Дробно-рациональный регуляризирующий алгоритм и приближенное решение линейных некорректных интегральных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

р г П ОТ

Львівський державшій університет ім. Івана Франка

НІ! II1' ■*' ¡X рукіЧПИ |

УДІС 518 /

/

Рожашінська Мар’яна Ігорівна

ДГОКОІШ-РЛЦІОНЛЛЬНИЙ РЕГУЛЯРІІЗУШЧИЙ АЛГОРИТМ 1 НАБЛИЖЕНИЙ Р(Г Л’ЯЗОК лінійних некоректних інтегральних рівнянь

Спеціальність 01.01.07 - обчислювальна математика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізмісо-матемзтичних наук

Львів - 1997

І'оПощ штопана па кафедри прикладної маїемани.п Дсржатюі о ynil!f)4:l!lrrv “Лі.НІт'ЬК'Я полі и хиікн".

Ця) кокні' кгрішіиі-с:

ДОКІІір фПНКІ'-МЯЮМіІ ШЧНІІХ наук, професор Сянянко Мар'ян Стенаїктпч •

Офіційні нітншім:

доктор і|іг.<нк(і-м!П'рм!ііичнн.ч науіі. професор

Мпкарол Володимир Леонідоиич. Клин:ілтлиіііііопа.чьннп \ніі<грпіи'і

кпндндят фЬінгн-мтематггншх ип>к, лонент .

ЩерОіша ІОрііі Миколаііоїшч, Лг>і»інп,ипи дсржапини уніпсрснісі імені luana Франка

ІІроиііня тпаїктя:

ІІІСПП VI ПрИКЛаДІШХ ПроГ)ЛЄМ ИСМЧІІІКН І МіПСМЧМІКИ МАТІ УкріЧІІН, ніячіп мнгдпти исюдіп матемпіпчної фініки,

Чкхнсг підГп'дегьгя \í9s..іМуі.пкЛ^ ИУ7 р о Ліпші спепіалічонапоі лченоі ради К (М.04.Н5 прп Льєжському дсржаїчі му упітгрсшегі імені Іітна (1>рпниа :іа адресою: 29'ViO?, м ііі.пін. пуч. Уі гі<'р< пі гі('М<,ч. І. Л/(У. гмд 2f>l. .

З діктріаиі' іо можна іпішіочш лсь у бі(ічі<мсцІ Латиською держаипо vniuepcmnv імені Іпчна Фратл ч:і ддртчо: м.Лмш». п\ч. Драї омапоіга.

Дюрсфераї ро ііслацо "

Вчснніі секретар спеціалізованої лченої ради кандндаї фічішо-маїсмлтірнінх наук. Д7 .

доцент . .. • /7 Б.Л.Осіудіп

ШЛ-ЛЬИЛ ХЛІ'Лк’ТКІ'ІГС І МКЛ І'ОІ.ОТІІ

Актуальність тематика та стіш дче.-іШженості пробішш.. 1 Ісііере-ршіі (ланцюгові) дроби с оСУгкюм впнчстія і часобом наукових досліджень fiaiатьох математиків минулою і сммодєіііш. За дономої от игіарагу неперервних дробів рош’ячало багаю важливих чадач іеорії чисел і фупч-цііг. Латної oui дроби часгосовуїтьої, чокрема. для чоораження гіцеріео-меіріічііих функиііі, ;шя розв'язування проблеми ломеніт. Детлыпш історичний оі ляд, присвячений ненерерв-пим дробам, викладено у монографії У .Джоунса га В.Троііа (Джоунс У., 'Грон И. Непрерывные дроби, Дна* дії шческан теория и приложения: Пер.о англ. - М.: Міір, 1‘Ж5 - -414с.). Широкий сііскір частоеувань неперервній дробі» » оОчйслюналкпш мате.маїи-ПІ va теорепічииі філщі рочглядаеіься Д к.Неіікером і 1І.Греивс-Моррісом (Беїікер Дж., Греііпс-Миррнс il. Дпнрокгимакш! Над-;: Пер. с англ. М: Мир, 1986.-502С.). Монографій М.СЛ’ян/.тка (Сишжки М.С. Інтегральні ланцюгові дроби. -К.: Наукова думка, 199>). - 205 е.) місиш, велику кількісгь приклади) застосувань нспе-рернипх дробів і їх річного роду у ш альпень.

’Застосування неперервних дробі» в обчислювальній математиці у Вільнюсіі шшадків роїішірюс область чбіжності класичних ітераційпих методів, особливо для тих чадач, для яких ноліноміальиа апроксимація с неефективною. Крім того, умови збіжності дробово-аналітичних методів супово відрізняю н.ся від умов чбіжносіі лілійних перлшіі /{роби часі о дочволякш, встановиш і область чначть досліджуваної функції.

