Влияние осложняющих факторов на возникновение и нелинейные режимы конвекции в горизонтальных слоях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

на правах рукописи

Садилов Евгении Сергеевич

ВЛИЯНИЕ ОСЛОЖНЯЮЩИХ ФАКТОРОВ НА ВОЗНИКНОВЕНИЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЖИМЫ КОНВЕКЦИИ В ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ СЛОЯХ

Специальность 01 02 05 - "Механика жидкости, газа и плазмы"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 8 СЕН 2008

Пермь-2008

003446155

Диссертация выполнена в Лаборатории вычислительной гидродинамики Института механики сплошных сред УрО РАН

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Любимова Т П

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, доцент Черепанов А А

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Вертгейм И И

Ведущая организация

Челябинский государственный университет

Защита состоится СМЛИЛЛ^.г 2008 г в часов на заседании

диссертационного совета Д 004 012 01 в Институте механики сплошных сред УрО РАН (614013, г Пермь, ул Академика Королева, 1, тел (342) 2378461, факс (342) 2378487), сайт \vw\v ютпгп ги

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред УрО РАН

Автореферат разослан "¿Г" ¿2008 I

<7

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, ведущий научный сотрудник * Березин И К

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Актуальность работы обусловлена важностью изучения новых механизмов гидродинамической неустойчивости и способов воздействия на устойчивость равновесий и течений жидкостей с помощью различных внешних факторов С практической точки зрения актуальность исследования влияния вращающегося магнитного поля на конвекцию проводящей жидкости обусловлена перспективностью применения магнитных полей для управления поведением проводящих жидкостей при выращивании полупроводниковых монокристаллов, в металлургии, ядерной энергетике, химической промышленности Исследование влияния прокачивания жидкости через пористый слой важно для описания режимов работы теплоизоляции, процессов, происходящих при распространении жидкости в пористых пластах при наличии геотермального градиента, в том числе при распространении радиоактивных и химических отходов в почве

Цели работы:

1 Изучение влияния вращающегося магнитного поля на возникновение и нелинейные режимы конвекции в горизонтальном слое проводящей жидкости

2 Изучение совместного влияния вращающегося магнитного поля и вращения слоя как целого на возникновение конвекции проводящей жидкости в горизонтальном слое

3 Изучение влияния прокачивания бинарной жидкости на возникновение и нелинейные режимы конвекции в горизонтальном пористом слое, в условиях заданного теплового потока на границах

Научная новизна работы

1 Показано, что при действии однородного вращающегося с конечной частотой магнитного поля на горизонтальный слой подогреваемой снизу проводящей жидкости, в некотором интервале значений числа Гартмана, нейтральные кривые являются бимодальными, что приводит к появлению скачка в зависимости волнового числа наиболее опасных возмущений от числа Гартмана

2 Обнаружено, что неоднородное быстро вращающееся магнитное поле, при некоторых значениях параметра неоднородности, оказывает на механическое равновесие неоднородно-нагретой проводящей жидкости дестабилизирующее действие, способное привести к неустойчивости механического равновесия даже при нагреве сверху

3 Получены численные данные о структуре надкритических режимов конвекции в горизонтальном слое проводящей жидкости при наличии однородного быстро вращающегося магнитного поля Найдено, что при малых надкри-тичностях магнитное поле подавляет поперечноваликовую неустойчивость валов Обнаружена область устойчивости гексагональных ячеек, сосуществующих с устойчивыми валами

4 Показано, что совместное действие однородного быстро вращающегося магнитного поля и вращения слоя как целого оказывает стабилизирующее влия-

ние на механическое равновесие подогреваемого снизу горизонтального слоя проводящей жидкости

5 Показано, что в случае нормального эффекта Соре горизонтальное прокачивание не влияет на порог линейной устойчивости механического равновесия горизонтального пористого слоя, насыщенного бинарной смесью, но оказывает ориентирующее действие на конвективные структуры за неустойчивость становятся ответственными спиральные возмущения В случае аномального эффекта Соре сколь угодно слабое прокачивание приводит к сильной дестабилизации длинноволновых возмущений, так что критическое число Рэлея сдвигается на конечную величину, но эта неустойчивость ограничена очень длинными волнами

6 Получены нелинейные амплитудные уравнения для задачи о конвекции в горизонтальном пористом слое, насыщенном бинарной смесью, при наличии горизонтального прокачивания жидкости Обнаружено, что в случае, когда наиболее опасны возмущения с бесконечной длиной волны, имеется область устойчивости валов

7 Найдены характеристики двумерных конечно-амплитудных режимов конвекции в горизонтальном пористом слое, насыщенном бинарной смесью, в случае аномального эффекта Соре Показано, что возможно жесткое возбуждение конвекции в виде бегущих волн

Автор защищает

1 Результаты по влиянию однородного магнитного поля, вращающегося с конечной частотой, на линейную устойчивость равновесия горизонтального слоя проводящей жидкости.

2 Результаты численного исследования влияния однородного быстро вращающегося магнитного поля на нелинейные конвективные режимы в виде валов и гексагональных структур в горизонтальном слое проводящей жидкости

3 Результаты исследования влияния неоднородного быстро вращающегося магнитного поля на устойчивость равновесия горизонтального слоя проводящей жидкости.

4 Результаты по совместному влиянию быстро вращающегося магнитного поля и вращения слоя как целого на устойчивость равновесия горизонтального слоя проводящей жидкости

5 Результаты исследования влияния прокачивания бинарной смеси на линейную устойчивость равновесия горизонтального пористого слоя

6 Аналитические результаты по длинноволновой неустойчивости при прокачивании бинарной смеси через горизонтальный пористый слой

7 Результаты исследования слабо-нелинейных режимов конвекции в задаче о прокачивании бинарной смеси через горизонтальный пористый слой

В Результаты численного исследования нелинейных режимов конвекции бинарной смеси в горизонтальном пористом слое при наличии горизонтального прокачивания жидкости

Достоверность результатов. Достоверность результатов подтверждается сравнением с известными предельными случаями, а также адекватностью методов исследования и согласием результатов, полученных с помощью разных подходов.

Практическая ценность. Вращающееся магнитное поле может быть использовано для подавления конвективных процессов с целью получения монокристаллов полупроводников Результаты по влиянию прокачивания бинарной смеси могут быть использованы для изучения конвекции в грунтовых водах, для расчета режимов работы теплоизоляционных, а также теплоотводящих элементов, для изучения распространения радиоактивных и химических отходов в почве В частности, решение этой задачи важно для такой проблемы, как очистка почвы от химических и ядерных отходов

Апробация работы. Основные результаты, приведенные в диссертации, докладывались на следующих научных семинарах, конференциях и конгрессах-

Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», Пермь, 13-14 декабря 2002 г

Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», Пермь, 11 декабря 2004 г

Международная юбилейная (1976-2006 гг) конференция «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность», посвященная 250-летию Московского государственного университета им М В Ломоносова Московская обл , Пансионат «Лесные дали», 26 февраля - 5 марта 2006 г

Научная конференция молодых ученых по механике сплошных сред, посвященная 80-летию со дня рождения член-корреспондента АН СССР Александра Александровича Поздеева: Поздеевские чтения Пермь, 23-24 марта 2006 г

Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», Пермь, 9 декабря 2006 г

International Congress "Experiments in Space and Beyond" Brussels, Belgium, ULB, April 12-13,2007.

Всероссийская конференция (с международным участием) «Неравновесные процессы в сплошных средах» Пермь, 5-7 декабря 2007 г

Пермский гидродинамический семинар им ГЗ ГершуниЕМ Жуховицко-го, Пермь, ПГУ, 2007

Публикации. Основные материалы диссертации изложены в работах [1-8]

Содержание и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, включающего обзор литературы и общую характеристику работы, двух глав, заключения, списка литературы (133 наименований) и приложения В работе содержатся 52 рисунков и 2 таблицы Общий объем диссертации 152 страниц.

Содержание работы

Введение состоит из обзора литературы и общей характеристики работы В первой части обзора литературы рассматриваются работы по влиянию постоянного магнитного поля на возникновение конвекции в горизонтальном и вертикальном слоях проводящей жидкости при подогреве снизу и на устойчивость конвективного течения в вертикальном слое жидкости при нагреве сбоку, по влиянию вращающегося магнитного поля на возникновение конвекции и на конвективные течения в вертикальных цилиндрах бесконечной и конечной высоты, по влиянию вращения на конвекцию в горизонтальном слое жидкости и по совместному влиянию вращения и вращающегося магнитного поля на возникновение конвекции в цилиндре Вторая часть обзора литературы посвящена анализу работ по конвекции в пористых средах, по конвекции бинарных смесей и по влиянию прокачивания на конвекцию одно- и двухкомпонентных жидкостей и конвективную фильтрацию одно- и двухкомпонентных жидкостей в пористых средах

В первой главе рассматривается влияние горизонтального магнитного поля, вращающегося в горизонтальной плоскости, на конвекцию в горизонтальном слое проводящей жидкости при подогреве снизу Используются уравнения тепловой конвекции в приближениях Буссинеска и магнитной гидродинамики

=дв + 1Ьух(ух В), Рг д! Рг 4 '

Уф-Ур + Ду + Те,УЯ, Рги ) ' ?тт

— + \ УГ = Д7\ д1

V у = 0,

где В - индукция магнитного поля, у - скорость, р - давление, Т - температура, На = (ВХ/с)^(т/(ри) - число Гартмана, Ка^gpв¡}- число Рэлея, = х - число Прандтля, £1=со1} / % - безразмерная частота вращения поля, Рг„ = 4прау/с2 - магнитное число Прандтля, В, - значение индукции магнитного поля на бесконечности, V - кинематическая вязкость, g - ускорение свободного падения, р - коэффициент теплового расширения, х - коэффициент температуропроводности, р - магнитная проницаемость

Границы слоя предполагались идеально теплопроводными и неэлектропроводными, большая часть расчетов выполнена для случая свободных недефор-мируемых границ В этом случае граничные условия имеют следующий вид

* = 0, L V2 =0, ^ = 0, Г = 1, 0, л = о, Я=Я„,„,

м Рг Рг

z ->оо В =—cos cot, В=-sin cuf

Prm Pr„

Здесь Вм - индукция магнитного поля за пределами слоя, ¡г - вертикальная компонента тока

Рассматриваемая задача допускает решение, соответствующее механическому равновесию

vo = 0, T0=]-z, Рг„ Рг_

coshj +

. =5г-<£„

Здесь / = ^Рг^ 0/(2Рг) = ^2лраа>1} / с2 - безразмерный параметр, определяющий глубину проникновения магнитного поля в жидкость (безразмерная глубина проникновения есть 1 /у)

Для исследования линейной устойчивости равновесия система линеаризованных уравнений малых возмущений равновесия решалась численно с использованием метода Рунге-Кутга 4-го порядка точности Вычисления проводились для случаев однородного магнитного поля ( / «1), вращающегося с конечной частотой, и неоднородного быстро вращающегося магнитного поля

Для случая однородного магнитного поля, вращающегося с конечной частотой, найдены только синхронные решения с частотой, кратной 2П, субгармонических решений, с частотой Г2, не найдено На рис. 1 изображены зависимости минимального критического значения числа Рэлея Яат от числа Гартма-на для числа Прандтля, равного 0 0254 и нескольких фиксированных значений частоты вращения поля Как видно, с ростом числа Гартмана минимальное критическое число Рэлея увеличивается, другими словами, вращающееся магнитное поле приводит к повышению порога устойчивости механического равновесия При малых числах Гартмана нейтральные кривые, соответствующие разным частотам вращения поля, практически совпадают, но с увеличением На каждая кривая испытывает излом при некотором значении числа Гартмана, зависящем от частоты, при этом рост минимального критического числа Рэлея с увеличением числа Гартмана замедляется Критическое значение числа Гартмана, при котором происходит излом, увеличивается с ростом частоты вращения и стремится к бесконечности при £1 —> °о.

