Динамика взаимодействующих ядерных спиновых систем в периодическом магнитном поле тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

РГ8 00

РЕСПУБЛИКА ГРУЗИЯ

2 2 «¡ля т

ТБИЛИССКИЙ ГО СУДАРСТВЕ ННЪй УНИВЕРСИТЕТ им. И.Джавахишвили

На правах рукописи СУМЕНКО ОЛЬГА ВЛАДИМИРОВНА

ДИНАМИКА ВЗАИШДЕЙСТЕУЩКХ ЯДЕРНЫХ СПИЮРЫХ СИСТЕМ В ПЕРИОДИЧЕСКОМ МАГНИТНОМ ШЛЕ

Специальность: С1. СЗ - радиофизика

А Р ТОР К Ф К Р А Т

писсрргшик на сэиска-'ио уч«чпЯ степе;!и качг.нятн ^мчит-матрчтгииескк* ячук

■Тбилиси - 199о

Работа выполнена в Институте физики Академии наук Грузии

Научный руководитель - член-корреспондент Академии наук

Грузии, доктор физико-математических наук, профессор Л.Л.БУИШВИЖ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.И.ТУГУ1Ш, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Н.П.&ЖИНА

Защита диссертации состоится "ХЬ " О-Юртси-_1993 г.

в часов на заседании Научно-аттестационного совета

П4 01.02 П 1-6 при Тбилисском государственном университете (380028, Тбилиси, просп. И.Чавчавадзе, 3, БФА)

С диссертацией можн~> ^зннкпмиться р библиотеке ТГУ.

Автореферат разослан

Ученый секретарь Научно-аттестационного совета доктор физ.-мат. наук,

профессор ; /Д.И.Аладашвили/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последнее время возник ряд новых методов ЯМР высокого разрешения, открывших новые возможности в исследовании структуры твердых тел. Анализ явлений, связанных с этими методами, базировался на теории среднего гамильтониана (ТСГ), основанной на разложении Магнуса, которая позволяла аппроксимировать решение точной задачи решением соответствующей консервативной задачи. Она описывала динамику спиновых систем стробоскопически, и в гамильтониане, начиная со второго порядка, возникали несекулярные члены, что привело к противоречиям с экспериментами.

В связи с этим были предложены иные подходы, обеспечивающие физически верное описание поведения систем в произвольные моменты времени. Один из них - квазитермодинамический подход, другой - метод усреднения, основанный на теории Крылова-Боголю-бова-Митропольского. Метод усреднения позволяет получить корректное выражение для гамильтониана во всех порядках теории возмущений и дает последовательное описание необратимых и неравновесных процессов. С этой точки зрения представляет интерес исследование так называемого "парадокса Магнуса" в рамках метода усреднения, а также сравнение результатов, получаемых на основе метода усреднения и ТСГ при рассмотрении вопросов о сдвиге Блоха-Зигерта и гетероядерного подавления.

С другой стороны, недавно было предложено обобщение ТСГ, основанное на теореме Флоке-Ляпунова. Не зависящий от времени эффективный гамильтониан, полученный в этом подходе, описывает поведение систем в любой момент времени и формально совпадает со средним гамильтонианом Магнуса. Возникает необходимость по-

добрать процедуру, с помощью которой в этом подходе можно найти соответствие с методом усреднения.

В последнее время большое внимание уделяется исследованию ядерных спиновых систем в магнитоупорядоченных кристаллах. При воздействии переменного внешнего поля на систему магнитных моментов появляются довольно существенные дальнодействувдие косвенные взаимодействия. Рассмотрение такой ситуации на основе метода усреднения также является актуальным.

С целью повышения информативности спектров ЯМР поликристаллических твердых тел применяется метод исследования линии ЯМР в нулевом магнитном поле. Большое внимание уделяется изучению дей-терированньгх образцов, гамильтонианы которых содержат как квад-рупольное, так и диполь- дипольное взаимодействия. Возникает необходимость уточнить, каким образом следует учитывать эти взаимодействия при рассчете спектров ЯМР в нулевом магнитном поле. Корректный учет этих взаимодействий до настоящего времени отсутствовал.

