Динамика плазмы в области двойного слоя тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ДВОЙНЫЕ СЛОИ В БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ ПЛАЗМЕ

1.1 Условия существования двойных слоев

1.2 Модельные распределения частиц в ДС

1.3 Упрощенная модель структуры ДС пучкового типа

ГЛАВА И. КОНВЕКТИВНЫЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ В НЕОГРАНИЧЕННОМ ПУЧКОВОМ ДС

2.1 Постановка задачи об устойчивости в неограниченной пучковой системе

2.2 Устойчивость электрвннм^ш^^^ий-в-иучкавом.ДС

2.3 Учет движения ионов

ГЛАВА III. ПУЧКОВЫЙ ДС В ОГРАНИЧЕННОЙ ПЛАЗМЕ

3.1 Устойчивость ограниченных плазменных систем 44 с электронными пучками

3.2 Электронные колебания в ограниченном ДС 51 малой амплитуды

3.3 Устойчивость ДС произвольной амплитуды

3.4 Ограниченная плазменная система с относительным 62 движением электронов и ионов

3.5 Кинетическая теория устойчивости ДС

ГЛАВА IV. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ПЛАЗМЫ В ОБЛАСТИ ДС

4.1 Общая схема численного моделирования

4.2 Нелинейные колебания в ограниченных пучковых системах

4.3 Численное моделирование эволюции пучкового ДС

Двойной слой (ДС) в плазме впервые был обнаружен Ленгмюром [1] при исследовании разрядов в трубке с парами ртути. Он установил, что в прикатодной области разряда возникает скачок потенциала, создаваемый двумя близкорасположенными слоями электрического заряда. При этом значительная часть подаваемого на разрядную трубку напряжения приходится на область ДС, а высота нотенциаяьного барьера подстраивается так, чтобы поток электронов с энергией, достаточной для его преодоления, был равен потоку ионов, достигающих стенки.

В дальнейшем оказалось, что такие структуры не обязательно должны быть связаны с какими-либо границами. Скачок потенциала может быть стационарным в пространстве, если распределения электронов и ионов по обе стороны слоя удовлетворяют условиям, подобным связи между потоками частиц в прикатодн#м елее Лен-гмюра. В частности, такое равновесие может естественным образом возникать в магнитосфере Земли и быть причиной ускорения частиц до высоких энергий [2-5]. Измерения, выполненные на спутнике S3-3 [6], показали существование квазипостоянных электрических полей «1мВ/м на высотах 2000 - 8000 км. Эти результаты стали причиной повышенного интереса к изучению ДС и вызвали волну теоретических и экспериментальных работ по этой теме. Следует отметить, что до сих пор нет убедительных доказательств того, что эти поля действительно обусловлены ДС. Это связано с тем, что за время пролета спутника через область с электрическим полем невозможно получить информацию об эволюции такой структуры. В последующих экспериментах с помощью спутника Viking [78] на высотах порядка 10000 км были также зафиксированы скачки потенциала « 1 В вдоль силовых линий геомагнитного поля, которые были интерпретированы как ДС. Характерные размеры возмущений составляли около 100 м, что соответствует 5-50 дебаевским

6 7 3 длинам для плотностей 10° - 10' м" . Корреляция между амплитудой потенциала и изменением плотности частиц соответствовала распределению Больцмана для электронных температур в пределах от 2 до 20 эВ, а энергии пучков в области ускорения достигали значений порядка 1 кэВ, что возможно лишь при прохождении частиц через большое число ДС.

Есть основания полагать, что ДС играют важную роль и в других астрофизических объектах [4] в силу того, что они могут приводить к магни-тогидродинамической релаксации крупномасштабных магнитных полей. Запас магнитной энергии при этом реализуется как в виде ускорения отдельных частиц, так и в виде движения всей плазмы как целого. В частности, считается, что формирование ДС в токовых петлях солнечной короны может являться одним из механизмов высвобождения энергии в солнечных вспышках [5].

Образование ДС в лабораторных экспериментах можно считать совершенно достоверным фактом. Они 'обычно 'набяюяаютея-иа' •так-назы-« ваемых двухплазменных и трехплазменных установках, в которых создаются потоки ионов и электронов, сталкивающиеся в центральной области [7]. В некоторых экспериментах было зафиксировано циклическое образование и разрушение ДС, приводящее к интенсивным колебаниям тока и потенциала [8,9]. Инжекция интенсивных пучков в плазму также может сопровождаться образованием ДС большой амплитуды [10]. В экспериментах с токонесущей плазмой [11] наблюдалось формирование последовательности ДС в процессе развития ионно-звуковой турбулентности.

