Динамика солитонов в штарковских средах и техника калибровочных преобразований тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Устинов Николай Витальевич

ДИНАМИКА СОЛИТОНОВ В ШТАРКОВСКИХ СРЕДАХ И ТЕХНИКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

01 04 02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

111111111111

ООЗ165546

Томск-2008

Работа выполнена на кафедре квантовой теории поля физического факультета Томского государственного университета

Научные доктор физико - математических наук профессор заве-

консультанты дующий кафедрой квантовой теории поля физическо-

го факультета ТГУ Багров Владислав Гавриилович

доктор физико-математических наук ведущий научный сотрудник РНЦ "Курчатовский институт" Сазонов Сергей Владимирович

Официальные доктор физико-математических наук профессор ка-

оппоненты федры физики твердого тела и квантовой радиофизики

МИФИ

Маймистов Андрей Иванович

доктор физико-математических наук профессор заведующий кафедрой высшей математики и математической физики Томского политехнического университета Трифонов Андрей Юрьевич

доктор физико-математических наук профессор заведующий кафедрой физики Сибирского медицинского университета

Кистенев Юрий Владимирович

Ведущая Физический факультет Московского государственного

организация университета им М В Ломоносова

Защита состоится « 24

апреля

2008 г в

ш

часов на

заседании диссертационного совета Д 212 267 07 в Томском государственном университете по адресу 634050, г Томск, пр Ленина, 36

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета

Автореферат разослан

марта

2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико - математических наук старший научный сотрудник

Ивонин И В

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена изучению особенностей нелинейной динамики оптических и акустических импульсов в штарковских средах и развитию техники получения решений уравнений, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния и имеющих приложения в когерентной оптике и физической акустике

Актуальность темы. Большое внимание теоретиков и экспериментаторов привлечено в настоящее время к исследованию нелинейных оптических явлений в средах, содержащих несимметричные квантовые объекты (НКО) Практический интерес в изучении этих явлений связан с развитием методов получения низкоразмерных квантовых структур (ям, нитей, точек) и на-нотехнологий Кроме того, среды, содержащие НКО (например, полярные молекулы), рассматриваются как перспективные в задаче генерации аттосе-кундных электромагнитных импульсов

Стационарные состояния НКО не обладают определенной четностью, вследствие чего диагональные матричные элементы оператора дипольного момента НКО и их разность — постоянный дипольный момент (ПДМ) перехода отличны от нуля Оптический импульс при распространении в среде, содержащей НКО, не только вызывает квантовые переходы между стационарными состояниями, но также сдвигает частоту переходов за счет линейного эффекта Штарка Чтобы подчеркнуть эту особенность такие среды были названы в [1] штарковскими Данный термин может быть применен к любым средам, в которых поле импульса выполняет две отмеченные выше функции Выделенное свойство штарковской среды существенно влияет на процесс формирования в ней импульсов В частности, было обнаружено [2], что при прохождении двухкомпонентных лазерных импульсов с нулевой отстройкой несущей частоты через такую среду возможен режим резонансной прозрачности, отличающийся от режима самоиндуцированной прозрачности (СИП), который имеет место в случае симметричных квантовых центров Этот результат заставляет обратить повышенное внимание на изучение распространения в штарковских средах двухкомпонентных импульсов с произвольной отстройкой от резонанса и выяснение роли ПДМ в общем случае

Одним из важнейших направлений развития нелинейной оптики является получение импульсов все более короткой длительности Особое направление образует разработка методов генерации мощных, так называемых предельно коротких импульсов (ПКИ), содержащих несколько (вплоть до одного) колебаний электромагнитного поля Так, основные методы генерации лазерных ПКИ фемтосекундной длительности представлены в [3] Изучению особенностей взаимодействия ПКИ, в том числе фемтосекундных, с нелинейными средами посвящено большое количество теоретических работ (см

обзор [4] и литературу там же) Были развиты новые подходы к описанию их динамики, поскольку традиционное для оптики квазимонохроматических импульсов приближение медленно меняющихся огибающих (ММО) уже не может быть использовано

В соответствии с изложенным выше, особенно высокий интерес вызывает сейчас исследование взаимодействия ПКИ со штарковскими средами Обусловленная ПДМ асимметрия по полярности поля была выявлена у скалярных стационарных ПКИ [1] В ходе численного изучения распространения через штарковскую среду скалярных ПКИ было установлено существование ненулевого бризера — уединенного устойчивого биполярного сигнала, временная площадь которого отлична от нуля [5] Это свойство принципиально отличает его от бризера в изотропной среде, имеющего нулевую площадь Обнаружение качественно новых особенностей в скалярном случае делает весьма привлекательной задачу изучения нелинейной динамики векторных ПКИ в штарковских средах

Известно, что существует прямое соответствие между явлениями нелинейной оптики и магнитной квантовой акустики [6] Так, после открытия СИП был обнаружен ее акустический аналог в парамагнитных кристаллах при температурах жидкого гелия Вслед за электромагнитными ПКИ были получены экспериментально и изучены теоретически акустические ПКИ пикосекундной длительности

Следует отметить, что поле деформации, взаимодействуя с эффективными спинами парамагнитных примесных ионов, в общем случае тоже вызывает квантовые переходы и смещает их частоты Таким образом имеет место полная аналогия с оптическими импульсами в средах, содержащих НКО, что позволяет отнести парамагнитные кристаллы к штарковским средам По этой причине в последние годы важным объектом исследований стала динамика акустических импульсов в парамагнитных кристаллах В частности, распространение продольно-поперечных ПКИ изучалось в работах [7,8] Однако, для эффективного проявления взаимодействия между составляющими акустического импульса необходимо, чтобы линейные скорости компонент были близки Как правило, в кристаллах скорость продольного звука значительно превосходит скорость поперечных упругих волн, вследствие чего распространение импульсов продольной и поперечной деформации происходит практически независимо Поэтому существенным дополнением к уже проведенным исследованиям будет изучение нелинейной динамики в парамагнитных кристаллах сугубо поперечных ПКИ

На протяжении уже многих лет в центре внимания исследователей остаются процессы преломления и отражения лазерных импульсов на нелинейной границе раздела диэлектрических сред Были обнаружены, в частности,

явления оптической бистабильности и самопульсаций, а также показано, что поведение системы при некоторых условиях имеет хаотический характер С практической точки зрения изучение явлений, сопровождающих прохождение электромагнитными импульсами нелинейной границы раздела, важно в связи с потребностями в эффективном управлении лазерным излучением и создании оптических устройств обработки информации

Существенное влияние на оптические свойства тонкого слоя резонансных частиц, образующих нелинейную границу раздела, оказывает диполь-дииольное взаимодействие между ними Большинство исследований по оптике пленок, в которых учитывался этот эффект локального поля, были выполнены приближенными и численными методами, причем в последнем случае неоднородное уширение спектральных линий отсутствовало Кроме того, проведенные исследования касались главным образом случая изотропной пленки Если пленка анизотропная (те содержит НКО), то она тоже является моделью штарковской среды Как и в случае протяженных штар-ковских сред, при изучении взаимодействия импульсов, в том числе ПКИ, с такой пленкой могут быть обнаружены качественно новые особенности

Успехи в исследовании нелинейных явлений, имевшие место за последние десятилетия, были достигнуты в значительной степени благодаря появлению метода обратной задачи рассеяния (МОЗР), а также других, тесно связанных с ним методов теории солитонов [9,10] Интенсивное развитие теории солитонов было вызвано как глубиной и элегантностью возникающих математических структур, так и наличием у нелинейных уравнений, интегрируемых с помощью МОЗР, многочисленных приложений в различных областях физики Так, интегрируемыми оказалось хорошо известные в когерентной оптике уравнения СИП, синус-Гордона (СГ), нелинейное уравнение Шредингера, редуцированные уравнения Максвелла-Блоха (РМБ) Важную роль МОЗР должен сыграть и при теоретическом рассмотрении взаимодействия ПКИ со штарковскими средами, поскольку нелинейные уравнения, описывающие этот процесс, оказались интегрируемыми в некоторых частных случаях [8,11]

Как правило, нелинейные уравнения, имеющие физические приложения, интегрируемы в рамках МОЗР и поэтому представимы в виде условия совместности переопределенной линейной системы (пары Лакоа) при наложении на ее коэффициенты и, следовательно, на данные рассеяния дополнительных ограничений Учет этих ограничений (редукций) часто проводит к громоздкому виду решения обратной задачи или даже к отсутствию дискретной части у данных рассеяния В связи с этим важными являются задачи расширения классов данных рассеяния, особенно тех, которые позволяют восстановить решения нелинейных уравнений в явном виде, и разработка

эффективных способов получения решений, удовлетворяющих редукциям Эти задачи могут быть решены путем развития алгебраических методов теории солитонов с последующим их погружением в МОЗР К числу таких методов относятся некоторые варианты техники калибровочных преобразований

Ключевой среди нерешенных проблем теории солитонов до сих пор остается нахождение критерия, позволяющего определить интегрируемость заданного нелинейного уравнения По этой причине нелинейные уравнения, описывающие физический процесс, оказываются в некоторых случаях интегрируемыми с помощью МОЗР лишь при наложении искусственных ограничений на физические параметры С другой стороны, в теории солитонов получили сейчас развитие методы построения интегрируемых модификаций нелинейных интегрируемых уравнений Возникающие при этом нелинейные уравнения тоже интегрируемы в рамках МОЗР и содержат произвольные коэффициенты Их наличие позволяет ослабить (или вообще убрать) ограничения на физические параметры, которые необходимы для интегрируемости, а также включить в рассмотрение дополнительные физические эффекты Разработка методов получения интегрируемых модификаций несомненно даст возможность расширить область применения теории солитонов в задачах, связанных с описанием распространения ПКИ в штарковских средах

Таким образом, нелинейная динамика оптических и акустических импульсов в штарковских средах демонстрирует новые эффекты Важным обстоятельством является то, что их обнаружение и исследование можно провести с помощью МОЗР и других, связанных с ним методов

Цель работы состояла в теоретическом изучении особенностей взаимодействия оптических и акустических импульсов со штарковскими средами на основе интегрируемых моделей, в развитии соответствующего аппарата теории солитонов и включала следующие задачи

— исследование режимов СИП в штарковских средах при произвольной отстройке от резонанса коротковолновой составляющей импульса,

— изучение особенностей нелинейной динамики в штарковских средах скалярных и векторных ПКИ в оптических и акустических задачах,

— изучение прохождения импульсами излучения тонкого слоя анизотропных квантовых частиц с учетом влияния локального поля, штарковского сдвига частоты перехода и неоднородного уширения спектральной линии,

— разработка на основе техники калибровочных преобразований метода построения интегрируемых модификаций нелинейных уравнений, интегрируемых с помощью МОЗР, и применение его к уравнениям, описывающим распространение импульсов в штарковских средах,

— изучение классов калибровочных преобразований матричных спек-

тральных задач и переопределенных линейных систем с полиномиальной и рациональной зависимостями от спектрального параметра,

— развитие в рамках техники калибровочных преобразований метода сохранения редукционных ограничений на коэффициенты спектральных задач и переопределенных линейных систем и получение с помощью этого метода решений уравнений, имеющих приложения в нелинейной оптике и физической акустике

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем

— показано, что существуют различные режимы СИП при распространении в штарковской среде двухкомпонентных импульсов, несущая частота коротковолновой составляющей которых имеет произвольную отстройку от резонанса, определены особенности проявления этих режимов в "плотных" средах, где не справедливо условие малой плотности НКО, в средах с выраженными положительным и отрицательным двулучепреломлениями, показано, что найденные режимы СИП также могут существовать в оптически плотных средах, в которых необходимо учитывать диполь-дипольное взаимодействие между резонансными частицами,

— обнаружен пороговый характер (по амплитуде и длительности) оптической и акустической прозрачности для скалярных однополярных ПКИ в штарковских средах, получено аналитическое выражение для ненулевого бризера, найденного ранее [5] в ходе численного эксперимента,

— найдены новые типы векторных оптических и акустических ПКИ, которые существуют только в штарковских средах и не имеют соответствия в изотропном случае, асимметрия векторных ПКИ по полярности и пороговый по длительности характер их формирования,

— в задаче о падении оптических импульсов на тонкий слой квантовых частиц обнаружен предельный эффект- изменение формы прошедшего и отраженного импульсов стремится к конечной величине с ростом амплитуды падающего импульса, теоретическое рассмотрение проведено с учетом влияния локального поля, анизотропии частиц и при произвольном контуре неоднородного уширения спектральной линии,

— показано, что векторные уравнения РМБ, описывающие распространение двухкомпонентных электромагнитных ПКИ через штарковскую среду, содержащую двухуровневые НКО, у которых матрица оператора дипольно-го момента имеет самый общий вид, интегрируемы с помощью МОЗР,

— построены новые классы калибровочных преобразований матричных спектральных задач и переопределенных систем линейных уравнений, изучены свойства этих преобразований, установлены связь их с МОЗР в формализме краевой матричной задачи Римана-Гильберта (РГ),

— на основе техники калибровочных преобразований развит новый метод

получения интегрируемых модификаций нелинейных уравнений, интегрируемых в рамках МОЗР

Положения и результаты, выносимые на защиту:

1 Классификация режимов самоиндуцированной прозрачности в штар-ковских и оптически плотных средах

2 Результаты исследования особенностей нелинейной динамики в штар-ковских средах скалярных и векторных предельно коротких импульсов в оптических и акустических задачах новые режимы согласованной динамики поля импульсов и квантовых частиц, асимметрия импульсов по полярности и пороговый по амплитуде и длительности характер их формирования, двухкомпонентные предельно короткие импульсы, не имеющие соответствия в изотропном случае

3 Новый подход к изучению падения электромагнитных импульсов на тонкий слой квантовых частиц, который учитывает диполь-дипольное взаимодействие между ними, анизотропию частиц и неоднородное уширение спектральной линии Предельный эффект при взаимодействии излучения с тонким слоем частиц

4 Установлена интегрируемость в рамках метода обратной задачи рассеяния векторных редуцированных уравнений Максвелла-Блоха в двухуровневом случае без наложения каких-либо ограничений на матрицу оператора дипольного момента квантовых частиц

5 Новые классы калибровочных преобразований матричных спектральных задач и переопределенных линейных систем с полиномиальной и рациональной зависимостями от спектрального параметра

6 Метод сохранения редукционных ограничений на коэффициенты спектральных задач и переопределенных линейных систем, которые заданы с помощью автоморфизмов в пространстве решений

7 Новый метод построения интегрируемых модификаций нелинейных уравнений, интегрируемых в рамках метода обратной задачи рассеяния

Научная и практическая значимость диссертационной работы состоит в том, что установлены основные закономерности нелинейной динамики оптических и акустических импульсов в штарковских средах, которые интересны как с точки зрения фундаментальных исследований, так и с точки зрения приложений Для выявления этих закономерностей был существенно развит математический аппарат теории солитонов Полученные в диссертации результаты способны вызвать постановку экспериментов и найти применение при разработке устройств управления лазерным излучением, сжатия и преобразования частоты импульсов, оптической обработки информации, спектроскопии НКО Введенные классы калибровочных преобразований, методы сохранения редукций и построения интегрируемых модифи-

кадий могут быть обобщены на другие типы линейных задач, изучаемых в теории солитонов, а также дать новые примеры физически важных систем, интегрируемых с помощью МОЗР

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международных конференциях "Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems (NEEDS)" (Россия, Дубна 1992, Греция, Колимбари, 1999), международной конференции "Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA)" (США, Гонолулу, 1993), XXXI международном симпозиуме по математической физике (Польша, Торунь, 1999), международной конференции "ISLAND I (Integrable Systems Linear and Nonlinear Dynamics)" (Шотландия, о Айла, 1999), международной конференции "ELBA 2002 Bilinear Integrable Systems from Classical to Quantum, Continuous to Discrete" (Италия, Марчиана Марина, 2002), международных чтениях по квантовой оптике (Россия, Санкт-Петербург, 2003), III и IV международных конференциях "Фундаментальные проблемы оптики" (Россия, Санкт-Петербург, 2004 и 2006), международных конференциях по когерентной и нелинейной оптике "ICONO" (Россия, Санкт-Петербург, 2005, Беларусь, Минск, 2007), IV международном семинаре Д Н Клышко (Россия, Москва, 2005), X и XI Всероссийских школах-семинарах "Физика и применение микроволн" (Россия, Звенигород, 2005 и 2007), VIII международном симпозиуме по фотонному эху и когерентной спектроскопии "ФЭКС-2005" (Россия, Светлогорск, 2005), X Всероссийской школе-семинаре "Волновые явления в неоднородных средах" (Россия, Звенигород, 2006), VI международной конференции "Лазерная физика и оптические технологии" (Беларусь, Гродно, 2006)

Часть диссертационных материалов была выполнена в рамках проектов РФФИ №№ 96-01-01789, 97-01-00752, 05-02-16422

Публикации. Содержание диссертации опубликовано в 36 статьях Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и списка литературы из 279 наименований, включает 25 рисунков и таблицу Общий объем диссертации составляет 257 страниц

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность выбранного направления, сформулированы цель и задачи исследования, выделены полученные результаты и раскрыта их новизна, научная и практическая значимость, описана структура диссертации и перечислены основные положения, выносимые на защиту

Глава 1 «Некоторые модели нелинейной оптики, физической акустики и методы теории солитонов» носит обзорный характер В ней представлены основные теоретические подходы, применяемые при изучении

взаимодействия оптических и акустических ПКИ с нелинейными средами Обсуждено современное состояние исследований динамики ПКИ в штарков-ских средах Отмечены результаты изучения взаимодействия излучения с оптически плотными средами и с тонкими пленками, где существенно влияние локального поля Здесь же дан краткий обзор развития МОЗР, описаны алгебраические методы теории солитонов, в том числе техника преобразования Дарбу (ПД) [12,13], и рассмотрены калибровочные преобразования [9,10] Выделены проблемы классификации редукций и построения интегрируемых модификаций систем нелинейных уравнений, имеющих физические приложения и представимых в виде условия совместности пары Лакса

Вторая и третья главы посвящены развитию математических методов, на основе которых будут затем исследованы особенности взаимодействия оптических и акустических импульсов со штарковскими средами

В главе 2 «Преобразования линейных задач в теории солитонов» для матричных спектральных задач произвольной размерности и переопределенных систем линейных уравнений введены новые классы калибровочных преобразований Изучены свойства этих преобразований и установлена их связь с обычным ПД и с МОЗР в формализме краевой матричной проблемы РГ

В §2 1 рассмотрено матричное пхп линейное обыкновенное дифференциальное уравнение