Целью работы является теоретическое исследование некоторых динамических процессов во взаимодействующих ядерных спиновых системах в твердых телах при периодическом внешнем воздействии. Основным методом исследования служит метод усреднения.

Научная новизна диссертационной работы определяется следующими оригинальными результатами:

I. Разработан модифицированный подход, основанный на теореме Флоке-Ляпунова, в котором разложение по степеням малого параметра с самого начала строится таким образом, чтобы отделить медленную временную зависимость от быстрой. Показано, что полученные таким образом результаты эквивалентны основанным на методе усреднения. Подход применен для исследования многоимпульсного

спин-локинга.

2. Проанализирован вопрос о затухании обратной спиновой температуры и среднего значения намагниченности в спиновой системе, подверженной слабому периодическому внешнему воздействию. Показано, что система вначале стремится к квазистационарному состоянию, а затем, по прошествии времени, гораздо большего обратной диполь-дипольной ширины линии, описывается спиновой температурой, медленно уменьшающейся до нуля из-за насыщения осциллирующими членами. Отсутствие такого затухания в ТСГ приводит к "парадоксу Магнуса", тогда как в методе усреднения такой проблемы не существует.

3. Исследован эффект радиационного сдвига линии магнитного резонанса в случае, когда действующее на систему РЧ-поле осциллирует в плоскости, перпендикулярной постоянному полю (сдвиг Блоха-Зигерта). Показано, что появление несекулярных членов в высших порядках среднего гамильтониана приводит к неточности результатов, основанных на ТСГ.

4. Рассмотрено гетероядерное подавление взаимодействия распространенных спинов при линейно поляризованном РЧ-воздейст-вии в системе с двумя сортами спинов. Показано, что при резонансной развязке первые три приближения не дают вклада в ширину линии, и разрешимость определяется высшими приближениями, в то время, как по теории среднего гамильтониана предел разрешимости определяется третьим приближением.

5. Изучено влияние продольной накачки на эффективное взаимодействие ядерных спинов в ферромагнетике. Показано, что при частоте внешнего воздействия, большей электронной резонансной частоты, появляется косвенное дальнодействующее взаимодействие, которое может давать существенный вклад в ширину линии ЯМР.

6. Уточнен вопрос о том, каким образом следует учитывать диполь-дипольное и квадрупольное взаимодействия в спектре ЯМР в нулевом магнитном поле. Рассмотрены примеры двух малых молекулярных групп: жесткой пары дейтронов и туннелирующей дейтериро-ванной метиловой группы.

Апробация работы.Основные результаты работы доложены на научных семинарах в Институте Физики АН Грузии.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 работы.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, выводов и списка цитированной литературы. Общий объем текста составляет 77 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи исследования, раскрывается структура и содержание работы по главам.

ГЛАВА I. МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ КРШЮВА-БОГОЛШОВА-МИТРОГОЛЬСКОГО

Глава носит обзорный характер. В ней описывается возникший первоначально в классической механике асимптотический метод усреднения Крылова-Боголюбова-Митропольского. Метод позволяет строить усредненные по быстрым переменным системы, решения которых аппроксимируют решение исходной сложной системы дифференциальных уравнений с произвольной наперед заданно:"! точностью. Два первых параграфа посвящены рассмотрению первого и второго, а затем и высших приближений. В §3 приводится математическое обоснование метода усреднения. Метод допускает возможность построения усредненных уравнений в системах как с периодическим, так и с квазипериодическим гамильтонианом. Канонический вариант метода усреднения предусматривает сохранение гамильтоновой фор-

vrw усредненных: уравнений классической механики. Соответствующие результаты приведены в §4.

