Дистрибутивные решетки в теории представлений локальных алгебр и в комбинаторике фибоначчиевых разбиений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГб 01

На правах рукописи

0 б т 1998

ПУШКАРЕВ Игорь Александрович

ДИСТРИБУТИВНЫЕ РЕШЕТКИ В ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ЛОКАЛЬНЫХ АЛГЕБР И В КОМБИНАТОРИКЕ ФИБОНАЧЧИЕВЫХ РАЗБИЕНИЙ

01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1997

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ - доктор физико-математических

наук, профессор Вершик A.M.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ - доктор физико-математических

наук, профессор Гордеев H.A. - кандидат физико-математических наук, доцент Лурье Б.Б.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - Санкт-Петербургский

государственный технический университет.

Защита состоится 21 января 1998 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета К 063.57.45 по защите диссертации на соискание ученой степени -кандидата наук в Санкт-Петербургском Государственном университете (адрес совета: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., д.2, математико-механический факультет СПбГУ). Заседание будет происходить по адресу: 191011, Санкт-Петербург, наб. реки Фонтанки, д.27, 3-ий этаж, зал 311 (помещение ПОМИ РАН).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. A.M. Горького Санкт-Петербургского государственного Университета, Университетская наб.,7/9.

О

Автореферат разослан " ff " _ 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доцент

P.A. Шмидт

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ И ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Основные темы диссертации - теория представлении сплетений конечномерных полупростых алгебр с групповыми алгебрами симметрических групп и перечислительная теория фибоначчиевых разбиений.

Первая тема является, как структурно, так и методически, разделом теории представлений локальных стационарных алгебр, или. в более узком контексте, теории представлений симметрических групп. Теории представлений сплетений конечных групп с симметрическими группами посвящены, например, разделы монографий [4] и [6] (см. также приведенную там литературу по более раннему периоду). Новый импульс развитию событий придала работа [9], рассматривающая теорию представлений симметрических групп с точки зрения общей теории локальных стационарных алгебр в смысле [13, 14]. Важным пунктом нового подхода является индуктивное построение теории представлений таких алгебр, при этом используются методы теории локально-полупростых алгебр, получившей в последние годы большое распространение (см. обзор [18]). На основе некоторой модификации техники, предложенной в [9], в настоящей работе удалось описать неприводимые представления сплетений произвольной конечномерной полупростой алгебры с групповыми алгебрами симметрических групп и, притом, в более удовлетворительной форме, чем это было сделано ранее для частного случая групповых алгебр сплетений конечных групп с симметрическими. В работе также предложено изложение теории представлений групп Кокстера серии Б, не использующее теорему Клиффорда об ограничении неприводимых представлений на нормальные делители.

Разбиения натуральных чисел на различные числа Фибоначчи (фи-боначчиевы разбиения) также изучались довольно давно; отметим работы [2, 3, 12, 20]. Полученная в настоящей работе структурная теорема-для решеток фибоначчиевых разбиений позволяет свести получение перечислительных результатов о них к изучению свойств некоторой подгруппы группы (в особых случаях С£з[С]). В работе полностью рассмотрен случай, когда эта подгруппа конечна.

Связь между двумя частями работы носит двоякий характер: во-первых, в обеих частях естественно возникают дистрибутивные решетки.

и, во-вторых, обе части имеют непосредственное отношение к теории локальных локально-полупростых алгебр (см.. напр. [18]). Более глубоки! смысл этой связи еще предстоит исследовать.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные результаты работы получены вне}) вые; кроме того предложены концептуально новые доказательства некоторых ранее известных фактов.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ. В работе применяются методы теории представлений и перечислительной комбинаторики. Особого упоминания заслуживает предложенный в [9] метод описания спектра алгеб} Гельфанда-Цетлина.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Изучение I первой части структуры некоторых локальных локально-полупростьп алгебр дало возможность последовательного построения теории представлений сплетений конечномерных полупростых алгебр с групповыми алгебрами симметрических групп. Результаты второй части дают приме} реализации классической схемы решения комбинаторной задачи сведением к анализу структуры некоторого частичпо-упорядоченного множе ства; показано, что построение перечислительной теории для фибоначчи евых разбиений может базироваться на дистрибутивности решетки эти; разбиений, упорядоченных по измельчению.