Наличие скачка потенциала в области ДС означает, что в его низкопотенциальной части возникает избыток отрицательного заряда, а в высокопотенциальной части - избыток положительного заряда. Эти требования приводят к известному критерию Бома [12], означающему, что электроны должны втекать в область слоя со скоростью, превышающей пороговое значение для бунемановской неустойчивости, а ионы - с противоположной стороны со скоростью, превышающей звуковую. Отсюда следует, что в низкопотенциальной области должна развиваться бунемановская неустойчивость, а в высокопотенциальной - пучковая и ионно-звуковая. Строгая теория ДС с учетом турбулентности, возникающей вследствие этих неус-тойчивостей еще не построена.

Теоретические работы в области ДС посвящены в основном построению самосогласованных распределений частиц и полей в таких структурах, а также исследованию их устойчивости. Стационарные распределения можно находить по методу Бернштейна-Грина-Крускала (БГК) [13], задавая зависимость потенциала от координаты и функцию распределения пролетных частиц [3,14]. Функция распределения отраженных частиц в таком подходе является решением интегрального уравнения Абеля, полученного из уравнения Пуассона. Класс возможных решений ограничивается физическими требованиями, накладываемыми на искомую функцию распределения. Можно, наоборот, задавать распределение частиц в слое, а затем находить зависимость потенциала от координат из уравнения Пуассона [15-17]. В обоих методах соответствующие распределения имеют вид весьма громоздких выражений, которые трудно использовать для анализа устойчивости.

Большой теоретический интерес представляет проблема образования двойных слоев. В работе [18] была рассмотрена эволюция бунеманов-ской неустойчивости на основе точного решения нелинейных уравнений для возмущений. Было получено частное решение, описывающее формирование динамического положительно всплеска потенциала при определенных начальных условиях. Из него следует возможность взрывного роста электрического поля со временем. При этом, по мере увеличения числа отраженных частиц, возмущение приобретает вид скачка потенциала типа ДС. Таким образом, двойной слой не только сопровождается развитием бунемановской неустойчивости, но и сам может быть результатом ее нелинейной стадии. Такое поведение возмущений было также продемонстрировано в работе [19] путем построения автомодельного решения, а также с помощью моделирования по методу частиц. В работе [20] исследована динамика развития бунемановской неустойчивости в длинноволновой области при произвольных начальных условиях. Возникновение отраженных электронов приводит при этом к распаду отрицательных всплесков потенциала и к образованию ДС. Аналогичные процессы имеют место и в случае ионно-звуковой неустойчивости,-Когда, значительная часть электронов захватывается полем ионно-звуковой волны, происходит образование ион-но-звукового ДС. Такой нелинейный процесс был исследован в работе [21] посредством уравнения Кортевега-де-Вриза с дополнительным членом, описывающим отражение электронов от потенциального барьера.

Процесс образования ДС также связан с важнейшим нелинейным явлением в плазме - аномальным сопротивлением. При описании аномального сопротивления [22] разность потенциалов обычно считается, равномерно распределенной по объему. Однако, нелинейное развитие токовых неустойчивостей приводит к локализации перепада потенциала в узких областях типа ДС, при этом происходит скачкообразное изменение параметров плазмы и уменьшение полного тока [23].

Проблема устойчивости ДС является весьма важной с точки зрения определения характерных времен их существования. Результатом развития неустойчивости может быть либо небольшое искажение профиля потенциала, либо полное разрушение слоя. Наибольшую опасность представляют нарастающие возмущения, движущиеся к слою из низкопотенциальной области, а также неустойчивые возмущения в области скачка потенциала. В неограниченной системе колебания в высокопотенциальной области сносятся потоком ускоряемых электронов, не приводя к изменению стационарного поля.