На рис. 2 представлены зависимости волнового числа наиболее опасных возмущений кт от числа Гартмана На для Рг = 0.0254 и тех же, что и на рис. 1,

значений О. Как видно, при всех частотах вращения поля зависимости кт(На) немонотонны: при числах Гартмана, меньших некоторого значения На,, волновое число наиболее опасных возмущений уменьшается с ростом числа Гартмана, при На > На, - сначала возрастает, а затем выходит на постоянное значение. С увеличением частоты вращения поля минимум кривой кт{На) смещается в сторону больших значений числа Гартмана, рост кт при На > На, становится более резким: в случае 0 = 5000 при На= На, наблюдается скачкообразное повышение значения кт до асимптотического значения, соответствующего большим значениям числа Гартмана. При зависимость кт(На) стано-

вится монотонной. Скачкообразное изменение кт при увеличении числа Гартмана связано, с тем, что в определенном диапазоне значений числа Гартмана, зависящем от частоты, нейтральные кривые Ка(к) имеют два минимума, причем значение Яат, соответствующее длинноволновому минимуму, практически не зависит от П, в то время как коротковолновый минимум при увеличении частоты сдвигается в область больших Яат.

Чаш

200000

юоооо

100

200

в 2.4 л

'5 4 кт \

2 ц

3

2

1.6 -

1 4

1.2-(

0.8 :

0.4 ■

0 -

На'

100 200 300

На

Рис.1. Зависимости минимального критиче- Рис.2. Зависимости волнового числа наибо-

ского числа Рэлея от числа Гартмана для лее опасных возмущений от числа Гартмана

Рг = 0.0254, П = 20, 40, 50, 80,100, да для Рг = 0.0254, 0 = 20, 40, 50, 80,100, ю

(кривые 1, 2,3, 4. 5. 6 соответственно) (кривые 1,2,3 4,5, 6 соответственно)

Для случая однородного быстро вращающегося магнитного поля рассмотрены также нелинейные режимы конвекции. Выполнен слабо-нелинейный анализ в приближении больших чисел Прандтля, в результате получена система амплитудных уравнений:

дС, дт

гС,-

д

дХ,

/_3_ 2 ЗУ,

с,+\с,\2с,+£м(<Р11)\С;\2С,=0.

;=1 1*1

Анализ этой системы уравнений показал, что при малых надкритичностях (малых значениях е = ^{яа - 1?ат)/) устойчивыми могут быть только валы. Установлено также, что при Мя> 17,36 неустойчивость Экхауза более опасна, чем неустойчивость по отношению к возмущениям в виде валов, ортогональных к основной системе валов. Так же, как и в отсутствие поля, наблюдается зигзагообразная неустойчивость.

Проведено численное исследование нелинейных режимов конвекции с помощью модифицированного спектрального метода, в котором нелинейные слагаемые вычисляются в физическом пространстве, а затем преобразуются в Фурье-пространство. Для преобразования из физического пространства в Фурье-пространство и обратно использовалось быстрое преобразование Фурье. Расчёты проводились при фиксированном числе Прандтля, равном 6. Установлено, что при числах Рэлея, меньших 1100, и при числах Гартмана, меньших 8, устойчивы только валы. При На = 8 и Яа> 2)00 устойчивы гексагональные ячейки. Валы при этом также устойчивы. Квадратные ячейки оказались неустойчивыми при всех исследованных значениях параметров. На рис. 3, 4 изображены зависимости модуля вертикальной компоненты скорости гексагональных ячеек и валов от числа Рэлея и от числа Гартмана. Карта устойчивости гексагональных ячеек приведена на рис. 5.

1800

2000

2200

2400 „ 2600 На

На

10

Рис.3. Зависимости максимального значе- Рис.4. Зависимости максимального значения модуля г-компоненты скорости от ния модуля г-компоненты скорости от числа Рэлея для Рг = 6. На = 8: I - устой- числа Рэлея для Рг = 6 , Иа = 2300 : 1 — ус-чивые гексагональные структуры, 2 - неус- тойчивые гексагональные структуры, 2 -тойчивые гексагональные структуры, 3 - устойчивые валы устойчивые валы

12000 -. 8000 -4000 - I

о ;

2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600

Рис.5. Карта устойчивости гексагональных Рис.6. Зависимости минимального крити-

ячеек (Рг = 6); точки на плоскости парамет- ческого числа Рэлея от параметра у: 1 -

ров На-На, 8 которых устойчивы гексаго- Иа = 10 2 - На = 30, 3 - На = 40 нальные ячейки, отмечены символом ш

На рис. 6 представлены результаты исследования линейной устойчивости механического равновесия для случая неоднородного быстро вращающегося магнитного поля. Как видно, при малых у неоднородное магнитное поле приводит к стабилизации механического равновесия. Однако, с увеличением у эффект стабилизации ослабляется и при некотором значении у стабилизация сменяется дестабилизацией. При дальнейшем увеличении у эффект дестабилизации усиливается, кривая Яат(у) достигает минимума, после чего дестабилизация начинает ослабляться и в пределе больших у полностью исчезает. Как видно из рис.6, эффект дестабилизации усиливается с ростом числа Гартмана и в достаточно сильных полях может стать настолько сильным, что становится возможным возникновение конвекции в отсутствие нагрева и даже при нагреве сверху. Возможность возбуждения конвекции при нагреве сверху связана с тем, что неоднородное нестационарное магнитное поле может являться источником энергии.

Изучено также совместное влияние на возникновение конвекции вращающегося магнитного поля и вращения слоя как целого. При этом в задаче появляется еще один дополнительный параметр - число Тейлора Та = 2сого11}/V, где сого1 - угловая скорость вращения слоя, как целого. Найдено, что однородное быстро вращающееся магнитное поле и вращение слоя как целого оказывают одинаковое воздействие на порог конвекции и противоположные воздействия на волновое число наиболее опасных возмущений.

Во второй главе изучается влияние горизонтального прокачивания на конвекцию бинарной жидкости в горизонтальном пористом слое, при наличии вертикального градиента температуры. Исследование проводится на основе уравнений термоконцентрационной фильтрации в приближении Дарси-Буссинеска:

На ,,

8,5 |

И

7,5

7 -: 6,5 ,

-4000 -----1.....................-............ -

0 4 8 12 16

У

-Ур-й+Я(Т + С)ёг = 0,, Ь~ + й =

—+ й-УС = У2С + 5У2Г,

д,/

V г7 = 0

Здесь й - скорость фильтрации, р - давление, Т- температура, С - концентрация легкой компоненты, ёг - орт оси г

На твердых границах слоя обращается в нуль нормальная компонента скорости фильтрации, задан тепловой поток и отсутствует поток вещества, вдоль оси х задан поток жидкости

2 = -и ^о, | = -,, | = , )(«,)*=2Ре. /(«.)* = о,

где IV - вертикальная компонента скорости фильтрации и введено обозначение

I 2_

, / = х,у для операции осреднения по горизонтальным

( ),з1'т

7 *

2

координатам

Задача содержит следующие безразмерные параметры число Пекле Ре = иИЮ, имеющее смысл безразмерной скорости прокачивания, число Льюиса 1е = х! А параметр Соре 5 = -аД./Рт, параметр Я = g¡}тAKh1 ПуП), связанный с обычно используемым числом Релея для пористой среды Кар = !(ух) соотношением Я = Кар1с!\ и параметр Ь-а!£, где II-

скорость прокачивания жидкости, Ь - полутолщина слоя, А - величина заданного градиента температуры, К - коэффициент проницаемости, РТ,РС - объемные коэффициенты теплового и концентрационного расширения, ст - отношение теплоем костей единиц объема пористой среды, насыщенной жидкостью, и однородной жидкости, - отношение теплопроводности насыщенной пористой среды к теплоемкости единицы объема жидкости, £ - пористость, £) -коэффициент диффузии, а - коэффициент Соре

Для нормальных возмущений основного состояния, зависящих от х и / по закону е^е'" (Л - комплексный инкремент, к - волновое число), получается система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение этой системы является бикубическим Решая это уравнение, составляя фундаментальную систему и удовлетворяя граничным условиям, получаем трансцендентное уравнение для Л Условие равенства нулю действительной части инкремента определяет границу линейной

устойчивости основного состояния. Уравнение для Л решалось численно. Результаты расчетов представлены на рис. 8-10. Построена также аналитическая длинноволновая линейная теория.

Для нормального эффекта Соре (51 >0) в отсутствие прокачивания (Ре = 0) неустойчивость носит монотонный характер, при этом наиболее опасными являются длинноволновые возмущения (кривая 1 на рисунке 8). При отличных от нуля числах Пекле неустойчивость приобретает колебательный характер, причем при всех Ре Ф О наиболее опасны возмущения с конечной длиной волны. При этом для критического значения параметра Я существует конечный предел при причем этот предел не зависит от Ре, однако отличается от порога устойчивости при Ре = 0. Таким образом, имеет место кроссовер: результат последовательности предельных переходов Ре -> 0, к -» 0 зависит от порядка их выполнения.

Рис.8. Зависимость критического значения Рис.9. Зависимость критического значения параметра /? от волнового числа к, 1 - параметра к от волнового числа к при поРе = 0, 2 - Ре = 0.111, 3 - Ре = 0.333, 4 - догреве снизу, 0 - Ре = 0, 1 (а,Ь) -Ре = 1.11 (¿е = 100, 6 = 10, .9 = 0.1) Ре = 0.333, 2 - Ре = 1.11 (¿с =100, 6=10,

£ = -0.02)

При отрицательных значениях параметра Соре (аномальная термодиффузия), в отсутствие прокачивания неустойчивость возможна как при подогреве снизу, так и при нагреве сверху. На рис. 9 приведены нейтральные кривые устойчивости для ^<0 при подогреве снизу (Л>0). В этом случае в отсутствие прокачивания при выбранных значениях параметров 5,Ье,Ь неустойчивость носит колебательный характер, причем нижний уровень неустойчивости двукратно вырожден: волны, распространяющиеся в положительном и отрицательном направлениях оси х, равноправны. При отличных от нуля значениях Ре это равноправие теряется, и колебательный уровень расщепляется на два уровня (см., кривые 1а и 1Ь на рис. 9), причем, в лабораторной системе отсчета направление движения волн, соответствующих наиболее опасным возмущениям, совпадает с направлением прокачивания. Как и при положительных 5, наблю-

дается явление кроссовера: все нейтральные кривые, соответствующие отличным от нуля значениям числа Пекле, имеют предел при к —> 0, не зависящий от числа Пекле и отличающийся от длинноволнового предела, получающегося при Ре = 0. Однако, при 5 < 0 для нижних уровней неустойчивости длинноволновый предел ниже, чем в отсутствие прокачивания, и, вследствие этого, при Ре # 0 сохраняется длинноволновый характер неустойчивости.

Таким образом, в случае подогрева снизу при нормальном эффекте Соре прокачивание оказывает стабилизирующее действие, а при аномальном эффекте Соре наиболее опасны тепловые возмущения, которые дестабилизируются прокачиванием.

-120-----1-:-------------- - ' ---

Я

-160-200": -240 --280 -

: 0 " -----

-320 г

-360 -------:-------- - -

с. 0.1 0.2 0.3 0.4 . 0.5

Рис. 10. Зависимость критического значения параметра Р от волнового числа к при подогреве сверху, 0 - Ре = 0, 1 - Ре = 0.333 (1е = 100, ¿ = 10, ¿" = -0.02)

При аномальном эффекте Соре в отсутствие прокачивания возможна неустойчивость при нагреве сверху, причем эта неустойчивость носит монотонный характер и нижний уровень неустойчивости, соответствующий наименьшему по модулю числу Рэлея, не вырожден. По этой причине при отличных от нуля значениях числа Пекле, как и в случае нормального эффекта Соре, расщепление уровней не происходит, но возмущения становятся колебательными. При этом, как показывают вычисления, прокачивание оказывает дестабилизирующее действие, причем при всех значениях числа Пекле наиболее опасными являются длинноволновые возмущения (см. рис. 10).

