Дискретные модели процессов деформирования и разделения

Дао Ван Доан

Дискретные модели процессов деформирования и разделения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Дао Ван Доан АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Тула МЕСТО ЗАЩИТЫ

2008 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Дискретные модели процессов деформирования и разделения»

Автореферат диссертации на тему "Дискретные модели процессов деформирования и разделения"

На правах рукописи

Дао Ван Доан

ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗДЕЛЕНИЯ

Специальность 01 02 04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тула - 2008

003169957

Работа выполнена на кафедре «Математическое моделирование» в ГОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Научный руководитель

- доктор физико-математических наук, профессор

Маркин Алексей Александрович

Официальные оппоненты

- доктор физико-математических наук, профессор Пеньков Виктор Борисович

- кандидат физико-математических наук доцент Агарков Сергей Иванович

Ведущая организация

Орловский государственный технический университет

Защита диссертации состоится "23" июня 2008 г в 13— часов на заседании диссертационного совета Д 212 271 02 при ГОУ ВПО «Тульский государственный университет» по адресу 300600, г Тула, проспект им Ленина, 92, ауд 12-309

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Автореферат разослан " мая 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета

Л А Толоконников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Отличительная особенность среды, находящейся в твердом (конденсированном) состоянии, наличие поверхностей, отделяющих данное тело от окружающих. В процессе внешних воздействий эти поверхности могут деформироваться без разрыва и образования новых поверхностей внутри тела

Таким образом, внешние воздействия на тела, находящиеся в твердом состоянии, до некоторого момента приводят только к изменению их формы и не сопровождаются образованием новых материальных поверхностей

Однако способность любого материала к увеличению расстояния между его частицами не беспредельна Наступает критическое состояние, при котором взаимодействие между частицами прекращается, в результате чего образуются новые материальные поверхности

Для краткости будем называть процессы образования новых материальных поверхностей разделением Этот термин не означает, что тело обязательно должно разделиться на части, возможно, образование и внутренних полостей

Процессы разделения, приводящие к образованию поверхностей заданной формы должны быть устойчивыми относительно внешних воздействий В частности, малому перемещению инструмента должна отвечать малая длина разреза, а при остановке инструмента процесс разделения должен прекращаться

Не меньшую актуальность представляет исследование процессов неустойчивого разделения, которое может сменять процесс деформирования Ярким примером таких процессов является разрушение тел и конструкций, представляющее разделение на части, число и форма которых являются случайными В частности, невозможно достоверно предсказать, на сколько частей разобьется фарфоровая чашка при ударе или распадется таблетка, если ее растолочь

Описание стадии деформирования твердых тел позволяет ставить и решать задачи прогнозирования их поведения при различных внешних воздействиях Однако данные модели недостаточны для установления момента перехода от деформирования к разделению и к исследованию развития процесса разделения Причиной этого является то, что в основе моделей деформируемых твердых тел лежит гипотеза сплошности Так как при разрушении сколь угодно малое расстояние между материальными точками может стать конечным, то для исследования таких процессов необходимо выйти за рамки данной гипотезы

Основоположником теории, описывающей момент начала образования новых материальных поверхностей, является английский ученый А А Гриффите В двадцатых годах прошлого века им был сформулирован энергетический критерий распространения трещины в линейно упругом теле Нарушение сплошности трактовалось как движение математического разреза - трещины Естественно, что двух постоянных - упругих модулей, характеризующих ли-

нейно упругое изотропное тело, было недостаточно для формулирования условия разделения В качестве дополнительной постоянной Гриффите использовал удельную поверхностную энергию В соответствии с критерием хрупкого разделения, освобождающаяся при продвижении разреза на единицу длины упругая энергия, полностью переходит в энергию двух вновь образуемых поверхностей Для подсчета выделяемой в окрестности кончика трещины упругой энергии использовалось решение задачи линейной упругости о растягиваемой на бесконечности упругой плоскости, ослабленной математическим разрезом заданной длинны Это решение было получено в работах Инглиса и Мусхели-швили. Парадокс заключается в том, что данное решение дает бесконечные значения напряжений в вершине разреза Причем сингулярность имеет универсальный характер напряжение обратно пропорционально корню квадратному расстояния, отсчитываемого от вершины разреза Коэффициент пропорциональности называют коэффициентом интенсивности напряжений

Практическое применение теория Гриффитса получила начиная с середины XX века благодаря исследованиям Ирвина и сотрудников его лаборатории Было предложено в качестве условия разделения использовать достижение коэффициентами интенсивности напряжений критических значений, названных вязкостью разрушения Разработанная система экспериментов позволяла определить вязкость разрушения для различных материалов Принципиальным шагом являлось распространение данного подхода на упругопластические материалы, когда пластическая область была мала по сравнению с длинной трещины В этом случае изменение распределения напряжений в окрестности вершины разреза по сравнению с упругим решением полагалось незначительным Таким образом, сформировалась механика квазихрупкого разрушения Дальнейшее развитие она получила в работах Дж. Райса и Г П Черепанова, которые предложили новые критерии разрушения - инвариантные ^интегралы, позволяющие рассматривать распространение трещин в рамках моделей нелинейно-упругих материалов В работах К Ф Черного, М Я Леонова, В В Панасюка, Д С Дагдейла, П М Витвицкого, Г И Баренблатта, Р В Гольдштейна, Ю Г Матвиенко, В В Болотина, И М. Лавита вводились дополнительные силы сцепления с берегами разреза, позволяющие «погасить» сингулярность и учесть перераспределение напряжений

С целью снятия ограничений модели математического разреза было сделано предположение о существовании для каждого материала некоторого характерного размера, в рамках которого происходит локализация процесса разрушения Отметим, что существование данного размера и соответствующего неделимого материального объема, имеющего химический состав, эквивалентный исходному материалу обсуждалось ГП Черепановым и Л А Галиным Вот как описывается явление полного разрушения стекла Г.П Черепанового "Представьте себе, что кусок твердого стекла вдруг разлетается на мелкие частицы пыли подобно взрывчатке ТНТ Разница лишь в том, что ТНТ разлетается

на молекулы порядка 10"9 м, а стеклянные частицы пыли - порядка 10"6 м или 10"5 м, и их химический состав - тот же, что и сплошного стекла" Введение данного параметра позволило рассмотреть процесс разрушения как термомеханический процесс в рамках единых определяющих соотношений Подчеркнем, что характерный линейный размер определялся не как некоторая эффективная длина в сингулярной модели математического разреза как, например, в моделях Г Нейбера, Ф Макклинтока, Р В Гольдштейна и Н М Осипенко, а исходя из модели, в которой трещина рассматривается как разрез физический В статьях А.А Маркина и В В Глаголева была предложена модель дискретного деформирования и разделения упругопластических тел Следует подчеркнуть, что данная модель не является приближенным описанием процесса образования новых поверхностей по сравнению с моделью математического разреза Она позволяет исследовать более широкий спектр процессов разделения

Отметим, что предлагаемый подход к описанию процессов разделения отличается от дискретных моделей теории упругости, развитых в работах Н Ф Морозова, М В Паукшто, Л И Слепяна, где твердое тело представляется системой точек единичной массы, связанных невесомыми стержнями