Па сі.огодпіпінііі день ¡umpar неперервних дробів і їх учапілміень в основному використовується як пракіичнпй підхід до аналіпічного продовження елементарних функцій. Ллє дуже обмеженою с кількість робіт, в яких би цей апарат ефективно використовувався до рочп’ятпни онераіор-ппх ріпинпь. Доцільнісіь використання іуг неперервних дробів іюиспюпі,-ся хоча б цім, що, наприклад, в ішагьох. випадках ро<и'яч</к ліпійннх ін-іеіральшіх рівнянь друї ого роду ê мероморфною функцією параметра'нього рівняння. Крім тою, нешажаїочігиа численність публікацій, прнсішче-них проблемі дослідження і наближеною розв'яжу лінійній некорскіннх чадач, нам невідома робота, и якій би для вирішення даної о попити використовувався мегод апроксимацій Паде, або іх частковий випадок - ana-par неперервних дробів, підхідні дроби яких уторююіь діаюннлі.иі і на-радіаі опальні анрокі имаїгт Паде.

Тому не виклики с сумніву, актуальпісп. використання апарату лан цююапх. дробів до проблем дробоио-ашлітпчної о представлення ро Иі’ЯЗ-ку лінішнх онераюрних рішшпь у функціональних просторах та дослідження регуляризуючих властивостей RIT/-1 J-дробів.

Метою робити с розробка ефектніших дробово-раціональних і дробово-аналітичних методик розв’язання ліппіїшх оиераторних рівняні., встановлення достаїніх умов збіжності дробово-аналітичного представлення, що відповідає формальному розкладові Ліуиілля-І Ктімана лінійного інтегральною рівняная другого роду, до рошЧпку пьоіи рішіяшія, дослідження регуляризуючих властивостей дропово-алшіті'шої о меч оду. З піно метою використовуються відомі класи параметри¡онакмх С-, R1 ¡Z-, J- і М-дробіи.

Методика досліджень. Використовуються методи іімріі ненереріших і операторнпх дробі«, теорії дослідження некоректних задач, методи розв’язання лінійних інтегральних рівнянь Фредюльма і сині уляринх рівнянь, асимптотичні негоди.

Наукова повита робити поляг ас

• у покомпонентному представленні рочи’язку системи лінііішіх алгебраїчних рівнині, у вигляд, запільних К Г17.-дробів;

* у встановленні зв’язку між методами регуляризації по Ьакунпшському і з допомогою RlTZ-дробів; .

® у представленні розв’язку системи лінійних алгебраїчних рішенні. М-дробами;

• встановленні реї уляризуючих властивостей дробово-аналітичного методу;

• у встановленні достатніх умов збіжності дробоко-апалііичпої о розв’язку безмежної системи лінійних алгебраїчних рівнянь і лінійного інтегрального рівняння Фредгольма друї ого роду;

* у представленні розв’язку гридіагонлльиої системи ліиіііппх рівнянь оііераторіпімн ланцюговими дробами;

в у розв'язанні дроГншо-аішіітичнтшетодом одновимірпнх спінулярних рівнянь з виродженим ядром;

* у встановленні нерепюренпя формальних по параметру розв'язків лінні-них диференціальних рівнянь в неперершіі КІТХ-дросш.

Наукова uta практична цінність ропота. Робота мас іеореіичнии і практичніш характер, результат сформульовані у ішідяді іеорем і алго-

ритмі», Започатковано новіш меюд рсгуляризанії. л саме зрізаним дробо-но-раціоиалі.іппі метод. Знайдено нормальним розв'язок безмежної системи лінійних алгебраїчних рівнянь і рішивши Фредгольма пертого роду. Знайдено дробовий розв'язок трндіаюнальної сне гем и іитеїральнпх рівнянь першою ролу. Досліджено рсіучяризуїочі вліпінпоєті дробово-раціональною метолу. 'Нормальні по триметру розв'язки лінійних диференціальних рівнянь предсташтспо у тшілиді неперервних дробіп. Знайдено їх асимптотику нри прямуванні параметра цих ріпияпь до нуля і безмежності. Оатіі положения дисертації, що вииосятисм на захист:

• розроблення нового методу реіуляртанії лінійних некоректних задач, що будусп.оі на методі покоординатною представлення розв'язку у вшляді псисрсршшх дробів;

• встановлення лосгатпі.ої умови збіжності дробово-аналітичного розв'язку безмежної системи лінійних алгебраїчних рівнянь і лінійного іп-іеіральпого рівняння Фредюльма другого роду;

• використання апарату оиграторннх неперервних дробіп для побудови стійких методів розв'язання ірпдігн ональнпч сист ем лініііних рівняні,;

• перетворення яспмптошчних но параметру розв’язків лінійних диференціальних рівнянь и неперервні ІІІТХ-дробп. Знаходження асимптотики цих розв’язків при прямуванні параметрів рівняння до нуля і безмежності.

ПірогіЛпіат результатів забезпечується строгістю постановок задач, математичним обгрунтуванням методів їх розв'язування та узгодженістю отриманих розв’язків з відомими для тестових задач.

