счет уменьшения потребностей в топливе. Для баллистических капсул не нужна система управления и тормозная двигательная установка. Длина троса составит около 50 километров. Другой вариант - выполнение орбитальных маневров при помощи ОТС.

- Использование электромагнитных тросовых систем в генераторном режиме для получения электроэнергии на борту космических аппаратов и/или в двигательном режиме для поддержания орбиты и выполнения маневров практически без расхода рабочего тела. Так, по оценкам NASA, использование электромагнитной тросовой системы для поддержания орбиты

МКС в течение десяти лет позволит сэкономить 2 млрд.$ [13]. Длина электропроводного троса в этом случае - порядка 20 километров. Электромагнитные ОТС могут использоваться в качестве межорбитальных буксиров.

- Привязные спутники, опускаемые вниз с основного космического аппарата (КА), могут выполнять фотографирование Земли с высот, недоступных обычным КА (200 - 110 км), изучать верхние слои атмосферы, проводить аэродинамические исследования в условиях, моделирование которых на Земле невозможно. Необходимая длина троса, в этих случаях, не менее 100 километров.

- Тросы могут использоваться в качестве несущих элементов протяженных солнечных батарей, радиоинтерферометров, гирлянд зондов и т.д.

- Создание систем связи в диапазонах длинных и сверхдлинных волн требует развертывания на орбите антенн с характерными размерами от сотен метров до десятков километров. Здесь не обойтись без использования тросов.

- С помощью тросов предполагается получение заданного, в том числе переменного, уровня микрогравитации на борту КА, гравитационная стабилизация космических объектов.

- Блоки орбитальных станций, представляющие опасность, создающие электромагнитные, механические или другие помехи, могут быть удалены на безопасное расстояние при помощи тросов.

- Целесообразно оснащать орбитальные станции стыковочными узлами на тросе. Это увеличивает безопасность операций стыковки. Причаливание транспортных кораблей к стыковочному узлу, опущенному с орбитальной станции на несколько десятков километров, может дать годовую экономию 100 млн.$ [14]. Тросовые системы стыковки и перехвата могут применяться для инспекции и обслуживания спутников, что важно для гражданского и другого применения.

Таким образом, область предполагаемого использования ОТС обширна.

В нашей стране работы по созданию ОТС ведутся с конца 80-х годов в РКК "Энергия", НПО "Машиностроение" и других организациях. В РКК "Энергия" разработана программа поэтапного освоения технологии использования ОТС путем проведения экспериментов "Трос-1", "Вулкан", "Трос-2" [15]. При подготовке этих экспериментов должны быть исследованы, в части механики ОТС, следующие основные задачи:

- управляемое развертывание тросовой системы;

- динамика орбитального полета развернутой ОТС;

- разделение ОТС на составные части или управляемое свертывание по окончании эксперимента.

Исследование последних двух вопросов проводилось в МГТУ им. Баумана, на кафедре СМ-1.

Настоящая работа посвящена исследованию динамики орбитального полета развернутой ОТС. Рассматривается ОТС в составе двух концевых тел и одного соединительного троса, находящаяся в развернутом, гравитационно -уравновешенном состоянии. Предполагаемый вид такой ОТС в экспериментах «Трос-1», «Трос-2» показан на рис. В. 1.

В работах многих авторов показано ([2], [3], [16]), что для тросовой системы, как и любого протяженного в одном направлении объекта, вертикальное положение на орбите является единственным устойчивым. При вертикальном равновесии связки на круговой орбите скорость верхней массы больше орбитальной на той же высоте. На эту массу воздействует большая центробежная сила, чем гравитационная. Для нижней массы верно противоположное. Ее скорость меньше необходимой орбитальной, и на нее воздействует большая гравитационная сила, чем центробежная. Разность между гравитационной и центробежной силами, воздействующими на каждую массу, создает натяжение троса и поддерживает систему в вертикальном равновесии [17].

Рис. В.1. Вид ОТС в разрабатываемом эксперименте «Трос-1»

Ставится задача исследования движения ОТС относительно центра масс (внутренней динамики) при воздействии на нее возмущающих факторов кос -мического полета. Задача формулируется как обратная [17], т.к. конфигурация системы считается заданной.

К числу наиболее существенных внешних воздействий, возмущающих движение ОТС относительно центра масс, относятся гармоники потенциала тяготения Земли и температурные деформации троса при изменении тепловых потоков в орбитальном движении.