Описанные результаты относятся к плоским возмущениям. Нетрудно, однако, убедиться, что для рассматриваемой проблемы имеет место аналог теоремы Сквайра, т.е. результаты для пространственных возмущений совпадают с результатами для плоских возмущений, соответствующими меньшему значению числа Пекле. Это означает, что при нормальном эффекте Соре, когда прокачивание оказывает стабилизирующее действие на плоские возмущения, простран-

ственные возмущения оказываются более опасными, чем плоские, и самыми опасными являются спиральные возмущения, т е. конвективные валы, оси которых параллельны направлению прокачивания На такие возмущения прокачивание не оказывает влияния Таким образом, в случае нормальной термодиффузии главным эффектом прокачивания является ориентирующий эффект. В случае аномальной термодиффузии, когда прокачивание оказывает дестабилизирующее влияние на плоские возмущения, эти возмущения будут наиболее опасными, так что в этом случае, кроме ориентирующего действия (оси валов ориентируются ортогонально направлению прокачивания), есть и общее дестабилизирующее действие прокачивания

Проведен также длинноволновый слабо-нелинейный анализ Обнаружено, что, в отличие от задачи о конвекции Рэлея-Бенара в слое с фиксированным тепловым потоком на границах, в случае, когда наиболее опасны возмущения с бесконечной длиной волны, имеется область устойчивости валов Для случая же, когда наиболее опасными являются возмущения с конечной длиной волны, для области неустойчивости получен закон, фактически совпадающий с законом Экхауза

С помощью метода конечных разностей проведено численное исследование двумерных конечно-амплитудных режимов конвекции бинарной смеси в случае аномального эффекта Соре Обнаружено жесткое возбуждение конвекции в виде бегущих волн

Заключение

Исследовано влияние однородного магнитного поля, вращающегося с конечной частотой в горизонтальной плоскости, на возникновение конвекции в подогреваемом снизу горизонтальном слое проводящей жидкости Показано, что в некотором интервале значений числа Гартмана, нейтральные кривые являются бимодальными, что приводит к появлению скачка в зависимости волнового числа наиболее опасных возмущений от числа Гартмана

Численно исследовано влияние однородного быстро вращающегося магнитного поля на нелинейные режимы конвекции в горизонтальном слое проводящей жидкости Найдено, что при малых надкритичностях магнитное поле подавляет поперечноваликовую неустойчивость Обнаружена область устойчивости гексагональных ячеек, сосуществующих с устойчивыми валами

Изучено влияние неоднородного быстро вращающегося магнитного поля на возникновение конвекции в горизонтальном слое проводящей жидкости Обнаружено, что при некоторых значениях параметра у, характеризующего неоднородность поля, магнитное поле оказывает дестабилизирующее действие на механическое равновесие жидкости Для достаточно сильных магнитных полей это дестабилизирующее действие может стать настолько сильным, что способно приводить к неустойчивости механического равновесия, в отсутствие внешнего нагрева и даже при нагреве сверху

Исследовано совместное влияние быстро вращающегося магнитного поля и вращения слоя как целого на возникновение конвекции в горизонтальном

слое проводящей жидкости Найдено, что однородное быстро вращающееся магнитное поле и вращение слоя как целого оказывают одинаковое воздействие на порог конвекции, а их воздействия на волновое число наиболее опасных возмущений противоположны

Изучено влияние горизонтального прокачивания на возникновение конвекции в горизонтальном пористом слое, насыщенном бинарной смесью Показано, что в случае нормального эффекта Соре горизонтальное прокачивание не влияет на порог линейной устойчивости механического равновесия горизонтального пористого слоя, насыщенного бинарной смесью, но оказывает ориентирующее действие на конвективные структуры за неустойчивость становятся ответственными спиральные возмущения В случае аномального эффекта Соре сколь угодно слабое прокачивание приводит к сильной дестабилизации длинноволновых возмущений, так что критическое число Рэлея сдвигается на конечную величину, но эта неустойчивость ограничена очень длинными волнами Исследованы слабо-нелинейные длинноволновые режимы конвекции Изучена область устойчивости валов Обнаружено, что, в отличие от задачи о конвекции Рэлея-Бенара в слое с фиксированным тепловым потоком на границах, в случае, когда наиболее опасны возмущения с бесконечной длиной волны, имеется область устойчивости валов

Численно исследованы характер возбуждения и конечно-амплитудные режимы конвекции бинарной смеси в случае аномального эффекта Соре. Получены зависимости интенсивности течения от числа Рэлея Обнаружено, что возможно жесткое возбуждение конвекции в виде бегущих волн

Список публикаций

1 Е С Садилов, Д В Любимов, А В Бурнышева Возбуждение конвекции в плоском горизонтальном слое при наличии быстро вращающегося магнитного поля // Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», Пермь, 2002, с 114-115

2 Е С Садилов, Д В Любимов, Т П Любимова, Ф Фойдель Конвекция во вращающемся магнитном поле // Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», Пермь, 2004, с 85-86

3 Д В Любимов, ТП Любимова, К Моштаби, Е С Садилов Влияние прокачки на конвективные режимы в горизонтальном пористом слое, заполненном бинарной жидкостью// Научная конференция молодых ученых по механике сплошных сред, посвященная 80-летию со дня рождения член-корреспондента АН СССР Александра Александровича Поздеева Поздеев-ские чтения. Сборник трудов Пермь, 2006, с 86-89

4 Е С.Садилов Влияние прокачки на конвекцию в горизонтальном пористом слое, заполненном бинарной жидкостью, Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», Пермь, 9 декабря, 2006 г

5 Д В Любимов, Е С Садилов Влияние быстро вращающегося магнитного поля на конвективные структуры Гидродинамика, вып 16, Пермь, ПГУ, 2007, с 161-171

6 Е С Садилов Влияние неоднородного магнитного поля на конвекцию в горизонтальном слое жидкости, совместное влияние однородного вращающегося магнитного поля и вращения на конвекцию в горизонтальном слое жидкости // Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» Пермь, 5-7 декабря, 2007 г , с 370-373

7 Д В Любимов, Т П Любимова, Е С Садилов Влияние вращающегося магнитного поля на конвекцию в горизонтальном слое жидкости // Изв РАН, Механика жидкости и газа, 2008, № 2, с 3-10

8 Lyubimov D V , Lyubimova Т Р, Mojtabi A and Sadilov Е S Thermosolutal convection in a horizontal porous layer heated from below in the presence of a horizontal through flow // Phys Fluids, 2008, V 20,№4,pp 044109-044109-10

Подписано в печать 21 08 2008 Фермат 60x84 1/16 Бум офс Печать офсетная Тираж 100 экз Заказ Отпечатано на ризографе ООО Учебный центр «Информатика» 614990, Пермь, ул Букирева, 15

Введение.

Обзор литературы.

Общая характеристика работы.

Глава 1. Влияние вращающегося магнитного поля на конвекцию в горизонтальном слое жидкости.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Предел высоких частот, линейная задача.

1.3. Конечные частоты вращения, линейная задача.

1.4. Предел высоких частот, нелинейная задача.

1.5. Энергетический метод.

1.6. Слабо-нелинейный анализ.

1.7. Спектральный метод.

1.8. Результаты численных расчетов.

1.9. Влияние неоднородного вращающегося магнитного поля.

1.10. Совместное влияние быстро вращающегося магнитного поля и вращения на конвекцию в горизонтальном слое жидкости.•.

1.10.1. Однородное вращающееся магнитное поле.

Постановка задачи. Определяющие уравнения.

Линейная устойчивость равновесия.

1.10.2. Неоднородное вращающееся магнитное поле.

Работа посвящена исследованию влияния осложняющих факторов на возникновение и нелинейные режимы конвекции в горизонтальных слоях.

Актуальность работы обусловлена важностью изучения новых механизмов гидродинамической неустойчивости и способов воздействия на устойчивость равновесий и течений жидкостей с помощью различных внешних факторов. С практической точки зрения актуальность исследования влияния вращающегося магнитного поля на конвекцию проводящей жидкости обусловлена перспективностью применения магнитных полей для управления поведением проводящих жидкостей при выращивании полупроводниковых монокристаллов, в металлургии, ядерной энергетике, химической промышленности. Исследование влияния прокачивания жидкости через пористый слой важно для описания режимов работы теплоизоляции, процессов, происходящих при распространении жидкости в пористых пластах при наличии геотермального градиента, в том числе при распространении радиоактивных и химических отходов в почве.

Обзор литературы

Влияние статического магнитного поля на конвекцию. Задача о конвекции в горизонтальном слое жидкости является классическим примером задачи гидродинамической устойчивости, исследуемой уже в течение длительного времени. На примере этой задачи было также изучено влияние многих осложняющих факторов. Одним из таких факторов является магнитное поле.

Конвекция проводящей жидкости в магнитном поле была по-видимому впервые рассмотрена Томпсоном [1]. Он рассмотрел задачу о возникновении конвекции в плоском горизонтальном слое жидкости с недеформируемыми границами, свободными от касательных напряжений, при наличии статического магнитного поля. Томпсон исследовал монотонную неустойчивость механического равновесия, а также на примере невязкой жидкости колебательную неустойчивость механического равновесия.

Вскоре после Томпсона и независимо от него конвекцию в плоском горизонтальном слое жидкости в магнитном поле исследовал Чандрасекар [2, 3]. Он рассмотрел как твёрдые, так и свободные от касательных напряжений педеформируемые границы. Чандрасекар рассмотрел монотонную неустойчивость механического равновесия для случаев твёрдых и свободных границ, а также колебательную неустойчивость механического равновесия для случая свободных границ.

В работах [1-3] показано, что на границу монотонной неустойчивости оказывает влияние только вертикальная составляющая магнитного поля. Она приводит к увеличению критического числа Рэлея Ram и критического волнового числа кт, т.е. поле повышает устойчивость механического равновесия и сдвигает неустойчивость в сторону коротковолновых возмущений. Наличие горизонтальной составляющей поля отражается только на форме критических возмущений: конвекция возникает в виде валов, вытянутых вдоль горизонтальной составляющей поля.

Известно, что в отсутствие магнитного поля колебательные возмущения в спектре возмущений механического равновесия при подогреве снизу отсутствуют, а при нагреве сверху возможны лишь затухающие колебательные возмущения. При наличии же магнитного поля, как было показано Томпсоном и Чандрасекаром, возможны незатухающие колебательные возмущения при подогреве снизу. Чандрасекар установил, что необходимым условием колебательной неустойчивости является неравенство Ргш > Рг, где Рг — У IX ~ число Прандтля, а Ргш = v/vm - магнитное число Прандтля. При этом колебательная неустойчивость имеет место лишь в достаточно сильных полях: На > На*, где На - число Гартмана, характеризующее интенсивность магнитного поля.

Накагава [5, 6] экспериментально подтвердил выводы [1-3] о том, что магнитное поле повышает устойчивость механического равновесия и приводит к сокращению горизонтальных размеров конвективных ячеек.

Вывод о том, что горизонтальное магнитное поле не влияет на устойчивость равновесия, нашел подтверждение в экспериментальной работе Ленерта и Литла [7]. В этой работе было показано, что при действии горизонтального магнитного поля конвекция возникает в виде валов, вытянутых вдоль поля.

Гершуни и Жуховицкий [9] рассмотрели задачу о конвективной устойчивости механического равновесия проводящей жидкости в плоском вертикальном слое, подогреваемом снизу, при наличии горизонтального магнитного поля. Они установили, что: 1) магнитное поле повышает устойчивость равновесия; критические числа Рэлея, определяющие границу устойчивости, возрастают с увеличением интенсивности поля; 2) при наличии магнитного поля в спектре возмущений равновесия подогреваемой снизу жидкости имеются колебательные возмущения, эти возмущения возникают при конечном значении напряженности магнитного поля; 3) если Рги > Рг, то в полях, напряженность которых превышает некоторое критическое значение, колебательные возмущения оказываются критическими, порог конвекции в этих условиях связан с развитием колебательных возмущений.