Апробація роОоти. Основні результати роботи доповідались на Другій Всеукраїнській конференції молодих вчених (Кип», 16-18 травня 1995р.); на Всеукраїнській науковій конференції “Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях” присв’яченіп 70-річчю під дня народження професора П.С.Кашмірського (5-7 жовтня 1995р., м Львів); на симпозіумі “Питання ойтимізації обчислені,” (22-24 листопада 1993р., м.Кнїн); па Всеукраїнській науковій конференції “Нові підходи до розв’язання диференціальних рівнянь” (25-27 січня 1994р., м.Дрогобнч); на Міжнародній нпсолі-семінарі “Ланшогопі дроби, їх узагальнення та застосування” (18-25 вересня 1994р., Верхнє Синсвндне); на семінарах з аналітичної теорії ланцюгових дробів та їх узагальнень при ІППММ НАИ України, семінарах кафедр прикладної математики Державного університету

''Львівська політехніка" та обчислювальної маїемаїикп Львівськоїо державного уніїн-рсшечу ім. їм Франка.

Публікації. Основний чміet дисертації відображено у 10 друкованих робо і ач un міра.

Структура і обаїг дисертації. Дисертаційна робота складається із всіупу, трьох розділів, висновків та додатку. Воі а місіть 139 сторінок машинописної о плату, 1 рисунок. 14 таблиць та бібліографічний список, що складається з 66 літературних джерел.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі коротко обгрунтовується актуальність тематики, характе-рнзуеімя пан доеліджеиості проблеми, яка складає предмет досліджень. Сформульовано мету та основні завдання дисертації.

У першому ро>ділі, використовуючи аналітичну теорію неперервних загальних РЛТ/,- та М-дробів, запропоновано чисельно стійкіш алгоритм розв'язування лінійних функціональних рівняні., який с ре;удяртуючнм і може ^спішно викоріїсіовунатнсь до розв'язання задач з ітганообумов-леннчп чи виродженими маїрішямн. Дослідження, проведені в цьому розділі, служать основою для побудови нового методу реї удяризанії некоректних іиіеі ральинч рівнянь Фрсж ольма першого роду.

Основним типом неперервних дробів, використаним в роботі г за-іальиі С-дроби - цс ненфсрвні дроби вигляду

a.za' о,*"1 a,zat'' ' . .

-J . _з ... д . (1)

1 4- 1 4 1 .+ ' W

де кожне а, - додяпн: ціле число, a кожне <і, - иенульове комплексне число. Якщо а, =1 для всіх в , то одержимо правильніш (’-дріб, який є набагато простішим в обчисленні, "ле правильний С-дріб, відповідний степеневому ряде, не зшшдц існує, в той час як відпонічніеть'між таї альними С-дробамп іа егепенсннми рядами є взаємно 'однозначною.-

Розглядаються нерш за все псшіроджепа і неоднорідна скінченна сис-іема лінійних алгебраїчних рівнянь ІСЛАР):

де для всіх А-Г/і Ьк / О 'Л ~(одД^г„ ь -(/>,, .¿„) .

Г " 0 . . >'::•••. І',, )' • '

Системі (2) відповідає покомпоненшп формальним по Я степеневий ряд (ФСР) .

Л < Я « ' ,,

, ** + ¿2Ха, +12 £ • ■ (3<

. и і і

який, при ріішомірпііі збіжності, є розв'язком системи |2).

Введе*») позначення

а?=Іа*ак, • 42) - Ег/Х' • ’ 4м’ = Е^4т"

і і . - к і і і

Годі ряд (3) маже бути записаний в більмі компактній формі, а саме

\ +МІ+А2А2к+---+ЛгЛгк

де

Ьк+ЛАі:+Л2АІ+-+ЛгАгк+‘~ , (4)

4^ьґ...........Ч>2НЛ.~

, 7=1 /=.] .. і-І '

Розв’язок спсгеми (2) иокомиоиентіїо шукається у виг ляді дробу

, 0хк) ^к)х^

Ук Г + і. V і “+"*+ і ' ’ ■

(5)

де, враховуючи ту обставину, що дробово-раціональний розв’язок системи

• (2) мас знаменником поліном відносно X степені п , для цілих додатніх значень 1 (для кожного к) виконуються співвідношення

\а[1) + а({) +а(6і)+---+а\і), зк=2т,

» = і т т як,цо (6)

[ а\ '+ а\) + «в 4~--+а^,, хк = 2т + і;

а\к) +йг<3к) + < 2п - І, ^ <2и, к = 1,п .

В (6) буде виконуватися рІвіЧть пріг =•••= =-1.

Теореліа 1. Дріб (5) буде відповідним ряду (4), якщо в ньому компоненти /?^1 будуть знаходитись згідно рекурентних співвідношень

п П (г) w

^ r: EZ- * ^\аи/--°ьЛ ■ = <*г' + аТ+-'л «О»

л і;. : л-|

а £й}('Ф’") -иеьира:

:ш

«i-SX'*" . ей»I/f ei*J, ^

■ з ,■ .'•

и яких іаміпь А підставлено значения (8) наезуншш чином illilMOIItllllUiM Д|ЮЙу (-V) с ІЮЛ'НОМ відносно А степені ft .