В работе [14] была предпринята первая попытка исследования устойчивости ДС с использованием критерия Пенроуза [24] в однородных областях. Такое приближение вряд ли можно считать приемлемым в силу того, что решения для возмущений в этих областях имеют разный вид и переходят друг в друга в неоднородной части ДС. Для выяснения возможности развития абсолютной неустойчивости при заданном значении частоты колебаний необходимо иметь информацию о пространственной зависимости всего решения в целом. Задача об устойчивости ДС в таком подходе рассматривалась в гидродинамическом приближении в работах [25,26]. При этом был использован метод ВКБ, т.е. длина волны возмущений считалась много меньшей ширины слоя. Это ограничение не позволяет сделать общих выводов об устойчивости ДС. Метод ВКБ, но уже в кинетическом приближении, применялся также в работах [27,28]. Из анализа дисперсионного уравнения, полученного методом интегрирования по траекториям был сделан вывод о развитии неустойчи«©сти-н соответствующих характерным временам прохождения частиц через слой. Следует отметить, что процедура вывода дисперсионного уравнения в этих работах идентична схеме, используемой для анализа циклотронных колебаний в однородной плазме, что на наш взгляд неприменимо к ситуации движения частиц в неоднородном электростатическом поле. Отраженная частица проходит область потенциального барьера всего лишь один раз, поэтому рассмотрение колебаний на указанных выше гармониках представляется физически неоправданным.

В работе [29] был построен общий метод кинетического анализа устойчивости БГК-равновесий, к которым относится и двойной слой. Он основан на математических свойствах самосопряженных операторов и суть его состоит в разложении специально построенных функций от возмущений по собственным функциям оператора Лиувилля. Практически этот метод был впервые использован для анализа устойчивости БГК-волны большой амплитуды [30]. Было показано, что в такой волне должно происходить слияние соседних мод. Применение метода к конкретным плазменным структурам осложняется тем, что разложение по указанным собственным функциям удается до конца провести в аналитическом виде только в простейших частных случаях. К тому же для ограниченных систем с ин-жекцией частиц на концах соответствующие операторы престают быть эрмитовыми и указанная схема исследования устойчивости становится неприменимой.

Как в магнитосферной, так и в лабораторной плазме ДС обычно находится в ограниченной системе с некоторой внешней электрической цепью. Наличие проводящих границ существенно изменяет характер неустойчивых колебаний. Так, в электронном пучке между заземленными электродами возникает известная неустойчивость Пирса [31], в то время как пучок в отсутствии границ устойчив. В работе [32] была предложена схема исследования устойчивости орранйченйьж нлазмейных систем, основанная на представлении уравнений для возмущений поля в виде одного интегрального уравнения. Теория интегральных уравнений позволяет сформулировать достаточный критерий устойчивости, не находя конкретных решений. В качестве одного из приложений был рассмотрен ДС с бесконечно большим скачком потенциала и с бесконечно малой шириной. Такая система оказалась неустойчивой.

Кроме метода собственных колебаний для анализа устойчивости БГК-структур типа ДС может быть использована схема, основанная на рассмотрении устойчивости плазмы как отклонения от термодинамического равновесия. Из общих принципов термодинамики следует, что в таком процессе только часть энергии плазмы может перейти в энергию электромагнитных флуктуации. В работе [33] была впервые найдена верхняя граница свободной энергии плазмы. Было показано, что в электромагнитные флуктуации не может перейти больше энергии, чем выделяется при переходе в состояние с наименьшей кинетической энергией с сохранением фазового объема. Аналогичный метод, основанный на законе возрастания обобщенной энтропии, использовался в работах [34,35]. Можно сформулировать задачу об устойчивости плазмы в духе математической теории устойчивости, выбирая в качестве функции Ляпунова свободную энергию [36]. В работе [37] анализ БГК-равновесий проводился на основе свойств обобщенной энтропии, учитывающей бесстолкновительные коллективные взаимодействия в плазме. Аналогичные методы используются в теории устойчивости солитонов [38]. Они также могут быть применены к случаю БГК- равновесий, если рассматривать плазму как "фазовую" жидкость [39].

Важную роль в исследовании процессов образования и эволюции ДС играют методы численного моделирования. Это обусловлено сильной нелинейностью этих явлений и большим количеством мод колебаний, возникающих при этом в плазме. Постановка задачи в. численных экспериментах обычно описывает либо плазму с током, либо отклик плазмы на такие внешние воздействия, как инжекция пучков или приложение разности потенциалов на границах. Последняя ситуация моделировалась в работах [40-43]. Предполагалось, что напряжение, приложенное к плазме в начальный момент, остается неизменным. Частицы, входящие в систему через границы, считались распределенными по Максвеллу со сдвигом на величину дрейфовой скорости. При этом квазинейтральность сохранялась путем ввода новых частиц взамен ушедших. В работе [43] плотность электронов и ионов на катоде оставалась постоянной. Формирование ДС в такой постановке задачи начинается с образования электронной фазовой дыры, т.е. положительного "горба" потенциала, внутри которого частицы совершают колебания. Приближаясь к катоду, такая структура захватывает часть ускоренных электронов и в дальнейшем трансформируется в ДС. При достаточной длине системы в низкопотенциальной области возбуждаются неустойчивые колебания на частотах, близких к плазменной частоте ионов, что приводит к разрушению слоя. Процесс циклически повторяется по причине входа новых частиц на границах и приложения внешней разности потенциалов.