ГЛАВА 2. КВАНТОВЫЙ ВАРИАНТ МЕТОДА УСРЕДНЕНИЯ

В этой главе описан метод для получения эффективного не зависящего от времени гамильтониана, который управляет динамикой спиновых систем в быстроосциллирующих внешних полях. Асимптотический метод Крылова-Боголюбова-Митропольского применяется для решения уравнения Лиувилля

1 it = [HWlt), fJ, (I)

at

где H - оператор спин-спиновых взаимодействий,Vit) _ периодическое возмущение. Если перейти к представлению взаимодействия:

р= и lt) Р U'l(fc) , i4M = \j[t)U> (2)

d t

то уравнение для f будет иметь вид:

i él = [ îiit), р], H(t) = W(tj и (3)

dt

Будем считать, что возмущение обладает свойствами периодичности и цикличности ( V(t +(^tc) = v(t) и =1 ), тогда H - тоже пери-

одическая функция с периодом te. Проведем в (3) замену переменной, вводя "безразмерное время" Il tc . Тогда правая часть уравнения будет порядка £. = tc.UUii, где двойные линии означают величину : единицах частоты. Поскольку далее мы везде исходим из уравнения Лиувилля в представлении взаимодействия, опустим в нем для простоты знак "стильда", а в качестве безразмерного времени будем использовать обозначение t . Запишем его в виде:

i^=£Ui)p, Lli)f(t)- [Hit], fit)]. (4)

d t

Решение этого уравнения р ищется в виде суммы медленно меняющейся части ç(fc) и ряда малых осциллирующих добавок по степеням малого параметра Ь .

Учитывая, что исходное уравнение (4) линейно по , пред-

ставим решение в виде:

= Ш 5(t)= Z е" (5)

L = к , к = 2] ь" к. (6)

oi t

Выражение для матрицы плотности можно получить, подставляя решение уравнения (6) в (5):

т t^ flo), (7)

Заметим, что медленная зависимость от времени содержится в Е, Ц) , а быстрые осциллирующие добавки не содержат нулевых гармоник: Jo = L, j' Я, (tj dt = О (ны). (8)

о

С учетом этого можно вывести реккурентное соотношение для 3\ (-t) и L, /I/, решение которого представимо в виде:

к -- J-(t) SVJt) = L(i) TB.t(tJ-2 (91

где операции усреднения и интегрирования для произвольного периодического оператора А определены следующим образом: Л - - f A{t)di; Mt) - L j (Al-t')-A ) Л'.

о

Записывая через Фурье-компоненты выражения для первого и второго порядка, получим, что эволюция системы описывается э:|ь фективным гамильтонианом

t* _iu,„t

Ht= H.-.-Z rj 1>ЧМ , HK=rjHU)e dt , (Ю)

" О « = ± i, t Z, .. .

а уравнение для медленно меняющейся части матрицы плотности имеет вид:

■^Л ¿;[Н„[Н.И|§]1 (П)

dt и^о ^ 4 '

Таким образом, исходную неконсервативную задачу удалось свести к консервативной, что изложено в где также обсуждается и вопрос о пределах применимости данного метода. В высших приближениях усредненное уравнение (б) не имеет вид уравнения Лиувилля. Канонический вариант метода усреднения, сохраняющий

исходную форму эволюционного уравнения, приводится в §2. Кроме того, метод усреднения допускает обобщение на задачи с квазипериодическим гамильтонианом, основанное на аналогии с методом ускоренной сходимости, рассмотрению которого посвящается §3.

ГЛАВА 3. СРАВНЕНИЕ МЕТОДА УСРЕДНЕНИЯ С ДРУГИМИ ПОДХОДАМИ

В этой главе (§1) делается обзор традиционно использовавшейся для анализа поведения спиновых систем теории среднего гамильтониана и рассматривается вопрос о причинах ее расхождения с экспериментом. Указано, что появление в гамильтониане несеку-лярного члена

и*о 4

связано с тем, что в ТСГ не производится разделения вкладов в ширину линии от основной линии и сателлитов.

В качестве примера рассматривается эффект радиационного сдвига линии магнитного резонанса в случае, когда действующее на спиновую систему радиочастотное поле осциллирует (с частотой ^ ) в плоскости, перпендикулярной постоянному полю - сдвиг Блоха -Зигерта /2/. Малым параметром является отношение амплитуды переменного поля к амплитуде постоянного поля (^,/4.. В случае

«-1 следует перейти в систему координат, вращающуюся с частотой и . Тогда эффективный гамильтониан имеет вид:

н е. = + (12)

Отсюда видно, что в резонансном случае смещенная частота,

которой соответствует центр линии, равна ? что соот-

ветствует известному факту, тогда как ТСГ дает . На-

личие в гамильтониане (12) члена почти не влияет на величину сдвига, который остается почти таким же, как в резонансном случае.

