Модель образования новых материальных поверхностей и ее применение для постановки и решения задач деформирования и разделения упругопластических тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Глаголев Вадим Вадимович

МОДЕЛЬ ОБРАЗОВАНИЯ НОВЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ПОСТАНОВКИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗДЕЛЕНИЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ

Специальность 01.02 04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Тула 2005

Работа выполнена на кафедре «Математическое моделирование» механико-математического факультета Тульского государственного университета

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А.А. Маркин

доктор физико-математических наук, профессор В.Б. Пеньков

доктор технических наук, профессор Е.М. Морозов

доктор физико-математических наук, профессор В.И. Астафьев

Ведущая организация:

Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

Защита диссертации состоится «31» января 2005 года в 12_часов на

заседании диссертационного совета Д.212.271.02 Тульского государственного университета по адресу: 300600, ГСП, Тула, пр. Ленина, 92

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета

Автореферат разослан

■ Л» 200$-.

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Образование новых материальных поверхностей, когда материал исчерпывает несущую способность, происходит при разрушении конструкций, и в таких технологических процессах, как резание, вырубка экструзия и т. д. Если при разрушении, как правило, необходимо определить момент критического состояния, то решение технологических задач требует описания процесса с учетом различных физических свойств материала и конечности деформирования Технические теории процессов лезвийной обработки используют модель жесткопластического тела В этом случае рассматривается стационарная фаза обтекания резца материалом с разрывным полем ско ростей в точке контакта с инструментом Часть материала (стружка) после разделения существенно деформируется, и поэтому значительная работа затрачивается на эту деформацию, меньшая - на образование новых поверхностей В трудах Н Н Зорева, В Ф Боброва, А М Розенберга, В А Кривоухова, М И Клушина, А И Исаева, Т Н Лоладзе, М Ф Полетики, В А Кудинова, В А Тимошенко и других отечественных ученых, а также зарубежных исследователей М Мерчанта, П Оксли, К Хитоми, С Кобаяши, Е Томсена и других была создана система взглядов на основные положения процесса резания Отметим, что описание разделения на основе жесткопластической модели не требует никаких дополнительных соотношений Здесь главным является оценка сил резания, а не внутренний механизм разрушения

Изучение разрушения, его механизмов и физических аспектов в настоящее время является предметом исследования как механики сплошной среды без особых точек, копа наступление предельного состояния относят к окрестности точки континуума, так и линейной и нелинейной механики разрушения для тел с трещиноподобными дефектами

Формулировки первых условий предетьного состояния материалов для тел без трещин можно найти в работах таких ученых, как Г Галилей, Г В Лейбниц, М Сен-Венан, Ш А Кулон, О Мор, Е Бельтрами Над данной проблемой работали Я Б Фридман, Д Дракер, В Прагер, И Н Миролюбов, К Н Кан, Ю С Первушин, А А Лебедев, I С Писаренко, Б И Ковальчук В П Баг-мугов, Е П Богданов, А В Карасев, М Н Захаров и ряд других отечественных и зарубежных исследователей Подчеркнем, что формулировка данных условий определяет критическое состояние в окрестности точки и не рассматривает дальнейшую эволюцию разрушения в частности, процесс формирования новых материальных поверхностей

Первые фундаментальные результаты в механике разрушения относятся к началу XX века Здесь следует отметить раюоту А. Гриффитса, в которой трещина моделируется математическим разрезом а напряженно-деформированное сосюяние описывается в рамках линейной теории упругости В критическом состоянии по Гриффитсу приращение работы внешних сил не компенсируется приращением упругой энергии, а часть работы расходуется на приращение поверхностной энергии значение которой является универсальной для данного

материала постоянной. Широкое практическое применение данная теория получила после 1957 года, когда Дж. Ирвин на основе использования сингулярных решений линейной теории упругости установил связь межу работой, затрачиваемой на разрушение, и критическим значением коэффициента интенсивности напряжений (вязкости разрушения). Достижение коэффициентом интенсивности напряжений предельного значения (постоянного для каждого материала) трактовалось как начало образования новых поверхностей при хрупком (упругом) и квазихрупком упругопластическом разрушении, когда пластическая область мала по сравнению с размерами тела и длиной трещины и, значит остаются справедливыми соотношения линейной 1еории упругости. Линейная теория разрушения стала классической. Дальнейшее развитие она получила в работах Л.И. Седова, Ф. Макклинтока, Е. Орована, В.В. Новожилова, Д.Д. Ив-лева, Л.В. Ершова, А.Я. Красовского, Л.Ю. Ишлинского, Н.А. Махутова, А.Г. Козлова, Н.Ф. Морозова, Е.М. Морозова, В.З. Партона, A.M. Линькова, А.А. Андрейкива, Р.В. Гольдштейна, Ю.Г Матвиенко и ряда других отечественных и зарубежных исследователей. Ограниченность критерия Ирвина обусловлена использованием для описания докритического и критического состояний аппарата линейной теории упругости и необходимостью существования дефектов типа математическою разреза. Более общие интегральные критерии разделения, справедливые и в рамках нелинейной теории упругости, связаны с именами Дж. Райса, Г.П. Черепанова. Описание разрушения в рамках нелинейной теории упругости приводится в работах К.Ф. Черныха. Использование интегральных критериев для упругопластических материалов ограничено, как и применение критерия Ирвина, условием малости зоны пластического деформирования в окрестности концевой точки. Впервые, в 1959 году, переход к непосредственному учету пластическою деформирования был проведен М.Я. Леоновым и В.В. Панасюком и несколько позже Д.С. Дагдейлом. Существенным отличием данного подхода была конечность напряжений в примыкающей к кончику разреза пластической зоны. Это позволило использовать деформационный критерий начала процесса образования новых поверхностей Теории разрушения, исключающие бесконечные значения напряжений в упругих моделях, были предложены С.А. Христиановичем, Г.И. Баренблатом, Л. Прандтлем, В.М. Битовым, Р.Л. Салгаником. Модель развития трещины с учетом сил сцепления в упругопластических телах была предложена И.М. Лавитом.

Таким образом, в настоящее время существуют три практически не связанных между собой подхода к описанию процессов разделения деформируемых тел. Данные подходы, во-первых, не учитывают реальные свойства материала, определяющие его поведение на всех стадиях деформирования вплоть до разрушения, в том числе достижение деформациями и поворотами больших значений. Во-вторых, мало изучены критерии перехода тела, в котором отсутствуют трещиноподобные дефекты, от процесса деформирования без нарушения сплошности к образованию новых материальных поверхностей. В-третьих, не установлена применимость того или иного критерия в зависимости от формы разделяемого тела, начальных и граничных условий. В силу указанных причин представляется актуальным рассмотреть )волюцию (зарождение и прояви-

жение) поверхности разрыва в телах без начальных дефектов. Необходимо установить энергетический баланс разделения с учетом энергии вновь образованных поверхностей и возможной диссипации упругопластического тела на масштабном уровне, где остаются справедливыми соотношения механики сплошной среды

Представленные в работе исследования проводились в рамках работ по трантам РФФИ: проекты №01-01-96011-р2001центр_а "Термомеханическая модель процессов разделения материалов", №04-01-96700-р2004центр а "Разработка методов математического моделирования процессов обработки давлением и резанием на основе соотношений, определяющих свойства металлических материалов в широком диапазоне термомеханических воздействий", №04-01-00247-а "Математическая модель образования и докритического роста трещины".

Цель работы. Построение и исследование модели, описывающей поведение упругопластических тел на всех стадиях процесса деформирования, включая образование и эволюцию новых материальных поверхностей.

Научная новизна работы.

1 Построена модель, описывающая поведение материала, как на стадии устойчивого деформирования, так и в процессе, приводящем к прекращению взаимодействия между частицами среды.

2. Введено понятие слоя взаимодействия как материального объема, который переходит в состояние разупрочнения. Предложены опенки толщины слоя через известные характеристики материала и программа экспериментов по ее определению.

3. На основе термомеханического анализа процесса стационарного симметричного разделения определены поверхностная энергия через толщину слоя взаимодействия и критические значения термомеханических характеристик. Установлены критические значения /-интегралов и возможности их использования в качестве критериев разделения.

4 Поставлены и решены задачи разделения двухконсольной балки (ДКБ-образца) и плоскости симметричной сосредоточенной внешней нагрузкой как для обратимою поведения материала вне слоя, так и в случае конечного упру-гопластического деформирования.

Практическая ценность. Предложенная модель позволяет рассмотреть докритическое деформирование упругопластического тела и эволюцию поверхности разрыва. В связи с этим возможно применение результатов работы к описанию процессов управляемого разделения, лезвийного стружкообра-зования без ограничения на деформацию и механических свойств материала.

Анализ стационарной фазы процесса образования новых материальных поверхностей позволил ввести в рассмотрение выражение типа интеграла и выявить распределение термомеханических характеристик, при которых /-интеграл является инвариантным и может служить критерием разделения

Результаты работы могут быть использованы в учебных курсах по механике сплошной среды и теории разрушения.

Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечиваются строгостью использованных математических методов, применением фундаментальных законов механики и сравнением получаемых результатов с уже имеющимися известными решениями в изученных, в том числе классических, случаях.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы доложены на Всероссийской научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики" (Тула. 2001, 2002, 2003, 2004), Двенадцатой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2002), V Международной конференции "Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения" (Санкт-Петербург, 2003), на семинаре по механике деформируемого твердого тела в ТулГУ (2004, рук. Маркин А.А.) и МГУ(2004. рук. Кийко И.А.).

Публикации. По теме диссертации опубликована 3 1 печатная работа.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 201 наименования и содержит Q страниц,^¡Л рисунков и 1 таблицу.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулирована цель работы, дано обоснование ее актуальности. Приведен краткий обзор работ, связанных с рассмотрением разделения в рамках различных вариантов теории трещин. В частности, проведен анализ работ А. Гриффитса, Дж. Ирвина, Е. Орована, С.А.Христиановича. Г.И. Баренб-латта. В.В. Панасюка, М.Я. Леонова, Д. Дагдейла, Е.М. Морозова, В.З. Партона, Г.П. Черепанова, Дж. Райса, В.В. Новожилова, В.М. Александрова, Н.Ф. Морозова, В.М. Мирсалимова, И.М. Лавита и др. Приведены подходы к исследованию процесса разрушения с учетом стадии разупрочнения материала, предложенные в работах ВВ. Стружанова, А.А. Лебедева, A.M. Линькова, В.В. Болотина и др.

В первой главе для описания поведения материала вплоть до разрушения предлагается рассматривать наряду с устойчивым (по Дракеру) поведением матер нала стадию неустойчивого деформирования (разупрочнения). На стадии устойчивою деформирования, когда Sv--W>0, используются определяющие соотношения в виде

где - яуманновская производная девиагора тензора истинных напряжений, девиаторная составляющая тензора скорости деформации 0 = \У Е, К

модуль объемного сжатия,

Е - гидростатическое давление, Э- пара-

метр упрочнения, О(э) - сдвиговой модуль, 0(э)=01 при ¡5 8<Г5, С(э)-Ор при предел текучести

Соотношения, моделирующие поведение материала на стадии разупрочнения, когда представляются в виде

(2)

1р = -Кн6>,

где К( )>0 в, )>0 - постоянные параметры в процессе неустойчивого деформирования

Критерием перехода от стадии устойчивого деформирования к разупроч нению считается достижение главной положительной компонентой тензора Генки значения Г<к' = Г. > Г? > Г

2 - 1 з

Предлагается схема разделения тела, ограниченного поверхностями £ и Х1=±сот/, когда движение внешней нагрузки приводит к образованию новых поверхностей вдоль заданного направления Нагрузка может быть интерпретирована как воздействие инструмента на обрабатываемую деталь Направление разделения ортогонально главному направлению максимального растяжения Дальнейшее рассмотрение ограничим деформациями, при которых поверхность разде гения есть плоскость ОХ^Х^ (рис 1), при этом внешняя на грузка и напряженно деформированное состояние (НДС) тела симметричны относительно данной плоскости

Рис 1 Схема симметричного направленного разделения

В недеформированном состоянии, предшествующем разрушению, в окрестности поверхности разделения выделим слой толщиной ограниченный

поверхностями: х2=±^°2 ■ Толшина слоя принята за параметр, характеризующий свойства данного материала. При описании НДС слоя примем следующие допущения:

1. НДС слоя однородно в направлении, ортогональном поверхности разделения, и совпадает с НДС на поверхности разделения.

2. Слой включает материал, который впоследствии перейдет в стадию разупрочнения. Таким образом, данный слой определяется как область локализации процесса разрушения.

Слой, с указанными выше свойствами, принимаем в качестве слоя взаимодействия.