НАУЧНАЯ АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладыва лись на алгебраическом семинаре им. Д.К. Фаддеева и на семинаре ш теории представлений и динамическим системам ПОМИ РАН, на алге браической конференции памяти Д.К. Фаддеева, проходившей 24-30 ию ня 1997 г. в СГ16ГУ, на сессии семинара по теории представлений и дина мическим системам ПОМИ РАН 27-30 августа 1996 г.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты опубликованы в работах [22 23, 24] перечисленных в конце настоящего автореферата.

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация содержит 151 страниц машинописного текста и состоит из введения, двух глав и списк; литературы из 48 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

§1. Теория представлений сплетений.

1.1 Основные объекты.

Рассмотрим возрастающую последовательность конечномерных иолу

простых алгебр

А} С А2 С • С Ат С .... (1)

Графом ветвления (диаграммой Браттели) неприводимых представлений последовательности (1) называется градуированный граф, такой, что:

• для всякого к > 1 множество вершин &-го ранга есть множество всевозможных попарно-неэквивалентных неприводимых представлений алгебры А к

• вершины А и /.£, соответствующие представлениям 7Гд и тг,, алгебр А). и Аъ+\, соединены п ребрами тогда и только тогда, когда

п = ¿'чпНотЛк(тгх, Дез^+'л-,,) = Н отАк^(1п(1Ал\-" (2)

Индуктивные пределы последовательностей (1) называются локально-полупростыми алгебрами.

Рассматриваемые в работе алгебры являются также локальными стационарными алгебрами в смысле [13, 14], то есть имеют вид

Ап =Г { вь • - •, 5„), (3)

где $¡.9} = при |г — > 1, и все алгебры {{^й-!)}^/ попарно-изоморфны как алгебры с выделенными образующими.

Пусть Ук > 1 Ак = - сплетение конечномерной полунростой

алгебры А = А ¡с групповой алгеброй симметрической группы Я к степени к. Тогда Ак содержит подалгебру Л^ ® • • • ® изоморфную к-оП тензорной степени коэффициентной алгебры А — А\ ~ А^ Уг 6 [1, • • •, &]. Отметим также наличие подалгебры алгебры .4к, изоморфной алгебре €[5^.], далее (например, в формуле (4)) мы считаем их тождественно равными.

Пусть, для произвольных £ [1,..., к], ¿(г,7) есть элемент алгебры' представляемый в ее неприводимом представлении тг!®^ (где

и л"2 - неприводимые представления алгебр Л^ и А^ соответственно):

• инволюцией, переставляющей местами тензорные сомножители в представлении ж\ ® тг^, если п\ ~ ж^',

• нулем, если ф. тх-г.

Назовем (при к > 2) к-м обобщенным элементом Юциса-Мэрфи (см. для ср. [5. 7]) элемент алгебры Ак вида

¿=1

где (г,/с) есть перестановка, меняющая местами г и

Наконец, пусть М - произвольная максимальная коммутативная подалгебра коэффициентной алгебры Ль Л/(1),..., М^ - соответствующие ей максимальные коммутативные подалгебры алге

бр А<'>.....соответственно.

Большой централизаторной подалгеброй назовем подалгебру алгебры Ак вида:

вгк Ш ...,гк.х,к)с = <л(1),...,а^>,иг,...,ик)с> (5)

где - централизатор подалгебры А} в алгебре А]+\.

Обобщенной подалгеброй Гельфанда-Цетлина (см., напр. [19]), отвечающей алгебре М, назовем подалгебру алгебры /1;- вида:

сгк{м) 'М ...,м<*\и2,...,ик)с (С)

Имеет место ТЕОРЕМА 1.

Алгебра GZk{M) есть максимальная коммутативная подалгебра алгебры Ак.

