Движение и устойчивость слоя жидкости на поверхности вращающегося цилиндра тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПОЛИТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

УДК 532.516

РГК од

с ч к л:

КОНОН ПАВЕЛ НИКОЛАЕВИЧ

ДВИЖЕНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ слоя жидкости НА ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ЦИЛИНДРА

01.02.05 - механика жидкостей, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск - 2000

Работа выполнена в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова и Белорусском государственном университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Виктор Яковлевич Шкадов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Вячеслав Степанович Вихренко

доктор физико-математических наук, профессор Василий Степанович Федосенко

Оппонирующая организация:

Институт тепло- и массообмена им. А.В. Лыкова НАНБ

Защита состоится «23» июня 2000 года в 13°'' на заседании совета по защите диссертаций Д 02И5Т)7 вТзёМрутссГггосударетвенной-лоли-— технической академии по адресу: 220027, г.Минск, пр. Ф. Скорины, 65. главный корпус, ауд. 202. Тел. 232-74-25.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белорусской государственной политехнической академии.

Автореферат разослан « » мая 2000 года.

Ученый секретарь совета по защите диссертаций.

кандидат физико-математических наук,

доцент Е.Д. Рафеенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Акгуштьносгь темы диссертации. Современный этап развития механики сплошной среды характеризуется как тесной взаимосвязью и взаимозависимостью в постановке и решении общетеоретических проблем и прикладных инженерных задач, так и широким использованием самого разнообразного аппарата современной математики, возможностями современных ЭВМ и необходимостью проведения их дальнейших теоретических проработок. Такой подход позволяет наиболее точно и максимально близко к действительности изучить те гидромеханические процессы, которые встречаются в практике,

В энергетической, химической, металлургической, строительной, пищевой отраслях народнохозяйственного комплекса находят широкое применение процессы, использующие движение слоя жидкости на внешней поверхности вращающегося цилиндра. Например, производство теплоизоляционной ваты центробежно-валковым методом состоит в разрушении слоя формирующегося на поверхности быстро вращающегося цилиндра при попадании на неё расплава минерала. В других технологических процессах, использующих данный вид движения, необходимо добиться полнейшего отсутствия возмущений жидкости на твердой поверхности. Это требуется при нанесении слоя клея на бумагу, в производстве изделий из стекла, покраске предметов цилиндрической формы. При этом необходимо выбрать оптимальную скорость вращения цилиндра, чтобы избежать, с одной стороны, возможности стекания жидкости, а с другой - появления значительных возмущений поверхности слоя.

Анализ экспериментальных и теоретических результатов по движению слоя вязкой жидкости на внешней поверхности горизонтального вращающегося с постоянной угловой скоростью цилиндра показал, что проблема недостаточно изучена. При решении таких задач приходится преодолевать значительные математические трудности, обусловленные, во-первых, нелинейностью и сложностью самих уравнений, во-вторых, необходимостью определять свободную поверхность при решении системы уравнений в частных производных, что является характерной особенностью течений в слоях и пленках. Большой класс подобных течений с неизвестными свободными границами и границами раздела сред рассмотрен В.Я. Шкадовым, В.Е. Епяхкным, А.Е. Кулаго, В.В. Пухначеаым. Как выяснилось, экспериментальных данных явно недостаточно, они имеют в основном качественный характер, а результаты по развитию неосесимметричных возмущений практически полностью отсутствуют. Потребовались более детальные экспериментальные исследования, проведенные под руководством А.Е. Кулаго при участия автора данной работы.

Экспериментальные подтверждения существования вращения цилиндра и жидкости как одного целого инициировало подробное исследование форм равновесия жидкости на вращающемся цилиндре, основанное на известных (И.Цзя-Шунь, X. Моффат) и новых экспериментальных данных, а также теоретических исследованиях других авторов (П. Аппель, С. Чандрасекар, В.В. Пухначев, В.А. Самсонов, Л.А. Слобожанин, А.Д. Мышкис, В.Е. Епихин, Л.Н. Маурин, Л.Г. Бадратинова и др.). Накопленный к настоящему времени экспериментальный материал позволяет постоянно согласовывать возможные теоретические модели течений с опытами.

Из линейной теории гидродинамической устойчивости известно, что наиболее опасными для разрушения слоя на вращающемся цилиндре являются возмущения в окружном направлении. Вследствие этого для уточнения механизма разрушения слоя возникает необходимость подробно исследовать плоскую нестационарную

задачу. X. Моффатом 1 и В.В. Пухначёвым 2 рассмотрено данное плоское течение в приближении тонкого слоя жидкости и при достаточно медленном вращении цилиндра.

Приведенный краткий анализ равновесных и нестационарных процессов движения жидкости на поверхности вращающегося цилиндра показывает отсутствие строгой теории исследования, а также актуальность проблемы как в теоретическом плане, так и в практическом отношении.

Основные исследования по теме диссертации были проведены на кафедре аэромеханики и газовой динамики механико-математического факультета МГУ им. MB. Ломоносова, завершены на кафедре теоретической механики и робототехники механико-математического факультета БГУ.

Тема диссертации связана с планом научно-исследовательских работ механико-математического факультета МГУ и соответствует плану НИР кафедры теоретической механики и робототехники БГУ по теме № 516/21 «Базовые системы дифференциальных уравнений механики сплошной среды, их анализ и решения».

Задача исследования - проанализировать математическую и гидродинамическую модели на основе экспериментальных исследований и решить ряд конкретных задач о движении слоя вязкой жидкости на внешней поверхности вращающегося цилиндра.

