Тождества в решетках многообразий разрешимых колец ЛИ тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

г* ^

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

АНАНИЧЕВ Дмитрий Сергеевич ^

ТОЖДЕСТВА В РЕШЕТКАХ МНОГООБРАЗИЙ РАЗРЕШИМЫХ КОЛЕЦ ЛИ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург, 1997

Работа выполнена на кафедре алгебры и дискретной математики Уральского государственного университета.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физнко-матеиатических наук, профессор М. В. Волков

доктор физико-математических наук, профессор М. В. Зайцев

доктор физико-математических наук, профессор Ю. Н. Мухин

Институт математики Сибирского отделения РАН

Защита, диссертации состоится Л " OJcJч¿&/iя, 1997 года в "^т " часов на заседании диссертационного совета Д 002.07.03 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, г. Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан " $ » С^м^иЯ^сЯ 1997 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук, /Му' (

доцент {/(/Ц ШМЧ В. В. Кабанов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Теория многообразий, берущая свое начало с классической работы Биркгофа (1935 г.), превратилась за последние десятилетия в обширную и динамично развивающуюся область алгебры. Одним из центральных ее направлений является изучение решёток многообразий. На важность и актуальность исследований в этом направлении указывал в своем программном докладе на международном математическом конгрессе в Москве (1966 г.) академик А. И. Мальцев.

На решёточном языке естественно выражается большинство фундаментальных свойств многообразий, а потому можно надеяться — и такие надежды во многом оправдываются, — что и обратно, рассматривал естественные теоретико-решёточные ограничения на решётку многообразий, мы можем выделить важные и в то же гремя поддающиеся изучению классы многообразий. Среди различных встречавшихся в литературе свойств решёток многообразий особое место принадлежит условиям конечности и решёточным тождествам.

История возникновения вопроса о тождествах в решётках многообразий была связана с попытками описания строения решётки всех многообразий (первоначально многообразий групп) с помощью представления каждого многообразия в виде объединения многообразий, неразложимых в объединение. Дистрибутивность решётки эквиваг лентна тому, что каждое такое представление является единственным; модулярность решётки влечёт инвариантность числа неразложимых компонент в таких представлениях, и т.д.

Кроме того, изучение многообразий с ограничениями на свойства решёток подмногообразий обычно идет от узких классов решёток ко все более широким. Первым шагом при рассмотрении многообразий тех или иных алгебраических систем, как правило, является описание атомов, т. е. многообразий с двухэлементной решёткой подмногообразий. Следующим этапом — зачастую весьма нетривиальным — становится изучение цепных многообразий, т. е. многообразий, подмногообразия которых образуют цепь. Дистрибутивные же решётки являются естественным обобщением цепей. Ведь, как хорошо известно, класс дистрибутивных решёток — это решёточное

многообразие, порождённое цепями.

Многообразия с дистрибутивной решёткой подмногообразий называются дистрибутивными. Задача описания дистрибутивных многообразий колец и алгебр была поставлена JI. А. Бокутсм в 1976 году в "Днестровской тетради" ([7], проблема 1.19). Она уже давно осознана как одна из тех ключевых реалистичных (хотя и труднодостижимых) целей, вокруг которых концентрируются интересы и усилия специалистов, исследующих решётки кольцевых многообразий.

Дистрибутивность многообразия является наследственный свойством в том смысле, что многообразие, лежащее в дистрибутивной многообразии, само дистрибутивно. Поэтому для описания дистрибутивных многообразий достаточно указать некоторую границу между дистрибутивными и недиатрибутивными многообразиями. Кроме того, для каждого многообразия нужно уметь определять его положение относительно этой границы. Есть два естественных кандидата на роль такой границы.

Во-первых, границей может служить совокупность всех максимальных дистрибутивных многообразий — при условии, что каждое дистрибутивное многообразие содержится в некотором максимальном дистрибутивном. Во-вторых, если каждое недистрибутивное многообразие содержит почти дистрибутивное многообразие (т.е. недистрибутивное многообразие, у которого каждое собственное подмногообразие дистрибутивно), то роль границы может играть множество всех почти дистрибутивных многообразий.