При условии необходимо перейти в систему коор-

динат, вращающуюся с частотой <Л. В связи с отсутствием несеку-лярных членов в среднем гамильтониане ) в данном случае

результаты, полученные на основании метода усреднения и метода среднего гамильтониана, совпадают.

Попытка преодоления недостатков ТСГ была предпринята в подходе, основанном на теореме Флоке-Ляпунова, обзор которого дается в §2. Выражение для аффективного гамильтониана, полученное в рамках этого метода, описывает поведение системы в любой момент времени и формально совпадает со средним гамильтонианом. Но в разложении для матрицы плотности появляются дополнительные члены, которые устраняют различие между гамильтонианами, полученными на основе теоремы Флоке-Ляпунова и в методе усреднения. При этом в каждом порядке теории возмущений необходимо выделять медленно меняющуюся часть матрицы плотности, что представляет определенные неудобства. Поэтому имеет смысл, основываясь на теореме Флоке-Ляпунова', построить ряд теории возмущений для периодической части матрицы плотности таким образом, чтобы с самого начала (как это делается в методе усреднения) отделить медленно меняющуюся часть от быстрой /I/.

Согласно этому подходу, решение уравнения (4) имеет вид: />(t) = Lit) fío) (13)

-itfit

L(t) - РШ t (14)

А

где Н - не зависящий от времени гамильтониан, PW - оператор, периодически зависящий от времени. Запишем (13) в виде:

pit) = W <15)

где и i - супероператоры, действие которых на произвольный оператор А определяется формулами:

$(t)ft--PWAP"'W, LA = LH, А].

Проведем теперь в (15) унитарное преобразование с помощью не зависящего от времени оператора ^ :

= «?'(*) Г'"*'4 (К)

•где Фк№)=Ф№)И , .

Выражения для , и К будем искать в виде рядов по степеням малого параметра:

ф*НО = 2Ьж<Р:(*) а?)

и ' Ч *

Подставляя (16) в уравнение Лиувилля (4) с учетом разложения (17), получим реккурентное соотношение дляФ.ГК) и к,* , которое имеет вид, аналогичный соотношению для 3i.lt) и Ьи в методе усреднения, решением которого служит (8). Обратив внимание, что начальные условия для «С и также аналогичны (7), и сравнивая выражения для матрицы плотности (7) и (16), легко видеть,

ЧТО <Р*№)=УК:) , 2.^(0) .

Таким образом, корректно построенный подход, основанный на теореме Флоке-Ляпунова, дает те же результаты, что'и метод усреднения. На основании теоремы Флоке-Ляпунова можно получить и каноническую форму усредненных уравнений /I/, что так же представлено в Й.

В качестве примера рассматривается случай многоимпульсного спин-локинга, где исправляется ошибка, допущенная автором, впервые предложившим использование теоремы Флоке-Ляпунова, при выводе формулы для стационарного значения намагниченности, которая имеет вид:

где 9 - угол поворота под действием импульса, Л - расстройка частоты. Ошибка была связана с тем, что не проводилось разделение матрицы плотности на медленно и быстроосциллирутощие части.

Впоследствии она была исправлена путем дополнительного усреднения выражений (13) и (14) по времени.

§3 посвящен рассмотрению "парадокса Магнуса" в рамках метода усреднения. Этот парадокс возник в ТСГ при рассмотрении временной эволюции спиновой системы с диполь-дипольным взаимодействием в сильном магнитном поле, подверженной малому периодическому возмущению:

Vlt)= + s-r*4), (19)

Исключив зеемановское взаимодействие переходом к соответствующей системе взаимодействия, получим, что эффективный гамильтониан, равный Н^ , не зависит от времени. Обратная спиновая температура системы равна исходной Д, а среднее значение диполь-ной энергии равно >0 = -д, Sp \u J .

Однако в методе усреднения наряду с разложением гамильтониана производится разложение матрицы плотности. Кроме того, в уравнение Лиувилля следует ввести необратимость, например, путем введения бесконечно малого источника. Перейдем к представлению

взаимодействия: t à

ÎHdi -;н Jt ¿нЛ-t -¡н,^

J-- t fl , 3(t) = £ Vit) t . (20)

\]{t) является квазипериодической функцией, которую можно аппроксимировать периодической на конечном интервале времени, вводя формальный период Т , который затем с целью учета необратимости устремим к °° .

