Дисперсионный метод изучения пионных взаимодействий при высоких энергиях, основанный на анализе низкоэнергетических процессов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВВДЕШЕ

ГЛАВА I ОДНОМЕРНЫЕ ДИСПЕРСИОННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

§ 1.1 Общие свойства, формулы и обозначения

§ 1.2 Одномерные дисперсионные соотношения на аналитических кривых и парциальные амплитуды

§ 1.3 Одномерные представления функций .двух: комплексных переменных на ветвях многозначных функций и неаналитических кривых

§ 1.4- Представления амплитуд на лучах

§ 1.5 Представления для парциальных амплитуд и дайн рассеяния

§ 1.6 Правила сумм дан амплитуд рассеяния на больше углы

ГЛАВА 2 ЮАШОДЕЙСТВИЕ ПИОНОВ ПРИ НИЗКИХ ЭНЕРГИЯХ И ОЦЕНКА

ВЫСОКОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ

§ 2.1 Некоторые следствия .дисперсионных соотношений на лучах в резонансном приближении

§ 2.2 Приближенное представление для парциальной амплитуда

§ 2.3 Асимптотика амплитуд на большие углы

§ 2.4 Правила сумм и асимптотика Л л/ амплитуд при высоких энергиях на большие углы

§ 2.5 Описание фаз рассеяния при низких энергиях.

§ 2.6 Полюсные модели, общие формулы

§ 2.7 Простой полюс Померанчука

§ 2.8 Модель амплитуды с логарифмическим ростом полного сечения

§ 2.9 Замечания о модели с максимальным ростом полного сечения

ГЛАВА 3 ДВОЙНЫЕ ДИСПЕРСИОННЫЕ ПРОСТАВЛЕНИЯ И МОДЕЛЬ

ДВОЙНЫХ СПЕКТРАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

§ 3.1 Простой пример р -функции

§ 3.2 Поведение длин рассеяния при асимптотически больших моментах

§ 3.3 Двойные дисперсионные представления амплитуд с рэджевской асимптотикой

§ 3.4 Условия на амплитуду и .двойную спектральную функцию

§ 3.5 Пример двойной спектральной функции

Первая попытка формулировки принципа причинности и получения дисперсионных соотношений в квантовой теории была сделана Гелл-Манном, Гольдбергером и Тиррингом / I / . Интенсивное развитие нового метода, получившего название метода дисперсионных соотношений, было завершено на первом этапе академиком H.H. Боголюбовым, предложившим математическую формулировку принципа причинности/2/ и давшим первое доказательство одномерных дисперсионных соотношений с фиксированным переданным импульсом. Вслед за этим Боголюбовым »Медведевым и Поливановым/3/ была дана первая последовательная формулировка метода дисперсионных соотношений, как отражения фундаментальных свойств теории - причинности, унитарности и кроссинг-симметрии» Развитие принципиальных основ теории дисперсионных соотношений завершилось гипотезой Мавдель-стама / 4 / о двойных дисперсионных представлениях »явно отражающих аналитические свойства амплитуд двухчастичных процессов, как по энергии, так и по переданному импульсу.

Вобрав в себя основные принципы теории, метод дисперсионных соотношений установил аналитические свойства амплитуд рассеяния и предоставил возможность воспользоваться методами теории аналитических функций, В основе метода лежит дисперсионное соотношение, отражающее прежде всего аналитические свойства амплитуд рассеяния. Имея дело с функциями нескольких комплексных переменных и выбирая различные дисперсионные представления, помимо факта реализации аналитических свойств, дисперсионные соотношения задают также и способ аналитического продолжения амплитуд. Например, если в качестве исходного дисперсионного соотношения выбрано представление с фиксированным переданным импульсом, то прослеживаются тесные связи между низкоэнергетической областью и асимптотической областью рассеяния в окрестности вперед. Поэтому, вообще говоря, преследуя заранее цель установления определенных связей, следует исходить из таких дисперсионных соотношений, где эти связи отражаются наиболее непосредственно.

Из многочисленных приложений метода дисперсионных соотношений выделим два. Уже на заре возникновения метода были сделаны попытки построения динамических моделей взаимодействия элементарных частиц в области низких и средних энергий и применение их к интерпретации результатов фазового анализа реакций. Непосредственным следствием дисперсионного подхода является установление правил суш. Начиная с известной работы Логунова-Соловьева-Тавхелидзе /5/ , методы, основанные на правилах сумм, позволили связать процессы, протекающие в существенно различных областях энергий и переданных импульсов и явшшсь источником ряда плодотворных физических гипотез.