где Ф = Ф(ж, А) и Е = зе) — матричные решения, А и аз — комплексные постоянные, J — постоянная диагональная матрица 3 = dlag(al, ,ап) (ак ф а.] при к ф о), элементы матрицы II = (г%) зависят только от переменной х, ип = 0 {] = 1, , п)

В соответствии с терминологией, принятой в теории МОЗР, уравнения (1) и (2) называются прямой и сопряженной спектральными задачами, а параметры А и ае — спектральными Ниже векторные решения со спектральными параметрами А и аз обозначены соответствующими строчными буквами греческого алфавита ф = (фиф2, ,Фп)т, £ = (£1,6, ,£„) (аргументы для краткости опущены) Скалярное произведение решений определено обычным образом (£, ф) = £кфк Для векторных решений уравнений (1) и (2) с определенными значениями спектральных параметров ¡лир использованы обозначения (р = (<р1} <р2, , <Рп)Т и х = (Хъ Хг, , Хп)

— + А.7Ф = и Ф

ох

совместно с ему сопряженным (дуальным) уравнением

(1)

(2)

Изучены калибровочные преобразований уравнений (1) и (2), которые не меняют матрицу J Доказано, что среди таких преобразований существуют п элементарных преобразований Дарбу (ЭПД) прямой задачи Т[~],п ЭПД сопряженной задачи и п(п—1)-но преобразований Шлезингера (ПШ) Т[~) (то, I = 1, ,п,1^т), которые являются в определенном смысле простейшими преобразованиями В частности, для преобразования Т[~] имеем следующие выражения

т

-Фг,

■01 = (Л - (Л)ф1 + £ - тт ,

т=2 ат ~ 0<1

Фк = Фк~ ~Ф1 , ¥>1

£к = 6с ~

(ж -

Щк

(3)

Щ1

+ Е

Щ к,х

ак - а\

(й! -ак)~, VI

т№тк

п=2 ап

Ох

т=2 №

ак ~~ а 1

(4)

и к у — У-ку

а3 — ак 4>к

—-и1] —

а3 — а 1

(/с, ^ =2, ,п, <р1 ф 0) Решение <р, явно входящее в определение преобразованных величин, будем называть решением, с которым проведено ЭПД, а решения, имеющие тильду, — образами исходных решений

Выражения для ЭПД прямой задачи где то — так называемый индекс ЭПД, следуют из (3), (4) при перестановке матричных индексов 1 то Выражения для ЭДП сопряженной задачи проведенного с векторным решением \ уравнения (2), получаются из формул (3), (4) заменами

А

эе,

ак

-ак, ик3

-изк, <р х> Ц

(5)

Индексы то и I ПШ Т[у] будем называть индексами преобразования, при этом первый из них является индексом компоненты векторного решения прямой задачи, закон преобразования которой содержит спектральный параметр, а второй есть индекс компоненты, закон преобразования которой не содержит соответствующей компоненты исходного решения Отметим, что при заменах (5), переводящих ЭПД прямой задачи в ЭПД сопряженной, ПШ Т[у] переходит в преобразование

В §2 2 изучены свойства ЭПД прямой и сопряженной спектральных задач Показано, что

1) при проведении ЭПД сохраняются линейная независимость и скалярные произведения решений с одинаковыми спектральными параметрами,

2) ЭПД прямой и сопряженной задач коммутируют,

3) в случае выполнения последовательности ЭПД с решениями, спектральные параметры которых совпадают, выражения для преобразованных величин следуют их общих как пределы

Коммутируемость ЭПД означает, в частности, следующее Пусть и — векторные решения задачи (1) со спектральными параметрами ц\ и ¡Л2 соответственно Проведем тгц-ое ЭПД прямой задачи с решением а затем — т2-ое ЭПД с образом решения полученным в резуль-

тате предыдущего преобразования Оказалось, что определения преобразованных величин не изменятся, если провести сначала тг-ое ЭПД, а затем шх-ое, и/или проводить первое ЭПД последовательности с решением а второе — с образом решения Аналогичное свойство имеет место при проведении ЭПД сопряженной задачи, а также ЭПД обеих задач

Используя установленные свойства, доказана формула для суммы М (М < п) различных ЭПД прямой задачи Оказалось, что обычное ПД спектральной задачи (1)

ф = Хф + е0ф, О = и + [ 7, е0], (6)

где £0 = -ФМФ-1, М = дищ^, ,1лп), Ф = (Ф^ | Фк] = (рЮ -решения прямой задачи со спектральными параметрами /¿д. (к = 1, ,п), является суммой п различных ЭПД

В §2 3 изучены свойства ПШ и показано, что данные преобразования, а также ПШ и ЭПД коммутируют При этом оказалось, что верхние (нижние) индексы у всех преобразований и решения, с которыми проведены ЭПД сопряженной (прямой) задачи, можно в обозначении последовательности преобразований переставлять любым образом Кроме того, если один из верхних индексов совпадает с нижним, то в конечное выражение они не входят, т е одинаковые индексы "сокращаются" как в обычной дроби

Также в §2 3 показано, что ПШ можно получить, если выполнить последовательность из одного ЭПД и калибровочного преобразования, не зависящего от А, и устремить при этом точку на плоскости спектрального параметра, в которой ЭПД имеет ядро, к бесконечно удаленной точке Кроме того, используя свойства ЭПД и ПШ, доказанные в этом и предыдущем параграфах, установлено, что ПШ является частным случаем суммы п ЭПД В §2 4 определено бинарное ПД (БПД) как сумма ЭПД прямой и сопряженной задач, индексы которых равны При V ф [1 оно имеет вид

где Р = 1р х/(х> <~р) ~ проектор, Е — единичная матрица Доказана итерационная формула БПД, выражающаяся через определители, содержащие

в симметричном виде решения каждой из исходных спектральных задач, с образами которых были выполнены БПД Особо изучен случай совпадения значений спектральных параметров решений прямой и сопряженной задач, с которыми проводились ЭПД

Также в этом параграфе введено инфинитезимальное ПД как предельный случай БПД, и показано, что существует связь между ЭПД прямой и сопряженной задач сумма (п— 1)-го различных ЭПД прямой задачи (кроме пг-го ЭПД), проведенная с линейно независимыми решениями (д = 1, ,п — 1) прямой задачи со спектральным параметром и, которые удовлетворяют условиям (х, = 0, является ЭПД

В §2 5 установлена связь ЭПД, ПШ и БПД с МОЗР в формализме краевой матричной задачи РГ Показано, что проведение последовательности ЭПД (ПШ) дает в общем случае решение рациональной задачи РГ, некоторые (все) нули которой расположены в особой точке спектральных задач Итерации БПД позволяют получить известное решение рациональной задачи РГ с одинаковыми количествами нулей взаимно одинаковых кратностей, расположенных в разных областях аналитичности [9] При этом рекуррентные соотношения в терминах проекторов будут разрешены через определители, содержащие симметрично решения спектральных задач, которые задают пространства ядра и образа проекторов Выполнение БПД с решениями, имеющими одинаковые спектральные параметры, приводит к решению матричной задачи РГ в пределе, когда положение нулей стремится к границе областей аналитичности

В §2 6 проведено обобщение изученных в предыдущих параграфах преобразований на случаи матричных спектральных задач и переопределенных систем с полиномиальной и рациональной зависимостями от спектрального параметра Важное отличие ЭПД и ПШ от обычного ПД и БПД состоит в том, что выражения для всех преобразованных величин зависят явно от коэффициентов спектральной задачи Показано, что, несмотря на это обстоятельство, ЭПД и ПШ являются такими же универсальными преобразованиями, как обычное ПД или БПД Это означает, что с помощью данных преобразований можно получать новые решения пар Лакса и нелинейных интегрируемых уравнений, представимых в виде условия совместности

В главе 3 «Редукции, сохраняющие их калибровочные преобразования и интегрируемые модификации» развит в рамках техники калибровочных преобразований метод сохранения редукционных ограничений на коэффициенты спектральных задач Как известно, подавляющее большинство интегрируемых нелинейных уравнений, имеющих физические приложения, представимо в виде условия совместности при наложении на коэффициенты пары Лакса редукций В некоторых случаях редукции опре-

деляют ограничения на данные рассеяния, которые не вкладываются в обычную схему МОЗР Используя свойства решений спектральных задач, которые обусловлены существованием редукций, сформулированы достаточные условия, позволяющие сохранять различные классы редукционных ограничений при проведении последовательности ЭПД Кроме того, в этой главе развит новый метод построения интегрируемых модификаций нелинейных уравнений, интегрируемых с помощью МОЗР

В §3 1 изучены редукции спектральных задач (1) и (2), которые определены автоморфизмами следующих четырех тииов в пространстве решений

прямой спектральной задачи [14]

Ф(А) -> С1ФЫА)) е (Ф(А)}, (8)

Ф(А) -> С2Ф*ЫА*)) е (Ф(А)}, (9)

Ф(А) -> С,"1[Фт(л(А))]-1 е {Ф(А)}, (10)

Ф(А) -> с^Ф+ЫА*))]"1 е {Ф(А)}, (И)

где С, 0 = 1, ,4) — постоянные матрицы, не зависящие от спектрального параметра, д3(Х) — повороты плоскости спектрального параметра д3(Х) = 02X (\в3\ — 1, ] = 1, ,4) Автоморфизмы в пространстве решений сопряженной задачи не дают новых редукций Следствиями существование автоморфизмов являются не только ограничения на коэффициенты спектральных задач и, соответственно, на данные рассеяния, но также ограничения на входящие в них величины

Рассмотрены некоторые часто используемые, в том числе в связи с физическими приложениями, типы редукций Соответствующие им автоморфизмы приведены с помощью различных преобразований к простейшему виду В случае автоморфизма (8) возникают следующие ограничения на матрицу и

Сг11 - иСх = 0 (12)

Если среди а к нет равных нулю, то 0\ = ехр [—2-кг/1\, где I — натуральное число, делитель п При этом матрицу можно привести после переобозначения матричных индексов к виду, где ее диагональные элементы связаны соотношениями а]пц+к = аф^3 (к = 1, ,п/1, 3 = 1, ,1 — 1) В простейшем случае, когда I = п, имеем а/с = а\ ехр [2т(к — 1 )/п], а для элементов матрицы получим следующие выражения

С1гк, — Ск5к,3-1 (13)

(Здесь и в дальнейшем все индексы равны по модулю п )

Уравнения (12) и (13) определяет редукцию на матрицу II Независимыми являются п—1 коэффициент (например, элементы одной строки) Проведение калибровочного преобразования позволяет сделать так, чтобы при к = 1, , п выполнялись условия

Ск = 1 (14)

Также рассмотрен более сложный случай, когда один из а^ равен нулю ап = 0 Тогда 0\ = ехр [—2т/I], где I — натуральное число, такое, что т = (п — 1 )/1 тоже натуральное Если I = п — 1, то матрицу 7 можно привести к такому виду, что ак = ах ехр [27гг(& — 1)/(п — 1)] (к = 2, ,п— 1), а для элементов матрицы С\ получим следующие выражения

Сх,к] = Ск5к,]~1, Сх, {п-1)3 = Сп-хдх,з, Сх,П] = Сп5Щ1 (15)

{к = 1) ,п- 2,з = 1, ,п)

Здесь независимыми являются п коэффициентов матрицы 1} один из п-ой строки и все из какой-либо другой строки Из уравнения (12) в предположении о нерасщепляемости спектральной задачи (1) на матричные задачи меньшей размерности следует, что с"-1 = Щ1!} ск Подходящим калибровочным преобразованием всегда обеспечивается выполнение условий (14) В случае автоморфизма (9) имеем такое условие на матрицу II

С2и* -иС2 = 0 (16)

Матрица 3 может быть записана после переопределения ее индексов как

3 = («а, , ат,ат+1, , ат+н, а*п+/(02 11 > ат+1&2 *)>

где п = т + 2/1 (то и Л, — целые неотрицательные числа) и ащ(а/;) = — arg(02)/2 (к = 1, , то) Элементы матрицы С\ будут определены при этом следующим образом

С2 =\ск5к,](к = 1, ,т), ^

2'кз \ ск5п+т+х-к,3 (к = то + 1, ,п)

Если тф 0, то из уравнения (16) получим ограничения на коэффициенты матрицы Сг

\С]\2 = Сп+т+1-кС1 (18)

(1 < 3 < т, т + 1 < к < п) В этом случае калибровкой обеспечивается выполнение условий (14)

При то = 0 из (16) следует, что коэффициенты (к =1, ,п) удовлетворяют условию

Сп+1-кС*к = Ь, (19)

где Ь2 = 1 Здесь существуют две неэквивалентные редукции, когда Ъ = 1 и Ъ = — 1 Проводя калибровочное преобразование, можно добиться выполнения условий (14) для Ъ = 1 и Cfc = — cn+i~k = 1 (& = 1, , h) для b = — 1 Если существует автоморфизм (10), то матрица U удовлетворяет условию

UTC3 + C3U = 0 (20)

Рассмотрены частные случаи этого автоморфизма, когда его двукратное применение есть тождественное отображение Это означает, что в\ = 1

а) 03 = — 1 Матрица С3 здесь имеет вид

C3 = diag(cb ,Сп) (21)

Калибровкой можно положить С3 = Е

б) = 1 Матрица J может быть приведена при этом к виду, где an+i-i: = —Oft Тогда для элементов матрицы С3 получим следующие выражения

Сг,к] = Ckön+i-k,j (22)

Уравнение (20) определяет также ограничения на коэффициенты матрицы С3 Cn+i-fcCfc1 = Ь (Ь2 = 1), которые возникают в предположении о невозможности сведения спектральной задачи (1) к задачам меньшей матричной размерности В случае b ~ — 1 матричная размерность должна быть четной п = 21 Калибровкой можно обеспечить выполнение условий (14) при Ь = 1 Если b = —1, то проведение калибровочного преобразования позволяет добиться при к = 1, ,1 выполнения следующих условий

ск = -Cn+i-k = 1 (23)

В случае автоморфизма (11) условие на матрицу U имеет вид

U+C4 + CiU = 0 (24)

Матрица J обладает с точностью до переобозначения индексов структурой

J = diag (ai, , am, am+1, , am+h, —a*m+hßi-> > ~am+

где n = m + 2h (m и h — целые неотрицательные числа) и arg(afc) = — arg(—9i)/2 (к = 1, ,то) При этом элементы матрицы С4 определены следующим образом

^ = = \ 'ТО)' - , (25)

1 { ckön+m+i_kt3 (к = m + 1, ,п)

Уравнение (24) дает ограничения на коэффициенты матрицы С4 = Cn+m+i-fcCfc1 Ü = 1> ,тп, к = m + 1, ,п), которые следуют в предположении о нерасщепляемости спектральной задачи (1) на задачи меньшей

матричной размерности Проведением калибровочного преобразования можно матрицу С4 привести к виду, где с^ = ±1 при к = 1, , то и с^ = 1 при к = то+ 1, ,п

В §3 2 сформулированы достаточные условия сохранения при совершении последовательности ЭПД редукционных ограничений на коэффициенты спектральных задач, которые были рассмотрены в предыдущем параграфе Оказалось, что преобразованная матрица {/ удовлетворяет редукции, если проводить ЭПД с определенными наборами решений, связанными свойством симметрии в пространствах решений прямой и сопряженной задач, которое является следствием существования автоморфизма Так, для сохранения редукции (12), (13) достаточно провести обычное ПД (6) с такими решениями, а для удержания редукции (12), (15) проводится (гг—1)-но ЭПД двумя разными способами Редукции (16)—(18) и (16), (17), (19) наследуются при выполнении двух ЭПД (или, возможно, одного для первой редукции) Редукции (20), (21) и (24), (25) будут сохранены при совершении БПД (7)

Интересная ситуация возникает с редукциями (20), (22), (14) и (20), (22), (23) С точки зрения обычной схемы МОЗР в формализме краевой матричной проблемы РГ определители решений уравнений (1) и (2) должны иметь в одной и той же точке плоскости спектрального параметра как нуль, так и полюс Это означает, что при таких редукционных ограничениях не существует данных рассеяния, содержащих дискретную часть Однако, данные редукции вкладываются в рамки техники калибровочных преобразований Они будут сохранены при проведении БПД с решениями, спектральные параметры которых совпадают и на которые наложены определенные условия При этом для первой редукции достаточно провести одно такое преобразование, а для второй необходимо выполнить два БПД

Таким образом, ЭПД оказались более эффективным средством сохранения редукций, нежели обычное ПД При этом проведение преобразований, удерживающих редукции, кроме того, сохраняет связь между решениями прямой и сопряженной спектральных задач, которая является следствием существования автоморфизма, а именно образы решений, связанных свойством симметрии, тоже будут связаны (с точностью до несущественного калибровочного преобразования) Это обстоятельство позволяет сформулировать достаточные условия сохранения редукций при итерациях описанных выше последовательностей преобразований При комбинировании редукций, рассмотренных в этой главе, достаточные условия должны соответствовать каждой из редукции в отдельности Важная роль именно ЭПД в сохранении редукций обусловлена тем, что некоторые из нулей рациональной задачи РГ, добавляемых при их проведении, попадают в особые точки спектральных задач, положение которых инвариантно относительно автоморфизмов Сле-

дует также отметить, что ПШ могут быть использованы для размножения редукций, налагаемых на коэффициенты спектральных задач

В §3 3 изложен новый метод получения интегрируемых модификаций нелинейных интегрируемых уравнений Этот метод основан на изучении свойств решений пар Лакса и на технике калибровочных преобразований Получаемые с его помощью нелинейные уравнения тоже интегрируемы в рамках МОЗР и содержат произвольные коэффициенты, при определенных значениях которых они совпадают в некоторых случаях с хорошо известными, в том числе в когерентной оптике и физической акустике, нелинейными интегрируемыми уравнениями

Методы сохранения редукций и построения интегрируемых модификаций дают возможность применить введенные во второй главе калибровочные преобразования к системам линейных и нелинейных интегрируемых уравнений, имеющим важные физические приложения С их помощью в последующих главах изучены особенности динамики оптических и акустических импульсов в штарковских средах

В главе 4 «Режимы прозрачности в условиях синхронизма длинных и коротких волн» на основе системы уравнений синхронизма длинных и коротких волн (СДКВ) изучены солитонные режимы прохождения через оптически одноосную штарковскую среду двухкомпонентных импульсов излучения с произвольной отстройкой несущей частоты коротковолновой составляющей от резонанса В данной задаче система СДКВ, обобщающая уравнения СИП на случай отличного от нуля ПДМ, возникает при использовании приближений ММО и однонаправленного распространения (ОР) и оказывается интегрируемой с помощью МОЗР, если линейные скорости коротковолновой обыкновенной и длинноволновой необыкновенной составляющих импульсов равны Для получения решений этой системы уравнений использована техника ПД и применен метод сохранения редукционных ограничений на коэффициенты переопределенных линейных систем, развитые в предыдущих главах Найденные решения модифицируются на случай более общей физической ситуации, когда не выполняются ограничения на параметры, обеспечивающие интегрируемость уравнений СДКВ Исследование характеристик импульсов и динамики НКО позволило выделить несколько режимов солитонной прозрачности Отмечены особенности проявления этих режимов в "плотных" штарковских средах, в которых условие малой плотности НКО не выполняется, и в штарковских средах с выраженным положительным или отрицательным двулучепреломлением Также показано, что найденные режимы СИП могут существовать в оптически плотных средах, где необходимо учитывать диполь-дипольное взаимодействие между НКО, и имеют акустические аналоги

В §4 1 выведена система материальных и волновых уравнений, описывающая распространение векторного электромагнитного импульса в оптически одноосной среде, содержащей резонансные двухуровневые аксиально симметричные НКО с двукратным вырождением одного из уровней, в направлении перпендикулярном оптической оси В этом случае функции обыкновенной и необыкновенной составляющих импульса строго различны обыкновенная компонента возбуждает резонансный переход, а необыкновенная сдвигает его частоту С помощью замены переменных полученные уравнения сведены к системе СДКВ

^ = х- (n*aR - iî0R*), ^ = i(A + ne)R + iiï0W, (26)

dil0 п0 дП0 дПе пе дПе dW . .

