Относительные равновесия маятниковых систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА_

Механико-математический факультет

На правах рукописи

ЕВДОКИМЕНКО Артем Петрович

ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ РАВНОВЕСИЯ МАЯТНИКОВЫХ СИСТЕМ

Специальность: 01,02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2004

Работа выполнена на кафедре теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета МГУ им. М.В Ломоносова

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор А.В. Карапетян

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор И.И. Косенко

кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Ю.Д. Селюцкий

Ведущая организация:

Институт Прикладной Математики им. М.В. Келдыша РАН

Защита диссертации состоится « 19- » декабря в 16.00 на заседании диссертационного совета Д.501.001.22 в МГУ по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан « ^ » ноября 2004 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.501.001.22 кандидат физико-математических наук, доцент

Прошкин В. А.

1ШТ

2 тем

1. Актуальность темы

Диссертация посвящена исследованию вопросов существования, устойчивости и ветвления положений относительного равновесия маятниковых систем. Динамика многозвенных систем представляет собой быстро развивающийся и, одновременно, один из самых трудных разделов теоретической механики. Интерес к подобным задачам обусловлен их многочисленными приложениями в таких разделах механики, как робототехника и динамика космического полета. При этом основная трудность в изучении таких систем обуславливается наличием многих степеней свободы и связанной с ней необходимостью анализа большого числа нелинейных уравнений со многими неизвестными. В связи с этим представляется актуальной отработка методов исследования динамики многозвенных систем в применении к некоторым частным задачам динамики многозвенных маятников. В диссертации рассмотрены маятниковые системы в однородном и центральном поле тяготения.

Задача изучения динамики тела, подвешенного на струне (стержне) к вращающейся вертикальной оси, в однородном поле тяжести (к которой примыкает задача изучения динамики маятниковых систем в однородном поле тяжести) восходит к работам, проводившихся под руководством М.А. Лаврентьева. В.В. Румянцевым были выведены уравнения движения тела на струне (стержне), показано существование интегралов энергии и площадей. Особый интерес вызвали

частные решения уравнений движения, названные перманентными вращениями, т.е. такие движения, при которых тело и струна вращаются вокруг вертикали как единое целое, а в системе координат, вращающейся вместе с телом, они находятся в положении относительного равновесия, а также предельные движения системы, т.е. ее поведение при больших угловых скоростях. Теоретические исследования перманетных вращений произвольного и регулярных прецессий симметричного тела (отличающихся от перманетных вращений наличием вращения тела вокруг оси симметрии), подвешенного на струне или стержне проводились А.Ю. Иш-линским, В.В. Румянцевым, С.А. Мирером, В.А. Сарыче-вым, В.Н. Рубановским, С.Я. Степановым, Г.Т. Нозадзе, О.Ю. Агаревой и многими другими.

Маятниковая система в центральном гравитационном поле тяготения представляет собой частный случай орбитальной тросовой системы (ТС), т.е. системы нескольких твердых тел или точек с наложенными на них связями, допускающими их относительное перемещение, в космическом пространстве. Впервые идею практического использования тросовых систем в космических исследованиях высказал К.Э. Циолковский. Фундаментальные результаты в изучении динамики обитальных тросовых систем (ОТС) принадлежат В.В. Белецкому. Динамика ОТС в моделях различной степени сложности исследовалась в работах В.Г. Вильке, И.Ф. Верещагина, А.П. Иванова, Л.В. Докучаева, Г.Г. Ефименко, И.И. Косенко, С.Я. Степанова, М.К. На-

биуллина, В.А. Сарычева, А.А. Бурова, X. Трогера, М. Паскаль и др.

2. Цель работы

Целью настоящей работы является исследование вопросов существования, устойчивости и ветвления положений относительного равновесия для трех различных задач динамики маятниковых систем: маятников в однородном и центральном поле тяготения.

3. Основные положения, выносимые на защиту

В работе проведено исследование вопросов существования, устойчивости и ветвления положений относительного равновесия математического маятника с точкой подвеса, скользящей по вращающейся с постоянной угловой скоростью вертикальной эллиптической рамке, и тройного маятника с точкой подвеса на вращающейся вокруг вертикали горизонтальной оси. Найдены все тривиальные положения равновесия и исследована их устойчивость. При больших угловых скоростях исследованы все нетривиальные положения равновесия, построено разбиение плоскости геометрических параметров систем на области с одинаковым числом и видом равновесных конфигураций маятника.