Проследим более детально за развитием этих двух направлений в рамках метода дисперсионных соотношений. В построении динамических схем известно два самостоятельных подхода. В основе одного из них лежат одномерные дисперсионные соотношения, в основе другого, получившего название динамической схемы Мандельстама, лежат двойные представления /4/ . Обратимся к первому, наиболее результативному из этих подходов, который восходит к классической работе Чью, Голбергера, Лоу и Намбу /б/ . Существо схемы весьма прозрачно. Пусть имеется одномерное дисперсионное представление для полной амплитуды по одной из переменных, зависимость по другой переменной передается некоторым фиксированным параметром. Получаем из этого представления представление для парциальных амплитуд, т.е. амплитуд состояний с определенными изотопическим спином, полным моментом, спином. В области низких энергий амплитуды с высшими спинами не существенны и ими можно пренебречь, отсутствуют неупругие процессы и, следовательно, амплитуды с хорошей точностью удовлетворяют упругому условию унитарности. Сделав эти упрощения, приходим к системе сингулярных интегральных уравнений, которые в ряде интересных случаев сводятся к краевой задаче для аналитических функций и эффективно решаются. Решение возникающих линейных задач обычно не вызывает затруднений (см., например, /7/ ), для возникшей нелинейной задачи было найдено решение Кастильехо, Далитцем и Дайсоном (КДЦ) /8/. Простая с первого взгляда схема натолкнулась, однако, на рад, как позже выяснилось, принципиальных математических трудностей. Ряды парциальных амплитуд в подинтегральных выражениях сходятся в ограниченной области изменения внешних переменных для представления, например, с фиксированным переданным импульсом, что приводит к ограниченной применимости представлений для парциальных амплитуд. Пренебрежение этим обстоятельством иногда приводило к . уравнениям, не имевшим физических решений /9/. Попытки обойти эту трудность /10-13/ привели лишь к незначительному расширению области энергий, где представления для парциальных амплитуд остаются справедливыми, к существенному усложнению самих представлений. Следующее затруднение, уже в большей степени физическое, возникло в связи с ростом амплитуд в области высоких энергий в окрестности рассеяния вперед, необходимостью вычитания дисперсионных интегралов и определения коэффициентов вычитательных полиномов. Математическая формулировка в этом случае оказалась таковой, что по существу представления с фиксированным переданным импульсом связывали область взаимодействия при низких энергиях с окрестностью рассеяния вперед при высоких энергиях. То есть, физически область низких энергий оказалась незамкнутой. Осознание этого факта привело к созданию простых динамических моделей и удовлетворительно согласующихся с экспериментально установленными фактами не только качественно, но и количественно /14/ . Однако, детализация низкоэнергетической картины требует соответствующей детализации информации о высокоэнергетическом поведении амплитуд в о1фестности вперед. Картина процессов, протекающих при больших энергиях с малыми переданными импульсами, сложна сама по с обе и в настоящее время не является в достаточной мере установленной, что оказывается принципиальным препятствием для продвижения в этом направлении.

Другой подход к описанию низко энергетических процессов был предложен Мандельстамом /4 / и известен как Мандельстамовская унитарная схема. Схема состоит в определении двойных спектральных функций, исходя из условия унитарности. Формулировка в этих терминах задачи, ограниченной даже упругим условием унитарности, оказывается математически сложной и простых аналитических методов ее анализа не разработано. В результате разносторонних исследований были предложены приближенные методы, например, стрип-аппроксима-ция Чью /15/ , было показано существование решений в некоторых конкретных схемах, предложены некоторые модификации схемы и, наконец, получены численные решения для некоторых конкретных процессов, Помимо упомянутой математической необозримости задачи, в этом подходе также возникают трудности, связанные с необходимостью достаточно детального описания асимптотических свойств амплитуды рассеяния в окрестности рассеяния вперед на языке двойных спектральных функций, согласованное с условием унитарности (см»например, /16/ );

Существенное продвижение в понимании как качественной, так и количественной картины взаимосвязей процессов взаимодействия при низких энергиях и высоких энергиях было связано с развитием техники правил суш /5/ • Основное качественное наблюдение привело к формулировке принципа дуальности и его многочисленного приложения. На этой основе были предложены модели амплитуд, вначале дуальной резонансной модели Венециано /17/ , а затем и ее обобщения, передающего аналитические свойства амплитуд /18/ • Модельные представления амплитуд нашли широкое применение в различных вопросах физики взаимодействия частиц (см.»например, /18,19/ )• В частности, на моделях проявились явно трудности Мавдельстамовской схемы. Например, было показано /18/ , что приближенное отражение аналитических свойств в дуальных аналитических моделях приводит к нарушению даже простейших унитарных свойств амплитуды рассеяния в околопороговой области» Этим можно объяснить и трудности, возникавшие в ранних попытках численной реализации Мандельстамовской унитарной схемы.

За последнее десятилетие достигнут существенный прогресс в физике высоких энергий. С одной стороны этому мпособствовал прогресс в теоретических цредетавлениях - развитие квантовой хромоди-намики, установление свойств автомодельности и т.д. С друтой стороны, получена новая экспериментальная информация о поведении полных сечений, дифференциальных сечений как в области дифракции,так и в области больших переданных импульсов.

В традиционной области низких энергий к настоящему времени накоплен большой фактический материал. При этом не только уточнены и расширены сведения о фазах рассеяния и в существенной степени устранен произвол в их определении, но также предприняты экспериментальные попытки оценить такие тонкие структурные факторы, как расположение нулей в подпороговой области. Все это вновь ставит вопрос о развитии и разработке новых методов, позволяющих сопоставить результаты, полученные в этих различных областях энергий.