л---лГ = _гРоЛ, H---57- = Ре-^г (27)

ду с dt ду с dt dt

Здесь переменная £10 пропорциональна огибающей обыкновенной компоненты импульса, пропорциональна необыкновенной компоненте, переменные W и R выражаются через элементы матрицы плотности НКО, коэффициенты Д> и Д, определены через физические параметры, Д — отстройка от резонанса несущей частоты обыкновенной составляющей импульса, п0 и пе — обыкновенный и необыкновенный показатели преломления, с — скорость света в вакууме Если ПДМ НКО равен нулю (те Д. = 0), то система (26), (27) переходит в уравнения СИП

В §4 2 к уравнениям (26), (27) в случае пе = п0 (те при строгом выполнении условия СДКВ, когда данные уравнения интегрируемы в рамках МО-ЗР) применены техника ПД и метод сохранения редукционных ограничений Построены односолитонные решения системы СДКВ, на основе которых в последующих параграфах обсуждены различные режимы распространения двухкомпонентных импульсов в штарковских средах В этом же параграфе солитонные решения модифицируется на случай, когда линейные скорости обыкновенной и необыкновенной волн не равны друг другу, а в модельных уравнениях не использовано приближение ОР В этих условиях степень анизотропии штарковской среды при прохождении через нее двухкомпонентного импульса становится эффективной, т е зависящей от его параметров

В §4 3 изучено распространение импульсов при равенстве линейных скоростей обеих компонент Обнаружено, что длительность импульсов, вызывающих наибольшее изменение населенностей квантовых уровней, определяется величиной отстройки, причем несущая частота обыкновенной составляющей импульсов всегда меньше резонансной В этом заключается принципиальное отличие от случая изотропной среды, где полная инверсия происходит только при точном резонансе Поэтому в условиях сильного возбуждения НКО электромагнитные импульсы могут проходить через штарковскую

среду не только в режиме СИП, где отстройка мала, но также в режиме самоиндуцированной сверхпрозрачности (СИСП) при больших значениях отстройки При этом в режиме СИСП импульсы не испытывают существенного уменьшения в скорости распространения, и имеет место заметная фазовая модуляция обыкновенной компоненты Кроме того, здесь изучены режимы распространения двухкомпонентных импульсов в условиях слабого возбуждения НКО Помимо режима необыкновенной прозрачности (НП) [2], в котором импульсы, испытывая замедление в скорости распространения, подобное случаю СИП, практически не вызывают изменения населенностей уровней НКО, рассмотрены режимы положительной и отрицательной нерезонансных прозрачностей (ПНП и ОНП), которые имеют место при большой отстройке от резонанса

В §4 4 изучены особенности проявления выделенных в предыдущем параграфе режимов прозрачности в "плотных" средах, в средах с выраженным положительным или отрицательным двулучепреломлением, а также в оптически плотных средах, где необходимо учитывать диполь-дипольное взаимодействие между НКО

В §4 5 дано сравнение характеристик изученных режимов солитонной прозрачности и обсуждены особенности их проявления в различных средах Так, режим СИП характеризуется сильным возбуждением НКО, малой отстройкой и значительным уменьшением скорости распространения импульсов относительно линейной скорости СИСП отличается от СИП меньшим замедлением в скорости распространения, заметным сдвигом частоты в красную область, но НКО при этом тоже испытывают сильное возбуждение Солитоны СИСП превосходят по амплитуде солитоны СИП, являются более короткими, а обыкновенная компонента сильно промодулирована по частоте У импульсов, распространяющихся в режиме НП, отстройка от резонанса мала, и имеют место преобладание необыкновенной компоненты над обыкновенной и пленение населенностей уровней Групповая скорость меняется существенно и может быть такой же, как у импульсов, вызывающих сильное возбуждение НКО В режимах ПНП и ОНП скорость импульсов меняется слабо, а отстройка велика по абсолютной величине Наиболее существенно данные режимы отличаются по поведению эффективной отстройки от резонанса Она практически не меняется в режиме ОНП Если же импульс распространяется в режиме ПНП, то эффективная отстройка за счет необыкновенной составляющей меняет знак, проходя через резонанс

В "плотной" среде, где эффективная анизотропия НКО для всех импульсов уменьшается, более выраженными оказываются режимы прозрачности, сопровождающиеся сильным возбуждением Наиболее интересным является случай штарковских сред с выраженным положительным двулучепреломле-

нием, важная особенность которого заключается в том, что эффективная анизотропия НКО может менять знак По этой причине режимы СИП и СИСП существуют не только тогда, когда несущая частота импульса меньше резонансной, но также, если она превосходит резонансную частоту Кроме того, степень эффективной анизотропии становится неограниченной, когда групповая скорость импульса приближается к скорости необыкновенной компоненты Импульсы при этом распространяются в режиме НП, который будет выражен более сильно, особенно при малой отстройке от резонанса Если среда обладает выраженным отрицательным двулучепреломлением, то эффективная анизотропия НКО уменьшается, и сильнее проявляются режимы прозрачности с сильным возбуждением НКО Отличительной чертой случая оптически плотных сред является то, что наибольшее возбуждение квантовых частиц вызывают импульсы с фиксированной отстройкой, величина которой пропорциональна параметру связи диполей

В §4 6 показано, что система СДКВ описывает также распространение поперечных акустических ультракоротких импульсов в кубическом кристалле, находящемся в магнитном поле и содержащем резонансные парамагнитные примеси с эффективным спином 5 = 1/2 Импульсы распространяются перпендикулярно магнитному полю, которое параллельно одной из осей симметрии четвертого порядка кристалла (геометрия Фохта) В этих условиях компонента импульса, перпендикулярная магнитному полю, вызывает квантовые переходы между спиновыми подуровнями, а компонента, параллельная полю, сдвигает их частоту Таким образом, данный парамагнитный кристалл является штарковской средой, и функции поперечных компонент упругого импульса соответствуют функциям обыкновенной и необыкновенной компонент изученных выше электромагнитных импульсов По аналогии с оптическим случаем выделены режимы акустической СИП

В главе 5 «Скалярные оптические и акустические импульсы в штарковских средах» исследована динамика скалярных ПКИ на основе уравнений РМБ с ПДМ [11], те без использования приближения ММО

В §5 1 рассмотрено распространение скалярных электромагнитных ПКИ через оптически одноосную среду, содержащую 7Г-переходы Здесь единственная импульсная составляющая как вызывает переходы между уровнями НКО, так и сдвигает их частоту Если плотности НКО мала, то данный процесс описывают уравнения РМБ с ПДМ

^=ги(а-<т*), ^ = г{1 + 2ки)а + 2гиа3, ^ = г(<т* - <т), (28)

от от от/

где егз и а выражаются через элементы матрицы плотности НКО, и, г) и т — обезразмеренные напряженность электрического поля импульса, коорди-

ната и "бегущее" время, параметр к пропорционален ПДМ перехода В [11] было установлено, что данные уравнения интегрируемы с помощью МОЗР Это дало возможность применить к ним технику ПД и метод сохранения редукций, развитые во второй и третьей главах, и получить многосолитонные решения

В §5 2 изучены решения системы (28) в виде однополярных ПКИ и так называемых бризероподобных импульсов, убывающих экспоненциально и рационально Для однополярных ПКИ обнаружен пороговый по амплитуде и длительности характер оптической прозрачности Его появление связано с тем, что импульсы, полярность которых противоположна знаку ПДМ, сильнее вовлекаются во взаимодействие с квантовыми частицами и должны быть более мощными, чем ПКИ в изотропной среде У бризероподобных импульсов временная площадь не равна нулю в отличие от хорошо известных бризерных решений уравнений РМБ в изотропном случае Для таких импульсов тоже имеет место асимметрия по полярности знаки нулевой гармоники и ПДМ перехода противоположны Это подтвердило результаты численного эксперимента [5] (в частности, бризероподобный импульс есть ни что иное, как ненулевой бризер) Следствием асимметрии по полярности является понижение эффективной частоты квантового перехода при прохождении бризероподобного импульса через штарковскую среду Обсуждено влияние ПДМ на спектральный состав импульсов, формирующихся в такой среде

В §5 3 и §5 4 исследована нелинейная динамика квазипродольных акустических ПКИ в низкотемпературном кубическом кристалле, содержащем парамагнитные примеси с эффективным спином 5 = 1 и находящемся под действием постоянной и однородной внешней деформации, направленной вдоль одной из осей симметрии четвертого порядка Используя условие малой плотности и замену переменных, выведены уравнения, описывающие распространение акустических ПКИ под произвольным углом к направлению внешней деформации, которые, как оказалось, эквивалентны системе РМБ с ПДМ (28) В данной задаче проявление асимметрии по полярности поля зависит от типа внешнего воздействия на кристалл (растяжение или сжатие) и направления распространения акустических импульсов В случае бризероподобных упругих импульсов знак их временной площади (нулевой гармоники) таков, что частота переходов между спиновыми подуровнями динамически уменьшается в среднем на периоде осцилляций при любом знаке постоянной спин-фононного взаимодействия Это определяет эффективность генерации высших гармоник у акустических импульсов, распространяющихся через деформированный парамагнитный кристалл

В главе 6 «Прохождение импульсами излучения штарковской границы раздела» изучена задача о падении электромагнитных импуль-

сов на тонкий слой НКО В §6 1 выведены уравнения, описывающие в рамках полуклассического феноменологического подхода нормальное падение импульсов на слой двухуровневых НКО, расположенный на границе раздела диэлектрических сред В этих уравнениях учтены диполь-дипольное взаимодействие между квантовыми частицами и неоднородное уширение спектральной линии

В §6 2 и §6 3 с помощью техники ПД и метода сохранения редукций найдены решения выведенных уравнений, которые соответствуют солитонному режиму прохождения границы раздела векторными и скалярными импульсами, в том числе имеющими высокочастотное заполнение Особенность этого режима состоит в том, что сохраняется баланс энергий электромагнитного поля и квантовых частиц до и после взаимодействия Исследовано влияние на прошедшее и отраженное поля, на динамику НКО локального поля в пленке, анизотропии, отстройки от резонанса и неоднородного уширения спектральной линии Показано, что в рассматриваемой задаче имеет место предельный эффект изменение формы прошедшего и отраженного импульсов, вызванное НКО, стремится к конечной величине с ростом амплитуды падающего импульса Подобно случаям протяженных оптически плотных или штарковских сред, учет локального поля и анизотропии приводит к своего рода фазовой модуляции фазы падающего, прошедшего и отраженного импульсов испытывают дополнительное смещение относительно фазы поля в пленке Вследствие этого меняется зависимость энергии прошедшего и отраженного полей от параметров падающего импульса (несущей частоты и длительности), что, в частности, проявляется в эффектах просветления пленки и полного отражения Кроме того, анизотропия НКО приводит к динамическому повороту поляризации отраженного и прошедшего полей относительно падающего поля Для скалярных ПКИ показано, что локальное поле обуславливает существование импульсов, испытывающих полное отражение Также выяснены проявления асимметрии по полярности поля у скалярных ПКИ при прохождении ими пленки НКО

В главе 7 «Векторные солитоны в штарковских средах» исследовано распространение двухкомпонентных ПКИ на основе подхода, развитого в §3 3 В соответствии с ним уравнения в случае штарковской среды рассматриваются как интегрируемая модификация нелинейных уравнений для изотропной (нештарковской) среды, интегрируемость которых в рамках МОЗР уже установлена Это позволило применить к таким нелинейным уравнениям технику ПД и метод сохранения редукций, развитые во второй и третьей главах, и изучить особенности динамики векторных ПКИ в штарковских средах

В §7 1 изучено распространение двухкомпонентных ПКИ поперечной де-

формации в низкотемпературном кристалле, содержащем парамагнитные примеси с эффективным спином 5 = 1/2, в направлении, перпендикулярном внешнему магнитному полю (геометрия Фохта, случай поперечных импульсов, имеющих высокочастотное заполнение, был рассмотрен для этой геометрии в §4 6) Получена система двухкомпонентных уравнений РМБ (ДРМБ), описывающая в рамках приближения ОР этот процесс,

ди дУ дУУ

+ + -£- = -(Шо + П,)и, — = -ЦД (29)

где переменные С1У и Ог пропорциональны компонентам тензора деформаций, переменные и,У к выражаются через элементы матрицы плотности парамагнитных примесей, и)о — частота зеемановского расщепления крамер-совского дублета, Рц и /<55 — компоненты тензора спин-упругого взаимодействия, п — концентрация парамагнитных ионов, а — линейная скорость поперечной акустической волны, р — средняя плотность кристалла

При = 0,2 = 0 система (29), (30) переходит в уравнения РМБ, интегрируемой модификацией которых она является Уравнения ДРМБ отличаются только обозначениями от системы нелинейных уравнений, описывающей динамику продольно-поперечных акустических импульсов в парамагнитном кристалле в случае геометрии Фарадея Эта система была выведена в работе [8], где также была показана ее интегрируемость в рамках МОЗР

На основе солитонных решений уравнений ДРМБ изучены новые режимы согласованной динамики поля импульса и квантовых частиц, характерные только для штарковских сред Выявлена асимметрия но полярности одной из компонент знак той составляющей поперечного поля деформации, которая смещает частоту перехода между спиновыми подуровнями, таков, что частота понижается при прохождении импульса Обнаружено, что характеристики упругих импульсов существенно зависят от соотношения между компонентами тензора спин-упругого взаимодействия Так, при распространении вдоль одной из осей симметрии кристалла могут существовать стационарные ПКИ только одного вида, причем эти импульсы ограничены по длительности При распространении вдоль другой оси симметрии возможны стационарные акустические ПКИ двух видов В этом случае длительность импульсов может быть любой У импульсов, имеющих высокочастотное заполнение, нелинейное взаимодействие между компонентами поля деформации тоже играет важную роль За счет динамического сдвига частоты перехода бризерный импульс может входить в резонанс (либо уходить из резонанса) со средой в зависимости от величины отстройки Эти результаты согласуются с выводами §4 6, где было использовано приближение ММО

В §7 2 к уравнениям ДРМБ применено приближение спектрального перекрытия Показано, что динамика импульсов описывается в этом случае так называемым модифицированным уравнением СГ

где в = ¡1ПУ1й', (Зу = — 1УопЛиЦ/8ра3, тс = Р55/и>0Ри, т = Ь - х/а,

— стационарная инверсия населенностей уровней крамерсовского дублета Данное уравнение вкладывается в схему, изложенную в §3 3, те является интегрируемой модификацией уравнения СГ, в которое оно переходит при тс = 0 Проведена классификация солитонных решений, найденных с помощью техники ПД и метода сохранения редукций, полученного уравнения В зависимости от длительности стационарного солитона возможны решения в виде 27г-импульсов (кинков и антикинков) и 07г-импульсов (нейтральных кинков), не имеющих соответствия в изотропном случае Изучены поведение среды при прохождении солитонов различных типов и процессы их столкновений между собой Оказалось, что ход взаимодействия у сталкивающихся солитонов существенным образом зависит от соотношений между их свободными параметрами и коэффициентом тс

В §7 3 исследовано взаимодействие продольно-поперечных акустических импульсов с системой парамагнитных примесей с эффективным спином 5 = 1, находящейся в статически деформированном кристалле Показано, что динамика импульса, распространяющегося под произвольным углом к направлению статической деформации, и эффективных спинов подчиняется при наложении дополнительных ограничений модифицированным уравнениям РМБ (МРМБ) Эти уравнения являются интегрируемой модификацией уравнений РМБ с ПДМ (28) и обобщают уравнения ДРМБ (29), (30) Выявлена существенная зависимость поведения среды и характеристик упругих солитонов от соотношений между их свободными параметрами и коэффициентами уравнений Обнаружено, что в данной задаче имеет место асимметрия по полярности обеих компонент акустического импульса

В §7 4 установлена интегрируемость с помощью МОЗР системы векторных уравнений РМБ, описывающей распространение двухкомпонентных электромагнитных ПКИ через штарковскую среду, содержащую двухуровневые НКО, матрица оператора дипольного момента которых имеет наиболее общий вид В этих условиях обе составляющие импульса как возбуждают НКО, так и сдвигают их уровни Уравнения РМБ с ПДМ (28), ДРМБ (29), (30) и МРМБ, изученные в пятой главе и предыдущих параграфах этой главы, являются частными случаями системы векторных уравнений РМБ

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1 В ходе исследования распространения в штарковских средах двухком-ионентных электромагнитных и акустических импульсов, имеющих высокочастотную составляющую с произвольной отстройкой несущей частоты от резонанса, показано, что импульсы могут проходить через такие среды в режимах, отличных от самоиндуцированной прозрачности Установлены особенности проявления этих режимов в средах с положительным и отрицательным двулучепреломлениями Обнаружено, что выделенные режимы также могут существовать в оптически плотных средах

2 Изучены особенности нелинейной динамики скалярных предельно коротких импульсов в штарковских средах Объяснены результаты численного моделирования данного процесса, выявлена асимметрия импульсов по полярности, и обнаружен пороговый по амплитуде и длительности характер оптической и акустической прозрачности у однополярных предельно коротких импульсов Обсуждено влияние асимметрии по полярности на спектральный состав импульсов