Цель работы - уточнить и усовершенствовать существующие модели и на их основе разработать новые численно-аналитические методы решения задач о формах равновесия и движения слоя вязкой жидкости на поверхности вращающегося цилиндра. Обосновать выбор расчетной модели течения сравнениями с экспери--мент.ашг______

Методика исстедований.При^шентцтсазантх задач используются классические методы гидродинамики вязкой жидкости с применением-извесгш>к__и_раз^__ рабегтанных численно-аналитических методов исследования и результатов известных и новых экспериментов.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

- - новый метод вывода уравнений относительного равновесия и движения слоя вязкой жидкости конечной (малой) толщины на поверхности вращающегося цилиндра, формулировки граничных и начально-краевых задач для этих уравнений с целью качественных и количественных исследований форм свободной поверхности слоя;

- исследования бифуркаций невозмущенного слоя постоянной толщины в другие стационарные решения;

- исследования нестационарных течений плоского слоя вязкой жидкости на вращающемся цилиндре, находящегося под воздействием сил инерции, поверхностного натяжения, ускорения силы тяжести;

- численно-аналитические и численные методы решения краевых задач о равновесии и движении вязкой жидкости на поверхности вращающегося цилиндра;

- результаты экспериментальных исследований и численных расчетов форм свободной поверхности жидкости, их сопоставление;

- результаты эволюции нелинейных возмущений слоя, механизм его разрушения.___________________

' Moffat Н.К. Behavior of a viscous film on the outer surface of rotating cylinder // Jornal de Mehajiique.- 1977,- Vol. 16, N 8,- P. 651-673.

5Пухначев B.B. Движение жидкой пленки на поверхности вращающегося цилиндра в поле тяжести //ПМГФ,- 1977.-N 3,- С. 78-88.

Научная новизна, достоверность и обоснованность основных результатов диссертации.

Все вышеперечисленные результаты диссертации являются новыми. Они получены с помощью классических методов гидродинамики вязкой жидкости на основании феноменологического подхода к анализу процессов движения сплошных сред.

В частности, основная разрешающая система уравнений задачи о плоском движении слоя вязкой жидкости получена на основе уравнений Навье-Стокса с привлечением экспериментальных данных об эволюции слоя вязкой жидкости на поверхности вращающегося валка. Численно-аналитический подход к решению краевых задач с неизвестной свободной поверхностью разработан на основе комбинации аналитических, прямых и численных методов решения этих граничных задач для уравнений с частными производными. Все основные выкладки сопровождены ссылками на использованные первоисточники.

Достоверность результатов численных расчетов подтверждена требуемой точностью вычислений и согласованием с экспериментами,, результаты которых представлены в диссертации в виде фотоиллюстраций, графиков и таблиц, часть этих экспериментов выполнено лично автором.

Практическая значимость полученных результатов.

Полученные результаты могут быть использованы научно-исследовательскими и проектно-конструкторскими организациями при разработке рекомендаций по расчету, проектированию и выбору эксплуатационных режимов центрифуг, находящих применение в энергетической, химической, строительной, металлургической и др. отраслях промышленности и отработке технологических режимов, связанных с их эксплуатацией.

Экономическая значимость полученных результатов, состоит в том, что они позволяют избежать проведения дорогостоящих натурных экспериментов и связанных с ними энергетических и материальных затрат при выборе конструкционных параметров промышленных центрифуг и технологических режимов их эксплуатации.

Личный вклад соискателя. Все основные результаты, выносимые на защиту, диссертации получены лично соискателем. Соавторам в совместных публикациях принадлежат постановка проблем, обсуждения полученных соискателем результатов, их достоверности и значимости.

Апробация результатов диссертации. По теме диссертации были сделаны доклады на Всесоюзной школе-семинаре "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (Москва, 1986, 1990); конференциях молодых ученых МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 1986, 1988); II Всесоюзной конференции "Физика и техника монодисперсных систем" (Москва, 1991); YI конференции математиков Беларуси (Гродно, 1992); Международной конференции "Функциональный анализ и уравнения с частными производными" (Минск, 1994); Республиканской научно-методической конференции, посвященной 25-летию факультета прикладном математики и информатики БГУ (Минск, 1995); П Белорусском конгрессе по теоретической и прикладной механике (Минск, 1999); научном семинаре кафедры аэромеханики и газовой динамики МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством академика Г.Г. Чёрного (Москва, 1989). Кроме того, в процессе выполнения работы отдельные её части докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры аэромеханики и газовой динамики МГУ им М.В. Ломоносова "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и теории крыла" под руководством проф. В.Я. Шка-дова и доц. A.A. Зайцева и кафедры теоретической механики и робототехники БГУ.

Опубликованность результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в одинадцати печатных работах, среди которых четыре статьи в периодических научных журналах, две статьи в научных сборниках и пять тезисов докладов на конференциях. Общее количество опубликованных материалов - 47 страниц.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из общих замечаний, общей характеристики работы, четырех глав, выводов и списка литературы в количестве 75 наименований. Полный объем диссертации составляет 95 страницы машинописного текста, в числе которых 46 рисунков и 4 таблицы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В разделах «Общие замечания» и «Общая характеристика работы»

обосновываются актуальность, теоретическая и практическая целесообразность исследований, формулируются цели и задачи работы, ее основные положения.

В первой главе проводится анализ литературных источников, выясняются нерешенные вопросы, касающиеся проблематики работы. Отдельно подробно анализируются результаты экспериментальных исследований, делаются выводы об их недостаточности и качественной характере.

Приведены результаты новых более детальных опытных исследований, выполненных во ВНИПИ Теплопроект. Изучены поведение и механизм распада слоя в зависимости от диаметра и скорости вращения валков, коэффициентов вязкости, поверхностного натяжения, угла смачивания исследуемых жидкостей, расхода и способа подачи жидкости на валок, Результаты фиксировались в виде снимков с помо-1дью~скЬросгной-фотосьемки. Визуальные наблюдения по движению слоя глицерина и масла на вращающемся цилиндре при^омнатнойлщпературе позволили сделать следующие выводы.