(?Г = <№) = 1 + ЯА + = <jci(/ - /14) ,

I Jen поліпом ке залежить від к , а належить від п , а дріб р(к) р(к) ^

_£*.. * — -*_ /• 1 її '

Сй . '

лдн значень А, таких, що Qn (А) ^ 0, с А-ою компонентою рот’яіку рівняння (2). Таким чином, дня всіх к ~Л,П .

^ЧЙ) -Ь,Ш* ¿¿«»W ■ 'СЮ ««и/ - -М), -

} 1 . • ' •■ ■

Розі лянемо ietlep CJ1AP виду

п _

ХХ>і=v> /с=І’п ■ <9>

де для ін іх к -- 1,/? />. /= 0, /4: = (с7^) . • ишошряжепа (не обон’-

ячконо полнтниі міііриця яка може бути виродженоы або погано обумовленою. Тоді 'завдання рочН’язунання системи (9) полягає у підшуканні нсе-ндорозіз’я:зьу або нормального ром'юку у' “(>'/'>.^2 с11.с'іеми-

Теорма 2. При умоні ісмуианґія ві/шовідних нратшышх ('-дробів, нпрмдкі.нкі! псендоро-зп’язок системи (9) моле бути ’.знайденні) ж '

/4” І /і‘і': 1 fí,

к = i, и

/ік)

2 „ ' /

Теорема .1. Нормальний игевдорозп’язок системи С>) може 6vги знай ДЄІШЙ як .

„«0

\/ - - !п !

' Чп

п ........ J” 1 V .. pW)

де рчЛ, - косфіцігпти (фіг А” та А” у /]} - та Ц, відповідно.

Очевидно, що ісорсма 3 ушальнюс теорему 2. але на відміну під ре

тулярпого вішалку, норм алы niit нсевдорозв’язок не може буш явно вира-

>У, <

<ІН

ЖСІППІ Через компоненти дробу, ОСКІЛЬКИ оста І очний вигляд р(„к j ■ (f сут*

тгпо зллежпіь під стенсніп а .

Чисельно алгоритм знаходження нормального псевдорозв'мчку у випадку нерегулярності дройу (5) (тобто саме алгоритм :и ортання дробу) може бути зреалізований двома способами: згортанням, використовуючи формули Няліс.і, або по алгоритму ‘'іч хвоста п толову". Насправді, оскі лькн нашою чекчо г підінукання тільки тих коефіцієнтів розкладу, які сто-ятьнри А її максимальній сі сисні, обидва алгоритми значно спрощуються. Найкращим же алгоритмом для Чисельного знаходження самих коефіцієнтів RfTZ-дробу для нашого випадку, як при регулярності так і нерегулярності дробу, слід визнати узагальненні! алгоритм Нісковатова.

В той час як фактично і сну с лише один формальний степеневий по параметру ряд для розв'язку системи (2), можна створити декілька принципово річних дробово-раціональних представлень розв’язку. Так, у роботі побудовано таке представлення у вигляді М-дробу. .

Характерною особливістю лробопо-раціоі ллышх представлень розв’язків функціональних рівнянь г їх.регуляризуїЬлі властивості.

Теорема -і. ( Теорема ре.’уляртшщ) Нехай для системи (9) визначники Ганкеля Н\к Ф 0 і 0, a h > 0 і S> 0 - цс точність задания

матриці коефіцієнтів і правої частини системи відповідно. Тоді стійкість ' I till V,, , - V ■

мас місце, якшо в регулярному дробі (5) вибирається кіл-,кість поверхів рівна S, S < 11. ле S впзначясться іч співвідношення

-o, .

ле ()£ - це нуль згідно заданої точності, 0t = тах(/г,<5).

. Такий спосіб регулярнзації не вимагає громіздких обчислень для зна ходжсння параметра реї уляризацц. Ьдалніі вибір поверху дробу ріднить вказаний вище метод регулярнзації з ітеративними методами, в яких для знаходження псевдорозв’язку потрібно вчасно зупинити ітераційиий процес. Але переваг а неперервних. дробів полягає також в іomv. ruó нони володіють властивістю иенакопиченнн похибок при обчисленні.

Рочгянсмо безмежну систему лінійних алгебраїчних рівнянь (КСЛАР)

оО

• (,0)

J--1 '

Моє місце теорема:

Теорема 5. Нехай, по-перше, для ФСР системи (Ні) мізначинкн Ганке-ля Кь. ні* і всі Ьк (і.г-і/х.) відміїті від нуля. Нехай, по-другі1, при

f)\к' ~Ьк коефіцієнти RITZ-дробу (5) обчислюються згідно рекуренших формул (7) і, по-третє, слід матриці А системи (10) і смуг

'• сО

. SpA = Yja<*<ct> ■ '

к -і .

