Движение идеальнопластических тел малой толщины по осесимметричным поверхностям тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

М/

Лыу Туан Ань

ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ МАЛОЙ ТОЛЩИНЫ ПО ОСЕСИММЕТРИЧНЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

6 НОЯ 2014

Тула 2014

005554575

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

профессор Маркин Алексей Александрович

Официальные оппоненты: Молодцов Игорь Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор, МГУ им. М.В. Ломоносова, профессор

Бодунов Дмитрий Михайлович кандидат физико-математических наук, доцент, Московский государственный машин строительный университет (МАМИ), доцент

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Госуниверситет - УНПК»

г. Орел.

Защита состоится « 09 » декабря 2014г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.271.02 при ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет» по адресу: 300012, г. Тула, пр. Ленина 92. (12105).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет» (http://tsu.tula.ru).

Автореферат разослан «15» октября 2014г.

Ученый секретарь

диссертационного совета . ^ Толоконников Лев Алексеевич

/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы. В современной технике широко используются осесимметричные изделия и элементы конструкций, а также технологические процессы получения осесимметричных оболочек путем обжатия и раздачи. Поэтому возникает необходимость моделирования процессов деформирования несжимаемого жесткопластического тела малой толщины при его движении по осесимметричной поверхности.

В работах Прандтля, Мизеса, Райса были поучены важные результаты, как по основным уравнениям теории пластического течения, так и по методам решения плоской задачи. Исследованию задач установившегося течешм пластических сред посвящены многочисленные публикации зарубежных и отечественных авторов. Следует отметить работы A.A. Ильюшина, И.А. Кийко, В.В Соколовского, О.Д. Григорьева, М.Я. Бровмана.

Задачи осесимметричного течения идеально пластической среды в рамках модели Мизеса и условия полной пластичности рассматривались в статьях О.В. Боницкой, Р.В. Красавина, A.A. Маркина; С.Е. Александрова , Р.В. Гольдштейна; С.Е. Александрова и Г.С. Мишуриса; С.С. Яковлева, О.В. Пилипенко

Свифт Г. построил решение задачи установившегося волочения через коническую матрицу используя переменные Эйлера. В работах В.В. Соколовского приводятся решения установившегося и неустановившегося процессов волочения тонкостенной трубы через коническую матрицу. Решение выполнено без учета трения в рамках теории пластического течения с условием текучести Губера - Мизеса и с линейным условием текучести, предложенным В. Прагером.

A.A. Ильюшиным дана постановка задач установившегося осесимметричного течения жесткопластического материала по поверхностям в эйлеровых координатах при условии текучести Треска.

Представляется актуальным построение моделей, адекватно описывающих как установившиеся, так и неустановившиеся течения по осесимметричным поверхностям при условии текучести Мизеса.

Цель работы. Постановка и разработка методов решения задач течения несжимаемого жесткопластического материала по осесимметричным поверхностям на стадиях неустановившегося и установившегося движения.

Научная новизна. В рамках условия идеальной пластичности Мизеса и ассоциированного с ним закона пластического течения получена система эволюционных разрешающих уравнений, описывающая установившиеся и неустановившиеся движения материала по осесимметричным поверхностям. В отличие от модели A.A. Ильюшина, где используется условие Треска, задача ставится как в эйлеровых, так и в лагранжевых координатах. Решены новые задачи, моделирующие течения по коническим, тороидальным и комбинированным поверхностям.

Теоретическая ценность работы состоит в построении системы уравнений, моделирующих процессы конечного деформирования

жесткопластического материала при его движении по осесимметричной поверхности. В рамках предлагаемой модели показано, что при установившемся течении радиальная координата и толщина тела зависят от угла вида напряженного состояния универсальным, не зависящем от формы опорной поверхности образом. Установлены аналитические, зависимости радиальной координаты и толщины тела от угла вида напряженного состояния.

Практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты можно использовать для моделирования технологических процессов производства осесимметричных изделий. В частности для моделирования процессов обжима и раздачи.

Достоверность полученных результатов обосновывается использованием фундаментальных положений механики деформируемого твердого тела, а также сравнением полученных численных решений с аналитическими решениями.