3 Проведено исследование падения электромагнитных импульсов на тонкий слой анизотропных квантовых частиц при учете локального поля и неоднородного уширения спектральной линии Выяснено влияние этих факторов, а также анизотропии квантовых частиц на прошедшее и отраженное поля Показано, что в данной задаче имеет место предельный эффект

4 Изучено распространение векторных оптических и акустических предельно коротких импульсов в штарковских средах, содержащих двухуровневые несимметричные квантовые объекты Установлено, что нелинейное взаимодействие между компонентами поля приводит к появлению новых типов предельно коротких импульсов, не имеющих соответствия в изотропном случае Обнаружены асимметрия по полярности импульсов и пороговый по длительности характер их формирования

5 Развиты техника калибровочных преобразований матричных спектральных задач и переопределенных линейных систем, а также основанные на ней методы сохранения редукций и получения интегрируемых модификаций нелинейных интегрируемых уравнений С их помощью найдены многосолитонные решения уравнений, описывающих динамику скалярных и векторных импульсов в штарковских средах в оптических и акустических задачах

6 Показано, что система редуцированных уравнений Максвелла-Блоха, описывающая распространение векторных предельно коротких электромагнитных импульсов в штарковских средах, содержащих двухуровневые квантовые частицы, интегрируема в рамках метода обратной задачи рассеяния в самом общем случае

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1 Leble S В , Ustinov N V Korteweg-de Vries - Modified Korteweg-de Vries Systems and Darboux Transforms in 1+1 and 2+1 Dimensions //J Math Phys

- 1993 - V 34 - № 4 - P 1421-1427

2 Leble S В , Ustinov N V Deep Reductions for Matrix Lax Systems, Invariant Forms and Elementary Darboux Transforms // Proceedings of VIII International Workshop "Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems (NEEDS)" (6-17 July 1992, Dubna, near Moscow, Russia) - Edited by Makhan-kov V , Puzynm I, Pashaev О - Singapore World Scientific, 1993 - P 34-41

3 Leble S В , Ustinov N V Darboux Transformations, Deep Reductions and Solitons // J Phys A Math Gen - 1993 - V 26 - P 5007-5016

4 Leble S В , Ustinov N V Solitons of Nonlinear Equations Associated with Degenerate Spectral Problem of the Third Order // Proceedings of International Symposium "Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA)" (5-10 December 1993, Honolulu, Hawaii, USA) - Edited by Tanaka M , Saito T - Singapore World Scientific, 1993 - V 2 - P 547-550

5 Leble S В , Ustinov N V Third Order Spectral Problems Reductions and Darboux Transformations // Inverse Problems - 1994 - V 10 - P 617-633

6 Ustinov N V The Reduced Self-Dual Yang-Mills Equation, Binary and Infinitesimal Darboux Transformations//J Math Phys -1998 -V 39 - №2 -P 976-985

7 Leble S В , Ustinov N V On Soliton and Periodic Solutions of Maxwell-Bloch System for Two-Level Medium with Degeneracy // Chaos, Solitons and Fractals - 2000 - V 11 - № 11 - P 1763-1772

8 Ustinov N V Transformations of Ordinary Differential Equations via Darboux Transformation Technique // Reports on Mathematical Physics - 2000

- V 46 - № 1&2 - P 279-286

9 Ustinov N V On Representation of the P-Q Pair Solution at the Singular Point Neighborhood // Journal on Nonlinear Mathematical Physics - 2001 -V 8, Supplement - P 283-288

10 Ustinov N V , Czachor M , Кипа M , Leble S В Darboux Integration of гр = [Я, f(p)} // Phys Lett A - 2001 - V 279 - P 333-340

11 Устинов H В , Брежнев Ю В О Ф-функции для конечнозонных потенциалов //УМН -2002 - Т 57 - № 1(343) - С 167-168

12 Ustinov N V Darboux Transformations, Infinitesimal Symmetries and Conservation Laws for Nonlocal Two-Dimensional Toda Lattice //J Phys A Math Gen - 2002 - V 35 - P 6963-6972

13 Ustinov N V , Czachor M Darboux-Integrable Equations with Non-Abelian Nonhneanties //In "Probing the Structure of Quantum Mechanics Nonlineanty, Nonlocality, Computation, Axiomatics" - Edited by Aerts D ,

Czachor M , Durt T - Singapore World Scientific, 2002 - P 335-353

14 Cieshnski J L , Czachor M , Ustinov N V Darboux Covariant Equations of von Neumann Type and their Generalizations //J Math Phys - 2003 -

V 44 - № 4 - P 1763-1780

15 Ustinov N V The Lattice Equations of the Toda Type with an Interaction between a Few Neighborhoods//J Phys A Math Gen -2004 -V 37 - № 5 -P 1737-1746

16 Sazonov S V, Ustinov N V Optical Transparency Effects m the Modes of Long-Short-Wave-Length Resonance // Proceedings of International Workshop "Quantum Optics 2003" (2003, St Petersburg, Russia) - Edited by Samartsev V V - Bellingham SPIE, 2004 - V 5402 - P 72-80

17 Сазонов С В , Устинов Н В Эффекты оптической прозрачности в режиме резонанса длинных и коротких волн // Изв РАН Сер физич - 2004

- Т 68 - № 9 - С 1280-1283

18 Сазонов С В , Устинов Н В Режимы резонансной прозрачности в условиях синхронизма длинных и коротких волн // ЖЭТФ - 2005 - Т 127 -№2 - С 289-307

19 Сазонов С В , Устинов Н В Режимы оптической прозрачности в анизотропных средах//Изв РАН Сер физич -2005 -Т 69 - №8 - С 11321134

20 Сазонов С В , Устинов Н В Импульсная прозрачность анизотропных сред со штарковским расщеплением уровней // Квантовая электроника — 2005 - Т 35 - № 8 - С 701-704

21 Устинов Н В Прохождение ультракороткими импульсами излучения анизотропной пленки резонансных частиц // Изв РАН Сер физич - 2005

- Т 69 - № 12 - С 1746-1748

22 Ustinov N V Breather-Like Pulses in a Medium with the Permanent Dipole Moment // Proceedings of VIII International Symposium on Photon Echo and Coherent Spectroscopy (18-25 September 2005, Svetlogorsk, Russia) - Edited by Samartsev VV - Bellingham SPIE, 2006 -V 6181 -P 61810P-1-61810P-9

23 Bakhar N V , Ustinov N.V Dynamics of Two-Component Electromagnetic and Acoustic Extremely Short Pulses // Proceedings of VIII International Symposium on Photon Echo and Coherent Spectroscopy (18-25 September 2005, Svetlogorsk, Russia) - Edited by Samartsev V V - Bellingham SPIE, 2006 -

V 6181 -P 61810Q-1 - 61810Q-10

24 Sazonov S V , Ustinov N V Optical Transparency Modes in Anisotropic Media // Proceedings of International Conference on Coherent and Nonlinear Optics "ICONO 2005" (11-15 May 2005, St Petersburg, Russia) - Edited by Drabovieh К , Makarov V , Shen Y -R - Bellingham SPIE, 2006 - V 6259 -P 625912-1-625912-11

25 Сазонов С В , Устинов Н В Эффекты нелинейной акустической прозрачности в деформированных парамагнитных кристаллах // ЖЭТФ -2006 - Т 129 - № 5 - С 849-862

26 Сазонов С В , Устинов Н В Новый класс предельно коротких электромагнитных солитонов // Письма в ЖЭТФ - 2006 - Т 83 - № 11 -С 573-578

27 Sazonov S V , Ustinov N V Modes of Nonlinear Acoustic Transparency in the Strained Paramagnetic Crystal // Phys Rev E - 2006 - V 73 - № 5 -P 056614-1-056614-10

28 Сазонов С В , Устинов Н В Солитонная динамика предельно коротких импульсов в системе несимметричных квантовых объектов // ЖЭТФ

- 2006 - Т 130 - № 4 - С 646-660

29 Сазонов С В , Устинов Н В Эффекты нелинейной динамики предельно коротких электромагнитных импульсов в несимметричной среде // Труды VI международной конференции "Лазерная физика и оптические технологии" (25-29 сентября 2006, Гродно, Беларусь) - Ред Казак Н С , Орло-вич В А , Ануфрик С С и др - Гродно ГрГУ, 2006 - Т 2 - С 56-58

30 Устинов Н В Эффекты взаимодействия лазерных импульсов с пленкой анизотропных двухуровневых частиц // Труды IV международной конференции "Фундаментальные проблемы оптики" (16-20 октября 2006, Санкт-Петербург, Россия) - Ред Беспалов В Г, Козлов С А - Санкт-Петербург Corvus, 2006 - С 119-121

31 Сазонов С В , Устинов Н В Эффекты солитонной динамики акустических импульсов в парамагнитном кристалле // Известия Вузов Физика

- 2007 - Т 50 - № 8 - С 31-36

32 Сазонов С В , Устинов Н В Интегрируемые модели динамики продольно-поперечных акустических импульсов в парамагнитном кристалле / / ТМФ - 2007 - Т 151 - № 2 - С 228-247

33 Сазонов С В , Устинов Н В Динамика предельно коротких оптических солитонов в системе несимметричных квантовых объектов // Оптический журнал - 2007 - Т 74 - № 11 - С 12-16

34 Sazonov S V , Ustinov N V New Kinds of Acoustic Sohtons //J Phys A Math Theor - 2007 - V 40 - F551-F558

35 Ustinov N V Infinitesimal Symmetries and Conservation Laws of the DNLSE Hierarchy and the Noether's Theorem // Eur Phys J В - 2007 -V 58 -P 311-317

36 Ustinov N V Optical Sohtons m an Anisotropic Medium with Arbitrary Dipole Moments // Proceedings of International Conference on Coherent and Nonlinear Optics "ICONO 2007" (28 May -1 June 2007, Minsk, Belarus) - Edited by Kivshar Yu , Rosanov N - Bellmgham SPIE, 2007 - V 6725 - P 67250F-

1-67250F-5

СПИСОК ЦИТИРУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1 Маймистов А И , Капуто Дж -Ги Предельно короткие электромагнитные импульсы в резонансной среде, обладающей постоянным дипольным моментом // Оптика и спектроскопия - 2003 - Т 94 - № 2 - С 275-280

2 Сазонов С В Эффекты резонансной прозрачности в анизотропной среде с постоянным дипольным моментом // ЖЭТФ - 2003 - Т 124 - № 4(10) -С 803-819

3 Андреев А А , Мак А М , Яшин В Е Генерация и применение сверхсильных лазерных полей // Квантовая электроника - 1997 - Т 24 - № 2 -С 99-114

4 Маймистов А И Некоторые модели распространения предельно коротких электромагнитных импульсов в нелинейной среде // Квантовая электроника - 2000 - Т 30 - № 4 - С 287-304

5 Елютин С О Динамика предельно короткого импульса в штарковской среде // ЖЭТФ - 2005 - Т 128 - № 1(7) - С 17-29

6 Голенищев-Кутузов В А , Самарцев В В , Соловаров Н К , Хабибу-лин Б М Магнитная квантовая акустика - М Наука, 1977 - 200 с

7 Сазонов С В Эффект акустической активности для пикосекундных со-литонолодобных импульсов//ЖЭТФ -2000 -Т 118 -№1(7) -С 20-35

8 Заболотский А А Эволюция продольной и поперечной акустических волн в среде с парамагнитными примесями // ЖЭТФ - 2003 - Т 123 -№6 - С 1239-1255

9 Захаров В Е , Манаков С В , Новиков С П , Питаевский JI П Теория солитонов: Метод обратной задачи - М Наука, 1980 - 319 с

10 Тахтаджян JI А , Фаддеев JIД Гамильтонов подход в теории солитонов - М Наука, 1986 - 528 с

11 Agrotis М , Ercolani N М , Glasgow S А , Moloney J V Complete Integrability of the Reduced Maxwell-Bloch Equations with Permanent Dipole // Physica D - 2000 - V 138 - № 1&2 - P 134-162

12 Matveev V В , Salle M A Darboux Transformations and Solitons -Berlin-Heidelberg Springer-Verlag, 1991 - 120 p

13 Багров В Г, Самсонов Б Ф Преобразование Дарбу и точно решаемые задачи в квантовой механике // В кн "Лекционные заметки по теоретической и математической физике" - Под ред Аминовой AB - Т 2,ч 2 -Казань, 2000 - 291 с (С 9-118)

14 Mikhailov А V The Reduction Problem and the Inverse Scattering Method // Physica D - 1981 - V 3 - № 1&2 - P 73-117

Введение.

Глава 1. Некоторые модели нелинейной оптики, физической акустики и методы теории солитонов

1.1 Самоиндуцированная прозрачность и оптика штарковских сред

1.2 Оптически плотные среды и оп тика топких плёнок

1.3 Акустические импульсы в низкотемпературных парамагнитных кристаллах

1.4 Метод обратной задачи рассеяния

1.5 Редукции и интегрируемые модификации интегрируемых уравнений

1.6 Алгебраические методы и техника калибровочных преобразований в теории солитонов.

Глава 2. Преобразования линейных задач в теории солитонов

2.1 Некоторые классы калибровочных преобразований.

2.2 Свойства элементарных преобразований Дарбу

2.3 Свойства преобразований Шлезингера.

2.4 Бинарное и инфинитезимальное преобразования Дарбу

2.5 Связь с рациональной задачей Римана-Гильберта

2.6 Преобразования задач с полиномиальной и рациональной зависимостями от спектрального параметра

Выводы и основные результаты главы 2.

Глава 3. Редукции, сохраняющие их калибровочные преобразования и интегрируемые модификации

3.1 Некоторые типы редукций, определяемых автоморфизмами

3.2 Достаточные условия сохранения редукций при проведении преобразований Дарбу

3.3 Интегрируемые модификации нелинейных интегрируемых уравнений

Заключительные замечания к главе

Глава 4. Режимы прозрачности в условиях синхронизма длинных и коротких

4.1 Система синхронизма длинных и коротких волн

4.2 Преобразование Дарбу и солитонные решения

4.3 Оптические импульсы в условиях сильного и слабого возбуждений штарковской среды

4.4 Случаи "плотной" среды, сред с выраженным двулучепреломлением и с диполь-дипольным взаимодействием

4.5 Режимы оптической прозрачности в штарковских средах

4.6 Ультракороткие акустические импульсы.

Глава 5. Скалярные оптические и акустические импульсы в штарковских средах.

5.1 Однокомпонентпые редуцированные уравнения Максвелла-Блоха для штарковской среды

5.2 Оптические солитоны в штарковской среде.

5.2.1 Однополярный импульс

5.2.2 Бризероподобный импульс

5.3 Нелинейная динамика квазипродольного звука в парамагнитном кристалле

5.4 Однополярпые и бризероподобпые акустические импульсы

Выводы

Глава 6. Прохождение импульсами излучения штарковской границы

раздела.

6.1 Основные уравнения

6.2 Векторный случай

6.3 Скалярный случай

Выводы

Глава 7. Векторные солитоны в штарковских средах

7.1 Двухкомпонентные редуцированные уравнения Максвелла-Блоха

7.1.1 Поперечные акустические импульсы в системе крамерсовских дублетов

7.1.2 Пара Лакса и преобразование Дарбу

7.1.3 Особенности динамики эффективных спинов и поля деформации.

7.2 Модифицированное уравнение синус-Гордона.

7.2.1 Представление нулевой кривизны и преобразование Дарбу

7.2.2 Солитонные решения

7.3 Модифицированные редуцированные уравнения Максвелла-Блоха.

7.3.1 Продольно-поперечные импульсы в деформированном кристалле

7.3.2 Пара Лакса и преобразование Дарбу.

7.3.3 Солитонные решения

7.4 Векторные редуцированные уравнения Максвелла-Блоха.

Заключительные замечания к главе

В настоящее время большое внимание теоретиков и экспериментаторов привлечено к исследованию нелинейных оптических явлений в средах, содержащих несимметричные квантовые объекты. В этом находит отражение одно из основных направлений развития теоретической физики: переход к изучению всё более сложных нелинейных процессов. С другой стороны, практический интерес к явлениям в средах с несимметричными квантовыми объектами вызван развитием методов получения иизкоразмерных квантовых структур (ям, нитей, точек) и папотехнологий. Кроме того, среды, содержащие такие объекты (например, полярные молекулы), рассматриваются как перспективные в задаче генерации аттосекундных электромагнитных импульсов.

Стационарные состояния несимметричных квантовых объектов не обладают определённой чётностью, вследствие чего диагональные матричные элементы оператора ди-польного момента и их разность — постоянный дипольный момент перехода отличны от нуля. Оптический импульс при распространении в среде, содержащей несимметричные квантовые объекты, не только вызывает квантовые переходы между стационарными состояниями, но также сдвигает частоту переходов за счет линейного эффекта Штар-ка. Чтобы подчеркнуть эту особенность такие среды часто называют штарковскими. В диссертации данный термин применён к любым средам, в которых поле импульса выполняет две отмеченные выше функции. Выделенное свойство штарковской среды существенно влияет на процесс формирования в ней импульсов. В частности, было обнаружено, что при прохождении двухкомпонентных лазерных импульсов с нулевой отстройкой несущей частоты коротковолновой составляющей через такую среду возможен режим резонансной прозрачности, отличающийся от режима самоиндуцированной прозрачности, который имеет место в случае симметричных квантовых центров. Этот результат заставляет обратить повышенное внимание на изучение распространения в штарковскпх средах двухкомпонентных импульсов с произвольной отстройкой от резонанса и выяснение роли постоянного дипольного момента в общем случае.

Одним из важнейших направлений развития нелинейной оптики является получение импульсов всё более короткой длительности. Особое направление образует разработка методов генерации мощных, так называемых предельно коротких импульсов, т.е. импульсов, содержащих несколько (вплоть до одного) колебаний электромагнитного поля. Изучению особенностей взаимодействия предельно коротких импульсов, в том числе фемтосекундной длительности, с нелинейными средами посвящено большое количество теоретических работ. Были разработаны новые подходы к описанию их динамики, поскольку традиционное для оптики квазимонохроматических импульсов приближение медленно меняющихся огибающих уже не может быть использовано.

В соответствии с изложенным выше, особенно высокий интерес вызывает сейчас исследование взаимодействия предельно коротких импульсов со штарковскими средами. Обусловленная постоянным дипольным моментом перехода асимметрия по полярности поля была выявлена у скалярных стационарных предельно коротких импульсов. В ходе численного изучения распространения в штарковской среде скалярных предельно коротких импульсов было установлено существование ненулевого бризсра — уединённого устойчивого биполярного сигнала, временная площадь которого пе равна нулю. Это свойство принципиально отличает его от бризера в изотропной среде, имеющего нулевую площадь. Обнаружение качественно новых особенностей в скалярном случае делает весьма привлекательной задачу изучения нелинейной динамики в штарковских средах векторных предельно коротких импульсов.