Годі розв’язок системи (10) представляється у вигляді збіжної послідовності

Результати, отримані в даному розділі, є ключовими для подальших досліджень ■

/іругііїї розкі присііячени побудові стійких методів розв'язання триді-агаїальних систем шіераторних рівнянь а також дослідженню пов’язаних з ними опсратОрнІїх дробів.

Вводиться нове поняття фігурного операторіюг о Дробу. .

Нехай А - багіахів простір, B¡ еЦХ,Х), А, єL{X J\X ,Х)), єX

(/ = ]Гоо), де J [Х,Х) - мпожііііа всіх ліпШіІих обмежених операторів, що відображають X в себе. Відомо, (tío L(\\X) - бапахова алгебра.

Означення. Безмежний опера юрнии дріб

Í /СЧЯ) і . . г- г г<ч

! - -г, - - --- > парних підхідних дробів дробу (5).

U№>: '

назвемо фігурним опсраторним дробом (ФОД). В (і I) оператор Л/ є ‘ •

оберненим оператором Досліджено властивості такого дробу, зокрема мас місце теорема: Теорема б, Якіпої! (іі)ішя всіх і виконуються керіпігосгі

|«М| + |В,‘фі, (12)

(причому в (12) хоча б одна з нерівностей с строгою), то ФОД (II) с збіжним і справедливою с оцінка

■-¡;п[!<і , .

ле а - це значення збіжною дробу (11)

Сформульовано і доведено також теорему про збіжність формального розкладу деякої о оперт орп V ФОД до цьої о ж оператора, а Також теорему про обчислювальну стійкість ФОД.

Відомо, що прямий хід методу прогонки для тридіягоналмшх матриць еквівалентний обчисленню підхідній дробів неперервного дробу виду (11). Умова тину (12) крім збіжності дробу, забезпечує також коректність і стійкість методу матричної прогонки з відповідними матрицями-коефіці-ситами. В роботі показаію,-що завдяки особливостям дробу (11) для визначення стійкості методів прогонки нарівні з умовою діагональної переваги (12) можна заст осовувати умову типу Порпітського:

І^дНд'А.Ц , - і.« . о»

В загальному випадку пі умови (діагональної перепаги та Ворпітської о) для трндіаїчшяльннх систем не вкіочакш. одна одну, але для випадку системи із сталими коефіцієнтами ІЇІ = її, Аі = А,СІ — С, умова (13) с

ширшою і загальнішою.

На основі вивчення властивостей дробу (11) та його часткових випадків - матричного та інтегрального фігурних операторних дробів, по аналогії з методом прогонки побудовано також представлення розв’язку три-діагоналмюї системи інтегральних рівнянь першого роду через інтегральні фігурні дроби. .

Третійрогдії повністю присвячено розв'язуванню інтегральних рівнянь різного пі іду.

Ї í е ч я i é - шімірна множин» в просіорі довільної кіяькигіі змін них, С ІЛ ' іочиїцісі мікглин.и. /Í - нсвідсмна міра, внчиачша на Q. Роч

ГГиуісмо інннніііія Фрсді одьма загалі,ішго юиглялу :* пиродасннм ядром:

m(.v) - aJ К{^х)и{с) t!;.:(*) ~./ Ú) ■ .

С2

чдро К (С.х) і вільний нтн/(х) яки) очалпио-іміл.чш.неріїті'гі ям

I fjAíf.x)! dü{*)(jfj(x) <00, ||/ (.r)J d/i(x) uü ' c.? ,

та умові впродженоаі

K(£.x’) = 'Ydd,(£)bi{x) ■

7-І ' ’

Будемо вважати, що розв'язок и(х) рівняння (14) нслсжни. просі ор\ /,,(//.£)) функцій, квадратично су моїших п Q, по мірі //.

Розв'язок інтсіуалшого рішминя (141 з віфод/Шінм ядром можна представити у шпляді

-«(x) = /(.,c) + A¿c4A(f(A-) , (15)

. ' А І .

де - невідомі постійні:

с\ = Ji/i {c)u(£) dfi(E,)„ />' =- Ь). u

Задача про визначення невідомих постійних Ск зводиться до розв’язку системи п елі сбряїчннх рівнянь. Для її одержання помножимо (15) на d ,(х) і проінтеїрусмо по множині Q. Внішіш,позначення

fj = Jdjix)f(x) dft(x), f ,k = I di {x)bh (.v) ф(х),

a h

з(15) мясмо cncmiy лінійних алгебраїчних рівнянь для визначення t'j,

яку представимо у вигляді .

с/“л£й/»с* =//'• ■ / = • (16)

. U ;■ .

Застосуємо для розв’язування СЛЛР (16) дробово-раціональний алгоритм. Обчислювальна схема складатиметься з нас ипних етапів (діія nj-ftirrorn викладу зафіксусмо значення Я, наприклад, нехай Х~\):

п

• шацдемо i) (1 ),AtD {А ) - матрпля .