Апробация работы. Основные результаты по теме данной диссертации были доложены на VII Региональной молодежной научно-практической конференции Тульского государственного университета «Молодежные Инновации», 2012 г; на международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», ТулГУ, Механико-математический факультет, 2014 г; на регулярных семинарах кафедры математического моделирования г. Тула 2012-2014гг.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 печатные работы, 3 из которых в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех основных разделов, заключения, списка литературы. Содержит 108 страниц и 46 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении представлены основные цели диссертационной работы, обосновывается новизна и ценность, приводится краткий анализ работ других исследователей по схожей тематике, а также описывает структура диссертации.

В первой главе выполнена общая постановка задачи равновесного движения деформируемого тела малой толщины по осесимметричной поверхности. Получены основные кинематические характеристики для данной задачи. Закон движения материальной поверхности вдоль неподвижной S = S(S0,t), устанавливает соответствие между начальным положением материальных точек на неподвижной поверхности —Sa и текущим положением этих же точек -5 на данной поверхности.

Рассматривается движение тела вращения малой толщины по неподвижной поверхности. В качестве координат начального положения материальных точек используются длина дуги - Sa вдоль меридиана, угол -

(ра и длина прямой - отсчитываемая вдоль вектора нормали к поверхности в начальном состоянии а}. Закон движения точек тела задается в виде связи между начальными S0,£0 и текущими координатами материальных

точек. В результате положение точек тела в момент t определится выражением

iS)x(S,Z,<p,t) = x(S0,<p0,t) + Z(Z0,t)T3 (1)

Распределение поля скоростей с учетом обобщенной гипотезы Кирхгоффа-Лява принимает вид

= + (2)

Выражения тензор-градиента скоростей и тензора деформации скорости имеют следующий вид:

{ dS р) {р dS)

+-{Vlcosa-Visina)e(peg> (3)

W = -^ jf,f, + Щ3 (S)r3f3 + (P¡ cosa-V3 sin a)e,e„ (4)

Из принципа Журдена получены вариационная и дифференциальная

формы равновесия

№ Id, ,\h п

Рх н---('"сгц") — cr22cosa = 0

rdS г (5)

_<»> h h . п Р, + сги—h—a22sina = 0

Р г

Во второй главе рассмотрена постановка и решение задач в рамках модели идеально пластического материала. В отличие от системы уравнений, полученной А.А. Ильюшиным при условии пластичности Треска, используется условие Мизеса. При этом связь между девиатором тензора истинных напряжений - а и тензором деформации скорости принимает вид

<Т — Гттт (6)

И

Закон пластического течения (6) дополняется условием несжимаемости

Wu+W22+W3}=0 (7)

В соответствии с условием пластичности Мизеса выполняется требование

T = T{S)= const (8)

Главные значения тензора напряжений представляются через естественные инварианты -гидростатическое напряжение; г-интенсивность девиатора напряжений; у-угол вида напряженного состояния

В случае плоского напряженного состояния при <т33 = О компоненты напряжений выражаются через угол вида напряженного состояния. В результате из условий (6) и (9) получим выражения компонент тензора деформации скорости

Щ^Жсояу, Ща=ТГса*(у + 1?-1; №33 = Шсо*\ у + ^1 (10)

V з у " К з

17. . i л

где W-

Компоненты тензора деформации скорости при контакте материала с опорной поверхностью выражаются через скорость F¡ по формулам

^-—r,-, w„=-к-ъ. с")

Приведём полную систему уравнений, моделирующую движение

осесимметричного тела по поверхности в эйлеровых координатах.

Уравнение, определяющее закон изменения скорости

cosair dV¡ f 2яЛ .