С учетом принятых допущений в слое взаимодействия главные оси деформаций совпадают с одними и теми же материальными волокнами и с главными осями тензора напряжений. Из соотношений (1) следует связь между главными значениями тензора напряжений и тензора Генки в стадии устойчивого деформирования:

1

где 1 = 1 + 1 Ек ЗО(э) 9К

Г,= 1 ^-у^+Бз),

Ьк

Г2 = е'к (Б2+53), Гз=е! ^-У^+З,),

1

(3)

V =Е«( 1 - 1 ) ' к 3 кЮ(э) ЗК;'

Соотношения между приращениями главных значений в стадии разупрочнения для (2) примут вид

П :

Ь.г

ГИ-е1 (^-у^ + в;),

(4)

1

1

ГДС Еи Зв,

1

9К/

V =Е"( 1

1

),г; = г,-г|к\

ЗК

Л-)

б; = э, - ¡ = 1,2,з.

Индексом к обозначены критические значения напряжений и деформаций, соответствующие достижению максимальным положительным главным значением тензора Генки постоянной для данного материала величины нижнею критического значения, что соответствует условию перехода от устойчивого деформирования к неустойчивому. Прекращению взаимодействия соответствует верхнее критическое значение:

С учетом однородности распределения напряжения по толщине слоя, симметрии внешней нагрузки и отсутствия напряжений в точке образования новых поверхностей компоненты напряжений в слое взаимодействия для плоской деформации примут вид

5ц =5ц(Х2),533 = 833(Х2),522 =8,2 = 82, =8,3 = 83, =0. (5)

Моменту разделения предшествует образование участка разупрочнения, которое начинается по достижении удлинением Г, материального элемента, примыкающего к вершине разреза, нижнего критического значения. Дальнейшее увеличение деформации приводит к разгрузке данного материального элемента и развитию участка разупрочнения в окрестности вершины разреза. Моменту окончательного разрыва связей (8ц =0 в сечении Х2~0) будут соответствовать деформация и максимальная длина области разупрочнения. Дальнейшее увеличение внешней нагрузки приводит к образованию новых материальных поверхностей.

Во второй главе рассматривается основное термомеханическое соотношение для замкнутой материальной области, ограниченной контуром в плоскости слоя (процесс принят изотермическим). При этом контур выбирается таким образом, что в течение сколь угодно малого промежутка времени в материале, ограниченном данным контуром, не образуется новых поверхностей. В данном случае это любой контур, находящийся внутри или совпадающий с контуром В'М'М'В'Б'З'В', где (УЧ' - УМ (рис.2).

х,

М' ЫХ-2) ( \ В1 О' _ 8' \

0 -Х2 ^

В"1 О' > 1 ?о(х2> \ ^ / М' —

Рис. 2. Контуры интегрирования

При таком выборе контура разделение находящегося

внутри него материала начнется в момент /* = / + Д/. В течение же интервала разделения не будет, поэтому работа внешних сил не затрачивается на образование новых поверхностей и основное термомеханическое соотношение принимает следующий вид:

где у/ - скорость удельной (отнесенной к массе) свободной энергии; р0 начальная плотность; н'>0 - скорость удельной д и с с ип аци<и;в екто р напряжения, отнесённый к начальной площади; Г0 - длина граничного контура в не-деформированном состоянии; площадь материала в недеформированном

состоянии; V — поле скоростей на контуре.

Если же рассматривается материал, в котором с момента t образуются новые поверхности и длина ограничивающего его контура изменяется, то часть работы внешних нагрузок аккумулируется в виде поверхностной энергии с постоянной плотностью отнесенной к единице площади образуемой поверхности. В этом случае основное термомеханическое соотношение представим в следующем виде:

Д /'

где } = Lim ^ >0- скорость образования новых поверхностей, £0и f 0 соответственно площадь и ограничивающий ее контур материала в недеформиро-ванном состоянии, который подвергается разделению с момента времени t.

Отметим, что в качестве материала, описываемого соотношением (7), может использоваться материал, граница которого включает элемент О'О". В частности, это может быть материал, показанный на рис. 2 и ограниченный контуром В'М'М'В'О'О'В'.

Рассматривается процесс направленного разделения тела, ограниченного Ло

плоскостями

(см. рис.1), бесконечного протяжения

Ч 2

-°°<х2 <+°°, вызванный внешней симметричной нагрузкой. Установившийся процесс разделения приводит к образованию поверхностей разделения:

уравнение контура сечения образуемой поверхности,

заданное на луче - < х2 ^ 0'(см. рис. 1). Наряду с неподвижной координатной системой вводится подвижная декартова система координат О'Х^ХтХ'^, движущаяся с постоянной скоростью по отношению к неподвижной системе. Величина имеет смысл скорости разделения. Плоскость определяет плоскость разделения. Соответствующие недеформированному состоянию места материальных точек в подвижной системе задаем радиус-векторами а в деформированном состоянии

Если задана некоторая функция то её производная по времени

имеет вид

где V = ё, - оператор Гамильтона начального состояния. ох,

В частности, если характеристика есть поле перемещений тополе аблолютяых-енЬростей примет вид

У(Г) = -аё2-Уй = -«эЭ", (9)

Подставляя (8), (9) в (6) и (7), используя георему Остроградского-Гаусса и полагая, что поверхности образуются в направлении оси 0'Х'2, представим основное термодинамическое соотношение (6) в виде

| {р^у - • = 1а ¡*Ро ¿1« > (10)

''(0)4 ^ 5.(0)

а (7) в виде

где п^ - проекция внешней нормали к контуру на направление разделения (ось 0Х'2).

При этом выражение (10) соответствует контуру /"0, а (11) - контуру Отметим, что условия (10), (11) справедливы как для разреза конечной толщины, так и для математического разреза.

В результате пластического деформирования в слое взаимодействия и за его пределами распределена удельная (отнесенная к массе) диссипация В процессе разделения материал вне слоя взаимодействия слоя подвергается упругопластическому нагружению, упрочнению и разгрузке. Областями нагрузки называем те, областями разгрузки, -скорость удельной свободной энергии). В области, не подвергавшейся упрочнению и деформируемой все время обратимо, (диссипации нет).

В рассмотрение вводится интеграл вида

^ = ~ ^ ' эД У'0 ' (12)

где В'В" - любой контур, охватывающий область активного нагружения (1У>0), например В'Н'Ы'К'К'Ы'Н'В', показанный на рис. 3; точки В'и В* располагаются на отрезках физического разреза, свободных от внешней нагрузки.

Из (10)-(12) получаем выражения

Jc=2y + D + SQwm, (13)

Ь = <>а(чи + ™к)+(14) 1дс !//к = /^0(//(Г|<)и и>к = />„>(<11)- шачения свободной энергии и диссипации на отрезке [5'Я*]слоя вшшодействия; О - диссипация, накапливаемая в области аюивного нагружения, вне слоя взаимодействия; и'т = ;

А„ = 2 | <у(] • с/Г0 ~ работа вдоль контура, ограничивающего разупрочняю-о- 2

щийся материал (0"8"5'0' на рис 3).

Отмечено, что в случае отсутствия диссипации из представления (13) следует классическое выражение Черепанова - Райса Jc = 2у Если в выражении (13) принять, что пластическая деформация достигается лишь в слое взаимодействия (тонкая идеально упруго пластическая зона ), то получим известное значение J( - интеграла для 8^ -модели Леонова - Панасюка, Дагдейла-критическое раскрытие трещины

X',

Н' V ■> г К' 1

\\у В" о- % 0' Ц" О" Ц! ^ > 0

1г >0 ь

Я"

Н" V'

Рис 3 Шгружение и распределение термомеханических характеристик

С учетом (4) и (5) в работе получено аналитическое выражение для Ар Наиболее простой вид оно приобретает в случае малых деформаций

где - компонент линейною тензора деформаций.

Соотношение (14) определяет энергетические затраты при образовании новых поверхностей. Если рассмотреть два крайних варианта ниспадающая ветвь вертикальна (или работа на стадии разупрочнения полностью диссиииру-ет) и стадия разупрочнения проходит без диссипации, то для поверхностной энергии из (14) справедлива оценка:

Ук

«о 2 £у<*0 2 ■ 2

С учетом выражения (15) дана оценка толщины слоя взаимодействия через межатомное расстояние и предел упругости по деформациям

Отмечено, что J( -интеграл может использоваться в качестве универсального (зависящею только oт свойств материала) критерия разделения (раз-

А„

+

(15)

рушения), когда ширина полосы не влияет на зону деформируемою материала необратимо В случае разделения узких полос влияние границы может стать существенным и величина Jc -интеграла зависит от ширины полосы.

Глава 3 целиком посвящена постановкам и решению частных задач направленного разделения двухконсольной балки (ДКБ-образеца) и плоскости в линейно геометрическом приближении.

Схема разделения двухконсольной балки с физическим разрезом, равным толщине слоя взаимодействия <50, показана на рис. 4.

X,

и г О' 5' К'

и 0

X,

ь и > О" 5" К"

РГ а * ст >

Рис. 4. Модель ДКБ-образца

Решение строится в предположении, что материал каждой консоли вне слоя взаимодействия описывается соотношениями теории изгиба Кирхгоффа-Лява. Основными неизвестными являются: нижнее Рк (определяющее начало разупрочнения) и верхнее (соответствующее образованию новых поверхностей) критические значения внешнего усилия; длина области разупрочнения ст в момент начала разделения; эпюры напряжений 8](х2)в слое, отражающие взаимодействие между берегами слоя в критическом состоянии и в момент начала образования новых поверхностей. В силу симметрии рассматривается только верхняя консоль, а действие слоя взаимодействия заменяется искомой нагрузкой

Связь между напряжениями и вертикальными перемещениями точек границы с учетом (3), (4) записывается в виде

¿/^^(а + х)

с14и(х) (1х

,(111)

_ 2и(хЛ

О

с14и(х) _ 2Е

для АО', для О'Я',

(17)

с1х4

* и(х)

для 5'К'.

где О = Е ■ Ь;,/12 - жесткость консоли единичной толщины, Е - модуль Юнга материала консоли.

Интегрирование уравнений (17) с учетом затухания нремещения на участке Б'К' приводит к следующим выражениям:

и(х)= Ма+х)3 + к,х + к-> ьи

и(х) = ит +С1со$(ух) + С25т(ух) + С3е-тх +С4е"'х и(х) = е-Ях (Цсов^х) + Ь25т(Ях))

2Ё~ „ X

на АО',

на ОХ на Б'К',

где у = 4 и , Я = 4

идп

2Бдп

Постоянные С| -С4,к|,к2,Ь|,Ь2, а также значения максимальной расклинивающей силы Рт и длины слоя разупрочняющегося материала ст определяем из условий непрерывности перемещений, углов поворота, изгибающего момента и перерезывающей силы в точках О' (х=0) и Б' (х=ст), а также из

условий достижения критических деформаций е[т> и Я|(к' . Перечисление х-ст,

ные условия формируют систему десяти нелинейных уравнений, из решения которой при 0'8'=0 (что соответствует устойчивой стадии деформирования, когда можно найти также значение усилия

Получена аналитическая зависимость усилия от точки приложения сосредоточенной силы вида

Ь32

" (1 + аЯ) 2 3К|С'

(18)

где вязкость разрушения.

При произведение и формула (18) соответствует классиче-

скому выражению зависимости критического усилия от плеча ДКБ-образца

( Ру = ^ К|(-)> а 8 случае а = О приводит к конечному значению для Рк.

На рис.5 построены эпюры перемещений и(х) и нагрузки ц(х) в момент достижения перемещением максимального значения По оси абсцисс откладывалось отношение координаты к толщине слоя По ординате на рис. 5,а отложены перемещения точек границы, отнесенные к на рис. 5.6 - отношение к критическому напряжению

Анализ графиков показывает, что перемещения границы слоя взаимодействия в окрестности точки перехода материала в стадию разупрочнения монотонно убывают. В то же время имеет место резкое возрастание напряжений на отрезке критической длины О'Б', а затем их осциллирующее убывание.

05 ю 15 0 з ю 15

хАЛО3 х<50103

Рис. 5. Хрупкое закритическое деформирование

При моделировании эффекта разупрочнения вертикальной ветвью была рассмотрена задача разделения ДКБ-образца при идеально упругопластическом поведении материала слоя взаимодействия. В этом случае уравнения изгиба консоли для каждого из участков имеют вид:

В данном случае есть область идеальной пластичности материала

слоя. Интегрируя уравнения (19) с учетом условия затухания перемещений в точке получаем выражения для ноля перемещений в рамках идеальной упругопластической модели:

Из условий непрерывности перемещений, углов поворота, изгибающего момента и перерезывающей силы в точках значений пере-

мещений в точках предел упруго-

сти по деформациям) получена система нелинейных уравнений для определе-

ния длины пластической зоны /р, критического усилия Рк, а также постоянных интегрирования к|,к2,Ц,1-2 -С4.

