Дискретные симметрии нелинейных цепочек тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

г \ т

Российская Академия Наук

Институт Мэтеызтшсн Уфииского Научного Центра

Адлар Всеволод Эдуардович

ДИСКРЕТНЫЕ СИ МПЕТР И И НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПОЧЕК

01.01.02 (дифференциальные уравнения)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

на правах рукописи

Уфа - 1994

Работа выполнена в Институте Математики Уфимского Научного Центра РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор А.Б. Шабат Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

A.n. Веселов

кандидат физико-математических наук P.A. Шаршов

Ведущая организация: Математический Институт

РАН им. В.А. Стеклова

Задата состоится " /^ " 1994 г. в ^

часов на заседашш специализированного -совета К 003.59.01 при Институте Математики Уфимского Научного Центра РАН (450000, Уфа, ул.Чернышевского 112)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Математики УНЦ РАН

Автореферат разослан " & " tCOáíeiJt^ 1994 Г-

Учешй секретарь спвциализи рованного соЕета, д.ф.-м.н.

Jzbj- Секерин

- «

Актуальность теш. Одной из характерных черт интегрируемых систем является их способность к понижению размерности, в результате чего, например, решение уравнения в частных производных может бить сведено к решению конечномерной динамической системы. Здесь наиболее общепринятым является использование симметрия уравнения, как классических лиевских, так и высших - солитоняых. Например, условие стационарности

относительно высших симметриЛ уравнения KdV приводит к

i

конечнозонным решениям. Другим способом является использование преобразований Бэклунда. В работах Дк. Вейсса, А.Б, Шабата, А.П. Веселова, Р.И. Ямилова показано, что 'конечнозонные решения могут быть описаны, как решения, инвариантные относительно периодически замкнутой цепочки преобразований Бэклунда.

В диссертации показывается, что при этом подходе естественно возникает еще один уровень дискретизации, то есть от системы обыкновенных дифференциальных уравнений можно перейти к чисто дискретной системе, а именно», нелинейному действию группы дискретных автопреобразовакий порожденных формулой нелинейной суперпозиции преобразований Бэклунда. Таким образом, теория конечнозонных решений оказывается тесно связанной с активно развиваемой в последнее время теорией

интегрируемых дискретных отображений (В.И. Арнольд, А.П.

* -

Веселов, J. Moser, G.R.W. Quispel, P.W. Nljhopi, Ы. Bruschl, 0. Ragnlsco, P.M. Santlnl и др.).

.Рассматриваемые автопреобразования полезны и в других постановках. А.П. Веселов и А.Б. Шабат показали, что комбинация периодического замыкания преобразований Бэклунда и калибровочного преобразования приводит к уравнениям Пенлеве и

их высшим аналогам. В диссертации такие представления

этом формулы нелинейной суперпозиции приводят к преобразованиям Шлезингера для этих уравнений. Их изучением занимались А.П. Воробьев, В.И. Громак, H.A. Лукашевич, Н. Alrault, М. Boltl, A..S. Fotos, A.C. Newell и др.. Используемый в диссертации подход не только значительно упрощает вывод этих преобразований, но и делает более прозрачной их групповую структуру.

Объект исследования - автопреобразования нелинейных цепочек, то есть преобразования вида / = Pj If), переводящие решения бесконечных систем ОДУ вида

в решения. При этом, как правило, рассматриваемые нелинейные цепочки интерпретируются как последовательность преобразований Бэклунда для уравнений в частных производных, а исследуемые автопреобразования - как формулы нелинейной суперпозиции для них.

Целью работа является построение новых примеров формул нелинейной суперпозиции преобразований Бэклунда и изучение их свойств. В частности, а) построение при помоши этих фэрмул новых примеров интегрируемых дискретных отображений; б) исследование на их основе трансформационных свойств уравнений Пенлеве.