1. Вращающийся цилиндр захватывает струю жидкости, падающую на его поверхность, и наматывает ее в виде кольца. Возможен устойчивый (установившийся) режим вращающегося кольца на цилиндре без подпитки. Слой и цилиндр вращаются практически как единое целое.

2. На форму кольца жидкости влияет угол смачивания £о между жидкостью и материалом валка. Так, кольца из глицерина, имеющего угол смачивания с поверхностью из оргстекла го = 60°, имели заметно меньшую ширину и большую высоту, чем кольца из масла, у которого £о~ 15

3. При определенных оборотах валка устойчивый слой начинает возмущаться, и форма кольца принимает волнообразный вид. При дальнейшем увеличении угловой скорости цилиндра часть жидкости сбрасывается с кольца по касательной к поверхности в виде столбиков в местах наибольшей амплитуды возмущений, и опять устанавливается устойчивая форма движения жидкости в виде кольца со свободной волнообразной поверхностью.

4. Опыты позволили установить, что слой жидкости распадается вдоль оси вращения на кольца, которые имеют волнообразный вид. Число колец и выпуклостей на кольце растет с увеличением радиуса цилиндра и угловой скорости его вращения.

Во второй главе дана полная постановка задачи о движении слоя вязкой жидкости на внешней поверхности горизонтально вращающегося цилиндра в поле сил инерции поверхностного натяжения и тяжести; рассмотрен наблюдаемый в экспериментах случай движения цилиндра и жидкости как единого целого.

Движение вязкой жидкости в цилиндрической системе координат координат О, х, у , в (ось х - вдоль оси цилиндра, ось у - по его радиусу) описывается уравнениями Навье-Стокса, неразрывности и свободной поверхности. Они обезраз-мерены по радиусу цилиндра Ло , угловой скорости его вращения ®о и плотности жидкости р . На свободной поверхности у~Ь{х,в,г) выполняются условия на нормальные и касательные напряжения, а на поверхности цилиндра у ~ 1 - условия прилипания. Вязким взаимодействием с окружающей средой пренебрегаем. Задача содержит три безразмерных критерия подобия течений - числа Рейнольдса Ке=Я\с)„/V, Фруда /*У = Яо<э*/£ и Вебера }Уе=рИ\ш\/а, где V - коэффициент кинематической вязкости, g - ускорение силы тяжести, а - коэффициент поверхностного натяжения жидкости. В момент времени /=0 задаются начальные условия.

В системе координат £ = х, ц = у, р = в-1 , связанной с вращающимся цилиндром, разыскиваются стационарные решения поставленной задачи, соответствующие слою, неподвижному относительно поверхности вращающегося цилиндра. Массовыми силами пренебрегаем. Из системы уравнений Навье-Стокса и граничного условия для нормальных напряжений получим уравнение для определения свободной поверхности слоя

— = ~Щ2£и+/12-1). (1)

1

Критерий Ей =/ч определяет безразмерный перепад давлений в слое на поверхности цилиндра рг и в окружающей среде ра , 2/%- средняя кривизна поверхности слоя г) = .

В случае плоского слоя г;=Ц<р)>\ уравнение (1) принимает вид:

2Ш"Жг ^1¥е{2Еи+к2-\){Ь'2 +к2)гп -2И2 =0. (2)

Как и в проведенных экспериментах, масса жидкости на цилиндре первоначально не фиксируется, а определяется перепадом давлений по виду свободной поверхности.

Проведено количественное и качественное исследование нелинейных периодических решений уравнения (2) в зависимости от значений характерных параметров. Понизив порядок этого уравнения, можно получить первый интеграл

а,2 = д2{И,В) <; 0< 0о(Ь,В)<01(1г,В) ;

бо

(3)

Оо =/г4 +2(2Ек-1)Иг-В > 0 ; ; &=£?,, -Ц ,

с помощью которого устанавливаются характерные точки свободной поверхности. Значения И , при которых (2г(1г,В) = 0 , Ь' = 0 , соответствуют минимумам Ъ\ и максимумам й2 волнообразной поверхности >1=Н<?) ■ Условие периодичности выполняется, если по периметру валка укладывается четное число полуволн:

<20(М) _ * ^ и^Щ^ЩДЖ) "V (4)

Численным методом, основанным на выборе подходящего значения перепада давлений Ей методом половинного деления до тех пор, пока интеграл (4) не сойдется кя/лс заданной точностью, найдены периодические решения уравнения (2).

Проведено качественное исследование решений уравнения (2) с помощью первого интеграла (3). Исследование числа действительных корней полиномов Оо , 61 и Ол , больших 1, в плоскости параметров (Ей , Ше) производится методом Штурма в полубесконечной полосе -1,2 < Ей < 1,2; \Уе > О.

В случае осесимметричного слоя уравнение (1) принимает вид:

2Ш"-2ф'г Н)+»'<2й+Л1-1>(/)'г' +1)м = 0 (5)

Во внутренней системе координат 5, е, связанной с поверхностью слоя, уравнение (5) преобразуется к удобному для исследования виду:

<& Щх) 2

(6)

- г 0 , г(0)= О, Я(0) сЬ ds --—___

Уравнение (6) имеет первый интеграл

Я* +2(2Еи-Щ2 - = Д (7)

Же

который используется для установления характерных точек линий г/ = . Например, в точках экстремума выполняются равенства е = 0, тс; сое е = ± 1 .

Расчетами и с помощью качественного исследования первого интеграла установлено, что при различных значениях параметров свободная поверхность слоя м5жет быть цилиндрической формы, волнообразной формы, состоять из периодически расположенных изолированных кольцевых слоев или иметь самопересечения.