Те же авторы рассмотрели задачу о влиянии магнитного поля на стационарное конвективное течение в плоском вертикальном слое проводящей жидкости при подогреве сбоку и его устойчивость [9, 10].

Общая теория спектра возмущений и конвективной устойчивости механического равновесия проводящей жидкости в магнитном поле построена в работах Сорокина, Сушкина [11] и Шлиомиса [12, 13].

Влияние вращающегося магнитного поля на возникновение и развитие конвективных течений. Влияние вращающегося магнитного поля на поведение проводящей жидкости было впервые изучено для случая изотермической жидкости. Моффат в [14] рассмотрел ламинарное течение жидкости в бесконечно длинном цилиндре, под действием горизонтального магнитного поля, вращающегося с высокой частотой в горизонтальной плоскости. Он исследовал воздействие магнитного поля в приближении «твердотельного движения» и в приближении скин-слоя и показал, что возникающее течение является чисто азимутальным. При этом было обнаружено существование в жидкости ядра, вращающегося как твердое тело, и пограничного слоя, отделяющего ядро от стенок цилиндра. Угловая скорость вращения ядра при этом пропорциональна, как числу Гартмана, так и частоте вращения поля.

Ту же задачу, но в приближении «поля в вакууме» (когда толщина скин-слоя велика по сравнению с радиусом цилиндра), исследовал Капуста в [15]. Он показал, что при больших числах Гартмана жидкость вращается, как твердое тело, а угловая скорость вращения ядра совпадает с угловой скоростью вращения магнитного поля. При этом вблизи стенок цилиндра существует пограничный слой.

Далберг [16] исследовал ту же проблему в широком диапазоне значений отношения толщины скин-слоя к радиусу цилиндра и нашел оптимальное значение отношения толщины скин-слоя к радиусу цилиндра, при котором жидкость вращается с максимальной скоростью.

Робинсон [17] провел экспериментальное исследование влияния вращающегося магнитного поля на возникновение течений в цилиндре конечной высоты. В качестве жидкости он использовал ртуть, а поле вращалось с частотой 50 Гц. Цилиндр, который был сделан из немагнитной стали и был полностью заполнен ртутью, помещался коаксиально в статоре трехфазного электродвигателя. В экспериментах измерялась средняя азимутальная скорость и интенсивность турбулентных пульсаций в различных точках цилиндрической полости. Из результатов работы следует, что осреднеиное вращательное движение почти не зависит от вертикальной координаты. Измерения показали, что характерная угловая скорость движения жидкости приблизительно пропорциональна индукции магнитного поля, в то время, как согласно теоретическим результатам, изложенным выше, она должна быть пропорциональна квадрату интенсивности индукции магнитного поля. Но это различие, по-видимому, связано, во-первых, с конечной высотой цилиндра, а во-вторых, с тем, что течение на самом деле не является ламинарным.

Аналогичное экспериментальное исследование было проведено Дорониным и др. [18]. Результаты [18] неплохо согласуются с результатами Робинсона [17] для ситуации, когда характерная угловая скорость приблизительно пропорциональна индукции магнитного поля.

Горбачев и Никитин [19, 20] попытались получить приближенное решение задачи о цилиндре конечной высоты для случая ламинарного течения. Основное их предположение заключалось в том, что вторичные течения, возникающие в жидкости, ответственны за пограничные слои, возникающие около стенок цилиндра. В работе [19] изучено течение между параллельными дисками большого радиуса, а в работе [20] - течения в цилиндрических контейнерах различного размера, что ближе к экспериментам [17, 18]. Следует отметить, однако, что Горбачев и Никитин сделали ряд ошибочных предположений о распределении скорости.

Ричардсон [21] исследовал устойчивость однородного азимутального течения в цилиндре бесконечной длины, в предположении, что магнитное поле является слабым и вращается с низкой частотой (в том смысле, что толщина скин-слоя мала по сравнению с радиусом цилиндра). Найдено критическое значение магнитного числа Тейлора и соответствующее ему аксиальное волновое число.

В работе Дейвидсона и Ханта [22], а также в работе Дейвидсона и Бойсона [23] теоретически и экспериментально изучено осесимметричное вихревое течение, возникающее в жидком столбе относительно небольшой высоты.

В работах [24, 25] исследованы переходные процессы в вихревом циркуляционном течении, возникающем в ограниченном по длине цилиндрическом контейнере. Обнаружено, что в результате взаимодействия между завихренностью и меридиональной рециркуляцией развивается сильная осциллирующая меридиональная рециркуляция.

В работе [26] Дейвидсон на основе уравнений пограничного слоя исследовал турбулентное вихревое течение, генерируемое вращающимся магнитным полем в осесимметричной емкости произвольного профиля. Результаты работы неплохо согласуются с экспериментальной работой [17].

Приеде в [27] предложил математическую модель и методику расчета течения во вращающемся магнитном поле. На основе этой модели Гельфгат и др. [28] показали, что для конечной высоты цилиндра численные результаты существенно отличаются от результатов, полученных для бесконечно длинного цилиндра.

В работе Гельфгата, Соркина и Приеде [28] показано, что по мере увеличения индукции вращающегося магнитного поля в жидкости последовательно наблюдаются четыре режима течения. Первый режим - стоксовый (ламинарный). Он характеризуется высокой устойчивостью, как азимутальных, так и меридиональных потоков. Второй режим - нелинейный стационарный. Он характеризуется образованием ярко выраженных тонких пристеночных пограничных слоев и нарушением симметрии в структуре меридиональных потоков. Третий - нелинейный нестационарный. Он характеризуется возникновением вторичных меридиональных течений в пограничных слоях у торцов и в угловых зонах сосуда, постоянно меняющихся в пространстве и времени. Четвертый режим - устойчивый квазистационарный. Он характеризуется существенно меньшими осцилляциями скорости, стохастически неизменными во времени.

Перейдем к обзору работ, посвященных влиянию вращающегося магнитного поля на поведение неизотермической проводящей жидкости. Взаимодействие тепловой конвекции с течением, вызываемым вращающимся магнитным полем, изучалось в работах [29-33]. В этих работах показано, что вращающееся магнитное поле приводит к сильному подавлению температурных флуктуаций, вызываемых нестационарной тепловой конвекцией [30, 31, 32]. Критическое значение интенсивности магнитного поля, выше которой наблюдается эффективное подавление флуктуаций температуры, зависит от интенсивности конвекции [33]. С другой стороны, тепловые флуктуации наблюдались и для потенциально устойчивой температурной стратификации, если интенсивность магнитного поля превышала критическое значение. В этом случае источником тепловых флуктуаций служат неустойчивости, которые имеют место и в отсутствие поля тяжести [32]. Таким образом, повышение интенсивности магнитного поля приводит к подавлению тепловых флуктуаций только до тех пор, пока не появляются неустойчивости, имеющие место в случае изотермической жидкости.

Любимов [34] показал, что в случае неэлектропроводных границ и высоты цилиндра, малой по сравнению с радиусом, первичное азимутальное течение сосредоточено около стенок цилиндра, в центральной же части цилиндра им можно пренебречь.

Влияние вращения слоя на конвекцию. Влияние вращения слоя жидкости как целого на устойчивость механического равновесия было по-видимому впервые изучено Чандрасекаром [35, 36, 4], для случаев горизонтального слоя с обеими свободными, обеими твердыми или одной твердой и одной свободной границами. Центробежной силой пренебрегалось, учитывалась лишь сила Кориолиса.

Для случая обеих свободных границ Чандрасекару удалось найти точное решение. Анализ этого решения показал, что в случае Pr > 1 неустойчивость механического равновесия носит монотонный характер. При этом вращение приводит к повышению порога возникновения конвекции, а именно, с увеличением числа Тейлора Та минимальное критическое значение числа Рэлея растет. Волновое число наиболее опасных возмущений с увеличением числа Тейлора также увеличивается. Если же число Прандтля меньше единицы, то при достаточно большом числе Тейлора помимо монотонной появляется колебательная неустойчивость, которая может быть опаснее монотонной неустойчивости.

В случае, когда обе границы твердые, либо одна твердая, а другая свободная, Чандрасекар воспользовался вариационным методом, с помощью которого получил приближенное решение. В результате он нашел критические числа Рэлея, определяющие порог монотонной неустойчивости, которые, естественно, не зависят от числа Прандтля. Колебательный же уровень неустойчивости был рассмотрен им для числа Прандтля Рг = 0,025, что соответствует ртути. В целом, результаты для этих двух случаев качественно похожи на результаты для свободных границ.

Перейдем к анализу экпериментальных работ по изучению влияния вращения на устойчивость равновесия неоднородно-нагретой жидкости. Накагава и Френзен [37] для проверки выводов Чандрасекара относительно монотонной неустойчивости использовали воду (Рг = 6,7>1). Исследовался слой со свободной верхней границей. Толщина слоя варьировалась от 2 до 18 см, частота вращения достигала 50 об/мин., число Тейлора менялось в интервале от 10б до Ю10. Наступление конвекции фиксировлось как визуально, так и с помощью тепловых методов. Эксперименты подтвердили выводы Чандрасекара относительно монотонной неустойчивости.

Проверку выводов теории о колебательной неустойчивости проводили Фульц и Накагава [38], в качестве рабочей жидкости они использовали ртуть (Рг = 0,025 < 1). Максимальная толщина слоя составляла 8 см, частота вращения достигала 30 об/мин; число Тейлора изменялось в интервале 108-10п. Результаты эксперимента согласуются с теорией.

Подробное экспериментальное исследование влияния вращения на устойчивость механического равновесия и на надкритические течения провел Россби [39]. В качестве жидкостей он использовал воду и ртуть. Он получил неплохое согласие с теорией для монотонной неустойчивости в случае воды при числах Тейлора Та < 5 • 104, и для колебательной неустойчивости в случае с ртутью при числах Тейлора 7а > 105. Для других диапазонов значений числа Тейлора эксперимент дал заниженные по сравнению с теорией критические числа Рэлея. Для случая ртути автор объяснил это несоответствие возможным существованием подкритических движений жидкости, а для случая воды -возможной ролью центробежных эффектов при высоких частотах вращения.

Перейдем к обзору теоретических работ, посвященных исследованию нелинейных режимов конвекции при наличии вращения. Первым нелинейные режимы рассмотрел Веронис [40- 42]. В своей первой работе [40] он, на основе метода малого параметра, сделал вывод о том, что при малых числах Прандтля возможно жесткое возбуждение стационарных движений конечной амплитуды. Этот вывод был подтвержден численными расчетами [41, 42], проведенными на основе метода Фурье. С помощью этих расчетов было определено нижнее критическое число Рэлея, являющееся границей для жесткой неустойчивости. Оказалось, что для Прандтля Рг = 0,2 в определенном диапазоне значений числа Тейлора стационарные подкритические движения появляются раньше колебательной неустойчивости. В работе [42] также исследовались колебательные возмущения конечной амплитуды, однако подкритические колебательные движения, которые наблюдал в эксперименте [42] Россби, обнаружены не были.

После Верониса изучением нелинейных режимов конвекции занимались Кюпперс и Лорц [43]. Они исследовали слой со свободными границами в предположении бесконечности числа Прандтля. Пользуясь методом малого параметра, они обнаружили, что двумерные валы становятся неустойчивыми по отношению к валам, направленным к исходным под углом примерно 58°, при числах Тейлора больших критического значения Тас = 2285. Эта неустойчивость получила название неустойчивости Кюпперса-Лорца.