Актуальность исследования внутренней динамики ОТС в орбитальном движении определяется необходимостью решения следующих проблем:

- Обеспечение безопасности концевых тел (прежде всего орбитальной станции) при проведении космических экспериментов с тросами. Необходимо определить действующие на концевые тела в составе ОТС силы и моменты по амплитуде и частотным свойствам, возникающие при этом уровни микрогравитации, найти амплитуды перемещений и углов поворота концевых тел.

- Обеспечение прочности троса на разрыв и неотрицательности натяжения (сход со связи концевых тел недопустим).

- Информация об амлитудах перемещений и скоростях концевых тел в относительном движении необходима для баллистического расчета движения элементов ОТС после ее разделения.

- При разработке математической модели внутренней динамики ОТС и последующем численном моделировании вырабатываются рекомендации по созданию упрощенных динамических моделей, используемых в процессе проектирования ОТС.

- Математическая модель внутренней динамики ОТС при воздействии возмущающих факторов космического полета является составной частью более сложных моделей тросовых систем при учете электродинамических сил, анализе развертывания и свертывания ОТС и т.д.

Внутренняя динамика ОТС до настоящего времени не исследована достаточно подробно, т.к. большинство авторов сосредотачивали свое внимание на наиболее общих проблемах механики ОТС: законах управления выпуском и втягиванием тросов и устойчивости процессов развертывания и свертывания, конфигурациях тросовых систем в полете, выполнении орбитальных маневров и т.д. Воздействие возмущающих факторов на внутреннюю динамику ОТС рассматривается в [3], [8], [18], [19], [20]. В этих работах отсутствует вывод о возможности возникновения динамических эффектов, опасных для функционирования ОТС.

С началом разработки эксперимента «Трос-1» в РКК «Энергия» задача о влиянии температурного состояния троса на продольные колебания тросовой системы рассматривалась в Институте Машиноведения АН СССР (1989 -1991), где ей занимался Е.М.Левин, и в Киевском Инженерно-Строительном Институте (1992 - 1994). В обоих случаях был сделан вывод о несущественности термоупругого воздействия на ОТС.

Необходимо отметить, что в вышеперечисленных работах сделан ряд предположений, существенно упрощающих математическую модель исследуемого объекта и внешних воздействий. Модель ОТС при продольных колебаниях, как правило, имеет одну степень свободы, т.е. рассматриваются колебания двух масс на невесомом тросе. Связь продольного движения с маятниковым не учитывается. Пересечение тросовой системой линии терминатора рассматривается, как быстропротекающий процесс. Явления, связанные с периодическим повторением возмущения, не анализируются.

Большинство отечественных и зарубежных работ по тросовым системам написаны инженерами-математиками. Для них характерны аналитическая формулировка задачи и исследование ее качественными методами теории устойчивости, теоретической и аналитической механики. Во многих случаях решение не доводится до численных результатов, а ограничивается анализом характера процесса и количественными оценками для частных случаев.

12

Настоящая работа выполнена с целью более подробного качественного и количественного анализа внутренней динамики ОТС в орбитальном полете. При этом сделана попытка решения задачи с использованием традиционных для инженеров - прочнистов методов строительной механики и динамики конструкций. Численное моделирование выполнено с учетом характеристик реального троса, полученных экспериментально. Использованы характеристики ОТС в планируемых экспериментах «Трос-1», «Трос-2». Работа состоит из пяти глав. В первой главе формулируется математическая модель внутренней динамики ОТС. Вторая глава посвящена исследованию собственных динамических характеристик ОТС. В третьей главе приведены результаты экспериментального исследования жесткостных и диссипативных свойств троса. В четвертой главе исследованы возмущающие воздействия. В пятой главе приводятся результаты численного моделирования и анализируется внутренняя динамика в зависимости от соотношения частотных свойств ОТС и внешних воздействий.

Результаты работы докладывались на ряде международных и всероссийских научно-технических конференций ([21] - [27]).

Заключение

Диссертационная работа посвящена изучению внутренней динамики перспективного средства космической техники - орбитальной тросовой системы. Рассматривается ОТС в составе двух концевых тел и одного соединительного троса, совершающая орбитальный полет в развернутом, гравитационно - уравновешенном состоянии.