Как уже говорилось, на пути применения одномерных спектральных представлений принципиальные затруднения связаны с тем, что теоретически хорошо обоснованные представления с фиксированным переданным импульсом (или представления им аналогичные Л0-13/ , которые ниже будем называть t - подобными) существенно включают в рассмотрение асимптотическую область с малыми переданными импульсами, а такие процессы сами по себе определяются динамикой взаимодействий. Развитие представлений о взаимодействии адронов (см.»например, /20, 21/ ) привело к выводу об их асимптотической свободе в области больших энергий при фиксированном угле рассеяния отличном от направления рассеяния вперед или назад. Иначе говоря, можно полагать, что в этой области амплитуда рассеяния имеет достаточно простую структуру, определяющуюся кинематическими размерными соображениями. Имея это в виду, отметим принципиальную возможность устранить трудность, связанную с 1 - подобными представлениями: следует попытаться получить представления для амплитуды рассеяния, не содержащие в асимптотике вкладов от областей малых переданных импульсов. В таком случае факт асимптотической свободы взаимодействий приведет к возможности простого моделирования вкладов от асимптотических областей и, например, область низкоэнергетического взаимодействия окажется в этом смысле замкнутой. Успешное решение низкоэнергетической задачи в таком подходе в принципе позволяет путем продолжения парциальных амплитуд в комплексную { - плоскость устанавливать связи низкоэнергетических процессов с процессами в области больших энергий при малых переданных импульсах. С другой стороны, возникающие в рамках таких представлений правила сумм будут связывать околопороговую и резонансную области с асимптотиками, предсказываемыми квантовой хромодинамикой, что может явиться независимым способом оценки подобных асимптотик. Точнее говоря, речь идет об асимтотике амплитуды в автомодельной области /22/ .

В первой главе диссертации излагаются вопросы, связанные с возможными модификациями 1 - подобных дисперсионных соотношений, их достоинства и недостатки. В результате этого анализа делается вывод о необходимости построения дисперсионных представлений на ветвях аналитических хфивых в плоскости Мандельстама,покрывающих с изменением параметра физические области каналов реакций и имеющих асимптоты, не совпадающие с линиями ~ О, и = <э . Устранение возникающих при этом вкладов от нефизических особенностей приводит к необходимости предельного перехода к неаналитическим кривым. В §§ 1.3, 1.4 вводятся такие представления и дается доказательство представлений амплитуд вдоль лучей, покрывающих полностью области физических каналов реакций. Параметрическое семейство лучей при изменении параметра в одном из физических каналов приводит к тому, что информация от перекрестных каналов черпается также из физических областей 1фоссинг-цроцессов. Это приводит к сходимости парциальных разложений в каждой конечной области изменения физических переменных и, как следствие этого факта, к справедливости представлений для парциальных амплитуд во всей области внешней переменной (исключая бесконечно удаленную точку) ( § 1.5 )♦ Далее, поскольку при каждом фиксированном Б (например, рассматривая 3 -канал реакции) ,лучи имеют ненулевой угол с линиями { = О ) и = 0 »а амплитуды вдоль таких направлений падают, то спектральные интегралы существуют в невычтенной форме, что избавляет такой подход от неопределенностей, связанных с определением коэффициентов вычитательных полиномов. Непосредственным следствием свойств амплитуд, записанных представлениями на лучах и предположений о достаточно быстром падении амплитуд в асимптотической области являются правила сумм для полных амплитуд при произвольном фиксированном утле рассеяния отличном от значений О, Л ( § 1.6).

Вторая глава диссертации посвящена вопросам физики взаимодействия пионов. В § 2.1 проводится оценка констант порогового разложенил в приближении узких резонансов ( £ -приближение). В отличие от t -подобных представлений в рамках представлений на лучах возникающие ряды парциальных амплитуд носят знакопеременный характер и вклады высших резонансов оказываются порядка вкладов резонансов с низшими спинами. Так,взамен отрицательных вкладов от асимптотической области в t -подобных представлениях, возникает необходимая компенсация больших вкладов от состояний с низшими спинами при определении,например, длин рассеяния.

Получаемые дисперсионные представления для парциальных амплитуд имеют сложную структуру и не позволяют получать аналитические решения унитарной задачи. С этой целью в § 2.2 проводятся необходимые упрощения, основным предположением при этом является пренебрежение вкладами от асимптотических областей в интегральных членах. Справедливость этого предположения проверяется в конце § 2.3. Основное содержание §§ 2.3,2.4 состоит в анализе правил суш для лл. и л. -амплитуд с фиксированным углом рассеяния. Оказывается, что вклад от резонансной области насыщается суммой низших, экспериментально известных, резонансов. Это обстоятельство позволяет сделать оценку асимптотики мнимой части амплитуды рассеяния при больших энергиях и фиксированном угле рассеяния. Полученные оценки дифференциальных сечений и сравнение их с наблюдаемыми величинами позволяют сделать два вывода. Асимптотический режим нар ступает при относительно низких энергиях ^ 10 Гэв . Главный асимптотический коэффициент dec) = livn Sl+e' 2m A Cs,c) может быть

S-> СЮ выражен в виде суммы известных низших резонансов.