Сопоставим результаты проведенных опытных исследований стационарных осесимметричных кольцевых слоев глицерина и масла ПФМС-4 с теоретическими. Жидкость, попадая на цилиндр, частично сбрасывается центробежными силами, а оставшаяся масса увлекается вращающейся поверхностью в виде кольцевого слоя, по всему периметру которого отрываются капли. После достижения стационарного вращения жидкости слой фотографировался, замерялась ширина кольца £ и высота слоя Атах. При увеличении частоты вращения выше критического жидкость вновь частично сбрасывается с валка, и снова образуется стационарный слой, близкий к осесимметричному.

Рассмотрим уравнение (5) с граничными условиями

й(0)= 1, h■(0) = tgso. (8)

Число Вебера (Сен угол смачивания е 0 заданы, а число Эйлера Ей подбирается на интервале [-0,2; 0,1] ю условия совпадения максимального радиуса поверхности Атах с экспериментальным с точностью Л = 10"4. В процессе решения определяются масса жидкости на цилиндре Ми ширина кольцевого слоя I (таблица 1)

Из таблицы видно, что результаты расчетов лучше согласуются с экспериментальными данными в случае более тонких слоев, что объясняется малым влиянием ускорения силы тяжести в модели стационарного осесимметричного слоя.

На фотографиях экспериментально зафиксированы различные виды волнообразных плоских слоев, предположительно близких к неподвижным, относительно вращающегося цилиндра. На рис. 1 изображена зависимость интеграла (4) от числа ¡¥е при Ей - -0.10 и Еп - - 0,20, Ы = 1,10. Звездочками обозначены экспериментальные значения моды волновой поверхности л3 , кенакладывающиеся на теоретические кривые (4). Можно предположить, что наблюдаемые в эксперименте слои нельзя считать абсолютно покоящимися относительно вращающегося цилиндра.

Таблица 1.

Сравнения данных экспериментов с результатами расчетов.

Ra м С0о, с1 We Эксперимент Расчет

h "'шах 1 ^шах t Eu М

0,0123 11,519 5,432 1,407 1,626 1,407 1,858 -0,0793 3,121

0,0123 13,614 7,588 1,407 1,423 1,407 1,588 -0,1265 2,643

0,0123 33,51 45,972 1,081 0,569 1,081 0,636 -0,0126 0,201

0,025 11,519 45,611 1,08 0,64 1,08 0,637 -0,0116 0,198

0,035 11,519 125,16 1,029 0,314 1,029 0,314 0,0023 0,036

0,035 13,614 174,82 1,029 0,257 1,029 0,287 -0,0025 0,033

В третьей главе проведено исследование относительных форм равновесия свободной поверхности слоя вязкой жидкости на внешней поверхности вращающегося цилиндра при фиксированной массе жидкости на нем и исследованы бифуркации невозмущенного слоя постоянной толщины в другие стационарные решения. Доказано, что в экспериментах наблюдаются нестационарные возмущения свободной поверхности слоя, соответствующие периодическим по углу модам, имеющие наибольший коэффициент нарастания, определенный по линейной теории гидродинамической устойчивости.

Линеаризуя уравнение (2) относительно равновесной цилиндрической поверхности t\ = h0 , можно получить линейное однородное дифференциальное уравнение, условие периодичности решения которого и соотношение для слоя постоянной толщины

hi ^ 2Xnh„~ , 2Еи„ ~ 2^,-1 (9)

We,,

позволяют определить точки бифуркации параметров ]Уе„ и х» > в которых наряду с цилиндрической поверхностью постоянной толщины появляются равновесные

2.0+1

1.5

1.0

0.5

Eu=-0.2

100

200

300 We

Рис. 1. Зависимость интеграла (4) от числа Ше. Штриховая линия - экспериментальная кривая

цилиндрические поверхности, нормальные сечения которых имеют симметрию п -го порядка.

Wen =

пг-1

ч

ь

(3-П1)^ 2(н2-1)

п> 2 .

(10)

Рассмотрим -краевукизадазу, включающую уравнение (2) и дополнительные

условия

Ф&Еи, /г(О), h '(0)] = - | (А - \)dtp -т = 0 , 2 о

(П)

Ф2[Еи, h(0), h '(0)]s/j(0) -Л(2лг)= 0 , Ф3[Еи, А(0), /з '(0)] в h '(0) - h '(2тг)= 0 ,

которые будем рассматривать как систему трех нелинейных уравнений с тремя неизвестными Ей, Л(0), Л '(0).

Решение системы (11) производится итерационным методом. На первом этапе в качестве начального приближения используется значение Еи= Eu{ho) (9), производная h'(0) = 0; для h{0) последовательно принимаются значения 1, 1+Jh,...,

\+KAh = h0= л/ш7 71 +1 , где Áh =0, l(Ao-l). Интегрирование уравнения (2) на отрезке [ 0 , 2тг] с выбранными начальными условиями производится методом Рунге-Кутта по формулам четвертого порядка точности. Затем вычисляются выражения (11). Перебор значений h(0) осуществляется до тех пор, пока не будет выполнено неравенство шах | Ф, | s е, е = 510'г . На втором этапе применяется итераци-

¡=1,2,3

онный метод Ньютона. В качестве начального приближения берутся значения искомых величин, полученные на первом этапе. Обозначим для краткости (Х°х , X°, Zj )г = Ха 1. Отыскиваются такие малые добавки {¿IX), ЛХ\, ЛХ\)Т = АХ,, чтобы система уравнений удовлетворялась точно

Ф(ХЭ+-ЛХО = о.