Заметим, что a priori ниоткуда не следует, что в том или ином семействе многообразий граница между дистрибутивными и недистрибутивными многообразиями — в смысле предыдущего абзаца или каком-либо другом смысле — вообще должна существовать. В частности, д ля многообразий колец Ли было отнюдь не ясно, существуют ли среди »их максимальные дистрибутивные и/или почти дистрибутивные многообразия.

Таким образом, на пути к решению проблемы JI. А. Бокутя в том или ином классе колец возникает ряд естественных задач:

1. Существуют ли максимальные дистрибутивные многообразия?

2. Содержится ли каждое дистрибутивное многообразие в максимальном дистрибутивном?

3. Получить описание максимальных дистрибутивных многообразий.

4. Найти алгоритм, который бы д ля каждого многообразия давал ответ: лежит ли данное многообразие в некотором максимальном дистрибутивном.

5. Существуют ли почти дистрибутивные многообразия?

6. Содержит ли каждое недистрибутивное многообразие некоторое почти дистрибутивное?

7. Получить описание почти дистрибутивных многообразий.

8. Найти алгоритм, который бы для каждого многообразия давал ответ: содержит ли данное многообразие некоторое почти дистрибутивное.

Приведённый список задач и послужил отправной точкой для тех исследований, результаты которых представлены в данной диссертации. В качестве исследуемого класса колец был выбран класс разрешимых колец Ли. Задача описания дистрибутивных многообразий в этом классе уже привлекала внимание ряда авторов [9, 10, 11, 12].

В работе используются методы, конструкции и результаты теории многообразий колец н теории решеток.

В диссертационной работе получены следующие теоретические результаты:

доказано, что максимальных дистрибутивных многообразий разрешимых колец Ли нет,

доказано, что каждое недистрибутивное многообразие разрешимых колец Ли содержит некоторое почти дистрибутивное многообра«-зне;

доказано, что каждое почти дистрибутивное многообразие разрешимых колец Ли порождено некоторым конечным кольцом;

построены три счетных серии конкретных примеров минимальных недистрибутивных многообразий колец Ли;

по модулю многообразий, порожденных конечным кольцом, описаны многообразия разрешимых колец Ли, решетка подмногообразий которых имеет конечную ширину.

Заметим, что хотя наибольший интерес для нас представляет тождество дистрибутивности, техника, развитая в диссертации, позволяет получать сходные результаты для весьма широкого класса решёточных тождеств.

Все перечисленные результаты являются новыми.

Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении решеток многообразий.

Результаты диссертации докладывались на III Международной Алгебраической конференции (Красноярск, 1993), Международной конференции, посвященной 100-летию Н. Г. Чеботарёва (Казань, 1994), Третьей Суслинской конференции (Саратов, 1994), IV Международной Алгебраической конференции (Санкт-Петербург, 1997), за^ сед алии семинара по алгебрам Ли кафедры высшей алгебры МГУ (1993), заседаниях семинара "Алгебраические системы" (УрГУ).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [15] - [20]. Результаты работы [20] получены автором и М. В. Волковым в нераздельном соавторстве.

Диссертация состоит из введения, пяти параграфов и библиографии, включающей ТО наименований. Общий объем диссертации составляет 95 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даны основные определения, обоснование и описание рассматриваемых вопросов и обзор результатов диссертации.

Первый параграф диссертации содержит необходимые предварительные сведения и вспомогательные результаты. Во втором параграфе доказывается теорема 1, для формулировки которой понадобятся несколько определений.

Пусть Ы и V — многообразия колец Ли. Наименьшее многообразие, содержащее 14 и V, обозначается через У V V и называется их объединением. Относительно так определённого объединения и пересечения многообразий как классов множество всех подмногообразий данного многообразия X образует полную решётку, которую мы обозначаем через Ь(Х). Наименьшее многообразие, содержащее данное кольцо Я, называется многообразием, порождённым Я, и обозначается через л>агЯ. Локально почти разрешимым называется такое кольцо Ли, в котором каждое конечно порождённое подкольцо обладает разрешимым идеалои конечного индекса.