В §§ 2.5 - 2.9 строятся парциальные л л амплитуды при произвольных t . Для физических 1^2 полученные решения хорошо согласуются с известной низкоэнергетической информацией. Продолжением

Аес s) в комплексную плоскость орбитального момента устанавливается связь низко энергетических решений с асимптотикой амплитуды рассеяния вперед в перекрестном канале. Аналитическое продолжение существенно определяется продолжением КДД параметров, входящих в Д^(8) , в частности длин рассеяния. Предполагаемая зависимость длин рассеяния от i определяет характер особенностей парциальной амплитуды в \ -плоскости и, следовательно, вид асимптотики полной амплитуды, В работе анализируются модели с однократным, двойным и тройным полюсом Померанчука,Основ-ное следствие развитого формализма состоит в выделении из параметров амплитуды, характеризующих ее поведение при высоких энергиях, тех, которые определяются низкоэнергетическими свойствами взаимодействия, При дополнительных предположениях вычислены коэффициенты разложения полных сечений в перечисленных моделях в асимптотической области.

Третья глава посвящена построению модели двойных спектральных функций амплитуд с рэджевской асимптотикой и определению амплитуд с помощью таких спектральных функций. Для определения амплитуд в § 3,3 вводится двойное дисперсионное представление, в котором коэффициенты вычитательных полиномов определяются с помощью аналитического продолжения спектральных интегралов из области переменных, где такие интегралы существуют в невычтенной форме. Возможность такого определения тесно связана со свойствами рэджев-ских траекторий. Например, пусть функция АСбД) имеет асимптотику и является аналитической функцией 1 с разрезом. Если < О цри в меньше некоторого в0 , то в области, определяемой этим в© , АС^Д ) можно представить по переменной Ь невычтенным интегралом Коши. Вне этой области А(^"И будет определяться аналитическим продолжением первоначального интеграла,"

§§ 3,4,3.5 посвящены формулировке условий на двойные спектральные функции и построению примера двойной спектральной функции, удовлетворяющей перечисленным требованиям. Как уже упоминалось, наибольшую сложность вызывает согласование асимптотики рэд-жевского типа с условием упругой унитарности, в частности с правильным пороговым разложением амплитуд, следующим из условия унитарности. Трудность состоит в том, что эти два свойства определяются характером поведения двойной спектральной функции в окрестности точки ее границы <=>->4 , 1:-* с*3 при различных подходах к ней. Лишь наличие специфической особенности двойной спектральной функции в этой точке может обеспечить совместное выполнение этих условий. Приведенный пример показывает возможность такого определения.

ПАВА. I ОДНОМЕРНЫЕ ДИСПЕРСИОННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

Наиболее результативное применение дисперсионных соотношений к упругим процессам связано с одномерными представлениями, т.е. с представлениями, отражающими аналитические свойства по одной из переменных, когда другая переменная фиксирована. Наибольшее распространение получило дисперсионное представление с фиксированной передачей импульса Ь . Связано это естественно с тем обстоятельством, что представление с фиксированным переданным импульсом, как уже отмечалось, является следствием основных принципов квантовой теории поля.

Однако, являясь строго доказанным, представление с фиксированным t » как выясняется в приложениях к конкретным задачам, недостаточно полно отражает основные свойства амплитуд. В частности, это касается необходимых свойств кроссинг-симметрии амплитуд. Представление также требует существенного доопределения расходящихся интегралов, т.е. определения коэффициентов вычита-тельных полиномов.

В настоящей главе подробно излагаются возможные модификации одномерных представлений для амплитуд, основанные на выборе различных однопараметрических семейств кривых в плоскости Манд ел ьс-тама, вдоль которых реализуются свойства аналитичности и симметрии амплитуд. Рассмотрение этого вопроса разбивается на анализ семейств аналитических (§2) и неаналитических (§ 3, 4) кривых, где вводится основное для дальнейшего представление на лучах. В § 5 приводится представление для парциальных амплитуд и некоторые общие следствия этого представления. В § 6 выводятся правила сумм для рассеяния на большие углы. Результаты этой главы изложены в работах ДО, 13, 30, 31/.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Метод дисперсионных соотношений в физике элементарных частиц за свою тридцатилетнюю историю стал классическим в вопросах обработки и интерпретации экспериментальных данных, построении динамических моделей, в установлении правил сумм и т.д. Наибольшее распространение получили одномерные .дисперсионные соотношения. Среди известных одномерных дисперсионных соотношений фундаментальная роль принадлежит представлениям с фиксированным переданным импульсом.