В работах [19,44,45] моделировался процесс образования ДС на нелинейной стадии развития бунемановской неустойчивости. На начальном этапе процесса имело место образование отрицательной потенциальной ямы, вызывающей отражение части .входящих в систему электронов. В дальнейшем наблюдалось взрывное нарастание ДС и его последующее разрушение, происходившее из-за нарушения условия Ленгмюра [1], необходимого для стационарности слоя. Далее следовало циклическое повторение этих этапов.

Моделирование процесса образования ДС при инжекции электронного пучка в плазму проводилось в работах [46-48]. Было продемонстрировано формирование двойного слоя при скорости пучка, близкой к тепловой скорости электронов плазмы. Некомпенсированный заряд, вносимый пучком, тормозит его и вызывает ускорение электронов плазмы, что в свою очередь стимулирует образование бунемановской неустойчивости. Такой заряд часто приводит к образованию отрицательной потенциальной ямы, называемой виртуальным катодом. Это явление наблюдалось в работах по численному моделированию неустойчивости электронного пучка в плазме, ограниченной проводящими электродами [49,50]. При этом изменение потенциальной энергии частиц в несколько раз превышало энергию инжектируемых электронов.

Результаты численных экспериментов существенно зависят от задаваемых граничных условий. Для моделирования неограниченных плазменных структур обычно используются периодические граничные условия. В такой постановке моделировалось образование ионно-звуковых слоев в работах [21,51], а также в работе [52] при исследовании возникновения слабых двойных слоев в магнитосфере Земли.

В данной диссертационной работе теоретически и с помощью методов численного моделирования проведено исследование колебаний плазмы в окрестности ДС. Перейдем к краткому изложению содержания диссертации.

В первой главе рассмотрены различные типы фазовых распределений частиц в ДС в соответствий .«с классификацией работы [16]. Дан обзор основных модельных распределений, используемых для описания ДС. Рассмотрена упрощенная модель пучкового слоя с моноэнергетическими ускоренными частицами и отраженными частицами, распределенными по Больцману.

Вторая глава посвящена анализу устойчивости ДС в неограниченной плазме. В приближении холодных пучков записаны безразмерные уравнения для электронных колебаний с учетом сгациоыарншю потенциала слоя, которые с помощью замен сведены к одному уравнению типа Шредингера. На основе анализа его решений рассмотрены условия возникновения сно-совых неустойчивых колебаний в зависимости от параметров слоя. Проведено исследование устойчивости ДС в неограниченной системе с учетом движения ионов. Рассмотрен вопрос о развитии бунемановской неустойчивости в области перепада потенциала.

В третьей главе проведен анализ колебаний плазмы в области ДС при наличии проводящих границ с фиксированными потенциалами. Сформулирована постановка задачи для нахождения возмущений в виде нормальных мод с учетом граничных условий для входящих пучков и для потенциала на электродах. Рассмотрена устойчивость простейших однородных структур в ограниченной плазме: системы Пирса и плазменно-пучковой системы. В гидродинамическом приближении посредством «сшивания» решений в однородных областях построено дисперсионное

13 уравнение для электронных колебаний в ДС малой амплитуды. Исследована зависимость инкремента неустойчивости от длины системы и амплитуды потенциала. Рассмотрено влияние движения ионов на неустойчивые колебания в ДС малой амплитуды между проводящими границами. Посредством численного решения общей системы уравнений для возмущений исследована устойчивость ДС произвольной амплитуды. Рассмотрены колебания в системе, состоящей из встречных электронного и ионного пучков между электродами при выполнении условия Ленгмюра для их скоростей. С помощью метода интегрирования по траекториям линеаризованные уравнения Власова и Пуассона приведены к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода для возмущения потенциала. Обсуждена возможность построения универсального критерия неустойчивости, вытекающего из достаточного условия существования решений интегральных уравнений.

Четвертая глава диссертации посвящена исследованию нелинейных колебаний плазмы в области ДС с использованием численного моделирования по методу частиц в ячейке. Проведено сравнение различных режимов развития неустойчивости с аналогичными процессами в однородных ограниченных системах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты, полученные в диссертационной работе.