Проведено исследование установившихся движений симметричного субспутника-гиростата, подвешенного на стержне к спутнику, движущемуся по круговой кеплеровой орбите вокруг притягивающего центра, в точке спутника, также

движущейся по круговой кеплеровой орбите, в центральном гравитационном поле. Найдены некоторые семейства установившихся движений, исследована их устойчивость.

4. Обоснованность

Все результаты диссертационной работы строго обоснованы с применением как классических, так и современных методов теории устойчивости и качественного анализа динамики нелинейных механических систем. Во всех необходимых случаях заимствования результатов приведены соответствующие ссылки.

5. Практическая и теоретическая ценность

Работа носит теоретический характер, полученные результаты могут найти применение в исследованиях, проводимых в МГУ им. М.В. Ломоносова, ВЦ им. A.A. Дородницына РАН, ИПМ им. М.В. Келдыша РАН и других научных центрах математики и механики, а также в специальных курсах по теории устойчивости.

6. Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:

1) семинар кафедры теоретической механики и мехатро-ники по аналитической механике и теории устойчивости движения под руководством акад. В.В. Румянцева, чл.-корр. РАН В.В.Белецкого, проф. А.В. Карапетяна (механико-математический факультет МГУ, 2001-2004 г.г.);

2) семинар сектора теории устойчивости движения отдела механики Вычислительного центра им. А. А. Дородницына РАН под руководством проф. А.В.Карапетяна и проф. С.Я.Степанова (2001-2004 г.г.);

3) четвертый международный симпозиум по классической и небесной механике. Великие Луки, 15-20 августа 2001 г.

Исследования по теме диссертации проводились в рамках работы по грантам РФФИ № 01 - 01 - 00141, № 04 -01 - 00398, РФФИ - БНТС № 01 - 01 - 02001 и программы "Государственная поддержка ведущих научных школ"(НШ - 2000.2003.1).

7. Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в трех статьях автора, список которых приведен в конце автореферата.

8. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 156 страниц. Список литературы содержит 52 названия.

9. Содержание работы

В диссертации изучаются вопросы существования, устойчивости и ветвления положений относительного равновесия для трех различных задач динамики маятиковых систем: маятников в однородном и центральном поле тяготения.

Во введении обоснована актуальность темы, дан краткий исторический обзор и приведено реферативное изложение содержания диссертации.

В первой главе исследуются относительные равновесия математического маятника с массивной точкой подвеса, скользящей без трения по вращающемуся вертикально расположенному эллипсу в однородном поле тяжести. Показано, что у данной механической системы существует четыре геометрически различных тривиальных положений равновесия, не зависящих от угловой скорости вращения эллипса, исследована их устойчивость.

Заменой переменной система уравнений для определения относительных равновесий сведена к одному уравнению относительно угла отклонения маятника от вертикали. Левая часть полученного уравнения представляет собой многочлен шестой степени относительно косинуса угла отклонения, вследствие чего у данной механической

Рис.1. Бифуркационная диаграмма

системы существует не более шести нетривиальных положений равновесия (два из которых могут быть изолированными, а четыре всегда ответвляются от тривиальных).

Проведен анализ нетривиальных положений равновесия при больших угловых скоростях, получены все равновесные конфигурации маятника, исследована их устойчивость, На плоскости (р,д) (р = Ь/а, д = с/Ь, о, Ь - полуоси эллипса, с - длина маятника) получены кривые - границы областей с одинаковым числом равновесных конфигураций (рис. 1). При этом инерционная характеристика системы ¡л (отношение массы маятника к массе всей системы) влияет только на размеры областей.

Построены разложения решений системы для определения относительных равновесий по параметру е, обратно про-

порциональному безразмерной угловой скорости вращения. При этом, если геометрические параметры системы таковы, что точка с координатами (р, д) попадает внутрь какой-либо области, то решения разлагаются в ряды по целым степеням е, а если на границы (гиперболы) - то по дробным. Конкретные значения показателей степеней вычислялись с помощью диаграмм Ньютона. Для всех равновесных конфигураций приведена их геометрическая интерпретация.