Частным случаем дискретной модели является дискретно-континуальная, в которой допускается непрерывность и дифференцируемость термомеханических характеристик вдоль слоя разрушающихся элементов (слоя взаимодействия)

Научные исследования, проведенные в диссертационной работе, подержаны грантами РФФИ № 06-01-00047 и 04-01-96700

Цель диссертационной работы состоит в постановке и решении на основе дискретной и дискретно-континуальной моделей задач упругого деформирования и разделения в условиях плоского деформированного и напряженного состояния

Научная новизна работы заключается в следующих основных результатах, полученных автором

1 Сформулированы основные положения дискретной модели процессов деформирования и разделения Получены универсальные выражения компонент матриц жесткости 5-элемента для случаев плоского напряженного и плоского деформированного линейно упругих состояний

2 Используя развитый в методе конечных элементов подход, получен алгоритм построения глобальной матрицы жесткости рассматриваемого тела

3 Предложен метод последовательных догружений (разгрузок), описывающий процесс разделения при условии его равновесности Выделены устойчивые и неустойчивые режимы разделения

4 В рамках дискретной модели решены задачи разделения плоского образца с вырезом при внешнем растяжении и при внутреннем нагружении Определены условия процессов устойчивого и неустойчивого разделения

5 Разработан пакет прикладных программ для решения задач упругого деформирования и разделения в рамках дискретного похода

6 Изложены основные положения полудискретного подхода к описанию процесса разделения Поставлена и решена задача о критическом состоянии упругой плоскости с вырезом при внутреннем нагружении Показана связь между описанием процесса разделения в рамках моделей математического и физического разрезов

Достоверность результатов обеспечена использованием известных математических моделей изучаемых процессов, математической строгостью постановок задач и их анализ, сравнением с известными результатами

Практическая ценность Результаты диссертации представляют интерес для теории и практики расчета процессов разделения локализующегося в тонких слоях, например, резания Они могут найти эффективное применение в научно-исследовательских организациях и конструкторских бюро, специализирующихся на расчетах и предсказаниях разрушения рассматриваемого образца, а также могут быть включены в программы спецкурсов для студентов, обучающихся по направлению «механика деформируемого твердого тела»

Апробация работы. Основные результаты докладывались на международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Россия, г Тула, 01 декабря - 2006), на семинарах кафедры математического моделирования Тульского государственного университета

Публикации Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в 3 печатных работах в журналах из перечня ВАК РФ

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и списка литературы Работа содержит 98 страниц машинописного текста и иллюстраций Библиографический список содержит 100 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность диссертационного исследования, сформулирована цель работы Изложены основные положения работы по разделам Дается характеристика научной новизны, достоверности и обосновывается ее практическая ценность

В первом разделе (главе) с термомеханических позиций рассматривается процесс образования новых материальных поверхностей В модель вводится характерный масштаб длины - толщина слоя взаимодействия, материал которого образует поверхностные слои разделенных тел

Для адекватного описания, как стадии деформирования, так и процессов, происходящих с нарушением сплошности, в подразделе 1 1 предлагается модель, основанная на следующих положениях

1 Тело в начальном состоянии представляется ансамблем 8 -элементов с характерным размером 80, распределение термомеханических характеристик в пределах элемента полагается однородным

2 Процесс деформирования продолжается до достижения аддитивной энергией Т0 критического значения хотя бы в одном £-элементе (0 — Аг переход) Также в качестве критериев разрушения 8 -элемента используются главное максимальное растягивающее напряжение или главная максимальная растягивающая деформация

3 Процесс образования новых поверхностей происходит в результате перехода материала 8 -элемента из неустойчивого однородного состояния к формированию вдоль границ 8 -элемента поверхностных слоев с энергией ДГ При этом все внешние и внутренние силы работы не совершают (узловые точки неподвижны) Действие 8 -элемента на часть тела вне его заменяется дополнительными 5 -нагрузками (к-т -переход)

4 Процесс 8-разгрузки (т-р переход) приводит к нулевым значениям 8 -нагрузок, при этом остальные, внешние по отношению к образуемому телу узловые силы остаются постоянными, если же граничные условия заданы в перемещениях, то постоянными при т-р переходе остаются перемещения граничных узловых точек, которые не были общими с узлами разрушаемого элемента

В подразделе 1 2 приведен метод построения матрицы жесткости 8-элемента в безразмерном виде на основе вариационного принципа Лагранжа и получены универсальные выражения компонент матриц жесткости 5-элемента для случаев плоского напряженного и плоского деформированного линейно упругих состояний Существенно, что использование безразмерной формы коэффициентов не требует знания конкретного значения толщины слоя взаимодействия

Во второй главе приведен алгоритм построения глобальной матрицы жесткости рассматриваемого тела Представлен метод последовательных догружений (разгрузок), описывающий процесс разделения при условии его равновесности Выделены устойчивые и неустойчивые режимы разделения

Построение матрицы глобальной жесткости начинается с узлов, пронумерованными от 1 до Я. Координат узлов {Х^, Х^") считаются известными Номера элементов е обозначены в круглых скобках (е) Для обозначения номеров узлов могут быть использованы принятые индексы 1,.), к Узлык следуют за 1-м узлом в направлении против часовой стрелки

Используя глобальные степени свободы, получаемые нумерацией степеней свободы всей конструкции {и}Т = (1,2, п = 2К) (Я- число узлов), построена матрица индексов [6] = 61у, которая имеет число строк, равных числу элементов (Ы) и число столбцов, равных 6 (число степени свободы треугольного элемента)

I к

1 2 3 4 5 6

(1) 0=1,1=2,к=16) 1 2 3 4 31 32

(К) (1,1, к) 21-1 21 2.1-1 2j 2к-1 2к

[¿к* =

4 31 32

21 -1 21 2]-\ 2) 2] 2

Значение каждого компонента матрицы [¿>] есть индекс глобальной степени свободы, соответствующей ^ой степени свободы 1-ого элемента Используя матрицу [6] в построении матрицы глобальной жесткости [С] и вектор нагрузки

{/•"} Каждый компонент матрицы жесткости элемента е-ого [А'](е| входит в компонент Стп матрицы жесткости [С] с значениями т = Ье1, п = Ье] Также каждый компонент вектора элемента индексом "е" дает вклад в компонент Рт вектора {Б} с значением т = Ье1

Таким образом, получены общая симметричная матрица и вектор нагрузки, которые входят в уравнение, описывающее процесс докритического упругого деформирования в рамках дискретной модели.