(12)

На рис. 2 показаны формы свободной поверхности слоя при уменьшении числа Ей < 0 , когда т - 0,85, а число Ие = 44- зафиксировано. При заданных т и ТУе решение задачи (2), (11) неединственно: при разных значениях числа Ей получаются слои с различным порядком симметрии п . На рис. 3 показано ответвление кривых Еи{}¥е) при я = 7, 8, 9, 10, 11 от кривой, определяемой формулой (9), в случае осесимметричного слоя. Бифуркационные значения параметров и

~(2Ещ-1 )/2, при которых наряду с цилиндрической поверхностью появляются равновесные цилиндрические слои, имеющие по длине образующей Е ровно к максимумов свободной поверхности, имеют вид:

Рис. 2. Формы свободной поверхности слоя при уменьшении числа Ей < 0: а) Ей = -0.1142; Ь) Ей = -0.1162; с) Еи = -0.1239; фЕи* -0.1286

Рис. 3. Ответвление кривых Еи(1Уе) при п = = 7; 8; 9; 10; 11 от кривой (9) в случае га= I

(каку-1 Л [З-МтК 2л,,,

к = —А*— > ® ' & - , п , а = -у , Ыг0 > 1. (13)

>4 2[(как0) -1] Е

Они соответствуют критическим значениям области устойчивости по линейной теории.

Метод решения осесимметричной краевой задачи, включающей уравнения (5) и дополнительные условия

I „

к | (А2 - Х)с1 £ = М, /¡(0) = /?(Х) ; к \0) = И \1), (14)

аналогичен случаю плоского слоя. На рис. 4, 5 представлены зависимости максимального радиуса свободной поверхности слоя Ьпга от числа Ше и ответвление кривых ЕиОУе) в случае М- 35,3 при длине цилиндра Е = 14,7 , что соответствует условиям эксперимента Штриховые линии соответствуют осесимметричным кольцевым сдоям с изолированными массами. При данных значениях \Уе , М и Л

решение задачи (5), (14) не единственно, гак как при различных числах Ей на поверхности цилиндра образуются слои с различным числом волн.

В результате решения плоской линейной задачи гидродинамической устойчивости получено, что квадрат коэффициента нарастания неустойчивых возмущений в случае идеальной жидкости имеет вид

1 _ и 2 г 2н_1

с?(«) = Л[я-(1+-^)-Л„] , А = ■ (15)

1геп,г Пл + 1

осесимметричной поверхности Дпл от числа кривой, определяемой формулой (9), при ИЬ при ¿=4;5;6;7;1= 14,7 ¿ = 4; 5; 6; 7

Правая часть обращается в нуль при п = 0 и меньше нуля при и= ЛГ + 1, поэтому при некотором промежуточном значении 0 < «» < N +1 коэффициент нарастания с, имеет максимум. Можно ожидать, что соответствующее этому я< возмущение будет наиболее неустойчивым и при прочих равных условиях реализуется в эксперименте. В таблице 2 представлены результаты экспериментов исследования плоских слоев глицерина на вращающемся цилиндре, где п, обозначает экспериментальное значение моды волновой поверхности, И, - средневзвешенное значение толщины слоя. Данные сняты с фотографий. Области неустойчивости и наиболее нарастающие моды определены с учетом формулы (15). Относительное рассогласование вычисленний и опытов по модам п не превосходит 25% и объясняется идеализацией формы реального слоя, а также неучетом вязкости при выводе формулы (15). Таким образом, в эксперименте наблюдаются возмущения, соответствующие неустойчивым, периодическим по углу модам, максимально нарастающие во времени.

В четвертой главе исследуется нестационарное течение слоя вязкой жидкости на внешней поверхности вращающегося с постоянной угловой скоростью цилиндра в поле сил инерции, поверхностного натяжения и тяжести. Плоское течение вязкой жидкости в слое рассматривается в относительной полярной системе координат О, <р, жестко связанной с вращающимся цилиндром, а вместо трансверсальной составляющей скорости ус используется относительная угловая скорость слоя а = у>/у - 1. В случае достаточно быстрого вращения цилиндра значения Ее = ех »1,

Таблица 2

Сравнение данных эксперимента с результатами расчетов

N До, й>0, № Эксперимент Результаты расчетов

м 1/с п, Обл. неуст. л. •100%

и*

1 0,0123 25,13 21,15 1,134 4 5 4 0,0

2 0,0250 18,85 99,90 1,136 4-6 11 8 25,0

3 0,0250 25,13 177,70 1,081 7-9 14 10 10,0

4 0,0250 33,51 315,80 1,056 9-11 18 13 15,3

5 0,0350 18,85 274,20 1,069 7-9 17 12 25,0

6 0,0350 25,13 487,50 1,053 12-13 23 16 18,8

Рг » 1, Же » I. При этом относительное изменение течения жидкости в транс-версальном направлении существенно меньше, чем в радиальном, а радиальная составляющая скорости много меньше трансверсальной. Это позволяет получить следующую систему с граничными и начальными условиями:

Р^(\ + (0)2Т], (16) ц2(сотг уоп+а>о)^ + 21]\{а) г Х)-р9 +Ее11]{т]фщ +3©,)-^" 17С05(<гн-г), (17).

' + 0, (18): I I к

ук(<р,т) , Аг+ — (- . ©, = 0, (19)

У/е п п~

7 = 1, У = 0 , =0, (20)

т- 0 ,й = А°(р), V = У0(г?^) , (О = . (20

Для решения системы (16)-(21) применяется прямой метод. С помощью замены переменной область течения преобразуется в круг

£ - тг-т ' 0 * ^ 1 > = 1' (22)

Проинтегрируем уравнение (17) по С, от £ = 0 до С, = 1 . Воспользуемся одним шагом прямого метода, предположив, что зависимость относительной угловой скорости со от переменной С, удовлетворяющая условиям (19), (20), имеет вид

йХ£ % г) - -Т(<р, — О , (23)

Радиальная составляющая скорости V определяется из уравнения неразрывности (18), а давление в слое из соотношения (16). Тогда из проинтегрированного соотношения (17) и уравнения свободной поверхности получаем систему нели-

нейных дифференциальных уравнений в частных производных для определения свободной поверхности слоя Д?>,г) и величины Т(щ т) , которая в силу громоздкости здесь не приводятся. Система дополняется условием периодичности по угловой координате и периодическими начальными условиями.