Общая методика исследования. Для построения и изучения нелинейных цепочек используются представления нулевой кривизны вида

приводятся для всех уравнений Пенлеве, кроме первого. При

lJtX = 0,1/1 или Н(Г

J+t.X,JJ.X

где №,{/ - матрицы, зависящие от полевых переменных / и спектрального параметра X. Формула нелинейной оуперпозиции для цепочки (1) находится при разрешении системы

«&-» = "Л-, <2)

относительно переменных Для приложений важны

конечномерные системы, получаемые из бесконечной цепочки (1) при различных редукциях. Самой простой является периодическое замыкание

приводящее к конечнозонным решениям. При этом дискретное-соответствие, порождаемое преобразованиями (2), интегрируемо

А

и мокет быть описано в терминах факторизации .матрицы !У? = И^. ..¡Гг, то есть подходит под схему из работы 1. Комбинация периодического замыкания с калибровочным преобразованием приводит к трансцендентам Пенлеве и их высшим аналогам. В этом случае вывод преобразований Шлезингера для уравнений Пенлеве состоит в простом переписывании преобразований (2) в нужных переменных. '

Научная новизна и практическая ценность. В диссертации предложен метод построения автопреобразований для цепочек преобразований Бэклунда на основе матричного представления нулевой кривизны. С его помощью эти автопреобразования найдены для целого ряда моделей. Установлена груйловая структура этих автопреобразований. На примерах уравнений КЛУ и N15 показано, что дискретные отображения, порождаемые автопреобразованиЛми соответствующих цепочек, на которые

1 Веселов А.П. (1991) Функц. анализ и прилох, 25(2), 38-49

наложено условно периодичности, являются интегрируемыми пуассоновкми соответствиями. Найдены представления в виде цепочки, инвариантной относительно композиции сдвига и калибровочного преобразования, для уравнений Из клеве Р2-Рб. Показано, что эвтопреобразования соответствующих цепочек порождают преобразования Шлезингера для этих уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по интегрируемым системам в Институте Математики УНЦ РАН (руководитель д.ф.-м.н. В.В, Соколов), семинаре по квантовой теории поля в математическом Институте РАН (руководитель д.ф.-м.н. А.К. Погребков), семинаре по дифференциальной геометрии в МГУ (руководитель акад. С.Т1. Новиков), на заседании ученого совета Института Теоретической Физики им. Л.Д. Ландау РАН.

Структура диссертации. Диссертация состоит из 23 разделов, объединенных в 5 глав. Объем диссертации 127 стр. Нумерация утверждений, формул и рисунков своя в кавдом разделе; при ссылках на другие разделы используется запись типа "Теорема 1.1", "формула (3.1)". Библиография содержит 63 наименования.

Содержание диссертации.

В первой главе рассматривается преобразовашв Дарбу для оператора Шредингера, приводящее к цепочке

На этом наиболее простом примере подробно разбирается обшая

схема, применяемая далее к другим операторам. -Разделы 1.2,4

«

включают в . себя разложение преобразования Дарбу на

V

элементарные, вронсхиаиную технику и вывод принципа нелинейной суперпозиции. Лвтопреобрязоваиио цепочки (3). полученное по формуле (2), имеет вид

' 0ь - ßb . ~

4 « f* * frf^' 0* '

f - / ' - hLllizL О - fl <4)

• »й Jk-l fj * /j> ßj 'Py J *

и удовлетворяют тождествам

то есть группа В, порожденная Б^, изоморфна группе финитных перестановок бесконечного числа элементов. В 3-м раздело рассматриваются эволюционные уравнения, связанная с оператором Шредингера. Они связаны последовательностью дифференциальных подстановок типа преобразования Миурн, которые - легко получить из замен переменных в цепрчке (2). Оказывается, что автоггреобразования (4) также могут бить переписаны при этих заменах. Раздел 5 содержит один ноьый способ построения ,* точнороиабыас операторов Шрвяотг<?рз, обобщающий классический метод Крана (Теорема 5.1).