[С] {[/} = {*■} или (1)

Используются три критерия разделения упругой задачи

1- Критерий максимальной удельной свободной энергии

к,

2- Критерий максимального растягивающего напряжения

3- Критерий максимальной растягивающей деформации

„(е) >„

гпах - К

Рассмотрение процесса равновесного дискретного разделения сводится к следующим этапам

1 На первом шаге, решая систему линейных уравнений (1) к которой сводится упругая задача в дискретной постановке, находим распределение безразмерных напряжений (или энергий или деформаций) в ¿-элементах при единичной внешней нагрузке

2 Определяем в каком элементе (элементах) главное растягивающее напряжение (или энергия или главная растягивающая деформация) достигает максимального значения аг = (или у/ = 1//^, или е2 = с'2'*т) Это значение принимаем в качестве критического ак = сг'1^ (или у/к = у/или ек = г^)

3 На втором шаге коэффициенты матрицы жесткости разрушаемого элемента (элементов) полагаются нулевыми и вновь определяется напряженное

состояние пластины при той же самой единичной внешней нагрузке Р=1 В соответствии с одним из заданных критериев (например критерием максимального растягивающего напряжения) возможны два случая В первом, напряжение и, не превышает критического значения Во втором случае напряжение с2 хотя бы в одном элементе превышает критическое значение Первый случай соответствует устойчивому, а второй неустойчивому процессу разделения Находим отношение критического напряжение = ак к максимальному напряжению ст^ достигаемому на втором шаге Пусть

4 На третьем шаге, если у > 1 и процесс устойчив, то внешняя нагрузка увеличивается до значения

Ра)=Ру

Так как задача линейна, то при нагрузке Рт напряжение <т2 достигает критического значения в том элементе (элементах), где оно было максимальным, но меньшим чем критическое

5 Если же ? < 1 и процесс неустойчив, то внешняя нагрузка уменьшается до значения

р(2)=?/

В этом случае при нагрузке Рт критическое состояние достигается в том элементе (элементах), где напряжение было максимальным, но большим чем критическое

6 Аналогичным образом реализуется дальнейшая процедура определения внешней нагрузки необходимой для поддержания равновесного процесса разделения

В третьем разделе рассмотрена модель дискретного разделения плоского образца с вырезом, показанная на рис 1 Случай (а) соответствует внешнему, а (б) внутреннему нагружению

Используя описанный выше дискретный подход разбиваем пластину на треугольные 6 -элементы В силу симметрии достаточно рассматривается четвертая часть пластины, показанная на рис 2 Задача разделения решается в безразмерном виде Напряжения отнесены к начальному значению критической нагрузки, а линейные размеры к параметру 8 Таким образом единичной внешней нагрузке соответствует момент, когда разрушается хотя бы один 5 -элемент При таком походе нет необходимости знать конкретные значения параметра <5 и критической внешней нагрузки В качестве критерия разрушения (У-элемента принимаем условие достижения главным растягивающим напряжением сг2 критического значения - ак или главной деформацией е2 критического значения - ек или энергий критического значения - ц/к Материал пластины вплоть до критического состояния полагается линейно упругим.

(а) (?)

Рис 1 Модель с физическим разрезом

* А К В X,

Рис 2

В случае внешнего нагружения (рис 1 (а)) граничные условия имеют следующий вид

U2, =0,ст-12| =0, <7ц = 0,сг12. =0, сгщ =Р,(Тц =0,

\ав Л« |нс |ЙС |С d

U,, =0,ст,2, =0, 0ц =0,а,2, =0, а,« =0,<т12| =0 (2)

Pi ,/ii; [,'J- ¡M \Ы

При внутреннем нагружении (рис 1(6)) компоненты векторов перемещений и напряжений удовлетворяют условием

U21 = 0,<т12, =0, <тп, =0,ст12| =0, сг22| =0,(Т|2| =0,

С/,, = 0,(Т|2| =0, ст22| =Р,ащ =0,0-,,, =0,ст12, =0 (3)

В работе приведено сравнение результатов расчетов предложенным методом с расчетом программы АЫБУБ в начальном состоянии Результатами расчетов напряженного состояния и их сравнением с расчетом программы АМ-ЗУБ подтверждена достоверность предлагаемого метода Это является основой для решения задачи разделения в соответствии с подходом и критериями, приведенными в главе 2

На рис 3 показана зависимость изменения внешнего нагрузки от первых 30 разрушаемых вдоль отрезка АВ 8 -элементов для различных размеров образца. Кривая линия 1 определится по критерию максимальной удельной свободной энергии, кривая линия 2 - по критерию максимальной растягивающей деформации А кривая линия 3- по критерию максимального растягивающего напряжения

Вариант! а = 403. Ь = 658,1 = 58 Вариант2 а-60сУ, Ь = 655,1 = 58

V I 2 Г 3 г~

Ч ' / /

А В

1 5 10 15 20 25 30

Вариант3 а = 40<?, Ь = &55,1 = 58 Вариант4 а = 508. Ъ = 858, 1 = 58

I 2 Г г~

Ч > V / / /

А ~ - в

15 10 15 20 25 30

10 15 20 25 30

Рис 3 Процесс неустойчивого разделения на основе дискретной модели Из рис 3 видно, что во всех вариантов зависимости 1,2, 3 имеют одинаковый закон Эти зависимости внешней нагрузки от длины разреза начинаются со значения 1 и уменьшаются до нуля при длине разреза, стремящейся к краю образца В процессе разделения положение разрушаемых элементов или направление разделения для всех критериев совпадает

Во всех вариантах зависимость внешней нагрузки от длины разреза по критерию максимальной удельной свободной энергии уменьшается в наибольшей степени

Таким образом процессы внешнего разделения являются неустойчивыми для всех рассмотренных дискретных моделей, так как сопровождаются уменьшением внешней нагрузки

На рис 4 показана зависимость внутренней нагрузки от первых 30 разрушаемых вдоль отрезка АВ 5 -элементов для различных размеров образца Кривая линия 1 определяет зависимость по критерию максимальной удельной свободной энергии, кривая линия 2 - по критерию максимальной растягивающей деформации, а кривая линия 3 - по критерию максимального растягивающего напряжения

Вариант! а = 40£, Ь = 655, 1 = 58 Вариант2 а = 408, Ь = 758, 1 = 58

I 5 10 1! 15 20 25 30 И 15 щ Ц и 20 25 30 и

Вариант3 а = Ш. Ь = %55,Ы56 Вариант4- а = 40£. 6 = 955,1 = 55

Вариант5 а-70<5, Ь = 658,1 = 53 Вариант6 а = 508, Ь = 858,1 = 58

15 10 15 18 20 25 30 в ] ; ю 15 1' 20 25 30 »

Рис 4 Процесс устойчивого разделения на основе дискретной модели Из рис 4 видно, что для всех вариантов зависимости 1, 2, 3 имеют одинаковый закон Эти зависимости внутреннего нагрузки от длины разреза начинаются со значения 1 и увеличиваются до своего максимального значения в точке К, затем уменьшаются до нуля при длине разреза, стремящейся к краю образца

Положение точки К, в которой внутренняя нагрузка в процессе разделения принимает максимальное значение достигается при одинаковой длине разреза независимо от используемого критерия разделения При использовании энергетического критерия максимальное значение внутренней нагрузки является наибольшим

Таким образом в случае внутреннего нагружения в начале процесс устойчив (отрезок АК), а затем также становится неустойчивым При этом характер изменения внутренней нагрузки не зависит от конкретных значений параметра 3 и критического напряжения ак

Глава 4 работы посвящена основным положениям полудискретного подхода к описанию процесса разделения, сочетающего в себе возможности непрерывного описания областей, не подвергающихся разрушению, и дискретного подхода для разрушающейся области, постановке и решению задачи о критическом состоянии полосы с вырезом при внутреннем нагружении

Рассмотрены условия начала продвижения физического разреза (слоя взаимодействия) в линейно упругой плоскости согласно схеме, показанной на рис 5, соответствующей разрушению типа нормального отрыва при воздействии на внутреннюю область выреза