Уравнение движения тонкой пленки жидкости на поверхности цилиндра в поле силы тяжести при достаточно медленном его вращении получены X. Моффа-том' и В.В. Пухначевым2

& ^Де Я-^^соьХр+т^-^Яе 1Ге~'(£3 (<5„+ 6„))?-,Ке5\ «1; «1. (24)

Отметим, что условия при которых получена система уравнений для определения д{<р,т) , Т\р,г) и уравнение (24) не являются противоречивыми. Как показывает анализ, в случае тонкой пленки жидкости Б « 1 и пренебрежение инерционными членами уравнений Навье-Стокса из полученной системы выводится уравнение (24).

Численный метод решения системы для определения периодических по углу величин 6(<р,т) и 1{<р,т) учитывает специфику области течения и основан на применении комбинации метода прямых, конечных разностей, сведением системы уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным и их численным интегрированием то формулам Рунге-Кутга. Точность вычислений 1йШротировалась-уйШвдем_сохранения массы жидкости в слое. Вычисления прерывались по условию, что абсолютньш"максимум-толщины слоя достигает пяти его

максимальных значений в начальный момент. Соответствующее значение-времени-

считается моментом начала распада слоя тр .

Численное решение задачи проводилось при условиях, соответствующих экспериментам. Пусть при г = 0 слой постоянной толщины и цилиндр движутся как единое целое. На рис. б показана форма свободной поверхности слоя при <5 0 = =0,10 =17,7, ^г = 2,52, \¥е - 277,6 в моменты времени 1 - т=9л; 2- г= хР =31,53.

Вначале на свободной поверхности слоя появляется по одной точке с минимальным и максимальным значением толщины. Затем развиваются другие возмущения малой амплитуды, расположенные равномерно по поверхности цилиндра. С течением времени под действием, инерционных сил, нелинейного взаимодействия возмущений число локальных экстремумов и максимальные значения радиуса свободной поверхности увеличиваются. Затем нарушается равномерность их размещения, отдельные максимумы еще возрастают. При этом происходит перестройка всего течения, сильно изменяются его кинематические характеристики, в определенных местах вытягиваются струйки жидкости в виде тонких нитей, и слой теряет устойчивость, Описанное поведение слоя подтверждается проведенными экспериментами.

Если начальный профиль свободной поверхности слоя, вращающегося как твердое тело, задан в синусоидальном виде

8%(р) = 5й + айы1к(р, 7°(<г>) = 0Д = 1,2,3, ... , (25)

то на первом этапе развиваются к начальных основных возмущений. Затем между точками максимума свободной поверхности появляются новые возмущения меньшей амплитуды. Амплитуда вторичных возмущений остается малой, и неустойчи-

вость в слое развивается благодаря нарастанию одного из основных максимумов свободной поверхности по описанному выше сценарию.

В таблице 3 в зависимости от параметров Ее , Рг , 1¥е представлены значения времени распада слоя гр , максимального числа развитых возмущений «тах в момент тр , угла вр, соответствующего наибольшему значению радиуса свободной поверхности в момент гр, интервалы значений угла 9р , в которых локализованы наиболее растущие возмущения. Расчеты показали, что имеется два подынтервала наиболее растущих возмущений 0'е = {5я/8 < 9<5М } и ТУВ - {Зя/8 < в< 2л }, что вполне согласуется с экспериментом.

Таблица 3

Зависимость характеристик начала распада слоя от параметров Ее, Рг, Ж?

<90, об/с Ее Рг 1Уе тр вр

5 17,7 2,5 277,6 31,53 16 2,80 2,0-2,9

6 21,2 3,6 399,7 20,66 17 3,37 2,9-4,0

9 31,8 8,2 899,4 8,52 22 5,48 5,2-5,7

15 53,0 22,6 2498,0 3,53 33 5,87 2,9-3,5;5,2-5,5

24 84,8 58,0 6396,0 2,17 38 5,21 1,4-1,8;4,9-5,4

48 169,7 231,8 25580,0 1,93 44 2,00 1,6-2,1; 4,6-5,1

В том случае, когда сила тяжести не учитывается (Ег ! = 0), начальный

слой постоянной толщины сохраняется во времени. Если задано начальное возмущение вида (25),-то основные к возмущений развиваются. С течением времени в результате нелинейных взаимодействий между ними появляются сначала одно, а затем несколько локальных возмущений, значительно меньшей амплитуды. Разрушение возмущенного слоя происходит вследствие нарастания к начальных возмущений, при этом равномерность размещения локальных экстремумов как основных так и вторичных возмущений сохраняется вплоть до момента начала распада слоя.

Анализ численных расчетов уравнения (24) позволил установить, что в данной модели течения, неучитывзющей нелинейные члены уравнений Навье-Стокса, развитие возмущений слоя по его периметру не наблюдается. Если масса жидкости, увлекаемая цилиндром, не удерживается силами поверхностного натяжения и вяз-• кости, то имеет место гравитационная неустойчивость тонкого слоя, вызванная действием силы тяжести.

