Движение тела с выпуклым опорным контуром по некоторым вогнутым поверхностям тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

На правах рукописи

КОРНЕЕВ СЕРГЕЙ ПАВЛОВИЧ

ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА С ВЫПУКЛЫМ ОПОРНЫМ КОНТУРОМ ПО НЕКОТОРЫМ ВОГНУТЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ

Специальность 01.02.06-Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

11 ПАР 2015

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Тула 2015

005560361

005560361

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении высшего профессионального образования «Тульский государственный университет».

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Смирнов Юрий Павлович

Официальные оппоненты: Чернышев Владимир Иванович

доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Государственный университет-УНПК», г. Орел, профессор кафедры «Мехатроника и международный инжиниринг»

Лепешкин Александр Роальдович

доктор технических наук,

старший научный сотрудник

ФГУП «Центральный институт авиационного

моторостроения им. П.И. Баранова» г. Москва, начальник сектора

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный

технический университет им. Гагарина Ю.А.»

Защита состоится «14» апреля 2015 г. в 16:00 часов на заседании диссертационного совета Д.212.271.02 при Тульском государственном университете по адресу: 300012, г. Тула, пр. Ленина, 92 (12-105)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет» и на сайте ТулГУ по адресу:

http://tsu.tula.ru/science/dissertation/diss-212-271-02/komeev-sp

Автореферат разослан «20» февраля 2015 г.

Ученый секретарь -__- Толоконников

диссертационного совета Лев Алексеевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Создание и внедрение наиболее совершенного технологического оборудования и повышение его производительности требует новых научных исследований. В свете этого предлагаемая работа представляется актуальной, поскольку она направлена на повышение производительности труда.

В настоящее время широкое применение нашли автоматические роторные линии, важной составной частью которых являются транспортные и загрузочные устройства. При этом в производстве взрывателей, например, необходимо исключить их соударения при перемещении по технологическим транспортным устройствам, а при производстве чувствительной приборной аппаратуры требуется исключить превышение предельно допустимых перегрузок при транспортировке. Подобные задачи невозможно решить без учета геометрии масс предмета обработки.

Процессы транспортирования и ориентирования сложны для описания ввиду бесконечного разнообразия геометрических форм, размеров и масс транспортируемых объектов. В известных работах названные факторы не учитываются ввиду того, что предмет обработки представляется в виде материальной точки, что серьезно упрощает математическое моделирование, но отрицательно сказывается на точности полученных результатов. Также, насколько нам известно, подобные задачи не решались и в работах классиков механики.

Существует класс предметов обработки с выпуклым опорным контуром, процесс их движения по поверхности транспортного устройства описывается нелинейными уравнениями, при этом могут иметь место разные режимы опирания таких предметов обработки (на одну точку или на две точки), усложняющие математическое описание. В данной работе исследуется движение предметов обработки, имеющих выпуклый опорный контур (окружность или эллипс), которым они контактируют в процессе перемещения по некоторым вогнутым поверхностям технологических транспортных устройств, опираясь на две или одну точку.

Цель работы. Совершенствование процесса транспортирования тел с выпуклым опорным контуром по некоторым вогнутым поверхностям.

Для достижения сформулированной цели были поставлены следующие задачи исследования:

1. Разработка математической модели движения тела с выпуклым опорным контуром по вогнутым поверхностям при опирании на две точки:

- уголковому желобу, составленному из симметричных пересекающихся плоскостей,

- цилиндрическому желобу;

- внутренней поверхности кругового конуса;

2. Создание алгоритмов и программного обеспечения для моделирования процесса перемещения тела с выпуклым опорным контуром по вогнутым поверхностям;

3. Исследование перемещений тела с выпуклым опорным контуром по вогнутым поверхностям посредством созданного программного обеспечения.

Объект исследования. Механическая система включает в себя вогнутую опорную поверхность и тело с симметричным распределением масс, контактирующее с ней по окружности или эллипсу. Опорный контур тела определяется пересечением цилиндрической поверхности с плоскостью, перпендикулярной к оси цилиндра. Центр масс тела находится на заданной высоте относительно опорной фигуры. В работе описанное тело с выпуклым опорным контуром для краткости будет именоваться выпуклым телом или просто телом.