Совместное влияние вращения слоя как целого и вращающегося магнитного поля на возникновение течений. Совместное влияние вращения слоя как целого и вращающегося магнитного поля на возникновение течений теоретически, по-видимому, исследовалось пока только в работе Вокера и Витковского [44]. Они рассматривали цилиндр конечной высоты, вращающийся вокруг своей оси и исследовали как случай, когда направление вращения слоя совпадает с направлением вращения поля, так и случай когда направление вращения слоя противоположно направлению вращения поля. Было обнаружено, что в случае, когда направление вращения слоя, противоположно направлению вращению магнитного поля, суммарный эффект является дестабилизирующим. В случае же, когда направление вращения слоя совпадает с направлением вращения поля, происходит повышение значения критического магнитного числа Тейлора, при котором возникает неустойчивость. Однако, надо отметить, что при этом, вращение не влияет на меридиональную конвекцию основного течения в пороге.

Конвекция в пористой среде. Задачу о конвекции в горизонтальном пористом слое жидкости впервые по-видимому рассмотрели Хортон и Роджерс [45]. Позднее эту же задачу независимо рассмотрели Лэпвуд [46] и Золотарев [47]. В упомянутых работах была найдена зависимость критического числа Рэлея (числа Рэлея для пористого слоя) от волнового числа для случая непроницаемых для вещества границ.

Лэпвуд в [46] дополнительно рассмотрел случай, когда поверх пористого слоя налита свободная жидкость. В этом случае верхняя граница оказывается проницаемой. Это изменение приводит к тому, что минимальное критическое число Рэлея становится меньше, а волновое число наиболее опасных возмущений уменьшается.

Экспериментальное исследование конвекции в горизонтальном пористом слое было впервые проведено Моррисоном и др. [48]. В качестве жидкостей использовались вода, растворы глицерина, четыреххлористый углерод. Пористой средой служил песок. Качественно полученные результаты совпадали с теоретическими, но были обнаружены количественные различия. С целью улучшения соответствия теории и эксперимента в работах [49, 50] были учтены зависимость вязкости от температуры и нелинейность профиля температуры. Согласие несколько улучшилось, но расхождение осталось. Причина этого расхождения, как было выяснено позднее, состояла в том, что для пористых сред надо пользоваться не обычной температуропроводностью, а эффективной.

Като и Масуока [51] провели подробное экспериментальное исследование возникновения конвекции в горизонтальном пористом слое, при этом они пользовались эффективной температуропроводностью. В результате они получили хорошее согласие с теорией. В качестве пористой среды они использовали шарики определенного диаметра из различных материалов (стекло, сталь, алюминий), в качестве жидкости - сжатый азот.

Конвекция в бинарной смеси. В бинарной смеси помимо теплопроводности возможна также диффузия, а также перекрестные эффекты: термодиффузия (эффект Соре) и диффузионная теплопроводность (эффект Дюффура).

При рассмотрении конвекции бинарной смеси часто пренебрегают одним или обоими перекрестными эффектами, поэтому можно выделить три класса задач. Первый класс задач - это когда пренебрегается обоими перекрестными эффектами. Возникающие явления называют явлениями двойной диффузии. При этом на границах задаются либо постоянные значения концентраций, либо градиентов концентраций. Второй класс задач -это задачи, рассматриваемые с учетом эффекта Соре. В третьем классе задач помимо эффекта Соре учитывается диффузионная теплопроводность.

Задачу о конвекции в вертикальном слое, заполненном бинарной жидкостью, в пренебрежении эффектами термодиффузии и диффузионной теплопроводности впервые рассмотрел Харт [52]. Он рассматривал случай вертикального градиента концентрации, направленного вверх. Слой подогревался сбоку. Эту же задачу рассмотрели Гершуни и др. [53], которые обнаружили в работе Харта ошибку. Расчет вторичных режимов при больших диффузионных числах Рэлея с использованием метода малого параметра был проведен в работе Харта [54]; был сделан вывод, что в некотором интервале волновых чисел возможно жесткое возбуждение. Эволюция течения в надкритической области с помощью метода Галеркина-Канторовича изучалась в работе [55]. Расчеты проводились для водного раствора соли при фиксированном диффузионном числе Рэлея.

Задача о конвекции в вертикальном слое, заполненном бинарной жидкостью, с учетом эффекта Соре (эффекта термодиффузии) была рассмотрена Гершуни и др. [56]. Сорокин построил нелинейную теорию в серии работ [57-59].

Перейдем к рассмотрению работ по конвекции бинарной жидкости в пористой среде. Отличие этого случая от предыдущего, помимо другого закона трения, состоит в наличии «скелета», который отличается от жидкости теплопроводностью и не участвует в процессе диффузии. Это приводит к особенностям в поведении такой среды. При этом мы и в этом случае можем рассмотреть три типа задач, о которых говорилось выше.

Задачу линейной устойчивости механического равновесия подогреваемого снизу вертикального пористого слоя бинарной жидкости без учета эффектов термодиффузии и диффузионной теплопроводности для различных типов граничных условий (изотермических и изоконцентрационных границ) рассмотрел Нилд [60]. Эксперименты Купера и др. [61, 62] и Прайнгла и др. [63, 64] для ячейки Хеле-Шоу подтвердили теоретические результаты Нилда.

Эксперименты с обычной жидкостью показали наличие монотонной неустойчивости для теплой соленой воды поверх холодной несоленой воды, возникающей в виде пальцев, растущих вниз. Для случая пористой среды возникают вопросы: вырастут ли пальцы достаточно быстро перед тем, как они будут разрушены эффектами дисперсии, и достаточно ли велика толщина пальцев по сравнению с размерами пор, чтобы можно было пользоваться законом Дарси. Экспериментально эти вопросы были исследованы Таунтоном [65] и Грином [66]. Они, основываясь на детальном анализе своих экспериментов, сделали вывод, что неустойчивость в виде пальцев может быть важной, но горизонтальная дисперсия может ограничивать вертикальную когерентность пальцев. Имхофф и Грин сделали эксперименты с визуализацией в контейнере с песком для соляно-сахарной системы [67] и обнаружили, что пальцеообразование действительно появляется, но оно совершенно неустойчиво, в то время как для обычной жидкости оно квазиустойчиво. Несмотря на неустойчивость, наблюдается хорошее согласие с теоретическими предсказаниями. Гриффите [68] экспериментально показал, что двойная диффузионная конвекция возможна в пористой среде. Он экспериментировал с двухслойной конвективной системой в ячейке Хеле-Шоу. В качестве пористой среды использовались стеклянные шарики. Дальнейшие эксперименты с ячейкой Хеле-Шоу были проведены Прайнглом и Глассом [63], которые исследовали влияние концентрации при фиксированном параметре разделения.

Рудрайя и др. [69] теоретически исследовали нелинейную задачу устойчивости для непроницаемых изотермических и изоконцентрационных границ и показали, что возможна конечно-амплитудная неустойчивость для подкритических значений числа Релея. Бранд и Штайнберг [70, 71] и Бранд и др. [72] получили амплитудные уравнения, описывающие монотонную и колебательную неустойчивости, а также соответствующие слабо нелинейные режимы. Бранд и др. [72] нашли экспериментально реализуемый пример бифуркации коразмерности 2 (пересечение границ монотонной и колебательной неустойчивостей). Бранд и Штайнберг предсказали [71], что числа Нуссельта и Фруда (Шервуда) должны колебаться с удвоенной частотой по сравнению с частотой колебаний температуры и концентрации. Слабонелинейные решения в форме стоячих и бегущих волн и переход к конечно-амлитудной конвекциибыли изучены Кноблохом [73]. Реберг и Алерс [74] провели тепловые измерения для смеси Не3-Не4 в пористой среде и обнаружили бифуркацию стационарного и осциллирующего течений, зависящих от средней температуры, в полном согласии с теоретическими предсказаниями.

Мэрри и Чен построили линейную теорию для случая зависящих от температуры вязкости и коэффициента объемного расширения, а также рассмотрели нелинейный профиль концентрации [73]. Кроме того, они проделали эксперимент в ящике, заполненном стеклянными бусинами; в качестве бинарной жидкости использовался раствор соли в дистиллированной воде. Верхняя и нижняя границы были изотермическими, что позволяло обеспечить линейный профиль температуры в основном состоянии, но профиль концентрации удавалось получить только нелинейный и зависящий от времени.

Для случая фиксированного градиента концентрации на границе задачу рассмотрели Маму и др. [76]. Они получили как аналитические асимптотические решения, так и численные решения для различных горизонтальных размеров прямоугольной полости. Случай фиксированных градиентов температуры и концентрации на границе рассмотрели Маму и Вассюр [77]. Они исследовали линейную и нелинейную неустойчивость, провели аналитическое и численное исследования, и идентифицировали четыре режима, зависящих от определяющих параметров: стационарный диффузионный, подкритический конвективный, колебательный и перемежающийся прямой, и показали, что в сверхустойчивом состоянии может существовать очень большое количество решений. Полученные авторами численные результаты указали также на то, что в случае бесконечно длинной полости возможно появление бегущих волн.

Нелинейный анализ устойчивости прямым методом Ляпунова для данной проблемы был проведен Ломбардо и др. [78]. Численный анализ определяющих уравнений и уравнений для возмущений с акцентом на изучение переходов между стационарным и колебательным режимами с учетом параметра ускорения был выполнен Маму [79]. Численное и аналитическое исследование Мбайе и Билгена [80] продемонстрировало существование подкритической колебательной неустойчивости. Мохамад и др. [81, 82] численно исследовал конвекцию в прямоугольной полости, варьируя горизонтальный размер полости. Шуфс и др. [83] обсуждали хаотические режимы термохалинной конвекции в контексте низкопористых сред. Шуфс и Шпера [84] численно показали, что увеличение отношения концентрационной подъемной силы к тепловой подъемной силе приводит к переходу от стационарной к хаотической конвекции с появляющимся во время перехода устойчивым циклом. Динамика хаотического течения характеризуется переходами между стратифицированным и нестратифицированным течениями, как результат спонтанного образования и исчезновения гравитационно-устойчивых поверхностей. Масштабный анализ, подкрепленный численными расчетами, был представлен Бурихом и др. [85]. Случай смешанных граничных условий (постоянная температура и постоянный градиент концентрации и наоборот) численно изучен Махиджиба и др. [86]. Они нашли, что в случае, когда тепловой и концентрационный эффект противостоят друг другу, конвективные структуры заметно отличаются от классических бенаровских структур.

Перейдем к анализу работ, в которых учитывался эффект термодиффузии. Лоусон и др. [87], основываясь на кинетической теории газов, которая дает эффект Соре, и проанализировав линейное приближение, объяснили, почему присутствие в одном газе другого приводит к понижению минимального критического числа Релея. Этот эффект наблюдался в бинарной смеси гелия и азота Лоусоном и Янгом [88]. Лоусон и др. [87] наблюдали, что критическое число может быть выше или ниже, чем в чистой жидкости, в зависимости от того, направлена ли термодиффузия, вызываемая тяжелой компонентой, к холодной или к горячей границе слоя. Бранд и Штайнберг [71] отметили, что эффект Соре может приводить к колебательной конвекции при нагреве сверху.

Бенано-Мелли и др. [89] провели экспериментальное и численное исследование, относящееся к проблеме измерения коэффициента Соре для случая, когда приложен горизонтальный градиент температуры. Джоли и др. [90] рассмотрели возникновение конвекции в вертикальном слое жидкости с градиентом температуры, направленным вдоль стенок. Совран и др. [91] аналитически и численно изучили возникновение конвекции в горизонтальном слое жидкости с приложенным вертикальным градиентом температуры и нашли, что для слоя, нагреваемого сверху, механическое равновесие по линейной теории всегда устойчиво для N >0, в то время, как для N <0 появляется стационарная бифуркация. Для слоя, подогреваемого снизу, наиболее опасные возмущения могут быть как монотонными, так и колебательными, в зависимости от того, больше или меньше определенного значения, зависящего от Le и нормированной пористости, параметр N. Численное исследование Фаруку и др. [92] для случая, когда свойства жидкости зависят от температуры, концентрации и давления, показало, что при горизонтальном нагреве влияние эффекта Соре мало, в то время, как при подогреве дна влияние эффекта Соре увеличивается.