На рис. 7 показана зависимость времени распада слоя, первоначально имеющего постоянную толщину <5°(0) — 0,1, от числа Яе . Левая ветвь характеризует гравитационную неустойчивость слоя, а правая - неустойчивость Тейлора, при которой в местах наибольшей амплитуды возмущений абсолютные ускорения точек поверхности слоя достигают величин значительно больших ускорения силы тяжести. Прй Ле > 80 уменьшении безразмерного времени начала распада незначительно. Видно, что существует интервал числа Ее = Яе* (в данном случае 10<Ле<20), когда устойчивое состояние определенной массы жидкости сохраняется длительное время. Это г интервал - предельный между гравитационной и тейлоровской неустойчивостью слоя. Данные результаты можно использовать в различных технологических процессах, в качестве выбора оптимальной скорости вращения валков. Найдено стационарное решение из указанного выше интервала, когда свободная поверхность слоя абсолютно неподвижна:

1 йе

^соъв ; \¥ех « (Не Рг"1)и2; Де<52 « 1 ■ 6 « 1 . (26)

3 Рг

Рис. 6. Вид свободной поверхности слоя на вращающейся цилиндре

Рис. 7. Зависимость времени начала распада слоя постоянной толщины <Уо = 0,1 от числа Ее

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

___В настоящей работе получены следующие новые научные результаты:

1. Проведены швь1е~экспериментадьнь1е-иссдедования движения и распада слоя вязкой жидкости на вращающемся горизонтальном цилиндре в зависимости от его угловой скорости и радиуса, а также свойств модельных жидкостей, и описаны их результаты [1-5].

2. Предложен новый метод вывода уравнения относительного равновесия слоя вязкой жидкости на поверхности вращающегося цилиндра. Для плоского и осесиммегричного слоев расчетным путем и с помощью качественного исследования первого интеграла основного уравнения показано, что при различных значениях параметров свободная поверхность слоя может быть цилиндрической или волнообразной формы, иметь самопересечения, состоять из периодически расположенных изолированных кольцевых слоев [1, 3].

3. Разработан численный метод и решена нелинейная краевая задача определения форм равновесия осесимметричных и плоских слоев жидкости постоянной массы на вращающемся цилиндре. Исследованы бифуркации невозмущенного слоя постоянной толщины в другие стационарные решения. Построены полные ветви бифуркационных кривых. Установлена неоднозначность решения: форма слоя зависит не только от физических свойств жидкости, скорости вращения и радиуса цилиндра, но и от перепада давлений в жидкости и окружающей среде [2, 3].

4. Установлено, что в ряде экспериментов осесиммеричные слои можно считать абсолютно неподвижными относительно поверхности вращающегося цилиндра' сравнение опытных данных и теоретических расчетов это подтверждает. Показано, что экспериментально зафиксированные плоские слои не описываются уравнением относительного равновесия. С помощью теории гидродинамической устойчивости установлено, что в опытах наблюдаются нестационарные возмущения слоя постоянной толщины, соответствующие неустойчивым, периодическим по углу модам, максимально нарастающие во времени [2, 3].

5. Разработан численно-аналитический метод и решена нестационарная задача о движении плоского слоя вязкой жидкости на поверхности вращающегося цилиндра в поле сил инерции, поверхностного натяжения, с учетом и без учета силы тяжести [4-11]. Учет нелинейного взаимодействия возмущений позволил уточнить механизм эволюции и разрушения слоя при Re » 1 . Установлено, что основной причиной распада слоя является гидродинамическая неустойчивость Тейлора. Показано, что ранее известные уравнения не описывают развития волновых возмущений по окружности цилиндра из-за неучета нелинейных членов уравнений Навье-Стокса. Доказано, что Существует интервал чисел Re , когда устойчивое состояние движения сохраняется длительное время. Этот интервал - предельный между гравитационной и тейлоровской неустойчивостью слоя. Найдено стационарное решение, соответствующее абсолютно неподвижной свободной поверхности тонкой пленки [4-9].

6. Постоянное - сравнение теоретических результатов и экспериментов обосновывает верность выбранных моделей исследований. Полученные результаты могут быть использованы научно-исследовательскими и проектно-конструкторскими организациями при разработке рекомендаций по расчету, проектированию и выбору эксплуатационных режимов центрифуг, находящих применение в различных отраслях промышленности [1-11].

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ АВТОРОМ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Епихин В.Е., Конон П.Н., Шкадов В.Я. О формах кольцевых слоев жидкости на поверхности вращающегося цилиндра// ИФЖ.-1988.- Т. 55, N З.-С. 423-430.

2. Епихин В.Е., Конон П.Н., Шкадов В.Я. О форме осесимметричного слоя жидкости на поверхности вращающегося цилиндра // Изв. АН СССР, МЖГ.-1989,-N4.-C. 23-27.

3. Епихин В.Е., Конон П.Н., Шкадов В.Я. О форме жидкого слоя постоянной массы на поверхности вращающегося цилиндра // ИФЖ.-1990,- Т.59, N 1.-С. 80-84.

4. Епихин В.Е., Конон П.К, Шкадов В.Я. О возмущенном движении слоя вязкой жидкости па поверхности вращающегося цилиндра И ИФЖ.-1994,- Т.66, N 6. -С. 689-694.

5. Конон П.Н., Кулаго А.Е. Определение ускорений точек поверхности возмущенной струи И Сб. трудов ВНИПИ Теплопроекг.-М., 1983,- С. 39-48.

6. Конон П.Н., Епихин В.Е. Волновое движение слоя вязкой жидкости на поверхности вращающегося цилиндра //' Материалы Республиканской научно-методической конференции, посвященной 25-летию факультета прикладной математики и информатики,-Минск,1995,-Ч.П.-С. 44-49.

7. Епихин В.Е., Конон П.Н., Шкадов В.Я. О волновых движениях слоя вязкой жидкости на поверхности вращающегося цилиндра // Физика и техника монодисперсных систем. Тезисы докладов II Всесоюзной конференции.-М.: Московский энергетический институт, 1991.-С. 129-130.