Х,=0, —а<Х{<а, а2=Р, <т12 = 0 Полагаем, что связь между напряжениями и деформациями описывается соотношениями линейной теории упругости для случая плоского деформирования В силу симметрии задачи достаточно рассмотреть только верхнюю полуплоскость (У = Х2 > д012) (рис 6), а действие слоя заменим нагрузкой на полуплоскость ц(х) = -(<т22ё2 + <5"12с, ) (здесь и далее х = ——— - безразмерная коор-

¿0

дината, д = и /?, ;,_/ = 1,2 - безразмерные напряжения, /? =--пара' ' /Г

Хг

( щ: 1 .^-гггГЛ. М1 Ж' ГГЯ,<Х> \ X

Яг,х) 01 0 М Х1

Рис 6

Соотношения Фламана связывают внешние нагрузки д12 и ап с перемещениями границы безразмерными выражениями

«,(*) = + (4)

1 ^ 12 Ь 2(1 - и) V '

и2(х) = +2 , (5)

О ^ ь 0 ^ ь

здесь м, = «,/<?„, г = 1,2 - безразмерные перемещения, Р = РР)80 - безразмерная сила на единицу толщины, М - удаленная точка с нулевым перемещением, Ь -расстояние от начала координат О до М

В силу однородности НДС по толщине слоя из условий равновесия следует, что

^ = -2а12 (6)

Перемещения границ слоя определяются из условий ' 1

й,(х)= ¡-£н(х)с1х (7)

«2 = 00' (8)

где е„=^[о-и~1у(а22+<г33)], е^ = -к<т22 -и(ап +а33)] - компоненты £ £ тензора деформации

Напряжения связаны с деформациями законом Гука

еи=Ади-Ъ а22, (9)

Е22=Аа22~Вап, (10)

Здесь А = —, В = ——--безразмерные постоянные

2 2(1 -у)

На основании соотношений (4) и (5), выражений (6)-(10), задача о нахождении критического состояния рассмотренной схемы нагружения сводится к системе интегро-дифференциальных уравнений

<х22 + Я, + Л, = л/Г1п!^и (11)

о о Iх ~ Я о

Аа11-В#22-2|ст,2(йг-^^ = 0 (12)

о Г Ч

% = -2 Зп (13)

ах

чз 4А . 2В

Здесь Л, = - / х 2 6л

(А2-В2) (А2-В2)

Представим слой взаимодействия набором квадратных 6 -элементов обобщенные напряжения сг**1 в каждом элементе на безразмерном единичном отрезке (к — \)<х <к связаны с непрерывными напряжениями следующими выражениями

i i i ан= J^ii(x)dx, cr¡2'= jól2(x)dx, а£= já21(x)dx /-i i-i /-i Для перехода к дискретной модели воспользуемся системой уравнений (11)-(13) В работе введены дискретные выражения интегральных и в результате полная дискретная модель разделения распределенными нагрузками с учетом введенных обозначений примет вид

«г« + + ^[сг«] = \РВ>,

Аст.'/'-Вст^-гл^ЬО,

'■(у) - а\',Л) + 2а\!} = О

(15)

(16)

Коэффициенты системы (14)-(16) определяются по точным рекуррентным формулам

В случае ] > г

И=2«

-(у1)21пО -«-1)+

4 М = [-20 - 01п(у -1) + о -«- 1)1п(у -1 -1) +

/—1

+С/-|+1)1пО-« + 1)]

Случай у = г

^ [<4'] = (" - ')1п(и ~ 0 - (я -' + 1)Ь(и -»+1) - -

«I 2

-0-у)21п(г-у) + -(г-у-1)21п0-7-1) + А* [а£>] = £><? [2(1 -у)1п(, -./) - О ~У ~ 1)1п(г - у -1) -

1=1

-0-у+1)¥у-/+1)] При VI,J

О' = -I/ 1п7 + ±0 -1)21п(у -1) + 1(у + г„)2 1п(У +1.) -

-|(у -1 1пО -1 ■+ О + (п ~ !я)1п(и- 1а)-пЩп)~1а

Случай у < г

А = — 2

В = -

гл-

2(1-V)

Так как рассматривается бесконечно протяженная плоскость, то дискретная модель (14)-(16) содержит бесконечное количество линейных уравнений

{п <»), дополненное граничным условием на торце х = 0, ст,'"' = 0 Отметим, что полученную модель не следует рассматривать как приближенное решение системы интегродифференциальных уравнений (11)-(13) Полученная система (14)-(16) точно описывать поведение слоя взаимодействия в рамках дискретного похода В результате задача установления момента начала разделения сводится к приближенному решению бесконечной системы линейных уравнений и оценке степени точности полученного решения При этом решению системы конечных уравнений соответствует конечная безразмерная длина слоя взаимодействия пропорциональная количеству этих уравнений

Отметим, что для получения безразмерных решений нет необходимости в знании конкретного значения толщины слоя взаимодействия Результаты решений, сравнение с другими подходами С целью численной проверки сходимости бесконечной системы уравнений (14)-(16) были проведены расчеты для различных значений длины слоя

На рис 7 и 8 представлена зависимость распределения напряжений <ти ап на первых 50 элементах при следующих расчетных характеристиках Р — 1, а = 5, ¡/ = 03 для четырех значений длины слоя п Линии 1, 2, 3, 4 по порядку соответствуют значению длины слоя и, =100, п2 =500, п3 =900, п4 =1200

Рис 7 Рис 8

Здесь такие значения стп стабилизируются в первом элементе при «>900

Из приведенных расчетов следует, что значения напряжений в первом элементе, которые являются критическими, начиная с и = 900 —1000 практически не изменяются

На рис 9 и 10 представлена зависимость распределения напряжений на первых 50 элементах при следующих расчетных характеристиках Р = 1, 3 = 5, и = 1000 для различных значений коэффициента Пуассона 7/, =0 15, и2 =0 30, ь>ъ = 0 45 Линии 1, 2, 3 по порядку соответствуют 1У„ и2,1/}

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 «

10 15 20 25 30 35 40 45 50

Рис 9 Рис 10

Из рис 9 видно, что кривые линии 1, 2, 3 приблизительно полностью совпадают, кроме критических значений напряжения в первом элементе СТу(1/,) = 1 82, а22(и2) = 1 84, а22(У3) = 1 85 Следовательно коэффициент Пуассона практически не оказывает влияния на распределение напряжения а22 в окрестности зоны предразрушения

Из рис 10 видно, что данные компоненты <7,, зависят от коэффициента Пуассона в большей степени, чем компоненты а12

Для сравнения приведено асимптотическое решение, соответствующее математическому разрезу (¿>0 = 0) Асимптотическое представление, справедливое в малой окрестности тупиковой точки имеет вид

(17)

Найдем среднее напряжение на первом 6 -элементе, исходя из распределения (17)

При а = 5, Р = 1 получим

дп = а22 = \Я0

Таким образом среднее напряжения на ¿-отрезке подсчитывания в рамках модели математического разреза существенно (почти в двое) превышает напряжение модели физического разреза

Если найти напряжения по формуле математического разреза (17) в точке х1 = 1 - на границе 8 -элемента, то получим