Во второй главе изучаются относительные равновесия трехзвенного маятника с вращающейся вокруг вертикали горизонтальной осью подвеса. Получены восемь геометрически различных тривиальных положений равновесия, существующих при любых угловых скоростях вращения, исследована их устойчивость. Обнаружена смена устойчивости тривиальных положений равновесия при увеличении угловой скорости вращения, что указывает на существование не менее двенадцати нетривиальных положений равновесия. Замена переменных позволяет свести систему уравнений для определения относительных равновесий к системе двух уравнений, левые части которых представляют собой многочлены шестой степени от двух переменных. Проведено исследование равновесных конфигураций маятника при угловых скоростях вращения, стремящихся к бесконечности. В отличие от предыдущей главы, здесь приходится изучать не только конечные предельные значения новых переменных, но и случаи, когда одна или обе переменные стремятся при увеличении угловой скорости к бесконечности. Построены

разложения решений системы для определения относительных равновесий по параметру е, обратно пропорциональному безразмерной угловой скорости вращения. Проведено разбиение плоскости (р, геометрических параметров системы (р - отношение длин первого и второго звеньев, д - первого и третьего) на области с одинаковым числом и видом равновесных конфигураций маятника (рис. 2). При попадании точки с координатами (р, д) внутрь какой-либо области решения разлагаются в ряды по целым степеням параметра е, при попадании точки на границу какой-либо области - по дробным.

Рис.2. Бифуркационная диаграмма Для всех нетривиальных относительных равновесий про-

ведено исследование устойчивости при больших угловых скоростях вращения и дана геометрическая иллюстрация равновесий.

В третьей главе рассматривается задача о существовании, устойчивости и бифуркации установившихся движений орбитальной связки двух тел в случае, когда одно из тел движется по круговой кеплеровой орбите, невозмущаемой движением другого тела, а другое представляет собой симметричное тело с ротором на оси симметрии, прикрепленное к первому телу с помощью безмассового стержня и двух сферических шарниров. Предполагается также, что точка крепления стержня к первому телу движется равномерно по круговой орбите вокруг притягивающего центра.

Получены шесть простейших семейств установившихся движений и исследована их устойчивость. Показано, что параметром, влияющим на устойчивость этих движений является не только кинетический момент ротора, но и длина стержня; т.е. при фиксированном кинетическом моменте степень неустойчивости будет меняться, если меняется длина стержня.

Пользуясь тем, что часть уравнений для определения установившихся движений можно представить в виде A(z)z = 0, где A(z) - матрица, z - столбец координат, дальнейшее изучение этих движений можно разбить на случаи, когда ранг матрицы А равен соответственно 0,1 и 2. Исследованы все случаи равенства ранга матрицы А нулю и часть случаев, когда rank А = 1. При этом получены еще

шесть более сложных семейств установившихся движений; исследована устойчивость двух из них. Для всех семейств установившихся движений дана геометрическая иллюстрация.

В заключении коротко сформулированы основные результаты работы.

В приложении приведены громоздкие вычисления, связанные с получением разложений решений системы уравнений для определения равновесных конфигураций трехзвен-ного маятника по малому параметру.

10. Публикации автора

1. Евдокименко А.П. О положениях равновесия трехзвен-ного маятника с вращающейся точкой подвеса // Вестн. Моск. ун-та. Сер I. Мат. Мех. 2000. №2. С. 52-54.

2. Евдокименко А.П. Об устойчивости и бифуркации установившихся движений симметричного гиростата, подвешенного на стержне в центральном гравитационном поле // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. Часть 1. М.: ВЦ РАН, 2001. С. 134147.

3. Евдокименко А.П. Об установившихся движениях гиростата, подвешенного на стержне в центральном гравитационном поле // ПММ. 2005. (принята к печати)

Подписано в печать Я, Ц-0^ Формат 60x84/16. Усл.исч.л. 1,0 Пфаж экз. Заказ 33

Отпечатано в Отделе печати МГУ

í

РНБ Русский фонд

2007-4 18137

Введение

Глава 1. Устойчивость и ветвление относительных равновесий математического маятника с точкой подвеса, скользящей по вращающейся эллиптической рамке

1.1 Постановка задачи

1.2 Тривиальные относительные равновесия и их устойчи- 11 вость

1.3 Преобразование уравнений

1.4 Разложения решений по параметру в случае А ф 0 и 16 А ф V - 2 ^ ф 1 и щр ф 1)

