Динамика толстостенной неоднородной трубы с геометрическими несовершенствами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ
|
Семёнова, Галина Александровна
АВТОР
|
||||
|
кандидата технических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Орел
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2008
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Семёнова Галина Александровйа^"
003458580
ДИНАМИКА ТОЛСТОСТЕННОЙ НЕОДНОРОДНОЙ ТРУБЫ С ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ НЕСОВЕРШЕНСТВАМИ
01.02.04 - «Механика деформируемого твёрдого тела»
Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук
1 л янз
Орёл - 2008
003458580
Работа выполнена в ГОУ ВПО «Орловский государственный технический университет»
Научный руководитель доктор технических паук, профессор
Гордон Владимир Александрович
Официальные оппоненты доктор технических наук, профессор
Баранов Виктор Леопольдович,
доктор технических наук, доцент Берёзкин Алексей Егорович,
Ведущая организация ФГУП «Центральный научно-
исследовательский институт точного машиностроения», г. Климовск, Московской области
Защита состоится «29» января 2009 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.182.03 при ГОУ ВПО «Орловский государственный технический университет» по адресу: 302020, г. Орёл, Наугорское шоссе, 29.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Орловский государственный технический университет»
Автореферат разослан « 19» декабря 2008г.
Учёный секретарь диссертационного совета
/
Борзенков М.И.
¿7
и>У
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Потребности современной оборонной техники, в частности, ствольных артиллерийских и стрелковых систем, с постоянно возрастающими и усложняющимися требованиями к прочности, надёжности и эффективности проектируемых систем приводят к необходимости совершенствования способов моделирования, постановки новых задач и разработки новых методов расчёта, наиболее полно и адекватно учитывающих механические свойства реальных материалов, геометрические особенности конструкций н условия их эксплуатации.
Опыт многих десятилетий проектирования, отработки и эксплуатации систем стрелково-пушечного вооружения показывает, что определяющим элементом таких систем является ствол. На качество стрельбы оказывают влияние все параметры ствола как геометрические, так и механические. Поэтому при проектировании и расчёте оружейных стволов немаловажным является учёт таких факторов.
Для научного обоснования проектных решений важно установить аналитические зависимости между технологическими параметрами производства стволов (допусками, погрешностями, дефектами) и начальными внешнебалли-стическими параметрами стрельбы (величиной и направлением вектора скорости).
Условия эксплуатации любого стрелково-пушечного вооружения подразумевают возникновение разного типа вибраций (изгибных, крутильных и радиальных осесимметричных колебаний) ствола. Теоретический анализ вибраций ствола является трудоёмкой задачей вследствие переменной площади поперечного сечения ствола, наличия на нём разного рода выступов и деталей, а также вследствие участия в колебаниях ствольной коробки.
Исследования динамических процессов в момент выстрела и их связи с внешнебаллистическими характеристиками ствольного вооружения проводятся относительно недавно, и на сегодняшний день полученные результаты не дают достаточно ясной картины поведения системы «ствол-снаряд», что объясняется далеко неполной детализацией процессов существующими математическими моделями и методами их исследования. До недавнего времени рассматривались в основном вопросы прочности ствола, моделируемого трубой постоянного сечения и без учёта вибраций.
Обзор доступной литературы этой теме указывает на отсутствие ррбот с анализом влияния несовершенств изготовления ствола, в частности, дефектов геометрии, и конечной жёсткости на формирование начальных условий динамики снаряда.
Таким образом, необходимость установления аналитических зависимостей при исследовании динамики толстостенной неоднородной трубы с геометрическими несовершенствами делает тему актуальной.
Объектом исследования являются стволы артиллерийского и стрелкового оружия.
Предметом исследования являются изгибные, крутильные и радиальные осесимметричные колебания ствола.
Целью работы является разработка аналитического метода исследования новых математических моделей динамики ствола, учитывающих геометрические несовершенства и конечные жёсткости, для установления зависимостей между конструктивными параметрами ствола и начальными внешнебаллисти-ческими характеристиками стрельбы.
Для реализации сформулированной цели были поставлены и решены следующие задачи:
- создать расчётные модели ствола, учитывающие перекос оси канала ствола, параллельное смещение оси канала ствола, переменность механических характеристик материала ствола по толщине ствола, влияние осесимметр^чных колебаний ствола на процесс движения снаряда по стволу;
- разработать математические модели динамики ствола с учётом перечисленных факторов;
- разработать аналитический метод исследования математических моделей;
- проанализировать влияние указанных факторов на начальные внешне-баллистические характеристики на базе построенной математической модели разработанным методом;
- предложить научно-обоснованные практические рекомендации для проектирования стволов.
Методы исследовании: математическое моделирование задач динамики толстостенных неоднородных труб с использованием фундаментальных законов механики деформируемого твёрдого тела; метод последовательных приближений; аналитические методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами; матричный вариант метода фазовых интегралов.
Научная новизна
- созданы расчётные модели ствола, учитывающие перекос оси канала ствола, параллельное смещение оси канала ствола, переменность механических характеристик материала ствола по толщине ствола, влияние осесимметричных колебаний ствола на процесс движения снаряда по стволу;
- разработаны математические модели динамики ствола с учётом перечисленных факторов;
- разработан асимптотический метод исследования математических моделей;
- предложены научно-обоснованные практические рекомендации для проектирования стволов.
Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием классических апробированных методов механики деформируемого твёрдого тела и строгого математического аппарата; хорошей сходимостью при сопоставлении числовых результатов, полученных оригинальным асимптотическим методом и методом последовательных приближений; сравнением теоретиче-
ских результатов с экспериментальными, полученными в полигонных испытаниях.
Научная значимость результатов. Созданные расчётные модели стволов, математические модели динамики трубы с переменными геометрическими характеристиками, асимптотический метод исследования математических моделей развивают теорию упругости механики деформируемого твёрдого тела
Практическая ценность результатов. Предложенные научно-обоснованные практические рекомендации позволяют проектировать стволы, назначать технологические параметры (допуски) и формулировать тактико-технические характеристики оружия с учётом переменности геометрических и механических характеристик материала по толщине ствола и его конечной жёсткости.