1. С помощью линеаризованных гидродинамических уравнений для ускоренных и отраженных электронов, формирующих ДС, получено уравнение типа Шредингера для возмущения электрического поля. Из анализа его решений следует, что при возбуждении электронных колебаний в неограниченном пучковом ДС не может возникать абсолютной неустойчивости. Показано, что конвективная неустойчивость в области перепада потенциала не приводит к разрушению слоя, а лишь искажает распределения частиц в его высокопотенциальной части. При учете движения ионов к разрушению ДС в неограниченной плазме приводит бунемановская неустойчивость в низкопотенциальной области, нарушающая согласование скоростей и плотностей пучков „в.хлое. Проведено численное решение уравнений для возмущений, подтвердившее эти выводы.

2. Исследована устойчивость однородных пучковых систем в ограниченной плазме. Показано, что система, состоящая из холодного электронного пучка и холодной неподвижной плазмы между заземленными проводящими электродами, является неустойчивой в области малых длин, где отсутствует неустойчивость Пирса для одного электронного пучка. Рассмотрена задача об устойчивости для встречных электронного и ионного пучков между электродами при выполнении условия Ленгмюра для скоростей. Из анализа дисперсионного уравнения для такой системы сделан вывод о понижении порогового значения ее длины, начиная с которой она становится неустойчивой, по сравнению с пороговой длиной системы Пирса.

3. Посредством сшивки решений для возмущений в однородных областях и с учетом граничных условий на электродах получено дисперсионное уравнение для электронных колебаний в пучковом ДС малой амплитуды (Ч7 < 1). Показано, что такой слой неустойчив относительно электронных колебаний. В интервале длин , меньших пороговой длины неустойчивости Пирса, имеют место неустойчивые колебания, инкремент которых стремится к нулю при перемещении слоя к правой границе. В области длин, соответствующих неустойчивости Пирса, наличие ДС приводит к увеличению инкремента апериодической неустойчивости и расширению области ее существования. С-помощью численного решения линеаризованных гидродинамических уравнений с учетом граничных условий на электродах показано, что эти результаты сохраняются и в случае слоя большой амплитуды.

4. Рассмотрена проблема устойчивости ограниченного ДС в кинетическом приближении. С помощью метода интегрирования по траекториям линеаризованные уравнения Власова и Пуассона приведены к интегральному уравнению типа Фредгольма 2-го рода для амплитуды возмущений поля. На основании теории интегральных уравнений сформулирован достаточный критерий неустойчивости ДС в ограниченной плазме.

5. Проведено численное моделирование нелинейных колебаний плазмы в ограниченном ДС по методу частиц в ячейке. Показано, что в случае коротких однородных областей ДС является устойчивым. Для чисто электронных колебаний обнаружен нелинейный режим, при котором происходит циклическое восстановление структуры слоя. По мере приближении области скачка потенциала к правой границе возможно установление стационарной гибридной структуры, левая часть которой соответствует конечной стадии неустойчивости Пирса, а правая - сохраняет структуру ДС. Моделирование с учетом движения ионов показало, что слой периодически возвращается к квазистационарным структурам, близким к начальному состоянию, если длины однородных областей не слишком велики по сравнению с его шириной. При дальнейшем увеличении размеров

99 однородных областей происходит полное разрушение ДС и возникают колебания потенциала с амплитудой порядка разности потенциалов на электродах.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю работы В.А. Турикову за постоянные помощь и поддержку. Автор также хотел бы выразить особую признательность A.M. Умнову за полезные рекомендации по выполнению вычислительной части работы.

1. Langmuir 1. The interaction of electron and positive ion space charges . in cathode sheaths // Phys. Rev.-1929.- V.33.- № 6,- P. 954-959.

2. Липеровский В.А., Пудовкин М.И. Аномальное сопротивление и двойные слои в магнитосферной плазме,- М.:Наука,- 1983,- 179 С.

3. Волокитин А.С., Красносельских В.В. Двойные слои в плазме // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Сер. Исследование космического пространства,- 1988,- Т.28,- С. 129-212.

4. Alfven Н. Double layers and circuits in astrophysics // IEEE Trans. Plasma Sci/ 1986,- V.14.- № 6,- P. 779-796.

5. Raadu M.A. The physics of double layers and their role in astrophysics // Phys. Reports.- 1989,- V.178.- № 2,- P. 25-97.