Предмет исследования. Процесс перемещения по вогнутым поверхностям тела с выпуклым опорным контуром (окружностью или эллипсом). Тело контактирует с опорной поверхностью окружностью или эллипсом в одной или двух точках.

Методы исследования. Поставленные задачи решены посредством использования основных положений теоретической механики, методов математического моделирования и численного решения дифференциальных уравнений.

Научная новизна работы. Построены математические модели движения тела с выпуклым опорным контуром по вогнутым поверхностям. Тело контактирует с опорной поверхностью окружностью или эллипсом, опираясь на две точки или на одну. В изученной литературе подобные задачи, насколько известно, не рассматривались.

Положения, выносимые на защиту, включают:

1. Математические модели процесса перемещения тела с выпуклым опорным контуром по вогнутым поверхностям;

2. Результаты теоретических исследований процесса перемещения тела с выпуклым опорным контуром по вогнутым поверхностям;

Достоверность результатов работы обеспечивается использованием при математическом моделировании фундаментальных положений теоретической механики и корректностью используемых численных методов, а также подтверждается результатами натурного эксперимента.

Практическая значимость работы состоит в моделировании движения предмета обработки по поверхности технологического транспортного устройства, что может быть использовано для создания инженерной методики расчета и проектирования подобных устройств. Также это может быть использовано при дальнейшем исследовании движения предметов обработки по технологическим транспортным устройствам. В частности, это позволит определить время перемещения предмета обработки из одного положения в другое.

Апробация работы. Основные положения диссертации и результаты исследования докладывались на X Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов, магистрантов и молодых ученых «Техника XXI века глазами молодых ученых и специалистов» (г. Тула, 2010 год); на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», посвященной 90-летию со дня рождения Л.А.Толоконникова (г. Тула, 2013 год), на XIII Всероссийской научно-технической конференции «Проблемы производства и проектирования систем и комплексов» (г. Тула, 2014 год), а также на научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ в 2010-2014 годах.

Публикации. Материалы проведенных исследований опубликованы в 11 работах, в том числе 3 статьи - в ведущем рецензируемом научном издании, входящем в Перечень ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников из 52 наименований и приложений. Объем работы составляет 212 страниц, в том числе 285 рисунков. Объем приложений составляет 14 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность рассматриваемой в работе научной задачи, сформулированы цель и задачи работы, выявлены ее научная новизна и практическая значимость. Перечислены известные исследования в динамике систем твердых тел и динамике неголономных систем. В рамках направления, посвященного перекатыванию либо скольжению тел, можно отметить работы Ю.И. Неймарка и H.A. Фуфаева, A.M. Русановой Е.Т. Уитгекера, А.И. Лурье. В данных работах рассматривались задачи, где тела контактировали либо в одной точке, либо в трех точках (по поверхности). Таким образом, в динамике систем твердых тел не были обнаружены задачи, посвященные изучению движения тел при двухточечном опирании. Сделан вывод о перспективности данного исследования для отмеченного класса объектов и его теоретической и практической значимости.

Практическое применение данного исследования возможно при моделировании функционирования технологических транспортных устройств. В основе работы подобных устройств лежат достаточно сложные процессы, математическое описание которых представляется неполным, что создает трудности при проектировании данных устройств.

Исследованию вибротранспортирования были посвящены работы многих авторов, например Б.А.Берга, И.И. Блехмана, В.А.Брусина, И.И.Камышного, А.Н.Рабиновича, В.И.Якубовича, И.С.Бляхерова и других. В настоящее время перспективной является конструкция вибророторного загрузочного устройства, разработанная в Тульском государственном университете. Исследования вибророторных загрузочных устройств проводились Н.А.Усенко, И.С.Бляхеровым, О.О. Чуковой и рядом других авторов.

Анализ известных работ показал, что предмет обработки в них представлялся в виде материальной точки (что серьезно упрощало

математическое моделирование, но неизбежно снижало точность полученных результатов). Учет геометрии масс предмета обработки необходим для предотвращения соударений соседних предметов обработки при их перемещении по поверхности транспортного устройства, что важно, например, в производстве взрывателей. Таким образом, анализ динамики транспортных устройств с учетом геометрических и инерционных характеристик предметов обработки, а также с учетом характера контакта предмета обработки и поверхности транспортного устройства является перспективным для указанного класса объектов.