Апробация работы. Основные положения и результаты работы обсуждались и были одобрены
- на научных семинарах кафедры «Высшая математика» ОрёлГТУ в 1999-2007 годах;
- на семинарах кафедры «Расчёт и проектирование автоматических машин» ТулГУ в 2006, 2008 годах;
- на международных научных конференциях «Проблемы проектирования и производства систем и комплексов» (Тула, 2000, 2001г.г.), «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2004, 2006, 2007, 2008г.г.); «Современные методы теории краевых задач» (Воронеж, 2000, 2003, 2006г.г.), «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 2004, 2005г.г.); «Качество, безопасность, энерго- и ресурсосбережение в промышленности строительных материалов и строительстве на пороге XXI века» (Белгород, 2000г.); «Аэрокосмическая техника и высокие технологии» (Пермь, 2001г.); «Механика неоднородных деформируемых тел» (Севастополь, 2004, 2005г.г.); «Актуальные проблемы динамики и прочности матернапов и конструкций: модели, методы, решения» (Самара, 2007г.); «Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения, информатики, экономики и права» (Москва, 1999, 2ОООг.г.); «VII International Congress of Sound and Vibration» (Germany, 2000г.); «International Conference on Military Technology» (Sweden, 2003r.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 23 научных труда, включающих 14 статей в научных журналах и сборниках статей конференций, 9 тезисов докладов на научно-технических конференциях; в том числе работ, опубликованных в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, определённых ВАК, - 3, общий объём научных трудов 4,87 п.л.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и библиографического списка из 59 наименований. Основной текст изложен на 120 страницах машинописно!« текста и содержит 41 рисунок и 6 таблиц.
Краткое содержание работы
Во ввсдснин обосновала актуальность темы, сформулирована цель и основные направления исследования, раскрыты научная новизна и практическая значимость работы.
В главе 1 конкретизирована поставленная задача, рассмотрены факгоры, влияющие на меткость боя, связанные со ствольной системой, и сформулирована расчётная схема ствола. Математические модели изгибных, крутильных и радиальных колебаний ствола представляют собой дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами второго-четвёртого порядков с начальными и граничными условиями. В главе представлен обзор возможных подходов при решении таких уравнений и обоснован выбор асимптотического метода решения задач динамики, разработанный Гордоном В.А., позволяющий получить аналитические решения таких уравнений.
В разделе 1.2 представлен анализ работ, посвящённых вопросам проектирования стволов стрелково-пушечного вооружения. Обзор выполнен сопоставлением реализованных подходов между собой и с предлагаемым в настоящей диссертации. Внимание акцентируется на задаче моделирования динямики ствола с учётом действия следующих факторов
- отклонения геометрии ствола от идеальной;
- изгибные и осесимметричные колебания;
- изменение механических характеристик ствола вдоль оси и в радиальном направлении.
В главе 2 построены математические модели изгибных и крутильных колебаний стержня с произвольными законами распределения модуля упругости Е=Е(х) и осевого момента инерции .МДх) поперечного сечения вдоль оси стержня.
Раздел 2.1 посвящен исследованию свободных изгибных упругих колебаний такого стержня. Уравнение колебаний имеет вид
Э2
Е(хЩх)^-ах'
л..........= (О
дх~ ох' о Г
где х — осевая координата, / - время, V/ = — прогиб стержня в плоскости Охг, р = р(х), А=А(х) - плотность и площадь поперечного сечения стержня. Для консольнозакреплённого стержня граничные условия имеют вид
н<0,о = 0, 4(0,0 = 0, <(/,/) = о, <,(/,0 = 0.
Вводя безразмерные переменные 4 = ~> т = 4г \ и параметр / -
/ /- у р*А*
длину стержня, используя характерные значения Е,, J,, р., А, механических и геометрических характеристик стержня, уравнение (1) приводится к безразмерному виду
ос,
<к
д IV
дг
где =--безразмерные перемещегшя, =-, =--без-
/ р.Л*
размерные плотность и жёсткость на изгиб.
В предположении, что колебания гармонические, было проведено разделение переменных в уравнении и граничных условиях. В результате получены два уравнения, одно из которых - уравнение формьГ Щ^) колебаний
- = 0, (3)
а второе - функция времени
Т + р2Т = 0.
Асимптотический метод, разработанный В.А. Гордоном, основан на поиске точных решений уравнений
С(5)//1 - [я^р2 + £,-(£)]/} = о, (у-1,2,3,4), (4)
где gj = Кх (£) + Еу+ , Е| =1, е2 = -1, Ез = /, 84 = Ч
* = («*)-«. (3а^бЖ, Ч 6 Р
[£: р: о1Р
= ср<|-~I ^-+2— 6—+2-^+6—^-
с[ д р ч Р.
л Я" Р" ¿О' Р'1
+ 4 — + — + 6——+4 — —
Ч Р 9 Р 9 Р Г
.4 Р.
+ 6^ + 12^ + 3
ч
ч Р
р
отличающихся от уравнения (4) только слагаемым
В этом случае решения = (аР)"1/2 еС/Ю^'0>, где со(^,0) = л/р }
5(0
уравнений (4) будут приближёнными решениями уравнения (3), а их линейная комбинация принята в качестве приближённого общего решения.
Для построения строгого решения исходного уравнения и последующей оценки приближений £ общее решение уравнения (3) было представлено в виде суммы произведений приближений (/'= 1,2,3,4) на произвольные функ-
ции £>,= Д(^), подлежащие определению
то есть использовался модифицированный метод вариации произвольных постоянных.
Функции Dj= £>,(£) удовлетворяют системе интегральных уравнений типа Вольтерры, решая которые методом последовательных приближений, была получена в явной форме фундаментальная система решений заданного уравнения
(5)
причем функции ЩЕ,), не зависящие от постоянных Су, определяются формулами
\ оо \ ■(-.
О 1=1 о чо
где = + ,
Ш /¡00 1 1
/2(~)
М© {Я2/2}©
ту 1 1
+ г
т ш
(гз/зК« {^Л}©
- ядро интегрального
уравнения.
Для получения частот изгибпых колебаний стержня в граничные условия для консольнозакреплённого стержня было подставлено полученное решение (5). Эта подстановка приводит к однородной системе уравнений относительно постоянных С, (/'=1,2,3,4). Условие существования ненулевых решений для этой системы дает асимптотическое уравнение частот, ненулевые решения которого определяют формы собственных колебаний
1,
7Ь(2) + -7;(г) + 0(г-') = 0,
г
где
г = ч[р, Т0 =1+ ««(0(1,0) сИ <о(1,0), Г, = ^^ [сЬ ш(1,0) б1п(1,0) + бЬ(1,0) соб(1,0)] ,
Хз(!)