Исследуется влияние возмущающих воздействий на движение ОТС относительно центра масс в плоскости орбиты. Разработаны математическая модель объекта и численный алгоритм для расчета. Математическая модель является физически и геометрически линейной и основана на разложении динамической реакции конструкции в ряд по формам собственных колебаний. Уравнения для обобщенных координат радиальных и трансверсальных форм движения ОТС связаны силами Кориолиса. Параметрические взаимодействия между ними учитываются при помощи переменных коэффициентов. Предложены частные математические модели для анализа собственных колебаний тросовой системы. Упругие и диссипативные свойства троса исследованы экспериментально. В заданном диапазоне частот трос обладает постоянным относительным гистерезисом.

Возмущающими воздействиями являются температурные деформации троса при изменении условий освещенности на витке орбиты и гармоники потенциала тяготения Земли. Разработаны математические модели для расчета возмущающих факторов. Установлен периодический характер термоупругого возмущения и возмущения, порождаемого зональными гармониками геопотенциала. Проанализированы их частотные свойства. Анализ частотных свойств термоупругого возмущения позволил предположить возможность резонансных эффектов, что подтвердилось последующим численным моделированием.

Для численного моделирования использованы характеристики тросовой системы разрабатываемого космического эксперимента «Трос - 1». Получены

152 результаты, дающие подробное представление о внутренней динамике ОТС в орбитальном полете. Установлена возможность резонансного возбуждения как продольных, так и поперечных колебаний ОТС при термоупругом воздействии. Для случая продольных колебаний построена частотная характеристика силы натяжения троса. Исследовано влияние диссипативных свойств троса на коэффициент динамичности при резонансе.

Причиной резонансных эффектов является кратность одной из собственных частот ОТС орбитальному периоду обращения, что приводит к ее совпадению с соответствующей гармоникой внешнего воздействия. Установлено, что резонансное возбуждение возможно для пяти форм собственных колебаний ОТС: продольных по основному тону и четырех поперечных. При проектировании ОТС следует исключить кратность этих собственных частот частоте орбитального обращения.

Полученные результаты являются новыми и ранее другими авторами не публиковались. Разработанный пакет прикладных программ ипользовался при подготовке космического эксперимента «Трос -1» в РКК «Энергия».

1. Циолковский К.Э. Грезы о Земле и небе - Тула: Приокское книжное изд-во, 1986. - 448с.

2. Иванов В.А., Ситарский Ю.С. Динамика полета системы гибко связанных космических объектов М.: Машиностроение, 1986. - 248с.

3. Белецкий В.В., Левин Е.М. Динамика космических тросовых систем -М.: Наука, 1990.-336с.

4. Bekey I. Tethers open new space options // Astronautics and Aeronautics. -1983. V.21, № 4. - P.32-40.

5. Bekey I. Applications of space tethers // 35-th Internat. Astronautical Congr. 1984.- V.4.- P.420 - 436.

6. Carroll J.A. Tether application in space transportation // Astra Astronautica. 1986.-V.13, № 4.- P.165-174.

7. Carroll J.A. Guidebook for analysis of tether applications: Final Report (contract RH4-394049) / Martin Marietta. Energy Science Labs Chula Vista, 1985. -110р.

8. Misra A.K., Modi V.J. A survey on the dynamics and control of tethered satellite systems // NASA/AIAA/PSN 1st International Conference on tethers. -Arlington, 1986. V. AAS86 - P.246 - 252.

9. Tethers in space handbook / Edited by M.L. Cosmo and E.C. Lorenzini. -Smithsonian Astrophysical Observatory, 1997. 235p.

10. Гэтланд К. Космическая техника М.: Мир, 1986. - 296с.

11. Tethers in space. -Torino: Aeritalia, Space Systems Group, 1987. 26p.

12. Феоктистов К.П. Космическая техника. Перспективы развития М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1997. - 172с.

13. Черный И.А., Александров JI.A. «Икар» на проволоке // Новости космонавтики. 2000. - №4(207).- С.46.

14. Привязная система на космической станции / Дж.К. Харрисон, J1. Лемке, У. Вудис и др. // Аэрокосмическая техника. 1987. - №6. - С. 177 - 179.

15. Осипов В.Г., Шошунов Н.Л. В космосе. на тросе // Наука в России. -1996. №1. -С.28-39.

16. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс М.: Наука, 1965. - 231с.

17. Усюкин В.И. Строительная механика конструкций космической техники М.: Машиностроение, 1988. - 392с.