На рис.6 показано распределение нагрузки, действующей со стороны слоя взаимодействия на консоль, при разных значениях £к (1 - для = £'} («нулевая» пластичность), 2 - для ск = 10б"1 , 3 - для £к = ЮОг, ). Из приведенной зависимости следует, что большей площадке текучести соответствует большая концевая пластическая зона.

Рис. 6. Эпюры напряжений слоя при разных пластических свойствах материала

Система уравнений, полученная из условий непрерывности перемещений, углов поворота, изгибающего момента и перерезывающей силы в точках и использовалась также для определения толщины слоя взаимодействия реальных упругопластических материалов на основе экспериментальных данных, получаемых из опытов с ДКБ-образцами. По полученному в этих экспериментах значению критической нагрузки Рк, соответствующей началу страгивания трещины, можно определить толщину слоя взаимодействия , если известны значения с'^.с'"'^.

Пренебрегая стадией разупрочнения из систем (17),(19). была получена оценка толщины слоя в виде

К1С х 2К?С 8кЕе<к> 8кЕе(к)

(20)

Левая граница неравенства (20) соответствует наличию пластической области в слое взаимодействия, а правая только обратимому деформированию вплоть до разрушения.

С позиции слоя взаимодействия решена задача разделения плоскости. В силу симметрии рассматривается только верхняя полуплоскость (рис.7), а действие нижней части заменяем искомой нагрузкой q(x), направленной противоположно вектору вертикальных перемещений. Используя решение Фламана и принцип суперпозиции, представим распределение перемещений точек границы рассматриваемой нами полуплоскости в виде

Здесь а - точка приложения силы Р: Ь - некоторое расстояние, координата достаточно л/ттяттр,нттотт точет[ (или полюса) «наблюдения», с нулевым перемещением и(Ь)^0; р = У ^ параметр материала, Е модуль Юнга вне слоя. тсЕ

Рис. 7. Схема нагружения полуплоскости

Для стадии деформирования, характеризующейся изменением перемещения точки О границы в пределах ик <и(0)<ит, расклинивающая сила будет изменяться в диапазоне Рк < Р < Рт, длина области разупрочнения - в пределах О < с < сш, а напряжения на участке [0, с] границы полуплоскости будут описываться ниспадающей ветвью диаграммы растяжения. При достижении перемещения в точке О значения ;/„,, что соответствует прекращению взаимодействия в сечении х=0, из (21) получаем систему интегральных уравнений:

где Е_ =

н Е

К O-vJ)'

В системе (22) искомыми неизвестными являются: поле перемещений верхняя критическая нагрузка длина области ра-$упрочняющегося материала ст внутри слоя взаимодействия. Для определения нижнего критического усилия в (22) следует принять ст~0 и ит =ик (что соответствует вырождению двух последних уравнений системы в одно), тогда Для численного интегрирования (22) использовался метод граничных элементов. На рис.8 показано распределение нагрузки, действующей со стороны слоя взаимодействия на полуплоскость. Отрезок ОС соответствует длине зоны разупрочнения

Рис. 8. Характер распределения нагрузки, действующей со стороны слоя взаимодействия на полуплоскость

В отличие от распределения напряженного состояния в слое при решении задачи разделения ДКБ-образца (см. рис.5) в случае разделения плоскости имеют место только растягивающие напряжения.

В рамках идеально упругопластическою поведения материала слоя взаимодействия распределение нагрузки при х > О имеет вид

, = const, 0<х <S;

q(x) = -q(x) = -

2Е

(l-v2)<50

u(x),

S < x <

(23)

Граничное интегральное уравнение (21), соответствующее распределению нагрузки в виде (23), будет

Уравнение (24) дополним граничными условиями, накладываемыми на перемещения, при достижении расклинивающей силой критического значения:

где ск- критическое значение деформации, предел упругости по деформации

Подставляя (24) в (25), получаем граничные условия следующею вида

и(0) = —Р1(31п| Ркр1п|

а

Ь + а а

[1 +

'Р

ЛР Л'

о

'Р }1п

о

Ь-с

I-<;

п£ +

2Е(3

|и(Е)11

V

(1-у-)<)0,р

№ 4-5

ь-4

(26)

(27)

Таким образом, для определения закона перемещения и(х), критической силы Р^ и длины пластической зоны /р получаем систему интегральных уравнений (24), (26) и (27)

На рис 9 показаны нагрузки, действующие со стороны слоя взаимодействия на полуплоскость, построенные для различных значений критической деформации ек (1 - для ек = г0 2-для гк =Ю£0, 3-для = 10(^о)

Ч(х)

1 00 О 75

0 50

0 25 0

1 1

У 1 1

'г3

V \

10

1п(х 103 ¿0)

100

200

Рис 9 Распределение тагрузок, действующих на полуплоскость при разных площадках текучести

Как и в случае разделения ДКБ образца, падение напряжения за пределом зоны пластичности (см рис 6) происходит быстрее в более пластичных материалах.

На рис 10 построена зависимость, отражающая изменение расстояния а oт изменения нагрузки Рдля разных значений Ек (1 Д1Я = г0 2 для

ск=10е0 3 - для гк=ЮОс0) Значения Рк на данном рисунке отнесены к величине Р0 критическому усилию полученному при а - Ю'ми гк = 10;0

Л 40 "»30 20 10 0 1

* * * < ««• *

*

« X * 1" * ,2 VI..

25

50 ,п й 75

«¡0 6м

100

Рис 10 Зависимость между длиной разреза и изменением усилия

Эту зависимость можно применить для исследования нестационарной стадии разделения Из рис 10 следует, что хрупким материалам (кривая 1) при небольшом изменении внешней нагрузки соответствует большее продвижение разреза, чем пластичным (кривые 2 и 3) Следовательно, получение разреза заданной длины зависит от отношения Да I АР Чем оно больше (для хрупких материалов), тем труднее получить разрез заданной длины, так как процесс разделения становится менее устойчивым

В главе 4 рассматривается общая постановка задач симметричного направленного квазистационарного разделения применительно к определяющим соотношениям (1), (2) Процесс конечного формоизменения описывается при помощи математической модели, в основу которой положено условие равновесного протекания процесса в виде основного вариационного соотношения

/(¿-(^К)1 5 + 0$) <?(УК)ТЛ= \[р + Р{в-п п))зРс/1',(28)

V г

где - тензор истинных напряжении и его производная по времени, «ек-тор скорости, - гензор скоростей деформаций и его первый инвариант, набла-оператор в актуальном состоянии, у Т - текущий объем рассматриваемого тела и его внешняя поверхность, вектор единичной внешней нормали, поверхностная нагрузка и ее скорость Наряду с условием равновесного протекания процесса в вариационной форме (28) система уравнений краевой задачи включает кинематические соотношения

Интегрирование системы уравнений (28)-(31) с определяющими соотношениями (1). (2) с учетом заданных граничных (33), (34) и начальных (32) условий выполнено методом конечного элемента и пошагового нагружения.

В данной главе рассматривались задачи докритическою деформирования слоя взаимодействия в рамках ДКБ-образца и плоскости симметричной сосредоточенной нагрузкой. Условие сопряжения на поверхности тела, граничащей со слоем взаимодействия в случае плоской деформации, принимает вид

2Е„

2Ь(э)

^о-уоях^+ги,)

¿и'-^Мь + ги,)

Кё, \ -SydT-

+11 (1 + ФЖИь'+ 2и.)^Г^ +1 [о + уд*, + 2и,Г

5цё, \-SVdl,

для плоского напряженного состояния -

Íp+M-n■w■п)\-дУс1};= ( ""г

" ¿■д^о + ги,) '

2Е„

- Г

2Е(э)

12 + + ^Д1ч(<50 + 2и,)/ , где поверхность, граничащая с разупрочняющимся материалом слоя,

граница с устойчиво деформируемым материалом слоя, - перемеще-

ние точек границы слоя.

В точке приложения внешней нагрузки задавалась ее скорость:

Для ДКБ-образца на остальной поверхности принималось условие

(35)

пазреза (35) и на осталыюй-

а в случае плоскости для поверху

ипгттт ( 11 ТТ'МТI П ' 1I V 1

К*(х,г) = 0, V; > 1„.

При решении задач исследовалось развитие зон диссипации при возрастании расклинивающего усилия с использованием симплексного элемента.

На рис.11 представлена эволюция области пластическою деформирования при нагружении консоли в плоском напряженном состоянии, соыасно схеме рис. 4, при следующих геометрических и

физических СС> -10"Па, Ор=ООЮу) характеристиках консоли (эффект разупрочнения не учитывался) Начало пластическою деформирования наблюдалось при нагрузке Р0 =3.42 105 , область 1 построена при Рр =1 03 , область 2 - при Рр =] 16, область 3 - при =1.17

Различия форм области пластической зоны при плоском напряженном и плоском деформированном состояниях при на1рузке показаны

на рис. 12, где 1 соответствует плоскому напряженному состоянию, 2 - плоской деформации.

Рис 12 Форма зон пластичности в ДКБ-образце

В задаче о разделении плоскости существенную роль играет расстояние точки приложения сосредоточенной силы до слоя взаимодействия. Если расстояние нулевое (сила приложена в точке то развитие пластических зон имеет вид, показанный на рис 13,а Начало пластического десЬопмияования соответствует нагрузке где 1 - область при при

м

г0

Рр = 1.35 , 3 - при Рр = 1 8 Из рис. 13,а видно, что высота области (И = 9880) почти не меняется, но существенно изменяется ее площадь На рис 13,6 форма

зон пластичности исследовалась при расстоянии точки приложения сосредоточенной силы АО' = 5050 от слоя взаимодействия Начало пластического деформирования в этом случае соответствует нагрузке Р0 =3 75 область 1 при Рр =1 06, область 2 - при Рр =1 33, область 3 - при Рр =16 Высота

пластической юны для области 1 (рис 13,6) соответствует h = 8250. Следовательно, чем ближе точка приложения сосредоточенной силы к слою взаимодействия, тем легче осуществить разделение в выбранном направлении

Рис. 13. Форма зон пластичности при разделении плоскости в состоянии плоской деформации

В заключение отметим, что в представленной работе решена научная проблема, состоящая в построении модели процесса конечного деформирования упругопластических тел, включая стадии образования и эволюции новых материальных поверхностей. В рамках модели даны постановки краевых задач и методы их решения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложен вариант соотношений, определяющий связь между напряжениями и деформациями вплоть до прекращения взаимодействия между материальными частицами, что позволило описать процессы деформирования и разрушения в рамках одной модели.

2. Введено понятие слоя взаимодействия как материальной области, которая в результате внешних воздействий переходит в стадию неустойчивого деформирования (разрушения) с однородным по толщине распределением характеристик напряженно-деформированного состояния, что позволило поставить задачи о симметричном разделении материала, дать феноменологическое определение поверхностной энергии и ввести в рассмотрение характеристику процесса разделения типа ./—интеграла.

3. Получена оценка толщины слоя как параметра структуры через известные термомеханические характеристики материала.

4. Указаны условия инвариантности ./-интеграла, приводящие к известному интегральному критерию Черепанова - Райса и деформационному критерию Леонова - Панасюка, Дагдейла. Установлены ограничения на использование интеграла в качестве критерия разделения.

5. В рамках линейно-упругого поведения материала вне слоя взаимодействия даны постановки и решения задач о разделении ДКБ образцов и плоскости. Показано, что учет стадии разупрочнения несущественно влияет на величину критического усилия.

6. В результате решения задачи о разделении ДКБ-образцов получена система уравнений, позволяющая на основе экспериментальных данных определить толщину слоя взаимодействия данного материала.