РК) =
ш <т
, Х4=Х2(4)РЙ)+Х2Й). хз=х.(4)р(5),
1
х2=т ъ=тт,
Таким образом, частотное уравнение представлено в асимптотическом
виде
4Р~П=К
(( 1 4 -1 л
4 Л, /
V - У
здесь Хп — корень частотного уравнения классического вида для консольного
стержня I +соэ ХхЬ X = 0, отсюда А.] = 1,87; Ал = 4,7; X?, = 7,85 и так далее.
В разделе 2.2 рассмотрены свободные крутильные упругие колебания
стержня, которые описываются системой дифференциальных уравнений
дМг , ~
- (ирвх = -т,
(6)
дх
50,. Мг
дх
где х - осевая координата, ? - время, - угол поворота сечения вокруг оси ОХ и момент Мх=Мх{х4) поперечного сечения относительно осп, J = ./,, + J. - полярный момент инерции, т - распределённый крутящий момент, р - плотность, - жёсткость на кручение. Решение 0Г = 9Л-(х,/) уравнения должно удовлетворять определённым начальным и граничным условиям. Для консольнозакреп-лённого стержня граничные условия имеют вид 8д(0,т) = 0, 8/( 1 ,т) = 0.
Формы и частоты таких колебаний стержня получены тем же асимптотическим методом, что и в разделе 2.1. В явном виде фундаментальная система решений системы уравнений (6) записана
е,© = с1е1©+с2е2®,
где
5 да ь (' ^
О и=1 0 40
/2=-
1
Ш^ШЪ + МШ*))-
Л + Л
А» I
2р\/2(1 + V)
А асимптотическое представление частот колебаний
Рп
п(2п -1) _ 1 _
2-720 + V) л(2п -1) д/20 + V)
/
Л *
В главе 3 в качестве модели ствола рассмотрен круговой цилиндрический консольный стержень (рис.1) с полостью в виде продольного отверстия постоянного радиуса, возможно смещённого и наклонённого относительно оси стержня. Этот стержень использован в качестве расчётной физической модели орудийного ствола с дефектами геометрии.
/Г' ' ' соэ у
[
V ^ X У у
- ' г ■
Рисунок 1 - Расчётная модель орудийного ствола . •
В разделе 3.1 было предложено в качестве математической модели изгиб-ных колебаний ствола с дефектом геометрии использовать дифференциальное уравнение четвёртого порядка (1).
В проводимых расчётах предполагалось, что модуль упругости и плотность материала постоянны в каждом поперечном сечении и не зависят от наличия или отсутствия дефектов геометрии полости стержня, а площадь поперечного сечения А и осевой момент инерции 7=./(х) изменяются вдоль оси стержня по законам
И Ь2(х)
А = А,
1-
cosy
Jv{x) = Jy
1-
C0SY (cosy-a2)2
» 4 Л 2
4о 4г cosy
R1
R
гдеа = —, Ъ{х) = а + х ■ Щу. R
Это приводит к тому, что безразмерные жёсткость на изгиб и плотность, участвующие в дифференциальном уравнении (2), описывающем изгибные колебания такого стержня, также будут переменными величинами
16 а2к2Ь2&)
<?($) = 1
где = a + tgy
cosy cosy-a"
« Ir 1
a = —, к = —. R 2 R
cosy
В соответствии с результатами, полученными в главе 2 при решении дифференциального уравнения четвёртого порядка с переменными коэффициентами, были построены формы и вычислены частоты изгибных колебаний консольного стержня с дефектом отверстия. Это позволило провести исследование основной частоты, амплитуды изгибных колебаний и углов поворота концевого сечения при колебаниях по основной форме от параметров отверстия.
/V"
/г ■2.8
/Лг P \
/У -27 \
и
if if -2.6
-0.004 -0.002
0 0.002 0.004
------- (|атта=р.р02
------ Эатта=0.СШ
Рисунок 2 - Зависимость основной частоты р\ от параметра а отверстия при у=0,'у=0,002, у=0,003 и £=30
01b w ^-----
\
/
У / \
\ \ \ \
0.15 r
Рисунок 3 - Углы поворотов IV концевого сечения £,=1 в зависимости от перекоса у при а=0, а =0,001, а =0,004 (к=30)
Например, имеет место следующий факт (рис.2): влияние эксцентриситета отверстия а и перекоса у на частоты оказывается немонотонным, близким к квадратичной зависимости. Более того, при у=сога? с увеличением смещения центра канала основная частота уменьшается, частоты более высоких порядков увеличиваются. А анализ графика углов поворота концевого сечения стержня.
представленного на рисунке 3, показывает, что с увеличением смещения оси канала от центра стержня увеличиваются углы поворотов; при а= О график функциональной зависимости колебаний концевого сечения от у симметричен относительно оси OW/", с ростом а центр симметрии смещается в сторону больших у.
При исследовании влияния изгибных колебаний и дефектов орудийного ствола на дальность стрельбы предполагалось, что снаряд - материальная точка, а сопротивление воздуха отсутствует. Тогда безразмерная дальность полёта снаряда зависит только от угла наклона касательной к горизонту в точке дульного среза по отношению к горизонту при постоянной скорости бросания.
Угол наклона касательной к горизонту зависит не только от угла наклона ствола к горизонту, но и от угла поворота концевого сечения в момент вылета снаряда, а также от перекоса канала ствола. Таким образом, если ствол без дефектов совершает упругие изгибные колебания, то дальность стрельбы с учетом податливости рассчитывается по формуле
Xuöeajl(i) = sin 2(ßW(l,t)), где fV'(l.r) - угол поворота поперечного концевого сечения в момент времени т.
Если же колеблющийся стержень имеет перекос оси канала ствол? у, то дальность рассчитывается по формуле
^(T) = sin2(ß+r(l,T)+y).
Используя ранее полученные формулы для вычисления угла поворота концевого сечения, а также формулу для вычисления безразмерной дальности полёта снаряда, была получена зависимость относительной дальности боя от параметров изгибных колебаний и дефектов оружия.
Для проведения анализа (¡3=45°) за начальный момент I принята форма, когда ствол максимально выпуклый вверх, в момент II ствол выравнивается и в момент III максимально прогибается вниз, затем ствол вновь выравнивается (IV) и далее вновь выгибается вверх (V) (рис. 4).