6. Boehm M.H., Mozer F.S. An S3-3 search for confined regions of large parallel electric fields // Geophys. -Resrbett.- 1981,- V.8.- P. 607610.

7. Hershkowitz N. Review of recent laboratory double layer experiments // Space Sci. Rev.- 1985,- V.41.- P. 351-391.

8. Torven S. Formation of double layers in laboratory plasmas // TRITA-EPP-78-13. Royal Institute of Technology.- Stocholm.- 1978.

9. Inuzuka H., Tori Y., Nagatsu M., Tsukishima T. Observation of a current-limited double layer in a linear turbulent-heating device // Phys. Fluids.- 1985,- V.28.- № 2.- P. 703-711.

10. Coakley H.G., Hershkowitz N., Hubbard R., Joyce G. Experimental observation of strong double layers // Phys. Rev. Lett.- 1978,- V.40.-P. 230-231.

11. Cuyot M., Hollenstein C. Experiments on potential gradient in a current carrying plasma//Phys. Fluids. 1983,- V.26.- № 6,- P. 1596-1605.

12. В ohm D. Mmimum ionic kinetic energy for a stable sheath // The Characteristics of Electrical Discharges in Magnetic Field / Ed. by Guthrie A. and Wakerling R.K., N.Y.: McGraw-Hill.- 1949,- P. 77-86.

13. Bernstein I.B., Greene J.M., Kruskal M.D. Exact nonlinear plasma oscillations //Phys. Rev.- 1957,- V.108.- № !. p. 546-552.

14. Knorr G., Goertz C.R. Existance and stability of strong potential double layers //Astrophys. Spac Sci.- 1974,- V.31.- P. 209-223.

15. Block L.P. Potential double layers in the ionosphere // Cosmic Elec-trodyn.- 1972,- V.3.- P. 349-376.

16. Shamel H. Weak double layers: existence, stability, evidence // Z. Naturforsch.- 1983,-V.38a.-P. 1170-1183.

17. Гуревич A.B., Меерсон Б.И., Рогачевский И.В. Кинетическая теория стационарного двойного слоя в плазме // Физика плазмы.-1985,- Т.П.- Вып. 10,- С. 1213-1222.

18. Галеев А.А., Сагдеев Р.З., Шапиро В.Д., Шевченко В.И. К нели-. нейной теории бунемановской неустойчивости // ЖЭТФ,- 1981,-Т.81.-С. 572-578.

19. Белова Н.Г., Галеев А.А., Сагдеев Р.З., Сигов Ю.С. Явление коллапса электрического поля в двойных слоях // Письма ЖЭТФ,-1980,-Т.31.-Вып.9,-С. 551-555.

20. Волокитин А.С., Красносельских В.В. Динамические всплески потенциала при развитии длинноволновой бунемановской неустойчивости // Физика плазмы,- 1982,- Т.8,- Вып.4,- С. 800-807.

21. Chanteur G., Adam J.C., Pellat R., Volokitin A.S. Formation of ion-acoustic double layers // Phys. Fluids.- 1983,- V.26.- P. 1584-1586.

22. Арцимович JÏ.A., Сагдеев Р.З. Физика плазмы для физиков.-М.: Атомиздат,- 1979,- 317 С.

23. Галеев А.А., Сагдеев Р.З. Токовые неустойчивости и аномальное сопротивление плазмы. Основы физики плазмы. Дополнение к 2-му тому,- М.: Энергоатомиздат,- 1984,- С. 5-36.

24. Penrose О. Electrostatic instabilities of a uniform non-Maxwellian plasma // Phys. Fluids.- I960,- V.3.- № 2- P. 258-265. :

25. Wahlberg C. On the existence and stability of trapped Langmuir modes in a double layer // Journ. Plasma Phys.-1979.-V.22.-P.303-327.

26. Wahlberg C. Marginal stability and critical thickness of strong double layers//Journ. Plasma Phys.-1981,-V.26.-P. 317-331.

27. Teichman J. Linear Vlasov stability in one dimensional double layers // Laser and Particle Beams.- 1987,- V.5.- P. 287-293.

28. Teichman J. Intrinsic resonances in double layers with finite thickness //Phys. Lett.- 1987,-V. 121 A.- № l.-P. 25-28.

29. Lewis H.R., Symon K.R. Linearized analysis of inhomogeneous plasma equilibria. General theory// Journ. Math. Phys.- 1979,- V.20.-№3,- P. 413-436.