7 Дана общая постановка задачи симметричного разделения без ограниче ния на свойства материала и деформации. Определены формы зон плаСТИЧНОСТИ, соответствующие различным условиям нагружения

Основные положения диссертации опубликованы в работах:

1 Маркин Л А , Глаголев В В Моделирование процесса разделения материала // Проблемы механики неунругих деформаций Сб статей К ссмидесятиле-тию Д.Д. Ивлева М ФИЗМАТЛИТ, 2001 -С 190 193

2 Глаголев В В , Кузнецов К А Вариант модели разделения плоскости // Механика деформируемою твердого тела и обработка металлов давлением Сб науч гр Ч 2 -Тула Тул гос ун-т , 2001 -С 44 51

3 Глаголев В В , Кузнецов К А Моделирование конечного формоизменения // Известия ТулГУ Сер Математика Механика Информатика - Т 1 - Вып 5 -

2001 -С 68-82

4 Глаголев В В , Кузнецов К А , Пономарев М А Использование балочного подхода к опредедению параметра структуры и иссдедованию характеристик разделения материала//Тул юс ун-т -Тула, 2001 14 с ил Деп в ВИНИТИ 29 10 01, №2267-132001

5 Маркин А А , Гдагодев В В Вариант модели раздечения материала Упругость и неупругость. Материалы Международного научного симпозиума по пробдемам механики деформируемых тел, посвященною девяностолетию со дня рождения А А Ильюшина -М МГУ, 2001 -С 438

6 Глаголев В В , Кузнецов К А Пономарев М А Исследование разделения полуплоскости в рамках континуального подхода с выбором параметра структуры // Тул. гос. ун-т Туча 2001 - 18с ид Деп в ВИНИТИ 29 10 01,№2266-В2001

7 Глаголев В В , Маркин А А Исследование установившеюся разделения материального слоя // Известия Тульского государственного университета Сер Математика Механика Информатика- Т 7 -Вып 2 -2001 -С 5664

8 Глаюлев В В, Маркин А А Характеристика стационарного разделения плоскою с юя // Механика деформируемого твердого тела и обработка металлов давлением Часть 1 Межвуз сб науч тр Тута Изд-во ТулГУ, 2002 -С 9-16

9 Глаголев В В Термомеханические характеристики стационарного разделения сплошной среды // Математическое моделирование и краевые задачи Труды Двенадцатой межвузовской конференции Часть 1 - Самара

2002 -С 48-51

10 Глаголев В В Термомеханический анализ и постановка частых задач на правленного разделения Монография Тула Тул. гос. ун-т 2002 - 91с

11 Глаголев В В Нелинейный анализ и определение характеристик стационар ною разделения сплошной среды // Известия Тульскою государственного университета Сер Математика Механика Информатика Т 8 - Вып 2 Механика - 2002 С 65 72

12 Глагодев В В Шершов ДЛ Кривснков В А Оценка области дисспации в процессах направ энного раз (е (ения / Известия Тульского юсударс!венно

iо университета Серия Ма1смагика Механика Информатика Т8 Вып 2 Механика - 2002 - С 72 77

13 Г таго icb В В Кузнецов К А Эволюция направленною разде тения в рамках кошинуальною подход к разрушению // Механика деформируемого твер тою тс ia и обрабогка Mciaji юв ивлснием Часть 2 Межвуз сб науч тр Ту m Изд-во Ту ]ГУ 2003 С 28 32

14 Глаголев В В Кузнецов К А Упруготастическое разде тение слоя взаимо-деиствия в модели ДКБ образца // Механика деформируемого 1вердого тсда и обработка металлов давлением Часть 2 Межву! сб науч тр Тула Изд-во ТулГ У, 2003 -С 11-14

15 Глаюлев В В Варианл модели разделения в рамках континуальною подхода к разрушению // Известия высших учебных заведений Северо-Кавказский регион Рстественные науки Приложение - 2003 -JV'l С 10 17

16 Глаюлев В В Об одном подходе к описанию направленного разделения среды // Вестник Новосибирского государственного университет Сер Математика Механика Информатика 2003 - Т 3 - Вып 1 -С 10-18

!7 Г тголев В В Линейный анализ стационарного разделения материального с гоя // Вестник Самарского государственного аэрокосмического универси тета 2003 - МЬ1(3) -С 129 134

18 Глаюлев В В Маркин А А О свойствах стационарного направленною раз-1,еления Научно технические проблемы прогнозирования наделносли и долговечности конструкций и мею(ы их решения/Труды V Международной конференции СПб Изд во СПбГПУ 2003 С 139 141

19 Маркин А А Глаюлев В В Термомеханический анализ процессов направленного разде гения // Проблемы нелинейной механики Сборник статей К восьми десятилетию Jl А Толоконникова ТудаТулГУ 2003 - С 230-242

20 Глаголев В В Mo 1ель разде тения двухконсольной балки в континуальном подходе к разрушению / Вестник Нижегородского университета им H И Лобачевского Серия Механика 2003 - Вып 1(5) - С 142 145

21 Глаголев В В Кузнецов К А Маркин А А Модель процесса разделения деформируемого тела//Известия РАН МТТ 2003 №6 - С 61-68

22 Маркин А А I jiai о ¡ев В В К выбору критерия направленною разделения упруюгпастических материалов ! Проблемы механики Сб статей К 90 1егию со дня рождения А Ю Ишлинского M ФИЗМАТЛИТ 2003 -С 546 554

23 TiaroicB В В Маркин А А Модель установившегося разделения матери ального слоя//Известия РЛН МТТ 2004 - N"o5 С 121 129

24 Г таголсв В В Поверхностная энергия и J-интегра i в процессе стационарного раз ie тения среды // Известия Тульскою государственного университета Сер Математика Механика Информатика Т 10 Вып 2 Механика 2004 - С 31 42

Изд лиц ЛР № 020300от 12 02 97 Подписано в печать 22 12 04 Формат бумаги 60x84 7)ь Бумага офсетная Уел печ л 1,5 Уч-изд л Тираж 100 'жч Закат

Тульский тсударпвенный университет 300600,1 Туи, проси Ленина, 42

Отпечатано в Изда!ельс1ве Тул1 У 300600, г Тула, у.1 Ьолдина, 151

395

введение

ГЛАВА 1. основные положения теории процессов конечного деформирования. вариант определяющих соотношений стадии разупрочнения. определение слоя взаимодействия. его напряженное и деформированное состояние.

1.1. Меры деформаций и напряжений.

1.2. Уравнения движения, законы сохранения, основные положения термомеханики

1.3. Вариант определяющих соотношений деформирования материала вплоть до разрушения.

1.4. Определение слоя взаимодействия. Его напряженное и деформированное состояние

ГЛАВА 2. термомеханика процесса стационарного * направленного разделения

2.1. Кинематика процесса стационарного направленного разделения.

2.2. Термомеханика стационарного разделения.

2.3. Оценка толщины слоя взаимодействия. Сопоставление полученных результатов с известными критериями.

ГЛАВА 3. постановка частных задач без учета пластических деформаций вне слоя взаимодействия

3.1. Задача о разделении двухконсольной балки

3.1.1. Анализ стадии докритического деформирования

3.1.2. Учет стадии разупрочнения.

3.1.3 Идеальная упругопластическая модель поведения слоя взаимодействия при разделении ДКБ-образца.

3.1.4. Определение толщины слоя взаимодействия по испытаниям на ДКБ-образцах.

3.2. Постановка задачи разделения плоскости.

3.2.1. Численное решение задачи разделения плоскости.

3.2.2. Результаты решения задачи разделения плоскости.

3.2.3. Разделение плоскости при идеально упругопластическом поведении слоя

ГЛАВА 4. постановка плоских задач для начальной стадии симметричного разделения

4.1. Общая постановка задачи.

4.2. Описание начальной стадии закритического состояния.

4.3. Пространственно-временная дискретизация модели.

4.4. Конечноэлементный алгоритм анализа послекритического состояния.

4.5. Численный анализ симметричного разделения.

4.5.1. Анализ стадии упругого деформирования.

4.5.2. Анализ упругопластического деформирования.

Внешнее силовое воздействие на материальное тело может приводить не только к его деформации. В ряде случаев, наряду с имеющимися материальными поверхностями, в деформируемом теле могут появляться новые. При образовании поверхностей, в зависимости от их отклика на изменение внешних силовых факторов происходит два основных вида механического разделения - упорядоченное и неупорядоченное.

Упорядоченным считаем разделение, приводящее к образованию поверхностей заданной формы, например, получение разреза заданной длины с определенной степенью точности. Другим примером является вырубка или вырезание из листового материала тела заданной формы. Здесь может быть рассмотрен и широкий класс технологических процессов, связанный с лезвийной обработкой материала.

В результате неупорядоченного разделения образуются поверхности, размер и форма которых будут случайными. Типичным примером разделения такого типа является разруше

Щ1 ние, когда из упорядоченной структуры получается менее упорядоченная.

Данная классификация позволяет выделить материалы, формы тел, а также виды силовых воздействий, позволяющие осуществить упорядоченное разрушение. Влияние свойств материала проявляется, например, при вырубке деталей заданной формы из листов малоуглеродистой стали и стекла. Очевидно, что реализация данной операции на стекле приведет к неупорядоченному разделению. Как правило, силовое воздействие с целью упорядоченного разделения должно быть локализовано ^ в окрестности поверхности, которая должна быть получена. В противном случае значительная часть тела может получить остаточные деформации и отклониться от заданной формы. Например, при испытаниях на растяжение нельзя точно предсказать место разделения и форму образующихся поверхностей. Однако и при упорядоченном разделении отделяющаяся часть может необратимо изменять форму. Ярким примером этого является форма стружки, получаемая при лезвийной обработке материалов. Отметим, что упорядоченное разделение происходит, как правило, в устойчивых режимах, когда малым приращениям внешних воздействий соответствует малое приращение новых поверхностей в заданном направлении, а при фиксировании величины и положений внешних нагрузок процесс прекращается.

Таким образом, при описании процесса разделения, с одной стороны, необходимо корректно описать изменение формы без ограничения на деформации и свойства материала, с другой же - учесть возникновение новых материальных поверхностей. Поэтому рассматриваемая тематика, связанная с построением достаточно общей модели управляемого разделения является актуальной.

Процесс конечного формоизменения достаточно хорошо изучен [27, 40, 47,87, 55, 88, 92, 94-96, 100, 114, 121, 134, 140142, 152, 172, 179, 180]. Теория процессов, разработанная А.А. Ильюшиным [57-60] и его учениками [23-26, 28-32, 132, 133, 147, 149], представляет собой методологическую основу разработки новых определяющих соотношений, построения экспериментальных программ их конкретизации, постановки и решения краевых задач механики деформируемого твердого тела.

В настоящее время, ввиду отсутствия единой теории процесса разрушения, закономерности этого явления принято рассматривать на разных масштабных уровнях. Квантовая механика разрушения, основанная на учете атомной структуры материала, определяет макроскопические критерии через атомные константы [151, 153]. Однако наибольшее развитие получили модели, описывающие разрушение в рамках как механики сплошной среды без особых точек, когда наступление предельного состояния относят к окрестности точки континуума, так и линейной и нелинейной механики разрушения для тел с трещиноподобными дефектами.

Условия предельного состояния материалов для тел без трещин можно найти в работах [11, 20, 49, 64, 69, 89, 103, 154, 165]. Подчеркнем, что формулировка данных условий определяет критическое состояние в окрестности точки и не рассматривает дальнейшую эволюцию разрушения, в частности, процесс формирования новых материальных поверхностей.

В механике разрушения описать поведение среды представляется возможным до вершины трещины (так называемой особой точки). Дальнейшее решение строится на той или иной модели разрушения, включающей в себя модель трещины и критерий разрушения.

Условие начала разделения тела с исходной трещиной впервые было получено Гриффитсом в работах [173, 174]. Был предложен так называемый энергетический подход к проблеме разрушения. Предположив изначальное существование трещин в хрупких телах, и используя асимптотические формулы Вейг-харда [198] для перемещений берегов трещины он показал, что разрушение начинается в момент, когда высвобождающаяся удельная (отнесенная к приращению площади образующихся поверхностей) свободная энергия станет равной удельной поверхностной энергии. В работах Ирвина и Орована [175-176, 188] условием начала разделения было предложено считать достижение коэффициентом интенсивности напряжений в асимптотической формуле линейной теории упругости критического значения (так называемый силовой критерий). Данные подходы являются эквивалентными и формируют критерии хрупкого разрушения. Для описания оценки критического состояния трещины наряду с уравнениями состояния линейной теории упругости требуется всего лишь один параметр - коэффициент интенсивности напряжений. Примечательно, что критерий Ирвина используется и для упругопластических материалов в предположении, что область пластического деформирования не влияет на характер решения в окрестности особой точки, определяемого в рамках линейной теории упругости. Однако работа разрушения в этом случае ассоциируется не с поверхностной энергией, а с энергией диссипации в концевой зоне. Для того чтобы подчеркнуть упругопластический характер разрушения, предельное значение коэффициента интенсивности напряжений получило название вязкости разрушения. Расчеты коэффициентов интенсивности для различных типов начальных трещин и внешних сил и последующая экспериментальная реализация этих задач позволили определить условия начала разрушения различных тел при плоском напряженном или деформированном состояниях [6, 21, 67, 130, 125, 131]. Дальнейшее развитие механика разрушения получила в работах Ф. Макклинтока [183], В.В. Новожилова [115117], Д.Д. Ивлева [54, 55], Л.В. Ершова [160], Ю.Н. Работнова

135] , А.Ю. Ишлинского [63], Н.А. Махутова [101], Н.Ф. Морозова [110-112], Е.М. Морозова [107-109, 186], В.И. Астафьева [7-10, 166] В.З. Партона [126-128], A.M. Линькова [85, 129], Р.В. Гольдштейна [37, 38, 171], Ю.Г. Матвиенко [98, 99, 182, 183], Болотина В.В. [17-19, 168] и ряда других отечественных и зарубежных исследователей [34, 45, 48, 49, 65, 66, 70, 82, 83, 97, 102, 104, 105, 118, 148, 153, 169, 187, 188, 195198, 200-202]. Ограниченность критерия Ирвина обусловлена использованием для описания докритического и критического * состояний аппарата линейной теории упругости и необходимостью существования дефектов типа математического разреза. Более общие интегральные критерии разделения, справедливые и в рамках нелинейной теории упругости, связаны с именами Дж. Райса [136, 192-194], Г.П. Черепанова [155, 156, 158, 159].