I, V П. IV ш
Рисунок 4 - Формы изгиба ствола по вертикали Наибольшая дальность полёта тела достигается (рис.5), когда колеблющийся ствол составляет с горизонтом угол (1=45° (положения И, IV). Самая большая погрешность в дальности стрельбы достигается в начале и конце цикла (I и V), когда складывается наиболее неблагоприятное сочетание изгиба ствола вверх и перекоса оси канала в эту же сторону. Меньшая погрешность имеет мс-
сто в середине цикла (III), когда изгиб ствола вниз несколько компенсируется противоположным направлением оси канала.
qamma=0 gamma=0 l.'U gamma=0 001
Рисунок 5 - Зависимость относительной дальности полёта Х0еф(\) от времени при отсутствии смещения а и различных у и р =45°
Таким образом, при любой форме изогнутого ствола дальность уменьшается по сравнению с дальностью стрельбы из идеального ствола, причём уменьшение тем значительнее, чем сильнее перекос оси канала ствола.
В разделе 3.2 в качестве математической модели крутильных колебаний ствола с дефектом геометрии использована система дифференциальных уравнений второго порядка (6). Для стержня (рис.1), моделирующего ствол, после введения безразмерных параметров система (6) может быть записана в матричном виде
54 8г
где Г - вектор состояния, Ц - вектор распределённых нагрузок, £(4) - матрица жёсткости, С(4) - матрица упругости,
' 0 01 2(1 + у)
'М Л
q =
- т 0
=
У
MS)
о
ч
п .... 1 2cos3 у - а411 + cos2 у) о2(а + l,tgyf cosy
'Vlb) =-2-Г7--1\---1-\2-■
16k cos y(cosy-0 ) . (cosy-cy2)
G(4) =
0
0 0
В главе 2 при решении дифференциальною уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, были построены формы и частоты крутильных колебаний консольного стержня с дефектом полости. Это позволило провести исследование основной частоты и формы крутильных колебаний 0„(4) от угла наклона у осевого отверстия к оси ОХ\ безразмерного расстояния - смещения оси - а\ относительного размера отверстия ст; относительного удлинения к стержня.
Смещение центра (а ^0) перекошенного (у Ф 0) отверстия повышает частоты крутильных колебаний по сравнению с соответствующими частотами колебаний стержня с идеальным отверстием, причем тем интенсивнее, чем больше перекос у (рис. 6). При отсутствии какого-либо из дефектов (а=0 или у=0) даже существенное изменение другого фактора не оказывает на частоты колебаний никакого влияния.
Кроме того, наибольшая податливость стержня (рис.7) наблюдается в двух диапазонах: при малых значениях у и больших а, и наоборот, при больших значениях у и малых значениях а.
Амплитуды крутильных колебаний концевого сечения ствола оказывают существенное влияние на боковое рассеяние в ходе стрельбы, а значит, в том числе, на точность стрельбы, то очевидна необходимость учёта данных колебаний при расчёте характеристик стрельбы.
В главе 4 построена математическая модель осесимметричных колебаний толстостенной трубы (аналога орудийного ствола) с произвольным законом изменения модуля упругости и температуры по толщине трубы.
Свободные и вынужденные осесимметричные колебания длинного толстостенного цилиндра при действии на него переменных внутреннего давления d{t) и температурного поля Tm(r,t) описываются дифференциальным уравнением
йа,. а,. — (Тп и'и
-Г+ -
иг г ot~
где г - радиальная координата, t- время, u=u(r,t) - радиальные перемещения,. ar~a,{r,t), G()=Gn (r,t) - радиальное и тангенциальное напряжения соответственно. Решение должно удовлетворять силовым граничным условиям a,(0,t) = -d(t), ст0( 1,0=0.
Используя связь механических и геометрических характеристик с безразмерными радиальным и тангенциальным напряжениями, а также начальные значения этих характеристик, получено уравнение движения в перемещениях д2й ,„,ды
д2й
„t. - + <7i (fc + hm - <7зг = F&z) St," ос, дх"
(7)
где
=
т
Ж Е&У
<72© =
V-
V
Е
г " « - Р Ь =--переменный модуль упругости; р = -1--переменная плотность мате-
Е* р»
риала; а = а-Т, - коэффициент теплового расширения; И= Ь - а — толщина стержня, Т,, Е», р» - некоторые характерные значения температуры, модуля упругости и плотности, V - коэффициент Пуассона, штрих означает дифференцирование по
Функция радиального перемещения представлена в виде суммы двух функций
одна из которых определена так, чтобы вторая иА=и^,1) удовлетво-
ряла однородным граничным условиям.
С целью определения форм и частот собственных колебаний трубы сначала рассматривается однородная краевая задача с однородными граничными условиями. Полагая колебания гармоническими, было проведено разделение переменных, а затем, с помощью дополнительной подстановки, дифференциальное уравнение приведено к простейшему виду относительно функции перемещения
/ + Ф(5ХУ = О,
. а + 1 2
где Ф© = р% (S) + Ч2 (4) - (5) г (4) •
При решении полученного уравнения использован тот же метод, который применялся при решении уравнения, описывающего изгибные колебания стержня в главе 2, в результате формы осесимметричных колебаний
где
5 00 $ f-" ^
о "=' ovo
t/z
, /2=ф-|/4©е «
□(3)/
1 Ф"(£) 5 Г Ф'с?)
'4Ф© 16ИЧ^)
- последовательные итерации ядра 1
т
Л /¡м
/.(4) /2«)
А асимптотическое представление частот колебаний
, (. г
кп 1 Рп=.----
кп
т ¿'(0)
9.(1) V
3/2/
V V
__^___
,|/2(1)1 2 а+\) Ьи2( 0)
о
где £(§) = + -Д <?2(§) -1?12(§) -(4)
Таким образом, полное решение однородной задачи было представлено в виде бесконечной суммы произведений форм собственных колебаний на неизвестные функции В„{т)
00 п=\
Для того чтобы определить неизвестные функции В,,(т), правая часть уравнения, описывающего вынужденные осесимметричные колебания трубы, была разложена в ряд по однородным решениям задачи, с учётом ортогональности форм. Это позволило найти полное решение однородной задачи и, как следствие, найти решение уравнения движения в перемещениях
т) = иТт) + X С,„ соерпт + С2п ею р„т + — }/?„(л).Ч1п рп{т-т^
н=П Рп о
В состав решения уравнения движения в перемещениях входят две постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий
1 I 1
С
ч* - ■
С =-5-к
При более подробном анализе выясняется, что формулы для нахождения постоянных интегрирования распадаются на для самостоятельные части, одна из которых выражает свободные колебания, вызванные начальными условиями, а вторая - вынужденные колебания.