Используя коммутационные соотношения, связывающие элементы Юциса-Мэрфи и кокстеровские образующие группы удается описать спектр алгебры С2п(М), неприводимые представления алгебры ВЕп и действие на них кокстеровских образующих, оприсав тем самым неприводимые представления алгебры Ак.

1.2 Описание неприводимых представлений алгебры Ак.

Назовем ^-клеточными А-диаграммами Юнга семейства конечных диаграмм Юнга, занумерованных неприводимыми представлениями алгебры А, общее число клеток в которых равно к.

Далее, пусть О - к-клеточная А-диаграмма Юнга. Стандартной А-таблицей формы В назовем заполнение клеток О числами от 1 до /,-, так, что эти числа возрастают вдоль строк и столбцов всех обыкновенных диаграмм Юнга, входящих в £>.

Содержанием С,(г) г-ой клетки А-таблицы Юнга £ назовем разницу номеров строки и столбца, на пересечении которых она находится.

Наконец, пусть

{е1> • ■ • ) ет1> е1> • ■ ■ У ет2> ■ ■ • ) е\1 ■ ■ • > ет,} ( ' )

есть полный набор мипимальных ортогональных идемпотентов алгебры А, порождающий ее максимальную коммутативную подалгебру М, при

, г гп,

этом {Е* = £ е;К=1 есть полный набор ортогональных центральных ¿=1

идемногентов алгебры А. Стандартной (А, Л/)-таблицей Юнга Т формы (Б, назовем заполнение клеток стандартной таблицы Юнга I формы £> элементами (7), причем в диаграмму Юнга, занумерованную неприводимым представлением алгебры А, отвечающим центральному идемпо-тенту Е8) могут быть вписаны лишь ..., . Конкретный идемиотент, вписанный в г-ю клетку таблицы I обозначим символом Ет(г).

Назовем две клетки А-диаграммы Юнга О связанными, если они содержатся в одной и той же обычной диаграмме Юнга, входящей в Д и смежными, если они являются связанными и притом соседними клетками в некоторой строки или столбце соответствующей диаграммы Юнга. ТЕОРЕМА 2.

(А) Неприводимые представления алгебры А^ находятся в биективном соответствии с А-диаграммами Юнга, общее число клеток в которых равно к.

(В) Существует базис Vт пространства неприводимого представления алгебры Асоответствующего А-диаграмме Юнга О, элементы которого занумерованы всевозможными стандартными (А,М)-таблицами Юнга формы И, такой, что:

(1) он состоит из общих собственных векторов элементов максимальной коммутативной подалгебры алгебры А если таблица Т имеет форму (В, <), то

иГУТ = С10'Н (8)

е;-«г = ( Т если Ет{1) = (9)

3 0, иначе.

(2) действие кокстеровских образуюи^их группы Бк на. векторы V?

описывается формулой:

у?, если т-ая и m + 1-ая

клетки являются смежными. Sm-VT-<, (10)

иначе.

m,m+l - у \.rm m + i )- .............

где, во- первых,

Ct(m + 1) — Ct(m) если т-ая и m + 1-ая

клетки являются связанными. rm,m+) - (п)

+оо, иначе.

и, во-вторых, (А, М)-таблица Т(т,т + 1) есть таблица, получающаяся из Т перестановкой тп-ой и m + 1-ой клеток вместе с их содержимым.

Описанный базис будем далее называть базисом Юнга (см. [23, 24]). ЗАМЕЧАНИЕ.

Таблица Т(т. m-f-1), не обязательно является стандартной. Она rte является стандартной тогда и только тогда, когда коэффициент при соответствующем векторе в формуле (10) равен нулю.

Пусть при всех k 6 N до ~ неприводимое представление алгебры Л*, соответствующее Л-диаграмме Юнга D. Назовем п-кратной решеткой Юнга У„ градуированный граф, вершинами к-го уровня суть диаграммы Юнга, состоящие ровно из к клеток, причем диаграммы Аи/i соединены в Yn п ребрами тогда и только тогда, когда соединены ребром в обыкновенной решетке Юнга Y. Пусть D - Л-диаграмма Юнга, ж - неприводимое представление алгебры Л. Множество Л-диаграмм Юнга, получаемых из D удалением одной из крайних клеток диаграммы Юнга, соответствующей 7Г, обозначим символом D I ж.