Бурное развитие теории и физики сильных взаимодействий в последнее десятилетие, в особенности установление и проверка ав-томодельности адронных процессов, развитие квантовой хромодинами-ки, проникновение эксперимента в область больших переданных импульсов при высоких энергиях в адронных столкновениях, накопления большого фактического материала при низких энергиях потребовало развития дисперсионных методов как для установления соотношений между процессами,протекающими при низких и высоких энергиях, так и позволяющих эффективно анализировать процессы в области больших переданных импульсов. Такая постановка вопроса потре бовала обратиться к основам .дисперсионных теорий - дисперсионным соотношениям. В диссертации введен новый класс одномерных спектральных представлений на неаналитических кривых в плоскости Ман-дельстама. Полученные представления существуют без вычитаний и, таким образом, не содержат произвола, связанного с определением коэффициентов вычитателышх полиномов. В отличие от t -подобных представлений в этих соотношениях асимптотические вклада определяются не областью диффракционного рассеяния, а областью больших переданных импульсов, где степенное спадание амплитуд приводит к тому, что область низких энергий практически не зависит от области высоких энергии. Это позволяет сформулировать замкнутую низкоэнергетическую картину упругих взаимодействий адронов. Парциальные амплитуды в этой картине, путем их продолжения в комплексную í -плоскость, позволяют проанализировать соотношения между низкоэнергетическими и высокоэнергетическими характеристиками в окрестности нулевых передач. Интересны возникшие на этом пути структурные следствия: модели с растущим сечением, вследствие ограничения Фруассара, приводят к появлению нуля в парциальной амплитуде существенно зависящего от орбитального момента. В окрестности диффракционного пика такой нуль приводит к известному быстрому спаданию дифференциального сечения по t . Интересно также отметить полученное существенное подавление вклада дважды логарифмического члена по сравнению с логарифшаческим в полное сечение в модели с максимальным ростом полного сечения.

Одним из наиболее важных следствий развитого подхода являются полученные правила сумм .для мнимых частей амплитуд с фиксированным углом рассеяния. На этом пути обнаруживается связь между степенной асимптотикой амплитуды в автомодельной области с областью резонансного рассеяния и определяющую роль играют низшие экспериментально известные резонансы. Анализ упругой л .У амплитуда вследствие отсутствия лидирующей траектории в состоянии с естественной четностью и старшим изотопспином приводит к подавлению в асимптотике мнимой части векторной компоненты амплитуды при больших углах рассеяния. Таким образом, аномалия в спектре л. V системы приводит к аномалии в асимптотическом поведении. Следует подчеркнуть, что установленными правилами суш открывается возможность немодельной оценки коэффициентов асимптотического разложения при больших углах рассеяния.

Несмотря на то, что теории, основывающиеся на одномерных дисперсионных соотношениях предоставляют тонкие и глубокие методы решения целого класса важнейших задач физики высоких энергий, тем не менее они не решают исчерпывающим образом задачу построения амплитуды рассеяния как функции двух комплексных переменных. Дальнейшее развитие теории, в основе которой лежат двойные спектральные представления, помогло бы существенно более глубоко проследить взаимосвязи процессов, протекающих в различных кинематических областях. К сожалению, понимание математической структуры Мандельстамовской схемы остается весьма скромным. До последнего времени не было построено даже примера двойной спектральной функции, передающей рэджевскую асимптотику амплитуды и правильное пороговое разложение амплитуд. Предложенное решение этого вопроса открывает возможность построения амплитуд как с правильными асимптотическими свойствами, так и передающих основные черты низкоэнергетической физики, что будет способствовать более глубокому пониманию взаимосвязей процессов весьма далеких по своим физическим проявлениям.

Автор глубоко благодарен члену-корреспонденту АН СССР Ширкову Д.В. и доктору физ.-мат. наук Серебрякову В.В. за ценные дискуссии, интерес к работе и то их влияние на автора, которое стимулировало обращение к данной теме исследования.

Автор признателен академику Логунову A.A. и профессору Соловьеву Л.Д. любезно предоставивших возможность выполнить завершающие работы в стенах отдела теоретической физики Института физики высоких энергий.

Своим товарищам по работе Валлу А.Н., Волкову М.К., Ефремову A.B., Житницкому И.Р., Калошину А.Е., Кириллову В.И., Орлову И.И., автор благодарен за .дискуссии и советы.

1. Gell-Мадп М., Goldberger М, Thirring W. An application of causality conditions in quantum theory. Phys.Rev., 1954, 22, p.1612-1627.

2. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей, 1976, Наука, М. , 480 стр.

3. Боголюбов Н.Н., Медведев Б.В., Поливанов М.К. Вопросы теории дисперсионных соотношений, 1958, Физматгиз, М„ 204 стр.

4. Mandelstam С. A definition of meson-nucleon scattering amplitude with, dispersion relations and unitarity condition. Phys. Rev., 1958, 112. p. 1344-1360.

5. Logunov A.A., Soloviev L.D., Tavkhelidze A.N, Dispersion sim rules and high energy scattering. Phys. Lett., 1967, 243. p. 181-184.

6. Chew G., Goldberger M., Low P., Nambu У. Application of dispersion relations to low-energy meson-nucleon scattering. Phys. Rev., 1957, 106. p. 1337-1345.

7. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. Физматгиз, 1963, М. Мусхелишви-ли Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. Физматгиз, 1962, М.