Таким образом, получено полное решение задачи для радиальных перемещений произвольного слоя трубы под действием осесимметричного произвольного внутреннего давления.
В разделе 4.2 рассмотрена толстостенная труба с полостью в виде продольного отверстия постоянного радиуса с переменным вдоль радиуса модулем упругости, а коэффициент теплового расширения равен нулю. Этот стержень использован в качестве расчётной модели орудийного ствола, а изменение модуля упругости связано с неравномерным распределением температуры по толщине ствола.
Как было отмечено выше, первые слагаемые в формулах для вычисления постоянных С 1,„ Съ, отвечают за свободные колебания и не зависят от прикладываемой нагрузки с/(т), а особый интерес представляют вынужденные перемещения, то есть вторые слагаемые этих формул. Поэтому далее считается, что ф(Е,)=0, у(£)=0, а нагрузка (т) носит импульсный характер (рисунок 8), то есть
{ СП Л
d(t) = v|/cos( t)
"'о)
¿=0,1,2,...
\к= 0
где Т1(?) - функция Хевисайда,
/о - время действия импульса, 7о - периодичность стрельбы
d(t)
Тп t
tn
Рисунок 8 - Импульсная нагрузка
Для упрощения дальнейших исследований полагается, что модуль упругости линейно зависит от радиуса слоя (на практике зависимость может иметь более сложный аналитический вид)
Е„Ъ-
Ъ-а
В безразмерном виде
Е(Л) =
m
Еп
г+ -
1-1
■м
-Еьа
4 + -. И
где ц - коэффициент, который характеризует перепад модулей упругости.
Получены зависимости частот и форм собственных осеснмметричных колебаний от неоднородности материала и длительности внутреннего давления.
Особый интерес представляет оценка амплитуд движения точек внутреннего контура трубы, поскольку ими определяется отклонение диаметра трубы от номинального значения, что в свою очередь влияет на скорость прохождения снаряда по стволу.
Для выяснения характера влияния переменного вдоль радиуса модуля упругости на скорость движения снаряда по стволу было составлено и решено дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее такое движение. В безразмерном виде это уравнение перемещения V (т) снаряда по стволу описываются уравнением
Л
где т =
,---и0(т) = и(0,--т==-т),
1^(\-у2)р2
к0 -
А (1 — V )р*
=
А*(1 - у )р> т1Е,
ш/Е. /и/£*
Т^о - сила трения без учёта радиальных колебаний, ка - коэффициент трения, то- есть при движении по стволу снаряд испытывает «притормаживания», так как одним из параметров уравнения является перемещение точек внутреннего контура трубы.
Отсюда, с учётом начальных условий Упе/,(0)=0, V (0)=0, Кср (т) = Р(Х)Л - *о \ий (Т)Л + + С1.
где С,
= -(/(^(х> - ¿0н0(т))А)т=о, С2 = -(/(/(¿(х) - ¿0и0(т))а)а]т=().
Рисунок 9 - Скорость перемещения снаряда Рисунок 10 - Зависимость скорости снаряда
по стволу без учёта осесимметричных колебаний и с их учётом
\'П(,р от перемещения по стволу
без учёта осссиммстрпчшлх колебаний н с их учетом
Исследовав полученные результаты (рис. 9, 10), можно говорить о достаточно высокой чувствительности скорости перемещения тела по стволу к осе-симметричным колебаниям, причём влияние тем сильнее, чем сильнее различие
между модулем упругости на внешнем и внутреннем радиусах. В результате «притормаживаний» скорость снаряда на вылете V (т;), (т; определяется так,
что уменьшается в среднем па 1,5%, причём влияние радиуса отвер-
стия ствола а на «притормаживания» практически отсутствует, гораздо более существенные изменения происходят при увеличении перепада модуля упругости во внутреннем и наружном слоях.
Рисунок 11 - Зависимость скорости снаряда рисун0к 12 - Зависимость скорости снаряда
V от перемещения V по стволу ^ от перемещения V постволу
(калибр 25мм)
(калибр 125мм)
На рисунках 11-12 представлены результаты испытаний, проведённых в Нижнсс-Тагильском институте испытания материалов (на Уральском артиллерийском и боеприпасном полигоне).
Сравнительный анализ графиков (рис. 9-12), полученных экспериментальным путём для ствольного оружия различных калибров и на осночании формул (7, 8), позволяет говорить удовлетворительном совпадении при сопоставлении числовых результатов, полученных оригинальным асимптотическим методом и на полигоне.
Кроме того, анализ полученных данных позволяет утверждать, что скорость вылета снаряда зависит в том числе и от того, в какой фазе осесиммет-ричных колебаний произведён выстрел (рис. 9, 10).
Заключение
В диссертации представлено решение задачи разработки методов оценки влияния на начальные внешнебаллистические параметры ряда конструктивных, технологических и эксплутационных факторов, относящихся к стволу орудия и не учитываемых в существующих методиках прочностного и динамического расчёта ствола.
На основании проведённых исследований были получены результаты:
1 Созданы расчётные схемы ствола, учитывающие
- перекос оси канала ствола,
- параллельное смещение оси капала ствола,
- переменность механических характеристик материала по толщине ствола,
- конечную жёсткость на изгиб и кручение;
- осесимметричные колебания ствола;
2 Разработаны математические модели динамики ствола (дифференциальные уравнения, граничные и начальные условия, допущения, ограничения и т.д.) с учётом перечисленных факторов;
3 Разработан асимптотический метод исследования таких математических моделей;
4 Установлены зависимости между технологическими параметрами (допусками) и начальными внешнебаллисгическими характеристиками (угол наклона вектора скорости снаряда на вылете);
5 Установлены зависимости между параметрами осесимметричных колебаний ствола и модулем вектора скорости (дульный срез).
Полученные результаты позволяют сделать вывод о значительной чувствительности начальных условий внешней баллистики (значений величины и направления вектора скорости вылета снаряда (дульный срез)) к геометрическим несовершенствам (перекосу и параллельному смещению оси канала ствола) и рекомендовать включать в инженерные методики прочностных и динамических расчётов стволов учет перечисленных факторов.
Основное содержание диссертации изложено в следующих публикациях
1. Семёнова, Г.А. Изгибные и радиальные колебания полого стержня / Г.А. Семёнова, В.А. Гордон, Л.И. Шмаркова, A.B. Журавлёва // Сборник докладов международной научно-практической конференции «Качество, безопасность, энерго- и ресурсосбережение в промышленности строительных материалов и строительстве на пороге XXI века», ч.З / БелГУ. - Белгород : БелГУ';" 2000. -С.229-237.