1.5 Разложения решений по параметру в случае А — и — 2 20 (ря/л = 1)

1.6 Разложения решений по параметру в случае А = те = 1)

1.7 Бифуркационная диаграмма

1.8 Таблица 1.1. Конфигурации маятника

1.9 Рисунки

Глава 2. Устойчивость и ветвление относительных равновесий трехзвенного маятника во вращающейся системе отсчета

2.1 Постановка задачи

2.2 Тривиальные положения равновесия и их устойчи- 32 вость

2.3 Преобразование уравнений

2.4 Исследование устойчивости решений

2.5 Предельные решения

2.6 Разложения решений, ответвляющихся от собственных предельных точек и их устойчивость

2.6.1 Решения, ответвляющиеся от точки (0,0)

2.6.2 Решения, ответвляющиеся от точки (0, У0~)

2.6.3 Решения, ответвляющиеся от точки (0,

2.6.4 Решения, ответвляющиеся от точки (Хц , 0)

2.6.5 Решения, ответвляющиеся от точки

2.6.6 Решения, ответвляющиеся от ненулевых пре- 55 дельных точек

2.7 Решения, для которых одна или обе переменные неограничены при е —>

2.7.1 Решения, для которых X —> 0, У —¥ оо при 56 е ->

2.7.2 Решения, для которых X —А ф 0, У —оо, 56 при е

2.7.3 Решения, для которых обе переменные стре- 57 мятся к бесконечности при е ->

2.8 Бифуркационная диаграмма

2.9 Таблица 2.1. Конфигурации маятника

2.10 Рисунки 73 Приложение

П.1 Построение разложений решений, ответвляющихся от 77 точек (О,!^), по параметру и их устойчивость

П.2 Построение разложений решений, ответвляющихся от точки (X¿",0), по параметру и их устойчивость П.З Построение разложений решений, ответвляющихся от точки (Хо~,0), по параметру и их устойчивость П.4 Построение разложений решений, ответвляющихся от 97 ненулевых предельных точек, по параметру и их устойчивость

П.5 Построение разложений по параметру решений вида

X -)> 0, У -» оо, при е ->• О П.6 Построение разложений по параметру решений вида

X А ф О, Y оо, при е О П.7 Построение разложений по параметру решений, для 114 которых обе переменные стремятся к бесконечности при е —0, и их устойчивость

Глава 3. Устойчивость и ветвление установившихся движений гиростата, подвешенного на стержне в центральном гравитационном поле

3.1 Постановка задачи

3.2 Простейшие семейства установившихся движений и их 131 устойчивость

3.3 Дальнейшее исследование семейств установившихся 140 движений

3.4 Рисунки

Динамика многозвенных систем представляет собой быстро развивающийся и, одновременно, один из самых трудных разделов теоретической механики. Интерес к подобным задачам обусловлен их многочисленными приложениями в таких разделах механики, как робототехника и динамика космического полета. При этом основная трудность в изучении таких систем обуславливается наличием многих степеней свободы и связанной с ней необходимостью анализа большого числа нелинейных уравнений со многими неизвестными. В диссертации рассмотрены несколько частных случаев систем многих тел: маятниковые системы в однородном и центральном поле тяготения.

Изучение динамики тела, подвешенного на струне (стержне) к вращающейся вокруг вертикали горизонтальной оси, в однородном поле тяжести берет свое начало в экспериментальных исследованиях, проводившихся под руководством М.А. Лаврентьева. Теоретические исследования динамики тела со струнным приводом развивались А.Ю. Ишлинским, В.В. Румянцевым, С.А. Мирером, В.А. Сарычевым и многими другими [1, 14-17, 22-24, 26].

Так, В.В. Румянцевым [26] были выведены уравнения движения тела и проведен их анализ, в частности, показано существование интегралов энергии и площадей. Особый интерес вызвали частные решения уравнений движений, названные перманентными вращениями, т.е. такие движения, при которых тело и струна вращаются вокруг вертикали как единое целое, а в системе координат, вращающейся вместе с телом, они находятся в положении относительного равновесия, а также предельные движения системы, т.е. ее поведение при больших угловых скоростях. Исследованию этих вопросов посвящено большое число работ (см. обзоры [17], [24]), в частности, перманетные вращения осесимметричного тела с подвесом, смещенным с оси симметрии, ист следовались в [15], его предельные режимы - в [16]. В случав крепления подвеса к оси симметрии полное исследование перманетных вращений выполнено в [14], [23], предельные режимы исследованы в [22].