Описание разрушения в рамках нелинейной теории упругости приводится в работах К.Ф. Черныха [161-164]. Использование интегральных критериев для упругопластических ма-ф териалов ограничено, как и применение критерия Ирвина, условием малости зоны пластического деформирования в окрестности концевой точки. Впервые, в 1959 году, переход к непосредственному учету пластического деформирования был проведен М.Я. Леоновым и В.В. Панасюком [84, 122-124] и несколько позже Д.С. Дагдейлом [170]. Существенным отличием данного подхода была конечность напряжений в примыкающей к кончику разреза пластической зоны. Это позволило использовать деформационный критерий начала процесса образования новых поверхностей. Для определения критического состояние в данных работах требовалось два параметра (постоянных материала) - критическое раскрытие трещины и притягивающие противоположные берега напряжения. Теории разрушения, исключающие бесконечные значения напряжений в упругих моделях, были предложены С.А. Христиановичем, Г.И. Баренблатом, [12-15, 167] В.М. Битовым и P.JI. Салгани-ком [46]. Модель развития трещины с учетом сил сцепления в упругопластических телах была предложена И.М. Лавитом [73-79].

Следует отметить работы A.M. Линькова [31, 32], А.А.

Лебедева и Н.Г. Чаусова [80, 81], Л.В. Никитина [114], Е.И.

Рыжака [137], В.А. Ибрагимова [61] и В.Д.Клюшникова [62], В.В. Стружанова [144-146] проводивших исследования разрушения при рассмотрении полной диаграммы деформирования и учете свойств материала на участке разупрочнения.

Анализ перечисленных выше подходов к описанию процессов разрушения с точки зрения теории трещин позволяет выделить следующие характерные особенности: 1. Существующие теории основаны на предположении о наличии в теле начального математического разреза (модель трещины), поэтому критерии начала его продвижения связаны с решением задачи, как правило, в рамках теории линейной упругости. В частности фигурируют такие параметры как длина трещины, коэффициент при асимптотике сингулярного решения, расстояние между берегами разреза. Еще раз подчеркнем, что все они "привязаны" к сингулярному решению. Это решение дает физически нереализуемые сколь угодно большие значения деформаций и напряжений в концевых точках трещины.

Исключение сингулярности с помощью введения дополнительных нагрузок, отражающих взаимодействие берегов у края трещин, требует формулировки законов этих взаимодействий, а также их экспериментального и физического обоснования.

Как правило, при формулировке критерия рассматривается состояние предельного равновесия, оставляя без внимания докритический рост трещины.

Известные теории вносят критерии типа плотности поверхностной энергии, не определяя ее в рамках феноменологического подхода, либо используя эквивалентное понятие вязкости разрушения, которое является следствием асимптотики распределения напряжений, получаемой из упругой задачи. Более приемлемы деформационные критерии, однако, применение их в рамках подхода Гриффитса невозможно, так как напряжения и деформации бесконечны в вершине математического разреза. Попытки погасить сингулярность путем введения дополнительных нагрузок, распределенных по берегам трещины и локализованных у ее края позволяют использовать в качестве критерия величину перемещения. Отметим, что речь идет не о деформации, а о размерной величине, поэтому универсальность таких критериев проблематична. Длина пластической области в подходе Леонова, Панасюка, Дагдейла определяется из условия обращения в ноль сингулярной составляющей чисто упругого решения и не связана с условием перехода материала в пластическое состояние. Кроме того, связь между вязкостью разрушения такова, что при отсутствии притяжения между берегами критическая вязкость обращается в ноль, что не соответствует силовому критерию Ирвина.

5. Остается открытым вопрос об образовании (зарождении) трещины в континууме без концевых точек. Теории зарождения и роста трещин требует принятия исходных допущений. Например, гипотеза Дагдейла о том, что пластическая зона, инициируемая трещиной, может рассматриваться как узкая полоса на ее продолжении. Подобные гипотезы, подменяющие собой решение краевых задач не должны * служить основанием теории. Более естественным выглядят подходы, основанные на представлениях и методах механики деформируемого твердого тела.

Сформулируем основные требования, которым должна удовлетворять модель разделения не требующая наличия начального математического разреза:

1. Сколь угодно малые величины внешних нагрузок должны приводить к малым напряжениям и деформациям во всей рассматриваемой области. То есть, модель должна быть асимптотически обратимой (упругой). Отметим, что при этом в начальном состоянии внутренние напряжения считаются отсутствующими.

2. Свойства материала должны описываться универсальными, экспериментально конкретизируемыми соотношениями, определяющими связь между тензорами деформаций и напряжений как на стадии устойчивого деформирования, сопровождающегося увеличением сопротивления (упрочнением), так и на стадии разупрочнения, когда с ростом деформаций сопротивление уменьшается.

3. Необходимо сформулировать инвариантные критерии перехода к стадиям разупрочнения и разделения в рамках единого варианта определяющих соотношений.

Таким образом, основная цель данной работы - построить и исследовать универсальные модели процесса разделения, описать их на феноменологическом уровне в рамках классических представлений механики сплошной среды, позволяющей, исходя из универсальных определяющих соотношений, рассмотреть все стадии процесса, начиная со стадии упругого во * всей области деформирования и заканчивая началом образования новых поверхностей. На основе такой модели поставить и решить задачи о деформировании вплоть до начала разделения материала вдоль заданного направления.

В первой главе диссертации излагаются общие сведения из теории деформаций и напряжений. Предлагается математическая модель, описывающая поведение материала на стадиях как устойчивого (в смысле Драккера) так и неустойчивого деформирования. Критерием перехода материала от устойчивого fe деформирования к неустойчивому является достижение инвариантной характеристикой - главной максимальной растягивающей деформацией - нижнего критического значения Гк. Дальнейшее увеличение деформации приводит к ослаблению связей внутри данного материального объема и к падению напряжения в нем (разупрочнению). Поведение материала на этой стадии описывается линейными соотношениями типа гу-ковских. Моменту разделения соответствует нулевое напряжение, а максимальная деформация растяжения принимает верхнее критическое значение Гт. Необходимые для конкретиза-щ ции определяющих соотношений константы находятся из полных диаграмм деформирования. На основании выводов работы [157] о возможности существования стадии разупрочнения только в узких полосах постулируется существование материального слоя в направлении разделения начальной толщины Sq, образуемого материалом, который перейдет в стадию разупрочнения. Распределение напряжений в зоне разупрочнения этого слоя считается однородным по толщине. Вне слоя взаимодействия материал является устойчивым по Драк-керу и может иметь развитую область диссипации, хотя при определенных внешних воздействиях пластическая деформация будет локализована в границах данного слоя, что, по существу, приводит к гипотезе Дагдейла. В данной главе рассматривается кинематика слоя и его напряженное состояние.

Во второй главе в рамках концепции слоя взаимодействия рассматривается термомеханика процесса стационарного направленного разделения, когда равномерное движение внешней нагрузки приводит к стационарному образованию новых материальных поверхностей. Даются основные термометр ханические соотношения. Исходя из геометрической характеристики слоя, работы на стадии разупрочнения и термомеханических характеристик материала - критического значения удельной свободной энергии и удельной диссипации стадии разупрочнения получено феноменологическое определение поверхностной энергии.

Рассматривается постановка задачи направленного разделения с учетом зон необратимого деформирования вне слоя взаимодействия. В частности, выделяются области активного упругопластического деформирования, в которых происходит ^ рост диссипации: н>>0и свободной энергии: щ>0 (если свободная энергия и объем материала не изменяются, то деформирование называем идеально пластическим), и области пассивного упругопластического деформирования (разгрузки) где свободная энергия уменьшается: у/< О, а диссипация отсутствует: w = 0. Найдена инвариантная характеристика процесса стационарного разделения типа -интеграла, связывающая энергию диссипации в слое и за его пределами, толщину слоя, работу на стадии разупрочнения и критическое значение удельной свободной энергии. В геометрически нелинейной постановке определена работа напряжений стадии разупрочнения через механические характеристики материала Гк,Гт, напряжение Sk, соответствующее деформации Гк, и модуль ниспадающей ветви Ен.

С учетом отсутствия диссипации вне слоя взаимодействия и различных моделей поведения материала (упругий, несжимаемый упругопластичный) из найденного значения интеграла получены известные критерии разрушения.

На основании оценки поверхностной энергии через межатомное расстояние и модуль упругости дана количественная оценка толщины слоя.

В третьей главе даны постановки и решения частных задач направленного разделения в линейно геометрическом приближении.

Рассмотрена задача о разделении двухконсольной балки (ДКБ-образец) с физическим разрезом равным толщине слоя взаимодействия. Решение строится в предположении, что материал каждой консоли вне слоя взаимодействия описывается соотношениями теории изгиба Кирхгоффа - Лява. Основными неизвестными являются: нижнее Рк (определяющее начало разупрочнения) и верхнее Рт (соответствующее образованию новых поверхностей) критические значения внешнего усилия; длина области разупрочнения ст в момент начала разделения; эпюры напряжений Sj(x2)B слое, отражающие взаимодействие между берегами слоя в критическом состоянии и в момент начала образования новых поверхностей. В силу симметрии рассматривается только верхняя консоль, а действие слоя взаимодействия заменяется искомой нагрузкой. В результате решения построены графики распределения нагрузки в слое взаимодействия для случаев деформации ек и ет материального волокна, примыкающего к вершине разреза, а также найдены соответствующие этим состояниям нижнее Рк и верхнее Рт критические усилия. Показано, что величина Рт незначительно отличается от значения Рк в широком диапазоне толщины слоя. Проведено исследование влияния параметров материала и на-гружения на максимальную длину области разупрочнения.

При моделировании эффекта разупрочнения вертикальной ветвью была рассмотрена задача разделения ДКБ-образца при идеально упругопластическом поведении материала слоя взаимодействия. Определена область пластического деформирования в слое, ее зависимость от геометрических параметров образца и приложения внешней нагрузки.

Получена оценка толщины слоя взаимодействия через механические характеристики материала, а также определена система уравнений, позволяющая из опытов на разрушение с ДКБ-образцами по значению критической нагрузки, соответствующей началу страгивания трещины, определить толщину слоя взаимодействия.

С позиции слоя взаимодействия рассмотрена задача разделения плоскости сосредоточенной симметричной нагрузкой. Вне слоя материал считался линейно упругим. С использованием решения Фламана и принципа суперпозиции получена система граничных интегральных уравнений, описывающая процесс разделения. Задача решалась методом граничных элементов. В результате были найдены зависимости влияния эффекта разупрочнения на величину расклинивающего усилия, а также напряженно-деформированное состояние в слое взаимодействия. Показано, что для решения практических задач стадией разупрочнения можно пренебрегать, считая ниспадающую ветвь вертикальной.

Рассмотрена задача в рамках модели идеального упруго-пластического материала в слое взаимодействия без учета стадии разупрочнения. Исследовалось влияние толщины слоя и длины площадки текучести на критическое усилие и соответствующую ему длину пластической зоны слоя взаимодействия. Графики распределения нагрузки в слое для диаграмм с разными площадками текучести показывают, что в материале с большей площадкой текучести напряжения за пределами зоны пластичности падают быстрее. В результате исследования задачи о разделении плоского слоя получена зависимость приращения длины разреза от приращения внешнего усилия. Показано, что в хрупких материалах труднее получить разрез заданной длины, так как малому изменению внешней нагрузки соответствует большее продвижение разреза, чем в пластичных материалах.

Так как в задачах рассматриваемых в третьей главе материал вне слоя взаимодействия полагается упругим, то полагаем, что полученное в начальный момент разделения распределение напряжений и деформаций сохраняется и в процессе перехода внешней нагрузки к равномерному движению по берегам разреза.