• т'репдемо шд cijcícuif piiiiwtu» (H’i до piui)>u¡пя liii/k-pa

• чпаидсмо

. i ll ll-i iMU (И’)'

ас11 i Л*(ПЛ(1)с,г - (Y(\)J

ЛС c“ (c¡‘ ,i\ c‘ |

(17)

» Mkiuo jv¡>i dirimí (17) /j"' ф () V/ = l.n, s- 1,2n , ш <-iy компоненту c‘‘ можпа иредаанигп як

Здшепишип в (18) гршшчнии перех!Д при й —> О, одержимо нор-малыишрочн’ячок: шстемн (16) при А — 1:

Дании ал! орптм дочволи« доишиип роча’нчкп С’ЛЛР (16) бе:< ноие-едшх доииджспь па иласш чначешш рншяиня (14), Дшпа;, при дошль-ому А •зиамелиик дробу (18) г ртшш шпначплку det{/ - /Цл ))- Orce, при dtít(/ -- /\А)) ^ 0 значении дробу (¡9) даг: гдпнлл рош’ячок

исгемн (16). При и.иуианш Гпмежтп миожпнп рочв’я.шн) ('.ПАР дртб 19) дорптюг нормальному рочн’шку. Мкнн> ж iikierральне рпшннпм (14) е рочв’ячальнс, I о (19) - не т-сидоро чп’я ¡oír Мура-Пеироуза. Таким чи-ом, печ чппходжсши нлагНнх чла'кш. piBimuisi (14) дропшн,- paitio-¡ымшй метод даг тшпу шдиошдь па посчашн-не клганпя чна.'.сдж-.чшя :пв’я;жу piiiioiiiiin <1>рс-;и ч.чьна. '

hnmiM иидом pimiaiu,, рол ляпу ntx у данону рочдии с оянишшйрш ппулярш ртнянмл. Рочроблспо методику частосуванпн /ipofxwo-pani-tajíMioio Mciоду для чпаходження ролгячкш таких piiuífim, в чансж->ci! )лд ¡ндокту рпшяпкя. Покачано, що нропоноваини метод дошл!.) ипкорисговунагн, ¡'ГкЬв-ки niu иг ннмагаг' тчк-рсдпк громпдтнх r¡»Mi» о p¡¡Mi;¡.«¡я.

де fíl” чнаходятшт чидно рекурсипш?; пишидношспь (7).

(19)

Предметом наступних досліджень с задачі для диференціальних рів нянь з граничними або початковими умовами (л тому числі ч обома одночасно), шо описуючі» деякі процеси в певній відкриті» просторовій області О Л-внмірного сиклідорого простору К' з границею ¿4) і в часі і>і0. Можливим с і векторний випадок. ,

Нехай основне рівняння а також граничні та початкові умови записуються відповідно у вигляді . .

І,(Ф(*,0) = /(*-,0+ /'£(*,0Ф(*,0, ХЄІ),ОІ0, (20)

Г(Ф(х,0) = хєсО, і>іи, (21)

А/(Ф(х,0) = Ф0(х)> Д" є ІЗ, і — (0. (22)

Тут Ь,Г, N - деякі задані лінійні оператори, причому Г - оператор граничних умов, N - оператор початкових умов; // - чпсловпіі параметр. Функції/(х,і), д(х,1), И(х,і), а також Ф0(х) вважаються заданими. .

Крім тою, допустимо,що Функція Гріна (з(х,£,(,т) і стандартизуюча функція Л>(х,/) лівої частини задачі (20)-(22) відомі. Тоді (20)-(22) зводиться до розв’язання інтегрального рівняння . / '

Ф(x,t) = b(x,t) + ^jG(xi¿;J,г)g(£,г)d¿;dr . (23)

. /, р . . •

В (23) Ь(х,і) не залежить від Ф, а лінійно виражається через Д ¡і, і Ф0, Введемо скорочені позначення .

0(х,£,^г)£(£,г) = £(*,£,і,г) > •

І 1 -

~ о '

Метод послідовних наближень створює для (23) формальний по /и сте-

пеневий ряд (ФСР):

* . • '

■Ь(х,0 + ][]/і'/ІДх,0 ■ .«є (24)

• 1*1 .

ІЗ

}.т7У-К(4, , ,і',.т,)/»(.^. г,> |/,г -

О о

Побуддчмо лин рото’ячиу іпчсірпльпого рівняння (23) реїулярнші КІТ/,дріб, який підпоїм див Г>п рядові (24):

/?,(гл) Аг{х,і)/і /),{. г,/)// р5)

1 + І »- 1 + ’ . "

Теорема 7. Псхяіі. но-дсриіе, для всіх (х.() ЄІ) *[(„,(] //{'' '^0

(л = 1,2; к ~ 1,ос), Ь #0,да /Ґк'1 - це шпішчнпки Гяпкеля, нобудопя-ні ію компонентах ряду (24), по-друге, косфішиги Д 1Ш'7,-дробу (25)

обчиепюються нілпо рекурентних формул шіду (7) і, по-третс, слід оператора К інтегральної о рішшння (23) іенус:

- $р К -1 К(<%,£, г, г)^г < ао . ,

о ’

до і}--/.) хІ/0./].