При а = 5, Р — 1 получим

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В целом по своему теоретическому и практическому значению проведенные исследования можно квалифицировать как новое решение важной научно-технической задачи в области математического моделирования, направленное на развитии теории механики разрушения

1 Сформулированы основные положения дискретной модели процессов деформирования и разделения Установлена связь между узловыми перемещениями 5-элемента произвольной начальной формы и его деформационными характеристиками Получены универсальные выражения компонент матриц жесткости 6-элемента для случаев плоского напряженного и плоского деформированного линейно упругих состояний

4 Рассмотрена модель дискретного разделения плоского образца с вырезом при внешнем растяжении Установлено, что процесс является неустойчивым для всех вариантов размеров образца

5 Рассмотрена модель дискретного разделения плоского образца с вырезом при внутреннем нагружении Установлено, что начальная стадия разделения, до достижения длины разреза порядка 17 <5 является устойчивой, а затем нагрузка падает с увеличением длины разреза

6 Установлено, что максимальное значение внутренней нагрузки, достигаемое в момент переход к неустойчивому режиму, является наибольшим в случае использования энергетического критерия

7 Полученные результаты могут быть использованы для экспериментального определения параметра 6. В эксперименте на внутреннее нагружение по измерениям длины разреза / , на которой процесс устойчив, можно определить параметр 8 из условия 5 = ~

8 Изложены основные положения полудискретного подхода к описанию процесса разделения Показана связь между описанием процесса разделения в рамках моделей математического и физического разрезов Поставлена и решена задача о критическом состоянии полосы с вырезом при внутреннем нагружении

Основные положения диссертации опубликованы в работах:

Маркин А. А., Дао Ван Доан. Моделирование процессов разделения // Известия Тульского государственного университета. 2006. выпуск 3. С. 8 -19.

Маркин А. А., Дао Ван Доан. Дискретная модель процесса разделения // Вестник Самарского государственного университета. 2007. №6(56). Механика. С. 71-77.

Маркин A.A., Дао Ван Доан. Задачи о критическом состоянии полосы с вырезом при внутреннем нагружении в рамках полудискретной модели // Известия ТулГу. Естественные науки. 2008. Выпуск 1. С 72-85.

Изд лиц ЛР № 020300 от 12 02 97 Подписано в печать Формат бумаги 60x84 1/16 Бумага офсетная Усл-печ л 1,2 Уч-изд л 1,0 Тираж 100 экз Заказ 122

Тульский государственный университет 300600, г Тула, пр Ленина,92

Отпечатано в редакционно-издательском центре Тульского государственного университета 300600, г Тула, пр Болдина,151

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Дао Ван Доан

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ УПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ И

РАЗДЕЛЕНИЯ В РАМКАХ ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ.И

1.1. Описание дискретного подхода, его отличие от гипотезы сплошности, дискретная модель деформирования и разделения.

1.2. Построение матрицы жёсткости 8-элемента в безразмерном виде на основе вариационного принципа Лагранжа.

ГЛАВА 2. ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ ТЕЛ ПРИ ПЛОСКОМ

НАПРЯЖЁННОМ И ДЕФОРМИРОВАННОМ СОСТОЯНИЯХ.

2.1. Построение дискретной модели процесса деформирования до начала разделения. Структура матрицы жёсткости.

2.2. Формулировка условий и критериев разделения 8 -элемента. Описание процесса разделения на основе дискретной модели. Устойчивое и неустойчивое разделение.

ГЛАВА 3. ЗАДАЧИ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЛОСКОГО ОБРАЗЦА.

3.1. Постановка и решение задачи о разделении образца ослабленного вырезом при внешнем нагружении.

3.2. Постановка и решение задачи о разделении образца при внутреннем нагружении.

ГЛАВА 4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ РАЗДЕЛЕНИЯ В РАМКАХ

ПОЛУДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ.

4.1. Описание полудискретного подхода.

4.2. Постановка задачи о критическом состоянии полосы с вырезом при внутреннем нагружении.

4.3. Результаты решений, сравнение с другими подходами.

Введение диссертация по механике, на тему "Дискретные модели процессов деформирования и разделения"

Отличительная особенность среды, находящейся в твердом (конденсированном) состоянии, наличие поверхностей, отделяющих данное тело от окружающих. В процессе внешних воздействий эти поверхности могут деформироваться без разрыва и образования новых поверхностей внутри тела.

Однако способность любого материала к увеличению расстояния между его частицами не беспредельна. Наступает критическое состояние, при котором взаимодействие между частицами прекращается, в результате чего образуются новые материальные поверхности.

Для краткости будем называть процессы образования новых материальных поверхностей разделением. Этот термин не означает, что тело обязательно должно разделиться на части, возможно, образование и внутренних полостей.

Процессы разделения, приводящие к образованию поверхностей заданной формы, должны быть устойчивыми относительно внешних воздействий. В частности, малому перемещению инструмента должна отвечать малая длина разреза, а при остановке инструмента процесс разделения должен прекращаться.

Не меньшую актуальность представляет исследование процессов неустойчивого разделения, которое может сменять процесс деформирования. Ярким примером таких процессов является разрушение тел и конструкций, представляющее разделение на части, число и форма которых являются случайными. В частности, невозможно достоверно предсказать, на сколько частей разобьется фарфоровая чашка при ударе или распадется таблетка, если ее растолочь.

Описание стадии деформирования твердых тел позволяет ставить и решать задачи прогнозирования их поведения при различных внешних воздействиях. Однако данные модели недостаточны для установления момента перехода от деформирования к разделению и к исследованию развития процесса разделения. Причиной этого является то, что в основе моделей деформируемых твердых тел лежит гипотеза сплошности. Так как при разрушении сколь угодно малое расстояние между материальными точками может стать конечным, то для исследования таких процессов необходимо выйти за рамки данной гипотезы.

Основоположником теории, описывающей момент начала образования новых материальных поверхностей, является английский ученый A.A. Гриффите [86, 87]. В двадцатых годах прошлого века им был сформулирован энергетический критерий распространения трещины в линейно упругом теле. Нарушение сплошности трактовалось как движение математического разреза - трещины. Естественно, что двух постоянных - упругих модулей, характеризующих линейно упругое изотропное тело, было недостаточно для формулирования условия разделения. В качестве дополнительной постоянной Гриффите использовал удельную поверхностную энергию. В соответствии с критерием хрупкого разделения, освобождающаяся при продвижении разреза на единицу длины упругая энергия, полностью переходит в энергию двух вновь образуемых поверхностей. Для подсчета выделяемой в окрестности кончика трещины упругой энергии использовалось решение задачи линейной упругости о растягиваемой на бесконечности упругой плоскости, ослабленной математическим разрезом заданной длинны. Это решение было получено в работах Инглиса и Мусхелишвили [49]. Парадокс заключается в том, что данное решение дает бесконечные значения напряжений в вершине разреза. Причем сингулярность имеет универсальный характер: напряжение обратно пропорционально корню квадратному расстояния, отсчитываемого от вер-шииы разреза. Коэффициент пропорциональности называют коэффициентом интенсивности напряжений.