В первой главе рассматривается движение тела с выпуклым опорным контуром* (окружностью или эллипсом), опирающегося на симметричный уголковый желоб, состоящий из двух пересекающихся плоскостей, тангенс угла наклона которых равен к. Координатная ось oY направлена вдоль оси желоба. Исследовалось движение выпуклого тела при отсутствии проскальзывания и при его наличии.

Наиболее важным для практики случаем являются колебания с проскальзыванием. Выпуклое тело, ограниченное снизу нормальной торцевой окружностью радиуса г, касается торцевой окружностью направляющего желоба в двух точках.

Центр тяжести тела находится на высоте h относительно опорной плоскости. Тело движется по неподвижному желобу, ось которого наклонена к горизонту на угол у. Ось симметрии тела движется в координатной плоскости Oyz. При наличии проскальзывания механическая система имеет две степени свободы. В качестве независимых обобщенных координат целесообразно выбрать величины а и у0.

Скорость скольжения:

К: = >'„ + (1)

Разрешающее дифференциальное уравнение относительно а, приведенное к безразмерному виду:

i Í V /i + __cosa__)„;„=„ fj, ,,.>( sirra th_____|f cosa h

, /, , , i sm"a h cosa A . a-/Vl + ¿ -+ —cosa --sinasgnF.

r -Jk2 + sin2a) {slk2 +sin2a r }y4kr+úñ2a r

(h cosa ^ . . г—-rf sin2a h )

---■ sina + /vi + k~ -===+—cos a sgnf',

[r Vi2+sinJaJ Uk'+sin'a r )B "

ra} | ííJcos2a-sin4íy h

g I, (k7+sm2a)3'

— cosa + cosy

(2)

Опорный контур определяется пересечением, например, наклонного кругового цилиндра, задаваемого уравнением х2 + {(у-у0)со$а+(2 - ?0/)зта)! = гг, и плоскости, нормальной к оси цилиндра ^ - ^о = (У ~ У а а . Здесь а - угол наклона оси цилиндра; у0, координаты центра опорной торцевой окружности. Следует отметить, что во всех рассматриваемых задачах опорный контур определяется одинаково.

Нормальная реакция определится соотношением:

2N ral cosa Л) . rá7 (£3cos2a-sin4a h \ -P== — eos y + — =--sina +- —---——---cosa П1

mg4\+k> g Wk2 +- sin2a r) 8 U +»» «J r J W

Второе дифференциальное уравнение, разрешенное относительно У» , получим в безразмерном виде, предварительно вычислив « и jV:

у0 / g = sin у - cosa - sin a j/ г - 2 /N Vi + к1 sign(V л )! mg ^

Системы уравнений движения с проскальзыванием (2)-(4) и без такового вместе с условием отсутствия проскальзывания составляют математическую модель движения выпуклого тела с опорой на окружность, опирающейся на неподвижный симметричный желоб. Анализ этой модели в случае проскальзывания может быть только численным.

Был также исследован вопрос об устойчивости движения выпуклого тела по поверхности уголкового желоба. Мы рассматриваем движение тела, с симметричным опорным контуром и полагаем, что центр масс находится в плоскости oYZ, являющейся плоскостью симметрии желоба. В процессе движения тело может испытывать малые случайные боковые воздействия, в результате которых центр масс может выходить из плоскости симметрии желоба. Установлено, что при расположении центра масс выше координатной плоскости хОу движение тела будет неустойчивым, а при выполнении условия и - -r-tgp движение устойчиво, так как в этом случае центр масс занимает самое низкое положение на траектории возможного бокового смещения (р есть угол наклона к горизонту плоскостей, составляющих желоб). Здесь предполагается, что при нахождении центра масс ниже опорной окружности в поверхности желоба имеется вырез с размерами, необходимыми для обеспечения движения тела.

В численных экспериментах рассматривалось движение тела при различных исходных данных и начальных условиях. Таким образом моделировалось перемещение предметов обработки из накопителя к станку по лотку-склизу, состоящему из двух плоскостей. Для повышения производительности полезно в частности сократить время транспортировки предметов обработки путем повышения ее скорости.

На рис. 1 и 2 представлены результаты численного эксперимента при следующих исходных данных и начальных условиях: радиус инерции тела р=0,5; высота центра тяжести /г=-1; угол наклона желоба к горизонту у=0,5; тангенс угла наклона плоскостей желоба к= 0,3; коэффициент трения /=0,1; начальный угол наклона тела а„=0,5 рад.