30. Schwarzmeier J.L., Lewis H.R., Abraham-Shrauner В., Symon K.R. Stability of Bemstein-Greene-Kruskal equilibria // Phys. Fluids. -1979,- V.22.- № 9,- P. 1747-1760.

31. Pierce J. Limiting stable current in electron beams in the presence of ions // Journ. Appl. Phys.- 1944,- V.15.- P. 721.

32. Гедалин М.Э., Красносельских B.B., Ломинадзе Д.С. К вопросу об устойчивости ограниченных плазменных систем // Физика плазмы,- 1985,- Т.П.- Вып.7,- С. 870-881.

33. Gardner C.S. Bound on the energy available from a plasma // Phys. Fluids.- 1963,- V.6.- № 6,- P. 839-840.

34. Bernstein I.B. Waves in a plasma in a magnetic field // Phys. Rev.-1958,- V.109.- № l.-P. 10-21.

35. Kruskal M.D., Oberman C.R. On the stability of plasma in static equilibrium //Phys. Fluids.- 1958,- V.I.- № 4,- P. 275-280.

36. Fowler Т.К. Lyapunov's stability criteria for a plasma // Journ. Math. Phys.- 1963,- Y.4.- № 4,- P. 559-569.

37. Minardi E. Priveleged equilibria of a collisionless plasma // Plasma Phys.- 1972,-V. 14,-P. 427-441.

38. Захаров B.E., Кузнецов E.A. О трехмерных солитонах // ЖЭТФ,-1974,- Т.66,- № 3,- С. 594-600.

39. Петвиашвили В.И., Яньков В.В. Солитоны и турбулентность // Вопросы теории плазмы,- 1985,- Вып.14,- С. 3-55.

40. Hubbard R.F., Joyce G. Simulation of auroral double layers // Journ. Geophys. Res.- 1979,- V.84. А8,- P. 4297-4304.

41. Joyce G., Hubbard R.F. Numerical simulations of plasma double layers // Journ. Plasma Phys.- 1978,- V.20.- P. 351-404.

42. Singh N. Double layer formation //-Plasma Phys— 19S2.-V.24,- P. 639660.

43. Yamamoto T. Electron dynamics in one-dimensional double layers // Journ. Plasma Phys.- 1985,- V.34.- Part 2,- P. 271-288.

44. Goertz C.K., Joyce G. Numerical simulation of the plasma double layer//Astrophys. Space Sci.- 1975,-V.32.-P. 165.

45. Singh N., Shunk R.W. Comparison of the characteristics of potential drop and current-driven double layers // Journ. Geophys. Res.- 1983,-V.88. A12.-P. 1008-1021.

46. Singh N., Shunk R.W. Plasma response to the injection of an electron beam // Plasma Phys. Confr. Fusion.- 1984,- V.26.- № 7,- P. 859-890.

47. Okuda H., Horton R., Ashour-Abdalla M. Propagation of a non-relativistic electron beam in a plasma in a magnetic field // Phys. Fluids.- 1987,- V.30.- № 1,- p. 200-208.

48. Okuda H., Berchem J. Injection and propagation of a non relativistic electron beam and spacecraft charging // Journ. Geophys. Res.- 1988.-V.A93.- P.175-195.

49. Буринская T.M., Волокитин A.C. Электронный пучок в системе с электродами // Физика плазмы,- 1983,- Т.9.- Вып.З.- С. 453-460.

50. Буринская Т.М., Волокитин А.С. Ускорение ионов при развитии неустойчивости электронного пучка // Физика плазмы.- 1984.-Т.Ю.- Вып.5,- С. 989-998.

51. Barnes С., Hudson М.К., Lotko W. Weak double layers in ion-acoustic turbulence // Phys. Fluids.- 1985,- V.28.- P. 1055-1062.

52. Silberstein M., Otani N.F. Computer simulation of Alfven waves and double layers along auroral magnetic field lines // Journ. Geophys. Res.- 1994,-V.99.-P. 6351-6365.

53. Стикс Т. Теория плазменных волн,- M.: Атомиздат,- 1965,- 343 С.

54. Атовмян А.В. К теории-двойного слоя// Физика плазмы,- 1982.-Т.8.- С. 626-632.

55. Саркар Н.Р. Устойчивость двойных слоев в плазме. Канд. дисс,-М.:РУДН,- 1996,- 106 С.

56. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике,- М.: Наука,- 1973,-С. 469.