—— Vlcosy = -^cos\ У + —\ (12>

Уравнение, определяющее закон изменения толщины Выражения компонента тензора напряжений

<7П = S<T{S) Sin (V + у) = [r+T

<j21 = -л/з<y{s) sin y — -л/2г(5) sin y (14)

Oij=0

Уравнения равновесия

(0) 18(hrau) h n

P;> +—--——eos a<r72 = 0 (15)

r dS r

p(°) + 4-sinaaи =0 (15)'

P r

Уравнение, определяющее закон движения

В третьей главе рассмотрены установившиеся течения, неизвестные функции, входящие в систему уравнений (12) - (16), зависят только от

6

текущей координаты - Я и не зависят от времени, поэтому закон изменения толщины имеет следующий вид:

dlnh dS

dV. eos а т,

—L +-V,

dS г

(17)

é'а

dS

Рассмотрим случай отсутствия трения, когда /' =0. Учитывая, что = cosa, из уравнений (14), (15) и (17) получим 2

Я

eos у

2л-V . ( 2яЛ dr

--dsw у л--= —

3 } Г 3 ) г

2£ " 3

(18)

имеет следующее (19)

Уравнение (18) с граничным условием у1 = решение:

г ( 1 ( 2яЛ 1 . ( 2я

Таким образом, при установившемся течении радиальная координата движущегося по осесимметричной поверхности тела зависит от угла вида напряженного состояния универсальным, независимым от формы опорной поверхности образом.

Из (14) находим зависимость безразмерных напряжений <тп и а22 от

радиальной координаты,.

= exp{^jJyarcsin (ó-u ) + ^ sin (laresin (ст,,))

г

— = ехр г,

1 ( ■ t - \ 2я" 1 • ( о ■ i -

-j=\--arcsin (а22 ) + - + -sin j^-2 arcsin [cr22 ) + —

где сги =

\¡2TV

Используя формулы (17) и (19) получим универсальную зависимость толщины от угла вида напряженного состояния при граничном условии 2я-

г . . +

2 у— у--—

6

(20)

К

-ехр

1

гТз

(21)

Использование универсальных связей напряженного состояния и радиальной координаты в виде (19), (20) позволяет находить распределение напряжений при установившемся течении по различным осесимметричным поверхностям. При этом уравнение поверхности задается в форме зависимости г = г(5). Аналогичным образом из связей (19) и (21) можно найти зависимости угла вида напряженного состояния / = /(5) и закон изменения толщины от дуговой координаты Н = А (5). Из условия равновесия

(15)' находим распределение давления на заготовку со стороны матрицы P3=P3(S) .

Построена модель раздачи цилиндрической заготовки в процессе установившегося движения по комбинированной поверхности. Течение материала имеет вид показанный на рис. 1, процесс деформации тела проходит 3 фаза:

Я Я

1. Деформация по поверхности тора, при этом Л = const,->«, > —,

О<S<Sit r = OA-p,cos^-.

А

2. Деформация по конической поверхности, при этом «2 = const, Si<S<S2, r = OB+S2.cosa2.

я я

3. Деформация по поверхности тора, при этом Р3 = const, — > аъ > —, S1<S<SJ,r = OC + p2sina3.

На рис. 2-4 представлены зависимости характеристик напряжено-деформированного состояния от дуговой координаты при установившемся течении по комбинированной поверхности по схеме показанной на рис. 1:

a uuuu t u и и и г u u u и > и м м

Рис. 2 График зависимости угла У от дуговой координаты S

ои<мим11лиии1иыии»иим

5

Рис. 3 График зависимости толщины Ь от дуговой координаты Б о и ы и м 1 и и и и а и и и и а и и и

Л"»

Рис. 4 График зависимости давления Р> от дуговой координаты Б

В четвертой главе рассматривается процесс неустановившегося движения тонкого тела по конической поверхности. Построенная модель даёт возможность определить изменения формы и напряженного состояния при нестационарных равновесных движениях, когда характеристики напряженного состояния в фиксированных точках пространства наблюдателя изменяются со «времени». Под «временем» понимается любой монотонно возрастающий параметр. В частности, в качестве «времени» используется относительная длина пути, проходимая нижним торцом заготовки.

Система уравнений, описывающая течение по конической поверхности, приведена к пяти безразмерным разрешающим дифференциальным уравнениям

ду дх

Бту

со£

dV = Ay дх S

( 2к

1у+т

cosy

1 , 1 dh\

—я+— kg

S hdxJ

r+-

2 л

С05 у +

2n

hdV h

--+—V

X дх S

dh дт dV_=dA дх дт

(22)

(23)

(24)

(25)

которые включают следующие неизвестные функции «времени» -г и лагранжевой координаты : закон движения -5"(х,г) ; распределение «скоростей» -У(х,г); удлинение меридионального волокна -Л(х,т); угол вида напряженного состояния -у (х, т); толщину тела ~к(х,т).