Рассмотренная в настоящей работе маятниковая система в центральном гравитационном поле тяготения представляет собой частный случай орбитальной тросовой системы (ТС), т.е. системы нескольких твердых тел или точек с наложенными на них связями, допускающими их относительное перемещение, в космическом пространстве.

Впервые идею практического использования тросовых систем в космических исследованиях высказал К.Э.Циолковский [31]. Свое дальнейшее развитие она получила в проекте Ю.Н. Арцутанова «космический лифт», который предложил использовать трос, одним концом закрепленный на Земле а другим концом находящийся на орбите или другом небесном теле, для доставок груза или межпланетного переле-^ та [2]. Однако теоретический расчет [39] показал невозможность реализовать такой проект из-за отсутствия материалов необходимой прочности. В последние годы развитие нанотехнологий и связанная с этим возможность получения сверхпрочных и сверхтонких волокон позволили дать подобным проектам «второе дыхание», в частности, один из проектов HACA предусматривает построение системы типа «космический лифт» к 2050 году.

В дальнейшем было предложено более 20-ти различных вариантов применения тросовых систем в космосе [3], их число постоянно растет. Фундаментальные результаты в исследовании динамики орбитальных тросовых систем принадлежат В.В. Белецкому [3]. Задаче динамики орбитальных тросовых систем посвящено большое количество теоретических исследований, предложены различные модели тросовой системы различной степени сложности, начиная с модели двух точек, связанных невесомой нерастяжимой нитью, до модели нескольких тел или гиростатов), связанных весомым деформируемым тросом, учтены также возможные ударные взаимодействия в таких системах. Классифицированы возмущающие факторы, влияющие на движение ТС (несферичность Земли, неидеальность троса, влияние атмосферы, магнитных и электрических сил, возникающих в тросе, светового давления), даны их численные оценки [4], [5-7], [9-13], [19,20], [25], [27-29], [33-49].

Проведены исследования в космосе с экспериментальными орбитальными тросовыми системами [34].

Большое число работ посвящено также вопросам управления орбитальными объектами с помощью тросовых систем [34], [36], [41-46].

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка литературы. Во введении обосновывается актуальность темы, ее научная новизна, дается краткий исторический обзор и краткое содержание диссертации.

Заключение

В диссертации рассмотрены три задачи об относительных равновесиях маятниковых систем: относительные равновесия маятников в однородном и центральном поле тяготения. Было показано, что, несмотря на относительную простоту изучаемых моделей, рассмотренные механические системы обладают достаточно большим набором нетривиальных равновесных конфигураций. В процессе анализа также была получена единая структура уравнений для определения относительных равновесий во всех трех задачах. Было показано, что для всех рассмотренных механических систем эти уравнения представимы в виде В(х)х = 0, где В (ж) - матрица, х - вектор. Используя указанную структуру уравнений, исследование относительных равновесий возможно было провести по единой схеме во всех случаях, при этом для маятника на эллиптической рамке и для тройного маятника при больших угловых скоростях исследование проведено полностью.

1. А гарева О.Ю. О перманетных вращениях осесимметричного тела, подвешенного на струне // Вестн. Моск. ун-та. Сер 1. Мат. Мех. 1987. т. С. 45-51.

2. Арцутанов Ю.Н. В космос без ракет // Знание-сила. 1969. №7. С. 25.

3. Белецкий В.В., Левин Е.М. Динамика космических тросовых систем. М.:Наука, 1990. 329 с.

4. Белецкий В.В., Новикова Е. Т. О пространственном движении связки двух тел на орбите // Изв. АН СССР. МТТ. 1971. №5. С. 23-28.

5. Белецкий В.В. Прикладные задачи динамических биллиардов // Нелинейная механика/ под ред. В.М. Матросова и др. М.:Физмат-лит, 2001. С. 402-430.

6. Болотина Н.Е., Вильке В. Г. Об устойчивости положений равновесия гибкой тажелой нити, привязанной к спутнику на круговой орбите // Космич. исследования. 1978. Т.16. №4. С. 621-626.