СЛЕДСТВИЕ 3. Пусть qd - неприводимое представление алгебры Ak+¡. Тогда

Re4k:'&D е ей), (12)

иными словами, граф ветвления неприводимых представлений возрастающей последовательности алгебр (1) есть декартово произведение семейства кратных решеток Юнга, параметризованного неприводимыми 7ipc.dcтавлепиями коэффициентной алгебры Л. кратности которых суть размерности соответствующих представлений.

1.3 Неприводимые представления групп Кокстера серии Р.

Следующим по сложности примером реализации намеченной в предыдущих пунктах схемы является случай возрастающей последовательности групповых алгебр групп Кокстера серии Б: < Дг < ■ • • < Дт < ..., являющихся нормальными делителями индекса 2 групп Кокстера серии ВС: ВСХ < ВС? <...< ВСт < ... (см. [15]).

Проблемы, возникающие при рассмотрении этой серии с вязаны с относительно сложным строением ее алгебры Гельфапда-Цетлниа. Отметим, что в этом случае коэффициентная алгебра есть С[.<?2] и. и си.чу коммутативности последней, граф ветвления неприводимых представлений имеет только однократные ребра, поэтому элементы базиса Юнга стандартными таблицами, соответствующими упорядоченным парам обычных диаграмм Юнга.

Процедура получения подходящего базиса {и)д} пространства регулярного представления группы От из стандартного базиса {г;,} пространства регулярного представления группы ВСт известна (см., напр. [8]) и состоит в следующем:

(1) рассмотрим инволюцию о соответствующего множества стандартных таблиц Юнга, меняющую местами компоненты таблицы, соответствующие единичному и знакопеременному представлениям группы

(2) если таблицы < и I' имеют различную форму, то элементы группы < В С у действуют на пространстве (и(, как скалярные операторы, сопоставим им некоторый вектор ги^, где Л есть неупорядоченная пара диаграмм Юнга;

(3) если таблицы £ и имеют одинаковую форму, то сопоставим им векторы = VI + у{> XVц- = ь\ - г>4», где К - пара одинаковых диаграмм Юнга.

Ее классическое обоснование (см. [8]) опирается на теорему Клиффорда об ограничении неприводимых представлений па нормальный делитель. В настоящей работе предлагается другое ее обоснование, основанное на рассмотрении некоторой коммутативной подалгебры алгебры

С[Д,].

Именно, рассмотрим класс сопряженных элементов группы ВСп. содержащий некоторый класс сопряженных элементов группы 5„ < ВСп, соответствующий разбиению Л. Если все части Л четны (и. следовательно п также четно), то при переходе к подгруппе Д, (напомним:

!)

5 А, < ВСп) этот класс распадается на два. Суммы элементов этих двух классов обозначим (пусть именно этот класс содержит исходный класс сопряженных элементов группы 5„) и £д.

Рассмотрим коммутативную подалгебру алгебр С[Д,] С €[ДС„] вида

(х°Л,, х1^ ..., х°Лг, х1, и2,..., Щс (13)

Описав действие образующих алгебры GZn на элементы базиса { иг}, приходим к вышеописанному рецепту построения базиса, состоящего из общих собственных векторов элементов алгебры С7,п, доказав тем самым, что последняя есть максимальная коммутативная подалгебра алгебры

С[А,].

ЗАМЕЧАНИЯ.

(1) Алгебра GZn есть алгебра Гельфанда-Цетлина для последовательности £>1 < -02 < ... < Д,, поэтому построенный базис пространства регулярного представления группы Д, есть в действительности базис Гельфанда-Цетлина.

(2) Граф ветвления в этом случае не является дистрибутивной решеткой, это связано именно с отсутствием достаточно хорошей системы образующих алгебры GZn.

§2. Перечисление фнбоначчиевых разбиний. 2.1 Двумерные фибоначчиевы разбиения.

