Движение шагающего аппарата по внутренней поверхности гладкого горизонтального цилиндра тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

ДВИЖЕНИЕ ШАГАЮЩЕГО АППАРАТА ПО ВНУТРЕННЕЙ ПОВЕРХНОСТИ ГЛАДКОГО ГОРИЗОНТАЛЬНОГО ЦИЛИНДРА

Специальность 01.02.01 — теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

V Б ой

;анико-математический факультет

УДК 531.8

Мелкумова Елена Вадимовна

Москва — 1998

Работа выполнена на кафедре теоретической механики механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

доктор физико-математических наук;, профессор Ю.Ф. Голубев

— доктор физико-математических наук, профессор Е.А. Деиянин

— доктор физико-математических наук В.Е. Павловский

— Институт проблем механики РАН

Защита диссертации состоится " " 1998 г. в

16 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 053.05.01 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва. Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан " í-i- " кс-мь-гл. 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 053.05.01 при МГУ, доктор физико-математических наук,

профессор Д.В. Трещев

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущая организация

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению условий неопрокидывания шагающего аппарата на внутренней поверхности гладкого горизонтального цилиндра при движении аппарата вдоль оси цилиндра и при опоре аппарата на две произвольно расположенные в пространстве плоскости. Для указанных опорных поверхностей рассматривается задача о дозировании усилий. Проведенное исследование может быть использовано при построении статически устойчивых походок по цилиндру. Тема актуальна в связи с возможностью практических приложений результатов диссертации при разработке роботов, предназначенных для движения но сложной поверхности, а так же для инспекции и очистки трубопроводов.

Целью работы является анализ условий неопрокидывания шагающего аппарата для разработки простых критериев выбора опорных многоугольников при построении статически устойчивых походок аппарата на внутренней поверхности горизонтального цилиндра и на двух плоскостях.

Научная новизна диссертации состоит в разработке геометрических критериев анализа статической устойчивости походок шагающих аппаратов па внутренней поверхности горизонтального цилиндра и на двух плоскостях, в кинематическом анализе проскальзываний фиксированных относительно корпуса точек опоры шагающего аппарата вдоль поверхности гладкого цилиндра, а так же в анализе кинематики и динамики простейших движений шагающего аппарата не приводящих к опрокидыванию.

Методы исследования. В работе развиты и практически использованы методы геометрического анализа уравнений сгатики с ограничениями на направления реакций, применительно к шагающим аппаратам с произвольным числом точек опоры.

Теоретическая и практическая ценность. Разработан геометрический критерий, позволяющий по конфигурации шагающего аппарата и расположению точек опоры на поверхности цилиндра и на двух произвольных плоскостях оперативно судить о статической устойчивости аппарата и формировать статически устойчивые походки.

Апробация диссертации. Результаты, полученные а диссертации, докладывались па семинарах МГУ "Механика и управление движением роботов" (руководители академик РАН Д.Е. Охоцимский и профессор Ю.Ф. Голубев), "Динамика относительного движения" (руководители член корр. РАН В.В. Белецкий и профессор Ю.Ф. Голубев), на семинаре института Проблем механики РАН (руководитель семинара академик РАН Ф.Л. Черноусько), на XVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. .Ломоносова, на заседании кафедры теоретической механики механико-математического факультета МГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликованы три работы и одна статья сдана в печать. Список работ автора приводится в конце реферата.

Структура диссертации. Диссертация состой]' из введения и четырех глав, разбитых на параграфы. Список литературы содержит 53 наименования. Общий объем диссертации составляет 108 страниц.

Содержание диссертации

Во введении дан краткий обзор литературы по изучаемой теме, излагается постановка задач и формулируются полученные результаты.

В первой главе получены общие условия неопрокидывания шагающего аппарата в цилиндре. В § 1.1 формулируется задача. Рассматривается равномерное и прямолинейное движение шагающего аппарата в режиме квазистатики но гладкому цилиндру.

С цилиндром связывается дек ар то и а система координат Oxyz: плоскость Oxz содержит центр масс аппарата, точка О — пересечение оси цилиндра с этой плоскостью; ось Оу направлена по оси цилиндра, а ось О z вертикальна.

Справедливы уравнения:

¿N, = -P, ¿r,-.xN¡ = 0, (1)

«=i »=1

где N; — нормальные составляющие реакций в опорных точках, Р — вес шагающего аппарата, г,- = (x¡, у,, z¡) — радиусы - векторы, проведенные из центра масс аппарата в точки опоры.

В том случае, когда поверхность есть неудерживающая связь, имеются дополнительные ограничения на направления нормальных составляющих реакций N¿:

Лг,- > 0, i = l,....n, (2)

где Ni = //¿-Nj-. V{ внутренняя нормаль к поверхности цилиндра в ¿-той точке опоры.