2. Семёнова, Г.А. Влияние дефектов ствола на внешнебаллнстнчсскне характеристики оружия / В.А. Гордон, Л.И. Шмаркова, Г.А. Семёнова // Известия Тульского государственного университета. Серия «Проблемы специального машиностроения». - 2000. - Вып. 3 (чЛ). -С.54-57.
3. Semenova, G.A. Vibrations of Barrels and Influence Them on the Ballistic Characteristics of the Gun / V.A. Gordon, G.A. Semenova, L.I. Slimarkova // Proc. VII International Congress of Sound and Vibration / Garmisch-Partenkirchen. -Germany, 2000. - C.1075-1082.
4. Семёнова, Г.А. Зависимость дальности и точности стрельбы от дефектов ствола / Г.А. Семёнова, В.А. Гордон, Л.И. Шмаркова // Научные труды III международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения, информатики, экономики и права». — Москва, 2000. - С.147-151.
5. Семёнова, Г.А. Крутильные колебания ствола и их влияние на вношпе-баллистичсскне характеристики оружия / Г.А. Семёнова, В.А. Гордон, Л.И. Шмаркова // Труды международной научно-технической конференции «Проблемы проектирования и производства систем и комплексов» / ТулГУ. - Тула : ТулГУ, 2001.
6. Гордон В.А. Способ диагностики дефектов толстостенных труб / В.А. Гордон, Г.А. Семенова // Материалы международной научно-технической конференции «Механика неоднородных деформируемых тел» / Севастополь. -Орёл : ОрёлГТУ, 2004. - С. 19-20.
7. Семенова, Г.А. Крутильные колебания стержней с переменными геометрическими характеристиками / Сборник трудов международной школы-семинара "Современные проблемы механики и прикладной математики" / ВГУ,- Воронеж : ВГУ, 2004. - т.2, ч.1. - С.453-457.
8. Семёнова, Г.А.К вопросу об осесимметричных колебаниях ствола стрелкового оружия / В.А. Гордон, Г.А. Семенова // Материалы международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» / ТулГУ. - Тула : ТулГУ, 2007. - С. 140-141. ..........
9. Семёнова, Г.А. К вопросу о перекосе п смещении оси капала ствола, возникающих при изготовлении орудийных стволов / В.А. Гордом, Г.А. Семенова // Известия ОрелГТУ. Серия Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. — 2007. - №3/267(533). — С.119-123.
10. Семёнова, Г.А. Влияние перекоса и смещения оси канала ствол г, возникающих при изготовлении орудийных стволов, на точность стрельбы / В.А. Гордон, Г.А. Семенова// Актуальные проблемы динамики и прочности материалов и конструкций: модели, методы, решения: материалы международной научно-технической конференции / Самара. - Орел : ОрелГТУ, 2007. - С.115-
11. Семёнова, Г.А. Учёт радиальных осесимметричных колебаний ствола при формировании начальных условий / В.А. Гордон, Г.А. Семёнова // Известия ОрелГТУ. Серия Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. - 2008. - №4/272(550). - С.3-7.
117.
Подписано " л" " "' "" " ' " 'тная.
Отпечатано с готового оригинал-макета на полиграфической баче ОрёлГТУ 302020, г. Орёл, Паугорское шоссе, 29
Введение
1 Зависимость начальных внешнебаллистических параметров стрельбы от качества оружия
1.1 Постановка задачи исследования
1.2 Обзор исследований в области динамики оружейных стволов
2 Формы и частоты изгибных и крутильных колебаний стержней как расчётных моделей стволов
2.1 Построение приближенных решений дифференциального уравнения четвертого порядка с переменными коэффициентами
2.2 Построение приближенных решений дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами
3 Влияние перекоса канала и конечной изгибной жёсткости ствола на динамические характеристики оружия
3.1 Влияние перекоса и изгиба оси канала ствола, его конечной жёсткости на дальность стрельбы
3.2 Влияние дефектов ствола на кучность стрельбы
4 Зависимость скорости вылета пули от изменения геометрических и механических характеристик и нагрева ствола
4. 1 Расчёт форм и частот осесимметричных колебаний толстостенных труб
4.2 Осесимметричные колебания и их влияние на движение пули по стволу
Одной из важнейших характеристик изделий стрелкового и артиллерийского вооружения, определяющих эффективность его применения, является точность стрельбы.
Анализ результатов теоретических и прикладных исследований влияния различных элементов оружия на параметры рассеяния снарядов показывает, что практически отсутствуют работы, в которых изучалась бы связь погрешности стрельбы с погрешностями изготовления элементов оружия, в частности, стволов. Эти исследования необходимы для более обоснованного назначения технологических параметров (допусков на изготовление) исходя из тактико-технических требований к разрабатываемому оружию.
Недостаточно также теоретических работ, посвященных оценке влияния конечной изгибной жёсткости стволов на меткость стрельбы. Сопоставление периодов и- форм изгибных колебаний стволов с промежутком времени между последовательными выстрелами позволит оценить разницу в направлении векторов скорости вылетающих из ствола снарядов и тем самым прогнозировать разброс их точек падания.
Представляет интерес оценка влияния осесимметричных радиальных колебаний ствола на скорость движения снаряда по стволу. В процессе движения снаряда по стволу диаметр его канала из-за осесимметричных колебаний периодически отклоняется от номинала (калибра), в результате сила трения снаряда о стенки канала ствола изменяется и, следовательно, начальная скорость снарядов во внешнебаллистическом процессе будет различной в том числе и в зависимости от того, с какой амплитудой и частотой будут происходить радиальные осесимметричные колебания.
Учитывая вышеизложенное, в настоящей работе поставлена цель разработать аналитический метод исследования новых математических моделей динамики ствола, учитывающих геометрические несовершенства и конечные жёсткости, для установления зависимостей между конструктивными параметрами ствола и начальными внешнебаллистическими характеристиками стрельбы.
Для реализации поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
- создать расчётные модели ствола, учитывающие перекос оси канала ствола, параллельное смещение оси канала ствола, переменность механических характеристик материала ствола по толщине ствола, влияние осесимметричных колебаний ствола на процесс движения снаряда по стволу;
- разработать математические модели динамики ствола с учётом перечисленных факторов;
- разработать аналитический метод исследования математических моделей;
- проанализировать влияние указанных факторов на начальные внешнебаллистические характеристики на базе построенной математической модели разработанным методом;
- предложить научно-обоснованные практические рекомендации для проектирования стволов.