8. Епихин В.Е., Конон П.Н., Шкадов В.Я. О движении слоя вязкой жидкости на поверхности вращающегося цилиндра // Материалы YII школы-семинара "Нелинейные задачи теории устойчивости". Тезисы докладов,- М: Изд. МГУ, 1992. - С. 20.

9. Епихин В.Е., Конон П.Н., Шкадов В.Я. О развитии возмущений в слое вязкой жидкости на поверхности вращающегося цилиндра II Конференция математиков Беларуси. Тезисы докладов.-Гродно, 1992.-С. 105.

10. Конон П.Н., Докукова Н.А. Возмущенное движение слоя вязкой жидкости на внутренней поверхности вращающегося цилиндра // Материалы II Белорусского конгресса по теоретической и прикладной механике / НАНБ- Гомель, 1999.- С. 185186.

11. Конон П.Н. Волновое движение слоя вязкой жидкости на внутренней поверхности вращающегося цилиндра // VIII Белорусская математическая конференция. Тезисы докладов,- Минск, 2000.- С. 75.

РЕЗЮМЕ Конон Павел Николаевич ДВИЖЕНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОЯ ЖИДКОСТИ НА ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ЦИЛИНДРА

Ключевые слова: уравнение Навье-Стокса, вязкая жидкость, гидродинамическая неустойчивость, бифуркация, свободная поверхность, осесимметричный слой, плоский слой.

Объект исследования - движение и устойчивость слоя жидкости на внешней поверхности горизонтального вращающегося цилиндра.

Цель работы - усоверщенствбвать~модели—течения —и — на—их—основе-разработать новые численно-аналитические методы решения задач о формах равновесия и движения слоя вязкой жидкости на поверхности вращающегося цилиндра.

Проведены экспериментальные исследования, движения и распада слоя вязкой жидкости на вращающемся цилиндре. Определены формы относительного равновесия плоского и осесимметричного слоев расчетным путем и с помощью качественного исследования первого интеграла.

Исследованы бифуркации невозмущенного слоя постоянной толщины в другие стационарные решения.

Показано, что экспериментально зафиксированные плоские слои, в отличие от осесимметричных, не описываются уравнением относительного равновесия: в опытах наблюдаются максимально нарастающие во времени возмущения слоя постоянной толщины.

Решена нестационарная задача о движении плоского слоя вязкой жидкости. Установлено, что основной причиной распада слоя является гидродинамическая неустойчивость Тейлора. Найдено стационарное решение, соответствующее абсолютно неподвижной поверхности тонкой пленки.

РЭЗЮМЕ Конан Павел ЛПкалаевич РУХ I УСТОЙЛШАСЦЬ СЛОЮ ВАДКАСЦ1 НА ПАВЕРХН1 Ц1ЛШДРА,ЯК1 АВАРОЧВАЕЦЦА

Юцочавыя словы. рауненш Наус-Стокса, вязкая вадкасць, пдрадынам!чная няу стойшвасць, б1фуркацыя, свабодная паверхня, восе-амметрычны слой, плоен слой.

Аб'ект даследавання - pyx i у стойшвасць слою вадкасщ на знешияй па-верхн1 гарызантальнага цылшдра, яы аварочваецца.

Мэта^_работы - удасканалщь мадэл1 руху i на ix аснове распрацаваць новыя лшава-аналгеычныя метады развязання задач аб формах раунавап i руху слою вяз-кай вадкасщ на паверхш цылшдра, яю аварочваецца.

Выкананы эксперыментальныя даследаванш руху i распаду слою вязкай вадкасщ на цьшядры, яы аварочваецца. Вызначаны формы адноснай раунавап гшоскага i восейммегрычнага слаёу разлковым шляхамг i з дапамогай якаснага даследвання першага штегралу. Даследаваны нелшейныя йфуркацьц няу зрушаннага слою нязменнайтау шчыш у ¡ншыя стацыянарныя формы.

Вызначана, что эксперыментальна зафжсаваныя плосыя onai, у адрозненне ад восес1мметрьнных, не здавальняюць умовам адноснай раунавап: у эсперымен-тах наз1раюцца найболып нарасгаючыя у часе узрушэнш слою нязменнай та у шчыт.

Развязана несгацыянарная задача руху плоскага слою вязкай вадкасц!. Вызначана, што асновай у распадзе слою з'яуляецца пдрадынам'щная няу сгойшвасцьТейлора. Знойдзены стацыянарны развязак, я и адпаведае абсалютна нерухомай паверхга гонкай плёнй.

SUMMARY Konon Pavel

MOVEMENT AND STABILITY OF A LAYER OF LIQUID OVER THE ROTATING CYLINDER SURFACE

Key words: Navier-Stokes equation , viscous liquid, hydrodynamic instability, bifurcation, free surface, axisymmetric layer, flat layer.

Object of research: movement and stability of a layer of liquid over the external surface of the horizontal rotating cylinder.

Purpose of work : improvement of models of current in order to develop on their basis new numerical - analytical methods of solution of the problems about the forms of balance and movement of a layer of viscous liquid over the surface of the rotating cylinder.

Experimental researches of movement and disintegration of a layer of viscous liquid over the rotating cylinder are carried out. The forms of relative balance of a flat and an axisymmetric layers are determined in a calculation way and by means of qualitative research of the first integral.

The nonlinear bifurcations of an undisturbed layer possessed of constant thickness into other stationary solutions are investigated.

It is shown, that the experimentally fixed layers, in contrast to the axisymmetric ones, are not described by the equation of relative balance: during the experiments the most increasing in time disturbances of a layer possessed of constant thickness are observed.

The non-stationary problem about the movement of a flat layer of viscous liquid is solved. It is established, that the basic reason of disintegration of a layer is Taylor hydrodynamic instability. The stationary solution, appropriate to an absolutely motionless surface of a thin film, is found.