Согласно методу усреднения уравнение для медленно меняющейся части матрицы плотности имеет вид (II), где Н„ - коэффициенты разложения Vit) в ряд Фурье. Введение бесконечно малого источника приведет к замене о), на , что при переходе Т-»~ устраняет

расходимость в (II). После этого перехода следует перейти к гфе-делу е^ о.

Переходя к исходной системе, возьмем §Д0 в виде квазиравновесной матрицы плотности

Ш--^!-^) (21)

Умножая обе части уравнения для медленно меняющейся части матрицы плотности на Н^ и беря от обеих частей ппур, после несложных математических преобразований получим:

(22)

Л им ;

где и - зг (uv.tr 5М , (гяГ'М) - нормиро-

ванная на единицу функция формы, и*1^*)/^;» , -

Уравнение для среднего значения дипольной энергии аналогично (22). Эти уравнения полностью описывают поведение рассматриваемой системы, предсказывая, что при Аи<Н^)не меняются, а за время порядка V/ 1 стремятся к нулю /3/, тогда как по теории среднего гамильтониана такого затухания не происходит. Таким образом, в рамках метода усреднения возможно описание ке-коксервативных и необратимых процессов.

ГЛАВА 4. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЯДЕРНЫХ СИСТЕМ В ПЕРИОДИЧЕСКОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

В 51 исследуется влияние продольной накачки на эффективное взаимодействие ядерных спинов в ферромагнетиках. Метод усреднения применяется для рассчета эффективного гамильтониана электронно-ядерной спиновой системы, помещенной в монохроматическое поле плоской волны. Показано, что при частоте внешнего воздействия, большей электронной резонансной частоты в эффективном гамильтониане возникает дальнодействующее взаимодействие, содержащее осциллирующий член. Вычислены первый и второй моменты линии магнитного резонанса. Получено, что для нулевой гармоники

значения моментов М° и М'° совпадают с обычными выражениями для Сул-Накамуровского взаимодействия. Для первой гармоники с целью устранения расходимости сумм в случае вводится затухание

спиновых волн с параметром <*- . При второй момент первой гармоники М (^> <Л ) расходится, что соответствует известному факту. Отношение вторых моментов для нулевой и первой гармоник определяется соотношением:

(23)

V /и) >

где амплитуда переменного поля, параметр обменного

взаимодействия, ¿-Ци^ц^-ц)^ ^ - межатомное расстояние. Таким образом, при больших частотах внешнего воздействия дальнодействую-щее косвенное взаимодействие с малым параметром затухания <*- дает существенный вклад во второй момент линии магнитного резонанса.

В §2 рассматривается гетероядерное подавление, заключающееся в приложении радиочастотного поля ¿^Хь^сли! на ларморовой частоте распространенных спинов Б или вблизи от нее (Д =

= и4-и) с целью подавления взаимодействия распространенных спинов с редкими 1 = ), уширяющего линию ЯМР наблюдаемых

спинов I с ларморовой частотой . Для рассчета эффективного гамильтониана применяется метод усреднения. Представление взаимодействия определяется унитарным преобразованием: Щ1)-=е. к е е. ' , (24)

где ы-иЭ-^/л , Л2 = &г + ^ . При А^^Гь эволюция системы определяется усредненным гамильтонианом Не. , выражение для которого приводится с точностью до третьего порядка /2/.

При отсутствии развязки 1Л=о получается очевидный результат . При резонансной развязке в практически важных случаях первые три приближения не дают вклада в ширину линии, в то

время, как согласно теории среднего гамильтониана предел разрешимости определяется третьим приближением. В нерезонансном случае для хорошего разрешения необходимо выполнение условия Л < А « п. , практически, этого можно добиться увеличением .