Заключение
В диссертации представлено решение задачи разработки методов оценки влияния на начальные внешнебаллистические параметры ряда конструктивных, технологических и эксплутационных факторов, относящихся к стволу орудия и не учитываемых в существующих методиках прочностного и динамического расчёта ствола.
На основании проведённых исследований были получены результаты.
1 Созданы расчётные схемы ствола, учитывающие
- перекос оси канала ствола,
- параллельное смещение оси канала ствола,
- переменность механических характеристик материала по толщине ствола,
- конечную жёсткость на изгиб, кручение и;
- осесимметричные колебания ствола;
2 Построены математические модели динамики ствола (дифференциальные уравнения, граничные и начальные условия, допущения, ограничения и т.д.) с учётом перечисленных факторов;
3 Разработан асимптотический метод исследования таких математических моделей;
4 Установлены зависимости между технологическими параметрами (допусками) и начальными внешнебаллистическими характеристиками (угол наклона вектора скорости снаряда на вылете);
5 Установлены зависимости между параметрами осесимметричных колебаний ствола и модулем вектора скорости (дульный срез).
Полученные результаты позволяют сделать вывод о значительной чувствительности начальных условий внешней баллистики (значений величины и направления вектора скорости вылета снаряда (дульный срез)) к геометрическим несовершенствам (перекосу и параллельному смещению оси канала ствола) и рекомендовать включать в инженерные методики прочностных и динамических расчётов стволов учёт перечисленных факторов.
1. Александров, А.Ю. Определение интенсивности изнашивания стволов с различными конструктивно-технологическими параметрами / А.Ю. Александров, Д.А. Бобров, А.П. Павлов, И.С. Жовтяк // Оборонная техника. -2001.-№4. С. 80-83.
2. Александров, А.Ю. Влияние режимов термической обработки материала стволов автоматического оружия на их механические характеристики и живучесть / А.Ю. Александров, П.В. Воронин, О.С. Кузьмин // Оборонная техника. 2001. - №4. - С. 78-80.
3. Александров, Е.Е. Имитационное моделирование внешних возмущений, действующих на упругую танковую пушку / Е.Е. Александров, О.Я. Никонов, Б.А. Олиярник // Артиллерийское и стрелковое вооружение. — 2005.- №2. С. 44-47.
4. Александров, Е.Е. Имитационное моделирование внешних возмущений, действующих на упругую танковую пушку / Е.Е. Александров, О.Я. Никонов, Б.А. Олиярник // Артиллерийское и стрелковое вооружение. 2005.- №3- С. 29-32.
5. Алфёров, В.В. Конструкция и расчёт автоматического оружия / В.В. Алфёров. -М. : Машиностроение, 1977. -248 с.
6. Артиллерийское вооружение. Основы устройства и конструирования / под редакцией И.И. Жукова. М. : Машиностроение, 1975. - 240 с.
7. Бабаков, И.М. Теория колебаний / И.М. Бабаков. М. : Наука, 1968.-559 с.
8. Баллистика ствольных систем / под редакцией J1.H. Лысенко, A.M. Липатова. М. : Машиностроение, 2006. - 460 с.
9. Безухов, Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести / Н.И. Безухов. М. : Высшая школа, 1968. - 512 с.
10. Благонравов, A.A. Основания проектирования автоматического оружия / A.A. Благонравов. М., 1940.
11. Бравин, Е.Д. Стрелково-пушечное вооружение самолётов / Е.Д. Бравин, Е.Б. Лунц, М.В. Гуревич. М. : Воениздат, 1941. - 303 с.
12. Внуков, В.П. Артиллерия / В.П. Внуков. М. : Наркомат обороны Союза ССР, 1938.-348 с.
13. Гордон, В.А. Статические и динамические задачи механики одномерно неоднородных упругих элементов конструкций / дис. докт. техн.наук: 01.02.04 / Гордон Владимир Александрович М., 1990. - 241 с.
14. Гордон, В.А. Метод решения задач механики неоднородных тел / В.А. Гордон, B.C. Шоркин, М.И. Борзенков. Орёл : ОрёлГТУ, 2005. - 161 с.
15. Горохов, М.С. Внутренняя баллистика ствольных систем / М.С. Горохов. М. : ЦНИИ информатизации, 1985. - 160 с.
16. Граве, И.П. Пиродинамика / И.П. Граве. Л. : Издательство Военно-технической академии, 1933. - (Внутренняя баллистика / И.П. Граве; т. 2.).
17. Григолюк, Э.И. Многослойные армированные оболочки: Расчёт пневматических машин / Э.И. Григолюк, Г.М. Куликов. — М. : Машиностроение, 1988.-288 с.
18. Грищук, П.А. Корабельная зенитная артиллерия / П.А. Грищук, К.В. Морозов. М. : Издательство ДОСААФ СССР, 1981.-200 с.
19. Дёч, Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования / Г.Дёч. М. : Наука, 1971. - 288 с. - (Серия «Физико-математическая библиотека инженера»).
20. Дмитриев, В.Ф. Исследование влияния неравномерного нагрева пакета направляющих на рассеивание РСЗО / В.Ф. Дмитриев, Л.А. Устинов, В.В. Сергеева, О.А Евланова // Оборонная техника. 2005. - №6-7.- С. 38-39.
21. Зайцев, В.Ф. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям / В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин. М. : Наука, 1993. - 464 с.
22. Калинин, В.Ю. Построение гарантированного прогноза изменения показателей живучести стволов артиллерийских орудий с настрелом /В.Ю. Калинин, B.C. Малиновский, C.B. Омельченко // Артиллерийское и стрелковое вооружение. -2006. — №2 С. 16-19.
23. Кириллов, В.М. Основания проектирования стволов стрелкового оружия / В.М. Кириллов. М. : Военная ордена Ленина и ордена Суворова Артиллерийская инженерная академия имени Ф.Э. Дзержинского, 1956. -87 с.
24. Колебания линейных систем / под ред. В.В. Болотина. М. : Машиностроение, 1978. -212 с. - (Вибрации в технике: справочник в 6 т. / ред. совет: В.Н. Челобей (пред); т.1).
25. Колтунов, М.А. Упругость и прочность цилиндрических тел: учебное пособие для вузов / М.А. Колтунов, Ю.Н. Васильев, В.А. Черных. М. : Высшая школа, 1975. - 526 с.