Разбиениями натуральных чисел называются их представления в виде суммы нескольких неупорядоченных натуральных чисел (см. [21]).

Основным объектом исследования во второй главе являются фибоначчиевы разбиения, то есть разбиения натуральных чисел на различные числа Фибоначчи (см. ташке [10, 12]). Однако удобно с самого начала заменить их некоторым двумерным объектом, именно, рассмотреть свободную абелеву группу С с двумя образующими и и>2 и последовательность

= и2 = и>2, 2 + и}+1 V; е N. (14)

ее элементов.

Разумеется, далеко не все элементы группы С? представи.мы в виде суммы конечного числа различных элементов последовательности (14). Имеет место ТЕОРЕМА 4.

Элемент а = гщш\ + т2и>2 имеет фибоначчиевы разбиения тогда и только тогда, когда тнь > 0. т(т 1 — т) < >щ < т(т\ +1). где т = .

ю

Множество элементов группы G, описанное в теореме 5 обозначим S. 2.2 Структурная теорема.

Определим па множестве Ф(а) всевозможных фибоначчиевых разбиений произвольного, но фиксированного элемента а Е S частичный порядок - "измельчение". Элемент а = и^, + и*2 + ... + uicr, к\ > к-2 > ... > кт, множества Ф(а) будем при этом записывать в виде Л = (Aj,..., Лг), А, = щг

Будем говорить, что разбение r¡ = (r/i,..., r¡n) 6 Ф(а) есть измельчение разбиения Л = (Ль ..., Ar) 6 Ф(а) тогда и только тогда, когда существует семейство {r¡')rt=x подмножеств множества слагаемых r¡ (которые мы отождествляем с разбиением ?/) такое, что:

(а) VjG[l,...,r] 7,>€Ф(А>);

(б) rfm при i фу, ^

(с) Ü V' = г,. i= 1

С другой стороны назовем зигзагом частичпо-упорядоченное (ч.у.-) множество вида:

Zl < 22 < . . . < 2r¡ > Zr¡ + , > . . . > 2,, < 2Л + 1 < . . . (16)

или

z¡ > 22 > ... > zf¡ < Z(¡+1 < ...< zr¡> 2rj+1 > ...; (17)

дизъюнктное объединение нескольких зигзагов назовем мульгиизигза-гом. Имеет место ТЕОРЕМА 5.

Пусть (Р, <) - конечное ч.у .-множество. Следующие условия равносильны:

(1) Существует а £ S, такое, что (Ф(с*), <) ~ (Р, <).

(2) (Р,^) есть (дистрибутивная) решетка порядковых идеалов некоторого мультизиг зага.

Заметим, что решетки разбиений весьма редко бывают дистрибутивными.

2.3 Результаты перечислительного характера.

Перечислительные результаты обычно удобно формулировать в виде тождеств с производящими функциями либо информации об их коэффициентах.

В рассматриваемом случае для этого используются функции

+оо +оо

F(z-,x,y) n(l + n»-V)= Е Am,n(z)xmyn. (18)

t=l m,n=0

, , +00 +00

f(z;x)dá П(1 + гх-)= E am(z)x"\ (19)

t=0 m,n=0

где щ — 0, ii_i — -1.

Именно, имеет место теорема ТЕОРЕМА 6.

(1) Aij(z) = 0 при iuji -f jix)2 $ S.

(2) Все A,j(-1) суть 0 или ±1.

(3) Все Aij(p±) суть 0 или где - корни первообразные третьей степени из единицы, £ - превообразный корень шестой степени из единицы, k G [0,..., 5].

(4) Все A¡j(±¿) суть элементы множества

Z U ¿Z U (г + 1)Z U (г - 1)Z С Z ф ¿Z.

(5) Почти все коэффициенты рядов F(l\x,y), F(p±\x,y), F(±i:r,y) равны нулю, то есть

lim = О,

n—I>+оо п

где Ф( п) - число ненулевых коэффициентов любого из этих рядов среди п первых.