х

Рис.1. Графики координаты у0 скорости и ускорения центра масс

Рис.2. График траектории центра масс гс(Ус)

При угле наклона оси желоба, меньшем угла трения, возможно соскальзывание тела вдоль оси желоба, чего не наблюдается при нахождении тела на наклонной плоскости. Это иллюстрируется результатами численного эксперимента (рис. 3) при следующих начальных условиях и исходных данных: радиус инерции тела р=0,5; высота центра тяжести /г=-0,3; угол наклона желоба к горизонту у=0,1; тангенс угла наклона плоскостей желоба £=0,3; коэффициент трения/=0,2. Начальные условия: начальный угол наклона тела а„=0,5 рад.

Рис. 3. Графики угла поворота тела и координаты ус при у=0,1

Анализ результатов главы и ее практическая значимость. Из графиков (рис. 1 и 3) можно определить время, затрачиваемое телом на прохождение заданного пути при известных геометрических характеристиках тела и желоба, что может быть использовано при расчете и проектировании технологических транспортных устройств.

В технологических транспортных устройствах, как правило, применяются лотки, имеющие в сечении вогнутую поверхность, и движение предмета обработки по таким лоткам будет иметь характер отличный от простого соскальзывания по наклонной плоскости. Например, при угле наклона оси желоба, меньшем угла трения, колебания предмета обработки могут привести к его соскальзыванию вдоль оси желоба, чего не будет наблюдаться при расположении предмета обработки на наклонной плоскости. Установлено, что при одинаковых исходных данных соскальзывание тела по вогнутому желобу происходит медленнее, чем сползание бруска по наклонной плоскости. Также установлено, что скорость соскальзывания тела увеличивается при уменьшении угла наклона плоскостей желоба («разворачивании» желоба на плоскость) и при уменьшении начального угла наклона тела а„.

Во второй главе рассмотрено движение выпуклого тела с опорой на окружность по поверхности цилиндрического желоба. Рассматривалось движение без проскальзывания и с проскальзыванием.

С практической точки зрения самым важным вариантом представляется движение с проскальзыванием. Выпуклое тело, ограниченное снизу нормальной торцевой окружностью радиуса г, касается ей направляющего желоба радиуса R в одной или двух точках. Центр тяжести тела находится на высоте h относительно опорной плоскости. Ось желоба наклонена к горизонту на угол у. Ось симметрии тела движется в координатной плоскости Оу~. Положение тела определяется углом наклона его оси а и координатами центра у0, опорной торцевой окружности.

При наличии проскальзывания рассматриваемая механическая система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат целесообразно выбрать величины а и уо. Подставив выражения для ускорений центра масс и приведя систему уравнений движения с проскальзыванием к безразмерному виду, получим:

- á'Acos а / g + у, / g + N ■ 2 fiign(V Л )I mg = «2Asina / g + sin-/ ;

á -Csina/g - N -2(\ - :t I R)/mg = -á2 -Ccosa/g - eosy j (5)

a-p2/g-U-2(fl- :k / R)(y¡, - y0 - Asina; - fslgn(Vlk )(:k - .-„ + hoosa))/mg = 0

В уравнениях (5): с = -г3 -а;

Скорость скольжения:

v«, ~ У. *(z-zjám (6)

Уравнения (5) представляют собой систему линейных уравнений относительно искомых величин , >:о и N. Она сначала должна быть разрешена относительно искомых величин как алгебраическая система, а затем уже может выполняться интегрирование. В таком случае разрешающие уравнения получатся весьма громоздкими, и ввиду этого решение системы выполняется методом Гаусса на каждом шаге численного интегрирования.

Разработана программа, интегрирующая уравнения движения. В численных экспериментах рассматривались колебания тела при различных исходных данных и начальных условиях, но таких, чтобы заведомо имело место опирание на две точки. Таким образом моделировалось перемещение предметов обработки из накопителя к станку по лотку-склизу, представляющему собой цилиндрический желоб.

На рис. 4 и 5 представлены результаты численного эксперимента при следующих исходных данных и начальных условиях: R=2; r= 1; h=-1; р=0,5; Уо=0; угол наклона желоба у=0,5; коэффициент трения J=0,3; начальный угол наклона тела а„=0,5.