Вторая глава пссвякенз разработке теории 4-го и 5-го уравнений Пенлевв- нз основе цопочки (3). Хотя большая часть результатов, касающихся этих уравнения, известна (в основном из работ В.И. Громака и H.A. Лукашевича), мы воспроизводим их с целью продемонстрировать удобство' цепочечного аппарата. Раздал 6 .содержит краткое излечение подхода к Р4,?5 и юс высшим -анатогам из работы2. Именно, сказывается, что

СА. П. Ее .»лов, А.В.Ша^.тг (1993! Фушсц.ан. и при. 27(2>,1-21

динамическая система, получающаяся из цепочки (3) при периодическом замыкании

Ъ*« * в Ь + а (5)

где а * О, эквивалентна при N=3,4 соответственно 4-му и 5-му уравнениям Пенлеве. В разделах 7,10 показано, как формулы (4) приводят к преобразованиям Шлезингера для этих уравнений. В 'разделах 8, 9 изучаются рациональные решения Pi. Для одного из двух классов рациональных решений с помощью результатов .разделов 4,5 удается выяснить, при каких значениях параметров эти решения регулярны на вещественной оси (Теорема 9.2).

В третьей главе рассматривается дискретное отобракение В, возникающее из преобразований (4) после наложения условия периодичности (5) с а=0. Цель первого раздела этой главы -показать, что оно интегрируемо в смысле работа^ (Теорема 11.1). В разделе 12 динамика исследуется более детально. Показано, что преобразование Абеля, лннееризупдее систему Дубровина, линеаризует также и соответствие В. которое оказывается эквивалентным #-значному сдвигу на многообразии Якоби. В разделе 13 устанавливается связь рассматриваемого соответствия с задачей о перекройках многоугольника, которая впервые вызвала интерес автора к данной теме (1 ].

В четвертую главу включены по возможности разнообразна» примеры интегрируемых цепочек, порозденных пр^образььэншша Дйрбу для различных дифференциальных операторов, как скалярных, так и матричных. Как и для оператора Шредингера, для них выводятся принципы нелинейной суперпозиции, позволяющие строить точные решения ассоциированных уравнений

3 Веселов А.П. (1991) Успехи лая. наци 4б{5),3-45

частных производных и, с другой стороны, дающие новые римеры интегрируемых отображений. Общая схема изложена в аделе 14. В раздело 15 более подробно разобран важный случай ператора Дирака, с которым связана нелинейная система редингера. В работах4 изучались многополевые обобщения этой истемы и соответствующие им цепочки преобразований Вэклунда.

разделе 17 показано, что принцип нелинейной суперпозиции акже допускает многополевое обобщение. Раздел 18 содержит римеры цепочек, отвечающих операторам второго порядка типа ператора Дирака. Среди ассоциированных систем - модели эгнетика Гейзенберга и Ландау-Лифпица. Результаты этого аздела были получены совместно с Р.И. Ямиловым в [31.

В пятой главе приводятся цепочечные представления для равнений Рг, Р3, Рб и вырожденного случая Р6, пропущенного анее. В разделе 19 описана модификация общей схемы, эобходимость которой вызвана тем, что в случае матричных ператоров приходится более явно учитывать калибровочные реобразования. Уравнение ' Р£ представлено при помощи реобразования Дарбу для скалярного диЗференциальногр таратора 3-го порядка (раздел 20), а остальные - при помощи реобразований Дарбу для оператора Дирака (разделы 21-23)'. ^пользование принципа нелинейной суперпозиции позволяет ¿вести преобразования Шлезингера и исследовать их групповые аойства и для этих уравнений Пеялева.

БПпоГирот Б I (1992) Ccrnmm.tath.Fny3. 143,559-575; ?1по1ироч Б I ап! УашНоу И I (1991) РЬуа.Ьегг.А 160,548-552

riyOjmKaiíHK no tous fluccepiavm: (11 ü.3.A№p, ílepeKpoíiKa MHoroyrojibHMKOB, $y>im. oxatu3 u

npiuox. 27.2 (1993) 79-82 12) AOler v E, Nonlinear chains and Painlevè equations,

Fhyalca D 73 (1994) 335-351 (3) Adlex- V E, Yamllov R I, Explicit auto-transrormatlons of

integrable chains, J.Physics A ZÏ- (1994) 477-492 14] Adler V E, Monllnear superposition principle for Jordan NLS equation, Phya. Let. A 190 (1994) 53-58

Соискатель

(Адлер В.Э.)

ГП «Принт» Зак. >й &0 Тираж SOO экз.