В четвертой главе рассматривается постановка задач начальной стадии симметричного направленного квазистационарного разделения. Постановка задачи включает в себя следующие этапы:

1. Определение характеристик напряженно-деформированного состояния (НДС) тела и параметров внешнего воздействия, соответствующих обратимому (упругому) деформированию.

2. Определение характеристик НДС тела при последующем на-гружении, если в упругой области не достигнут критерий разделения - максимальное значение главной растягивающей деформации меньше критического значения.

3. Определение параметров внешнего нагружения и НДС тела соответствующих моменту достижения главной деформацией критического значения.

4. Указание направлений распространения разделения. Отметим, что данные направления могут не совпадать с направлением оси симметрии.

5. Установление условий, необходимых для локализации разделения вдоль оси симметрии. Если направление начального разделения не совпадает с осью симметрии, то необходимо изменить начальную геометрию и характер внешнего нагружения, чтобы разделение происходило в требуемом направлении.

Процесс конечного формоизменения описывается при помощи математической модели, в основу которой положено условие равновесного протекания процесса в виде основного вариационного соотношения. Рассмотрено начало процесса разделения после достижения в некоторой точке оси симметрии критического значения деформации. На основе концепции слоя взаимодействия определено выражение для начальной скорости разделения материала в момент достижения параметром нагружения критического значения.

При помощи метода конечного элемента решен рад упру-гопластических задач. Исследована форма области диссипации при плоском напряженном и деформированном состоянии. Рассмотрено влияние характеристики материала, геометрии образца и приложения внешней нагрузки на возможность разделения вдоль оси симметрии хрупких и упругопластических материалов.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы по работе.

1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПРОЦЕССОВ КОНЕЧНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ. ВАРИАНТ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ СТАДИИ РАЗУПРОЧНЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЛОЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. ЕГО НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ

Основные результаты четвертой главы

1. Рассмотрено влияние кривизны границы тела на возможности реализации симметричного разделения. Установлено, что если начальные радиусы кривизны тела в точках пересечения с осью симметрии имеют порядок толщины слоя взаимодействия и меньше, то использование точного решения теории упругости и деформационного критерия приводит к нефи-зичному результату - уменьшению до нуля внешней нагрузки, необходимой для разделения тела.

2. Если начальные минимальные радиусы кривизны границы тела много больше (хотя бы на порядок) толщины слоя, то определение критического значения параметра внешнего нагружения, соответствующего достижения деформационного критерия, сводится к решению упругой или упругопластиче-ской задачи о простом нагружении без явного выделения материала, образующего слой взаимодействия.

3. Если начальные радиусы кривизны в точках пересечения границы тела с осью симметрии порядка толщины слоя взаимодействия, то для определения критического значения параметра внешнего нагружения необходимо переходить к предельным моделям: замене части границы, примыкающей к точке математическим разрезом (классическая модель) либо физическим разрезом (предлагаемая модель) с выделением слоя взаимодействия. Приведены экспериментальные данные подтверждающие данный вывод.

4. Дана вариационная и следующая из нее дискретная постановка упругих и упругопластических задач определения критического значения параметра внешнего нагружения для тел с гладкой начальной границей.

5. На основе предельной модели с физическим разрезом введено понятие начальной скорости разделения, предложено вариационное соотношение, связывающее линейным образом начальную скорость разделения с критическими граничными условиями.

6. Исходя из дискретной постановки задачи о начальной стадии разделения на основе концепции слоя взаимодействия введено понятие устойчивости и неустойчивости критического состояния относительно начального разреза заданной длины, а также средней начальной скорости разделения. Построен алгоритм определения критерия устойчивости (минимальной длины начального разреза слоя взаимодействия, относительно которого критическое состояние устойчиво) и величины средней начальной скорости разделения.

7. Для различных схем симметричного деформирования в упругих и упругопластических телах определены условия начала разделения вдоль оси симметрии и степень устойчивости критических состояний, найдены средние начальные скорости разделения.

8. Показано, что смена характера деформирования (с упругого на упругопластический) может менять направление предполагаемого разделения. Соответствующий переход обусловлен несовпадением точек максимума интенсивности касательных напряжений и главной положительной деформации упругого решения. Для того, чтобы разделение не меняло направление при переходе от обратимого деформирования к уп-ругопластическому необходимо совпадение точек максимальной главной деформации растяжения и интенсивности касательных напряжений.

9. Установлен переход от линейной к нелинейной зависимости критического параметра нагружения от критической деформации при смене характера деформирования с упругого на упругопластический.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведем основные результаты и выводы проведенного исследования:

1. Предложен вариант соотношений, определяющий связь между напряжениями и деформациями вплоть до прекращения взаимодействия между материальными частицами, что позволило описать процессы деформирования и разрушения в рамках одной модели.

2. Введено понятие слоя взаимодействия как материальной области, которая в результате внешних воздействий переходит в стадию неустойчивого деформирования (разрушения) с однородным по толщине распределением характеристик напряженно-деформированного состояния.

3. На основе предложенного метода установившегося разделения проведен термомеханический анализ процесса симметричного разделения полосы как в рамках классической модели математического разреза, так и с использованием модели физического разреза, основанной на концепции слоя взаимодействия.

4. В случае математического разреза при обратимом деформировании вплоть до разделения подтверждена универсальность критерия Черепанова - Райса, а при необратимом деформировании установлена связь между поверхностной энергией, критическим значением J-интеграла и диссипацией, накопленной в приповерхностных зонах толщиной h0.

5. Использование модели физического разреза позволило установить связь между поверхностной энергией и материальными постоянными: толщиной слоя взаимодействия, критическими значениями свободной энергии и диссипации.

6. Получена оценка толщины слоя как параметра структуры через известные термомеханические характеристики материала.

7. Указаны условия инвариантности J-интеграла при необратимом деформировании, установлены ограничения на его использование в качестве критерия разделения. Показано, что если ограничить область пластичности слоем взаимодействия, то представление J-интеграла через критическую деформацию эквивалентно его выражению по теории Леонова - Панасюка, Дагдейла.

8. В рамках линейно-упругого поведения материала вне слоя взаимодействия даны постановки и решения задач о разделении ДКБ-образцов и плоскости. Показано, что учет стадии разупрочнения несущественно влияет на величину критического усилия.

9. В результате решения задачи о разделении ДКБ-образцов получена система уравнений, позволяющая на основе экспериментальных данных определить толщину слоя взаимодействия данного материала.

10. Дана вариационная и следующая из нее дискретная постановка упругих и упругопластических задач определения критического значения параметра внешнего нагружения для тел с гладкой начальной границей.

11. Исходя из дискретной постановки задачи о начальной стадии разделения на основе концепции слоя взаимодействия введено понятие устойчивости и неустойчивости критического состояния относительно начального разреза заданной длины, а также средней начальной скорости разделения. Построен алгоритм определения критерия устойчивости (минимальной длины начального разреза слоя взаимодействия, относительно которого критическое состояние устойчиво) и величины средней начальной скорости разделения.

12. Для различных схем симметричного деформирования упругих и упругопластических тел определены условия разделения вдоль оси симметрии и степень устойчивости критических состояний, найдены средние начальные скорости разделения.

Таким образом, в представленной работе решена научная проблема, состоящая в построении модели процесса конечного деформирования упругопластических тел, включая стадии образования и начальной эволюции новых материальных поверхностей. В рамках модели даны постановки краевых задач и предложены методы их решения.

1. Адамов В.И., Маркин А.А. Моделирование процессов обработки давлением осесимметричных изделий // Известия вузов. Машиностроение. 1989. - № 12. - С. 104-108.

2. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов. М.: Высш. шк., 1995. - 560 с.

3. Александров В.М., Кудиш И.И. Ассимптотические методытв задаче Гриффитса // ПММ. 1989. Т. 53, вып. 4. -С. 665-671.

4. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченов Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие для вузов.- М.: Высш. шк., 1994. 544 с.

5. Астапов В.Ф., Маркин А.А., Соколова М.Ю. Определение упругих свойств материалов из опытов на сплошных цилиндрах//Известия РАН. МТТ. 2002. - №1. - С. 104-111.

6. Андрейкив А.Е., Панасюк В.В., Стадник М.М. К вопросу ^ об определении коэффициентов интенсивности напряжений в твердых телах с трещинами // Проблемы прочности.- 1974. № 3. - С. 45-50.

7. Астафьев В.И. О росте трещин при ползучести с учетом пластической зоны вблизи вершины трещины // ПМТФ. -1979. -№ 6. С. 154-158.

8. Астафьев В.И., Ширяева JI.K. Накопление поврежденности и коррозийное растрескивание металлов под напряжением. Самара: Изд-во Самарского университета, 1998. 123 с.

9. Астафьев В.И., Логинов О.А. Моделирование роста трещины при ползучести // Известия РАН. МТТ. 1994. - № 4. - С. 132-139.

10. Астафьев В.И., Радаев Ю.Н., Степанова JI.B. Нелинейная механика разрушения. Самара: Изд-во Самарского университета, 2001. - 632 с.

11. Багмутов В.П., Богданов Е.П. Моделирование взаимодействий анизотропных зерен и критических состояний в поликристалле // Тез. докл. Первого междисциплинарногосеминара: Фракталы и прикладная синергетика. М.: РАН, РФФИ. - 1999. - С. 121-123.

12. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Салганик P.JI. О кинематике распространения трещин. Общие представления. Трещины близкие к равновесным // Инженерный журнал. Механика твердого тела. 1966. - № 5. - С. 82 - 92.

13. Баренблатт Г.И. Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении // Журн. прикл. механики и техн. физики. 1961. - № 4. - С. 3-56.

14. Баренблатт Г.И. О некоторых общих представлениях математической теории хрупкого разрушения // ПММ. -1964. Т.28. - Вып.4. - С. 630-643.

15. Баренблатт Г.И., Христианович С.А. О модуле сцепления в теории трещин // Инженерный журнал. Механика твердого тела. 1968. - № 2. - С. 69 - 75.

16. Березин А.В. Одноосное деформирование пластического тела с учетом образования и роста микротрещин // Изв. АН СССР МТТ. 1977. - № 5. - С. 116-121.Ь

17. Болотин В.В. Трещиностойкость материалов и континуальная механика повреждений // Доклады РАН. 2001. -Т. 376. - № 6. - С. 760-762.

18. Болотин В.В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций. М.: Машиностроение, 1984. - 312 с.

19. Болотин В.В. О распространении усталостных трещин в линейных вязкоупругих средах // Изв. АН МТТ. 1998. -№ 4. - С. 117-127.

20. Боткин А.И. О прочности сыпучих и хрупких материалов // Изв. ВНИИ Гидротехники. 1940. - Т.26. - С. 205-236.

21. Браун У., Сроули Дж. Испытания высокопрочных металлических материалов на вязкость разрушения при плоской деформации: М.: Мир, 1972. - 245 с.

22. Бриджмен П. Исследование больших пластических деформаций и разрыва. М.: ИЛ, 1955. - 444 с.

23. Бровко Г.Л. Класс моделей упругих тел при конечных деформациях и устойчивость равновесия // Устойчивость в механике деформируемого твердого тела. Калинин: Изд-во КГУ, 1986. - С.111-121.

24. Бровко Г.Л. Материальные и пространственные представления определяющих соотношений деформируемых сред // Прикладная математика и механика. 1990. - Т. 54. - № 5. -С. 814-824.

25. Бровко Г.Л. Некоторые подходы к построению определяющих соотношений пластичности при больших деформациях// Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 1987. - С. 68 - 81.

26. Бровко Г.JI. Понятия образа процесса и пятимерной изотропии свойств материалов при конечных деформациях // Доклады АН СССР. 1989. - Т. 308. - № 3. - С. 814 - 824.

27. Бураго Н.Г., Глушко А.И., Ковшов А.Н. Термодинамический метод получения определяющих уравнений для моделей сплошных сред // Известия РАН. МТТ. 2000. - № 6. -С. 4-15.

28. Васин Р.А. Некоторые вопросы связи напряжений и деформаций при сложном нагружении // Упругость и неупругость/ Сб. науч. тр. М.: Изд-во МГУ, 1971. - Вып. 1. -С. 59-126.

29. Васин Р.А., Ибрагимов А.Б. О виде матрицы деформационной анизотропии // Доклады АН АзССР. 1965. - Т.21. - № 9. - С. 8-11.

30. Васин Р.А., Ибрагимов А.Б. Об исследовании деформационной анизотропии при сложном нагружении// Прочность и пластичность/ Сб. науч. тр. М.: Наука, 1971. - С. 126129.

31. Васин Р.А., Ильюшин А.А. Об одном представлении законов упругости и пластичности в плоских задачах// Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1983. - № 4. -С. 114 - 118.