(6) Пусть E+i(n) и Е_[(п) - суть, соответственно. количество коэффициентов +1 и -1 среди au„(-l), aUn+i(-l),... au„+1-2- Тогда E+i(n) = Е_!(п).

(7) При п б [um,...,urn+1 - 1]

, < í Um±i, m - нечетное; [ 2Um^, in - четное;

последнее неравенство известно в чуть более слабой, но и более наглядной форме: а„( 1) < у/п + 1.

Литература

[1] Ariki S., Koike I. A Hecke algebra of (Z/rZ) I S„ and construction of its irreductible representations./ Adv. in Math. 10G (199-1). 21G-243.

[2] Carlitz L. Fibonacci representations./ Fibonacci Quart. G (19G8). 193220.

[3] Carlitz L. Scovill R. Partially ordered sets assosi.ited with Fibonacci representations./ Duke Math. J. 40 N3 (1973), 511-.Y.M.

[4] James G., Kerber A. The representation theory of l lie symmetric group, in: Encyclopedia of mathenmticsand its applications. Addison-Wesley London,1986 v.16.

[5] Jucys A. Symmetric polunomials and the center of the symmetric group ring. /Rep. Math. Phys. 5 (1974), 107-112.

[6] Macdonald I. Symmetric functions and the Hall polynomials. Second edition. Oxford Univ. Press, 1993.

[7] Murphy G. A new construction of Yang's semiuorin.il representation of the symmetric group./J. Alg. 69 (1981), 267^291.

[S] Ram A. Seminormal representation of Wevl groups .md Ivahori-Ilocke algebras./Prep. Univ. of Sidney, NSV 2006 (1995).

[9] Okounkov A., Vershik A. A new approach to representation theory of symmetric groups./ Selecta Math., New Series Vol. 2 no. 4 (1996) 581605.

\

[10] Sidorov N.The summation function for the number of Fibon.u ci representations. /Prep. PDMI (1995).

[11] Sidorov N., Vershik A. Ergodic properties of Erdosh mea.sure, the entropy of the Golden Shift and related problems./ Prep. PDMI (1995).

[12] Vershik A. The Fibadic expansion of the real numbers and adic transformation. /Prep. Institute Mittag-Leffler, rep. 4, 1991/92.

[13] Vershik A. Local algebras and a new version of Yang's orthgonal form./. Topics in algebra. Banach center publ. vol. 26(2) Warsaw, 1990.

[14] Vershik A. Local stationary algebras./ Amer.Math.Soc.Transl. vol.148 (2), 1991, 1-13.

[15] Бурбаки H. Элементы математики. Группы и алгебры Ли. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней. М. "Мир" 1972.

1.5

[16] Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления. VI. 1947.

[17] Вершик A.M. Арифметический изоморфизм гиперболических автоморфизмов гора и софических сдвигов. /Функц. Анал. и Прил. 26 (1992), 3, 22-27. .

[18] Вершик A.M., Керов C.B. Локально-полупростые алгебры. Комбинаторная теория и /С°-функтор./ Итоги науки и техники. Совр. пробл. мат. Нов. дост. 26 (1985), 3-26.

[19] Гельфанд U.M., Цетлнн М. Конечномерные представления группы унитарных и ортогональных матриц. /Докл. АН СССР 71 (1950), 825828, 1017-1020.

[20] Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. М. "Мир". 1990.

[21] Эндрюс Г. Теория разбиений. М. "Мир". 1982. РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[22] Пушкарев И. А. Решетки идеалов мультизигзагов и перечисление фи-боначчиевых разбиений./ Зап. Научн. Сем. ПОМИ РАН, 1995, т.223, 280-312.

[23] Пушкарев H.A. К теории представлений сплетений конечных групп с симметрическими./ Зап. Научн. Сем. ПОМИ РАН, 1997, т.240, 229244.

[24] Вершик A.M., Пушкарев И.А. Представления сплетения конечномерной полупростой алгебры с групповой алгеброй симметрической группы./ Тезисы международной алгебраической конференции памяти Д.К. Фаддеева. Санкт-Петербург, 1997.