8. Castillejo L., Dalitz R., Dayson P. Lowfs scattering equations for the charged and neutral scalar theories. Phys. Rev., 1956, 101. p. 453-458.

9. Ширков Д.В., Серебряков В.В., Мещеряков В.А. Дисперсионные теории сильных взаимодействий при низких энергиях. Наука, 1967, М. , 324 стр.

10. Орлов И.И., Парфенов Ю.В. Высшие парциальные волны в низкоэнергетическом лп-рассеянии. ЯФ, 1967, 5, с.1102-1109.

11. Mahoux G., Roy S.M., Wanders G. Physical pion-pion partial-wave equations based on three channel crossing symmetry, Nucl. Phys. 1974, В.Ю» P* 297-316.

12. Quberson G., Epele L. A tool for extending the analyticity 1 domain of partial wave amplitudes and the validity of Roytype equation. Preprint DPL-T/74.25, 1974.

13. Mueller-Preussker M., Parfionov I.V. Generalized Dispersion Relations on Parabolic Maniforlds for Pion-Pion Scattering. Сообщения 0ШИ E2-III30, 1977, Дубна.

14. Serebryakov V.V., Shirkov D.V. Short-Range Repulsion and Broken Symmetry in Low-Energy Scattering. Port, der Phys.1970, 18, 527-576.

15. Чью Дж. Аналитическая теория S -матрицы. 1968, Мир, М.

16. Коллинз П., Сквайре Э. Полюса редже в физике частиц,1971, Мир, М. , 350 стр.

17. Veneziano G. Construction of a Crossing-Symmetric Regge Behaved Amplitude for Linearly Rising Trajectories. Nuo-vo Cim., 1968, A§1, p.190-192.

18. Шелест В.П., Зиновьев Г.М., Миранский В.А. Модели сильно-взаимодействующих элементарных частиц т.II, 1976, Атомиз-дат, М. с.221.

19. Де Альфаро В., Рубини С., Фурлан Г., Росетти К. Токи в физике адронов, 1976, Мир, М.

20. Андреев И.В. Хромодинамика и жесткие процессы при высоких энергиях. 1981, Наука, М.

21. Клоуз Ф. Кварки и партоны. 1982, Мир, М.

22. Волков М.К. Мезонные лагранжианы в модели с четырехнваркоiвыми взаимодействиями и распады мезонов. Труда семинара по физике высоких энергий и кв.теории поля, 1983, Серпухов, с. 243-267.

23. Волков М.К., Осипов А.А. Длины лп-рассеяния. ЯФ, 1984, 39, с.694-698.

24. Badalyan A.M., Kok L.P. et al. Resonances in coupled channels in nuclear and particle physics. Phys. Rep. 1982, 82. p.31-177.

25. Буднев B.M., Серебряков В.В. Двухканальная задача с линейной унитарностью. ЯФ, 1976, 23, с.1306-1315.

26. Ачасов Н.Н., Девянин С.А., Шестаков Г.Н. Проблема скалярных мезонов. УФН, 1984, 361-393.

27. Basdevant J.L., Froggatt C.D., Petersen J.L. Construction of Phenomenological Amplitudes. Hucl. Phys. 1974, B72. p. 413-453.

28. Proggatt C.D., Petersen J.L. Phase-shift analysis of scattering between 1.0 and 1.8 GeV based on fixed momentum transfer analyticity I. Hucl. Phys. 1975, B91. p.454-476; II Fuel. Phys. 1978, B129(1). p.89-110.

29. Petersen J.L. The л Jt-Interaction. 1977, Lectures, CERH Report 77-04.р. Мухин K.H., Патаракин 0.0. л л-взаимодействие. УФН, 1981, 133. с.377-426.

30. Алексеева Е.А., Мухин К.Н., Патаракин 0.0. Аналитическая аппроксимация фазовых кривых лл -рассеяния с помощью уравнения Роя. ЯФ, 1982, 35, с.917-924.

31. Carroll J.Т., et al. ЛИ -scattering and Jbd-interactions at 7 GeV/c. Phys. Rev., 1974, D10, рИ 430-1457.

32. Estabrook S.P., Martin A.D. лл- Phase Shift. Nucl. Phys., 1975, B21, p. 322-349.

33. Cason П.М., et al. Study of л л-scattering amplitudes in reaction л+р-»А+члвл° at 8 GeV. Phys. Rev., 1983, D28, p. 1586-1600.

34. Biswas U.H., Cason N.M., et al. Determination of the s-wave I « Олл-phase shifts from threshold to 0.96 GeV. Phys. Rev.Lett., 1981, ££, p.1378-1381.

35. Алексеева E.A., Картамышев В.А. Изучение -ял -рассеяния в области упругого взаимодействия реакции лр-* л л а/. ЖЭТФ, 1982, 82, с.1007-1025.

36. Palon P.P., Yndurian P.J. Low-Energy jlji -Scattering \J Parameters. Huovo Cim., 1974, A19. p. 245.

37. Manner W. New Results in л л-Scattering. IV Conf. on Experimental Meson Spectroscopy. 1974, Boston, Mass.

38. Srinivasan 'V., Helland J.A., Lennox A.J., et al. ;ГГл+-» In t er а с t i ons Below 0.7 GeV from л~р -^лгл+п data at 5 GeV/c. Phys. Rev. 1975, D12. p. 681-693.