Для статической устойчивости шагающего аппарата на гладкой цилиндрической поверхности необходимо, чтобы центр маге принадлежал вертикальной продольной плоскости симметрии цилиндра. В дальнейшем это условие предполагается выполненным. Система (1) приводится к виду:

п п

N¡ eos ip¡ = р, si" Л = о,

{=1 ¿=i

(3)

n n

E ViNicos Vi =0, £ ViNi srn = 0, «=i ¡=r

где <pi - углы, между отрицательным направлением оси Oz и направлением на i - тую точку опоры из начала координат: JV; = |N¡¡; р = |Р|.

Система (3) состоит не из трех, как в случае движения по опорной плоскости, а из четырех независимых уравнений для п неизвестных модулей реакций. Поэтому, например, для аппарата с числом точек опоры не более трех это система — переопределенная. А если в опоре имеется четыре ноги, то число неизвестных реакций совпадает с числом уравнений.

Рассматривается система координат Ох'у' г'. повернутая относительно системы Ох])г на угол (р*. Получены геометрические условия нарушения равновесия аппарата. Например,

1. Статическая устойчивость аппарата нарушается, если существует плоскость Ох'у', такая что все опорные точки расположены по одну сторону от этой плоскости, причем ортогональные проекции точек опоры па эту плоскость находятся по одну сторону от прямой Ох', исключая границу.

2. Статическая устойчивость аппарата нарушается,'если существует плоскость Ох'у', такая что ортогональные проекции точек опоры на эту плоскость расположены п разных квадрантах.

Замечено, что в цилиндре положения равновесия неравноценны, в смысле возможности смещения из них центра масс аппарата при сохранении свойства статической устойчивости при фиксированных точках опоры.

Определение 1. Положение равновесия называется изолированным, если из него невозможно смещение аппарата без нарушения статической устойчивости при фиксированных точках опоры.

Определение 2. Множество положений равновесия называется связным, если при фиксированных точках опоры существует непрерывное смещение аппарата с конфигурациями лишь из этого множества.

В § 1,2, 1.3 изучается равновесие аппарата, имеющего в опоре не более четырех ног и приводится классификация всех положений равновесия.

с

Перечислим результаты, полученные для аппарата с тремя точками 15 опоре.

Утверждение 1. Положение равновесия, для которого ни одна из точек опоры не принадлежит вертикальной продольной плоскости симметрии цилиндра, является изолированным.

Установлено, что множество положений равновесия, для которых одна точка опоры расположена в вертикальной продольной плоскости симметрии цилиндра, а две другие имеют одинаковые ординаты является связным.

Пример изолированного положения равновесия доставляет конфигурация, для которой одна точка опоры расположена в вертикальной плоскости перпендикулярной оси цилиндра и содержащей центр масс аппарата, а две другие имеют одинаковые абсциссы.

Во второй главе получены условия неопрокидывания шагающего аппарата, опирающегося на две гладкие плоскости.,

Утверждение 2. Пусть имеются две горизонтальные параллельные опорные плоскости. И пусть центры реакций К" и центр масс аппарата С принадлежат одной и той-же вертикальной плоскости Су г (ось Су горизонтальна и направлена так, что у - координаты центров реакций Щ > Щ). Уравнения равновесия имеют решении Л7) > 0. г =

1.....п тогда и только тогда, когда при Щ > выполнено Щ > 0, а

при Щ — Щ выполнено Щ = 0, где

№ = £ > 0, N° = Е ^ >0; 11" = т^ £ ЛГ,Т,-, К11 = £ ^г,-,

¿=1 ¡=¿+1 ¡=1 -х ¿=¿-+1

причем суммирования выполняются но точкам опоры на нижней (Лгн) и на верхней (Лгв) плоскостях.

Пусть имеются две пересекающиеся плоскости и линия их пересечения горизонтальна (вершина двугранного угла ориентирована вниз).

Для существования решения уравнений равновесия необходимо, чтобы центр масс и центры реакций находились в одной вертикальной плоскости, перпендикулярной оси двугранного угла, образованного этими плоскостями.

В третьей главе выполнен 1шнематический анализ движений аппарата на поверхности цилиндра, при фиксированных относительно корпуса точках опоры.

В § 3.1 исследуется структура малых смещений центра масс из изолированного положения равновесия. Установлено, что при малом смещении центра масс из изолированного положения равновесия точки опоры начнут скользить вдоль поверхности цилиндра таким образом, чтобы аппарат перешел в конфигурацию, соответствующую множеству связных положений равновесия.

В § 3.2 исследуются возможные перемещения при опоре о поверхность цилиндра аппарата с фиксированными точками опоры относительно корпуса.

Показано, что для трехногого аппарата с центром масс па неподвижной вертикальной оси, пересекающей ось цилиндра, пе существует крутильных колебаний с вертикальной винтовой осью.

В § 3.3 проводится кинематический анализ движения при условии, что центр масс аппарата расположен на вертикальной оси. Предполагается, что точки опоры образуют равносторонний треугольник. Центр масс аппарата расположен в плоскости опорного треугольника, на пересечении медиан. В этом случае имеются пять уравнений связей:

(yi - Уг? - 2В1сон{^ - - а1 - 2К1, (2/1 - Vif - 2iî2cos(^, - щ) = - 2В1, (У-2 - Уз)2 - 2В2 cos(№ - 92) = п2 - 2В2,

sm <fiî -f sm^2 4- sm 933 = О, 2/1 + Vi + № — О, zc — cos <pi 4- cos ¡p¡ + cos 9З3. Шестое уравнение системы 4 выражает аппликату центра масс аппарата через параметры системы.