32. Васин Р.А., Ильюшин А.А., Моссаковский П.А. Исследование определяющих соотношений и критериев разрушения на сплошных и толстостенных трубчатых цилиндрических образцах// Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1994. - № 2. - С. 177-184.

33. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 2000. - 266 с.

34. Гаджиев Г.Х., Мирсалимов В.М. Обратная задача механики разрушения для составного цилиндра контактной пары// Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского. М.: ФИЗМАТЛИТ. - 2003. -С. 196-208.

35. Глаголев В.В., Кузнецов К.А., Маркин А.А. Модель процесса разделения деформируемого тела // Известия РАН. МТТ. 2003.- № 6. - С.61-68.

36. Глаголев В.В., Маркин А.А. Модель установившегося разделения материального слоя // Известия РАН. МТТ. -2004. № 5. - С. 121-129.

37. Гольдштейн Р.В., Перельмутер М.Н. Рост трещин по границе соединения материалов // Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского. -М.: ФИЗМАТЛИТ. 2003.- С. 221-239.

38. Гольдштейн Р.В., Осипенко Н.М. Балочное приближение в задачах отслоения тонких покрытий // Известия РАН. МТТ. № 5.- 2003.- С. 154-163.

39. Глушко В.Т., Гавелия С.П. Оценка напряженно-деформированного состояния массивов горных пород.- М.: Недра, 1986. 220 с.

40. Грин А.Е., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. -456 с.

41. Драккер Д. Определение неустойчивого неупругого материала // Механика. 1960. - № 2. - С.55-70.

42. Дегтярев В.П. Деформации и разрушение в высоконапряженных конструкциях. М.: Машиностроение, 1987. — 105 с.

43. Давиденков Н.Н. Динамические испытания металлов. Изд. 2-е. - М.: ОНТИ, 1936. - 395 с.

44. Екобори Т. Научные основы прочности и разрушения материалов. Киев: Наук, думка, 1978. - 350 с.

45. Ентов В.М., Салганик P.JI. О трещинах в вязкоупругих телах // Изв. АН СССР. МТТ. 1968. - № 2. - С. 88-94.

46. Ентов В.М., Салганик P.JI. К модели хрупкого разрушения Прандтля // Изв. АН СССР. МТТ. 1968. - № 6. - С. 8799.

47. Жуков A.M. Поведение материалов при разгрузке и повторной нагрузке// Инженерный журнал. МТТ. 1961. -№ 1. - С. 124-133.

48. Завойчинская Э.Б. Кийко И.А. Введение в теорию процессов разрушения твердых тел. Учебное пособие. М.: Изд-во МГУ, 2004. - 168 с.

49. Захаров М.Н., Лукьянов В.А. Прочность сосудов и трубопроводов с дефектами стенок в нефтегазовых производствах. М.: Нефть и газ, 2000. - 216 с.

50. Зегжда С.А., Морозов Н.Ф., Семенов Б.Н. О «балочном» подходе в задачах распространения трещин // Известия РАН. МТТ. 1999. - № 3. - С. 114-120.

51. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986. - 318 с.

52. Зубчанинов В.Г. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высш. шк., 1990.- 368 с.

53. Зубчанинов В.Г. Определяющие соотношения теории неупругих процессов в пространстве нагружения. Сообщение 1. Теоретические основы // Проблемы прочности. 1992. -№ 5. - С. 3-12.

54. Ивлев Д.Д. О теории трещин квазихрупкого разрушения // ПМТФ. 1967. - № 6. - С. 88-128.

55. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред. В 2 т. Т. 2. Общие вопросы. Жесткопластическое и упругопластическое состояние тел. Упрочнение. Деформационные теории. Сложные среды. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 448 с.

56. Ильюшин А.А. Пластичность. 4.1. Упругопластические деформации. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. - 376 с.

57. Ильюшин А.А. Вопросы общей теории пластичности // Прикладная математика и механика. 1960. - Т.24. - Вып. 3. - С. 399-411.

58. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990. 310 с.

59. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды: Учебник для университетов. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Изд-во МГУ, 1978. - 287 с.

60. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 272 с.

61. Ибрагимов В.А. Некоторые вопросы теории разупрочняю-щихся сред // Изв. АН СССР МТТ. 1972. - № 4. - С. 5563.

62. Ибрагимов В.А., Клюшников В.Д. Некоторые задачи для сред с падающей диаграммой // Изв. АН СССР. МТТ. -1968.-№ 6.-С. 168-177.

63. Ишлинский А.Ю. Сопоставление двух моделей развития трещин в твердом теле // Изв. АН СССР МТТ. 1971. -№ 4. - С. 116-121.

64. Кан К.Н., Первушин Ю.С. Выбор критерия прочности для жестких термореактивных пластмасс // Механика полимеров. 1966. - № 4. - С. 543-549.

65. Качанов JI.M. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. - 312 с.

66. Качанов JI.M. К кинетике роста трещин // ПММ. 1961. -Т. XXV, №3.

67. Основы экспериментальной механики разрушения/ Кер-штейн И.М., Клюшников В.Д., Ломакин Е.В., Шестериков С.А. М.: МГУ, 1989. - 139 с.

68. Клюшников В.Д. Физико-математические теории прочности и пластичности. М.: МГУ, 1994. - 189 с.

69. Ковальчук Б.И. О критерии предельного состояния некоторых корпусных сталей в условиях сложного напряженного состояния при комнатных и повышенных температу1. Mlw pax // Проблемы прочности. 1981. - № 5. - С. 10-15.

70. Костров Б.В., Никитин Л.В., Флитман Л.М. Механика хрупкого разрушения// Изв. АН СССР. МТТ. 1969. - № 3. - С. 112-125.

71. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1968.- 192 с.

72. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела: Пер. с. англ. М.: Мир, 1987. -328 с.

73. Лавит И.М., Толоконников Л.А. Силы сцепления и J-интеграл // Изв. Сев.-Кавказского науч. центра высш. школы. Естественные науки. 1985. - №1. - С. 28-30.

74. Лавит И.М. Об устойчивом росте трещины в упруго-пластическом материале // Проблемы прочности. 1988. -№7. - С. 18-23.

75. Лавит И.М. Рост трещины в условиях квазихрупкого разделения при монотонно возрастающей и циклической нагрузках // Известия РАН. МТТ. 2001. - № 2. - С. 109120.

76. Лавит И.М., Толоконников Л.А. Термоупругопластическая задача механики разрушения для пологоцилиндра с внутренними трещинами // Прикл. проблемы прочности и пластичности. Методы решения. Горький: Изд-во Горьковско-го ун-та. 1990. - С.55-60.

77. Лавит И.М. Энергетический баланс окрестности кончика трещины в упругопластической среде // Известия РАН. МТТ. 2001. - № 3. - С. 123-131.

78. Лавит И.М., Толоконников Л.А. О расчете коэффициентов интенсивности напряжений методом конечных элементов //Прикладная механика. 1983. - №9.- С.110-113.

79. Лавит И.М. Граничное интегральное уравнение для криволинейной краевой трещины // ПММ. 1994. - Т.58. -Вып.1. - С. 146-154.

80. Лебедев А.А., Чаусов Н.Г. Феменологические основы оценки трещиностойкости материалов по параметрам спадающих участков диаграмм деформирования // Проблемы прочности. 1983. - № 2. - С. 6-10.

81. Лебедев А.А., Чаусов Н.Г. Евицкий Ю.Л. Методика построения полных диграмм деформирования листовых материалов // Проблемы прочности. 1986. - № 9. - С.29-32.

82. Левин В.А., Морозов Е.М., Матвиенко Ю.Г. Избранные нелинейные задачи механики разрушения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 408 с.

83. Левин В.А., Морозов Е.М. Нелокальный критерий прочности. Конечные деформации // Доклады РАН. 2002. -Т. 346.-№1.-С. 62-67.

84. Леонов М.Я., Панасюк В.В. Развитие мельчайших трещин в твердом теле // Прикладная механика. 1959. - Т. 5. -№ 4. - С. 391-401.

85. Линьков A.M. Об условиях устойчивости в механике разрушения // ДАН СССР. 1977. - Т. 233. - № 1. - С. 45-48.

86. Линьков A.M. Потеря устойчивости при разупрочнении // Исследования по упругости и пластичности. Вып. 14 Проблемы механики деформируемого твердого тела. Л.: ЛГУ. - 1982. - С.41-46.

87. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - 939 с.

88. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. - 512 с.

89. Маньковский В.А., Сапунов В.Т. Концепция повреждений и критерий пластичности и прочности для изотропных материалов // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2000. - № 6. - С. 40-45.

90. Маркин А.А. Нелинейная теория упругости. Тула: Изд-во ТулГУ, 2001. - 64 с.

91. Маркин А.А. О различных типах тензоров и выборе их производных // Материалы Всероссийской конференции почистой и прикладной математике. Тула: Изд-во ТулПИ. -1988. - С.15-17.

92. Маркин А.А. Об изменении упругих и пластических свойств при конечном деформировании // Известия РАН. МТТ. 1990. - № 2. - С 120-126.

93. Маркин А.А., Глаголев В.В. К выбору критерия направленного разделения упругопластических материалов // Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского. М.: ФИЗМАТЛИТ. - 2003. -С. 546-554.

94. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Термомеханические модели необратимого конечного деформирования анизотропных тел // Проблемы прочности. 2002. - № 6. - С. 5-13.

95. Маркин А.А., Толоконников Л.А. Меры и определяющие соотношения конечного упругопластического деформирования// Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения.: Всесоюзн. межвуз. сб./ Горьк. гос. ун-т. Горький, 1987. - С. 32-37.

96. Маркин А.А., Толоконников Л.А. Меры процессов конечного деформирования // Известия Северо-Кавказского научного центра высшей школы. Естественные науки. -1987. -№ 2. С. 49-53.

97. Маркочев И.М. Экспериментальные методы исследования процессов разрушения. М.: МИФИ, 1982. - 94 с.

98. Матвиенко Ю.Г. Физика и механика разрушения твердых тел. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 74 с.

99. Матвиенко Ю.Г. Двухпараметрический критерий разрушения в связи с упрочнением материала // Заводская лаборатория. 1986. - № 9. - С. 60-62.

100. Матченко Н.М., Толоконников JI.A. Плоская задача теории пластичности анизотропных материалов // Известия АН СССР. МТТ. 1977. - № 1. - С. 56-62.

101. Махутов Н.А. Деформационные критерии разрушения и расчет элементов конструкций на прочность. М.: Машиностроение, 1981. - 270 с.

102. Микляев П.Г., Нешпор Г.С., Кудряшов В.Г. Кинематика разрушения. М.: Металлургия, 1979. — 175 с.

103. Миролюбов И.Н. К вопросу об обобщении теории прочности октаэдрических касательных напряжений на хрупкие материалы // Труды Ленинградского технологического инта. 1953. - Вып. 2. - С. 42-52.

104. Мирсалимов В.М. Неодномерные упругопластические задачи. М.: Наука, 1987. - 256 с.

105. Михайлов A.M. Обобщение балочного подхода к задачам теории трещин // ПМТФ. 1969. - № 5. - С. 171-175.

106. Морозов Е.М. Расчет на прочность при наличии трещин // Прочность материалов и конструкций. Киев: Наук, думка, 1975. - С. 323-333.

107. Морозов Е.М. Энергетический критерий разрушения для упругопластических тел // Концентрация напряжений. -Киев: Наук, думка, 1971. С. 85-90.

108. Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1980. - 256 с.

109. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1984. 256 с.

110. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. О концепции структурного времени в теории динамического разрушения хрупких материалов // Доклады РАН. 1992. -Т. 324. - №5. - С. 964967.

111. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. Проблемы механики разрушения твердых тел. Спб., 1997. - 132 с.

112. Моссаковский В.И., Рыбка М.Г. Попытка построения теории для хрупких материалов, основанной на энергетических соображениях Гриффитса // ПММ. 1965. - №2. -С. 291-296.

113. Никитин JI.B. Направления развития моделей упруговяз-копластических тел// Механика и научно-технический прогресс. Т.З. Механика деформируемого твердого тела. -М.: Наука, 1988. С. 136-153.

114. Новожилов В.В. К основам равновесных трещин в хрупких телах // ПММ. 1969. - № 5. - С. 797-812.

115. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности // ПММ. 1969. - № 2. - С. 212-222.

116. Новожилов В.В., Кадашевич Ю.И. Микронапряжения в конструкционных материалах. JL: Машиностроение, 1990. - 222 с.

117. Нотт Дж.Ф. Основы механики разрушения. М: Металлургия, 1978. - 256 с.

118. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир. - 1976. - 464 с.

119. Огибалов П.М. Изгиб, устойчивость и колебания пластинок. М.: Изд-во МГУ, 1958. 389 с.