39. Grivas J.P. et al. S-Wave лл -Scattering from the Reaction Ji+p -i> at 35 GeV/c. Phys. Lett., 1976, B61. p.400-404.

40. Бельков А. А. и др. Фазы ял-рассеяния из анализа реакции л~р-*тгл+п. вблизи порога. Письма в ЖЭТФ, 1979, 29, с, 652-655.

41. Бельков А.А., Бунятов С.А. Пион-пионное взаимодействие в реакциях однопионного ровдения при низких энергиях. Препринт ОИЯИ PI-80-449, 1980.

42. Бельков А.А., Бунятов С.А. Исследование пион-пионного взаимодействия при низких энергиях в реакции лл/-> л л л/• вблизи порога. ЭЧАЯ 1982, 13, вып. I, с.5-39.

43. Basdevant J.L., Chapelle Р. et al. Comments on the low Energy л л p-Wave. Preprint PAR-LPTHE 75.11, 1975.

44. Budnev H.M., Budnev V.M., Serebryakov V.V. The Influenceof Inelastic л из-Channel on pion Form Factor at2

45. S < (Mu + mjO # Phys. Lett. 1976, B64. p.307-312.

46. Lovelace C. A Hovel Application of Regge Trajectories. Phys. Lett., 1968, B28. p. 264-269.

47. Shapiro J.A. Harrow-Resonance Model with Regge Behaviour for лл-Scattering. Phys. Rev., 1969, 179. p.1345-1353.

48. Frampton P.H. Symmetric Group and Meson Born Amplitudes. Phys. Rev. 1973, 21, p. 3077-3086.

49. Антонов E.H., Кудрявцев B.A., Ляхов К.Б. л л -взаимодействие в борновском приближении дуальной модели с квантованным наклоном рэджевских траекторий. ЯФ, 1983, 38, с.162-172.

50. Roos М. et al. Particle Data Group. Phye. Lett., 1982, Bill.

51. Бинон Ф., и др. Наблюдение нейтрального ^(2510)-мезона со спином j = 6 . Препринт ИФВЭ 83-106, 1983, Серпухов.64 •Compilation of Coupling Constants and Low-Energy Parameters.

52. Nucl.Phys., 1979, B147. p.189-276.

53. Rosselet L., et al. Experimental Study of 30000 Kei decays. Phys. Rev. 1977, D15. p.574-585.

54. Efremov A.V., Mescheryanov V.A., Shirkov D.V., Tzu H.Y. On deriving equations from the Mandelstam representation. Nucl. Phys. 1960, 22, p.202-213.

55. Ефремов A.B., Ширков Д.В. Высшие парциальные волны в лл.-рассеянии при низких энергиях. ЖЭТФ, 1962, 42, с. 13451353.

56. Ефремов А.В., Ужу Хуан-Юань, Ширков Д.В. Нейтральная модель для исследования л л -рассеяния. ЖЭТФ, 1961, 41, с. 608-611.

57. Валл А.Н., Дедушев B.C., Серебряков В.В, 9 -доминантность и будстрап в лл-системе. ЯФ, 1973, 17, с.126-131.

58. Валл А.Н., Парфенов Ю.В. d -волна пл.-рассеяния в области низких энергий. ЯФ, 1975, 21, с.367-372.

59. Mueller А.Н. Perturbative QCD at high energies. Phys. Rep. 1981, 22

60. Lepage G.P., Brodsky S.J. Qluon corrections in QCD and quark counting rules, Preprint SLAC-PUB-2478, 1980

61. Landshoff P.V. Model for elastic scattering at wide angle. Phys. Rev. 1974, D10, p.1024-1043.

62. Радюшкин A.B. Анализ жестких инклюзивных процессов в квантовой термодинамике. ЭЧАЯ, 1983, 14, с.58-122.

63. Chernyak V.L., Zhitnitsky A.R. Exclusive decays of heavy mesons. Nucl. Phys. 1982, B201. p.492-509.

64. Zhitnitsky I.R. Hucleon wave function and nucleon form factor in QOD. Preprint IYaF-82-155, 1982, Novosibirsk.

65. Brodsky S.J., Ellis J. et al. Baryon wave functions and nucleón decay. Preprint SLAC-PUB-3141, 1983

66. Kanwal S.S. A leading order QCD computation of Л+Л*-* Preprint CALT-68-1045, 1983

67. Shimada Т., P.Wagner. JLJl-Scattering at Intermediate Energies and the Pomeron. Preprint MPI-PAE/PTL 54/79, 1980.

68. Коллинз П. Введение в рэджевскую теорию и физику высоких энергий, 1980, Атомиздат, М. , 432 стр.

69. Rubinstein R. Hadron-Hadron Elastic Scattering at Large.Momentum Transfers. Preprint Permilab-Conf-83/50-exp 7120. 577, 1983.