7. Бурое А.А., Трогер X. Об относительных равновесиях подвешенного на тросе гиростата в центральном ньютоновском поле // ПММ. 1998. Т.62. №. С. 1049-1052.

8. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.:Наука, 1969. 528 с.

9. Верещагин И.Ф., Иванов А.П. Об относительном движении связки твердого тела и точки на круговой орбите // Проблемы аналитической механики, теории устойчивости и управления. М.:Наука, 1975. С. 105-109.

10. Воронцова В. JI. Влияние аэродинамики на вращение и ориентацию искусственного спутника-связки двух тел / / Автореферат на соискание уч. ст. кандидата физ.-мат. наук. М.:2000. 12 с.

11. Докучаев Л.В., Ефименко Г. Г. Влияние атмосферы на относительное движение связки двух тел на орбите // Космич. исследования. 1972. Т.10. т С. 57-65.

12. Ефименко Г.Г. Пространственное движение связки двух тел под действием гравитационных и аэродинамических сил // Космич. исследования. 1973. Т.Н. №3 С. 484-486.

13. Жук В.И., Шахов Е.М. О колебаниях спутника-зонда малой массы под действием аэродинамических и гравитационных сил // Космич. исследования. 1990. Т.28. №6. С. 820-830.

14. Исаков A.B., Мирер С.А., Сарычев В.А. Положения относительного равновесия осесимметричного тела, подвешенного на стержне // Препринт Ин-та Прикладной математики АН СССР. 1987. №94. 36 с.

15. Ишлинский А.Ю., Стороженко В.А., Темченко М.Е. О движении осесимметричного твердого тела, подвешенного на струне // Изв. АН СССР, МТТ. 1979. №. С. 3-16.

16. Ишлинский А.Ю., Стороженко В.А., Темченко М.Е. О стационарных движениях вращающегося на струне осесимметричного твердого тела // Динамика и устойчивость управляемых систем. Киев.: Институт математики АН УССР. 1977. С. 3-20.

17. Ишлинский А.Ю., Стороженко В.А., Темченко М.Е. Динамика быстровращающихся на струне твердых тел и некоторые смежные вопросы (обзор) // Прикладная механика. 1994. Т.ЗО. №8. С. 3-30.

18. Карапетян A.B. Устойчивость стационарных движений. М.: Эди-ториал УРСС, 1998. 165 с.

19. Косенко И. И. Вычислительная модель ударных взаимодействий в орбитальной тросовой системе / / Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. Часть 1. М.: ВЦ РАН, 2001. С. 37-51.

20. Косенко И.И. Степанов С. Я. Устойчивость положений относительного равновесия орбитальной связки с учетом ударных взаимодействий / / Тезисы XXVIII академических чтений по космонавтике. М.:2004.

21. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.:Наука, 1975. 432 с.

22. Мирер С. А., Одинцова С.А., Сарычев В.А. Предельные стационарные режимы твердого тела на струнном приводе // ПММ. 1989. Т.53. т. С. 38-44.

23. Мирер С.А., Одинцова С.А., Сарычев В.А. Перманетные вращения осесимметричного тела на стержне. Классификация систем // Препринт Ин-та Прикладной математики АН СССР. 1987. № 170. 28 с.

24. Мирер С.А., Сарычев В.А. О стационарных движениях тела на струнном подвесе // Нелинейная механика/ под ред. В.М. Мат-росова и др. М.:Физматлит, 2001. С. 281-322.

25. Набиуллин М.К. Устойчивость и стабилизация положений равновесия орбитальной тросовой системы // Нелинейная механика/ под ред. В.М. Матросова и др. М.:Физматлит, 2001. С. 402-430.

26. Румянцев В.В. К динамике тела, подвешенного на струне // Изв. АН СССР, МТТ. 1983. №. С. 5-15.

27. Садов Ю.А. Об устойчивости равновесных конфигураций орбитальной тросовой системы с невесомым тросом в однородной атмосфере // Тезисы XXVIII академических чтений по космонавтике. М.:2004.

28. Сарычев В. А. Положения равновесия маятника в спутнике // Кос-мич. исследования. 2000. Т.38. №1. С. 71-77.

29. Сарычев В. А. Положения равновесия системы спутник-несимметричный маятник на круговой орбите // Космич. исследования. 2000. Т.38. №4. С. 412-422.