Как известно, существует прямое соответствие между явлениями нелинейной оптики и магнитной квантовой акустики. Так, после открытия самоиндуцированной прозрачности был обнаружен её акустический аналог в парамагнитных кристаллах при температурах жидкого гелия. Вслед за электромагнитными предельно короткими импульсами были получены экспериментально и изучены теоретически акустические предельно короткие импульсы пикосекундной длительности.

Следует отметить, что поле деформации, взаимодействуя с эффективными спинами парамагнитных примесных ионов, в общем случае тоже вызывает квантовые переходы и смещает их частоты. Таким образом имеет место полная аналогия с оптическими импульсами в средах, содержащих несимметричные квантовые объекты, что позволяет отнести парамагнитные кристаллы к штарковским средам. По этой причине в последние годы важным объектом исследований стала динамика акустических импульсов в парамагнитных кристаллах. В частности, были исследованы особенности распространения продольно-поперечных предельно коротких импульсов. Однако, для эффективного проявления взаимодействия между составляющими акустического импульса необходимо, чтобы линейные скорости компонент были близки. В кристаллах, как правило, скорость продольного звука значительно превосходит скорость поперечных упругих волн, вследствие чего распространение импульсов продольной и поперечной деформации происходит практически независимо. Поэтому существенным дополнением к уже проведённым исследованиям будет изучение нелинейной динамики в парамагнитных кристаллах сугубо поперечных предельно коротких импульсов.

На протяжении уже многих лет в центре внимания исследователей остаются процессы преломления п отражения лазерных импульсов па нелинейной границе раздела диэлектрических сред. Были обнаружены, в частности, явления оптической бистабильности и самопульсаций, а также показано, что поведение системы при некоторых условиях имеет хаотический характер. С практической точки зрения изучение явлений, сопровождающих прохождение электромагнитными импульсами нелинейной границы раздела, является важным в связи с потребностями в эффективном управлении лазерным излучением и создании оптических устройств обработки информации.

Существенное влияние на оптические свойства тонкого слоя резонансных частиц, образующих нелинейную границу раздела, оказывает диполь-динольное взаимодействие между ними. Большинство исследований по оптике плёнок, в которых учитывался этот эффект локального поля, были выполнены приближёнными и численными методами, причём в последнем случае неоднородное уширение спектральных линий отсутствовало. Кроме того, проведённые исследования касались главным образом случая изотропной плёнки. Если плёнка анизотропная (т.е. содержит несимметричные квантовые объекты), то она тоже является моделью штарковской среды. Как и в случае протяжённых штарковских сред, при взаимодействии импульсов, в том числе предельно коротких импульсов, с такой плёнкой могут быть обнаружены качественно новые особенности.

Успехи в исследовании нелинейных явлений, имевшие место за последние десятилетия, были достигнуты в значительной степени благодаря появлению метода обратной задачи рассеяния, а также других, тесно связанных с ним методов теории соли-тонов. Интенсивное развитие теории солитонов было вызвано как глубиной и элегантностью возникающих математических структур, так и наличием у нелинейных уравнений, интегрируемых с помощью метода обратной задачи рассеяния, многочисленных приложений в различных областях физики. Так, интегрируемыми оказалось хорошо известные в когерентной оптике уравнения самоиндуцированной прозрачности, синус-Гордона, нелинейное уравнение Шрёдингера, редуцированные уравнения Максвелла-Блоха. Важную роль данный метод должен сыграть и при теоретическом рассмотрении взаимодействия предельно коротких импульсов со штарковскими средами, поскольку нелинейные уравнения, описывающие этот процесс, оказались интегрируемыми в некоторых частных случаях.

Как правило, нелинейные уравнения, имеющие физические приложения, интегрируемы в рамках метода обратной задачи рассеяния и поэтому представимы в виде условия совместности переопределённой линейной системы (пары Лакса) при наложении па её коэффициенты и, следовательно, на данные рассеяния дополнительных ограничений. Учёт этих ограничений (редукций) часто проводит к громоздкому виду решения обратной задачи или даже к отсутствию дискретной части у данных рассеяния. В связи с этим важными являются задачи расширения классов данных рассеяния, особенно тех, которые позволяют восстановить решения нелинейных уравнений в явном виде, и разработка эффективных способов получения решений, удовлетворяющих редукциям. Эти задачи могут быть решены путём развития алгебраических методов теории солитонов с последующим их погружением в схему метода обратной задачи рассеяния. К числу таких методов относятся некоторые варианты техники калибровочных преобразований.

Ключевой среди нерешённых проблем теории солитонов до сих пор остаётся нахождение критерия, позволяющего определить интегрируемость заданного нелинейного уравнения. По этой причине нелинейные уравнения, описывающие физический процесс, оказываются в некоторых случаях интегрируемыми с помощью метода обратной задачи рассеяния лишь при наложении искусственных ограничений на физические параметры. С другой стороны, в теории солитонов получили сейчас развитие методы построения интегрируемых модификаций нелинейных интегрируемых уравнений. Возникающие при э том нелинейные уравнения тоже интегрируемы в рамках метода обратной задачи рассеяния и содержат произвольные коэффициенты. Их наличие позволяет ослабить (или вообще убрать) ограничения на физические параметры, которые необходимы для интегрируемости, а также включить в рассмотрение дополнительные физические эффекты. Разработка методов получения интегрируемых модификаций несомненно даст возможность расширить область применения теории солитонов в задачах, связанных с описанием распространения предельно коротких импульсов в штарковских средах.

Таким образом, нелинейная динамика оптических и акустических импульсов в штарковских средах демонстрирует новые эффекты. Важным обстоятельством является то, что их обнаружение и исследование можно провести с помощью метода обратной задачи рассеяния и других, связанных с ним методов.

Основная цель диссертационной работы состоит в теоретическом изучении особенностей взаимодействия оптических и акустических импульсов со штарковскими средами на основе интегрируемых моделей, в развитии соответствующего аппарата теории солитонов и включает следующие задачи: исследование режимов самоиндуцированной прозрачности в штарковских средах при произвольной отстройке от резонанса коротковолновой компоненты импульса; изучение особенностей нелинейной динамики в штарковских средах скалярных и векторных предельно коротких импульсов в оптических и акустических задачах; изучение прохождения импульсами излучения тонкого слоя'анизотропных квантовых частиц с учётом влияния локального поля, штарковского сдвига частоты перехода и неоднородного уширения спектральной линии; разработка на основе техники калибровочных преобразований метода построения интегрируемых модификаций нелинейных уравнений, интегрируемых с помощью метода обратной задачи рассеяния, и применение его к уравнениям, описывающим расиространение импульсов в штарковскпх средах; изучение классов калибровочных преобразований матричных спектральных задач и переопределённых линейных систем с полиномиальной и рациональной зависимостями от спектрального параметра; развитие в рамках техники калибровочных преобразований метода сохранения редукционных ограничений на коэффициенты спектральных задач и переопределённых линейных систем и получение с помощью этого метода решений уравнений, имеющих приложения в нелинейной оптике и физической акустике.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем: показано, что существуют различные режимы самоиндуцированпой прозрачности при распространении в штарковской среде двухкомпонентпых импульсов, несущая частота коротковолновой составляющей которых имеет произвольную отстройку от резонанса; определены особенности проявления этих режимов в "плотных" средах, где не справедливо условие малой плотности частиц, в средах с выраженными положительным и отрицательным двулучепреломлепиями; показано, что найденные режимы самоиндуцированной прозрачности также могут существовать в оптически плотных средах, в которых необходимо учитывать диполь-дипольное взаимодействие между резонансными частицами; обнаружен пороговый характер (по амплитуде и длительности) оптической и акустической прозрачности для скалярных однополярных предельно коротких импульсов в штарковских средах; получено аналитическое выражение для ненулевого бризера, найденного рапсе в ходе численного эксперимента; найдены новые типы векторных оптических и акустических предельно коротких импульсов, которые существуют только в штарковских средах и не имеют соответствия в изотропном случае; асимметрия векторных предельно коротких импульсов по полярности и пороговый по длительности характер их формирования; в задаче о падении оптических импульсов на тонкий слой квантовых частиц обнаружен предельный эффект: изменение формы прошедшего и отражённого импульсов стремится к конечной величине с ростом амплитуды падающего импульса; теоретическое рассмотрение проведено с учётом влияния локального поля, анизотропии частиц и при произвольном контуре неоднородного уширения спектральной линии; показано, что векторные редуцированные уравнения Максвелла-Блоха, описывающие распространение двухкомпопентных электромагнитных предельно коротких импульсов через штарковскую среду, содержащую двухуровневые несимметричные квантовые объекты, у которых матрица оператора дипольного момента имеет самый общий вид, интегрируемы с помощью метода обратной задачи рассеяния; построены новые классы калибровочных преобразований матричных спектральных задач и переопределённых систем линейных уравнений; изучены свойства этих преобразований, установлены связь их с методом обратной задачи рассеяния в формализме краевой матричной задачи Римана-Гильберта; на основе техники калибровочных преобразований развит новый метод получения интегрируемых модификаций нелинейных уравнений, интегрируемых в рамках метода обратной задачи рассеяния.

Научная и практическая значимость диссертационной работы состоит в том, что установлены основные закономерности нелинейной динамики оптических и акустических импульсов в штарковских средах, которые интересны как с точки зрения фундаментальных исследований, так и с точки зрения приложений. Для выявления этих закономерностей был существенно развит математический аппарат теории солитонов. Полученные в диссертации результаты способны вызвать постановку экспериментов и найти применение при разработке устройств управления лазерным излучением, сжатия и преобразования частоты импульсов, оптической обработки информации, спектроскопии несимметричных квантовых объектов. Введённые классы калибровочных преобразований, методы сохранения редукций и построения интегрируемых модификаций могут быть обобщены на другие типы линейных задач, изучаемых в теории солитонов, а также дать новые примеры физически важных систем, интегрируемых с помощью метода обратной задачи рассеяния.

Диссертация имеет следующую структуру. Первая глава носит обзорный характер. В ней представлены основные теоретические подходы, применяемые при изучении взаимодействия оптических и акустических предельно коротких импульсов с нелинейными средами. Обсуждено современное состояние исследований динамики предельно коротких импульсов в штарковских средах. Отмечены результаты изучения взаимодействия излучения с оптически плотными средами и с тонкими плёнками, где существенно влияние локального поля. Здесь же дан краткий обзор развития метода обратной задачи рассеяния, описаны алгебраические методы теории солитонов, в том числе техника преобразования Дарбу, и рассмотрены калибровочные преобразования. Выделены проблемы классификации редукций и построения интегрируемых модификаций систем нелинейных уравнений, имеющих физические приложения и представимых в виде условия совместности пары Лакса.

Вторая и третья главы посвящены развитию математических методов, на основе которых будут затем исследованы особенности взаимодействия оптических и акустических импульсов со штарковскими средами.

Во второй главе для матричных спектральных задач произвольной размерности введены новые классы калибровочных преобразований: элементарные преобразования Дарбу прямой и сопряжённой задач и преобразования Шлезингера. Изучены свойства преобразований и показано, каким образом преобразования Шлезингера могут быть получены с помощью элементарных преобразований Дарбу. Определено бинарное преобразование Дарбу как частный случай суммы двух элементарных преобразований, и введено инфинитезимальное преобразование Дарбу. Установлена связь элементарных преобразований прямой и сопряжённой задач друг с другом, с обычным преобразованием Дарбу и с методом обратной задачи рассеяния в формализме краевой матричной задачи Римана-Гильберта. Показано, что проведение последовательности элементарных преобразований Дарбу (преобразований Шлезингера) даёт в общем случае решение рациональной задачи Римана-Гильберта, некоторые (все) нули которой расположены в особой точке спектральных задач. Получены решения задачи Римана-Гильберта в пределе, когда положение нулей стремится к границе. Проведено обобщение введённых преобразований на случаи матричных спектральных задач и переопределённых систем с полиномиальной и рациональной зависимостями от спектрального параметра.

В третьей главе развит в рамках техники калибровочных преобразований метод сохранения редукционных ограничений на коэффициенты спектральных задач. Как известно, подавляющее большинство интегрируемых нелинейных уравнений, имеющих физические приложения, представимо в виде условия совместности при наложении на коэффициенты пары Лакса редукций. В некоторых случаях редукции определяют ограничения на данные рассеяния, которые не вкладываются в обычную схему метода обратной задачи рассеяния. Используя свойства решений спектральных задач, которые обусловлены наложением редукций, сформулированы достаточные условия, позволяющие сохранять различные классы редукционных ограничений при проведении последовательности элементарных преобразований Дарбу. Кроме того, в третьей главе развит новый метод построения интегрируемых модификаций нелинейных уравнений, интегрируемых с помощью метода обратной задачи рассеяния. Этот метод основан на изучении свойств решений пар Лакса и на технике калибровочных преобразований. Получаемые с его помощью нелинейные уравнения тоже интегрируемы в рамках метода обратной задачи рассеяния и содержат произвольные коэффициенты, при определённых значениях которых они совпадают в некоторых случаях с хорошо известными, в том числе в когерентной оптике и физической акустике, нелинейными интегрируемыми уравнениями.

Методы сохранения редукций и построения интегрируемых модификаций дают возможность применить введённые во второй главе калибровочные преобразования к системам линейных и нелинейных интегрируемых уравнений, имеющим важные физические приложения. С их помощью в последующих главах изучены особенности динамики оптических и акустических импульсов в штарковских средах.

В четвёртой главе на основе системы уравнений синхронизма длинных и коротких волн (СДКВ) изучены солитонные режимы прохождения через оптически одноосную штарковскую среду двухкомпонентных импульсов излучения с произвольной отстройкой несущей частоты коротковолновой составляющей от резонанса. В данной задаче система СДКВ, обобщающая уравнения самоиндуцированной прозрачности на случай отличного от нуля постоянного дипольного момента, возникает при использовании приближений медленно меняющихся огибающих и однонаправленного распространения и оказывается интегрируемой с помощью метода обратной задачи рассеяния, если линейные скорости коротковолновой обыкновенной и длинноволновой необыкновенной составляющих импульсов равны. Для получения решений этой системы уравнений использована техника преобразования Дарбу и применён метод сохранения редукционных ограничений на коэффициенты переопределённых линейных систем, развитые во второй и третьей главах. Найденные решения модифицируются па случай более общей физической ситуации, когда не выполняются ограничения па параметры, обеспечивающие интегрируемость уравнений СДКВ. Исследование характеристик импульсов и динамики несимметричных квантовых объектов позволило выделить несколько режимов со-литонной прозрачности. Отмечены особенности проявления этих режимов в "плотных" штарковских средах, в которых условие малой плотности частиц не выполняется, и в штарковских средах с выраженным положительным или отрицательным двулучепре-ломлспием. Также показано, что найденные режимы прозрачности могут существовать в оптически плотных средах, где необходимо учитывать диполь-дипольное взаимодействие между квантовыми частицами.

Кроме того, в четвёртой главе показано, что система СДКВ описывает распространение поперечных акустических ультракоротких импульсов в кубическом кристалле, находящемся во внешнем магнитном поле и содержащем резонансные парамагнитные примеси с эффективным спипом S = 1/2. Импульсы распространяются перпендикулярно магнитному полю, которое параллельно одной из осей симметрии четвёртого порядка кристалла (геометрия Фохта). В этих условиях компонента импульса, перпендикулярная магнитному полю, вызывает квантовые переходы между спиновыми подуровнями, а компонента, параллельная полю, сдвигает их частоту. Таким образом, данный парамагнитный кристалл является штарковской средой, и функции поперечных компонент упругого импульса соответствуют функциям обыкновенной и необыкновенной компонент изученных в предыдущих параграфах этой главы электромагнитных импульсов. По аналогии с оптическим случаем выделены режимы акустической самоиндуцированной прозрачности.

В пятой главе рассмотрено распространение однокомпонентных электромагнитных предельно коротких импульсов через двухуровневую штарковскую среду на основе скалярных редуцированных уравнений Максвелла-Блоха с постоянным дипольным моментом. Получены солитонные решения этой системы в виде однополярных и так называемых бризероподобных импульсов, убывающих экспоненциально и рационально. Для однополярных предельно коротких импульсов обнаружен пороговый по амплитуде и длительности характер оптической прозрачности. Его появление связано с тем, что импульсы, полярность которых противоположна знаку постоянного дипольпого момента перехода, сильнее вовлекаются во взаимодействие с квантовыми частицами и должны быть более мощными, чем предельно короткие импульсы в изотропной среде. У бризероподобных импульсов временная площадь не равна нулю в отличие от хорошо известных бризерных решений редуцированных уравнений Максвелла-Блоха в изотропном случае. Для таких импульсов тоже имеет место асимметрия по полярности: знаки пулевой гармоники и постоянного дипольпого момента перехода противоположны. Это подтвердило результаты численного эксперимента (в частности, бризероподобпый импульс есть ни что иное, как ненулевой бризер). Следствием асимметрии по полярности является понижение эффективной частоты квантового перехода при прохождении бризероподоб-ного импульса через штарковскую среду. Обсуждено влияние постоянного дипольного момента перехода на спектральный состав импульсов, формирующихся в такой среде.

Также в пятой главе исследована нелинейная динамика квазипродольных акустических предельно коротких импульсов в низкотемпературном кубическом кристалле, содержащем парамагнитные примеси с эффективным спином S = 1 и находящемся под действием постоянной п однородной внешней деформации, направленной вдоль одной из осей симметрии четвёртого порядка. Используя условие малой плотности и замену переменных, выведены уравнения, описывающие распространение акустических импульсов под произвольным углом к направлению внешней деформации, которые, как оказалось, эквивалентны системе скалярных редуцированных уравнений Максвелла-Блоха с постоянным дипольным моментом, рассмотренной в предыдущих параграфах этой главы. В данной задаче проявление асимметрии по полярности поля зависит от типа внешнего воздействия на кристалл (растяжение или сжатие) и направления распространения акустических импульсов. При этом в случае бризероподобных упругих импульсов знак их временной площади (нулевой гармоники) таков, что частота переходов между спиновыми подуровнями динамически уменьшается в среднем на периоде осцилляций при любом знаке постоянной спин-фононного взаимодействия. Это определяет эффективность генерации высших гармоник акустических импульсов в деформированных парамагнитных кристаллах.