Практическое применение теория Гриффитса получила начиная с середины XX века благодаря исследованиям Ирвина и сотрудников его лаборатории [88-90, 94, 95]. Было предложено в качестве условия разделения использовать достижение коэффициентами интенсивности напряжений критических значений, названных вязкостью разрушения. Разработанная система экспериментов позволяла определить вязкость разрушения для различных материалов. Принципиальным шагом являлось распространение данного подхода на упругопластические материалы, когда пластическая область была мала по сравнению с длинной трещины. В этом случае изменение распределения напряжений в окрестности вершины разреза по сравнению с упругим решением полагалось незначительным. Таким образом, сформировалась механика квазихрупкого разрушения. Дальнейшее развитие она получила в работах Дж. Райса [63, 98- 100] и Г.П. Черепанова[77, 71-74, 76], которые предложили новые критерии разрушения — инвариантные Л—интегралы, позволяющие рассматривать распространение трещин в рамках моделей нелинейно-упругих материалов. В работах [78-81] К.Ф. Черного, [33, 55-58] МЛ. Леонова, В.В. Панасюка, [84] Д.С. Дагдейла, [1-4, 82] П.М. Витвицкого, Г.И. Баренблатта, [14, 16, 85] Р.В. Гольдштейна, [44-46, 91, 92] Ю.Г. Матвиенко, [5-7, 83] В.В. Болотина, [24-30] И.М. Лавита вводились дополнительные силы сцепления с берегами разреза, позволяющие «погасить» сингулярность и учесть перераспределение напряжений.

Бивалентный исходному материалу обсуждалось Г.П. Черепановым и Л.А. Галиным. Вот как описывается явление полного разрушения стекла в работе [75]: "Представьте себе, что кусок твердого стекла вдруг разлетается на мелкие частицы пыли подобно взрывчатке ТНТ. Разница лишь в том, что ТНТ разлетается на молекулы порядка 10"9 м, а стеклянные частицы пыли — порядка 10"6 м или 10"5 м, и их химический состав - тот же, что и сплошного стекла". Введение данного параметра позволило рассмотреть процесс разрушения как термомеханический процесс в рамках единых определяющих соотношений. Подчеркнем, что характерный линейный размер определялся не как некоторая эффективная длина в сингулярной модели математического разреза как, например, в моделях В.В. Новожилова [51-53], Г. Нейбера, Ф. Макклинтока [93], Р.В. Гольдштейна и Н.М. Осипенко [15], Д.Д. Ивлева [18, 19], а исходя из модели, в которой трещина рассматривается как разрез физический. В статьях [10-13, 36-43] была предложена модель дискретного деформирования и разделения упругопластических тел. Следует подчеркнуть, что данная модель не является приближенным описанием процесса образования новых поверхностей по сравнению с моделью математического разреза. Она позволяет исследовать более широкий спектр процессов разделения.

Отметим, что предлагаемый подход к описанию процессов разделения отличается от дискретных моделей теории упругости, развитых в работах Н.Ф. Морозова, М.В. Паукшто, Л.И. Слепяна [48, 50, 65], где твердое тело представляется системой точек единичной массы, связанных невесомыми стержнями.

Частным случаем дискретной модели является дискретно-континуальная [9, 10, 97, 17], в которой допускается непрерывность и диф-ференцируемость термомеханических характеристик вдоль слоя разрушающихся элементов (слоя взаимодействия).

Научная новизна работы заключается в следующих основных результатах, полученных автором:

1. Сформулированы основные положения дискретной модели процессов деформирования и разделения. Получены универсальные выражения компонент матриц жесткости 8-элемента для случаев плоского напряженного и плоского деформированного линейно упругих состояний.

2. Используя развитый в методе конечных элементов подход, получен алгоритм построения глобальной матрицы жесткости рассматриваемого тела.

3. Предложен метод последовательных догружений (разгрузок), описывающий процесс разделения при условии его равновесности. Выделены устойчивые и неустойчивые режимы разделения.

4. В рамках дискретной модели решены задачи разделения плоского образца с вырезом при внешнем растяжении и при внутреннем нагружении. Определены условия устойчивого и неустойчивого разделения.

5. Разработан пакет прикладных программ для решения задач упругого деформирования и разделения в рамках дискретного похода.

6. Изложены основные положения полудискретного подхода к описанию процесса разделения. Поставлена и решена задача о критическом состоянии упругой плоскости с вырезом при внутреннем нагружении. Показана связь между описанием процесса разделения в рамках моделей математического и физического разрезов.

Результаты диссертации представляют интерес для теории и практики расчета процессов разделения локализующегося в тонких слоях, например, резания. Они могут найти эффективное применение в научно-исследовательских организациях и конструкторских бюро, специализирующихся на расчетах и предсказаниях разрушения рассматриваемого образца, а также могут быть включены в программы спецкурсов для студентов, обучающихся по направлению «механика деформируемого твёрдого тела».

Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и списка литературы из 100 наименований.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

Основные результаты четвертой главы

1. Изложены основные положения полудискретного подхода к описанию процесса разделения.

2. Показана связь между описанием процесса разделения в рамках моделей математического и физического разрезов.

3. Поставлена и решена задача о критическом состоянии упругой плоскости с вырезом при внутреннем нагружении.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Сформулированы основные положения дискретной модели процессов деформирования и разделения. Установлена связь между узловыми перемещениями 5-элемента произвольной начальной формы и его деформационными характеристиками. Получены универсальные выражения компонент матриц жесткости 5-элемента для случаев плоского напряженного и плоского деформированного линейно упругих состояний.

2. Используя развитый в методе конечных элементов подход, построена матрица индексов, связывающая глобальные номера узлов с их локальными значениями для ¡-ого ¿-элемента. Получен алгоритм построения глобальной матрицы жесткости рассматриваемого тела.

3. Предложен метод последовательных догружений (разгрузок), описывающий устойчивые и неустойчивые режимы разделения.

4. Рассмотрена модель дискретного разделения плоского образца с вырезом при внешнем растяжении. Установлено, что процесс является неустойчивым для всех вариантов размеров образца.

5. Рассмотрена модель дискретного разделения плоского образца с вырезом при внутреннем нагружении. Установлено, что начальная стадия разделения, зависит от начальных размеров образца, до достижения длины разреза порядка 13(5 до 18 6 является устойчивой, а затем нагрузка падает с увеличением длины разреза.

6. Установлено, что максимальное значение внутренней нагрузки, достигаемое в момент переход к неустойчивому режиму, является наибольшим в случае использования энергетического критерия.

7. Полученные результаты могут быть использованы для экспериментального определения параметра 6. В эксперименте на внутреннее нагружение по измерениям длины разреза 18, на которой процесс устойчив, можно I определить параметр 6 из условия 8 = .

8. Изложены основные положения полудискретного подхода к описанию процесса разделения. Показана связь между описанием процесса разделения в рамках моделей математического и физического разрезов.

9. Поставлена и решена задача о критическом состоянии полосы с вырезом при внутреннем нагружении.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Дао Ван Доан, Тула

1. Баренблатт Г.И. Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении // Журн. прикл. механики и техн. физики. 1961. №4. С. 3-56.

2. Баренблатт Г.И. О некоторых общих представлениях математической теории хрупкого разрушения // ПММ. 1964. Т.28. Вып.4. С. 630-643.

3. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Салганик Р.Л. О кинематике распространения трещин. Общие представления. Трещины близкие к равновесным // Инженерный журнал. Механика твердого тела. 1966. № 5. С. 82 92.

4. Баренблатт Г.И., Христианович С.А. О модуле сцепления в теории трещин // Инженерный журнал. Механика твердого тела. 1968. № 2. С. 69 -75.

5. Болотин В.В. Трещиностойкость материалов и континуальная механика повреждений // Доклады РАН. 2001. Т. 376. № 6. С. 760-762.

6. Болотин В.В. О распространении усталостных трещин в линейных вязкоупругих средах // Изв. АН МТТ. 1998. № 4. С. 117-127.

7. Болотин В.В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций. М.: Машиностроение, 1984. 312 с.

8. Бриджмеп П. Исследование больших пластических деформаций и разрыва. М.: ИЛ, 1955.444 с.

9. Гаврилкина М.В., Глаголев В.В., Маркин A.A. К решению одной задачи механики разрушения // ПМТФ. №4. 2007. С. 121-127.

10. Глаголев В.В., Кузнецов К.А., Маркин A.A. Модель процесса разделения деформируемого тела // Известия РАН. МТТ. 2003. № 6. С.61 -68.

11. Глаголев В.В., Маркин A.A. Модель установившегося разделения материального слоя // Известия РАН. Механика твердого тела. 2004. №5. С. 121-129.

12. Глаголев В.В., Маркин A.A. Об одном способе определения связей между критическими значениями характеристик процесса установившегося разделения материала // Проблемы прочности. 2006. №2. С. 47-58.

13. Глаголев В.В., Маркин A.A. Оценка толщины слоя взаимодействия как универсального параметра материала // Известия РАН. Механика твердого тела. 2006. №5. С. 194-203.

14. Гольдштейн Р.В., Осипенко Н.М. Балочное приближение в задачах отслоения тонких покрытий // Известия РАН. МТТ. 2003. № 5. С. 154 -163.

15. Гольдштейн Р.В., Осипенко Н.М. Разрушение и формирование структуры // Доклады АН СССР 1978 - Т. 240 - №4 - С. 829-832.

16. Гольдштейн Р.В., Перельмутер М.Н. Рост трещин по границе соединения материалов // Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского. М.: ФИЗМАТЛИТ. - 2003.- С. 221-239.

17. Ентов В.М., Салганик P.JI. К модели хрупкого разрушения Прандтля //

18. Изв. АН СССР. МТТ. 1968. № 6. С. 87-99.

19. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред. В 2 т. Т. 2. Общие вопросы. Жесткопластическое и упругопластическое состояние тел. Упрочнение. Деформационные теории.Сложные среды. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 448 с.

20. Ивлев Д.Д. О теории трещин квазихрупкого разрушения //ПМТФ. 1967. № 6. С. 88-128.

21. Качанов Л. М. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. 312 с.

22. Костров Б.В. Неустановившееся распространение трещины продольного сдвига// ГТММ. 1966. Т.30. Вып. 6.

23. Костров Б.В., Никитин Л.В., Флитман Л.М. Механика хрупкого разрушения // Известия АН СССР, Механика твердого тела. 1969. №3. С. 123131.

24. Крауч С, Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела: Пер. с. англ. М.: Мир, 1987. 328 с.

25. Лавит И.М. Об устойчивом росте трещины в упругопластиче-ском материале // Проблемы прочности. 1988. №7. С. 18-23.

26. Лавит И.М., Толоконников Л.А. Силы сцепления и J-интеграл // Изв. Сев. Кавказского науч. Центра высш. школы. Естественные науки. 1985. №1. С. 28-30.

27. Лавит И.М. Граничное интегральное уравнение для криво линейной краевой трещины //ПММ. 1994. Т.58. Вып.1. С. 146-154.

28. Лавит И.М. Рост трещины в условиях квазихрупкого разделения при монотонно возрастающей и циклической нагрузках // Известия РАН. МТТ. 2001. № 2. С. 109-120.

29. Лавит И.М. Энергетический баланс окрестности кончика трещины в уп-ругопластической среде // Известия РАН. МТТ. 2001. № 3. С. 123-131.

30. Лавит И.М., Толоконников Л.А. О расчете коэффициентов интенсивности напряжений методом конечных элементов // Прикладная механика. 1983. №9. С.110-113.

31. Лавит И.М., Толоконников Л.А. Термоупругопластическая задача механики разрушения для пологоцилиндра с внутренними трещинами // Прикл. проблемы прочности и пластичности. Методы решения. Горький: Изд-во Горьковского ун-та. 1990. С.55-60.

32. Лебедев A.A., Чаусов Н.Г. Феменологические основы оценки т-рещиностойкости материалов по параметрам спадающих участков диаграмм деформирования // Проблемы прочности. 1983.№ 2.С.6-10.

33. Лебедев A.A., Чаусов Н.Г. Евицкий Ю.Л. Методика построения полных диграмм деформирования листовых материалов // Проблемы прочности. 1986. № 9. С.29-32.

34. Леонов М.Я., Панасюк В.В. Развитие мельчайших трещин в твердом теле // Прикладная механика. 1959. Т. 5. № 4. С. 391-401.

35. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

36. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 939 с.

37. Маркин A.A. Об изменении упругих и пластических свойств при конечном деформировании // Известия РАН. МТТ. 1990. - № 2. - С 120-126.

38. Маркин A.A., Глаголев В.В. К выбору критерия направленного разделения упруго пластических материалов // Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского. М.: ФИЗ-МАТЛИТ. 2003. С. 546-554.

39. Маркин А. А., Дао Ван Доан Дискретная модель процесса разделения // Вестник Самарского государственного университета. 2007. №6(56). Механика. С. 71-77.

40. Маркин А. А., Дао Ван Доан Моделирование процессов разделения // Известия Тульского государственного университета. 2006. выпуск 3. С 8-19.

41. Маркин A.A., Дао Ван Доан. Задачи о критическом состоянии полосы с вырезом при внутреннем нагружении в рамках полудискретной модели // Известия ТулГу. Естественные науки. 2008. Выпуск 1. С 72-85.

42. Маркин А. А., Сотников К. Ю. Механика сплошной среды. Издательство ТулГу, 2004. 130 с.

43. Маркин A.A., Глаголев В.В. Термомеханическая модель дискретного разделения упругопластических тел // Изв. ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. Том 12. Вып. 2. 2006. С. 103-129.

44. Маркин A.A., Соколова М.Ю. Термомеханические модели необратимого конечного деформирования анизотропных тел // Проблемы прочности. 2002. №6. С. 5-13.

45. Матвиенко Ю. Г. Модели и критерии механики разрушения. М.: Физ-матлит, 2006. 328 с.

46. Матвиенко Ю.Г. Двухпараметрический критерий разрушения в связи с упрочнением материала // Заводская лаборатория. 1986. № 9. С. 60-62.

47. Матвиенко Ю.Г. Физика и механика разрушения твердых тел. М.: Эди-ториал УРСС, 2000. 74 с.

48. Морозов Е. М. Механика разрушения упругих тел. М.: МИФИ, 1984. 80 с.

49. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. Проблемы механики разрушения твердых тел. Спб. 1997. 132 с.

50. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

51. Назаров С.А., Паукшто М.В. Дискретные модели и осреднение в задачах теории упругости. Л. , 1984. 93 с.

52. Новожилов В.В. К основам равновесных трещин в хрупких телах // ПММ. 1969. № 5. С. 797-812.

53. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности // ПММ. 1969. № 2. С. 212-222.

54. Новожилов В.В., Кадашевич Ю.И. Микронапряжения в конструкционных материалах. Л.: Машиностроение, 1990.-222 с.

55. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир. 1976. 464 с.

56. Панасюк В.В. О современных проблемах механики разрушения // Физ. хим. механика материалов. 1982. № 2. С. 7-27.

57. Панасюк В.В. Механика квазихрупкого разрушения материалов. Киев: Наук, думка, 1991. - 416 с.

58. Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. Киев: Наук, думка, 1968. 246 с.

59. Панасюк В.В., Андрейкив А.Е., Ковчик СЕ. Методы оценки трещино-стойкости конструкционных материалов. Киев: Наук, думка, 1977. 278 с.

60. Парис П. С. Анализ напряженного состояния около трещин, веб. «Прикладные вопросы вязкости разрушения», «Мир», М. 1968.

61. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. М. Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1974. 416 с.

62. Петров Ю.В. О "квантовой" природе разрушения хрупких сред // Докл. АН. 1991. Т. 321. №1 С. 66-68.

63. Пирумов У. Г. Численные методы. Издательство "МАИ", Москва 1998. 187 с

64. Райе Дж. Р., Джонсон М. Влияние больших геометрических изменений у конца трещины на разрушение в условиях плоской деформации. Механика (сб. пер.). 1973. № 6. С. 94-119.

65. Сегелинд Л. Применение методов конечных элементов. Издательство "МИР", Москва 1979. 392 с.

66. Слепян Л.И. Динамика трещины в решетке // Доклады АН СССР. 1981. Т.258. №3

67. Стружанов В.В., Миронов В.И. Деформационное разупрочнение материала в элементах конструкций. Екатерин бург: УрО РАН, 1995. 190 с.

68. Стружанов В.В. Об одном подходе к изучению механизма зарождения трещин//ПМТФ. 1986. №6. С. 118-123.

69. Стружанов В.В. Об одном подходе к исследованию разрушения механических систем // Проблемы прочности, 1987. № 6. С.57-63.

70. Тимошенко С. П., Дж. Гудьер Теория упругости. М.: ГИ Физ.-Мат. Лит. 1979.560 с.

71. Фридман Я. Б. Механические свойства металлов. 4.1. Деформация и разрушение. М.: Машиностроение, 1974. 472 с. 1

72. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.

73. Черепанов Г.П. О распространении трещин в сплошной среде//ПММ. 1967. Т.31.С. 476-488.

74. Черепанов Г.П. Некоторые проблемы развития трещин в упругопласти-ческих и вязких средах // Концентрация напряжений. Киев: Наук, думка. 1971. Вып. 3. С. 191-195.

75. Черепанов Г.П. О закритических деформациях // Проблемы прочности. 1985. №8. С. 3-8.

76. Черепанов Г.П. Саморазрушение // Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород. Сборник статей к 75-летию Е.И. Шемякина. М.:ФИЗМАТЛИТ. 2006. С. 142-152.

77. Черепанов Г.П. Современные проблемы механики разрушения // Проблемы прочности. 1987. № 8. С. 3-13.

78. Черепанов Г.П., Ершов JI.B. Механика разрушения. М.: Машиностроение, 1977. 221 с.

79. Черных К.Ф. О нелинейной теории трещин // ПММ. 1988. Т. 62. Вып. 5. С. 871-883.

80. Черных К.Ф. Введение в физически и геометрически нелинейную теорию трещин. М.: Наука, 1996. 288 с.

81. Черных К.Ф. Нелинейная сингулярная упругость. Часть 2. Приложения. Спб., 1999. 195 с.

82. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости и ее применение к физически и геометрически нелинейной теории трещин// Успехи механики. 1989. Т. 12. №4. С. 51-75.

83. Barenblatt G.I. On a model of small fatigue cracks // Eng. Fract. Mech. 1987. - V.28. - №5/6. - P. 623-626.

84. Bolotin V.V., Lebedev V.I. Analytical model of fatigue crack growthretardation due to overloading // International Journal of Solids and Structures. 1996. №9. P. 1229-1242.

85. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits.- J. Mech. and Phys. Solids. 1960. - V.8. - № 2. - P.100-108.

86. Goldstein R.V., Perelmuter M.N. Modeling of bonding at the interface crack // Internal J. of Fracture. 1999. - V. 99. -№1-2. -P. 53-79.

87. Griffith A. A. The theory of rupture // In: Proc. 1st INt. Congr. Appl. Delft. 1924. P. 55-63.

88. Griffith A.A. The phenomenon or rupture and flow in solids // Phil. Trans. Roy. Soc, Ser. A. 1920. V. 221. P.163-198.

89. Irwin G. R. Analysis of stresses and stain near the end of a crack traversing a place // J. Appl. Mech. 1958. V. 24. № 3. P. 361 364. (Discussion // J. Appl. Mech. 1958. V. 25. № 2. P. 299 - 303).

90. Irwin G.R. Relation or stresses near a crack to the crack extension force // Proc. 9th Int. Congr. Appl. Mech. Brussels. 1957. V. 8. P. 245-251.

91. Irwin G.R. Plastic zone near a crack and fracture toughness. 7th Samagore Ardance Materials Research Conference. Syracuse: Syracuse Univ. Press, 1960.

92. Matvienko Yu. G., Morozov E. M. Some problems in linear and non-linear fracture mechanics // Engineering Fracture Mechanics. 1987. V.62. P. 127138.

93. Matvienko Yu.G., Makhutov N.A. Strength and survivability analysis in engineering safety for structures damaged by cracks // Int. J. Vessels and Piping. 1999. V. 76. P. 441-444.

94. McClintock F.A. Ductile fracture instability in shear // J. Appl. Mech. 1958. V. 25. P. 581-588.

95. Nemat-Nasser S., Hori M. Void Collapse and Void Growth in Grystalline Solids // J. Appl. Phys. 1987. V.62. №7. P. 2746-2757.

96. Orowan E. O. Proc. Symposium on internal stresses in metals and allows. London: Institute of Metals, 1948, P. 451.

97. Pictruszczac S., Stolle D. Deformation of strain softening materials. Pt. Modelling of strain softering response // Comput. And Geotechn. 1987. №2. P. 109- 123.

98. Prandtl L. Ein Gedankenmodell für den Zerreibvorgand spröder Körper. ZAMMBd. 13. 1933. S. 129-133.

99. Rice J.R. Some mechanics research topics related to the hydrogen em-brittlement of metals // Corrosion. 1976. V. 32. № 1. P. 22-26.

100. Rice J.R. The elastic-plastic mechanics of crack extension // Int. J. Fracture

101. Mech. 1968. V. 4. № 1. P. 41-47.

102. Rice J.R., Johnson M.A. The role of large crack tip geometry changes in plane strain fracture // Inelastic Behaviour in Solids. New York: McGraw-Hill. 1970. P. 641-672.