Получена аналитическая зависимость лагранжевой координаты от угла вида напряженного состояния в начальный момент «времени».

г

2

ехр

4ъ(

-1

(27)

С помощью данной зависимости устанавливается распределение начальной «скорости» вдоль дуговой координаты.

Использование явной и неявной схем дикретизации по дуговой и «временной» координатам позволило свести исходную систему к системе квазилинейных уравнений относительно узловых значений искомых функций. Получены численные решения задач, моделирующие неустановившиеся стадии процессов раздачи и обжатия по конической матрице.

Рассмотрен процесс неустановившегося течения по внешней коническои поверхности (раздача).

Рис.5 Течение материала по внешней поверхности конуса Конечная дискретная форма уравнений и граничные условия принимают следующий вид:

-Уи-А* «"П.»-1

Гк-М ~ Ук-ЧА '

2 я

П-1.о=-|." + й^ = й0 = сош!; >гка = к,,; = Л(,„/ (28)

.. „ 2А„

к-и+1 - Гк-и-1 - 7 2я)

Гу-и +

3 ^

= 1.- 4» = 1; = дх./ + а 10

[50;=Ахл+а

1 Дг

+ ^-и-О

2 Ах

К/ =К-и -К-,АТ

К) = К~ СОПЯ*

V -V 2Л*,Ах

у

(31)

(32)

Решение строится на последовательности шагав по «времени». Для построения решения в начальный момент принимаем А = 1, определяем последовательно уй1 для / = 1,2,..,и. Зная у01 определяем узловые значения скорости К0>, при £ = 1. Определив Уй) переходим к определению 5и; йи; Л,,.. После определения 5и; А,.; Л,,. полагаем к = 2 и переходим снова к решению уравнений (28) и (29), а затем к (30), (31) и (32). Далее цикл продолжается до заданного к — т момента «времени».

Сравним распределение угла вида в начальный момент, получаемое дискретным методом с аналитическим решением по формуле (27). Из зависимостей, приведенных на рис. 6, следует, что результаты, полученные приближенным методом практически совпадают с аналитическим решением и не зависят от значения а.

I и 1.М' I и 11 I «7 1751 I I

1075 1« 104 и 1Ш 1.15 1175 II I 1.75 1271 и

Рис. 6 Зависимости уо (х) для различных значений а при различных Аг X. - при дискретном методе; XI - при аналитическом методе На рис. 7-10 показана эволюция распределении характеристик напряженного состояния в процессе раздачи.

-1.956-1-972 ■ -1-985--2ММ-то,1 -2 02-2-034 --205: --2 065 -2 084

0 0.102 0.30.40.5 0.60.7 0.10.9 1

' 0 010-2030*0.50.60.70109 1

0 010.20-30 4050 60 7 0.80.9 1

Рис. 8 Закон изменения толщины заготовки при различных шагах по «времени»

0.2: ол

0.1:

с11о,(0.12: 0.1 о.о': оо: 0.02:

сИэд.О.!: О.

7 У

/

/

/

/

О 0.10.20.30.40.30.®.70.80.9 I 14

О 0.10.20.30.40.50.60.70.80.9 1 »1

у

/

/

/

/

/

О 0.102030.40.50.60.70.80.9 1 Ч

Рис. 9 Закон изменения стп при различных шагах по «времени»

г

/

✓

/ /

у

У

з/

О 0.10.20.30.40.50.60.70.80.9 1

О 0.10.20.3 0.40.5 0.60.7 0.8 0.9 1

/

О 0.10.20.30.40,50.60.70.В0.9 1

Рис. 10 Закон изменения <У22 при различных шагах по «времени»

-0.019 -0.0197

-0.020 -0.0207 -002 -0.021: -0021

/

/

1 /

л Г

г

/

/

-0.0182: -0.018: -0.0187: -0.01! P52M.I-0.0192 -0.019: -00197:

-о.о; -00202: -0.0205

- 4/

-7 ?