Дальнейшее исследование конвекции под действием эффекта Соре было проведено Джянгом и др. [93-95] и Сагиром и др. [96]. Основное внимание они сосредоточили на термогравитационной конвекции, вопросе, в свое время затронутом Естебе и Шотом [97].

Аналитическое и численное исследования конвекции в горизонтальном слое при фиксированном теплопотоке и с фиксированным или нефиксированным градиентом концентрации было проделано Балулой и др. [98] и Бутаной и др. [99]. Результаты по структурной неустойчивости были получены Штрауханом и Хуттером [100].

Обзор работ по конвекции бинарной жидкости в пористой среде можно также найти в книге Нилда [101].

Влияние прокачивания жидкости на конвекцию. Влияние прокачивания однокомпонентной жидкости на конвекцию в горизонтальном слое экспериментально впервые было исследовано Терадой, результаты которого в сопоставлении с Идраком, делавшим эксперимент без прокачивания жидкости, были доложены Авсеком и Лунтцом [102, 103]. Точнее, у Терады жидкость текла под действием силы тяжести в слегка наклоненном слое. В дальнейшем задача о влиянии прокачивания исследовалась Бенаром и Авсеком [104], Куетнером [105], Броуном [106] на основе данных наблюдения за дорожками облаков в атмосфере.

В лабораторных условиях эта задача исследовалась Путиным и Глуховым [107, 108], которые рассматривали задачу о влиянии продува воздуха на конвективные явления. Они обнаружили, что конвективные валы устанавливаются в направлении продува.

Теоретически эта проблема впервые исследовалась Гейджем и Райдом [109]. Они рассматривали устойчивость течения Пуазейля в горизонтальном слое жидкости, подогреваемом снизу. При нахождении критических значений параметров авторы использовали аналогию с задачей об устойчивости спирального течения между вращающимися цилиндрами, которая была решена ранее асимптотическими методами. В результате были получены следующие результаты. Для валов с осями, параллельными направлению прокачивания, минимальное критическое значение числа Рэлея не зависит от числа Рейнольдса и совпадает со значением, получающимся в отсутствие прокачивания. Для валов же с осями, направленными под углом к направлению прокачивания, вначале при возрастании числа Рейнольдса минимальное критическое число Рэлея возрастает, но после достижения некоторого критического значения числа Рейнольдса резко спадает до нуля, когда на смену тепловому механизму неустойчивости приходит гидродинамический механизм, имеющий место и в отсутствие подогрева. Таким образом, прокачивание приводит к тому, что самыми опасными возмущениями становятся валы, сонаправленные с течением, что согласуется с экспериментальными данными.

Влияние прокачивания бинарной смеси на конвекцию в горизонтальном слое было изучено Бюхелем и Люке [110]. Они решали как линейную, так и нелинейную задачи. Кроме того, они исследовали переходное поведение валов ортогональных основному течению. Исследование поведения валов проводилось с помощью многомодового метода Галеркина и с помощью метода конечных разностей. Были построены различные бифуркационные диаграммы. Значения коэффициентов диффузии и термодиффузии принимались такими, как для смесей воды с этиловым спиртом.

Влияние прокачивания на конвекцию жидкости в горизонтальном пористом слое впервые изучил Пратс [111]. Он установил, что уравнения, получающиеся при переходе в систему отсчета, движущуюся со скоростью прокачивания, формально совпадают с уравнениями для задачи в отсутствие прокачивания (в лабораторной системе отсчета). Это означает, что минимальное критическое число Рэлея не изменяется по сравнению со случаем отсутствия прокачивания.

Позднее, влияние прокачивания бинарной смеси на конвекцию в горизонтальном пористом слое с идеально теплопроводными границами изучалось Мохамедом, Джулином и др. [112]. Они исследовали асимптотический отклик системы на локализованные возмущения.

Во второй главе диссертации исследуется влияние прокачивания бинарной смеси на конвекцию в горизонтальном пористом слое в случае фиксированного теплопотока на границах. Несмотря на большое число практически важных приложений, таких как распространение влаги в системах теплоизоляции и отходов в почве, очистка почвы от химических и ядерных отходов и др., эта задача до настоящего времени не рассматривалась.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Актуальность работы обусловлена важностью изучения новых механизмов гидродинамической неустойчивости и способов воздействия на устойчивость равновесий и течений жидкостей с помощью различных внешних факторов. С практической точки зрения актуальность исследования влияния вращающегося магнитного поля на конвекцию проводящей жидкости обусловлена перспективностью применения магнитных полей для управления поведением проводящих жидкостей при выращивании полупроводниковых монокристаллов, в металлургии, ядерной энергетике, химической промышленности. Исследование влияния прокачивания жидкости через пористый слой важно для описания режимов работы теплоизоляторов, процессов, происходящих при распространении жидкости в пористых пластах при наличии геотермального градиента, в том числе при распространении радиоактивных и химических отходов в почве.

Цели работы:

1. Изучение влияния вращающегося магнитного поля на возникновение и нелинейные режимы конвекции в горизонтальном слое проводящей жидкости.

2. Изучение совместного влияния вращающегося магнитного поля и вращения слоя как целого на возникновение конвекции проводящей жидкости в горизонтальном слое.

3. Изучение влияния прокачивания бинарной жидкости на возникновение и нелинейные режимы конвекции в горизонтальном пористом слое, в условиях заданного теплового потока на границах.

Научная новизна работы

1. Показано, что при действии однородного вращающегося с конечной частотой магнитного поля на горизонтальный слой подогреваемой снизу проводящей жидкости, в некотором интервале значений числа Гартмана, нейтральные кривые являются бимодальными, что приводит к появлению скачка в зависимости волнового числа наиболее опасных возмущений от числа Гартмана.

2. Обнаружено, что неоднородное быстро вращающееся магнитное поле, при некоторых значениях параметра неоднородности, оказывает на механическое равновесие неоднородно-нагретой проводящей жидкости дестабилизирующее действие, способное привести к неустойчивости механического равновесия даже при нагреве сверху.

3. Получены численные данные о структуре надкритических режимов конвекции в горизонтальном слое проводящей жидкости при наличии однородного быстро вращающегося магнитного поля. Найдено, что при малых надкритичностях магнитное поле подавляет поперечноваликовую неустойчивость. Обнаружена область устойчивости гексагональных ячеек, сосуществующих с устойчивыми валами.

4. Показано, что совместное действие однородного быстро вращающегося магнитного поля и вращения слоя как целого оказывает стабилизирующее влияние на механическое равновесие подогреваемого снизу горизонтального слоя проводящей жидкости.

5. Показано, что в случае нормального эффекта Соре горизонтальное прокачивание не влияет на порог линейной устойчивости механического равновесия горизонтального пористого слоя, насыщенного бинарной смесью, но оказывает ориентирующее действие на конвективные структуры: за неустойчивость становятся ответственными спиральные возмущения. В случае аномального эффекта Соре сколь угодно слабое прокачивание приводит к сильной дестабилизации длинноволновых возмущений, так что критическое число Релея сдвигается на конечную величину, но эта неустойчивость ограничена очень длинными волнами.

6. Получены амплитудные уравнения для задачи о конвекции в горизонтальном пористом слое, насыщенном бинарной смесью, при наличии горизонтального прокачивания жидкости. Обнаружено, что в случае, когда наиболее опасны возмущения с бесконечной длиной волны, имеется область устойчивости валов.

7. Найдены характеристики двумерных конечно-амплитудных режимов конвекции в горизонтальном пористом слое, насыщенном бинарной смесью, в случае аномального эффекта Соре. Показано, что возможно жесткое возбуждение конвекции в виде бегущих волн.

Защищаемые положения

1. Описание влияния однородного магнитного поля, вращающегося с конечной частотой на линейную устойчивость равновесия горизонтального слоя проводящей жидкости.

2. Описание влияния однородного быстро вращающегося магнитного поля на нелинейные конвективные режимы в виде валов и гексагональных структур в горизонтальном слое проводящей жидкости.

3. Описание влияния неоднородного быстро вращающегося магнитного поля на устойчивость равновесия горизонтального слоя проводящей жидкости. •

4. Описание совместного влияния быстро вращающегося магнитного поля и вращения слоя как целого на устойчивость равновесия горизонтального слоя проводящей жидкости.

5. Результаты по исследованию влияния прокачивания бинарной смеси на линейную устойчивость равновесия горизонтального пористого слоя.

6. Аналитические результаты по исследованию длинноволновой неустойчивости при * прокачивании бинарной смеси через горизонтальный пористый слой.

7. Результаты исследования слабо-нелинейных режимов конвекции в задаче о . прокачивании бинарной смеси через горизонтальный пористый слой.

8. Результаты численного исследования нелинейных режимов конвекции бинарной смеси в горизонтальном пористом слое при наличии горизонтального прокачивания жидкости.

Достоверность результатов. Достоверность результатов подтверждается сравнением с известными предельными случаями, а также адекватностью методов исследования и согласием результатов, полученных с помощью разных подходов.

Практическая ценность. Вращающееся магнитное поле может быть использовано для подавления конвективных процессов с целью получения монокристаллов полупроводников. Результаты по влиянию прокачивания бинарной смеси могут быть использованы для изучения конвекции в грунтовых водах, для расчета режимов работы теплоизоляционных, а также теплоотводящих элементов, для изучения распространения радиоактивных и химических отходов в почве. В частности, решение этой задачи важно для такой проблемы, как очистка почвы от химических и ядерных отходов.

Апробация работы. Основные результаты, приведенные в диссертации, докладывались на следующих научных семинарах, конференциях и конгрессах:

Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», Пермь, 13-14 декабря 2002 г.

Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», Пермь, 11 декабря 2004 г.

Международная юбилейная (1976-2006 гг.) конференция «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность», посвященная 250-летию Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова. Московская обл., Пансионат «Лесные дали», 26 февраля - 5 марта 2006 г.

Научная конференция молодых ученых по механике сплошных сред, посвященная 80-летию со дня рождения член-корреспондента АН СССР Александра Александровича Поздеева: Поздеевские чтения. Пермь, 23-24 марта 2006 г.

Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», Пермь, 9 декабря 2006 г.

International Congress "Experiments in Space and Beyond". Brussels, Belgium, ULB, April 12-13,2007.

Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Пермь, 5-7 декабря 2007 г.

Пермский гидродинамический семинар им. Г.З. Гершуни Е.М. Жуховицкого, Пермь, ПГУ, 2007.

Публикации. Основные материалы диссертации изложены в работах [114-121]. Содержание и структура диссертации. Диссертация состоит, из введения, включающего обзор литературы и общую характеристику работы, двух глав, заключения, списка литературы (133 наименований) и приложения. В работе содержатся 52 рисунка и 2 таблицы. Общий объем диссертации 152 страниц.

Заключение

Исследовано влияние однородного магнитного поля, вращающегося с конечной частотой в горизонтальной плоскости, на возникновение конвекции в подогреваемом снизу горизонтальном слое проводящей жидкости. Показано, что в некотором интервале значений числа Гартмана, нейтральные кривые являются бимодальными, что приводит к появлению скачка в зависимости волнового числа наиболее опасных возмущений от числа Гартмана.

Численно исследовано влияние однородного быстро вращающегося магнитного поля на нелинейные режимы конвекции в горизонтальном слое проводящей жидкости. Найдено, что при малых надкритичностях магнитное поле подавляет поперечноваликовую неустойчивость. Обнаружена область устойчивости гексагональных ячеек, сосуществующих с устойчивыми валами.

Изучено влияние неоднородного быстро вращающегося магнитного поля на возникновение конвекции в горизонтальном слое проводящей жидкости. Обнаружено, что при некоторых значениях параметра у, характеризующего неоднородность поля, магнитное поле оказывает дестабилизирующее действие на механическое равновесие жидкости. Для достаточно сильных магнитных полей это дестабилизирующее действие может стать настолько сильным, что способно приводить к неустойчивости механического равновесия, в отсутствие внешнего нагрева и даже при нагреве сверху.