В шестой главе изучена задача о падении импульсов излучения на тонкий слой двухуровневых несимметричных квантовых объектов, расположенный на границе раздела диэлектрических сред. Рассмотрение проведено с учётом диполь-дипольиого взаимодействия между квантовыми частицами и при произвольном контуре неоднородного уширения спектральной линии. С помощью техники преобразования Дарбу и метода сохранения редукций, развитых во второй и третьей главах, найдены решения уравнений, которые описывают солитонный режим прохождения границы раздела векторными и скалярными импульсами, в том числе имеющими высокочастотное заполнение. Исследовано влияние па прошедшее и отражённое поля, па динамику квантовых частиц локального поля, анизотропии, отстройки от резонанса и ширины спектральной линии. Показано, что в рассматриваемой задаче имеет место предельный эффект: изменение формы прошедшего и отражённого импульсов, вызванное квантовыми частицами, стремится к конечной величине с ростом амплитуды (сокращением длительности) падающего импульса. Как и в случаях протяжённых оптически плотных или штарковских сред, учёт локального поля и анизотропии тоже приводит к своего рода фазовой модуляции: фазы падающего, прошедшего и отражённого импульсов испытывают дополнительное смещение относительно фазы поля в плёнке. Вследствие этого меняется зависимость энергии прошедшего и отражённого полей от параметров падающего импульса (несущей частоты и длительности), что, в частности, проявляется в эффектах просветления плёнки и полного отражения. Кроме того, анизотропия квантовых частиц приводит к динамическому повороту поляризации отражённого и прошедшего полей относительно падающего поля. Для скалярных предельно коротких импульсов показано, что локальное поле обуславливает существование импульсов, испытывающих полное отражение. Также выяснены проявления асимметрии по полярности у скалярных предельно коротких импульсов при прохождении ими слоя квантовых частиц.

В седьмой главе проведено исследование распространения двухкомпонентных предельно коротких импульсов па основе подхода, развитого в третьей главе. В соответствии с ним уравнения в случае штарковской среды рассматриваются как интегрируемая модификация нелинейных уравнений для изотропной (нештарковской) среды, интегрируемость которых в рамках метода обратной задачи рассеяния уже установлена. С помощью техники преобразования Дарбу и метода сохранения редукций для таких уравнений построены солитонные, рациональные и бризерпые решения, и изучены их характеристики. При этом выявлены новые режимы согласованной динамики поля импульса и квантовых частиц, характерные только для штарковских сред. Особое внимание обращено на случай, когда импульсы удовлетворяют условию спектрального перекрытия. Оказалось, что динамика таких импульсов описывается модифицированным уравнением синус-Гордона, которое является интегрируемой модификацией хорошо известного уравнения синус-Гордона.

Также в седьмой главе показано, что векторные редуцированные уравнения Максвелла-Блоха, описывающие распространение двухкомпонентных электромагнитных предельно коротких импульсов через штарковскую среду, содержащую двухуровневые частицы, матрица оператора дипольного момента которых имеет наиболее общин вид, интегрируемы с помощью метода обратной задачи рассеяния.

В Заключении диссертации сформулированы наиболее важные результаты, полученные в ходе исследования.

В результате проделанной работы на защиту выносятся следующие основные положения:

1. Классификация режимов самоипдуцированной прозрачности в штарковских и оптически плотных средах.

2. Результаты исследования особенностей нелинейной динамики в штарковских средах скалярных и векторных предельно коротких импульсов в оптических и акустических задачах: новые режимы согласованной динамики поля импульсов и квантовых частиц; асимметрия импульсов по полярности и пороговый по амплитуде и длительности характер их формирования; двухкомпонентные предельно короткие импульсы, не имеющие соответствия в изотропном случае.

3. Новый подход к изучению падения электромагнитных импульсов на тонкий слой квантовых частиц, который учитывает диполь-дипольпое взаимодействие между ними, анизотропию частиц и неоднородное уширение спектральной линии. Предельный эффект при взаимодействии излучения с тонким слоем частиц.

4. Установлена интегрируемость в рамках метода обратной задачи рассеяния векторных редуцированных уравнений Максвелла-Блоха в двухуровневом случае без наложения каких-либо ограничений на матрицу оператора дипольного момента квантовых частиц.

5. Новые классы калибровочных преобразований матричных спектральных задач и переопределённых линейных систем с полиномиальной и рациональной зависимостями от спектрального параметра.

6. Метод сохранения редукционных ограничений на коэффициенты спектральных задач и переопределённых линейных систем, которые заданы с помощью автоморфизмов в пространстве решений.

7. Новый метод построения интегрируемых модификаций нелинейных уравнений, интегрируемых в рамках метода обратной задачи рассеяния.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации на основе полуклассического подхода теоретически изучены особенности взаимодействия оптических и акустических импульсов со штарковскими средами и развиты некоторые методы теории солитонов. В ходе проведённого исследования получены следующие основные результаты:

1. Показано, что двухкомпонентные электромагнитные и акустические импульсы, имеющие высокочастотную составляющую с произвольной отстройкой несущей частоты от резонанса, могут распространяться через штарковские среды в режимах, отличных от самоиндуцированной прозрачности. Дана классификация этих режимов, и определены особенности их проявления в "плотных" средах, где не справедливо условие малой плотности квантовых частиц, в штарковских средах с выраженными положительным и отрицательным двулучепреломлениями.

2. Обнаружено, что режимы самоиндуцированной прозрачности, выделенные в случае штарковских сред, могут также существовать в оптически плотных средах, в которых необходимо учитывать диполь-дипольное взаимодействие между резонансными частицами. Отличительной чертой случая оптически плотных сред является то, что наибольшее возбуждение квантовых частиц вызывают импульсы с фиксированной отстройкой, величина которой пропорциональна параметру связи диполей.

3. Объяснены результаты численного моделирования нелинейной динамики скалярных импульсов в штарковских средах. Выявлена асимметрия импульсов по полярности и обсуждено её влияние на спектральный состав бризероподобных импульсов, на процесс генерации побочных гармоник. Обнаружен пороговый характер (по амплитуде и длительности) оптической и акустической прозрачности для скалярных однополярных предельно коротких импульсов.

4. В задаче о падении импульсов излучения на тонкий слой квантовых частиц обнаружен предельный эффект: изменение формы прошедшего и отражённого импульсов стремится к конечной величине с ростом амплитуды падающего импульса. Теоретическое рассмотрение проведено с учётом локального поля, анизотропии частиц и при произвольном контуре неоднородного уширения спектральной линии. Выяснено влияние этих факторов на прошедшее и отражённое поля, на динамику квантовых частиц.

5. Изучено распространение векторных оптических и акустических предельно коротких импульсов в штарковских средах, содержащих двухуровневые несимметричные квантовые объекты. Установлено, что нелинейное взаимодействие между компонентами поля приводит к появлению новых типов импульсов, не имеющих соответствия в изотропном (нештарковском) случае. Обнаружены асимме трия векторных предельно коротких импульсов по полярности и пороговый по длительности характер их формирования.

6. Показано, что система редуцированных уравнений Максвелла-Блоха, описывающая распространение векторных предельно коротких импульсов в штарковских средах, содержащих двухуровневые квантовые частицы, интегрируема в рамках метода обратной задачи рассеяния в самом общем случае, т.е. без наложения каких-либо дополнительных ограничений на матрицу оператора дипольного момента частиц.

7. Для матричных спектральных задач и переопределенных систем линейных уравнений с полиномиальной и рациональной зависимостями от спектрального параметра введены новые классы калибровочных преобразований: элементарные преобразования Дарбу и преобразования Шлезингера. Изучены свойства этих преобразований и установлены связь их с методом обратной задачи рассеяния в формализме краевой матричной задачи Римана-Гильберта.

8. В рамках техники калибровочных преобразований развит метод сохранения редукционных ограничений на коэффициенты спектральных задач и переопределённых линейных систем, которые заданы с помощью автоморфизмов в пространстве решений. Это позволило применить введённые в диссертации преобразования для получения решений уравнений, имеющих приложения в нелинейной оптике и физической акустике.

9. Развит новый метод построения интегрируемых модификаций нелинейных интегрируемых уравнений. Этот метод основан на изучении свойств решений пар Лакса и на технике калибровочных преобразований. Получаемые с его помощью нелинейные уравнения тоже интегрируемы в рамках метода обратной задачи рассеяния и содержат произвольные коэффициенты. Показано, что развитый метод применим к нелинейным уравнениям, описывающим динамику импульсов в штарковских средах в оптических и акустических задачах.

Искреннюю благодарность автор выражает научным консультантам Багрову Владиславу Гаврииловичу и Сазонову Сергею Владимировичу за помощь и сотрудничество.

1. McCall S.L. and Hahn E.L. Self-induced transparency by pulsed coherent light // Phys. Rev. Lett. (1967), v.18, №18, p.908-911.

2. McCall S.L. and Hahn E.L. Self-induced transparency // Phys. Rev. (1969), v.183, №, p.457-485.

3. Maimistov A.I. and Basharov A.M. "Nonlinear Optical Waves" (1999), Dortreclit, Kluwer Acad. Publ.

4. Gibbs H.M. and Slusher R.E. Peak amplification and breakup of a coherent optical pulse in a simpler atomic adsorber // Phys. Rev. Lett. (1970), v.24, p.638-641.

5. Lamb G.L. Analytical descriptions of ultrashort optical pulse propagation in a resonant medium // Rev. Mod. Phys. (1971), v.43, p.99-124.

6. Gibbon J.D. and Eilbeck J.C. A possible Ar-soliton solution for a nonlinear optics equation // J. Phys. A: Gen. Phys. (1972), v.5, L22-L24.

7. Lamb G.L. Phase variation in coherent optical pulse propagation // Phys. Rev. Lett. (1973), v.31, p.196-199.

8. Ablowitz M.J., Каир D.J. and Newell A.C. Coherent pulse propagation, a dispersive, irreversible phenomenon // J. Math. Phys. (1973), v.15, p.1852-1858.

9. Ablowitz M.J., Каир D.J., Newell А.С. and Segur H. Method for solving the sine-Gordon equation. // Phys. Rev. Lett. (1973), v.30, p.1262-1264.

10. Захаров B.E., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. "Теория солитонов: Метод обратной задачи" (1980), Москва, Наука.

11. Лэм Дж. Л. "Введение в теорию солитонов" (1983), Москва, Мир.

12. Вуллаф Р., Кодри Ф. (ред.) "Солитоны" (1983), Москва, Мир.

13. Калоджеро Ф., Дегасперис А. "Спектральные преобразования и солитоны" (1985) Москва, Мир.

14. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. "Гамильтонов подход в теории солитонов" (1986), Москва, Наука.

15. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббоп Дж., Моррис X. "Солитоны и нелинейные волновые уравнения" (1988), Москва, Мир.

16. Ньюэлл А. "Солитоны в математике и физике" (1989), Москва, Мир.

17. Eilbeck J.C., Gibbon J.D., Caudrey P.J. and Bullough R.K. Solitons in nonlinear optics I. A more accurate description of the 27Г pulse in self-induced transparency // J. Phys. A: Math. Nucl. Gen. (1973), v.6, p.1337-1347.

18. Eilbeck J.C. Reflection of short pulses in linear optics // J. Phys. A: Gen. Phys. (1972), v.5, p.1355-1363.

19. Eilbeck J.C. and Bullough R.K. The method of characteristics in the theory of resonant or nonresonant nonlinear optics // J. Phys. A: Gen. Phys. (1972), v.5, p.820-829.

20. Konopnicki M.J. and Eberly J.H. Simultaneous propagation of short different-wave-lenght optical pulses // Phys. Rev. A (1981), v.24, №5, p.2567-2583.

21. Konopnicki М.Л., Drummond P.D. and Eberly J.H. Theory of lossless propagation of simultaneous different-wavelength optical pulses // Opt. Commun. (1981), v.36, p.313-316.

22. Болынов Л.А., Лиханский В.В., Персианцев М.И. К теории когерентного взаимодействия импульсов света с резонансными многоуровневыми средами // ЖЭТФ (1983), т.84, №3, с.903-911.

23. Маймистов А.И. Строгая теория самоиндуцированной прозрачности при двойном резонансе в трёхуровневой среде // Квантовая электроника (1984), т.11, с.567-575.

24. Болынов JI.A., Лиханский В.В. Когерентное взаимодействие импульсов излучения с резонансными многоуровневыми средами // Квантовая электропика (1985), т.12, N«-7, с.1339-1364.

25. Болынов Л.А., Елкин Н.Н., Лиханский В.В., Персиаицев М.И. К теории когерентного преобразования частоты ультракоротких импульсов света в резонансных средах // ЖЭТФ (1988), т.94, №10, с. 101-109.

26. Башаров A.M., Маймистов А.И. О самоиндуцированной прозрачности в условиях вырождения резонансных энергетических уровней // ЖЭТФ (1984), т.87, №5(11), с.1595-1605.

27. Steudel Н. iV-soliton solutions to degenerate self-induced transparency // J. Mod. Opt. (1988), v.35, p.693-702.

28. Башаров A.M., Маймистов А.И. Поляризованные еолитоны в трёхуровневых средах // ЖЭТФ (1988), т.94, №12, с.61-75.

29. Fork R.L., Brito Cruz С.Н., Becker P.C. and Shank C.V. Compression of optical pulses to six femtoseconds by using cubic phase compensation // Opt. Lett. (1987), v.12, №7, p.483-489.

30. Darrow J.T., Ни B.B., Zhang X.-C. and Auston D.H. Subpicosecond electromagnetic pulses from largo-aperture photoconducting antennas // Opt. Lett. (1990), v.15, №6, p.323-326.

31. Stingl A., Spielmann C., Krausz F. and Szipocs R. Generation of 11-fs pulses from a Ti:sapphire laser without the use of prisms // Opt. Lett. (1994), v.19, №3, p.204-207.

32. Baltuska A., Wei Z., Pshenichnikov M.S. and Wiersma D.A. Optical pulse compression to 5fs at a 1-MHz repetition rate // Opt. Lett. (1997), v.22, №2, p.102-104.

33. Nisoli M., De Silvestri S., Svelto O., Szipocs R, Ferencz K., Spielmann C., Sartania S. and Krausz F. Compression of high-energy laser pulses below 5 fs // Opt. Lett. (1997), v.22, №8, p.522-524.

34. Sutter D.H., et al. Sub-6-fs pulses from a SESAM-assisted Kerr-lens modelocked Ti:sapphire laser: At the frontiers of ultrashort pulse generation // Appl. Phys. B: Lasers Opt. (2000), v.70, S5-S12.

35. Андреев А.А., Мак A.M., Яшин В.Е. Генерация и применение сверхсильных лазерных полей // Квантовая электроника (1997), т.24, №2, с.99-114.

36. Ким А.В., Рябикин М.Ю., Сергеев A.M. От фемтосекундных к аттосекундным импульсам // УФН (1999), т. 169, №1, с.58-66.

37. Маймистов А.И. Некоторые модели распространения предельно коротких электромагнитных импульсов в нелинейной среде // Квантовая электроника (2000), т.ЗО, №4, с.287-304.

38. Brabec Th. and Krausz F. Intense few-cycle laser fields: Frontiers of nonlinear optics // Rev. Mod. Phys. (2000), v.72, №2, p.545-591.

39. Маймистов А.И. К теории самоиндуцированной прозрачности без приближения медленно меняющихся амплитуд и фаз // Квантовая электроника (1983), т. 10, JVfi2, с.360-364.

40. Steudel Н. and Zabolotskii A.A. Solitons of the reduced Maxwell-Bloch equations for circularly polarized light // J. Phys. A: Math. & Gen. (2004), v.37, p.5047-5055.

41. Беленов Э.М., Назаркин А.В. О некоторых решениях уравнений нелинейной оптики без приближения медленно меняющихся амплитуд и фаз // Письма в ЖЭТФ1990), т.51, с.252-255.

42. Беленов Э.М., Назаркин А.В., Ущаповский В.А. Динамика распространения и взаимодействия сгустков электромагнитного поля в двухуровневых средах / / ЖЭТФ1991), т. 100, №3(9), с.762-775.

43. Sazonov S.V. and Trifonov E.V. Solutions for Maxwell-Bloch equations without using the approximation of a slowly varying envelope: circularly-polarized video pulses // J. Phys. B: At., Mol. & Opt. Phys. (1994), v.27, L7-L12.

44. Пархоменко А.Ю., Сазонов С.В. Самоиндуцированная прозрачность многоуровневой квантовой среды при распространении предельно коротких импульсов // ЖЭТФ (1998), т.114, №5(11), с.1595-1617.

45. Nakai S., Meath W.J. The rotating wave approximation, including the incorporation and importance of diagonal dipole moment matrix elements, for infrared multiphoton excitations // J. Chem. Phys. (1992), v.96, p.4991-5008.

46. Kocinac S., Ikonic Z. and Milanovic V. The influence of permanent dipole moments on second harmonic generation in asymmetric semiconductor quantum wells // Opt. Commun. (1997), v. 140, p.89-92.

47. Casperson L.W. Few-cycle pulses in two-level medium // Phys. Rev. A (1998), v.57, Ш, p.609-621.

48. Brown A., Meath W.J. and Ttan P. Rotating-wave approximation for the interaction of a pulsed laser with a two-level system possessing permanent dipole moments // Phys. Rev. A (2000), v.63, p.013403-1-013403-7.

49. Agrotis M., Ercolani N.M., Glasgow S.A. and Moloney J.V. Complete integrability of the reduced Maxwell-Bloch equations with permanent dipole // Physica D (2000), v. 138, №1&2, p.134-162.

50. Заболотский А.А. Усиление предельно коротких импульсов в оптической среде // ЖЭТФ (2002), т.121, №5, с.1012-1027.

51. Маймистов А.И., Капуто Дж.-Ги. Предельно короткие электромагнитные импульсы в резонансной среде, обладающей постоянным дипольпым моментом // Оптика и спектроскопия (2003), т.94, №2, с.275-280.

52. Сазонов С.В. Эффекты резонансной прозрачности в анизотропной среде с постоянным дипольным моментом // ЖЭТФ (2003), т.124, №4(10), с.803-819.

53. Нестеров С.В., Сазонов С.В. Режимы нелинейного распространения предельно коротких импульсов в системе анизотропных туннельных переходов // ЖЭТФ (2004), т. 126, №3(9), с.741-757.

54. Елютин С.О. Динамика предельно короткого импульса в штарковской среде // ЖЭТФ (2005), т. 128, №1(7), с. 17-29.

55. Демиховский В.Я., Вугальтер Г.А. "Физика квантовых низкоразмерных структур" (2000), Москва, Логос.

56. Lan P., Lu P., Cao W., Wang X. and Hong W. Single attosecond pulse generation from asymmetric molecules with a multicycle laser pulse // Opt. Lett. (2007), v.32, №9, p.1186-1188.