70. Baillon P. et al. Search for Harrow Baryons in Jfp-Elastic Scattering at Large Angles. Phys. Lett. 1980, B94. p.533-536.

71. Gornillon P. et al. Large-Angle Jl"-Proton Elastic Scattering at 14 and 23 GeV/c. Phys.Rev.Lett. 1973, ДО, p.403-405.

72. Baglin C. et al. An Experimental study of large-angle elastic scattering of charged mesons and antiprotons on protons at 20 GeV/c and 30 GeV/c. Incident Momenta. Preprint CERN-EP/82-155, 1982.

73. Ццнерал В.Ф., Трошин C.M., Тюрин H.E. Упругое рассеяниепри сверхвысоких энергиях и следствия соотношения унитарности для амплитуды. Препринт ИФВЭ 80-81 ОТФ, 1980.

74. Трошин С.М., Тюрин Н.Е. Метод вычисления амплитуды рассеяния при высоких энергиях, использующий свойства унитарности и аналитичности. ЭЧАЯ, 1984, 15, вып.1, с.53-93.

75. Голоскоков С.В. Спиновый механизм роста полных сечений и поляризационные явления при высоких энергиях в модели ме1. зонной "шубы" адрона. ЯФ, 1984, 39, с.913-919.

76. Голоскояов С.В. Новый механизм "спиновой" динамики сильных взаимодействий при сверхвысоких энергиях. Препринт ОИЯИ P2-84-I3I, 1984.

77. Голоскоков С.В., Кулешов С.П., Матвеев В.А., Смондырев М.А. Изучение степенных автомодельных асимптотик адрон-ад-ронного рассеяния на большие углы. ЭЧАЯ, 1977, 8, вып. 5, cv 969-988.

78. Serebryakov V.V. On the Parameters of the Low-Energy JiJL -Scattering. Proc. Triangle Meet. 1975, 1, Bratislava,p. 393-407.

79. Нуссенцвейг X.M. Причинность и дисперсионные соотношения. 1976, Мир, М.

80. Валл А.Н., Калошин А.Е., Парфенов Ю.В., Хеннер В.К. Совместное описание процессов лл-> лл и . ЯФ, 1977, 25, с.204-208.

81. Житницкий И.Р., Парфенов Ю.В. Связь характеристик ли взаимодействия при низких и высоких энергиях. ЯФ, 1976, 24J с. 425-428.

82. Титчмарш Е. Теория функций. 1980, М., с. 464.

83. Proissart М. Asymptotic behaviour and subtraction in Man-delstam representation. Phys. Rev., 1961, 123. p. 10531057.

84. Мур В.Д., Попов B.C. Полюсная модель амплитуды рассеяния с максимально растущим сечением. ЯФ, 1975, 21, с.868-877,

85. Robertson W.J. et al. High Energy ля Collisions. Phys.t

86. Rev. 1973, Ш» P* 2554-2573.

87. Hanlon J., Brody A., Engelmann R. et al. Inclusive reactions p-*n -*рчХ and at 100 GeV/c. Phys.

88. Rev.Lett. 1976, 27» p. 967-970.

89. Cohen D., Ferbel Т., Slattery P. et al. Study offl*-scat~- . tering in the isotropic spin-2 channel. Phys. Rev. 1973, DI, p.661-668.

90. Abramovicz H. et al. Study of лп" Scattering in jfft Interactions of High Energies. Nucl. Phys. 1980, B166. p.62-72.

91. Phillips R.J.N. A Dipole Pomeron Ansatz. Preprint Rutherford Labor.*RL-74-034, 1974, Chilton.

92. Jenkovszky L.L., Wall A.N. Dipole Pomeron and pp-Scatte-ring. Czech.J.Phys. 1976, B26. p.447-452.

93. ЮЗ. Балл A.H., Енковский Л.Л., Струминский Б.В. О механизме дипа. Письма в ЖЭТФ, 1975, 22,.с.168-371. Jenkovsky L.L., Struminsky B.V., Wall A.N. Ratio of the Total Cross-Section to the Slope of the Diffraction Cone. Preprint ITP-84-37E, 1984, Kiev.

94. Jenkovszky L.L., Struminsky B.V., Wall A.N. Unitarity in High Energy Hadron Scattering. In Proc. Conf. on Nonlinear and Turbulence Processes in Physics. 1984, Gordon Breach, N.Y.

95. Orlov I.I., Parfyonov Yu.V. Equation for JlJl-scattering partial wave amplitudes (neutral model). High Energy Part. Interact. Proc. Conf. Smolenice. 1975, 2, Bratislava, p. 355-365.

96. Кириллов В.И., Парфенов Ю.В. Изучение свойств двойныхспектральных функций. Прикл. математика и пакеты прикл.программ, 1980, Иркутск, с.26-30.1.^

97. Кириллов В.И., Парфенов Ю.В. Поведение длин рассеяния при асимптотически больших моментах. ЯФ, 1980, 32, с.1428-1430.

98. Bessie D. Problem of Subtractions in potential scattering. J.Math.Phys. 1965t 6, p.820-824.

99. ИЗ. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. 1963, Физмат-гиз; М., с.704.