Теорема 1 Пусть X — многообразие локально почти разрешимых колец Ли. С — многообразие решёток, порождённое конечной решёткой. Если для любого конечного кольца В. из X решётка ,£(уаг.й) лежит в С, то и вся решётка 1>(Х) лежит в С.

Из теоремы 1 и её доказательства выводятся три важных следствия. Для их формулировки необходимо еще одно определение. Пусть С — многообразие решёток. Многообразие колец X называг ется почти-С-многообразием, если Ь{Х) С, но для любого собственного подмногообразия А С X решётка Ь{Л) уже принадлежит С.

Следствие 1 Пусть £ — многообразие решёток, порождённое конечной решёткой, X — многообразие локально почти разрешимых колец Ли. Если решётка Ь(Х) не лежит в С, то X содержит некоторое почти-С-многообразие.

Следствие 2 Пусть С — многообразие решёток, порождённое конечной решёткой. Каждое почти-С-многообразие локально почти разрешимых колец Ли порождено некоторым конечным кольцом.

Следствие 3 Пусть С — многообразие решёток, порождённое конечной решёткой, X — многообразие локально почти разрешимых колец Ли. Если решётка ЦХ) лежит в С, то существует многообразие локально почти разрешимых колец Ли У, строго содержащее X и такое, что решётка Ь(У) также лежит в С.

Приведённые результаты сформулированы в большей общности, чем требуется для решения поставленных выше задач 1-8. а именно, для многообразий колец, решётки подмногообразий которых удовлетворяют произвольному набору решёточных тождеств, являющемуся базисом тождеств какой-нибудь фиксированной конечной решётки. (Напомним, что дистрибутивность — это базис тождеств двухэлементной решётки.)

Возьмем в качестве многообразия С многообразие всех дистрибутивных решёток.

Тогда следствие 3 показывает, что в классе многообразий локально почти разрешимых колец Ли максимальных дистрибутивных многообразий нет. Отрицательный ответ на вопрос задачи 1 лишает смысла задачи 2, 3 и 4.

Но из следствия 1 вытекает, что в том же классе многообразий почти дистрибутивные многообразия существуют "в достаточном количестве", т. е. каждое недистрибутивное многообразие содержит некоторое почти дистрибутивное. Таким образом, ответ на вопросы задач 5 и 6 положителен.

Более того, следствие 2 показывает, что каждое почти дистрибутивное многообразие порождается некоторым конечным кольцом, что вселяет определённые надежды на обозримость множества всех таких многообразий. Кроме того, знал конечное кольцо, порождающее многообразие Х% для любого конечно базируемого многообразия можно проверить, содержит ли оно данное многообразие X.

Таким образом, из следствий 1-3 вытекает, что следующим шаг гом на пути к полному описанию дистрибутивных многообразий колец Ли должно стать получение достаточного числа примеров почти дистрибутивных многообразий. До настоящего времени таких примеров известно не было. Теоремы 2,3 и 4 дают три счётных серии таких примеров.

В параграфе 3 приводятся две счётных серии почти дистрибутивных многообразий метабелевых колец Ли составной характеристики.

При любом простом р через Лр обозначим многообразие колец

Ли, задаваемое тождествами:

ПЯа • • • = 0> ®la;¿гз • • • • • • х2р = О-

р2х = О,

= О, хугГ = О, рхуг — О,

(1) (2)

(3)

(4)

(5)

(6)

При работе с лиевыми многочленами используется левонормиро-ванная запись, а через ухл обозначается одночлен (-.((у х)х).. .х).

Теорема 2 При любом простом р многообразие Лр, является почти дистрибутивным.

При любом простом р > 3 через Вр обозначим многообразие колец Ли, задаваемое тождествами : (1), (2),

Через бэ обозначим многообразие колец Ли, задаваемое тождества-

Теорема 3 При любом простом р > 2 многообразие ВТ, является почти дистрибутивным.