18. Arnold D.A. The behavior of long tethers in space // Advances in the Astronautical Sciences. AAS Publ. - 1987. - V.62. - P.35-50.

19. Napolitano L.G., Bevilacqua F. Tethered constellations, their utillization as microgravity platform and relevant features // 35th IAF Congress. -Lausanne, 1984. -V.4. -P.136-144.

20. Sgubini S. Thermal effects on tether dynamics // Conferense Procceedings on Space Tethers for Sciense in the Space Station Era-Venice, 1987. -V. 14. P.461-467.

21. Экспериментальные исследования термовязкоупругих свойств тросов, применяемых в космосе / В.Г. Осипов, Н.Л. Шошунов, В.В. Коровин и др. // Крупногабаритные космические конструкции.: Тез. докл. Международной научно-техн. конф. Новгород, 1993. - С.37.

22. Коровин В.В., Сдобников А.Н., Усюкин В.И. Динамика орбитальной тросовой системы при гравитационных и термоупругих возмущениях // Крупногабаритные космические конструкции.: Тез. докл. Международн. семинара. М., 1997. - С.7.

23. Коровин В.В. Резонансные явления при орбитальном полете тросовой системы // Фундаментальные исследования в техническихуниверситетах.: Тез. докл. Всероссийск. научно-техн. конф. СПб., 1997. -С.301-302.

24. Шошунов H.JL, Коровин В.В. Компьютерное моделирование космического эксперимента с тросовой системой // Ракетно-космическая техника: фундаментальные проблемы механики и теплообмена.: Тез. докл. международн. научн. конф. -М., 1998. С. 16.

25. Коровин В.В., Сдобников А.Н., Темнов А.Н. Термоупругие свойства тросов и кабелей и динамика орбитальных тросовых систем

26. Материалы и покрытия в экстремальных условиях: исследования, применение, экологически чистые технологии производства и утилизации изделий.: Тез. докл. международн. научн. конф. -Киев, 2000.-С.354.

27. Коровин В.В., Сдобников А.Н., Усюкин В.И. Влияние возмущающих факторов космического полета на внутреннюю динамику орбитальной тросовой системы // Прикладные проблемы механики ракетно -космических систем.: Тез. докл. Всероссийск. конф. М., 2000. - С.23.

28. Управление и навигация искусственных спутников Земли на околокруговых орбитах / М.Ф. Решетнев, A.A. Лебедев, В.А. Бартенев и др. -М.: Машиностроение, 1988. 336с.

29. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика М.: Наука, 1988. -Т. 1: Механика. - 216с.

30. Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний М.: Высшая школа, 1972. - 416с.

31. Никитин H.H. Курс теоретической механики М. : Высшая школа, 1990.-607с.

32. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики СПб.: Лань, 1998. - 736с.

33. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле М.: Машиностроение, 1985. - 472с.

34. Ивович В.А. Переходные матрицы в динамике упругих систем -М.: Машиностроение, 1969. 199с.

35. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на ФОРТРАНЕ М.: Мир, 1977. - 584с.

36. Основы строительной механики ракет / Л.И. Балабух, К.С. Колесников, B.C. Зарубин и др. М.: Высшая школа, 1969. - 494с.

37. Светлицкий В.А. Механика гибких стержней и нитей. М.: Машиностроение, 1978.-221с.

38. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики -М.: Наука, 1970. 664с.

39. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем -М.: ГИФМЛ, 1960. 193с.

40. Механика больших космических конструкций / Н.В. Баничук, И.И. Карпов, Д.М. Климов и др. М.: Факториал, 1997. - 302с.

41. Моделирование тепловых режимов космического аппарата и окружающей его среды / Под ред. акад. Г.И. Петрова М.: Машиностроение, 1971.-382с.

42. Фаворский О.Н., Каданер Я.С. Вопросы теплообмена в космосе М.: Высшая школа, 1972. - 280с.

43. Внешний теплообмен космических аппаратов / Г.П. Кобранов, А.П. Цветков, А.И. Белов и др. М.: Машиностроение, 1977. - 104с.

44. Залетаев В.М., Капинос Ю.В., Сургучев О.В. Расчет теплообмена космического аппарата М.: Машиностроение, 1979. - 208с.

45. Малоземов В.В. Тепловой режим космических аппаратов М.: Машиностроение, 1980. - 232с.

46. Юдаев Б.Н. Теплопередача М.: Высшая школа, 1981.- 319с.

47. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике / B.C. Авдуевский, Б.М. Галицейский, Г.А. Глебов и др.; Под. общ. ред.

48. B.C. Авдуевского, В.К. Кошкина М.: Машиностроение , 1992. - 528с.

49. Колесников А.В., Сербии А.В. Моделирование условий внешнего теплообмена космических аппаратов М.: Машиностроение, 1997. - 170с.

50. Алабовский А.Н., Недужий И.А. Техническая термодинамика и теплопередача Киев: Вища школа, 1990.-255с.

51. Даниловская В.И. Температурные напряжения в упругом полупространстве, возникающие вследствие внезапного нагрева его границы

52. Прикладная математика и механика. 1950. - Т. XIV, Вып. 3. - С.24 -36.

53. Даниловская В.И. Об одной динамической задаче термоупругости // Прикладная математика и механика. -1952. Т. XVI, Вып. 3. - С.13 -17.

54. Новацкий В.А. Динамические задачи термоупругости- М.: Мир, 1970.- 256с.

55. Boley В.A. Thermally Induced Vibration of Beams // Journal of The Aeronautical Sience. 1956 - V.23.-P.27-34.

56. Chadwik P., Sheddon I.N. Plane Waves in an Elastic Solid Conducting Heat// Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1958 - V. 6.-P.43-49.

57. Parcus H. Instationare Warmespannungen Wien: Springer Verlag, 1959.- 226s.

58. Синицын А.П. Термоупругие колебания системы с несколькими степенями свободы // Исследования по теории сооружений.- 1961. T.XI.1. C.76.-82.

59. Кин Н. Тонг Теория механических колебаний М.: Машгиз, 1963.351с.158

60. Чернявский Г.М., Бартенев В.А. Орбиты спутников связи М. Связь, 1978.-240с.

61. Астапов Ю.М. Земля и гравитация М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э Баумана, 1996. - 188с.

62. Полиномы Лежандра Р(х), п=1. .6: Pi =х1. Р2Л(Зх2-1)1. Р3=^(5х3-Зх)1. Р4 = -(35х4 30х2 + 3) 81. Р5 = -(63х5 -70х3 +15х) 8

63. Р6 =— (231х6 -315х4 +105х2 -5) 6 16

64. Первые производные от полиномов Лежандра: Р2 = Зх ; Р3' = ^(15х2-3)1. P4'=i(140x3 -60x) 8

65. Р' = -(315х4 210х2 + 15) 8

66. Р6' = -(693х5 630х3 + 105х) 8

67. Присоединенные полиномы Лежандра порядка п и индекса m определяются по формуле:- dm

68. Р„(х) = (1-х2)2—Г(РВ(Х)), п=0,1,2. ; ш=0Д, .п ; ах

69. Р21=3х(1-х2)^; Р22=3(1-х2);о

70. Р31 = -(5х2 1)(1 - х2)^; Р32 =15х(1-х2);я!1. Р33=15(1-х2)%;

71. Р41=-(7,5х-17,5х3)(1-х2)/2;1. Р42=(1-х2)(52,5х2-7,5);

72. Р43 = 105(1 -х2)^ ; Р44 = 105(1-х2)2;

73. Р51 = ^ (315х4 21 Ох2 +15)(1 - х2 /2;

74. Р52 =(157,5х3-52,5х)(1-х2); Р53 =(1-х2)%72,5х2 -52,5);

75. Р54 = 945х(1 х2)2; Р55 = 945(1 - х2)2'5;

76. Р61 =1(1-х2)^(693х5 -630х3+105х);

77. Р62 = I(1 х2)(3465х4 -1890х2 +105); 8рбз = -(1 х2)А(13860х3 - 3780х); 8

78. Р64 =1(1-х2)2(41580х2 -3780); 8

79. Р65 = 10395х(1 х2 )2,5; Р66 = 10395(1-х2)3; Первые производные от присоединенных полиномов Лежандра: Р; = -(6х2 - 3)(1 - х2) 1/2 Р;2 = -6х; Р/, =-(22,5х3-16,5х)(1-х2)>/2; Р3'2 = 15(1 - Зх2); Р;з = -45х(1 - х2)^;

80. Р41 = -10х2(7х2 -6)(1-х2) Р42 = -21 Ох3 +120х ;

81. Р4'з = 105(1-х2)Х +315х2(1-х2)К; Р4'4 = -420х(1 х2);