Параметры системы выражены через высоту центра масс аппарата. Полученные выражения позволяют оценить зависимость интервала изменения высоты ze в зависимости от конструктивных параметров аппарата и цилиндра.

В главе 4 выводятся уравнения скольжения шагающего аппарата вдоль поверхности цилиндра при фиксированных точках опоры относительно корпуса. Подвижные оси CÇrjÇ свяжем с аппаратом. Скольжение аппарата описывается уравнениями движения абсолютно твердого тела:

п

тхс = - Ni sin<p,\ + rrAC - В) — -Цс.

!=1

уе = о, B<j + rp(A~C) = M,r (5)

71

rnzc -= Y, Ni cos '-Pi - m9-. Ci- +pq{B - .4) = .!/<;.

¡=1

где m — масса аппарата; g — ускорение свободного падения; гг = (xc,yc,zc) — точка С в репере Oxyz\ реакции _V¡ и уг.ты введены в главе 1; А, В, С — главные моменты инерции, (р, q, г) — вектор угловой скорости о>, (Mç,Mv, Mç) — вектор E"=i r¿ xN¿, записанные в репере CÇrçC-

В § 4.2 изучены вращения аппарата вокруг оси цилиндра как твердого тела. Задача заключается в нахождении конфигураций и соответствующих им распределений реакций, при которых аппарат во время движения не покидает связь. Путем преобразования системы (5) п специальной за-

мены удалось свести указанную задачу к задаче об условиях равновесия аппарата, решенную в первой части работы.

Основные результаты диссертации

Решение задачи о статической устойчивости аппарата на поверхности гладкого горизонтального цилиндра показало большое разнообразие случаев, которые необходимо анализировать каждый в отдельности.

1. Оказалось, что существуют изолированные положения равновесия, даже если опорный многоугольник не вырождается. Такая особенность принципиально отличает задачу о распределении реакций в цилиндре от задачи распределения реакций на горизонтальной плоскости.

2. Для того, чтобы множество положений равновесия было связным (что обеспечивает возможность комфортабельного квазистационарного перемещения) необходимо специальным образом выбирать опорные точки, так чтобы одна из них находилась на нижней образующей цилиндра.

3. Другие опорные многоугольники могут соответствовать только изолированным положениям равновесия.

4. Исследованы дополнительные возможности распределения реакций, препятствующего опрохшдываниго при движении шагающего аппарата между двумя горизонтальными гладкими опорными плоскостями, для тех случаев, когда проекция центра масс аппарата выходит за пределы любого из опорных многоугольников на каждой из плоскостей. Разработан метод распределения реакций позволяющий использовать такие возможности.

5. Выполнен анализ структуры возможных перемещений вдоль поверхности цилиндра аппарата при фиксированных относительно корпуса точках опоры. Установлено, что

- при смещении центра масс из изолированных положений равновесия аппарат начинает скользить таким образом, чтобы приблизиться к множеству связных положений равновесия:

- если центр масс аппарата принадлежит вертикальной оси, пересекающей ось цилиндра, то вертикальное направление винтовой оси отсутствует.

Получены формулы, связывающие смещение центра масс по вертикали со скольжением точек опоры по поверхности цилиндра.

б. При специальном выборе точек опоры, и если центр масс шагающего аппарата не принадлежит вертикальной плоскости, содержащей ось цилиндра, движение аппарата может представлять собой колебания физического маятника. При этом опорные точки остаются на поверхности цилиндра. Получены условия неонрокидыванмя при вращении аппарата вокруг оси цилиндра с сохранением точек опоры на его поверхности.

Список работ автора по теме диссертации

1. Голубев Ю.Ф., Мелкумова Е.В. Критерии статической устойчивости шагающего аппарата на внутренней поверхности горизонтального цилиндра. Сборник трудов международного научного конгресса студентов, аспирантов и молодых ученых "Молодежь и наука - третье тысячелетне", т.1. М.:НТА "Актуальные проблемы фундаментальных наук", 1997, г.75-77.

2. Голубев Ю.Ф.. Мелкумова Е.В. Об условиях статической устойчивости шагающего аппарата в цилиндре. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, препринт N G7, 1997, 27 с.

3. Golubcv Yu.F., Melkumova E.V. Force Distribution of a Walker on the Inner Surface of a Smooth Tube. Autonomous Walkiiig'98. Fraunhofer IFF-Work shop. FR.G, Magdeburg, proc., 199S. c.75-81.

4. Голубев Ю.Ф., Мелкумова Е.В. Условия статической устойчивости шагающего аппарата в горизонтальном цилиндре и на двух плоскостях. Известия академии наук. Теория и системы управления. 1998. (Статья сдана в печать.)

Подписано в печать ä- JO98. Условных печатных листов 0.7

Отпечатано в фото-множительной мастерской Геологического ф-та МГУ.

Тираж 50 экз. Заказ № 100