>

""-'iV-'-V^...... -.........-V............................ -..........Г........ -......... '.........У>...........:..........Т* - ..........■ ..............i'......

Рис.4. Графики координаты у„ скорости и ускорения центра масс

г

п-55-«-п-;-u>-п-^-i-к-й-¡ч-;-is-п-ri-:-^-«--Г

Рис.5. Графическое изображение траектории центра масс

Анализ результанте главы и ее практическая значимость. Из графиков (рис. 4) можно определить время, затрачиваемое телом на прохождение заданного пути при известных геометрических характеристиках тела и желоба, что может быть использовано при расчете и проектировании технологических транспортных устройств.

При одинаковых исходных данных соскальзывание тела, перемещающегося по цилиндрическому желобу, происходит медленнее, чем соскальзывание по наклонной плоскости. Также в ходе численных экспериментов было установлено, что скорость соскальзывания тела увеличивается при увеличении отношения радиуса желоба к радиусу опорной окружности тела R/r («разворачивании» желоба на плоскость) и при уменьшении начального угла наклона тела ан.

Для проверки правильности созданных моделей движения тела с выпуклым опорным контуром по поверхности цилиндрического желоба были проведены натурные эксперименты. В экспериментах использовались цилиндрический желоб и металлическая крышка с известными геометрическими и масс-инерционными характеристиками. Для фиксации результатов использовались секундомер и фотокамера с функцией видеосъемки.

Для исследования движения с проскальзыванием был определен коэффициент трения. При этом учитывалось, что нормальные реакции в точках контакта не параллельны друг другу. Измерялся угол наклона желоба, когда начиналось соскальзывание крышки. По его значению определялась сила

и

скольжения и алгебраическая сумма нормальных реакций. Их отношение определяет приведенный коэффициент трения/1рив=0,25.

Для проверки модели движения с проскальзыванием производились эксперименты по определению времени, необходимого крышке на прохождение пути, равного длине желоба. Результат натурного эксперимента сравнивался с результатом эксперимента численного, произведенного при помощи программы численного интегрирования системы уравнений (5). В программу вводились исходные данные и начальные условия, соответствующие поставленному эксперименту, коэффициент трения принимался равным /прив=0,25; определялось время прохождения пути, равного длине желоба. Результаты численных и натурных экспериментов хорошо согласуются между собой (расхождение не превышает 10%).

Таким образом, можно сделать вывод, что результаты математического моделирования хорошо согласуются с экспериментальными данными и представляются вполне достоверными.

В третьей главе рассмотрены кинематика и динамика движения выпуклого тела по внутренней поверхности неподвижного или вибрирующего кругового конуса. Также рассмотрена задача об определении положения равновесия выпуклого тела с опорой на окружность радиуса г, расположенного на внутренней поверхности неподвижного или вращающегося кругового конуса. Центр масс тела находится на высоте h относительно опорной окружности. Сухое трение удерживает тело на конической поверхности. Вследствие вогнутости конической поверхности соприкосновение опорной окружности с конусом осуществляется в двух точках. Исследуется как движение тела с проскальзыванием, так и без такового.

С практической точки зрения, важными являются колебания с проскальзыванием. При наличии проскальзывания рассматриваемая механическая система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат целесообразно выбрать величины а и уо-

Уравнения движения выпуклого тела с проскальзыванием:

p2a/g- N((cosS¡ + fün5)(yk - ) + fsiná, - fcos6)(:c - г, ;)/mg = 0 (7) /icosa ■ ¿i / g - y0 / g N(siná, - foosS) I mg = á¡Asina / g (g)

(Trsina - B)a/g - Av0/g + //feos <5, + fsin¿) I mg = С + 1 - ¿"Acosa/g (9)

y0 COS Q!yjl + \/k | y„

Здесь

yJl + Vk ——----ctga: B =

]--

Л — . - Mj; u , lj — 1 .-

sma^jr1 sin2 a + y¡ ^ *jr2sin2+y¡; C. = 2y„á/s'm2 a-2y¡1á2c<galüiV a -

yjгпд

sina(r sin a + ya)