57. Саркар Н.Р., Туриков В.А. Теория устойчивости пучкового двойного слоя // Вестник РУДН,- Сер. Физика,- 1993,- № 1,- С. 79-85.

58. Михайловский А.Б. Теория плазменных неустойчивостей,- Т.1.-М.:Атомиздат.- 1975,- 272 С.

59. Михайловский А.Б. Теория плазменных неустойчивостей,- Т.2.-М.-.Атомиздат,- 1977,- 360 С.

60. Федорченко A.M., Коцаренко Н.Я. Абсолютная и конвективная неустойчивость в плазме и твердых телах,- М.: Наука,- 1981.176 С.

61. Туриков В.А., Ульяницкий И.В. Пучковая неустойчивость в области двойного слоя в плазме. // Материалы конференции по физике низкотемпературной плазмы. 22-27 июня 1998 г.- Петрозаводск,- Изд-во Петрозаводского университета,- 1998,- С. 480-482.

62. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика,- М.: Наука,-1974,-702 С.

63. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям,- М.: Наука,- 1955,- С. 116.

64. Незлин М.В. Динамика пучков в плазме,- М.: Энергоатомиздат,-1982,-218 С.

65. Саркар Н.Р., Туриков В.А., Ульяницкий И.В. Плазменно-пучковая система с проводящими границами // Вестник РУДН,- Сер. Физика,- 1997,- № 4,- Вып.1,- С. 34-39.

66. Туриков В.А., Ульяницкий И.В. Электронные колебания в ограниченных плазменно-пучковых системах. // Тезисы докладов V Междунар. совещания-семинара "Инженерно-физические проблемы новой техники",- Москва,- Изд.-во МГТУ.- 1998,- С. 232.

67. Туриков В.А., Ульяницкий И.В. Пучковый двойной слой в ограниченной плазме // Физика плазмы.-1999.-Т.25,- №11.- С.929-933.

68. Бахвалов Н.С. Численные методы. Анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения,- М.: Наука,- 1973,- 631 С.

69. Ландау Л.Д. Колебания электронной плазмы // ЖЭТФ,- 1946.-Т.16.-С. 574.

70. Смирнов В.И. Курс высшей математики,- Т.4.- М. Гос. изд. физ,-мат. лит-ры,- 1958,- 812 С.

71. Шапиро В.Д., Шевченко В.И. К нелинейной теории неустойчивости электронного пучка в системе с электродами // ЖЭТФ,- 1967,-Т.52,-Вып.1,-С 144-152.106

72. Туриков В.А., Ульяницкий И.В. Численное моделирование электронных колебаний в области двойного слоя в плазме // Прикладная физика,- 1999,- № 5,- С. 137-140.

73. Туриков В.А., Ульяницкий И.В. Динамика плазмы в пучковом двойном слое. // Тезисы докладов XXVII Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС,- Звенигород,- 2000,- С. 221.

74. Бэдсел Ч., Ленгдон А. Физика плазмы и численное моделирование.- М.: Энергоатомиздат,- 1989,- 452 С.

75. Березин Ю.А., Вшивков Ю.А. Метод частиц в динамике разреженной плазмы,- Новосибирск: Наука.- 1980,- 135 С.

76. Morse R.L., Nielson С. W. Numerical simulation of warm two-beam plasma //Phys. Fluids.- 1969,-V. 12,-№ 11,-P. 2418-2425.

77. Поттер Д. Вычислительные методы в физике,- М.: Мир,- 1975,392 С.

78. Первый временной шаг выполнялся по методу Эйлера

79. У* = У® 4- V® /? ^т Лт ^ ут! л >

80. У1 = У0 +Г/° /? -'/и ' ^т/ •

81. Значения потенциала самосогласованного поля находились с использованием величин Qj из уравнения Пуассона с помощью трехточечной разностной схемы1. VI

82. F(X = 0) = 0, F(X = l/) = cr = ¥Арешалась по методу прогонки 77. Значения потенциала определялись посредством рекуррентной формулыгде коэффициенты ¿у также находились из рекуррентных соотношений1 Qj-l-sj-» (У ./»/1. У-1 ~ ~ о' 7 -1 ~сг 2 су-2

83. Начальные значения су, в этих соотношениях определялись граничным условием для Р(х) на правой границе

84. Л/ = Д/-ь Д/ = Дм, Сз= Сз.\.

85. Значения безразмерной напряженности электрического поля в произвольной точке X находились с помощью выражения1. Е(Х) = 2^- = 2(А:Х + ВХ1. К ' йХ V 7 .!