Тоді рспв'ячоїс задачі (20)-(22). представляється у вигляді чбіжної

' і Р ]” ■ ,

послідовності і—2’” парних підхідних дробів дробу (25). 1 (еіі рот-

ійиі,., І

в’ячок г. мероморфікчо функцією параметра ¡.І рівняння (23), а дріб (25)

г відповідним дробом рядові (14). Крім того, існує границя такого розв'яжу при прямуванні парішеїра /І до безмежності

Ті-Д -М- _АА ... рл >Л- }> л:'А+а-а+а- '

Якщп ж п (20) {і - малнІІ параметр. то .

т-*сп ( і • . -

ґ.М)*!гт •• .

Ф(х.І) -Юїій = .

ЙД'Л)

Якщо іадача (20)-(22) с статичною (не залежить вія часу І), дріб (25) буде скіичсшшм. .

І, нарешті, розглянемо інтегральне рівняння першого роду

Ки з І К{ХЛ')и(у) сіу - /(.V), X Є X, (2

у

де К(х,у) - неперертш на X х У функція; ,У еНт, У Є А *; множні

Л' і Ккомпактні;/!'.Vі - неперервна, нерівна тотожні,о нулю на .V фун іия. Будемо шукаш розв'язок в просторі ]}у. .

Викладений н частині І підхід дозволяє узагальнити спосіб наблі женого розв'язування задачі (26) пропонований п монографії Е.Г.Ді видова (Давыдов Э.Г. Исследование операций. -М.: Высшая школ: ¡990. - 383 с.). Мас місце твердження.

Теорема в. Розв'язок задачі (26) існус тоді і тільки тоді, коли дпч де

вільного /і і довільного набору г'1' Є А і - 1,н існує така функці

“З ГП

и (у) б Ьх- яка.взагалі кажучи, залежна від вибору точки X і— І,і,

Практична цінність дробово-раціонального методу підгверджуетьц конкретним» прикладами ного застосування до розв'язування систем лінійних алі еСірзїчних рівнянь та рівнянь Фредпшьма першого роду.

/К(х(п,у)и(у) сіу = /(л-(і)), і - І,и, Н< Л,

де Л>0 і не залежить від п і відлибору точок Х1’^ єХ , І ~\.п.

Годі

де знаходяться для системи

(27;

згідно співвідношень (7). В (27)

\К{хи),у)к{х''\у)<Іу: г,=/(х(,>); 1».

г

висновки

І. Здійснено цокомпонептне представленнярозв'язку лінійних функціональних рівнянь у вигляді заіальних ІШУ.-дробів.

>. Розроблено повий меіод регуляризації Jaпi^ím^x некоректних задач, щи будується па покоординатному представленні розв'язку у вигляді нсиереріших дробів.

!. Встановлено достатню умову збіжності дробово-аналітичної о [ни-и’ячку безмежної системи ліішішік алгебраїчних рівнянь та інтсіра-льното рівняння Фредгольма другого роду.

. Досліджено і використано апарат операторі«!* неперервних дробів для побудови стійких методів розв'язання тридіагоімльнпх систем лінійних рівнянь.

. Дробово-аіііиїї нічним методом ¡найдено розв'язки одновнмірного сингулярного рівняння з виродженим ядром.

. Здійснено перетворення асимптотичних по параметру розв’язків лінійних диференціальних рівнянь н неперервні ІіПУ-дроби. Знайдено асимптотику цих розв’язків при прямування параметра рівняння до пули і безмежності. '

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ

Рожаньшська М.І., Онвйвк'о М.С. Операторів ланцюгові дроби ¡а побудова коректних і стійких методів розв'язання тріщіагопальшіх спс. тем операторшіх рівнянь ///(он. ПАП України. - 1994, - N 9. С. 24-24. Ро,кантівська М.І. Про один клас нелінійних диференціальних рівнянь у біології./ Вісник Державного унінереитеїу "..¡ьпінська ионпех-піка”. Диференціальні рівняння та їх застосування. N 2/7. Львів, 199-t. С. 120-123.

Рожаикіпсмса М.І. Про одну Математичну модель керування синте-іо.м ферменту, Помітну з урахуванням післядії./ Вісник Льшпського політехнічного інституту. Диференціальні рівняння та їх застосування. N 269 Львів, 1993. С. 160-166.

Рожаиківеька М.І. Опера горні ланцюгові дроби ти їх зв'язок з методом матричної проюшаї/ Прані Другої Іксукрлїпсі.тої конферен-

ції молодих вчених. Київ, 16-18 травня 1995 р. Математика, Збірник депоновано у ДНТБ України 4.09.95 р. Номер депонування 2034 УК 95. С. 132-139.