(Уо ~ Уас18")(г á sin a eos a + y0y0) +

-+ f (vo -3y0y*áctga + (l + cos2 a)y20á2 /sin2 a)

sina^r sin" a + y0

Направляющие косинусы вектора касательной реакции F:

cos 5 = fa, / -JyT+^l: sin¿- = >•, / JyT+k7^;

Направляющие косинусы вектора нормальной реакции:

cosí, - fc, /Jxl+yl+k'zl; siní, - /Jx't +y¡ +к'-; ;

Уравнения (7)-(9) представляют собой систему линейных уравнений относительно искомых величин « , Л и /V. Она сначала должна быть разрешена относительно искомых величин как алгебраическая система, а затем уже может выполняться интегрирование. Ввиду громоздкости получающихся при этом разрешающих уравнений в явном виде они не приводятся, а решение системы выполняется методом Гаусса на каждом шаге численного интегрирования. Создана программа для численного интегрирования системы уравнений (7)-(9) и уравнения перекатывания без проскальзывания, приведенных к безразмерному виду. Набор исходных данных и начальных условий аналогичен описанному выше, при этом исходные данные и начальные условия задаются такими, чтобы заведомо имело место опирание на две точки. В численных экспериментах рассматривались колебания пластинки при различных исходных данных и начальных условиях.

На рис. 6 и 7 представлены результаты численного эксперимента при следующих исходных данных: А=10; y<f= 1,0141; Л=0,1; р=0,5;/=0,2. Начальные условия: a„=0,1763á. " <U .

у \

iSjMiümrJMi

Рис.6. Графики угла поворота, угловой скорости и углового ускорения тела при " °-1'/=(7Д

Рис.7. Графики нормальной реакции и силы трения при " 01 :/=0,2.

Результаты численных экспериментов показали, что движение пластинки отличается значительной нелинейностью и неравномерностью. Переход от одного режима движения к другому характеризуется резкими изменениями

реакций. Установлена зависимость характеристик движения от геометрических параметров тел, входящих в механическую систему. Так, увеличение высоты центра масс приводит к усилению неравномерности движения, к возрастанию длины участка скольжения и к увеличению амплитуды колебаний.

Колебания выпуклого тела на внутренней поверхности вибрирующего конуса. Данная задача отличается от предыдущей тем, что конус вибрирует вдоль вертикальной оси по гармоническому закону А sin< + s).

Уравнение движения тела без проскальзывания запишется в виде

a = (s(yt -У, + k$inaJ-Mm)/Iur ^ (До)

где:

/,„ = р2 + А1 (-4 -г0 - Acosa)2 +(jv -у. + Asina)1 -у0 + Asina)- А •—cos(íyr + S)

а '

МЧ.. =((-t --о -Acosa)(rt --о) + O't -у« + AsinaXj'i -j'o>)á + <¿2Asina{zk -Acosa)--á2h cos a(yt - y„ + A sin a) + (yt - y0)Aa>cos(a>t + <У) - ¿Acosa- ■ Aeocos(ú/t + S) — (yk - y„ + Asina) x A2co'

x Aa' sin(ü>í + 5)--sin(ü)í + ^)eos(ot + S)

á

Уравнения вертикальной и горизонтальной составляющей полной реакции имеют вид:

m'i. = R. - mg + Асо1 sin (cot + S)

Система уравнений движения тела на вибрирующем конусе при наличии проскальзывания мало отличается от аналогичной системы, описывающей движение тела на неподвижном конусе:

p2á/ g + 0 ■ у„ /g - W(f cos<5, + fsmd)(yt -yj + f sin<5, - /cos5)(:c --t))/mg=Q (12) Acosa • a/ g - 1 ■ ji„ 1 g + N( sin5, - fcosS) I mg = á2Asina / g (13)

(Asina -B)á/g- Ay0 /g + N(cosS¡ + /sin S)/mg = С +1 - á2 Acosa/g - Am2 sin(<af + S) (14)

Аналогично предыдущему случаю, решение системы выполняется методом Гаусса на каждом шаге численного интегрирования. Создана программа для численного интегрирования системы уравнений (12)-(14) и уравнения перекатывания без проскальзывания, приведенных к безразмерному виду.