Исследовано совместное влияние быстро вращающегося магнитного поля и вращения слоя как целого на возникновение конвекции в горизонтальном слое проводящей жидкости. Показано, что эффекты воздействия однородного быстро вращающегося магнитного поля и вращения слоя как целого на порог конвекции аддитивны, а на длину волну наиболее опасных возмущений противоположны.

Изучено влияние горизонтального прокачивания на возникновение конвекции в горизонтальном пористом слое, насыщенном бинарной смесью. Показано, что в случае нормального эффекта Соре горизонтальное прокачивание не влияет на порог линейной устойчивости механического равновесия горизонтального пористого слоя, насыщенного бинарной смесью, но оказывает ориентирующее действие на конвективные структуры: за неустойчивость становятся ответственными спиральные возмущения. В случае аномального эффекта Соре сколь угодно слабое прокачивание приводит к сильной дестабилизации длинноволновых возмущений, так что критическое число Релея сдвигается на конечную величину, но эта неустойчивость ограничена очень длинными волнами.

Исследованы слабо-нелинейные длинноволновые режимы конвекции. Изучена область устойчивости валов. Обнаружено, что, в отличие от задачи о конвекции Рэлея-Бенара в слое с фиксированным тепловым потоком на границах, в случае, когда наиболее опасны возмущения с бесконечной длиной волны, имеется область устойчивости валов.

Численно исследованы характер возбуждения и конечно-амплитудные режимы конвекции бинарной смеси в случае аномального эффекта Соре. Получены зависимости интенсивности течения от числа Релея. Обнаружено, что возможно жесткое возбуждение конвекции в виде бегущих волн.

1. Thompson W.B. Thermal convection in a magnetic field // Phil., Mag., 1951, 42, № 335, 1417.

2. Chandrasekhar S. On the inhibition of convection by a magnetic field // I. Phil., Mag., 1952, 43, №7, 501.

3. Chandrasekhar S. On the inhibition of convection by a magnetic field // II Phil., Mag., 1954, 45, №370, 1177.

4. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability // Oxford, Clarendon Press, 1961.

5. Nakagawa Y., Experiments on the inhibition of thermal convection by a magnetic field // Proc. Roy. Soc., 1957, A240, № 1220, 108.

6. Nakagawa Y., Experiments on the instability of a layer of mercury heated from below and subject to the simultaneous action of a magnetic field and rotation // II. Proc. Roy. Soc., 1959, A249, № 1256, 138.

7. Lehnert В., Litlle N. Experiments on the effect of inhomogeneity and obliquity of a magnetic field in inhibition convection// Tellus, 1957, 9, № 1, 97.

8. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M. О спектре конвективной неустойчивости проводящей среды в магнитном поле // ЖЭТФ, 1962, 42, № 4, 1122.

9. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Об устойчивости стационарного конвективного движения электропроводящей жидкости между параллельными вертикальными плоскостями в магнитном поле // ЖЭТФ, 1958. Т. 34, вып. 3. - С. 675-683.

10. Бирих Р.В., Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Рудаков Р.Н. Об устойчивости конвективного течения проводящей жидкости в магнитном поле // Магнитная гидродинамика. 1978. - № 1. - С. 30-36.

11. П.Сорокин B.C., Сушкин И.В., Устойчивость равновесия подогреваемой снизу проводящей жидкости в магнитном поле // ЖЭТФ, 1960, 38, № 2, 612.

12. Шлиомис М.И. Осциллирующие возмущения в проводящей жидкости в магнитном поле // ПММ, 1963, 27, № 523.

13. Шлиомис М.И. О колебательной конвективной неустойчивости проводящей жидкости в магнитном поле // ПММ, 1964, 28, №4, 678.

14. Moffat Н.К. On fluid flow induced by a rotating magnetic field // J. Fluid Mech., 1965, V. 22, p. 521.

15. Капуста А.Б. Движение проводящей жидкости в сильном вращающемся магнитном поле // Техническая электромагнитная гидродинамика, 1967, Т. 7, с. 357.

16. Dalberg E. On the action of a rotating magnetic field on a conducting liquid // AB Atomenegri, Sweden, 1972, Report № AE-447.

17. Robinson T. An experimental investigation of a Magnetically Driven Rotating Liquid Metal Flow // J. Fluid Mech., 1973, № 60, pp. 641-664 (with an Appendix by K. Larson).

18. Доронин В.И., Дремов В.В., Капуста А.Б. Измерение характеристик МГД-течения ртути в закрытом цилиндрическом сосуде // Магнит, гидродинамика, 1973, № 3, с. 138-140.

19. Горбачев Л.П., Никитин Н.В., Устинов А.Р. МГД вращение для проводящей жидкости в цилиндрическом сосуде конечных размеров // Магнит, гидродинамика, 1974, №4, с. 32-43.

20. Горбачев Л.П., Никитин Н.В. МГД течение в цилиндрическом сосуде конечных размеров с турбулентными пограничными слоями // Магнит, гидродинамика, 1979, № 1, с. 63-68.

21. Richardson А.Т. On the stability of a magnetically driven rotating fluid flow // J. Fluid Mech., 1974, V. 63, pp. 593-605.

22. Davidson P.A., Hunt J.C.R. Swirling recirculating flow in a liquid metal column generated by a rotating magnetic field // J. Fluid Mech., 1987, V. 185, pp. 67-106.

23. Davidson P.A., Boysan J. The importance of secondary flow in the rotary electromagnetic stirring of steel During Continuous Casting // Appl. Sci. Research, 1987, V. 44, pp. 241-259.

24. Davidson P.A., Boysan J. Oscillatory recirculation induced by intermittent rotary magnetic stirring // Ironmaking and steelmaking, 1991, V. 18, № 4, pp. 245-252.

25. Davidson P.A. The interaction between swirling and recirculating velocity components in an unsteady invisid flow // J. Fluid Mech., 1991, V. 290, pp. 35-55.

26. Davidson P.A. Swirling flow in an axisymmetric cavity of arbitrary profile, driven by a rotating magnetic field // J. Fluid Mech., 1992, V. 15, pp. 669-699.

27. Gelfgat Yu. М., Priede J. and Sorkin M.Z. Numerical simulation of MHD flow induced by a rotating magnetic field in a cylindrical container of finite height // Proc. of the intern, conf. on energy transfer in MHD flows, France, 1991, pp. 181-186.

28. Dold P., Benz K.W. Convective temperature fluctuations in liquid Gallium in dependence on static and rotating magnetic fields // Cryst. Res. Technol., 1995, V. 30, p.l 135.

29. Dold P., Benz K.W. Modification of fluid flow and heat transport in Vertical Bridgman configurations by rotating magnetic fields // Cryst. Res. Technol., 1997, V. 32, p. 51.

30. Любимов Д.В. Частное сообщение.

31. Chandrasekhar S. The instability of a layer of fluid heated from below and subject to Coriolis forces // Proc. Roy. Soc., 1953, V. A217, № 1130, p. 306.

32. Chandrasekhar S., Elbert D. The instability of a layer of fluid heated from below and subject to Coriolis forces, II // Proc. Roy. Soc., 1955, V. A231, № 1185, p. 198.

33. Nakagawa Y., Frenzen P. A theoretical and experimental study of cellular convection in rotating fluids // Tellus, 1955, V. 7, p. 1.

34. Fultz D., NakagawaY. Experiments on overstable thermal convection in mercury // Proc. Roy. Soc., 1955, V. A231,p.211.

35. Rossby H.T. A study of Benard convection with and without convection // J. Fluid Mech., 1969, V. 36, № 2, p. 309.

36. Veronis G. Cellular convection with finite amplitude in a rotating fluid // J. Fluid mech., 1959, V. 5, № 3, p. 401.

37. Veronis G. Motions at subcritical values of the Rayleigh number in a rotating fluid // J. Fluid Mech., 1966, V. 24, № 3, p. 545.

38. Veronis G. Large amplitude Benard convection in a rotating fluid // J. Fluid Mech., 1968, V. 31, № l,p. 113.

39. Kiippers G., Lortz D. Transition from laminar convection to thermal turbulence in a rotating fluid layer // J. Fluid Mech., 1969, V. 35, № 3, p. 609.

40. Walker J.S., Witkowski L.M. Linear stability analysis for a rotating cylinder with a rotating magnetic field // Phys. Fluids, 2004, V. 16, № 7, pp. 2294-2298.

41. Horton C.W., Rogers F.T. Convection currents in porous medium 11 J. Appl. Phys., 1945, V. 16, p. 367.

42. Lapwood E.R. Convection of a fluid in a porous medium // Proc. Camb. Phil. Soc., 1948, V. 44, № 4, p. 508.

43. Золотарев П.П. Условия возникновения тепловой конвекции в пористом пласте // Инж. журнал, 1965, Т. 5, № 2, с. 236.

44. Morrison H.L., Rogers F.T. and Horton C.W. Convection currents in porous media, II. Observation of conditions at onset of convection // J. Appl. Phys., 1949, V. 20, № 11, p. 1027.

45. Rogers F.T., Morrison H.L. Convection currents in porous media, III. Extended theory of the critical gradient // J. Appl. Phys., 1950, V. 21, № 11, p. 1177.

46. Rogers F.T., Schilberg L.E. and Morrison H.L. Convection currents in porous media, IV. Remarks on the theory // J. Appl. Phys., 1951, V. 22, № 12, p. 1476.

47. Katto Y., Masuoka T. Criterion for the onset of convective flow in a fluid in a porous medium // Int. J. Heat Mass Transfer, 1967, V. 10, № 3, p. 297.

48. Hart J.E. On sideways diffusive instability. J. Fluid Mech., 1971, V. 49, N2, p. 279-288.

49. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M., Сорокин JI.E. Об устойчивости плоскопараллельного конвективного течения бинарной смеси. ПММ, 1980, Т.44, вып. 5, с.823-830.

50. Hart J.E. Finite amplitude sideways diffusive convection. J. Fluid Mech., 1973, V.59, N1, p. 47-64.

51. Thangam S., Zebib A., Chen C.F. Double diffusive convection in an inclined fluid layer. J. Fluid Mech., 1982, V. 116, p. 363-378.

52. Сорокин Л.Е. О нелинейном конвективном движении бинарной смеси с термодиффузией. Гидродинамическая и конвективная неустойчивость несжимаемой жидкости, Свердловск: УНЦ АН СССР, 1984, с. 19-26.

53. Сорокин Л.Е. Подкритическое конвективное движение бинарной смеси с термодиффузией. Неизотермические течения вязкой жидкости, Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985, с. 19-23.

54. Nield D.A. Onset of thermohaline convection in porous medium. Water Resources Res., 1968, V. 11, p. 553-560.

55. Cooper C.A., Glass R.G. and Tyler S.W. Experimental investigation of the stability boundary for double-diffusive finger convection in a Hele-Shaw cell. Water Resources Res., 1997, V. 33, p.517-526.

56. Cooper C.A., Glass R.G. and Tyler S.W. Effect of buoyancy ratio on the development of double-diffusive finger convection in a Hele-Shaw cell. Water resources Res., 2001, V. 37, p. 2323-2332.

57. Pringle S.E. and Glass R.J. Double-diffusive finger convection: influence of concentration at fixed buoyancy ratio. J. Fluid Mech., 2002, V. 462, p.161-183.

58. Pringle S.E., Glass R.J. and Cooper C.A. Double-diffusive finger convection in a Hele-Shaw cell: An experiment exploring the evolution of concentration fields, length scales and mass transfer. Transport Porous Media, 2002, V. 47, p. 195-214.

59. Taunton J.W., Lightfoot E.N. and Green T. Thermohaline instability and salt fingers in a porous medium. Phys. Fluids, 1972, V. 15, p. 748-753.