57. Заболотский А.А. Самоиндуцированная прозрачность циркулярно поляризованных фемтосекундных импульсов // Письма в ЖЭТФ (2003), т.77, №9, с.558-562.

58. Заболотский А.А. Однонаправленные оптические солитоны в двухуровневой среде // ЖЭТФ (2004), т.125, №6, с.1229-1244.

59. Steudel Н., Zabolotskii A.A. and Meinel R. Solitons for the rotating reduced Maxwell-Bloch equations with anisotropy // Phys. Rev. E (2005), v.72, p.056608-1 056608-7.

60. Friedberg R., Hartmann S.R. and Manassah J.T. Frequency shifts in emission and absorption by resonant systems of two-level atoms // Phys. Rep. (1973), v.7, №3, p.101-179.

61. Hopf F.A., Bowden C.M. and Louisell W.H. Mirrorless optical bistability with the use of the local-field correction // Phys. Rev. A (1984) v.29, №5, p.2591-2596.

62. Stroud C.R., Bowden C.M. and Allen L. Self-induced transparency in self-chirped media // Opt. Commun. (1988), v.67, №5, p.387-390.

63. Maki J.J., Malcuit M.S., Sipe J.E. and Boyd R.W. Linear and nonlinear optical measurements of the Lorentz local field // Phys. Rev. Lett. (1991), v.67, №8, p.972-975.

64. Bowden C.M., Postan A. and Inguva R. Invariant pulse propagation and self-phase modulation in dense media // JOS А В (1991), v.8, №5, p. 1081-1084.

65. Bowden C.M. and Dowling J.P. Near dipole-dipole effects in dense media: generalized Maxwell-Bloch equation // Phys. Rev. A (1993), v.47, №2, p.1247-1251.

66. Hehlen M.P., Gudel H.U., Shu Q., Rai J., Rai S. and Rand S.C. Cooperative bistability in dense, excited atomic systems // Phys. Rev. Lett. (1994), v.73, №8, p.1103-1106.

67. Crenshaw M.E. and Bowden C.M. Local-field effects in a dense collection of two-level atoms embedded in a dielectric medium: Intrinsic optical bistability enhancement and local cooperative effects // Phys. Rev. A (1996) v.53, №2, p.1139-1142.

68. Singh S., Bowden C.M. and Rai J. Gain enhancement in lasing without inversion in an optically dense medium // Opt. Commun. (1997), v.135, №1-3, p.93-97.

69. Manassah J.T. and Gross B. Amplification without inversion in an extended optically dense open A-system // Opt. Commun. (1998), v.148, №4-6, p.404-416.

70. Manassah J.T. and Gross B. The different regimes of the optically dense amplifier // Opt. Commun. (1998), v.149, №4-6, p.393-403.

71. Manassah J.T. and Gladkova I. Modifications due to local field corrections of the electromagnetically induced transparency propagation parameters in a driven optically dense three-level cascade system // Opt. Cornmun. (2000), v.185, №1-3, p.125-132.

72. Белоненко М.Б., Кабаков В.В. Самоиндуцированная прозрачность в резонансной среде с диполь-дипольным взаимодействием // Оптика и спектроскопия (2000), т.88, №3, с.435-438.

73. Афанасьев А.А., Власов Р.А., Черствый А.Г. Оптические солитоны в плотных резонансных средах // ЖЭТФ (2000), т.117, №3, с.489-495.

74. Afanas'ev А.А., Vlasov R.A., Khasanov O.K., Smirnova T.V. and Fedotova O.M. Coherent and incoherent solitons of self-induced transparency in dense, resonant media // JOSA В (2002), v.19, №4, p.911-919.

75. Руиасов В.И., Юдсон В.И. О граничных задачах в нелинейной оптике резонансных сред // Квантовая электроника (1982), т.9, №11, с.2179-2186.

76. Ben-Aryeh Y., Bowden С.М. and Englund J.C. Intrinsic optical testability in collections of spatially distributed two-level atoms // Phys. Rev. A (1986), v.34, №5, p.3917-3926.

77. Рупасов В.И., Юдсон В.И. Нелинейная резонансная оптика тонких плёнок: метод обратной задачи // ЖЭТФ (1987), т.93, №2, с.494-499.

78. Башаров A.M. Тонкая плёнка двухуровневых атомов — простая модель оптической бистабильности и самопульсаций // ЖЭТФ (1988), т.94, №9, с.12-18.

79. Бенедикт М.Г., Зайцев А.И., Малышев В.А., Трифонов Е.Д. Резонансное взаимодействие ультракороткого импульса света с тонкой плёнкой / / Оптика и спектроскопия (1989), т.66, №4, с.726-728.

80. Башаров A.M., Маймистов А.И., Маныкин Э.А. Точно интегрируемые модели резонансного взаимодействия света с тонкой плёнкой трёхуровневых частиц // ЖЭТФ (1990), т.97, №5, с.1530-1543.

81. Логвин Ю.А., Самсон A.M., Туровец С.И. Неустойчивость и хаос в бистабильной плёнке двухуровневых атомов // Квантовая электроника (1990), т.17, с.1521-1524.

82. Бабушкин И.В., Логвин Ю.А., Лойко Н.А. Взаимосвязь пространственных и временных неустойчивостей в системе двух нелинейных тонких плёнок // ЖЭТФ (2000), т. 117, №1, с.149-161.

83. Benedict M.G., Malyshev V.A., Trifonov E.D., Zaitsev A.I. Reflection and transmission of ultrashort light pulses through a thin resonance medium: local fields effects // Phys. Rev. A (1991), v.43, №7, p.3845-3853.

84. Захаров C.M., Маныкин Э.А. Нелинейное взаимодействие света с тонким слоем поверхностных резонансных атомов // ЖЭТФ (1994), т.105, jV°4, с. 1053-1065.

85. Ванагас Э., Маймистов А.И. Отражение ультракоротких световых импульсов от нелинейной границы раздела диэлектрических сред // Оптика и спектроскопия (1998), т.84, №2, с.301-306.

86. Башаров A.M., Маймистов А.И., Елютин С.О. О двухфотопном взаимодействии когерентного излучения с тонкой плёнкой резонансных атомов // ЖЭТФ (1999), т. 115, №1, с.30-42.

87. Elyutin S.O., Maimistov A.I. Short optical pulse refraction by a thin film of atoms at twophoton resonance // J. Mod. Opt. (1999), v.46, p.1801-1816.

88. Зайцев А.И., Рыжов И.В., Трифонов Е.Д., Малышев В.А. Безынверсионное свер-хизлучепие тонкого слоя трёхуровневых атомов. Эффект локального поля // Оптика и спектроскопия (1999), т.87, №5, с.827-835.

89. Елютин С.О., Маймистов А.И. О резонансном взаимодействии света с тонкой плёнкой трёхуровневых атомов // Оптика и спектроскопия (2001), т.90, JY°5, с.849-857.

90. Malyshev V.A., Carreno F., Anton M.A., Calderon O.G., Domimguez-Adame F. Superradiance from an ultrathin film of three-level K-type atoms: interplay between splitting, quantum coherence and local field effects // J. Opt. В (2003), v.5, p.313-321.

91. Elyutin S.O. Coherent responses of resonance atom layer to short optical pulse excitation // Proc. SPIE (2006), v.6181, P.61810B-1 61810B-10.

92. Shiren N.S. Self-induced transparency in acoustic paramagnetic resonance // Phys. Rev. В (1970), v.2, jW, p.2471-2487.

93. Денисенко Г.А. Распространение короткого акустического импульса в среде, содержащей парамагнитные центры // ЖЭТФ (1971), т.60, №6, с.2269-2273.

94. Самарцев В.В., Смоляков Б.П., Шарипов Р.З. Акустическая самоиндуцированная прозрачность в LiNb03 : Fe2+ // Письма в ЖЭТФ (1974), т.20, №10, с.644-647.

95. Голенищев-Кутузов В.А., Самарцев В.В., Соловаров Н.К., Хабибулин Б.М. "Магнитная квантовая акустика" (1977), Москва, Наука.

96. Сазонов С.В. Нелинейные эффекты резонансной прозрачности для двухчастотных акустических импульсов в парамагнитном кристалле // ФТТ (2006), т.48, №4, с.630-636.

97. Альтшулер С.А., Козырев Б.М. "Электронный парамагнитный резонанс соединений элементов промежуточных групп" (1972), Москва, Наука.

98. Такер Дж., Рэмптон Р. "Гиперзвук в физике твердого тела" (1975), Москва, Мир.

99. Воронков С.В., Сазонов С.В. Акустическая самоиндуцированная прозрачность в режиме длиипо-коротковолнового рсзопапса // ЖЭТФ (2001), т.120, №2(8), с.269-279.

100. Киттель Ч. "Введение в физику твердого тела" (1963), Москва, Физматлит.

101. Андерсон О. В сб. "Физическая акустика", т. 3, часть Б: "Динамика решетки." Под ред. Мэзопа У. (1968), Москва, Мир.

102. Tarn А.С. Pulsed-laser generation of ultrashort acoustic pulses: Application for thin-film ultrasonic measurements // Appl. Phys. Lett. (1984), v.45, №5, p.510-512.

103. Гусев В.Э., Карабутов А.А. "Лазерная оптоакустика" (1991), Москва, Наука.

104. Ахманов С.А., Гусев В.Э. Лазерное возбуждение сверхкоротких акустических импульсов: новые возможности в спектроскопии твёрдого тела, диагностике быстро-протекающих процессов и нелинейной акустике // УФН (1992), т.162, №3, с.3-87.

105. Hao H.-Y., Maris H.J. Experiments with acoustic solitons in crystalline solids // Phys. Rev. В (2001), v.64, №6, 064302-1-064302-7.

106. Сазонов С.В. Эффект акустической активности для пикосекундных солитонопо-добных импульсов // ЖЭТФ (2000), т. 118, №1(7), с.20-35.

107. Воронков С.В., Сазонов С.В. Квазисолитонные режимы распространеия двухкомпонентных акустических видеоимпульсов в парамагнитном кристалле // ФТТ (2001), т.43, №11, с.1969-1976.

108. Заболотский А.А. Динамика продольно-поперечной акустической волны в кристалле с парамагнитными примесями // Письма в ЖЭТФ (2002), т.76, №10, с.709-713.

109. Заболотский А.А. Интегрируемые модели динамики продольно-поперечной акустической волны в кристалле с парамагнитными примесями // ЖЭТФ (2003), т.123, №3, с.560-574.

110. Zabolotskii A.A. Phonon avalanches in paramagnetic impurities with spin S = | // Phys. Rev. E (2003), v.67, p.066606-1 -066606-10.

111. Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D. and Miura R.M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys. Rev. Lett. (1967), v.19, №19, p.1095-1097.

112. Korteweg D.J. and de Vries G. On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves // Phil. Mag. (1895), v.39, ser.5, p.422-443.

113. Lax P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Commun. Pure. Appl. Math. (1968), v.21, №5, p.467-490.

114. Kay I. and Moses H.E. The determination of the scattering potential from the spectral measure function // Nuovo Cim. (1955), v.2, №5, p.917-961.

115. Faddeev L.D. Properties of the S"-matrix of the one-dimensional Schrodinger equation // Ainer. Math. Soc. (1964), v.65, p. 139-166.

116. Deift P. and Trubowitz E. Inverse scattering on the line // Commun. Pure. Appl. Math. (1979), v.32, p.121-125.

117. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Изв. АН СССР (1951), т.15, №4, с.309-360.

118. Марченко В.А. О восстановлении потенциальной энергии по фазам рассеяных волн // ДАН СССР (1955), т. 104, с.695-698.

119. Fuchs R. Uber lineare homogene Diffcrentialgleichungen zweiter Ordnung mit drei im Endlichen gelegenen wesentlich singularen Stellen // Math. Ann. (1906), v.63, p.301-321.

120. Garnier R. // Ann. Ec. Norm. Sup. (1912), v.29, p.l; Sur une classe de systems differentials abeliens deduits de la theorie des equations lineares // Rend. Circ. Mat. Palermo (1919), v.43, p.155-191.

121. Schlesinger L. Uber eine Klasse von Differentialsystemen beliebiger Ordnung mit festen kritischen Punkten // J. Reine Angewandte Math. (1912), v.141, p.96-145.

122. Burchnall J.L. and Chaundy T.W. Commutative ordinary differential operators. I, II // Proc. London Math. Soc., ser. 2 (1922), v.21, p.420-440; Proc. Royal Soc. London, ser. A (1928), v.118, p.557-583.

123. Zabusky N.J. and Kruskal M.D. Interaction of "solitons" in a collisionless plasma and the recurrence of the initial states // Phys. Rev. Lett. (1965), v.15, p.240-243.

124. Захаров B.E., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах // ЖЭТФ (1971), т.61, с.118-134.

125. Новиков С.П. Периодическоя задача для уравнения Кортевега-де Фриза // Функц. анализ и его прилож. (1974), т.8, №3, с.54-66.

126. Итс А.Р., Матвеев В.Б. Операторы Шрёдингера с консчнозонным спектром и N-солитонные решения уравнения Кортевега-де Фриза // ТМФ (1975), т.23, №1, с.51-68.

127. Дубровин Б.А., Матвеев В.Б., Новиков С.П. Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия // УМН (1976), т.31, Ш, с.55-136.

128. Дубровин Б.А. Тэта-функции и нелинейные уравнения // УМН (1981), т.36, №2, с.11-80.

129. Belokolos E.D., Bobenko A.I., Enol'skii V.Z., Its A.R. and Matveev V.B. "Algebro-gcometric approach to nonlinear integrable equations" (1994), Berlin, Springer.

130. Flaschka H. and Newell A.C. Monodromy and spectrum preserving deformations // Comm. Math. Phys. (1980), v.76, p.72-104.

131. Jimbo M., Miwa T. and Ueno K. Monodromy preserving deformations of linear ordinary differential equations with rational coefficients. I General theory and tau-functions // Physica D (1981), v.2, p.306-352.

132. Гельфанд И.М., Дикий JI.А. Асимптотика резольвенты штурм-лиувиллевских уравнений и алгебра уравнений Кортевега-де Фриса // УМН (1975), т.ЗО, №5, с.67-100.

133. Каир D.J. On the inverse scattering problem for cubic eigenvalue problems of the class фххх + ьяфх+ъяф = АФ // Stud. Appl. Math. (1980), v.62, p.189-216.

134. Caudrey P.J. The inverse problem for the third order equation uxxx + q{x)ux + r(x)u = i£3u // Phys. Lett. A (1980), v.79, p.264-267.

135. Deift P., Tomei C. and Trubowitz E. Inverse scattering and the Boussinesq equation // Commun. Pure. Appl. Math. (1982), v.35, p.567-628.

136. Iwasaki K. Scattering theory for 4-th order differential operator // Japan J. Math. (1988), v.14, №1, p.1-57.

137. Манаков С.В. К теории двумерной стационарной самофокусировки электромагнитных волн // ЖЭТФ (1973), т.65, №2, с.505-516.

138. Yajima N. and Oikawa М. Formation and interaction of sonic-Langmuir solitons — inverse scattering method // Progress of Theor. Phys. (1976), v.56, №6, p.1719-1739.

139. Ma Y.-C. The complete solution of the long wave short wave resonance equations // Stud. Appl. Math. (1978), v.59, p.201-221.

140. Захаров B.E., Манаков С.В. К теории резонансного взаимодействия волновых пакетов в нелинейных средах // ЖЭТФ (1975), т.69, JV°5, с.1654-1673.

141. Каир D.J. The three-wave interaction — a nondispcrsive phenomenon // Stud. Appl. Math. (1976), v.55, p.9-44.

142. Caudrey P.J. The inverse problem for a general NxN spectral equation // Physica D (1982), v.6, p.51-66.

143. Newell A.C. The general structure of integrable evolution equations // Proc. Royal Soc. London A (1979), v.365, p.283-311.

144. Jaulent M. The inverse scattering problem in absorbing media // J. Math. Phys. (1976), v.17, №7, p.1351-1360.

145. Захаров B.E., Михайлов А.В. Релятивистски-инвариантные двумерные модели теории поля, интегрируемые методом обратной задачи рассения // ЖЭТФ (1978), т.74, №6, с.1953-1973.

146. Каир D.J. and Newell A.C. An exact solution for a derivative nonlinear Schrodinger equation // J. Math. Phys. (1978), v.19, p.798-801.

147. Захаров B.E., Шабат А.Б. Интегрирование нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. II // Функц. анализ и его прилож. (1979), т. 13, №3, с. 13-22.

148. Векуа Н.П. "Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи" (1970), Москва, Наука.

149. Manakov S.V. The inverse scattering transform for time-dependent Schrodinger equation and Kadomtsev-Petviashvili equation // Physica D (1981), v.3, Л'°1&2, p.420-427.

150. Beals R. and Coifman R. Scattering, transformations spectrales, et equations devolution nonlineaire // Scminaire Goiilaouic Meyer -Schwartz (1981-1982), exp. 21, Ecole Poly technique, Palaiseau.

151. Ablowitz M.J., Bar Jaacov D. and Fokas A.S. On the inverse scattering transform for the Kadomtsev-Petviashvili equation // Stud. Appl. Math. (1983), v.69, p.135-143.

152. Захаров B.E., Манаков C.B., Построение многомерных интегрируемых систем и их решений // Функц. анализ и его прилож. (1985), т.19, №2, с.11-25.

153. Fokas A.S. and Ablowitz M.J. The inverse scattering transform for multidimensional (2 + 1) problems // Lect. Notes Phys. (1983), v.189, p.137-183.

154. Benjamin Т.В. The stability of solitary waves // Proc. Royal Soc. London A (1972), v.328, p.153-183.

155. Захаров B.E., Белинский В.А. Стационарные гравитационные солитоны с аксиальной симметрией // ЖЭТФ (1979), т.77, с.З.

156. Zakharov V.E. Lectures on the inverse scattering method // Kozp fiz. kut. intez. Publ], 1983, №71, 58 pp. (РЖ Физ., 1983, №11, Bill).

157. Михайлов A.B., Шабат А.В., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений // УМН (1987), т.42, №4, с.3-53.

158. Ablowitz M.J., Ramani A. and Segnr Н. A connection between nonlinear evolution equations and ordinary differential equations of P-type //J. Math. Phys. (1980), v.31, №4, p.715-721.

159. Wiess J., Tabor M. and Carnevale G. The Painleve property for partial differential equations //J. Math. Phys. (1983), v.24, №3, p.522-526.