Результаты численных экспериментов продемонстрировали, что движение выпуклого тела на вибрирующем уголковом желобе имеет выраженный нелинейный характер. При увеличении коэффициента трения увеличивается период колебаний и снижается их амплитуда. При уменьшении начальной угловой скорости тела уменьшаются период и амплитуда колебаний, а увеличение начальной угловой скорости приводит к увеличению амплитуды и периода. При нулевой начальной угловой скорости наблюдается отчетливое «сползание» тела к центру конической поверхности. При изменении фазового

угла 5 уменьшаются период и амплитуда колебаний тела. Вибрация конуса в направлении его оси оказывает крайне слабое влияние на характеристики движения тела.

Заключение и основные выводы по работе.

В работе решена актуальная научная задача, состоящая в теоретическом исследовании процессов транспортирования предмета обработки при учете его геометрических и инерционных характеристик. В результате исследования были получены следующие основные результаты:

1. Анализ состояния исследований транспортных устройств и анализ состояния исследований в технической механике показали, что исследование движения тел при двухточечном контакте и учет инерционных характеристик предмета обработки при его рассмотрении как имеющего размеры твердого тела, а не материальной точки, может оказаться полезным для ряда предметов обработки.

2. Разработаны математические модели, описывающие движение тела с опорой на окружность или эллипс по поверхности уголкового желоба, по поверхности цилиндрического желоба и по внутренней поверхности кругового конуса.

3. Создано математическое описание процесса движения предмета обработки с выпуклым опорным контуром на технологических транспортных устройствах с учетом характера опирания предмета обработки на две точки; его проскальзывания и перекатывания. Разработанное математическое описание позволяет определить величины реакций, времена и скорости перемещения предметов обработки.

4. Разработаны алгоритмы решения дифференциальных уравнений, описывающих движение тела по поверхности уголкового желоба, по поверхности цилиндрического желоба и по внутренней поверхности кругового конуса; созданы программы на ЭВМ, реализующие разработанные алгоритмы. На основе созданных программ произведены численные эксперименты.

5. Результаты численных экспериментов вьивили существенную зависимость характера движения от геометрических характеристик тел, входящих в механическую систему, чего невозможно увидеть при точечной модели.

6. Движение с проскальзыванием тела с выпуклым опорным контуром по поверхности наклонного уголкового желоба имеет выраженный нелинейный характер. Установлена зависимость результатов движения от исходных параметров системы, которая проявляется, например, в усилении неравномерности движения с увеличением периода колебаний при приближении конфигурации желоба к плоскости

7. Тело с выпуклым опорным контуром, соскальзывающее по наклонному уголковому либо цилиндрическому желобу, совершает сложное движение, складывающееся из сочетания поступательного движения вдоль оси желоба и колебаний вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной оси желоба. По сравнению со скольжением бруска по наклонной плоскости, скорость центра

масс при движении по наклонному желобу, меньше. При угле наклона желоба, меньшем угла трения, возможно соскальзывание колеблющегося тела. Скорость перемещения тела по вогнутому желобу можно повысить путем «разворачивания» желоба на плоскость либо уменьшением начального угла наклона тела относительно оси желоба.

8. Разработанные математические модели движения тела с выпуклым опорным контуром дают результаты, хорошо согласующиеся с экспериментальными данными, что позволяет говорить о достоверности данных моделей.

9. При движении тела по внутренней поверхности вибрирующего кругового конуса, увеличение высоты центра масс привело к усилению неравномерности движения — наблюдалось увеличение амплитуды колебаний; уменьшение высоты центра масс имело обратный эффект; при увеличении параметра конуса неравномерность движения существенно сгладилась, колебания приблизились к гармоническим; при увеличении коэффициента трения увеличивается период колебаний и снижается их амплитуда; при уменьшении начальной угловой скорости тела уменьшаются период и амплитуда колебаний, а увеличение начальной угловой скорости приводит к увеличению амплитуды и периода; при нулевой начальной угловой скорости наблюдается отчетливое «сползание» тела к центру конической поверхности; при изменении фазового угла 3 уменьшаются период и амплитуда колебаний тела.

10. Вибрация конуса вдоль его оси при малых амплитудах, ограниченных условием безотрывности, оказывает слабое влияние на характеристики движения тела, расположенного на внутренней поверхности конуса.

Сделаны следующие выводы:

Разработанные математические модели позволяют произвести исследование транспортных устройств и устройств по ориентации с учетом геометрии масс предмета обработки, повысив тем самым точность математического моделирования данных устройств.