60. Green T. Scales for double-diffusive fingering in porous media. Water Resources Res., 1984, V. 20, p. 1225-1229.

61. Imhoff P.T. and Green T. Experimental investigation of double-diffusive groundwater fingers. J. Fluid Mech., 1988, V. 188, p. 363-382.

62. Griffiths R.W. Layered double-diffusion convection in porous media. J. Fluid Mech., 1981, V. 102, p. 221-248.

63. Rudraiah N., Srimani P.K. and Friedriech R. Finite amplitude convection in a two-component fluid saturated porous layer. Int. J. Heat Mass Transfer, 1982, V. 25, p. 715722.

64. Brand H. and Steinberg V. Convective instabilities in binary mixtures in a porous medium. Physica A, 1983, V. 119, p. 327-338.

65. Brand H. and Steinberg V. Nonlinear effects in the convective instability of a binary mixture in porous medium near threshold. Phys. Lett. A, 1983, V. 93, p. 333-336.

66. Brand H.R., Hohenberg P.C. and Steinberg V. Amplitude equation near a policritical point for the convective instability of a binary mixture in a porous medium. Phys. Rev. A, 1983, V. 27, p. 591-594.

67. Knobloch E. Oscillatory convection in binary mixtures. Phys. Rev. A, 1986, V. 34, p. 1538-1549.

68. Rehberg I., Ahlers G. Experimental observation of a codimension-two bifurcation in a binary fluid mixture. Phys. Rev. Lett., 1985, V. 55, p. 500-503.

69. Murray B.T. and Chen C.F. Double-diffusive convection in a porous medium. J. Fluid Mech., 1989, V. 201, p. 147-166.

70. Mamou M., Vasseur P., Bilgen E. and Gobin D. Double-diffussive convection in a shallow porous layer. Heat transfer 1994, Inst.Chem. Engrs, Rugby, vol. 5, pp. 339-344.

71. Mamou M., Vasseur P. Thermosolutal bifurcation phenomena in porous enclosers subject to vertical temperature and concentration gradients. J. Fluid Mech., 1999, V. 395, pp. 6187.

72. Lombardo S., Mulone G. and Straughan B. Nonlinear stability in the Benard problem for a double-diffusive mixture in a porous medium. Math. Meth. Appl. Sci., 2001, V. 24, pp. 1229-1246.

73. Mamou M. Stability analysis of the perturbed rest state and of the finite amplitude steady double-diffusive convection in a shallor porous encloser. Int. J. Heat Mass Transfer, 2003, V. 46, pp. 2263-2277.

74. Mbaye M. and Bilgen E. Subcritical oscillatory instability in porous beds. Int. J. Thermal Sci., 2001, V. 40, pp. 595-602.

75. Mohamad A.A., Rees D.A., Conjugate free convection in a porous medium attached to a wall held at a constant temperature. In Applications of Porous Media (ICAMP 2004), (eds. A.H. Reis and A.F. Miguel), Evora, Portugal, pp. 93-97.

76. Mohamad A.A., Bennacer R. and Azaiez J., Double-diffusion natural convection in a rectangular enclosure filled with binary fluid saturated porous media: the effect of lateral aspect ratio. Phys. Fluids, 2004, V. 16, pp. 184-199.

77. Schoofs S., Spera F.J. and Hansen U., Chaotic thermohaline convection in lowporosity hydrothermal systems. Earth Planet. Sci. Lett., 1999, V. 174, pp. 213-229.

78. Scoofs S., Spera F.J., Transition to chaos and flow dynamics of thermochemical porous medium convection. Transport Porous Media, 2003, V. 50, pp. 179-195.

79. Bourich M., Hasnaoui M., Amahamid A., A scale analysis of thermosolutal convection in a saturated porous enclosure submitted to vertical temperature and horizontal concentration gradients. Energy Conv. Management, 2004, V. 45, pp. 2795-2811.

80. Mahidjiba A., Mamou M. and Vasseur P. Onset of double-diffusion convection in a rectangular porous cavity subject to mixed boundary conditions. Int. J. Heat Mass Transfer, 2000, V. 43, pp. 1505-1522.

81. Lawson M.L., Yang W.J. and Bunditkul S. Theory of thermal stability of binary gas mixtures in porous media. ASME J. Heat Transfer, 1976, V. 98, pp.35-41.

82. Lawson M.L., Yang W.J., Thermal instability of binary gas mixtures in a porous medium. ASME J. Heat transfer, 1975, V. 97, pp.378-381.

83. Benano-Melly L.B., Caltagrirone J.-P., Faissat В., Montel F. and Costeseque P. Modelling Soret coefficient measurement experiments in porous media considering thermal and solutal convection. Int. J. Heat Mass transfer, 2001, V. 44, pp. 1285-1297.

84. Joly F., Vasseur P. and Labrosse G., Soret instability in a vertical Brinkman porous enclosure. Numerical Heat Transfer A, V. 39, pp. 339-359.

85. Sovran O., Charrier-Mojtabi M.C. Mojtabi A., Onset of Soret-driven convection in an infinite porous layer. C.R. Acad. Sci. IIB, V.329, pp. 287-293.

86. Faruque D., Saghir, M.Z., Chacha M. and Ghorayeb K., Compositional variation considering diffusion and convection for a binary mixture in a porous medium. J. Porous Media, 2004, V. 7, pp. 73-91.

87. Jiang C.G., Saghir M.Z. and Kawaji M., Thermo-solutal convection in heregeneous porous media. In Applications of Porous Media (ICAMP 2004), (eds. A.H. Reis and A.F. Miguel), Evora, Portugal, pp. 287-292.

88. Jiang C.G., Saghir M.Z., Kawaji M. and Ghorayeb K., Two-dimensional numerical simulation of thermo-gravitational convection in a vertical porous column filled with a binary mixture // Int. J. Therm., 2004, V. 43, pp. 1057-1065.

89. Saghir M.Z., Jiang C.G., Chacha M., Khawaja M. and Pan S., Thermodiffusion in porous media // Transport phenomena in Porous Media (D.B. Ingham and I Pop), Elsevier, Oxford, 2005, pp. 227-260.

90. Estebe J., Schott J. Concentration saline et cristallisation dans un milieu poreux par effet thremogravitationnel // C.R. Acad. Sci. Paris, 1970, V. 271, pp. 805-807.

91. Bahloul A., Boutana N., and Vasseur P. Double-diffusive and Soret-induced convection in a shallow horizontal porous layer // J. Fluid Mech., 2003, V. 491, p. 325.

92. Boutana N., Bahloul A., Vasseur P., and Joly F. Soret and double diffusive convection in a porous cavity // J. Porous Meida, 2004, V. 7, pp. 41-57.

93. Straughan В., Hutter K. A priori bounds and structural stability for double-diffusive convection incorporating the Soret effect // Proc. Roy. Soc. Lond. A, V. 445, pp. 767-777.

94. D.A. Nield, A. Bejan, "Convection in Porous Media," (Springer, 1983).

95. Avsec D. Sur les formes ondulees des tourbillons en bandes longitudinales // C. R. Acad. Sci. Paris, 1937, V. 204, pp. 167-169.

96. Avsec D., Luntz M. Tourbillons, thermoconvectifs et electroconvectifs // La Meteorologie, 1937, V. 31, pp. 180-194.

97. Benard H., Avsec D. Travaux recents sur les tourbillons cellulaires et les tourbillons en bandes, applications a l'astrophysique et la meteorology// J. Phys. Radium (7), 1938, V. 9, pp. 486-500.

98. Kuettner J. P. Cloud bands in the Earth's atmosphere // Tellus, 1971, V. 23, pp. 404-425.

99. Brown R.A. Longitudinal instabilities and secondary flows in the planetary boundary layer: a review // Rev. Geophys. Space Phys., 1980, V. 18, pp. 683-697.

100. Глухов А.Ф., Путин Г.Ф. О возникновении конвекции на фоне медленного течения // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, 1982, № 1, с. 174-176.

101. Путин Г.Ф. О термоконвективной неустойчивости горизонтальных течений //Докл. АН СССР, 1980, №6, 253, с. 1333-1335.

102. Gage K.S., Reid W.H. The stability of thermally stratified plane Poiseuille flow // J. Fluid Mech., 1968, V. 33, № 1, p. 21-32.

103. R.M. Clever, F.H. Busse "Instabilities of longitudinal rolls in the presence of Poiseuille flow," J. Fluid Mech., 229, 517 (1991).

104. Biichel P., Liicke M. Influence of through flow on binary fluid convection // Phys. Rev. E, 2000, V. 61, № 4, pp. 3793-3810.

105. Prats M. The effect of horizontal fluid flow the thermally induced convection currents in porous medium // Journal of Geophysics Research, V. 71, 1.966, pp. 48354837.

106. N.O. Mohamed, A. Joulin, P.-A. Bois, J.K. Platten, Soret effect and mixed convection in porous media // Lecture Notes in Physics, V. 584, p. 428 (Springer, 2002).

107. Д.В.Любимов, Т.П.Любимова, Е.С.Садилов. Влияние вращающегося магнитного поля на конвекцию в горизонтальном слое жидкости //Изв. РАН, Механика жидкости и газа, 2008, № 2, с. 3-10.

108. Lyubimov D.V., Lyubimova Т.Р., Mojtabi A. and Sadilov E.S. Thermosolutal convection in a horizontal porous layer heated from below in the presence of a horizontal through flow // Phys. Fluids, 2008, V. 20, № 4, pp. 044109-044109-10.

109. Д.В.Любимов, Е.С.Садилов. Влияние быстро вращающегося магнитного поля на конвективные структуры. Гидродинамика, вып. 16, Пермь, ПГУ, 2007, С.161-171.

110. Е.С.Садилов, Д.В.Любимов, А.В.Бурнышева. Возбуждение конвекции в плоском горизонтальном слое при наличии быстро вращающегося магнитного поля // Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», Пермь, 2002, с. 114-115.

111. Е.С.Садилов, Д.В.Любимов, Т.П.Любимова, Ф.Фойдель. Конвекция во вращающемся магнитном поле // Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», Пермь, 2004, с. 85-86.

112. Е.С.Садилов. Влияние прокачки на конвекцию в горизонтальном пористом слое, заполненном бинарной жидкостью, Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», Пермь, 9 декабря, 2006, с.

113. Whitehead J.A. Finite bandwidth, finite amplitude convection // J. Fluid Mech., 1969, V. 38, № 2, pp. 279-304.

114. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M., Непомнящий А. А. Устойчивость конвективных движений. М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1989. 320с.

115. Schliiter A., Lortz D. and Busse F. On the stability of steady finite amplitude convection // J. Fluid Mech., 1965, Y. 23, № 1, pp. 129-144.

116. Eckhaus W. Studies in nonlinear stability theory. Springer-Verlag, New-York, 1965.

117. E. Hairer, S.P. Norsett and G. Wanner Solving ordinary differential equations I. NonstifF problems. 2nd edition. Springer series in computational mathematics, Springer-Verlag, 1993.

118. K. Zhang Spherical Shell Rotating Convection in the Presence of a Toroidal Magnetic Field// Proc. Roy. Soc. Lond., 1995, V. A 448, pp. 245-268.

119. Е.П. Велихов ЖЭТФ, 1959, Т. 9, с. 995.

120. S.A. Balbus, J.F. Hawley A powerful local shear instability in weakly magnetized disks. I. Linear analysis // Astrophys. J., 1991, V. 376, pp. 214-222.

121. А.Ф. Глухов, Д.В. Любимов, Г.Ф. Путин Конвективные движения в пористой среде около порога неустойчивости равновесия // ДАН СССР, 1978, Т. 23, с. 22.

122. А. А. Непомнящий Об устойчивости пространственно-периодических конвективных движений в горизонтальном слое с теплоизолированными границами // Гидродинамика, вып. 9. Пермь: Перм. пед. ин-т, 1976, с. 53-59.

123. Chapman С.J., Proctor M.R.E. Nonlinear Rayleigh-Benard convection between poorly conducting boundaries // J. Fluid mech., 1980, V. 101, pp. 759-782.