160. Magri F. A simple construction of integrable systems // J. Math. Phys. (1978), v.19, p.1156-1162.

161. Falqui G., Magri F. and Pedroni M. Bi-Hamiltonian geometry, Darboux coverings, and linearization of the KP hierarchy // Comm. Math. Phys. (1998), v.197, p.303-324.

162. Захаров B.E., Тахтаджян JI.А. Эквивалентность нелинейного уравнения Шредин-гера и уравнения ферромагнетика Гейзенберга // ТМФ (1979), т.38, №1, с.26-35.

163. Pohlmeyer К. Integrable Hamiltonian systems and interaction through quadratic constraints // Comm. Math. Phys. (1976), v.46, №3, p.207-221.

164. Mikhailov A.V. The reduction problem and the inverse scattering method // Physica D (1981), v.3, №1&2, p.73-117.

165. Маймистов А.И., Маныкин Э.А. Распространение ультракоротких оптических импульсов в резонансных нелинейных световодах // ЖЭТФ (1983), т.85, №4, с. 11771181.

166. Dubrovin В., Liu S.Q. and Zhang Y. On Hamiltonian perturbations of hyperbolic systems of conservation laws: I. Quasi-triviality of bi-Hamiltonian perturbations // Commun. Pure. Appl. Math. (2005), v.59, p.559.

167. Liu S.Q. and Zhang Y. Deformations of semisimple bi-Hamiltonian structures of hydrodynamic type // J. Geom. Phys. (2005), v.54, p.427-453.

168. Aratyn H., Gomes J.F. and Zimerman A.H. On negative flows of the AKNS hierarchy and a class of deformations of bi-Hamiltonian structure of hydrodynamic type // J. Phys. A: Math. Gen. (2006), v.39, p.1099.

169. Aratyn H., Gomes J.F. and Zimerman A.H. Deformations of Ar=2 superconformal algebra and supersymmetric two-component, Camassa-IIolm equation // J. Phys. A: Math. Theor. (2007), v.40, p.4511-4527.

170. Brunelli J.C., Das A. and Popowicz Z. Deformed Harry Dym and Hunter-Zheng equations // J. Math. Phys. (2003), v.44, p.4756.

171. Голубчук И.З., Соколов В.В. Ещё один тип классических уравнений Янга-Бакстера // Функц. анализ и его прилож. (2000), т.34, №4, с.75-78.

172. Голубчук И.З., Соколов В.В. Совместные скобки Ли и интегрируемые уравнения типа модели главного кирального поля // Функц. анализ и его прилож. (2002), т.36, №3, с.9-19.

173. Голубчук И.З., Соколов В.В. Факторизация алгебры петель и интегрируемые уравнения типа волчков // ТМФ (2004), т.141, №1, с.3-23.

174. Цыганов А.В. Интегрируемые деформации волчков, связанных с алгеброй so(p, q) 11 ТМФ (2004), т.141, №1, с.24-37.

175. Skrypnyk Т. Quasigraded deformations of Lie algebras and finite-dimensional integrable systems // Czechoslovak J. Phys. (2002), v.52, №11, p.1283-1288.

176. Skrypnyk T. Quasigraded Lie algebras and hierarchies of integrable equations // Czechoslovak J. Phys. (2003), v.53, №11, p.1119-1124.

177. Skrypnyk T. Doubled generalized Landau-Lifshitz hierarchies and special quasigraded Lie algebras // J. Phys. A: Math. Gen. (2004), v.37, p.7755-7768.

178. Skrypnyk T. Deformations of loop algebras and integrable systems: hierarchies of integrable equations // J. Math. Phys. (2004), v.45, №12, p.4578-4595.

179. Скрыпник Т. Квазиградуированные алгебры Ли, схема Костанта-Адлера и интегрируемые иерархии // ТМФ (2005), т.142, №2, с.275-288.

180. Skrypnyk Т. Integrable deformations of the mKdV and SG hierarchies and quasigraded Lie algebras // Physica D (2006), v.216, p.247-259.

181. Skrypnyk T. Quasigraded Lie algebras and modified Toda field equations // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications (2006), v. 2, paper 043, 14 pages.

182. Kruskal M.D. The Korteweg-de Vries equation and related evolution equations // Lect. Appl. Math. (1974), v.15, p.61-83.

183. Chen H.H. General derivation of Baeklund transformation from inverse scattering problems // Phys. Rev. Lett. (1974), v.33, №15, p.925-928.

184. Nakamura A. Exact multi-soliton solution of the modified sine-Gordon equation // J. Phys. Soc. Japan (1980), v.49, №3, p.1167-1170.

185. Shabat A., Yamilov R. To a transformation theory of two-dimensional integrable systems // Phys. Lett. A (1997), v.277, p.15-23.

186. Борисов А.Б., Зыков С.А. Одевающая цепочка дискретных симметрий и размножение нелинейных уравнений // ТМФ (1998), т.115, №2, с.199-214.

187. Borisov А.В, Pavlov M.V. and Zykov S.A. Prolifiration scheme for Каир -Boussinesq equation // Physica D (2001), v.151-152, p,104-109.

188. Борисов А.Б., Зыков C.A., Павлов M.B. Уравнение Цицейки и размножение нелинейных интегрируемых уравнений // ТМФ (2002), т.131, №1, с.126-134.

189. Хирота Р. Прямые методы в теории солитонов //в кн. "Солитоны." Под ред. Буллофа Р.К., Кодри П.Дж. (1983), Москва, Мир.

190. Date Е., Kashiwara М. and Miwa Т. Vortex operators and т-functions. Transformation group for soliton equations // Proc. Japan Acad. A (1981), v.57, №8, p.387-392.

191. Baeklund A.V. Einiges iiber Curven und Flachen transformationen // Lund Univer-sitets Arsskrift (1875), v. 10, p. 1-12.

192. Miura E.M. (ed.) Baeklund Transformations, the Inverse Scattering Method, Solitons, and Their Applications // Lecture Notes in Mathematics (1976), v.515.

193. Calogero F. and Degasperis A. Nonlinear evolution equations solvable by the inverse spectral transform // Nuovo Cim. (1976), v.32B, p.201-242.

194. Dodd R.K. and Boullough R.K. Backhand transformations for the AKNS inverse method // Proc. Royal Soc. London A (1977), v.352, p.481-503.

195. Hirota R. A new form of Backlund transformations and its relation to the inverse scattering method // Progr. Theor. Phys. (1974), v.52, p. 1498-1512.

196. Wahlquist H.D. and Estabrook F.B. Prolongation structures of nonlinear evolution equations // J. Math. Phys. (1975), v.16, №1, p.1-7.

197. Konopelchenko B.G. The group structure of Backlund transformations // Phys. Lett. A (1979), v.74, №3&4, p.189-192.

198. Konopelchenko B.G. Nonlinear Integrable Equations: Recursion Operators, Group-Theoretical and Hamiltonian Structures of Soliton Equations // Lecture Notes in Physics (1986), v.270.

199. Levi D., Ragnisco O. and Sym A. Backlund transformation versus dressing method // Lett. Nuovo Cim. (1982), v.33, p.401-406.

200. Brusclii M. and Ragnisco O. Backlund transformations and Lax technique // Lett. Nuovo Cim. (1980), v.29, №10, p.331-334.

201. Chudnovsky D.V. and Chudnovsky G.V. Backlund transformations connecting different isospectral deformation equations // J. Math. Phys. (1981), v.22, №11, p.2518-2522.

202. Boiti M., Konopelchenco B.G. and Pempinelli F. Backlund transformations via gauge transformations in 2+1 dimensions // Inverse Problems (1983), v.l, p.33-56.

203. Konopelchenko B.G. On the general structure of nonlinear evolution equations integrable by the two-dimensional matrix spectral problem // Comm. Math. Phys. (1982), v.87, p.105-125.

204. Darboux G. Sur la representation spheric des surfaces // Compt. Rend. Acad. Sci. Paris (1882), v.94, p.1343-1445; Sur une proposition relative aux equation lin6aires // Compt. Rend. Acad. Sci. Paris (1882), v.94, p. 1456-1459.

205. Matveev V.B. Darboux transformation and explicit solutions of the Kadomtsev-Petviashvili equation, depending on functional parameters // Lett. Math. Phys. (1979), v.3, p.213-216.

206. Матвеев В.В., Салль M.A. Солитоны //В кн. "Физика на пороге новых открытий." Под ред. Лабзовского Л.Н. и др. (1990), Ленинград, Изд-во Ленинградского университета.

207. Matveev V.B. and Salle M.A. "Darboux Transformations and Solitons" (1991), Berlin-Heidelberg, Springer-Verlag.

208. Багров В.Г., Самсонов Б.Ф. Преобразование Дарбу и точно решаемые задачи в квантовой механике //В кн. "Лекционные заметки по теоретической и математической физике." Под ред. Аминовой А.В. (2000), Казань, т.2, ч.2. с.9-118.

209. Багров В.Г., Самсонов Б.Ф. Преобразование Дарбу уравнения Шредингера // Физ. элементар. частиц и атом, ядра (1997), т.28, №4, с.951-1012.

210. Салль М.А. Преобразования Дарбу для неабелевых и нелокальных уравнений типа цепочек Тоды // ТМФ (1982), т.53, №2, с.227-237.

211. Matveev V.B., Salle M.A. and Rybin A.V. Darboux Transformations and coherent interaction of the lignt pulse with two-level media // Inverse Problems (1988), v.4, p.173-183.

212. Wadati M. and Sogo K. Gauge transformations in soliton theory //J. Phys. Soc. Japan (1983), v.52, p.394-398.

213. Wadati M., Konno K. and Ichikawa Y.H. New integrable nonlinear evolution equations // J. Phys. Soc. Japan (1979), v.47, p.1698-1700.

214. Isliimory Y. A relationship between the Ablowitz-Kaup-Newell-Segur and Wadati-Konno Ichikawa schemes of the inverse scattering method //J. Phys. Soc. Japan (1982), v.51, p.3036-3041.

215. Steudel H. and Meinel R. Darboux transformations for "W-problems" // Physica D (1995), v.87, p.127-133.

216. Steudel H., Meinel R. and Каир D.J. Solutions of degenerate two-photon propagation from Backlund transformations // J. Mod. Opt. (1997), v.44, №2, p.287-303.

217. Камке Э. "Справочник по обыкновенным диффренциальным уравнениям" (1976), Москва, Наука.

218. Муссо Ф., Шабат А.Б. Элементарные преобразования Дарбу и факторизация // ТМФ (2005), т. 144, №1, е.143-152.

219. Свинолупов С.И., Ямилов Р.И. Явные автопреобразования для многополевых уравнений Шредингера и йордановы обобщения цепочки Тоды // ТМФ (1994), т.98, №2, с.207-219.

220. Mugan U. and Fokas A.S. Schlesinger transformations of Painleve II-V // J. Math. Phys. (1992), v.33, №6, p.2031-2045.

221. Mugan U. and Sakka A. Schlesinger transformations for Painleve VI equation // J. Math. Phys. (1995), v.36, №3, p.1284-1298.

222. Airault H. Rational solutions of Painleve equations // Stud. Appl. Math. (1979), v.61, p.33-54.

223. Fokas A.S. and Ablowitz M.J. On a unified approach to transformations and elementary solutions of Painleve equations // J. Math. Phys. (1982), v.23, p.2033-2042.

224. Steudel H. Noether's theorem and higher conservation laws in ultrashort pulse propagation // Ann. Physik (1975), v.32, №3, p.205-216.

225. Steudel H. Noether's theorem and the conservation laws of the Korteweg-de Vries equation // Ann. Physik (1975), v.32, №6, p.445-455.

226. Сибгатуллип H.P. Группы Ли-Бэклунда некоторых модельных уравнений механики сплошной среды и классических полей // ДАН СССР (1986), т.291, №2, с.302-305.

227. Sklyanin Е.К. On complete integrability of the Landau-Lifshitz equation // Preprint LOMI E-3-79, Leningrad (1979).

228. Bordag L.A. and Yanovski A.B. Polynomial Lax pairs for the chiral 0(3)-field equations arid the Landau-Lifshitz equation // J. Phys. A: Math. Gen. (1995), v.28, p.4007-4013.

229. Konno К. and Ichikawa Y.H. Solitons on a vortex filament with axial flow // Chaos, Solitons and Fractals (1992), v.2, №3, p.237-250.

230. Заболотский А.А. Многоволновое когерентное взаимодействие и нелинейное частотное смешение // ЖЭТФ (1988), т.94, №11, с.33-45; Динамика периодической волны в модели с квадратичной и кубичной нелинейностями // ЖЭТФ (1995), т. 107, №4, с.1100-1121.

231. Mj0lhus Е. Nonlinear Alfven waves and the DNLS equation: Oblique aspects // Phys. Scr. (1989), v.40, p.227-237.

232. Steudel H. Solitons in stimulated Raman scattering and resonant two-photon propagation // Physica D (1983), v.6, p.155-178.

233. Каир D.J. The method of solution for stimulated Raman scattering arid two-photon propagation // Physica D (1983), v.6, p.143-154.

234. Захаров B.E., Михайлов А.В. Домены поляризации в нелинейной оптике // Письма в ЖЭТФ (1987), т.45, №6, с.279-282.

235. Красильников В.А., Крылов В.В. "Введение в физическую акустику" (1984), Москва, Наука.

236. Leble S.B. and Ustinov N.V. Korteweg-de Vries modified Korteweg-de Vries systems and Darboux transforms in 1 + 1 and 2 + 1 dimensions // J. Math. Phys. (1993), v.34, №4, p. 1421-1427.

237. Leble S.B. and Ustinov N.V. Darboux transformations, deep reductions and solitons // J. Phys. A: Math. Gen. (1993), v.26, p.5007-5016.

238. Leble S.B. and Ustinov N.V. Third order spectral problems: reductions and Darboux transformations // Inverse Problems (1994), v.10, p.617-633.

239. Ustinov N.V. The reduced self-dual Yang-Mills equation, binary and infinitesimal Darboux transformations // J. Math. Phys. (1998), v.39, №2, p.976-985.

240. Leble S.B. and Ustinov N.V. On soliton and periodic solutions of Maxwell-Bloch system for two-level medium with degeneracy // Chaos, Solitons and Fractals (2000), v.ll, №11, p.1763-1772.

241. Ustinov N.V. Transformations of ordinary differential equations via Darboux transformation technique // Reports on Mathematical Physics (2000), v.46, №1&2, p.279-286.

242. Ustinov N.V. On representation of the P-Q pair solution at the singular point neighborhood // Journal on Nonlinear Mathematical Physics (2001), v.8, Supplement, p.283-288.

243. Ustinov N.V., Czachor M., Кипа M. and Leble S.B. Darboux integration of ip — H,f(p)] // Phys. Lett. A (2001), v.279, p.333-340.

244. Устинов H.B., Брежнев Ю.В. О Ф-функции для конечнозонных потенциалов // УМН (2002), т.57, №1(343), с.167-168.

245. Ustinov N.V. Darboux transformations, infinitesimal symmetries and conservation laws for nonlocal two-dimensional Toda lattice // J. Phys. A: Math. Gen. (2002), v.35, p.6963-6972.

246. Cieslinski J.L., Czachor M. and Ustinov N.V. Darboux covariant equations of von Neumann type and their generalizations // J. Math. Phys. (2003), v.44, №4, p.1763-1780.

247. Ustinov N.V. The lattice equations of the Toda type with an interaction between a few neighborhoods // J. Phys. A: Math. Gen. (2004), v.37, №5, p. 1737-1746.

248. Sazonov S.V. and Ustinov N.V. Optical transparency effects in the modes of long-short-wave-length resonance // Proceedings of International Workshop "Quantum Optics 2003." Edited by Sainartsev V.V. SPIE, Bellingham, USA, 2004, v.5402, p.72-80.

249. Сазонов С.В., Устинов Н.В. Эффекты оптической прозрачности в режиме резонанса длинных и коротких волн // Изв. РАН, Сер. физич. (2004), т.68, №9, с.1280-1283.

250. Сазонов С.В., Устинов Н.В. Режимы резонансной прозрачности в условиях синхронизма длинных и коротких волн // ЖЭТФ (2005), т. 127, №2, с.289-307.

251. Сазонов С.В., Устинов Н.В. Режимы оптической прозрачности в анизотропных средах // Изв. РАН, Сер. физич. (2005), т.69, №8, с.1132-1134.

252. Сазонов С.В., Устинов Н.В. Импульсная прозрачность анизотропных сред со штарковским расщеплением уровней // Квантовая электроника (2005), т.35, №8, с.701-704.

253. Устинов Н.В. Прохождение ультракороткими импульсами излучения анизотропной плёнки резонансных частиц // Изв. РАН, Сер. физич. (2005), т.69, №12, с.1746-1748.

254. Ustinov N.V. Breather-like pulses in a medium with the permanent dipole moment // Proceedings of VIII International Symposium on Photon Echo and Coherent Spectroscopy. Edited by Samartsev V.V. SPIE, Bellingham, USA, 2006, v.6181, p.61810P-l-61810P-9.

255. Сазонов С.В., Устинов Н.В. Эффекты нелинейной акустической прозрачности в деформированных парамагнитных кристаллах // ЖЭТФ (2006), т.129, №5, с.849-862.

256. Сазонов С.В., Устинов Н.В. Новый класс предельно коротких электромагнитных солитонов // Письма в ЖЭТФ (2006), т.83, №11, с.573-578.

257. Sazonov S.V. and Ustinov N.V. Modes of nonlinear acoustic transparency in the strained paramagnetic crystal // Phys. Rev. E (2006), v.73, №5, p.056614-1-056614-10.

258. Сазонов С.В., Устинов Н.В. Солитоиная динамика предельно коротких импульсов в системе несимметричных квантовых объектов // ЖЭТФ (2006), т.130, №4, с.646-660.

259. Сазонов С.В., Устинов Н.В. Эффекты солитонной динамики акустических импульсов в парамагнитном кристалле // Известия Вузов. Физика (2007), т.50, №8, с.31-36.

260. Сазонов С.В., Устинов Н.В. Интегрируемые модели динамики продольно-поперечных акустических импульсов в парамагнитном кристалле // ТМФ (2007), т.151, №2, с.228-247.

261. Сазонов С.В., Устинов Н.В. Динамика предельно коротких оптических солитонов в системе несимметричных квантовых объектов // Оптический журнал (2007), т.74, №11, с.12-16.

262. Sazonov S.V. and Ustinov N.V. New kinds of acoustic solitons // J. Phys. A: Math. Theor. (2007), v.40, F551-F558.

263. Ustinov N.V. Infinitesimal symmetries and conservation laws of the DNLSE hierarchy and the Noether's theorem // Eur. Phys. J. В (2007), v.58, p.311-317.