Результаты данной работы могут быть использованы при дальнейшем исследовании движения предметов обработки по поверхности технологических транспортных устройств:

а) при исследовании движения предметов обработки без их соударений, что важно, в частности, в производстве взрывателей и хрупких предметов;

б) при исследовании движения предметов обработки без перегрузок, что важно при производстве чувствительной электронной аппаратуры;

в) при исследовании движения предметов обработки с целью уточнения времени транспортирования и его согласования с циклом работы производственного оборудованиячто позволит повысить его производительность.

Основные положения диссертации отражены в публикациях:

1. Корнеев С.П., Смирнов Ю.П. Колебания без проскальзывания круглой пластинки на симметричном желобе // Молодежь. Техника. Космос: труды II

Vo

\

Общероссийской молодежной науч.-техн. конф.Бапт. гос. техн. ун-т. - СПб, 2010, с. 175-177.

2. Корнеев С.П. Колебания без проскальзывания «монетки», опирающейся на симметричный желоб // IV-я молодежная научно-практическая конференция студентов Тульского государственного университета «Молодежные инновации»: сборник докладов. Часть 2 — Тула: Изд-во ТулГУ, 2010, с.273-275.

3. Корнеев С.П., Смирнов Ю.П., Тарасов В.К. Колебания эллиптической пластинки на поверхности уголкового желоба // Вестник ТулГУ. Серия: Актуальные вопросы механики. Вып. 6. Тула: Изд-во ТулГУ, 2010, с. 116-123.

4. Корнеев С.П., Смирнов Ю.П. Колебания без проскальзывания круглой пластинки на симметричном желобе // IX Всероссийская научно-техническая конференция студентов, магистрантов, аспирантов и молодых ученых «Техника XXI века глазами молодых ученых и специалистов»: материалы докладов. Тула: Изд-во ТулГУ, 2010, с.300-306.

5. Корнеев С.П., Смирнов Ю.П. Движение с проскальзыванием круглой пластинки, опирающейся на симметричный уголковый желоб // X Всероссийская научно-техническая конференция студентов, магистрантов, аспирантов и молодых ученых «Техника XXI века глазами молодых ученых и специалистов»: материалы докладов. Тула: Изд-во ТулГУ, 2011, с.252-257.

6. Корнеев С.П. О равновесии круглой пластинки на вращающейся конической поверхности // Вестник ТулГУ. Серия: Актуальные вопросы механики. Вып. 8. Тула: изд-во ТулГУ, 2012.

7. Корнеев С.П. К задаче о равновесии «монетки» на поверхности вращающегося конуса // Молодежь. Техника. Космос: труды IV Общероссийской молодежной науч.-техн. конф. Балт. гос. техн. ун-т. — СПб, 2012, с. 206-207.

8. Корнеев С.П. Колебания без проскальзывания кругового цилиндра на конической поверхности // Известия ТулГУ. Серия: Технические науки. Выпуск II часть 2. Тула: изд-во ТулГУ, 2013, с. 50-54.

9. Корнеев С.П., Смирнов Ю.П. Кинематика плоского движения кругового цилиндра по конусу без проскальзывания // Международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики», посвященная 90-летию со дня рождения Л.А.Толоконниюова: материалы докладов. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013, с.346-351.

10. Корнеев С.П. Движение с проскальзыванием цилиндрического тела, расположенного на поверхности уголкового желоба // Известия ТулГУ. Серия: Технические науки. Выпуск 12 часть 2. Тула: изд-во ТулГУ, 2014, с. 11-17.

11. Корнеев С.П., Смирнов Ю.П. Колебания без проскальзывания выпуклого тела, расположенного на поверхности цилиндрического желоба // Известия ТулГУ. Серия: Технические науки. Выпуск 12 часть 2. Тула: изд-во ТулГУ, 2014, с. 17-24.

Изд.лиц.ЛР № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать 18.02.2015 Формат бумаги 60x84 Vi6- Бумага офсетная.

Усл.печ. л. 0,9 Уч.изд. л. 0,8 Тираж 100 экз. Заказ 006 Тульский государственный университет 300012, г. Тула, просп.Ленина, 92. Отпечатано в Издательстве ТулГУ 300012, г. Тула, просп.Ленина, 95.