5. М.І.І’ожапктвська. Операторні ланцюгові дроби як апарат розн’ячу-

ііаиіія задач оптимальної фільтрації./ Всеукраїнська наукова конференція (19-21 вересня 1995 p., м.Львів) ^астоіднаїшя обчислювальної техніки, математичної о модедіоіиииш та шпема пічних методі» у наукових дослідженнях (І он і доповідей). Львів, 1995. С ‘.71. •

6. М.Рожанківеььа. іі'ііуриі операторні дро(ііі та їх зв'язок з методами прогонки./Всеукраїнська наукова конференція "Розробка та застосування математичних методів о науково-технічних дослідженнях” присв’ячена 70-річчні від дня народження професора ІІ.С.Кашмірського (5-7 жовшя 1995 р.) Тезп доповідей. Частина 3 Секції: Маїс матичне моделювання, Чисельні методи і оншміїація обчислень. Льши, 1995. С. 131.

7. Рожанківсьтса М.І. Про стійкість онераторпого полінома. / Сн.чпо »іум

“Питання оппімізянії обчислень” (22-24 листопада 1993 p., м.Киїп). Течи доповідей. Київ, 1993. С. 143. .

8. М.Рожанківеька. Фігурні опера’ториі дроби і побудова корокг-пш та стііпсііх методів розв’язку отіераторних рівнянь../ Всеукраїнська наукова конференція-“Нові підходи до розв'язання диференціальних рівняні.” (25-27 січня 1994р., м.Дрогобнч). Гелі доповідей. Київ, 1994. С. 140.

9. М.Рожанківеька, Про дробово-раці«нальшш метод регуля-ртації

рівнянь першого роду і використання параметру релаксації. І Міжнародна шкота-семінар “Ланцюгові дроби, їх узагальнення та застосування'' (18-25 вересня 1994 p., Верхнс Гииснидне). Тези доповідей. Львів, 1994. С.11. ' -

J0. Рожанківська МТ Представлення розв'язків лініііїшх рівнянь у вигляді загальних С-дробів. / Наукова конференція “Нелінійні проблеми аналізу” (24-27 вересня 1996р., мЛиатю-Франківсьн). Івано-Франківськ, 1996. С. 136. . ,

Особистий внесок претендента. Всі результати, що складаюіь основний змісі роботи, отримані автором самостійно. В публікації |1], яка написана у співавторстві, аіпру на.іежать всі іеоремп і оіначеніш пер-ініч і ір'-и.ої части, па які структурно розбиіа паї мі.

Kn/iuinKnVkü M ( Tlir frarlioit-ratioitafï гсішіаі í/шц :іНн>мііігі! яті appnwhnî solution of (hi- (invar incurrcct integral «¡«»(ions. - Manase lipt.

ïbtsis 1<ч a master's degree of physiful and mathematical sciences on spctui lily 01.01 07 - computation ainthmiatic. - Ivan Franko l.viv State University, I,\iv,

! W7

Nmv method of fcgulmi/ation of linear inconeet problems which is based mi eo-ordinatc icpreseiitation of the solution in a kind, of continuous fractions is developed. The siiilic’icut uiteiia of convergen««: of the fraction-analytical vlecisi-on of the fmictional e<ju;i!i(iii (tf'líic «есогкі kind is established. ï!te appmaUis ol'conlimtntu; liactintis is used fc4. the solution of the integial equations of f vaii-ous kind1;.

Рожшіиїтекаи М И. Дро<!«т-рииіі<іііа.імтн pri удариiitpyionuiii алі-ориїм и приГиіижтінге рсііі<‘ммс лмпстімт ііскоррсісіиьіч шиеірплі.ммх уряткчпш. - І’уі.оїшп.

Дноесріаиия па спиекание учений пенсии кандидата фтпко-матС' мяшчегкш іт\к по аіення.чьноті 01.01.07 - пьічік-.чнгсчі.ііпя мпі'^огика. - ,!1м)ит'кіі)і і псударп ппіомії уштоерпнеї писни Ипапа 'Гранко. Лмюп, 19^7. .. .

РаараГннап інчм.ііі меюд реї улирінацші чішеіінмх пекорреіпмьіх <а-,>шч, Kojopi.fii Ггачируеїтя ііа нпкоордиііатпом предсгашісчіш ремкчшя » виде наїрерьпшш /фоГіеіі. Угітпоіден лосіачо'тьгН нріпияк <-х«димосіи

дроСчіо-аналншчссісого реінетш фупкцтшалмюп» уршшппт пгорого рола. Аппараї іітрсрьінш.и дроГіеіі иенопмопян дня рентній иніеірпчмчлч уряшіпшіі ра шнчної о пндя.

Кліочоні слнпн; иекорекпіо носпш.чеііа задача, нсгплороип'яюк, реї у -.чяріпація. дрооноптшішчпиіі ро:пі'янчс, пшфершшїі дріб, тридіиі опалі» на пістсмя лініігмпх рівнянь, інтегральне ріпиямия, сингулярні* рішічния.