ГЛАВА 5. СПЕКТР ЯМР МАЛОЙ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ГРУППЫ В НУЛЕВОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ ПРИ НАЛИЧИИ КВАДРУПОЛЬНОГО И ДИПОЛЬ-ДИ-ПОЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ

Метод исследования линии ЯТЯ5 в нулевом магнитном поле делает возможным наблюдение за системой, подверженной исключительно внутренним взаимодействиям. Метод позволяет рассчитывать намагниченность системы, эволюционирующей в течение некоторого времени при выключенном внешнем магнитном поле. В этой главе исследуется вопрос, каким образом следует учитывать квадрупольное и ди-поль-дипольное взаимодействия при рассчете спктров. Рассчитывается намагниченность образца для двух малых молекулярных групп. В §1 рассматривается неподвижная пара дейтронов, а в §2 добавляются эффекты движения в туннелирующей дейтерированной метиловой группе . Показано, что для получения корректных результатов при более слабом по сравнению с квадрупольным диполь-дипольном взаимодействии Н^ необходимо выделять секулярную по отношению к квадрупольному взаимодействию часть Н^.

Рассчитанный спектр жесткой пары дейтронов состоит из основной линии и трех пар сателлитов. Процедура усечения диполь-ного гамильтониана приводит к смещению внутренних линий из каждой группы трех сателлитов с частоты на частоту . Спектр С0Ч состоит из центральной линии и 13 пар сателлитов. При усечении И^ происходит как смещение спектральных линий, так и перераспределение интенсивностеЯ.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Для анализа динамики взаимодействующих ядерных спиновых систем в периодическом магнитном поле предложен модифицированный подход, основанный на теореме Флоке-Ляпунова, в котором разложение по степеням малого параметра с самого начала строится таким образом, чтобы отделить медленную временную зависимость от быстрой. Показано, что полученное таким образом разложение эквивалентно основанному на методе усреднения. На основе разработанного подхода рассмотрен случай многоимпульсного спин-локинга. Получено корректное выражение для стационарного значения намагниченности.

2. Проанализирован "парадокс Магнуса" в рамках метода усреднения. Наряду с разложением гамильтониана произведено разложение матрицы плотности. В уравнение Лиувилля введена необратимость. Выведены уравнения для обратной спиновой температуры и среднего значения дипольной энергии. Полученные результаты полностью описывают экспериментальное поведение рассматриваемой системы, иллюстрируя отсутствие "парадокса Магнуса" в методе усреднения.

3. Изучен сдвиг Блоха-Зигерта, а также гетероядерное подавление взаимодействия распространенных спинов при линейно поляризованном радиочастотном воздействии в системе с двумя сортами спинов. Произведено сравнение результатов, полученных в рамках метода усреднения и теории среднего гамильтониана. Проиллюстрировано, что появление несекулярных членов в высших порядках ТСГ может привести к неточности результатов.

4. Исследовано воздействие продольной накачки на систему взаимодействующих ядерных спинов в ферромагнетике. Вычислены первый и второй моменты линии ЯМР при частоте внешнего воздействия

как меньшей, так и большей электронной резонансной частоты. Показано, что появляющееся во втором случае косвенное дальнодейст-вующее взаимодействие может давать существенный вклад во второй момент линии магнитного резонанса.

5. Рассчитан спектр ЯМР в нулевом магнитном поле для двух случаев малых молекулярных групп при наличии квадрупольного и диполь-дипольного взаимодействий. Рассмотрены жесткая пара дейтронов и туннелирующая дейтерированная метиловая группа. Показано, что для получения корректных результатов следует использовать при рассчетах секулярную с квадрупольным взаимодействием часть дипольного гамильтониана.

Основные материалы диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Буишвили Л.Л., Гумберидзе М.Э., Менабде М.Г., Суменко О.В. Динамика спиновых систем в быстроосциллирующих внешних полях// ТМФ. -1985.-Т.64,вып.3.-С.473-47Э.

2. Гумберидзе М.Э., Суменко О.В. Применение метода усреднения к некоторым вопросам магнитного резонанса// В сб.: Труды Тбилисского университета. Физика.-Тбилиси, 1983.-Т.242.-С.

3. Buishvili L.L., Menabde M.G. , Gumberidze M.E. and Sumenko O.V. "Magnus paradox" and averaging method. //Physica A. North-Holland. - 1990. - v.170. - p.143-149.

76-84.