26. Колтунов, М.А. Прикладная механика деформируемого твёрдого тела: учебное пособие для студентов вузов / М.А. Колтунов, A.C. Кравчук,
27. B.П. Майборода. М. : Высшая школа, 1983. - 349 с.
28. Колчин, Г.Б. Расчёт элементов конструкций из упругих неоднородных материалов / Г.В. Колчин. Кишинёв : Картя Молдовеняска, 1971. — 172 с.
29. Корчевская, Е.А. Свободные колебания слоистой цилиндрической оболочки, находящейся под действием распределённых осевых сил / Е.А. Корчевская, Г.И. Михасёв // Известия Российской академии наук. Механика твёрдого тела. 2006. - №3.- С. 142-147.
30. Крупчатников, М.Я. Проектирование артиллерийских стволов / М.Я. Крупчатникова. М. : Оборонгиз, 1946. - 207 с.
31. Куров, В.Д. Основы проектирования пороховых ракетных снарядов / В.Д. Куров, Ю.М. Должанский. -М. : Оборонгиз, 1961. 294 с.
32. Ларман, Э.К. Проектирование и расчёт орудийных стволов и затворов / Э.К. Ларман. М. : Оборонгиз, 1939. - 163 с.
33. Ломакин, В.А. Теория упругости неоднородных тел / В.А. Ломакин. М. : МГУ, 1976. - 386 с.
34. Максимов, М.А. Влияние динамики выстрела на техническое рассеивание снарядов / М.А. Максимов // Оборонная техника. 1999. - №9-10.1. C. 49-50.
35. Максимов, М.А. Рассеяние энергии при изгибных колебаниях многослойных композитных труб / М.А. Максимов // Оборонная техника. 1999. -№9-10.-С. 61-63.
36. Маликов, В.Г. Механика многослойных стволов с цилиндрической анизотропией материала / В.Г. Маликов, Ю.М. Шашков // Оборонная техника. 1998. - №8-9.- С. 55-58.
37. Маликов, В.Г. Конечно-элементная модель динамики композитного ствола / В.Г. Маликов, Ю.М. Шашков // Оборонная техника.- 1999. №9-10.-С. 58-61.
38. Маликов, В.Г. Напряжённо-деформированное состояние многослойного композитного ствола при вязкоупругом поведении материала / В.Г. Маликов, Ю.М. Шашков // Оборонная техника. 1999. — №9-10. — С. 61-63.
39. Маликов, В.Г. Методология проектирования артиллерийских орудий с учётом влияния динамики ствола на точность стрельбы / В.Г. Маликов, Ю.М. Шашков // Оборонная техника. 1999. - №9-10. - С. 59-61.
40. Могильников, Н.В. Движение снаряда в стволе и на траектории / Н.В. Могильников, В.В. Горбунов, Л.Ф. Левинский. Тула : ТулГУ, 2002. -139 с.
41. Мэтьюз, Д. Математические методы физики / Д. Мэтьюз, Р. Уокер. М. : Атомиздат, 1972. - 398 с.
42. Орлов, Б,В. Устройство и проектирование стволов артиллерийских орудий / Б.В. Орлов, Э.К. Ларман, В.Г. Маликов. М. : Машиностроение, 1976.-431 с.
43. Основы баллистического проектирования артиллерийских орудий / Пензенское высшее артиллерийское инженерное ордена Красной звезды училище имени Главного маршала артиллерии H.H. Воронова. Пенза : ПВАИУ, 1975.-69 с.
44. Проектирование ракетных и ствольных систем / под ред. Б.В. Орлова. — М.: Машиностроение, 1974. 828 с.
45. Романовцев, Б.М. Влияние центрирования реактивного снаряда в трубчатой направляющей на его внешнебаллистические характеристики / Б.М. Романовцев, Л.И. Обозов, В.И. Подчуфаров, В.Ф. Дмитриев // Оборонная техника. 2005. - №6-7. - С. 36-37.
46. Савицкий, В.Я. Моделирование износа узлов трения импульсных тепловых машин / В.Я. Савицкий // Машиностроитель. 1999. - №2-3. -С. 16-18.
47. Светлицкий, В.А. Механика трубопроводов и шлангов: задачи взаимодействия стержней с потоком воздуха / В.А. Светлицкий. — М. : Машиностроение, 1982. 280 с. - (Библиотека расчётчика).
48. Светлицкий, В.А. Механика гибких стержней и нитей / В.А. Светлицкий. М. : Машиностроение, 1978. - 222 с. - (Библиотека расчётчика).
49. Семёнова, Г.А. Учёт радиальных осесимметричных колебаний ствола при формировании начальных условий / В.А. Гордон, Г.А. Семёнова //
50. Известия ОрелГТУ. Серия Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. 2008. - №4/272(550). - С.3-7.
51. Серебряков, М.Е. Внутренняя баллистика ствольных систем / М.Е. Серебряков. М. : Оборонгиз, 1962. - 703 с.
52. Теория и расчёт артиллерийских орудий / Пензенское высшее артиллерийское инженерное ордена Красной звезды училище имени Главного маршала артиллерии Н.Н. Воронова. Пенза : ПВАИУ, 1967. - 507 с.
53. Терегулов, И.Г. Сопротивление материалов и основы теории упругости и пластичности: учебник для втузов / И.Г. Терегулов. М. : Высшая школа, 1984.-472 с.
54. Тимошенко, С.П. Механика материалов / С.П. Тимошенко, Дж. Гере; пер. с англ. под ред. Э.И. Григолюка. М. : Мир, 1976.
55. Трикоми, Ф. Дифференциальные уравнения / Ф. Трикоми. М. : Издатинлит, 1962. - 217 с.
56. Уфлянд, Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости / Я.С. Уфлянд. Л. : Наука, 1968. - 402 с.
57. Федорюк, М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / М.В. Федорюк. М. : Наука, 1983. -352 с. - (Серия «Справочная математическая библиотека»).
58. Филиппов, А.П.' Колебания деформируемых систем / А.П. Филиппов. -М. : Машиностроение, 1970. 736 с.
59. Шапиро, Я.М. Основы проектирования ракет на твёрдом топливе / Я.М. Шапиро, Г.Ю. Мазинг, Н.Е. Прудников. М. : Министерство обороны СССР, 1968.-352 с.
60. Шипунов, А.Г. Живучесть стволов скорострельных пушек и способы её обеспечения / А.Г. Шипунов, Ю.С. Швыкин. М. : Машиностроение,1978.