30. Степанов С. Я. Симметризация критериев знакоопределенности симметричных квадратичных форм// ПММ. 2002. Т.66. №6. С. 979-987

31. Циолковский К.Э. Путь к звездам. М.:Изд-во АН СССР, 1967.

32. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.:ГТТИ, 1946. 204 с.

33. Burov АTroger Н. On relative equilibria of an orbital pendulum suspended with a tether / / Вторые Поляховские чтения: Избранные труды. Спб.:Изд-во Нии Химии С.-Петербургского ун-та. 2000. С. 73-81.

34. Angrilli F., Bortolami S.B., Lorezini Е.С., Rupp С. С. Control and Flight Performance of Tethered Satellite Small Expendable Deployment System-II //J. Guidance. 1986. Vol. 10. №. P. 233-241.

35. Ashenberg J., Lorezini E.C. Dynamics of a Dual-Probe Tethered System //J.Guidance. Vol.20. №6. P. 1265-1271.

36. Banerjee A.K., Kane T.R. Pointing Control, with Tethers as Actuar tors, of a Space Station Supported Platform // J. Guidance. 1992. Vol. 16. №. 396-399.

37. Burov A. A. On collinear relative equilibrium of a tethered gyrostat in a central Newtonian field // Institut fur Mechanik Technische, Universitat Wien, 1996, 32 pp.

38. Crellin E.B., Janssens F., Poelaert D., Steiner W., Troger H. On Balance and Variational Formulations of the Equation of Motion of a Body Deploing Along a Cable // J. of Applied Mechanics. 1997. Vol. 64. June. P. 369-374.

39. Isaacs J.D., Vine A.S., Brander H., Backus G.E. Satellite elongation into a true "Skyhook"// Science. 1966. Vol.151, №.3711. P.682.

40. Kumar P., Pellegrino S. Kinematic bifurcations in the simulation of deployable structures // Computational Methods for Shell and Spatial Structures IASS-IACM 2000, Athens. Greece.

41. Kumar K., Kumar K.D. Tethered dual spacecraft configuration: a solution to attitude control problems //Aerosp. Sci. Technol. 4(2000). P. 495-505.

42. Martinez-Sanches M., Gavit S.A. Orbital Modifications Using Forced Tether-Length Variations //J. Guidance. 1986. Vol. 10. №3. P. 233241.

43. Misra A.K., Modi V.J. Deployment and Retrieval of Shuttle Supported Tethred Satellites //J. Guidance. 1981. Vol. 5. №3. P. 278-285.

44. Moccia A., Vetrella S., Grossi M. Attitude Dynamics and Control of a Vertical Interferometric Radar Tethered Altimeter // J.Guidance. 16 (1993). P. 264-269.

45. No T.S., Cochran J.E. Jr. Dynamics and Control of Tethered Flight Vehicle // J. Guidance. 1995. Vol. 18. №. P. 66-72.

46. Pascal M., Djebli A., El Bakkali L. On Fast Retrival Law for Tethered Satellite // Acta Astronáutica. 2002. Vol.56 №8 P. 461-470.

47. Schagerl M., Steindl A., Troger H. Dynamical analysis of the deployment process of tethered satellite systems // IUTAM-IASS Symposium on Deployable Structures: Theory and Applications. Kluwer Acad. Publ. 2000. P. 345-354.

48. J.L. Synge On the behaviour, according to newtonian theory, of a plumb line or pendulum attached to an artificial satellite // Proc. R.I.A. 1959. Vol. 60 Sec. A. P. 1-6.

49. Li Sheng Wang, Shuh-Jye Ghern, Chin-Wen Shin On the Dynamics of a Tethered Satellite System // Arch. Rational. Mech. Anal. 127 (1994). P. 297-318.

50. Евдокименко А.П. О положениях равновесия трехзвенного маятника с вращающейся точкой подвеса // Вестн. Моск. ун-та. Сер I. Мат. Мех. 2000. № С. 52-54.

51. Евдокименко А.П. Об устойчивости и бифуркации установившихся движений симметричного гиростата, подвешенного на стержне в центральном гравитационном поле // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. Часть 1. М.: ВЦ РАН, 2001. С. 134-147.

52. Евдокименко А.П. Об установившихся движениях гиростата, подвешенного на стержне в центральном гравитационном поле // ПММ. 2005. (принята к печати)j