Интересно сравнить полученные результаты с ситуацией в случае многообразий ассоциативных колец. Как в ассоциативном [14], так и в обобщённо разрешимом лиевом случае каждое дистрибутивное

п, раз

рхугЬ = О,

Х\Х3 • • • Хр+2 = О,

ху2р + угхг 4- гхуР = 0.

(7)

(8) (9)

ми: (1), (2), (7), (8) при р = 3 и

хуг3 + хгу3 = 0, хуг + хгу = 0.

(10) (И)

многообразие содержит почти дистрибутивное и каждое почти дистрибутивное многообразие порождается конечным кольцом. Но для каждого простого р в [6] приведено единственное почти дистрибутивное многообразие ассоциативных колец, в котором выполняется тождество р2х = 0 и не выполняется тождество рх = 0. Известно, что других таких многообразий нет (М. В. Волков, не опубликовано). Как видно из теорем 2 и 3 для каждого простого р > 2 имеется по крайней мере два подобных многообразия колец Ли.

В параграфе 3 строится счётная серия почти дистрибутивных многообразий метабелевых колец Ли простой характеристики.

Для формулировки теоремы 4 зафиксируем серию многообразий колец Ли Ср. При любом простои р через Ст обозначим многообразие колец Ли, задаваемое тождествами:

рх = 0, (12)

ху&) = 0, (13)

хуг* + ухх* + 2ху? = 0, (14)

хуг2*~1 = 0, (15)

XlEiX%X^ • ■ ■ Х2р + ЙкеЗ ЯхЦЗ^Хз • • • • • • х2р = 0, (16)

Х1®2-..г3р = 0. (17)

Теорема 4 При любом простомр многообразие Ср, является почти дистрибутивным.

Выше было отмечено, что дистрибутивные многообразия являются в некоторой смысле обобщением цепных. В пятом параграфе обсуждаются многообразия колец Ли с естественным ограничением на решётку подмногообразий, обобщающим свойство "быть цепью" в другом направлении.

Напомним, что шириной упорядоченного множества {Р; <) называется точная верхняя грань мощностей антицепей в (Р; <). Классическая теорема Дилуорса [13] характеризует упорядоченные множества конечной ширины п как теоретико-множественные объединения в точности п цепей. Многообразия, решётки подмногообразий которых имеют конечную ширину, называются .многообразиями конечной ширины.

Теорема 5 дает описание многообразий разрешимых лиевых колец конечной ширины.

Для её формулировки обозначим через Мр многообразие колец Ли, задаваемое тождествами

для каждого простого р.

Теорема 5 Многообразие разрешимых колец Ли является многообразием конечной ширины тогда и только тогда, когда оно либо порождается некоторым конечным кольцом, либо представимо в виде обиединения многообразия Мг и некоторого многообразия, порождённого конечным кольцом.

Отметим, что и само многообразие Мр имеет непосредственную связь с многообразиями, порождёнными конечными кольцами.

Многообразие называется кроссовым, если оно локально конечно, конечно базируемо и содержит лишь конечное число подмногообразий. (Такое определение кроссовости равносильно стандартному, см., например, [8, §1].) В силу основного результата работы Ю. А. Бахтурина и А. Ю. Ольшанского [2] (см. также главу 7 монографии [1]) многообразие колец Ли будет кроссовым тогда и только тогда, когда оно порождается некоторым конечным кольцом.

Почти кроссовым называется некроссово многообразие, все собственные подмногообразия которого кроссовы. Легко понять, что каждое некроссово многообразие содержит некоторое почти кроссово подмногообразие. Разрешимые почти кроссовы многообразия колец Ли описаны Ю. А. Бахтуриным и А. Ю. Ольшанским в [3] (см. также [1, §7.8]) — это многообразие До всех абелевых колец Ли и серия многообразий Мр (р — простое число), задаваемых тождествами

хуРх"-1 = О,

рх = О, ху(гЬ) = О, хуг? = О,

1-1 _

(18)

(19)

(20) (21)

(18)-(21).