--А

*-

-Ю.0169 -0.0171 Р4м<и -0.01 -0.0174 -0.0176 -0.0178

О 0.1020.30.40.50.60.70.80.9 I

-0.0181

/

у

/

/

/ г

г V

/

/

У

О О 10.20.30.40.50.Ш.70.80.9 1

О 0.10.20.30.40.30.60.70.80.9 1 Ч

Из графиков, показанных на рис. 8 следует, что толщина заготовки с ростом «времени» уменьшается, причем толщина верхнего торца уменьшается больше чем нижнего.

Из графиков, показанных на рис.9 и рис. 10 следуют, что напряжения сги и а21 растягивающие. При этом, с ростом «времени» они изменяются незначительно.

Из графиков, показанных на рис.11 следует, что с ростом «времени» нормальное давление увеличивается, причём в окрестности нижнего торца больше чем в окрестности верхнего торца.

Определены характеристики напряженного и деформированного состояния заготовки в процесс её обжатия при движении по внутренней конической матрице.

Рис.12 Течение материала по внутренней поверхности конуса

Постановка данной задачи аналогична приведенной в разделе 4.1, только в этом случае тело течет в противоположном направлении по внутренней поверхности конуса. В начальный момент, нижний торец движется со скоростью К,, а верхний торец свободен. Переменная х изменяется в положительном направлении от 0 (координата точки В) до 1 (координата точки А). Безразмерная скорость определяется по формуле

(33)

Граничное условие для скорости:

^=-1 (34)

Компоненты напряженно-деформированного состояния изображаются вдоль отрицательного направления. Пусть Х = \-х, тогда в точке А переменная х имеет значение х = 1, а переменная X имеет значение Х = 0.

На рис. 14-17 показана эволюция распределении характеристик напряженного состояния в процессе обжима.

I 13, 1.121 III:

1.103

1.085 " 107« 1.0« 1.058 1.049

\

V

Ч

ч

ч

ч

ч

ч,

ч

0 0.1020.30.40.50.«0.70.80.9 1

114,

из 1.1: 1-11 и

Г 230,11.09 1.03 1.07 1.0< 1.05 104

V

V

ч

ч

N

ч.

Ч

ч

ч

ч

ч,

О 0.1020.30.40.50.«0.70.!0.9 I

X,

О 0-10-20.30.40.50.60.70.80.9 1

Рис. 13 Закон изменения угла вида при различных шагах по «времени»

0.0500% 0.05004 0.05003 0.05002 0.05001 Ьо,| 0.05 0.04999 0.0499! 0.019«: 0.0499« 0.04995

0.0557: Ь 250,1 0.055«:

О О. I02 0.30.40.50 i0-70.80.9 1

0.0553 0.055:

/

/

/

/

/ /

А

V

огак: 0.081: Ьюоо,10.0807:

О 0.10.20.30 40.50.Ю.70.80.9 1

0.0789: 0.078:

/

/

/

А

/

/

/

О 0.1020.30.40.50.60.70.80.9 1

Рис. 14 Закон изменения толщины заготовки при различных шагах по «времени»

-0.012 -0024 -003« -0.048 о11о,1 -0.0« -0.072 —0.084

-0.108 -0.1:

О 0.10.20.30.40.50.60.70,80.9 1

X.

О

-0.012 -0.024 -0.03« —0.(М8 "11230,1 -0-06 -0.072 -0.084 -0.09« -0.108 -012

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

О 0.10.20.30.40.50.60.70.80.9 1

X,

-0.014 -0.028 -0.042 -0.056 «111000,1 -0.07 -0.084

-он: -0.|2<

/

/

/

/

/

/

/

/

О 0.10.20.30.40.50.60-70.80.9 1

X,

Рис. 15 Закон изменения напряжения ст,, при различных шагах по «времени»

Л

у-

-1.22< -1.23: -1.231 —1.24*

о22цо,{ -1.2:

—1.25( -1.26:

О 0.10.20.40.50.60.70.ВО.9 1 X,

/

/

Г

/ >

/

/

О 0.10.20.Э0.40.50.6 Х(

/

/

/

г

/

/

О 0.10.20-30.40.50.60.70.80.9 1 X,

ооюбз

0.0105«

/

/

/

/

/

/

г

0.012« 0.0127]

оош:

0.0125:

Р31Я.1 0.0123

/

/

/

/

/

г

/

г

О 0.1020.30.40.50.60.70.80.5 1

X.