120. Пальмов В.А. Принципы термодинамики в теории определяющих уравнений // Математические методы механики деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1986. -С. 112-118.

121. Панасюк В.В. Механика квазихрупкого разрушения материалов. Киев: Наук, думка, 1991. - 416 с.

122. Панасюк В.В. О современных проблемах механики разрушения // Физ.- хим. механика материалов. -1982. № 2.- С. 7-27.

123. Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. Киев: Наук, думка, 1968. - 246 с.

124. Панасюк В.В., Андрейкив А.Е., Ковчик С.Е. Методы оценки трещиностойкости конструкционных материалов. -Киев: Наук, думка, 1977. 278 с.

125. Партон В.З. Механика разрушения: от теории к практике.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1990. 240 с.

126. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластическо-го разрушения. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1974. - 416 с.

127. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластическо-го разрушения. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1985. - 504 с.

128. Петухов И.М., Линьков A.M. Механика горных пород и выбросов. М.: Недра, 1983. - 280 с.

129. Писаренко Г.С., Науменко В.П. Управление разрушением в испытаниях на трещиностойкость // Проблемы прочности и пластичности твердых тел. Д.: Наука, 1979. - С. 108-117.

130. Писаренко Г.С., Науменко В.П. Эксперементальные методы механики разрушения материалов// Физико-химич. механика материалов. 1982. - № 2. - С. 28-41.

131. Победря Б.Е. Модели механики сплошной среды // Известия РАН. МТТ. 2000. - Ко 3. - С. 47-59.

132. Победря Б.Е. Понятие простого процесса при конечных деформациях // Прочность и пластичность. М.: Машиностроение, 1971.-С. 166-170.

133. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. — М.: Изд-во иностр. лит-ры. 1963. - 311 с.

134. Работнов Ю.Н. Введение в механику разрушения.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1987.- 80 с.

135. Райе Дж. Р., Джонсон М. Влияние больших геометрических изменений у конца трещины на разрушение в условиях плоской деформации. Механика (сб. пер.) - 1973. -№ 6. - С. 94-119.

136. Рыжак Е.И. К вопросу об осуществлении однородного за-критического деформирования при испытаниях в жесткой трехосной машине// Изв. АН СССР. МТТ. 1991. - №1. -С. 111-127.

137. Савицкий Ф.С., Вандышев П.А. Жесткость испытательных машин и ее влияние на спадающий участок диаграммы растяжения и изгиба // Заводская лаб. 1956. - Т.22. -№ 6. С.717-721.

138. Салганик P.Jl. О хрупком разрушении склеенных тел // ПММ. 1963. - Т. 27. - Вып. 5. - С. 957-962.

139. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Госфизмат, 1962. - 284 с.

140. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. - М.: Наука, 1994. - 528 с.

141. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.2. - М.: Наука, 1994. - 560 с.

142. Слепян Л.И. Механика трещин. Л.: Судостроение, 1981. - 296 с.

143. Стружанов В.В., Миронов В.И. Деформационное разупрочнение материала в элементах конструкций. Екатеринбург: УрО РАН, 1995. 190 с.

144. Стружанов В.В. Об одном подходе к изучению механизма зарождения трещин // ПМТФ. 1986. - № 6. - С. 118-123.

145. Стружанов В.В. Об одном подходе к исследованию разрушения механических систем // Проблемы прочности, 1987. № 6. - С.57-63.

146. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела: Учеб.пособие для втузов. М.: Высш. школа, 1979. -318 с.

147. Толоконников Л.А., Пеньков В.Б. О сильном разрыве упругого поля // Известия СКНЦ ВШ. Естественные науки. — 1989. № 3. - С.49-51.

148. Толоконников Л.А. Вариант соотношений разномодуль-ной теории упругости// Прочность и пластичность. — М.: Наука. 1971. - С. 102-104.

149. Толоконников Л.А., Лавит И.М. О решении несимметричных задач линейной механики разрушения методом конеч206 ных элементов // Изв. Северо-Кавказского науч. центра высш. школы. Естественные науки. 1984. - № 2. - С.43-45.

150. Томсон. Р. Физика разрушения. Атомистика разрушения. М.: Мир, 1987. - 310 с.

151. Трусов П.В. Об одном варианте обобщения теории упругопластических процессов на случай больших пластических деформаций // Журнал прикладной механики и технической физики. 1988. - № 2. - С. 153-161.

152. Финкель В.М. Физика разрушения. Рост трещин в твердых телах. М.: Металлургия, 1970. - 376 с.

153. Фридман Я.Б. Механические свойства металлов. 4.1. Деформация и разрушение. - М.: Машиностроение, 1974. — 472 с.

154. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. — М.: Наука, 1974. 640 с.

155. Черепанов Г.П. Некоторые проблемы развития трещин в упругопластических и вязких средах // Концентрация напряжений. Киев: Наук, думка. 1971. - Вып. 3. - С. 191195.

156. Черепанов Г.П. О закритических деформациях // Проблемы прочности. 1985. - № 8. - С. 3-8.

157. Черепанов Г.П. О распространении трещин в сплошной среде // ПММ. 1967. - Т.31. - С. 476-488.

158. Черепанов Г.П. Современные проблемы механики разрушения // Проблемы прочности. 1987. - № 8. - С. 3-13.

159. Черепанов Г.П., Ершов JI.B. Механика разрушения. М.: Машиностроение, 1977. -221 с.

160. Черных К.Ф. Введение в физически и геометрически нелинейную теорию трещин. М.: Наука, 1996. - 288 с.

161. Черных К.Ф. Нелинейная сингулярная упругость. Часть 2. Приложения. Спб., 1999. - 195 с.

162. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости и ее применение к физически и геометрически нелинейной теории трещин// Успехи механики. 1989. -Т. 12. - № 4. - С. 51-75.

163. Черных К.Ф. О нелинейной теории трещин // ПММ. — 1988. -Т. 62. Вып. 5. - С. 871-883.

164. Янг Ю.И. Новые методы расчета на прочность // Вестник инженеров и техников. 1931. - №6. - С. 237-244.

165. Astafiev V.I. Grigorova T.V. Pastukhov V.A. Influence of continuum damage on stress distribution near a tip of growining crack under creep conditions // Proc. 2 nd Intern. Collog. On Mech. Of Creep Brittle Materials. Leicester, UK, 1991. P. 49-61.

166. Barenblatt G.I. On a model of small fatigue cracks // Eng. Fract. Mech. 1987. - V.28. - №5/6. - P. 623-626.

167. Bolotin V.V., Lebedev V.I. Analytical model of fatigue crack growth retardation due to overloading // International Journal of Solids and Structures. 1996. - №9. - P. 12291242.

168. Aspects of multiaxial fatigue crack propagation / Brown M.W., Miller K.J., Fernando U.S., Yates J.R., Suker D.K. Fourth Int. Conf. On Biaxial-Multiaxial Multiaxial Fatigue. -Paris: ESIS publ. 1994. - V. 1. - P. 3-16.

169. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits.- J. Mech. and Phys. Solids. 1960. - V.8. - № 2. - P.100-108.

170. Goldstein R.V., Perelmuter M.N. Modeling of bonding at the interface crack // Internal J. of Fracture. 1999. - V. 99. -№1-2. - P. 53-79.

171. Green A.E., Rivlin R.S., Shield R.T. General theory of small elastic deformations superimposed on finite elastic deformations // Proc. Roy. Soc. London. 1951. - V. A211. - P. 128154.

172. Griffith A.A. The phenomenon or rupture and flow in solids // Phil. Trans. Roy. Soc., Ser. A. 1920. - V. 221. - P.163-198.

173. Griffith A.A. The theory of rupture // In: Proc. 1st Int. Congr. Appl. Mech.- Delft. 1924. - P. 55-63.

174. Irwin G.R. Relation or stresses near a crack to the crack extension force // Proc. 9th Int. Congr. Appl. Mech.-Brussels. 1957. - V. 8. - P. 245-251.

175. Irwin G.R. Analysis of stresses and stain near the end of a crack traversing a plate // J. Appl. Mech. 1958. V. 24. -№ 3. - P. 361-364. (Discussion // J. Appl. Mech. 1958. -V. 25. - № 2. - P. 299-303 ).

176. Irwin G.R. Plastic zone near a crack and fracture toughness. 7th Samagore Ardance Materials Research Conference. -Syracuse: Syracuse Univ. Press, 1960.

177. Kishimoto K., Aoki S., Sakata M. On the path independent integral J. // Eng. Fracture Mech. 1980. - 13. - P. 841-850.

178. Levin V.A. Theory of Repeated Superposition of Large Deformations. Elastic and Viscoelastic Bodies // Intern. J. Solids a. Structures. 1998. - V. 35. - №20. - P. 2585-2600.

179. Levitas V.I. Large Deformation of Materials with Complex Rheological Properties at Normal and High Pressure. N.Y.: Nova Science Publ. - 1996. - 374 p.

180. Levitas V.I. Thermomechanical theory of martensitic phase transformations in inelastic materials // Int. J. solids and structures. 1998. - V. 35. - № 9-10. - P. 889-940.

181. Matvienko Yu.G., Makhutov N.A. Strength and survivability analysis in engineering safety for structures damaged by cracks // Int. J. Vessels and Piping. 1999. - V. 76. - P. 441444.

182. Matvienko Yu. G., Morozov E.M. Some problems in linear and non-linear fracture mechanics // Engineering Fracture Mechanics. 1987. - V.62. - P. 127-138.

183. McClintock F.A. Ductile fracture instability in shear // J. Appl. Mech. 1958. - V. 25. - P. 581-588.

184. Mishra R.S., Bieler T.R., Mukhetjee A.K. // Acta Metall. Mater. 1995. V.43. - №3. - P. 887-891.

185. Morozov E.M. Some Heuristic Models of Propageting Cracks // FRACTURE; A Topical Encyclopedia of Current Knowledge. Ed. By G.P. Cherepanov. Melborn: Grieger Publ. Сотр., 1998. - P. 440-449.

186. Murakami S. Mechanical modeling of material damage // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1988. - V. 55. June. - P.280-286.

187. Nemat-Nasser S., Hori M. Void Collapse and Void Growth in Grystalline Solids // J. Appl. Phys. 1987. - V.62. - №7. -P. 2746-2757.

188. Orowan E.O. Proc. Symposium on internal stresses in metals and allows.- London: Institut of Metals, 1948, p.451.

189. Perelmuter M.N. Fracture model for an interface with bridged zone // Proc. of the 14 European Conference on Fracture, ECF-14, Crackow, Poland, 8-13 September. 2002. - P. 655-662.

190. Qi-Kui Du. Evaluations of certain hypersingular integrals on interval // Int. J. Numer. Meth. Engng. 2001. - V. 51. - P. 1195-1210.

191. Rice J.R. The elastic-plastic mechanics of crack extension // Int. J. Fracture Mech. 1968. - V. 4. - № 1. - P. 41-47.

192. Rice J.R., Johnson M.A. The role of large crack tip geometry changes in plane strain fracture // Inelastic Behaviour in Solids. New York: McGraw-Hill. - 1970. - P. 641-672.

193. Rice J.R. Some mechanics research topics related to the hydrogen embrittlement of metals // Corrosion. 1976. — V. 32. - № 1. - P. 22-26.

194. Schraad M.W., Triantafyllidis N.I. Scale effects in media with periodic and nearly periodic microstructures. Part I. Macroscopic properties // Trans. ASME. Journal of Applied Mechanics. 1997. - V. 64. - № 4. - P. 751-762.

195. Schwalbe K.N., Zerbst U. The Engineering Treatment Model // Int. J. Pressure Vessels and Piping. 2000. - V. 77. -P. 895-918.

196. Smith C., Post. D., Epstein J. Algorithms and restrictions in the application of optical methods to the shell intensity factor determination // Theor. Appl. Fract. Mech. 1981. - V. 2. -P. 81-89.

197. Vasyutin A.N. Fracture mechanics of physically short cracks // Fatigue and Fracture Engng Mater, and Struct. 1992. -V. 15. - № 2. - P. 203-212.

198. Weighardt К. Uber das Spalten und Zerresen elastischer Кбгрег // Zeitschr. fur Math. Und Phys. -1907. Bd. 55. -№ 1/2. - S. 60-103.

199. Will P., Totzauer W., Michel B. Analysis of surface cracks by holography // Theor. Appl. Fract. Mech. 1988. - V. 9. -P. 33-38.

200. Wnuk M.P., Kriz R.D. CDM model of damage accumulation in laminated composites // Int. J. Fract. 1985. - V. 28. -№ 3. -P. 121-138.

201. Yates J.R., Grabowski L. Fatigue life assessment using a short crack growth model / Fatigue 90. Birmingham: MCEP. -1990. V.4. - P. 2369-2376.