В силу отпеченного выше, многообразие конечной ширины либо кроссово, либо представнмо в виде объединения кроссова и почти кроссова многообразий.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору М. В. Волкову за внимание к работе и всестороннюю поддержку.

Литература

[1] Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985.

[2] Бахтурин Ю.А., Ольшанский А.Ю. Тождественные соотношения в конечных кольцах Ли// Матем. сб. 1975. Т.96, N4. С.543-559.

[3] Бахтурин Ю. А., Ольшанский А. Ю. Разрешимые почти кроссо-вы многообразия колец Ли// Матем. сб. 1976. Т. 100, N3. С.384-399.

[4] Берников Б.М. Многообразия ассоциативных колец и полугрупп с ограничениями на решётку подмногообразий: Дне... канд.фнз-мат.наук. Кишинев, 1989.

[5] Волков М.В. Дистрибутивность некоторых структур многообразий ассоциативных колец// Сиб. матем. ж. 1984. Т.25, N6. С.23-30.

[6] Волков М.В. О почти дистрибутивных многообразиях ассоциативных колец// V Сибирская школа по многообразиям алге-браич. систем. Тез. сообщ. Барнаул, 1988. С.86-88.

[7] Днестровская тетрадь. Нерешённые проблемы теории колец и модулей. 4-е изд. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 1993.

[8] Львов И.В. О многообразиях ассоциативных колец, I// Алгебра и логика. 1973. Т.12, N3. С.269-297.

[9] Мищенко О.П. О многообразиях разрешимых алгебр Ли// Докл. АН СССР. 1990. Т.313, N6. С. 1345-1348.

[10] Мищенко С.П. Многообразиях разрешимых алгебр Ли с дистрибутивной решёткой подмногообразий//Мат. заметки. 1992. Т.52, N2. С.92-100.

[11] Шенна Г.В. Многообразия A-алгебр Ли, I// Вести. МГУ. Сер. матем, механ. 1977, N4. С.37-46.

[12] Шенна Г.В. Многообразия А-алаебр Ли, II// Вестн. МГУ. Сер. матем. механ. 1978. N4. С.52-59.

[13] Dilworth R. P. A decomposition theorem for partially ordered sets// Ann. of Math. 1950. V.51, Nl. P.161-166.

[14] Volkov M.V. Identities in lattices of ring varieties// Algebra Universalis. 1986. V.23, N1. P.32-43.

Работы автора по теме диссертации

[15] Ананнчев Д.С. Почти дистрибутивные многообразия колец Ли// Третья Международная конф. по алгебре: Тезисы докладов. Красноярск, 1993. С. 12-13.

[16] Аиаиичев Д.С. Почти дистрибутивные многообразия колец Ли// Матем. сб. 1995. Т.186, N4. С.3-20.

[17] Ананнчев Д.С. Почти дистрибутивные многообразия колец Ли простой характеристики// Деп. в ВИНИТИ 29.05.97. N1763-В97 Деп. 29с.

[18] Аиаиичев Д.С. Серия примеров почти дистрибутивных многообразий колец Ли// Тезисы докладов международной науч. конф. посвящённой 100-летию Н.Г.Чеботарёва. Казань, 1994. С. 8-9.

[19] Ananichev D.S. An example of a series of just-non-distributive varieties of Lie rings// Third Souslin Conference, Abstracts, Saratov, 1994, P.41.

[20] Ananichev D.S., Volkov M.V. Varieties of soluble Lie rings of finite width// Int. Alg. Conf. dedicated to the memory of D.K.Faddev, Abstracts, St.Petersburg, 1997, P.5-6.

I IiwnticaHu r nr>i. ZOO IQ^f fl'cpviai (>0 x K4 I/If.. CyMnn! 0^0/,'nfM Oni« i,0 Tup./OO 3jk.

IiKai('|inii6yp[', K 83, up. Aeimiia, 51. TiinoAaflopniopnji Vpi'V.