0.025 0.02465 0.0243 0.02395 0.0238

/

/

/

*

/ /

/

О 0.1020J0.40.50.fi0.70.805 1 X,

О 0.10.2030.40.50.60-70.10.9 I

X,

Рис. 17 Закон изменения нормального давления при различных шагах по «времени»

Из графиков, показанных на рис. 14 следует, что толщина заготовки с ростом «времени» увеличивается, причем толщина верхнего торца увеличивается больше чем нижнего.

Из графиков, показанных на рис.15 и рис. 16 следуют, что напряжения <тп и сг22 сжимающие. При этом, с ростом «времени» они изменяются незначительно.

Из графиков, показанных на рис.17 следует, что с ростом «времени» нормальное давление увеличивается, причём в окрестности нижнего торца меньше чем в окрестности верхнего торца.

Основные результаты и выводы

1. В рамках условия идеальной пластичности Мизеса и ассоциированного с ним закона пластического течения получена система эволюционных разрешающих уравнений, описывающих установившиеся и неустановившиеся движения тела малой толщины по осесимметричной поверхности.

2. Показано, что при установившемся течении радиальная координата и толщина движущегося по осесимметричной поверхности тела зависят от угла вида напряженного состояния универсальным, не зависящем от формы опорной поверхности образом. Установлены аналитические зависимости радиальной координаты и толщины тела от угла вида напряженного состояния.

3. Получены аналитические зависимости дуговой координаты от угла вида напряженного состояния и от толщины тела для течений по внутренней и внешней поверхностям тора, а также по конической и комбинированной поверхностям. Путем обращения данных зависимостей построены графики изменения давления на тело со стороны опорной поверхности и зависимости толщины тела от дуговой координаты.

4. Система уравнений течения по конической поверхности в лагранжевых координатах приведена к системе пяти безразмерных разрешающих дифференциальных уравнений, которые включают следующие

неизвестные функции «времени» и координаты: закон движения; распределение «скоростей»; удлинение меридионального волокна; угол вида напряженного состояния; изменение толщины тела.

5. Получена аналитическая зависимость лагранжевой координаты от угла вида напряженного состояния в начальный момент «времени». С помощью данной зависимости устанавливается распределение начальной «скорости» вдоль дуговой координаты.

6. Путём использования явной и неявной схем дискретизации по дуговой и «временной» координатам задача неустановившегося течения сведена к системе квазилинейных уравнений относительно узловых значений искомых функций. Получены численные решения задач, моделирующих неустановившиеся стадии процессов раздачи и обжатия по конической матрице.

Публикации по теме диссертации

1. Маркин A.A., Лыу туан Ань. Движение тонкого жесткопластического тела по поверхности с осевой симметрией. // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2012. Вып. 3. С. 93-101.

2. Маркин A.A., Лыу туан Ань. Движение тонкого жесткопластического тела по конической и тороидальной поверхностям. // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 154-165.

3. Маркин A.A., Лыу туан Ань. Нестационарное течение жёсткопластического осесимметричноно тела по конической поверхности. // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 164-173.

4. Маркин A.A., Лыу туан Ань. Движение идеальнопластических тела малой толщины по осесимметричным поверхностям // материалы междунар. научн. конф. «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. С. 311-312.

Изд.лиц.ЛР № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать 08.10.14

Формат бумаги 60x84 у . Бумаги офсетная. /16

Усл.печл. 0,9 Уч.издл0,8 Тираж ЮОэкз. Заказ 122 Тульский государственный университет. 300012, г. Тула, проспЛенина, 92. Отпечатано в Издательстве ТулГУ. 300012, г. Тула, проспЛенина, 95.